电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势
电场强度与电势
电场强度（E）和电势（V）是描述电场特性的两个重要参数。
电场强度是指单位正电荷在某点所受到的力的大小。
它的方向与力的方向相同，单位是牛顿/库仑（N/C）。
电势是指单位正电荷从无穷远处移动到某点所需的功。
它的单位是伏特（V）。
电势是标量量，它描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在以下关系：
1. 电场强度为负梯度电势：E = -∇V
这个公式表示电场强度是电势的负梯度，其中∇是梯度算子。
2. 电场强度和电势的关系：E = -dV/dr
这个公式表示电场强度是电势对位置的导数，其中dV/dr表示电势对位置的变化率。
3. 电场强度和电势的关系：V = -∫E·dl
这个公式表示电势是电场强度积分后的结果，其中∫E·dl表示电场强度沿路径l的线积分。
在一维情况下，电势和电场强度之间的关系可以通过上述公式进行计算。
在三维情况下，电势和电场强度之间的关系需要考虑电场的分布情况，并使用泊松方程或拉普拉斯方程进行计算。
总之，电场强度描述了电场中的力的大小和方向，而电势描述了电荷在电场中的势能。
电场强度和电势之间存在一定的关系，可以通过公式进行计算。
大学物理(5.5.1)--电势叠加原理电场强度与电势梯度
※ 电势叠加原理
点电荷系
E Ei
i
VA
E dl
A
n
i n1
A Ei dl
Vi
i 1
点电荷
V
q 4πε0r
q1
r1
q2 q3
r2
r3
A
VA
n
Vi
i 1
n i 1
qi 4 π ε0ri
E3 E2
E1
2/20
电荷连续分布时 dq dV体
VA
VB
Q 4πε0
(1 rA
1 rB
)
V
(r)
Q 4πε0r
Q dr
4πε0 rA r 2
（ 4 ）r R
V
(r)
rR
E
dr
R
E
dr
Q 4πε0 R
V
Q 4π 0 R
Q 4π0r
o
AB
R
rA
r
oR
r
rB
10/20
例 4 求 “无限长”带电直导线的电势附近的电势 .
解
VP
rB r
dq
r R
o
x
o
x
Px
6/20
带电圆环的电势 :
VdVP 44ππεε00
dqq xx22Rr 2
例 2: 求通过一均匀带电圆平面中心且垂直平面的轴
线上任意点的电势 .
V
1 4πε0
R 2πrdr
0 x2 r2
x R
x2
R2
x
R2 2x
V
Q 4πε0 x
dq 2πrdr
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电势梯度是指电势在空间中的变化率，而电场强度则是指单位电荷在电场中所受到的力的大小。
在电学中，电势梯度和电场强度的关系是非常紧密的，它们之间的关系可以用以下公式来表示：
E = -∇V
其中，E表示电场强度，V表示电势，∇表示梯度运算符。
这个公式告诉我们，电场强度的大小与电势梯度的大小成反比。
也就是说，当电势梯度越大时，电场强度就越小；反之，当电势梯度越小时，电场强度就越大。
这个公式的意义可以通过一个简单的例子来说明。
假设我们有一个电荷为Q的点电荷，它在空间中产生了一个电势场。
如果我们想知道在某一点P处的电场强度，我们可以通过以下步骤来计算：
1. 首先，我们需要计算出点P处的电势V。
2. 然后，我们需要计算出点P处的电势梯度∇V。
3. 最后，我们可以通过公式E = -∇V来计算出点P处的电场强度E。
这个例子告诉我们，电势梯度和电场强度之间的关系是非常密切的。
在电学中，我们经常使用这个公式来计算电场强度，从而更好地理解电场的性质和行为。
电势梯度和电场强度是电学中两个非常重要的概念，它们之间存在着密切的关系。
电场强度的大小与电势梯度的大小成反比，这个关系可以用公式E = -∇V来表示。
在电学中，我们可以通过这个公式来计算电场强度，从而更好地理解电场的性质和行为。
电场强度与电势梯度的关系
电场强度与电势梯度的关系
电场与电势是相互关联的，电势是电场的线积分，电场是电势的变化梯度，即电势的求导，电势变化越快的地方电场越强，有一个特殊的地方，电势零点可以任意选取，电场不为零的地方电势可以为零，电势为零的地方电场可以不为零电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
1、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
2、场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
3、电场线与等势面的关系：电场线越密的地方等差等势面也越密，电场线与通过该处的等势面垂直。
4．场强与电势的关系：场强和电势无因果关系。
场强的方向是电势降落最快的方向，场强大小标志着沿电场线方向电势降落的快慢，场强数值和电势数值无因果关系。
电场线假设与等势面不垂直，那么沿等势面就有分量，这样电荷在沿等势面移动时电场力就可做功，故假设不正确。
因此，电场线应与等势面垂直。
电场线越密处，电荷所受电场力大，移动相同距离电场力做功多也可能是克服电场力做功多，故在此处沿电场线方向移动相同距离比疏处电势差大。
那么相邻等势面差值一样时，电场线越密处等势面也越密。
8.5电场强度与电势梯度的关系
E
ds
等势面——规定、性质、梯度
gradU
U n
n
三、 q、E、U 三者关系网
1、 q E
E
1
4 0
dq r3
r
sE
ds
1
0
vdv
2、 q U
U
1
4 0
dq r
U LE dl
3 E U
U LE dl
势面2，电场力做功
dA qE dl
qEdl cos
en
1
2
P1
en P2
P3
qEdn
V V+dV
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电场力做功等于电势能的减少量 dA q dU
E dU dn
场强也与等势面垂直，但指向电势降低的方向。
E Een 写成矢量形式
E
第一章 真空中静电场小结
一、理论体系：
出发点
：叠 库加 仑原 定理 律
高斯定理 环路定理
电场为有源场 电场是有势场
二、内容：
1、一个定律 ： 2、两个定理 ：
F
q1q2
4 0
r r3
E
ds
1
dv
s
0 v
l E dl 0
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则 dn dl cos
dU dU cos
dl dn
2
P1
en P2
P3
U U+dU
上页 下页 返回 退出
定义电势梯度
1.6 电场强度与电势的微分关系
V E n
V E en n
V
V+dV
E与 V 的关系
V E 大小: n 方向：沿V 减小方向
V 大小:
V n
dln
e n
Q
q
dl
P
方向：沿V增大方向
E
V E e n gradV V n
E V
V V lim n n 0 n
U E
两方向微商的关系：
V V cos l n
P n l
Q R
U U
V V V V V lim lim lim cos cos l l 0 l n0 n / cos n0 n n
V Q 4 0 R 2 x 2
小
计算电势的方法
1、点电荷场的电势及叠加原理
结
计算场强的方法
1、点电荷场的场强及叠加原理
V
i
4 0 ri （分立）
qi
E
i
V
dq 4 0 r
Q
（连续）
E
2、可有
r dq （连续） Q 4 r 3 0
qi r 4 0 ri3 （分立）
§1.6 电场强度和电势梯度的关系 1.6.1 等势面
空间电势相等的点连接起来所形成的面称为等势面. 为了 描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等. (等势面的疏密反映了场的强弱)
点 电 荷 的 等 势 面
V12 V23
V El
dl2 dl1
E2 E1
两平行带电平板的电场线和等势面
三.同一问题中能否选取不同的电势零点 例：均匀外电场 E0 中置入一点电荷 q 求空间任意一点的电势 .p 解：把坐标原点选取在点电荷所
电场强度与电势梯度关系的简单推导方法
） （ 器 Ｉ ； ｖ － — ｒ 【 ） ＝ 一 Ｅ ，
收稿 日期 ： ２ ０ １ ２—０ ９ —０ ６
基金项 目： 国家 自然科学基金专项基金项 目（ １ １ ０ ４ ７ ０ １ ９ ） ； 安徽省 自然科学基金项 目（ １ １ ０ ４ ０ ６ ０ ６ Ｍ１ ５ ） ． 作者简 介： 黄时 中（ １ ９ ５ ７ 一） ， 男， 安徽宿松人 ， 教授 ， 博士 ， 主要从事大学物理和理论物理方面的教学与研究工作 ． 引用格式 ： 黄时 中， 张丹丹 ． 电场强度与电势梯度关系的简单推导方法 ［ Ｊ ］ ． 安徽师范大学学报 ： 自然科学 版， ２ ０ １ ３ ， ３ ６ （ ２ ） ： １ ２ ３ —１ ２ ４
强度 分别 为
＝ ＝
图 １ 单 个 点 电荷 情 形
４ 丌 Ｅ ０ √（ ｚ—Ｉ ｚ ｉ ） ２ ＋（ —ｙ ｉ ） ２ ＋（ ｚ一 ） ２ ’
和
置 ＝
其 中
Ｅ 妇 ＝
＝Ｅ ＋Ｅ ＋ Ｅ ，
（ ２ ）
， Ｅ ＝
， Ｅ 娩 ＝
（ ３ ）
由如下 简单 的微分 运算
疑惑 、 有似懂 非懂 的感 觉 ． 本文 以 电势叠 加原 理和场 强叠加 原 理 为基础 ， 给 出严格 推 导 电场强 度 与 电势 梯度
关系 的一种 非 常 简 单 的方 法 ． 这 种 简 单 的推 导 过 程 可 以
方便 地在 大学物 理学 课程 中进 行讲 授 【 ０ ， ． 众 所周 知 ， 对于 给定 的 电荷分 布 ， 电场 中任一 点 Ｐ 的 电势 与场 中的电场 强度之 间的关 系为 积分关 系 ， 即
（ ４ ｃ ） ）
直接得到 置 与 之间的微分关系
电势梯度和电场强度的关系
电势梯度和电场强度的关系电势梯度与电场强度是电学中两个重要的概念，它们之间存在着密切的联系和相互依赖关系。
本文将从电势梯度和电场强度的定义、计算方法以及它们之间的关系等方面展开阐述。
我们来了解一下电势梯度和电场强度的定义。
电势梯度是指电势在空间中变化的快慢程度，表示为电势的变化率。
电场强度是指单位正电荷所受的力的大小和方向，表示为电场力的大小。
电势梯度的计算方法是通过对电势函数沿着某一方向求偏导数，即电势梯度等于电势函数在某一方向上的偏导数。
电场强度的计算方法是通过库仑定律得到的，即电场强度等于单位正电荷所受力的大小。
接下来，我们来探讨电势梯度和电场强度之间的关系。
根据定义可知，电场强度是电势梯度的负梯度，即电场强度与电势梯度具有相反的方向。
这是因为电势梯度表示电势的变化率，而电场强度表示单位正电荷所受的力的大小和方向，二者之间存在着直接的关系。
进一步地，我们可以通过电势梯度和电场强度的性质来理解它们之间的关系。
首先，电势梯度的方向指向电势变化率最快的方向，而电场强度的方向指向力的作用方向。
由于力的方向是电势下降最快的方向，所以电势梯度的方向与电场强度的方向相反。
电势梯度的大小与电场强度的大小成正比。
根据电势梯度的定义可知，电势梯度的大小等于电势函数在某一方向上的偏导数。
而根据电场强度的定义可知，电场强度的大小等于单位正电荷所受力的大小。
由于电场力与电势梯度具有相反的方向，所以电场强度的大小与电势梯度的大小成正比。
我们可以通过具体的例子来进一步说明电势梯度和电场强度之间的关系。
假设有一个点电荷位于原点，我们要计算该点电荷在距离原点某一点的电场强度。
首先，我们可以通过库仑定律计算出该点电荷在距离原点某一点的电势。
然后，我们可以通过计算电势在该点的梯度得到该点电荷在该点的电场强度。
根据电势梯度和电场强度的关系可知，电场强度的大小与电势梯度的大小成正比，方向与电势梯度的方向相反。
电势梯度和电场强度之间存在着密切的关系。
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E V x
(1
2ε0
x )
x2 R2
R
o
r
dr
(x2 r2 )1/2
x Px
课堂练习 利用场强与电势梯度的关系求均匀带电细杆中垂线
上P点的电场强度。已知细杆的的电量为q ,长度为L。 y
P
y
O
L
x dx
X
y P
r y
x
L x dx
VP
q
4 0L
L/2 L/2
dx q ln( L / 2
dq
y
r
R
p
x
x
z
例、利用电场强度与电势的关系求通过半径为R 的均匀带电圆平板中心且垂直平面的轴线上任 意点的电场强度. 设电荷面密度为。
dq 2πrdr
V 1 R 2πrdr
4πε0 0 x2 r 2
( x2 R2 x)
2ε0
R
o
r
dr
(x2 r2 )1/2
x Px
V ( x2 R2 x)
场强与电势梯度的关系
一、 等势面 在电场中，一般来说，电势应该是空间位置坐标
的函数，是逐点变化的，但是总会有一些点的电势是 相等的。
等势面 ： 电场中电势相等的点所构成的面。
下面我们来看几种典型的等势面。
等势面的性质 ⑴等势面与电场线处处正交， 电场线指向电势降落的 方向，即沿着场强的方向电势降落。因此，在等势面 上移动电荷时，电场力不作功，电荷的电势能不变。
Ex
V x
Ey
V y
V Ez z
E
(
V
i
V
j
V
k)
x y z
电势梯度
gradV
dV dln
en
gradV
V
i
V
j
V
k
x
y
z
例 已知 u 6x 6x2 y 7z2
求 （2，3，0）点的电场强度。
解
Ex
u x
(6
12xy)
66
Ey
u y
6x2
24
Ez
u z
14z
0
E Exi Ey j 66i 24 j
相同，把点电荷q
从P移到Q，电场力作功为：
dW qE dl qE cosdl
V+dV
n E
qEdln
dln Q
dW q[V (V dV )] qdV
E cosdl Edln dV
V
q dl
P
E dV dln
任意一场点P处电场强度的大小等于沿过该点等势面法线方
向上电势的变化率，负号表示电场强度的方向指向电势减
E
dV dln
en
gradV
另一种理解
E cos θdl Edln dV
Eldl dV
El
dV dl
电场强度在 l 方向的投影等于电 势沿该方向变化率的负值
en
V+dVБайду номын сангаас
dln Q
V
q dl P E
dl dln
dV dV dl dln
电势沿等势面法线方向的变化率最大
在直角坐标系中
小的方向。
E dV dln
E
dV dln
en
en
V+dV
dln Q
V
q dl P E
定义：电场中任一点的电势
梯度矢量的大小等于电势函数 沿着等势面法线方向的导数， 方向总是沿着等势面的法线且 指向电势升高的方向。
gradV
dV dln
en
V+dV
gradV
dln Q
V
q dl
P
某点的电场强度等于该点电势梯度的负值，这就 是电势与电场强度的微分关系。
q O q
X
E Ex2 Ey2
l x
p 4πε0
(4x2 (x2
y2 )1/ 2 y2 )2
E
p 4πε0
(4x2 (x2
y2 )1/ 2 y2 )2
y0 x0
E
2p 4πε0
1 x3
E p 4πε0
1 y3
Y
P(x, y)
•
r2
r r1
q O q
X
l x
例1．利用场强与电势梯度的关系， 计算均匀带电 细圆环轴线上一点的场强。
（2）规定：电场中任意两相邻等势面间的电势差必 须相等，由于场强大的地方产生相同的电势差所需的 距离小，而场强小的地方产生相同的电势差所需的距 离大，这样就会形成场强大的地方等势面密集，而场 强小的地方等势面稀疏。
二. 电势与电场强度的关系
取两个相邻的等势面，等势面法线方向为
en，设
E的方向与
e en
y2 x2 2 0 L
y2 L2 / 4 )
y
求电场强度的三种方法
从点电荷场强公式出发，根据场强叠加原理 利用高斯定理 利用电势梯度与电场强度的关系
电势计算的两种方法：
由点电荷电势公式，利用电势叠加原理计算
V q
4 0 r
根据已知的场强分布，按定义计算
"0"
VP E • dl
P
例 、利用电场强度与电势的关系求电偶极子电场中 任一点P的电场强度
Y
uP
u1
u2
q
4 0 r1
q
4 0 r2
q(r2 r1)
4 0 r1r2
r2
•P( x, y)
r l r2 r1 l cos r1r2 r 2
r r1
q l cos uP 40 r 2
q O q
l x
X
由于
p
ql
uP
1
40
p•r r3
θ0
θπ
θπ 2
1p V 4πε0 r 2
V
1 4πε0
p r2
V 0
Y
P(x, y)
•
r2
r r1
q O q
X
l x
Y
Ex
V x
p 4πε0
y2 2x2 (x2 y2 )5/2
P(x, y)
•
r2
Ey
V y
p 4πε0
3xy (x2 y2 )5/2
r r1