考研数学寒假作业

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2021版考研数学寒假作业(含参考答案)

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二、填空题（请将答案写在指定位置上）
6、已知 f (x) ex2 ， f g (x) 1 x ，且 g(x) 0 ，则 g(x) ___________
7、设 f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且图形关于直线 x 2 对称，则 f (x) 的周期为______
8、设
g(x)
a
的值，使极限
lim
x0
3
ex
2
1 e x
ln(1 sin
ax) x
存在。
12、证明：若 f (x) 在 (, ) 上连续，且 lim f (x) A ，则 f (x) 在 (, ) 上 x
二、填空题（请将答案写在指定位置上）
6、设
f
(x)
e2 x
x 3x
1,
x
x sin t 2dt
0
x3
,x
0 0
，则
lim
x0
f
( x)
____________
1
7、
lim
x0
2
ex
4
1 e x
sin x
x
______________
8、已知
f
(x)
lim
n
1 x 1 x2n
（A） f (x) lg x2 ， g(x) 2lg x
（B） f (x) x ， g(x) x2
（C） f (x) 3 x4 x3 ，g(x) x 3 x 1
（D） f (x) x 1 ，g(x) x2 1 x 1
2、已知函数 f (x 1) x ，则 f 1(x 1) （） x 1
（A） 1 x
x
（B）
1 x

22届考生考研数学寒假作业高等数学第二章(新大纲精编版,含真题与详解)

考研数学寒假作业2第二章一元函数微分学习题（解答在后面）1.设函数()()()2()12x x nxf x e e en =---,其中n 为正整数，则(0)f '=（）.（A ）()()111!n n ---（B ）()()111!n n ---（C ）()11!n n --（D ）()1!nn -2.设(1)(),(0)(,0)f x af x f b a b '+==≠, 求(1)f '.3. 设函数在处可导，且，则（）. （A ）（B ）（C ）（D ）4.设函数在处连续，且，则（）.(A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在5.设2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax bf x e --→∞++=+，问a 与b 为何值时，()f x 可导，并求()f x '． 6.曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）.（A ）4e （B ）3e （C ）2e （D ）e7. 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，0x ∆>，则（）. （A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<< (D)0dy y <∆<8.设()f x 可导且01'()2f x =，则0x ∆→时，()f x 在点处的微分dy 是（）. A.与x ∆等价的无穷小 B.与x ∆同阶的无穷小 C.比x ∆低阶的无穷小 D.比x ∆高阶的无穷小9.设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩，()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（）. （A ）极限不存在（B ）极限存在，但不连续)(x f 0=x 0)0(=f =-→3320)(2)(limx x f x f x x )0(2f '-)0(f '-)0(f '0()f x 0x =()22lim1h f h h→=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且0x（C ）连续，但不可导(D)可导10.设函数可微，，则(1)g 等于（）.（A ）ln 31-.（B ）（C ）ln 2 1.--（D ）11.已知是由方程确定，则（）.（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-212.设是由方程所确定的隐函数，求22x d ydx=.13.求sin (0)x y x x =>的导数.14.求函数y =的导数.15.曲线上对应于处的法线方程为________．16.设函数，则________.17.求函数在处的阶导数()(0)n y .18. 44sin cos y x x =+，求()n y.19. 已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加，则当12l cm =,5w cm =时，它的对角线增加的速率为___________．20. 设函数)(x f 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，，证明：在()0,1内存在，使得．21.证明：当0x >时,ln(1)1xx x x<+<+. 22.证明：当0b a <<时，bba b a a b a -<<-ln . 23.设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()g x 1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===ln3 1.--ln 2 1.-()x f y =()1ln cos =+-x y xy =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n ()y y x =21yx y e -+=⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 1=t 123y x =+()(0)n y =)1ln(2x x y +=0=x )3(≥n n 0)1(=f ξξξξ)()(f f -='24.求.sin 2lim 0xx xe e x x x ----→25..26.求极限.27. 计算.28.求极限29.证明：当时，. 30. 证明方程在区间内有两个实根. 31. 讨论曲线与的交点个数. 32. 函数的驻点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）333. 设，则的零点个数为（）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）334.求函数的极值 .35.求的在上的最大值与最小值. 36. 设函数 ⑴求的最小值； ⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限．37.曲线的拐点为______.38.求椭圆在点处的曲率及曲率半径.39. 假设某公司每天生产某商品单位时的固定成本为元,边际成本函数为11ln lim (1)x xx e →+∞-xx x 2tan 4)(tan lim +→π403cos 2lim 2x x e x x -+→)]1ln([cos lim222x x x ex x x -+--→0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++1ln -=exx ),0(+∞4ln y x k =+44ln y x x =+)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f 2()(1)(2)f x x x x =--()f x '32)1()4()(+-=x x x f 14123223+-+=x x x y ]4,3[-xx x f 1ln )(+=)(x f {}n x 11ln 1<++n n x x n n x ∞→lim 23(5)y x x =-⎩⎨⎧==t b y ta x sin cos ),0(b Q 40（元/单位）.求（I ）总成本函数及最小平均成本;（II ）若该商品的销售价格为元,且商品全部售出,问每天生产多少单位该商品时获得最大利润,最大利润是多少?（Ⅲ）当时的边际利润,并解释其经济意义.第二章一元函数微分学答案1.设函数()()()2()12x x nxf x e e en =---,其中n 为正整数，则(0)f '=（）.（A ）()()111!n n ---（B ）()()111!n n ---（C ）()11!n n --（D ）()1!nn -分析 (0)0f =，0x →时，1~xe x -，所以用导数定义求(0)f '简单.解()()()()()210012()(0)(0)lim lim11!0x x nxn x x e e en f x f f n x x-→→----'===---，所以选（A ）.2.设(1)(),(0)(,0)f x af x f b a b '+==≠, 求(1)f '. 分析抽象函数求导数必须用导数的定义式. 解 000(1)(1)()(0)()(0)(1)limlim lim (0)x x x f x f af x af f x f f a af ab x x x→→→+---''=====. 考点2 利用导数定义求极限方法：()y f x =在点0x 处可导，则极限0000()()lim()h f x h f x f x h→+-'=存在.3. 设函数在处可导，且，则（）. （A ）（B ）（C ）（D ）分析)(x f 在0=x 处可导，则极限0(0)(0)lim(0)h f h f f h→+-'=，再求所给极限.()0.22C Q Q '=+()C Q 2060Q =)(x f 0=x 0)0(=f =-→3320)(2)(limx x f x f x x )0(2f '-)0(f '-)0(f '0解)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则极限00(0)(0)()limlim (0)h h f h f f h f h h→→+-'== 2333300()2()()()lim lim(2)(0)x x x f x f x f x f x f x x x →→-'=-=-.所以选（B ）. 4.设函数在处连续，且，则（）.(A) 存在 (B) 存在 (C) 存在 (D)存在分析由连续及左右导数的定义即可得到答案.解()f x 在0x =处连续⇒()()0lim 0x f x f →=；()()222lim1lim 0h h f h f h h →→=⇒=从而()()0lim 00x f x f →==()()()222201limlim(0)h h f h f h f f hh+→→-'===，所以选(C).5.设2(1)(1)()lim 1n x n x n x e ax b f x e --→∞++=+，问a 与b 为何值时，()f x 可导，并求()f x '．分析由连续及左右导数的定义即可得到答案. 解：1x >时，(1)lim n x n e -→∞=+∞；1x <时，(1)lim 0n x n e -→∞=；2,11(),12,1x x a b f x x ax b x ⎧>⎪++⎪∴==⎨⎪+<⎪⎩.由1x =处连续性得：11lim ()lim ()11x x f x f x a b -+→→==⇒+=. 由1x =处可导性得：(1)(1)f f -+''=，111(1)2(1)lim lim 11x x a b ax b ax b f f a x x ---→→+++-+-'===--， ()f x 0x =()22lim1h f h h→=()()000f f -'=且()()010f f -'=且()()000f f +'=且()()010f f +'=且21(1)(1)lim 21x x f f x ++→-'==-，故2a =.那么2a =，1b =.于是2, 1()1, 121,1x x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩， 2,1()2, 1x x f x x ≥⎧'=⎨≤⎩.6.曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则a =（）.（A ）4e （B ）3e （C ）2e （D ）e分析曲线2y x =与曲线ln (0)y a x a =≠相切，则它们有共同的切点及斜率，从而解出a解因与相切，故. 在上，时，.在上，时，. ln ln 1e 2e 22222a a a a aa ⇒=⋅⇒=⇒=⇒=，所以选择（C ）7. 设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，0x ∆>，则（）. （A ）0dy y <<∆（B ）0y dy <∆<（C ）0y dy ∆<< (D)0dy y <∆<分析本题考查y ∆与dy 的关系，可通过画()y f x =的图像得到答案，也可举例得到答案. 解()2(),0,y f x x x ==∈+∞，且()0,()0f x f x '''>>，0x ∆>，则选项（A ）正确. 8.设()f x 可导且01'()2f x =，则0x ∆→时，()f x 在点处的微分dy 是（）. A.与x ∆等价的无穷小 B.与x ∆同阶的无穷小 C.比x ∆低阶的无穷小 D.比x ∆高阶的无穷小分析考查微分的计算公式和无穷小的关系.解应选（B ）.由于()f x 在点的微分则 2x y =)0(ln ≠=a x a y 212a x x a x =⇒⋅=2x y =2ax =2a y =)0(ln ≠=a x a y 2a x =2lnaa y =2ln 21a a =0x 0x 001'()'(),2dy f x dx f x x x ==∆=∆则当时，与为同阶无穷小.9.设20()(),0x f x x g x x >=≤⎩，()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（）. （B ）极限不存在（B ）极限存在，但不连续（C ）连续，但不可导(D)可导分析应先计算()f x 在0x =处的导数，如果可导则连续从而极限存在，解()()20000()(0)limlim lim ()00x x x f x f x g x f xg x x x----→→→-'====- ()()2330002201cos 2(0)lim lim lim 00x x x x f x f x f x x x ++++→→→--'====- 所以(0)0f '=，则选(D). 10.设函数可微，，则(1)g 等于（）.（A ）ln 31-.（B ）（C ）ln 2 1.--（D ）分析先求()h x 的导数，再代入已知条件可得(1)g . 解 ∵ ，,(1)ln 21g =--，因此选（C ）.11.已知是由方程确定，则（）.（A ）2 （B ）1 （C ）-1 （D ）-2 分析给方程两边对x 求导，得到'(0)f ，再由导数求极限. 解将代入方程得，在方程两边对x 求导，00112lim lim 2,x x xdy x x ∆→∆→∆==∆∆0x ∆→dy x ∆()g x 1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===ln3 1.--ln 2 1.-1()()()g x h x g x e +''=1(1)12g e+=()x f y =()1ln cos =+-x y xy =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛∞→12lim n f n n 0=x 1)0(==f y得，代入1,0==y x ，知1)0(')0('==f y ． 2)0('22)0()2(lim 212lim ==-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→∞→f nf n f n f n n n ，故应该选（A ）． 12.设是由方程所确定的隐函数，求22x d ydx=.分析给方程两边对x 求导得到一个新的方程，再给新的方程两边对x 求导，解出202x d ydx=解将代入原方程可得方程21yx y e -+=两端对x 求导，有2y dy dy x e dx dx-=（1）将0x =、0y =代入方程（1）可得，所以0x dy dx ==.再次求导得（2）再将、0y =、0x dydx==代入方程（2）可得221x d ydx==．13.求sin (0)x y x x =>的导数.分析利用幂指函数求导的方法，求其导数. 解法1 两边取对数,得ln sin ln y x x =上式两边对x 求导,得11cos ln sin y x x x y x'=⋅+⋅, 于是sin 1sin (cos ln sin )(cos ln )xxy y x x x xx x xx'=⋅+⋅=⋅+. 解法2sin ln x x y e =)sin ln (cos )ln (sin sin ln sin xx x x x x x e y x x x +⋅='⋅='⋅.01')')(sin(=+-+-yy xy y xy ()y y x =21yx y e -+=0x =0y =222222y y d y dy d y e e dx dx dx ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭0x =14.求函数y =的导数.分析两边取对数，再求导. 解先在两边取对数(假定4x >),得[ln()(1ln 1ln 2ln )(3ln )],()42y x x x x =-+-----上式两边对x 求导,得111111()21234y y x x x x '=+------, 于是1111()21234y y x x x x '=+------. 当1x <时,y =; 当23x <<时,y =用同样方法可得与上面相同的结果.注：严格来说,本题应分4,1,23x x x ><<<三种情况讨论,但结果都是一样的.15.曲线上对应于处的法线方程为________．分析先求参数方程所确定函数的导数，再求法线方程.解当时，，1|111|'1221=++===t t t t ty ，所以法线方程为)4(12ln 21π--=-x y ．16.设函数，则________.分析先一阶一阶求函数的导数，再总结规律；也可套用公式()()()()1(1)n n n ax b n x a ααααα-⎡⎤+=---⋅⎣⎦解法一 ()()()()()()123223,1232,12232,y x y x y x ---'''=+=-+⋅=--+⋅()()()()43123232y x -'''=---+⋅则，故. 解法二 ()123,1,2y x a α-=+=-=，⎪⎩⎪⎨⎧+==21ln arctan ty tx 1=t 1=t 2ln 21,4==y x π123y x =+()(0)n y =()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=代入公式()()()()1(1)()n n n ax b n ax b a ααααα-⎡⎤+=---+⋅⎣⎦，得()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 17.求函数在处的阶导数()(0)n y .分析因为()()()203k x k =≥且函数是两个函数积的n 阶导数，所以考虑用莱布尼茨公式∑=-=nk k k n k n n v u C uv 0)()()()(求()n y .解 []()()()11!ln(1)1(1)n n nn x x --+=-+[][]()[]()()(1)(2)()021222ln(1)ln(1)ln(1)n n n n n n n y C x x C x x C x x --'''=+++++()()()()()()1232121!2!3!(1)11212(1)(1)2(1)n n n nn n n n n n n x n x x x x ---------=-⋅+⋅-⋅+-⋅+++1()(1)!(0)2n n n y n --=-.18. 44sin cos y x x =+，求()n y .分析先降幂，再求导.解4422222sin cos (sin cos )2sin cos y x x x x x x =+=+-2111cos4311sin 21cos422244x x x -=-=-=+.∴()14cos(4)2n n y x n π-=+⋅.19. 已知一个长方形的长l 以2/cm s 的速率增加，宽w 以3/cm s 的速率增加，则当12l cm =,5w cm =时，它的对角线增加的速率为___________．分析利用参数方程所确定函数的求导. 解设()(),,t y w t x l ==由题意知，在0t t =时刻()120=t x ，，且，又()s t =)1ln(2x x y +=0=x )3(≥n n ()50=t y ()()3,200='='t y t x所以()x t x t y t y t s t ''+'=所以()03x t x t y t y t s t ''+'===.20. 设函数)(x f 在[]0,1上连续，在()0,1上可导，，证明：在()0,1内存在，使得．分析()()()()()0f f F f f ξξξξξξξ'''=-⇒=+=()()()0()()()()()F x f x xf x F x f x xf x F x xf x ''''⇒=+=⇒=+⇒=证令()()F x xf x =，则()F x 在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且 (0)0(0)0,(1)1(1)0F f F f ====,()()()F x f x xf x ''=+.由罗尔定理知，存在，使得()()()0F f f ξξξξ''=+=，即．21.证明：当0x >时,ln(1)1xx x x<+<+. 分析给ln(1)1x x x x<+<+两边同除以x 得到1ln(1)ln(10)110x x x +-+<<+-，将ln(1)x +中的x 换为t 得到函数()ln(1)f t t =+，函数()ln(1)f t t =+在区间[]0,x 上满足拉格朗日中值定理的条件，得到结论()(0)()0f x f f x ξ-'=-，再利用()f t '的单调性得到所证不等式.证设()ln(1)f t t =+,显然()f t 在[]0,x 连续，在()0,x 上可导，由拉格朗日中值定理知，()0,x ξ∃∈，使得()(0)ln(1)ln(10)ln(1)1()001f x f x x f x x x ξξ-+-++'====--+.0)1(=f ξξξξ)()(f f -=')1,0(∈ξξξξ)()(f f -='由于()11f t t'=+在区间[]0,x 单调递减，因此1ln(1)11()11110x f x x ξξ+'<==<=+++，所以x x xx <+<+)1ln(1.22.证明：当0b a <<时，bba b a a b a -<<-ln . 分析由b b a b a a b a -<<-ln 得到1ln ln 1a b a a b b-<<-，将ln a 中的a 换为x 得到函数()ln f x x =，函数()ln f x x =在区间[],b a 上满足拉格朗日中值定理的条件，得到结论()()()f a f b f a bξ-'=-，再利用()f t '的单调性得到所证不等式.证: 令()ln f x x =，()f x 在[],b a 上连续，在(),b a 内可导，由拉格朗日中值定理知，存在(),b a ξ∈，使()ln ln 1a b f a b ξξ-'==-，由于()1f x x'=在[],b a 上单调递减，所以1ln ln 11()a b f a a b b ξξ-'<==<-，即bb a b a a b a -<<-ln .23.设)(x f 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，证明：在(0,1)内至少存在一点ξ，使得()()()210f f f ξξ'=-⎡⎤⎣⎦.分析将结论变形为()()2210()102f f f ξξ-'=-，得到()f x ，2()g x x =，函数()f x ，2()g x x =在[0,1]上满足柯西中值定理的条件，从而得到所证结论. 证令2()g x x =，()f x ，2()g x x =在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，由柯西中值定理知在),(b a 内至少存在一点ξ ,使得(1)(0)()(1)(0)()f f fg g g ξξ'-='-即()(1)(0)2f f f ξξ'-=，所以()()()210f f f ξξ'=-⎡⎤⎣⎦ 24.求.sin 2lim 0xx xe e x x x ----→分析该极限为型且分子分母分别求导数后的极限也存在，所以可以使用洛必达法则. 解xx x e e x x x sin 2lim 0----→x e e x x x cos 12lim 0---=-→x e e x x x sin lim 0-→-=x e e xx x cos lim 0-→+=.2= 25..分析该极限为型，先取对数，再使用洛必达法则.解26.求极限.分析该极限为型，先取对数，再使用洛必达法则.解. 27. 计算.分析将分子中的函数，展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，再求极限.解从而11ln lim (1)x xx e →+∞-001211111ln 111limlimln(1)11lim1ln 1lim (1)x x x x x x xx xx e x xe e e xxe x e eeee →+∞→+∞→+∞⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭--⋅---→+∞-====xx x 2tan 4)(tan lim +→π∞144ln tan lim lim (sin 2)cot 2tan 2tan 2ln tan 1441lim (tan )lim x x x x xxx xx x x eeee eππππ++→→++-⋅-→→=====403cos 2lim 2x x e x x -+→cos x 2x e 2x e ),(!211442x o x x +++=x cos ),(!4!21442x o x x ++-=∴3cos 22-+x e x ),(!412!2144x o x +⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=403cos 2lim 2xx e x x -+→4440)(127lim x x o x x +=→.127=28.求极限分析将分子分母中的函数，，展开到相互抵消剩下第一项加上该项的高阶无穷小，但幂函数不展开，再求极限.解 . 29.证明：当时，. 分析由所证结论知，只需证明，从而得到.证令，严格单调减少又故时，，在上单调增加（严格），所以.30. 证明方程在区间内有两个实根. 分析令欲证题设结论等价于证在内有两个零点. 证设令因故在内有一零点.)]1ln([cos lim222x x x ex x x -+--→cos x 22x e -ln(1)x -2224244222002321()[1()]22422!cos lim lim [ln(1)][()]2x x x x x x x o x o x x e xx x x x x x o x -→→-⎛⎫⎪⎡⎤⎝⎭-++--++⎢⎥-⎣⎦+---+＝444052()124lim 6()2x x o x x o x →-+==-+0a b π<<<sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++()sin 2cos f x x x x x π=++()()0,0,f x x π'>∈()()f b f a >()sin 2cos f x x x x x π=++()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<()f x '∴()cos 0f ππππ'=+=0x π<<()0f x '>()f x ()0,π()()f b f a >1ln -=exx ),0(+∞,1ln )(+-=exx x f )(x f ),0(+∞,1ln )(+-=exx x f 011)(=-='ex x f ⇒.e x =,1)(=e f ,)(lim 0-∞=+→x f x )(x f ),0(e又因在内故在内单调增加，这零点唯一. 因此, 在内有且仅有两个零点. 31. 讨论曲线与的交点个数.分析求曲线与的交点个数即是求方程根的个数.解令，为驻点.当时，；当时，，故为的最小值.当，即时，，两个曲线无交点.当，即时，，两个曲线仅有一个交点.当，即时，故仅有两个根，分别再与内，两个曲线仅有两个交点. 32. 函数的驻点个数为（）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 分析求，再求的点. 解由，得驻点个数为233. 设，则的零点个数为（）.（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3),0(e ,0)(>'x f )(x f ),0(e )(x f ),0(+∞4ln y x k =+44ln y x x =+4ln y x k =+44ln y x x =+4ln 4ln 40x x x k -+-=4()ln 4ln 4f x x x x k =-+-33444(ln 1)()ln 4x x f x x x x x-+'=-+=1x =01x <<()0f x '<1x >()0f x '>(1)4f k =-()f x (1)40f k =->4k <4()ln 4ln 4(1)0f x x x x k f =-+-≥>(1)40f k =-=4k =4()ln 4ln 4(1)0f x x x x k f =-+-≥=(1)40f k =-<4k >300lim ()lim ln (ln 4)4x x f x x x x k ++→→⎡⎤=⋅-+-=+∞⎣⎦3lim ()lim ln (ln 4)4x x f x x x x k →+∞→+∞⎡⎤=⋅-+-=+∞⎣⎦()f x ()0,1()1,+∞)3)(2)(1(ln )(---=x x x x f ()f x '()0f x '=3ln 2ln 1ln )3)(2)(1(ln )(-+-+-=---=x x x x x x x f ()()()211131211()0123123x x f x x x x x x x -+'=++==------2()(1)(2)f x x x x =--()f x '分析求，再求的点.解，，得驻点个数为3.34.求函数的极值 .分析求，再求导数等于零的点及导数不存在的点，由的正负判断极值点. 解在内连续,;令,得驻点;为的不可导点;极大值为,极小值为.35.求的在上的最大值与最小值.分析求的驻点及驻点处函数值，并与端点处的函数值比较，从而的到最值. 解解方程得计算比较得最大值最小值 36. 设函数 ⑴求的最小值； ⑵设数列满足，证明极限存在，并求此极限．分析求的驻点，由一阶导的正负得到单调区间，从而的到最小值；利用单调有界数列必有极限证明极限存在，并求此极限.解（1），令，得唯驻点，()f x '()0f x '=432()32f x x x x =-+2()(494)0f x x x x '=-+=32)1()4()(+-=x x x f ()f x '()f x '()f x (),-∞+∞313)1(5)(+-='x x x f ()0f x '=1x =1x =-()f x (1)0f -=343)1(-=f 14123223+-+=x x x y ]4,3[-()f x ),1)(2(6)(-+='x x x f ,0)(='x f .1,221=-=x x ;23)3(=-f ;34)2(=-f ;7)1(=f ;142)4(=f ,142)4(=f .7)1(=f xx x f 1ln )(+=)(x f {}n x 11ln 1<++n n x x n n x ∞→lim ()f x n n x ∞→lim 22111)('xx x x x f -=-=0)('=x f 1=x当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增．所以函数在处取得最小值．（2）证，但，所以，故数列单调递增又由于，得到，数列有界.由单调有界收敛定理可知极限存在．令，则，而所以．37.曲线的拐点为______.分析求等于零及不存在的点，判断等于零及不存在的点左右邻域内的正负，若异号则为拐点，若同号则不是拐点.解，，，时，；时，不存在在左右附近异号，在左右附近，且故曲线的拐点为.38.求椭圆在点处的曲率及曲率半径.分析先计算给定点处参数方程所确定函数的一阶和二阶导数值，带入公式直接计算. 解点对应的参数由于)1,0(∈x 0)('<x f ),1(∞∈x 0)('>x f 1=x 1)1(=f 11ln 1<++n n x x 11ln ≥+n n x x nn x x 111<+{}n x 11ln ln 1<+≤+n n n x x x e x n <<0{}n x n n x ∞→lim a x n n =∞→lim 11ln 1ln lim 1≤+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++∞→a a x x n n n 11lim ln ln 1n n n x a x a →∞⎛⎫+=+≥ ⎪⎝⎭1lim ==∞→a x n n 23(5)y x x =-()f x ''()f x ''()f x ''()f x ''5325y xx =-23131351010(2)333x y x x x -+'=-=134343101010(1)999x y x x x --+''=+=1x =-0y ''=0x =y ''1x =-y ''0x =0y ''>(1)6y -=-(1,6)--⎩⎨⎧==t b y ta x sin cos ),0(b ),0(b ,2π=t故将代入得由曲率公式,有所求曲率半径为39. 假设某公司每天生产某商品单位时的固定成本为元,边际成本函数为（元/单位）.求（I ）总成本函数及最小平均成本;（II ）若该商品的销售价格为元,且商品全部售出,问每天生产多少单位该商品时获得最大利润,最大利润是多少?（Ⅲ）当时的边际利润,并解释其经济意义. 分析直接根据经济数学概念和术语求解. 解（I ）因为,所以总成本函数为平均成本为即令得(舍去); 由于实际问题,故当时,平均成本最小,且最小平均成本为（II ）总收益函数总利润函数,sin )(t a dtdxt -=='ϕ,cos )(t a t -=''ϕ,cos )(t b dtdyt =='ψt b t sin )(-=''ψ2π=t ,2a dtdx -==⎪⎭⎫ ⎝⎛'πϕ,02=⎪⎭⎫ ⎝⎛''πϕ,02==⎪⎭⎫ ⎝⎛'dt dy πψ,2b -=⎪⎭⎫ ⎝⎛''πψ2/2/322)]()([|)()()()(|πψϕψϕψϕ='+''''-'''=t t t t t t t K 2ab =.2ba R =Q 40()0.22C Q Q '=+()C Q 2060Q =()0.22C Q Q '=+20()()d 40(0.22)d 400.1240,Q QC Q C t t t t Q Q '=+=++=++⎰⎰()40()0.12,C Q C Q Q Q Q==++240()0.1,C Q Q'=-()0,C Q '=1220,20Q Q ==-11203801()0,100Q C Q Q =''==>120Q =2040(20)0.12 6.Q C Q Q =⎛⎫=++= ⎪⎝⎭()20,R Q Q =令得;由于实际问题,故每天生产90单位产品时获得最大利润,且最大利润为(元).（Ⅲ）(元),其经济意义为: 销售第61件该商品时所得利润为6元.2()()()180.140,L Q R Q C Q Q Q =-=--()180.20,L Q Q '=-=190Q =90()0.20,Q L Q =''=-<()290(90)180.140270Q L Q Q ==--=60(60)180.26Q L Q ='=-=。

数学寒假作业2023年2月1日-2日(综合试题)

……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………绝密★启用前数学寒假作业2023年2月1日-2日（综合试题）注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列图形中，不具有稳定性的是( ) A. 等腰三角形B. 平行四边形C. 锐角三角形D. 等边三角形2. 下面的轴对称图形中，对称轴数量最多的是( ) A.B.C.D.3. 下面的计算正确的是( ) A. (ab)2=ab 2B. (ab)2=2abC. a 3⋅a 4=a 12D. (a 3)4=a 124. 当x =−2时，下列分式没有意义的是( ) A. x−2x+2B. xx−2C.x+22xD. x−2−2x5. 如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是( )A. 115°B. 65°C. 40°D. 25°6. 计算(2x −1)(x +2)的结果是( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 2x 2+x −2B. 2x 2−2C. 2x 2−3x −2D. 2x 2+3x −27. 设等腰三角形的一边长为5，另一边长为10，则其周长为( ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 20或258. 如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC ，交BC 于点D ，CD =6，AB =12，则△ABD 的面积是( )A. 18B. 24C. 36D. 729. 如图，将△ABC 沿着DE 减去一个角后得到四边形BCED ，若∠BDE 和∠DEC 的平分线交于点F ，∠DFE =α，则∠A 的度数是( )A. 180°−αB. 180°−2αC. 360°−αD. 360°−2α10. 若正整数m 使关于x 的分式方程m(x+2)(x−1)=xx+2−x−2x−1的解为正数，则符合条件的m 的个数是( )……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 2B. 3C. 4D. 5第II 卷（非选择题）二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 红细胞也称红血球，是血液中数量最多的一种血细胞，也是我们体内通过血液运送氧气的最主要的媒介，同时还具有免疫功能．红细胞的直径单位一般用微米(μm)，1μm =0.000001m ，人类的红细胞直径通常是6μm ～8μm.6μm 用科学记数法可以表示为 m.12. 在一场足球比赛中，运动员甲、乙两人与足球的距离分别是8m ，17m ，那么甲、乙两人的距离d 的范围是．13. 化简：3y 2x−2y +2xyx 2−xy 的计算结果是．14. 把多项式x 2−6x +m 分解因式得(x +3)(x −n)，则m +n 的值是．15. 如图，在四边形中ABCD 中，BD 平分∠ABC ，∠DAB +∠DCB =180°，DE ⊥AB 于点E ，AB =8，BC =4，则BE 的长度是．16. 若|2x −4|+(y +3)2=0，点A(x,y)关于x 轴对称的点为B ，点B 关于y 轴对称的点为C ，则点C 的坐标是．三、计算题（本大题共1小题，共4.0分）……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………17. 计算：(结果用幂的形式表示)3x 2·x 4−(−x 3)2．四、解答题（本大题共8小题，共68.0分。

2023年初三必备数学寒假作业大全

2023年初三必备数学寒假作业大全初三数学寒假练习测试题一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)1.已知反比例函数的图象经过点(1，-2)，则这个函数的图象一定经过点( ▲ )A.(2，1) B.(2，-1) C.(2，4) D.(-1，-2)2.抛物线y=3(x-1)2+2的顶点坐标是( ▲ )A.(-1，-2)B.(-1，2)C.(1， 2)D.(1，-2)3. 如图，点A、B、C在⊙O上，若∠C=35°，则的度数为( ▲ )A.70°B.55°C.60°D.35°4. 如图，在直角△ABC中，∠C=90°，若AB=5，AC=4，则tan∠B=( ▲ )(A)35 (B)45 (C)34 (D)435.如图，在⊙O中,AB是弦，OC⊥AB于C，若AB=16， OC=6，则⊙O的半径OA等于( ▲ )A.16B.12C.10D.86.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒。

当你抬头看信号灯时，看到黄灯的概率是( ▲ )A、 B、 C、 D、7.如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为( ▲ )A.3B.4C.5D.68. 如图，小正方形的边长为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是( ▲ )9.下列图形中四个阴影三角形中,面积相等的是( ▲ )10.函数y1=x(x≥0)，y2=4x(x 0)的图象如图所示，下列四个结论：①两个函数图象的交点坐标为A (2，2); ②当x 2时，y1 ③当0﹤x﹤2时，y1 ④直线x=1分别与两函数图象交于B、C两点，则线段BC的长为3; 则其中正确的结论是( ▲ )A .①②④ B.①③④ C.②③④ D.③④二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11.扇形半径为30，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，则圆锥底面半径为▲ 。

24考研寒假规划数学

24考研寒假规划数学1. 寒假前的准备阶段（5天）在寒假开始前，我将充分利用时间进行准备。

首先，我会将之前考研数学的知识进行复习梳理，回顾重点内容，并做一些习题巩固记忆。

其次，我会熟悉考研数学的考试形式和内容要求，了解考研数学的命题特点和出题规律，为后续的备考做好准备。

2. 每天的学习计划（20天）寒假期间，我每天安排8个小时用于数学学习，将时间分配得合理充分。

我计划每天早上起床后先进行数学基础知识的复习，包括概念定义、公式推导等，巩固基础。

然后，我会进行针对性的学习，分析各个知识点的考点，重点攻克难点，解决疑难问题。

下午，我会进行大量的练习题，对于每一类题型都进行分类整理，并选择一些典型例题进行解题训练，提高解题能力。

晚上，我会再次进行知识点的总结和复习，做一些错题的反思和纠正。

每隔两天，我会进行模拟考试，以检验自己的进步情况。

3. 学习资料的准备和使用为了能够更好地备考数学，我会尽量收集一些高质量的学习资料，并合理地利用这些资料。

在梳理知识点和做习题方面，我会选择一本权威教材进行学习，如高数、线代、概率论等。

在习题集的选择上，我会找到一本题量较大，题型较全面的习题集，并根据自己的情况进行合理挑选。

4. 寒假期间的放松和休息虽然寒假是备考的重要时间段，但过度的学习压力和长时间的紧张状态会对身心健康产生不良影响。

因此，我会在每天的学习计划中适当留出休息时间，如午休或做一些感兴趣的非学习活动，以保持身心健康。

此外，我也会安排一些社交活动，与同学或朋友进行交流，以缓解学习带来的压力，保持良好的心态。

5. 参加线下培训班和讲座为了提高备考效果，我计划利用寒假期间参加一些线下的考研培训班和数学讲座。

这不仅可以帮助我系统地学习和掌握考研数学的知识，同时也可以结识一些志同道合的学习伙伴，互相鼓励和帮助。

在讲座中，我也能够听到一些专家的分享和经验，对备考有着积极的促进作用。

6. 假期结束后的总结和复习（3天）在寒假即将结束的时候，我会进行一次系统的总结和复习。

初中数学特色寒假作业

初中数学特色寒假作业
一、数学日记
请同学们在寒假期间选择一个你感兴趣的数学话题，撰写一篇数学日记。

可以记录你在生活中的数学发现，或者描述一个你解决数学问题的过程。

字数要求在500字以上。

二、数学小制作
请同学们利用数学知识制作一个小作品，例如：设计一个几何图形作为你的房间壁画，或者制作一个利用数学原理的小玩具。

请拍照记录你的制作过程，并写下你的设计思路和所用到的数学知识。

三、数学电影观看
观看一部与数学有关的电影，例如《美丽心灵》或《博士的热学理论》。

观看后，写一篇观后感，谈谈你对电影中数学元素的看法，以及它如何影响了主角的命运。

四、数学游戏
设计一个简单的数学游戏，可以是扑克牌游戏，或者其他的数学游戏。

游戏规则需要用到至少一个数学知识。

然后邀请家人和朋友一起玩，记录游戏过程和结果。

五、数学知识小讲座
选择一个你擅长的数学知识，为家人或朋友做一个小讲座。

可以是三角形、圆、一次方程等等。

讲解时要尽可能生动有趣，可以用实例来说明你的观点。

六、数学小论文
选择一个你感兴趣的数学话题，写一篇小论文。

可以是一个数学定理的证明，或者是对某个数学问题的探究。

要求论文结构清晰，逻辑严谨。

七、数学实践
在日常生活中寻找数学应用的实例，例如购物时计算折扣、规划旅行路线等。

记录这些实例，并写下你的思考和体验。

八、数学挑战题
设计一道有挑战性的数学题，可以是几何题、代数题或概率题。

然后寻找解答方法，并记录你的解题过程。

2020年考研数学寒假作业之概率论与数理统计部分

2020年考研数学寒假作业之概率论与数理统计为梦想而战需要勇气与行动（csy）第一章1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.2、设P （A ）=1/4，P （A-B ）=1/8，且A 、B 独立。

求：P （B ）、P （A ∪B ）。

3、设事件A 与B 互不相容，且q B P p A P ==)(,)(，求下列事件的概率：)(),(),(),(B A P B A P B A P AB P ⋃。

4、设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问两球都为白球的概率是多少？5、某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3 ：2。

甲的中奖率为0.1，乙的中奖率为0.3 。

任购1张彩票，求中奖的概率。

6、设A 、B 是随机事件，()7.0=A P ，()3.0=-B A P ，求()AB P ．7、已知男人中有5.4%是色盲患者，女人中有0.27%是色盲患者．并且某学校学生中男、女生的比例为2∶1，现从这批学生中随机地选出一人，发现此人是色盲患者，试问此人是男生的概率为多少？8、掷2颗均匀的骰子，令：{}第一颗骰子出现4点=A ，{}和为7两颗骰子出现的点数之=B ． ⑴ 试求()A P ，()B P ，()AB P ；⑵ 判断随机事件A 与B 是否相互独立？9、甲、乙、丙三人独立地破译一份密码．已知甲、乙、丙三人能译出的概率分别为51、31、41． ⑴ 求密码能被破译的概率．⑵ 已知密码已经被破译，求破译密码的人恰是甲、乙、丙三人中的一个人的概率．第一章答案1、设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2.求P （AB ）、P （A-B ）.解：P （AB ）= P （A ）+P （B ）- P （A ∪B ）=1/12P （A-B ）= P （A ）-P （AB ）=1/42、设P （A ）=1/4，P （A-B ）=1/8，且A 、B 独立。

2024年寒假作业数学

2024年寒假作业数学
2024年寒假，数学作业可能会涉及到多个主题和领域。

首先，
可能涉及到代数，包括解方程、因式分解、多项式运算等内容。

此外，几何学也是数学作业的常见内容，可能涉及到平面几何、立体
几何、三角形、圆等内容。

另外，数学分析领域的作业可能包括函数、极限、导数、积分等。

概率论和统计学也是数学作业可能涉及
的内容，包括概率计算、统计分析、抽样调查等。

除此之外，还可
能涉及到数学建模、解析几何、数论等其他领域的作业。

总的来说，数学作业可能涉及到多个不同领域的内容，需要学生综合运用数学
知识进行解答和计算。

希望这些信息能够帮助你更好地理解2024年
寒假数学作业可能涉及的内容。

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