代数式及整式运算
中考数学复习第四节 代数式及整式运算
第四节代数式及整式运算本节知识导图河北中考命题规律考什么怎么考考点年份题号题型考查方式考频命题趋势代数式2019 18 填空题通过示例列代数式并求值5年1考主要考查代数式求值及整式的运算，以幂的运算为主．预计2020年仍会考查代数式求值及整式运算2018 12 选择题将铁丝围成的正方形向外扩1cm，确定铁丝增加的长度5年1考2018 18 填空题相反数与平方差公式结合求值5年3考2019 21 解答题整式化简2018 20 解答题整式化简，去括号和合并同类项2017 22 解答题以“发现、验证、延伸”为背景考查整式化简2015 21 解答题整式化简并代入求值河北中考考题试做列代数式1．(2018·河北中考)用一根长为a(单位：cm)的铁丝，首尾相接围成一个正方形．要将它按如图的方式向外等距扩1(单位：cm)，得到新的正方形，则这根铁丝需增加(B)A．4 cm B．8 cmC．(a＋4) cm D．(a＋8) cm代数式求值2．(2019·河北中考)如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：，即4＋3＝7.则(1)用含x 的式子表示m ＝3x ； (2)当y ＝－2时，n 的值为1.3．(2016·河北中考)若mn ＝m ＋3，则2mn ＋3m －5nm ＋10＝1.整式运算及幂的运算性质4．(2019·河北中考)小明总结了以下结论： ①a(b ＋c)＝ab ＋ac ； ②a(b －c)＝ab －ac ；③(b －c)÷a ＝b÷a －c÷a(a ≠0)； ④a÷(b ＋c)＝a÷b ＋a÷c(a ≠0)． 其中一定成立的个数是(C ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．(2018·河北中考)若2n ＋2n ＋2n ＋2n ＝2，则n ＝(A ) A ．－1 B ．－2 C ．0 D .146．(2018·河北中考)将9.52变形正确的是(C ) A ．9.52＝92＋0.52B ．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)C ．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52D ．9.52＝92＋9×0.5＋0.527．(2016·河北中考)计算正确的是( D ) A ．(－5)0＝0 B ．x 2＋x 3＝x 5 C ．(ab 2)3＝a 2b 5 D ．2a 2·a －1＝2a8．(2019·河北中考)若7－2×7－1×70＝7p ，则p 的值为－3.9．(2018·河北中考)嘉淇准备完成题目：化简：(x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)．发现系数“”印刷不清楚．(1)他把“”猜成3，请你化简：(3x2＋6x＋8)－(6x＋5x2＋2)；(2)他妈妈说：“你猜错了，我看到该题标准答案的结果是常数．”通过计算说明原题中“”是几？解：(1)原式＝3x2＋6x＋8－6x－5x2－2＝－2x2＋6；(2)设“”为a，则原式＝ax2＋6x＋8－6x－5x2－2＝(a－5)x2＋6.∵他妈妈看到该题标准答案的结果是常数，∴a－5＝0，即a＝5.∴原题中“”是5.代数式的应用10．(2019·河北中考)已知：整式A＝(n2－1)2＋(2n)2，整式B＞0.尝试化简整式A.发现A＝B2.求整式B.联想由以上可知，B2＝(n2－1)2＋(2n)2，当n＞1时，n2－1，2n，B为直角三角形的三边长，如图所示．填写下表中B的值：直角三角形三边n2－1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ35解：尝试A＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1.发现∵A＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，又A＝B2，B＞0，∴B＝n2＋1.联想17；37.11．(2017·河北中考)发现任意五个连续整数的平方和是5的倍数．验证(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的几倍？(2)设五个连续整数的中间一个为n，写出它们的平方和，并说明是5的倍数；延伸任意三个连续整数的平方和被3除的余数是几呢？请写出理由．解：验证(1)(－1)2＋02＋12＋22＋32＝1＋0＋1＋4＋9＝15，15÷5＝3.∴(－1)2＋02＋12＋22＋32的结果是5的3倍；(2)由五个连续整数的中间一个为n，得其余的4个整数分别是n－2，n－1，n＋1，n＋2.它们的平方和为(n－2)2＋(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＋(n＋2)2＝n2－4n＋4＋n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＋n2＋4n＋4＝5n2＋10.∵5n2＋10＝5(n2＋2)，且n是整数，∴n2＋2是整数．∴任意五个连续整数的平方和是5的倍数；延伸余数是2.理由：设三个连续整数的中间一个为n，则其余的2个整数是n－1，n＋1.它们的平方和为(n－1)2＋n2＋(n＋1)2＝n2－2n＋1＋n2＋n2＋2n＋1＝3n2＋2.∵n是整数，∴n2是整数．∴任意三个连续整数的平方和被3除的余数是2.中考考点清单代数式和整式的有关概念1．代数式：用运算符号连接数和字母组成的式子，我们把这样的式子叫做代数式．2．列代数式：把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来．3．代数式的值：用__数值__代替代数式中的字母，按照代数式中给出的运算计算出的__结果__，叫做代数式的值．【方法点拨】求代数式值的方法主要有两种：一种是直接代入法；另一种是整体代入法．对于整体代入求值的，要注意从整体上分析已知代数式与欲求代数式之间结构的异同，从整体上把握解题思路，寻求解题的方法．例如，(1)a＝－1，则3a2－a＝4；(2)若2m＋n＝4，则代数式6－2m－n的值为2；(3)3x2－5＝x，则3x2－x＝5，6x2－2x＋10＝20.4．代数式的分类代数式⎩⎪⎨⎪⎧有理式⎩⎪⎨⎪⎧整式⎩⎪⎨⎪⎧ 单项式 多项式分式无理式【温馨提示】(1)在建立数学模型解决问题时，常需先把问题中的一些数量关系用代数式表示出来，也就是列出代数式； (2)列代数式的关键是正确分析数量关系，掌握文字语言(和、差、积、商、乘以、除以等)在数学语言中的含义；(3)注意书写规则：a ×b 通常写作a·b 或ab ；1÷a 通常写作1a；数字通常写在字母前面，如a ×3通常写作3a ；带分数一般写成假分数，如115a 通常写作65a.整式的相关概念单项式概念由数与字母(或字母与字母)__相乘__组成的代数式，我们把这样的代数式叫做单项式(单独的一个数或一个__字母__也是单项式)系数 单项式中的__数字__因数叫做这个单项式的系数 次数 单项式中的所有字母的__指数的和__叫做这个单项式的次数多项式概念 由单项式__相加__组成的代数式，我们把这样的代数式叫做多项式项 多项式中的每一个单项式都叫做这个多项式的项 次数 在多项式里，__最高次__项的次数，叫做这个多项式的次数整式单项式和__多项式__统称为整式同类项在多项式中，我们把那些所含的字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．所有的常数项都是同类项【易错警示】(1)在掌握合并同类项时注意：①如果两个同类项的系数互为相反数，合并同类项后，结果为0； ②不要漏掉不能合并的项；③只要不再有同类项，就是结果(可能是单项式，也可能是多项式)． 合并同类项的关键：正确判断同类项．(2)同底数幂的除法与同底数幂的乘法互为逆运算，可用同底数幂的乘法检验同底数幂的除法是否正确． (3)遇到幂的乘方时，需要注意： 当括号内有“－”号时，(－a m )n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－a mn （n 为奇数），a mn （n 为偶数）.例如，a 2a 3＝a 5，3a 2÷a ＝3a ；(－a 4)2＝a 8.整式的运算法则整式加减 (1)去括号；(2)合并同类项幂的运算同底数幂相乘 a m ·a n ＝__a m ＋n __(m ，n 都是整数) 幂的乘方 (a m )n ＝__a mn __(m ，n 都是整数) 积的乘方 (ab)n ＝__a n b n __(n 是整数)同底数幂相除 a m ÷a n ＝__a m －n __(a ≠0，m ，n 都是整数)整式的乘法单项式与多项式相乘 m(a ＋b)＝__am ＋bm __多项式与多项式相乘(a ＋b)(m ＋n)＝__am ＋an ＋bm ＋bn __乘法公式平方差公式(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__完全平方公式(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__整式的除法单项式除以单项式把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式多项式除以单项式先用多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加整式混合运算的顺序先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按照从左到右的顺序计算典题精讲精练代数式求值【例1】若a－3b＝2，3a－b＝6，则b－a的值为－2.【解析】由题意得(a－3b)＋(3a－b)＝8，∴4(a－b)＝8.∴b－a＝－2.【方法点拨】求代数式的值可以直接代入计算，如果给出的代数式可以化简，要先化简再求值，考查类型主要有以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简；③已知条件和所给代数式都要化简．,1．(2019·海南中考)当m＝－1时，代数式2m＋3的值是(C)A．－1 B．0 C．1 D．22．(2019·荆门中考)已知实数x，y满足方程组{3x－2y＝1，x＋y＝2.则x2－2y2的值为(A)A．－1 B．1 C．3 D．－3整式的概念及运算【例2】(2019·哈尔滨中考)下列运算一定正确的是(D)A ．2a ＋2a ＝2a 2B ．a 2·a 3＝a 6C ．(2a 2)3＝6a 6D ．(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【解析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、平方差公式.2a ＋2a ＝4a ，a 2·a 3＝a 5，(2a 2)3＝8a 6，(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2.【例3】(2019·吉林中考)先化简，再求值： (a －1)2＋a(a ＋2)，其中a ＝ 2.【解析】本题考查代数式的化简求值．先根据代数的运算方法转化成最简代数式，再代入求值即可求解． 【解答】解：原式＝a 2－2a ＋1＋a 2＋2a ＝2a 2＋1. 当a ＝2时，原式＝2×(2)2＋1＝5.3．(2019·宁波中考)下列计算正确的是(D ) A ．a 3＋a 2＝a 5 B ．a 3·a 2＝a 6 C ．(a 2)3＝a 5 D ．a 6÷a 2＝a 44．(2019·石家庄内四区模拟)已知M ＝－12a ＋4⎝⎛⎭⎫a －23b －⎝⎛⎭⎫－32a ＋13b . (1)当a ＝15，b ＝－1时，求M 的值；(2)直接写出一组a ，b 的值，使M 的值与(1)中的结果相同． 解：(1)M ＝－12a ＋4a －83b ＋32a －13b＝⎝⎛⎭⎫－12＋4＋32a －⎝⎛⎭⎫83＋13b ＝5a －3b.当a ＝15，b ＝－1时，M ＝5×15－3×(－1)＝4；(2)答案不唯一，只需满足5a －3b ＝4即可，如a ＝2，b ＝2.请完成限时训练A 本P A 5～A 6，选做B 本P B 6。
第2讲 代数式与整式课件
4.多项式: 由几个单项式相② 加 组成的代数式叫做多项式.
5.多项式的次数: 一个多项式中,⑤ 次数最高的项的次数 就是这个多项
式的次数.
【疑难典析】
6.整式:③ 单项式和多项式统称为整式. 字母x的次数是1而不是0;单项式xy
的次数是2;单项式的系数包括它前
面的符号,如-2xy的系数是-2.
C.4035x2018
D.4036x2018
课前考点过关
4. 已知 a,b,c 是△ABC 的三条边长,化简|a+b-c|-|c-a-b|的结果是 ( B )
A.2a+2b-2c
B.0
5. 若 am=2,an=8,则 am-n=
C.2a+2b
1
4
D.2c
.
6. 如图中的四边形为矩形,根据图形写出一个正确的等式
(1)去括号法则:括号前是“+”号,把括号和它前面的“+”号去掉,括号里各项都不变号;括号前是“-”号,把
括号和它前面的“-”号去掉,括号里各项都改变符号. +(b+c)= b+c
(2)整式的加减可以归结为去括号和① 合并同类项.
-(b-c)= -b+c
课前考点过关
【疑难典析】
2.幂的运算
m
am+n
x,y 的值.
原式=(x²+2x+1)+(y²-6y+9)
=(x+1)2+(y-3)2+11.
∵(x+1)2≥0,(y-3)2≥0,
∴原代数式最小值为11,
此时
x=-1,y=3.
课堂互动探究
探究三 整式的创新应用(微专题)
代数式 整式运算
数与式导学案主备人：孙受中学 审核人： 班级：九年级 学生姓名： 编号： 第三课时 代数式 整式运算【复习目标】1． 了解字母表示数的意义，了解单项式、多项式、整式以及单项式的系数与次数、多项式的项与次数、同类项的概念，并能说出单项式的系数和次数、多项式的项和次数。
知道正整数幂的运算性质，能说出去括号、添括号法则，了解两个乘法公式的几何背景。
2． 会用代数式表示简单问题中的数量关系，会求代数式的值，会把一个多项式按某个字母升（降）幂排列，会判断同类项，并能熟练地合并同类项，会准确地进行去括号与添括号，会推导乘法公式，能运用整式的运算性质、公式以及混合运算顺序进行简单的整式的加、减、乘、除运算。
3． 通过运用幂的运算性质、整式的运算法则和公式进一步发展观察、归纳、类比、概括等能力，会运用类比思想，一般到特殊、再由特殊到一般的数学思想和数形结合思想解决问题。
【复习重、难点】掌握判别同类项及合并同类项的方法,掌握整式的运算法则和乘法公式.【学法指导】整式乘法的关键是理解单项式的乘法,单项式相乘实际上可以分两部分进行:一是单项式的系数相乘;二是字母做同底数幂的乘法.二者的积即为单项式乘以单项式的结果.【唤醒热身】1、 代数式：用含有数、字母及运算符号的式子，把问题中的数量关系表示出来，就是代数式。
代数式求值的步骤：①用数字代替字母；②按运算关系求出结果。
2、 整式：单项式和多项式统称为整式（1）定义①单项式：只含有数与字母的积的式子叫单项式。
单独的一个数或字母也是单项式单项式的系数：单项式前面的数字因数。
如25x 中的“5”。
单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和。
如2334x y z 的次数是6。
②多项式：几个单项式的和就叫多项式。
其中的每一个单项式就叫多项式的项；最高一项的次数就叫多项式的次数。
如：23323312543x y z xy x y z -+-是八次四项式。
多项式的升幂（或降幂）排列：就是把多项式按其中某一个字母的指数从小到大（或从大到小）的顺序排列，叫做把多项式按这个字母的升幂（或降幂）排列。
第2讲 代数式及整式的运算(讲练)(原卷版)
备战2021年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第2讲代数式及整式的运算1.理解用字母表示数的意义，会用代数式表示简单问题的数量关系，了解单项式、多项式及整式的相关概念.2.理解整式的加减运算、乘除运算、去括号法则、乘法公式等常用的整式运算法则，能熟练运用于整式的运算.3.了解因式分解的概念，学会用提公因式法和公式法对多项式进行因式分解.4.理解配方法、换元法、待定系数法等重要的数学方法，能灵活用这些方法处理整式.1．（2019•怀化）单项式﹣5ab的系数是（）A．5 B．﹣5 C．2 D．﹣2【思路点拨】根据单项式系数的定义来选择，单项式中数字因数叫做单项式的系数，单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，可得答案．【答案】解：单项式﹣5ab的系数是﹣5，故选：B．【点睛】本题考查单项式，注意单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．2．（2020•宁波模拟）下列单项式，是2次单项式的是（）A．xy B．2x C．x2y D．x2y2【思路点拨】一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此求解可得．【答案】解：A、xy的次数为2，是2次单项式；B、2x的次数为1，不是2次单项式；C、x2y的次数为3，不是2次单项式；D．x2y2的次数是4，不是2次单项式；故选：A．【点睛】本题主要考查单项式，解题的关键是掌握单项式次数的概念：一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数．3．（2020•河北）墨迹覆盖了等式“x3x＝x2（x≠0）”中的运算符号，则覆盖的是（）A．+ B．﹣C．×D．÷【思路点拨】直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案．【答案】解：∵x3x＝x2（x≠0），∴覆盖的是：÷．故选：D．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4．（2020•滨城区二模）下列从左到右的变形是因式分解的是（）A．ma+mb﹣c＝m（a+b）﹣cB．﹣a2+3ab﹣a＝﹣a（a+3b﹣1）C．（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3D．4x2﹣25y2＝（2x+5y）（2x﹣5y）【思路点拨】因式分解是指将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，本题按照因式分解的定义及其分解方法，逐个选项分析即可．【答案】解：A、没将一个多项式化成几个整式的乘积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；B、提公因式变号错误，不是正确的因式分解，故本选项不符合题意；C、不是因式分解，是整式的乘法，故本选项不符合题意；D、符合因式分解定义，是因式分解，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了因式分解的定义及其分解方法，明白因式分解的定义及其分解方法，是解题的关键．5．（2020•长兴县一模）分解因式a3﹣4a的结果正确的是（）A．a（a2﹣4）B．a（a﹣2）（a+2）C．a（a﹣2）2D．a（a+2）2【思路点拨】首先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式得出答案．【答案】解：a3﹣4a＝a（a2﹣4）＝a（a+2）（a﹣2）．故选：B．【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．6．（2020•石家庄二模）数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学各做了一道数学题，甲：（3a2）3＝9a6；乙：a12÷a3＝a9；丙：（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2；丁：（a﹣2）2＝a2﹣4．其中做对的同学是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【思路点拨】根据甲乙丙丁中的式子，可以计算出正确的结果，即可解答本题．【答案】解：（3a2）3＝27a6，故甲做的错误；a12÷a3＝a9，故乙做的正确；（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故丙做的错误；（a﹣2）2＝a2﹣4a+4，故丁做的错误；故选：B．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．7．（2020•青海）下面是某同学在一次测试中的计算：①3m2n﹣5mn2＝﹣2mn；②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a6b；③（a3）2＝a5；④（﹣a3）÷（﹣a）＝a2．其中运算正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【思路点拨】根据合并同类项法则、单项式乘单项式的运算法则、幂的乘方法则、同底数幂的除法法则计算，判断即可．【答案】解：①3m2n与5mn2不是同类项，不能合并，计算错误；②2a3b•（﹣2a2b）＝﹣4a5b2，计算错误；③（a3）2＝a3×2＝a6，计算错误；④（﹣a3）÷（﹣a）＝（﹣a）3﹣1＝a2，计算正确；故选：D．【点睛】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、幂的乘方、同底数幂的除法，掌握它们的运算法则是解题的关键．8．（2020•郴州）如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（）A．x2﹣2x+1＝（x﹣1）2B．x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）C．x2+2x+1＝（x+1）2D．x2﹣x＝x（x﹣1）【思路点拨】根据图形可以用代数式表示出图1和图2的面积，由此得出等量关系即可．【答案】解：由图可知，图1的面积为：x2﹣12，图2的面积为：（x+1）（x﹣1），所以x2﹣1＝（x+1）（x﹣1）．故选：B．【点睛】本题考查平方差公式的几何背景，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式．9．（2019•河北）小明总结了以下结论：①a（b+c）＝ab+ac；②a（b﹣c）＝ab﹣ac；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0）；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0）其中一定成立的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】直接利用单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算法则计算得出答案．【答案】解：①a（b+c）＝ab+ac，正确；②a（b﹣c）＝ab﹣ac，正确；③（b﹣c）÷a＝b÷a﹣c÷a（a≠0），正确；④a÷（b+c）＝a÷b+a÷c（a≠0），错误，无法分解计算．故选：C．【点睛】此题主要考查了单项式乘以多项式以及多项式除以单项式运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．10．（2020•绵阳）若多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，则mn＝0或8．【思路点拨】直接利用多项式的次数确定方法得出答案．【答案】解：∵多项式xy|m﹣n|+（n﹣2）x2y2+1是关于x，y的三次多项式，∴n﹣2＝0，1+|m﹣n|＝3，∴n＝2，|m﹣n|＝2，∴m﹣n＝2或n﹣m＝2，∴m＝4或m＝0，∴mn＝0或8．故答案为：0或8．【点睛】此题主要考查了多项式，正确掌握多项式的次数确定方法是解题关键．11．（2018•达州）已知a m＝3，a n＝2，则a2m﹣n的值为 4.5．【思路点拨】首先根据幂的乘方的运算方法，求出a2m的值；然后根据同底数幂的除法的运算方法，求出a2m﹣n的值为多少即可．【答案】解：∵a m＝3，∴a2m＝32＝9，∴a2m﹣n＝＝＝4.5．故答案为：4.5．【点睛】此题主要考查了同底数幂的除法法则，以及幂的乘方与积的乘方，同底数幂相除，底数不变，指数相减，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①底数a≠0，因为0不能做除数；②单独的一个字母，其指数是1，而不是0；③应用同底数幂除法的法则时，底数a可是单项式，也可以是多项式，但必须明确底数是什么，指数是什么．12．（2019•翔安区模拟）如果a2﹣b2＝8，且a+b＝4，那么a﹣b的值是2．【思路点拨】根据a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2，可得（a+b）（a﹣b）＝8，再代入a+b＝4可得答案．【答案】解：∵a2﹣b2＝8，∴（a+b）（a﹣b）＝8，∵a+b＝4，∴a﹣b＝2，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了平方差，关键是掌握a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．13．（2020•临沂）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b﹣2＝﹣1．【思路点拨】由于a+b＝1，将a2﹣b2+2b﹣2变形为含有a+b的形式，整体代入计算即可求解．【答案】解：∵a+b＝1，∴a2﹣b2+2b﹣2＝（a+b）（a﹣b）+2b﹣2＝a﹣b+2b﹣2＝a+b﹣2＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】考查了平方差公式，注意整体思想的应用．14．（2020•硚口区模拟）计算：2a2•a4﹣6a9÷3a3+（﹣2a3）2．【思路点拨】根据积的乘方、同底数幂的乘除法可以解答本题．【答案】解：2a2•a4﹣6a9÷3a3+（﹣2a3）2＝2a6﹣2a6+4a6＝4a6．【点睛】本题考查整式的混合运算，解答本题的关键是明确整式混合运算的计算方法．15．（2020•蒙山县模拟）先化简，再求值：（x+2y）（x﹣2y）+（20xy3﹣8x2y2）÷4xy，其中x＝2019，y＝2020．【思路点拨】原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值．【答案】解：原式＝x2﹣4y2+5y2﹣2xy＝x2﹣2xy+y2，当x＝2019，y＝2020时，原式＝（x﹣y）2＝（2019﹣2020）2＝（﹣1）2＝1．【点睛】此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1.整式的概念及整式的加减（2）单项式：由或相乘组成的代数式叫做单项式，单独一个数或一个字母也叫单项式．一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的，单项式中的数字因数叫做这个单项式的．（2）多项式：由几个组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数就是这个多项式的，不含字母的项叫做．（3）整式：．（4）同类项以及合并同类项法则：多项式中，所含相同，并且也相同的项，叫做同类项．合并同类项的法则是：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．2.整式的乘除（1）幂的运算性质：(1)同底数幂相乘：a m·a n＝(m，n都是整数，a≠0)．(2)幂的乘方：(a m)n＝(m，n都是整数，a≠0)．(3)积的乘方：(ab)n＝(n是整数，a≠0，b≠0)．(4)同底数幂相除：a m÷a n＝(m，n都是整数，a≠0)．（2）整式乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝．多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝．（3）乘法公式：①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝．②完全平方公式：(a±b)2＝．（4）整式除法：单项式相除，把系数、同底数幂分别，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，先把这个多项式的除以这个单项式，再把所得的商相加．3.因式分解（1）因式分解的概念：把一个多项式化成几个的形式，叫做因式分解．因式分解与是互逆变形．（2）因式分解的基本方法：①提取公因式法：ma＋mb＋mc＝．②公式法：运用平方差公式：a2－b2＝．运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝．（3）因式分解的一般步骤：①如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．②如果各项没有公因式，那么尽可能尝试用公式法来分解；如果项数较多，要分组分解．③分解因式必须分解到不能再分解为止，每个因式的内部不再有括号，且同类项合并完毕，若有相同因式需写成幂的形式．④意题中因式分解要求的范围，如在有理数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x2－3)；在实数范围内分解因式，x4－9＝(x2＋3)(x＋3)(x－3)，题目不作说明的，一般是指在有理数范围内分解因式．【考点一整式及其加减运算】例1．（2019•广西一模）下列各式中运算正确的是（）A．4m﹣m＝3 B．a2b﹣ab2＝0C．2a3﹣3a3＝﹣a3 D．xy﹣2xy＝3xy【变式训练】1．（2020•义乌市模拟）计算3a2﹣2a2正确的是（）A．1 B．a C．a2D．﹣a2 2．（2020•宁波模拟）小文在计算某多项式减去2a2+3a﹣5的差时，误认为是加上2a2+3a﹣5，求得答案是a2+a﹣4（其他运算无误），那么正确的结果是（）A．﹣a2﹣2a+1 B．﹣3a2﹣5a+6 C．a2+a﹣4 D．﹣3a2+a﹣4 3．（2020•隆化县二模）数学课上，老师设计了一个数学游戏：若两个多项式相减的结果等于第三个多项式，则称这三个多项式为“友好多项式”．甲、乙、丙、丁四位同学各有一张多项式卡片，下面是甲、乙、丙、丁四位同学的对话：请根据对话解答下列问题：（1）判断甲、乙、丙三位同学的多项式是否为“友好多项式”，并说明理由．（2）丁的多项式是什么？（请直接写出所有答案）．4.（2019•慈溪市模拟）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m，宽为n的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为l1，图③中两个阴影部分图形的周长和为l2，若，则m，n满足（）A．m＝n B．m＝n C．m＝n D．m＝n【考点二整式的乘除运算】例2．（2020•柯桥区模拟）下面是一位同学做的四道题①（a+b）2＝a2+b2，②（2a2）2＝﹣4a4，③a5÷a3＝a2，④a3•a4＝a12．其中做对的一道题的序号是（）A．①B．②C．③D．④【变式训练】1．（2020•启东市三模）化简（﹣a2）•a5所得的结果是（）A．a7B．﹣a7C．a10D．﹣a10 2．（2020•杭州）（1+y）（1﹣y）＝（）A．1+y2B．﹣1﹣y2C．1﹣y2D．﹣1+y2 3．（2019•邵阳）以下计算正确的是（）A．（﹣2ab2）3＝8a3b6B．3ab+2b＝5abC．（﹣x2）•（﹣2x）3＝﹣8x5D．2m（mn2﹣3m2）＝2m2n2﹣6m34．（2020•黄石模拟）若a+b＝1，则a2﹣b2+2b的值为（）A．4 B．3 C．1 D．0 5．（2019•滨海县二模）已知a m＝3，a n＝2，则a3m﹣2n＝．6.（2020•宁波模拟）已知实数x，y满足x﹣y＝4，xy＝1，则x2+y2＝．7.（2020•沙河市模拟）已知A＝x2﹣mx+2，B＝nx2+2x﹣1，且化简2A﹣B的结果与x无关．（1）求m、n的值；（2）求式子﹣3（m2n﹣2mn2）﹣[m2n+2（mn2﹣2m2n）﹣5mn2]的值．【考点三因式分解】例3．(1)（2020•凤山县一模）分解因式：2a3b﹣4a2b2+2ab3．(2)（2020•青州市一模）因式分解：（x﹣y）2+6（y﹣x）+9＝．【变式训练】1．（2020•河北）对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解2．（2020•郓城县模拟）把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3），则a，b的值分别是（）A．a＝2，b＝3 B．a＝﹣2，b＝﹣3 C．a＝﹣2，b＝3 D．a＝2，b＝﹣3 3．（2020•霍邱县一模）因式分解m3﹣4m＝．4．（2020•黄石模拟）在实数范围内分解因式：x4﹣9＝．5.（2019•江北区模拟）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．【考点四乘法公式及其应用】例4．（2020•邯山区一模）数学活动课上，张老师用图①中的1张边长为a的正方形A、1张边长为b的正方形B和2张宽和长分别为a与b的长方形C纸片，拼成了如图②中的大正方形．观察图形并解答下列问题．（1）由图①和图②可以得到的等式为（用含a，b的代数式表示）；并验证你得到的等式；（2）嘉琪用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）的大长方形，求需要A、B、C三种纸片各多少张；（3）如图③，已知点C为线段AB上的动点，分别以AC、BC为边在AB的两侧作正方形ACDE和正方形BCFG．若AB＝6，且两正方形的面积之和S1+S2＝20，利用（1）中得到的结论求图中阴影部分的面积．【变式训练】1．（2020•浦口区模拟）计算（2a﹣b+1）（2a﹣1﹣b）．2．（2018•河北模拟）请你参考黑板中老师的讲解，用乘法公式简便计算；（1）6992（2）20192﹣2017×20213.（2020•洛阳二模）先化简，再求值：（x+2y）2+（x+2y）（x﹣2y）﹣2x（x+y），其中x、y满足方程组．4.（2020•雨花区校级二模）先化简，再求值：[（x﹣2y）2﹣（x﹣y）（x+y）﹣2y2]÷y，其中x＝﹣1，y＝﹣2．5.（2019•芜湖三模）观察以下等式：第1个等式：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；第2个等式：（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1第3个等式：（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1：…按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第4个等式：（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）＝；（2）写出你猜想的第n个等式：（x﹣1）（x n+x n﹣1+…+x+1）＝；（3）请利用上述规律，确定22019+22018+…+2+1的个位数字是多少？。
整式及代数式知识点梳理
第三章 整式的加减1、代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方等）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。
单独的一个数或一个字母也是代数式。
注意：①代数式中除了含有数、字母和运算符号外，还可以有括号；②代数式中不含有“=、>、<、≠”等符号。
等式和不等式都不是代数式，但等号和不等号两边的式子一般都是代数式；③代数式中的字母所表示的数必须要使这个代数式有意义，是实际问题的要符合实际问题的意义。
※代数式的书写格式：①代数式中出现乘号，通常省略不写，如vt ； ②数字与字母相乘时，数字应写在字母前面，如4a ；③带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，如a ⨯312应写作a 37； ④数字与数字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；⑤在代数式中出现除法运算时，一般写成分数的形式，如4÷（a-4）应写作44-a ；注意：分数线具有“÷”号和括号的双重作用。
⑥在表示和（或）差的代数式后有单位名称的，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面，如)(22b a -平方米。
2、整式：单项式和多项式统称为整式。
①单项式：都是数字和字母乘积的形式的代数式叫做单项式。
单项式中，所有字母的指数之和叫做这个单项式的次数；数字因数叫做这个单项式的系数。
注意：1.单独的一个数或一个字母也是单项式；2.单独一个非零数的次数是0；3.当单项式的系数为1或-1时，这个“1”应省略不写，如-ab 的系数是-1，a 3b 的系数是1。
②多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中，每个单项式叫做多项式的项；次数最高的项的次数叫做多项式的次数。
3、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。
注意：①同类项有两个条件：a.所含字母相同；b.相同字母的指数也相同。
②同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关； ③几个常数项也是同类项。
4、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
第二讲 代数式及整式的运算(讲练)(解析版)
备战2020年中考数学总复习一轮讲练测第一单元数与式第二讲代数式及整式的运算1、了解：因式分解的概念，感受因式分解与整式乘法的互逆运算过程.2、理解：单项式、多项式、整式等概念，及它们之间的区别与联系；理解同类项概念；理解因式分解的意义.3、会：推导幂的运算公式及乘方公式（平方差、完全平方）.4、掌握：正整数幂的乘、除运算性质；整式的加、减、乘、除、乘方的混合运算；掌握提公因式法和公式法这两种分解因式的基本方法.5、能：利用乘法公式进行乘法运算；灵活运算运算律与乘法公式化简求值.1．（2019•石景山区二模）下列各式计算正确的是( )A ．235x x x =gB ．22434x x x +=C ．824x x x ÷=D ．2242(3)6x y x y = 【解答】解：A 、235x x x =g ，正确； B 、22234x x x +=，故此选项错误；C 、826x x x ÷=，故此选项错误；D 、2242(3)9x y x y =，故此选项错误．故选：A ．2．（2018秋•东城区期末）已知2m a =，3n a =，则32m n a +的值是( )A ．6B ．24C ．36D ．72【解答】解：2m a =Q ，3n a =，3232()()m n m n a a a +∴=⨯3223=⨯72=．故选：D ．3．（2018秋•海淀区期末）在下列运算中，正确的是( )A ．222()x y x y -=-B ．2(2)(3)6a a a +-=-C ．222(2)44a b a ab b +=++D ．22(2)(2)2x y x y x y -+=-【解答】解：A 、222()2x y x xy y -=-+，故本选项错误；B 、2(2)(3)6a a a a +-=--，故本选项错误；C 、222(2)44a b a ab b +=++，故本选项正确；D 、22(2)(2)4x y x y x y -+=-，故本选项错误；故选：C ．4．（2019•朝阳区校级一模）如果2210a a --=，那么代数式(3)(1)a a -+的值是( )A ．2B ．2-C ．4D ．4-【解答】解：2210a a --=Q ，221a a ∴-=，2(3)(1)232a a a a ∴-+=--=-，故选：B ．5．（2018秋•房山区期中）将一列有理数1-，2，3-，4，5-，6，⋯⋯，如图所示有序排列．根据图中的排列规律可知，“峰1”中峰顶的位置(C 的位置）是有理数4．那么，“峰4”中C 的位置是有理数 ，有理数2018应排在A ，B ，C ，D ，E 中 的位置．【解答】解：Q 每个峰需要5个数，5315∴⨯=，151319++=，∴“峰4”中C 位置的数的是19-，(20181)5201654032-÷=÷=⋯，2017∴应排在A 、B 、C 、D 、E 中B 的位置，故答案为：19-；B ．6．（2019•石景山区二模）分解因式：3269a a a -+= ．【解答】解：322269(69)(3)a a a a a a a a -+=-+=-，故答案为2(3)a a -7．（2018秋•海淀区期末）若221x x +=，则2243x x ++的值是 ．【解答】解：221x x +=Q ，∴原式22(2)3235x x =++=+=．故答案为：58．（2019秋•北京十二中期中）将一些形状相同的小五角星如下图所示的规律摆放，据此规律，第10个图形有 个五角星．【解答】解：第1个图形中小五角星的个数为3；第2个图形中小五角星的个数为8；第3个图形中小五角星的个数为15；第4个图形中小五角星的个数为24；则知第n 个图形中小五角星的个数为(1)n n n ++．故第10个图形中小五角星的个数为101110120⨯+=个．故答案为120．9．（2018秋•西城区期末）（1）分解因式()()x x a y a x -+-（2）分解因式321025x y x y xy -+【解答】（1）解：()()x x a y a x -+-(x =x a -)(y -x a -)(=x a -)(x y -)；（2）解：321025x y x y xy -+(xy =21025)x x -+(xy =25)x -．10．（2018秋•朝阳区期末）已知x y -=，求代数式2(1)(2)21x y y x x ++---的值．【解答】解：原式2212221x x y xy x =+++---222x y xy =+-2()x y =-，当x y -22==．1．同底数幂乘法同底数幂相乘，底数 不变 ，指数 相加 ，即m n m n a a a +⋅=（m ，n 都是正整数）．推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，2．同底数幂的除法同底数幂相除，底数 不变 ，指数 相减 ，即m n m n a a a -÷=（m ，n 都是正整数，并且m n ＞）． 推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，3．幂的乘方幂的乘方，底数 不变 ，指数 相乘 ，即()n mmn a a =（m ，n 都是正整数）． 推导过程：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，4．积的乘方积的乘方，等于把积的每一个因式 分别乘方 ，再把 所得的幂相乘 ，即()n n n ab a b =（n 为正整数） 推导过程：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()m n m a n am n a m na a a a a a a a a a a a ++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L L 1424314243L 14243个个个()()()m n m a n a m n a m n a a a a a a a a a a a a --÷=⋅⋅⋅÷⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=L L 1424314243L 14243个个个()m n a n m m n m m m m m m mna a a a a a +++=⋅⋅⋅==L 644744864748L 个个()()()()n ab n n a n b n n ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=644474448L 6474864748L L 个个个5．单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把它们的 系数 、 同底数幂 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．注：单项式与单项式的乘积仍是单项式．6．单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的 每一项 ，再 把所得的积相加 ，即()m a b c am bm cm ++=++．7．多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的 每一项 ，再 把所得的积相加 ，即()()a b m n am an bm bn ++=+++．8．平方差公式两个数的和与这两个数的差的积，等于 这两个数的平方差 ，即：22()()a b a b a b +-=-．9．完全平方公式两个数的和的平方，等于它们的 平方和 ，加上它们的 积的2倍 ，即：222()2a b a ab b +=++．两个数的差的平方，等于它们的 平方和 ，减去它们的 积的2倍 ，即：222()2a b a ab b -=-+．10．因式分解的定义把一个多项式化成 几个整式的积的形式 ，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．11．因式分解（1）公因式：多项式各项都含有的 公共因式 ，叫做这个多项式的公因式．（2）提公因式法：一般地，如果多因式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成 公因式与另一个因式的乘积的形式 ，这种分解因式的方法叫做提公因式法．（3）平方差公式：()()22a b a b a b -=+-（4）完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±考点一 整式例1．（2018秋•朝阳区期末）计算(3)(2)x x +-= ．【解答】解：原式222366x x x x x =-+-=+-．故答案为：26x x +-【变式训练】1．（2018•西城区一模）化简：(4)(2)(1)a a a a +--+= ．【解答】解：(4)(2)(1)a a a a +--+2228a a a a =+---8a =-．故答案为：8a -．2．（2018•东城八上期末）多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 项，则m = ． 【解答】解：(8)(23)mx x +-2231624mx mx x =-+-23(224)16mx m x =-+-+，Q 多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 项，2240m ∴-=，解得：12m =，故答案为：12．考点二 幂的运算例2．（2019•海淀区校级模拟）计算20192018(21)(21)-的结果是( )A 21B 21C 2D ．1 【解答】解：原式2018[(21)(21)](21)=2018(21)(21)=-21=．故选：A ．【变式训练】1．（2019•门头沟区二模）在下列运算中，正确的是( )A ．235a a a =gB ．235()a a =C ．623a a a ÷=D ．5510a a a +=【解答】解：A 、235a a a =g ，故原题计算正确；B 、236()a a =，故原题计算错误；C 、624a a a ÷=，故原题计算错误；D 、5552a a a +=，故原题计算错误；故选：A ．2．（2018秋•丰台区期末）计算3()2b a -的结果是( )A ．332b a - B ．336b a - C ．338b a - D ．338b a 【解答】解：333()28b b a a -=-，故选：C ．考点三 平方差公式例3．下列各式不能使用平方差公式的是( )A ．(2)(2)a b a b +-B ．(2)(2)a b b a --C ．(2)(2)a b a b -+--D ．(2)(2)a b a b ---【解答】解：各式不能使用平方差公式的是(2)(2)a b b a --，故选：B ．【专项训练】1．化简(23)(32)x x ---的结果是( )A ．249x -B ．294x -C ．249x --D ．2469x x -+【解答】解：2(23)(32)49x x x ---=-，故选：A ．考点四 完全平方公式例4．若1ab =，3a b +=，则2222a b +的值是( )A ．7B ．10C ．12D ．14【解答】解：222()2a b a ab b +=++Q ，2292a b ∴=++，227a b ∴+=，22222()2214a b a b ∴+=+=，故选：D ．【专项训练】1．（2018秋•海淀期末）若216x mx ++是完全平方式，则m 的值是 ．【解答】解：216x mx ++Q 是一个完全平方式，2216(4)x mx x ∴++=±，2816x x =±+．8m ∴=±，故答案为：8±．2．（2018秋•朝阳区期末）已知26x x a -+是完全平方式，则a 的值为 ． 【解答】解：26()92a -==．故答案是：9．考点五 代数式化简求值——直接代入例5．当a =1b =时，代数式(2)(2)a b a b +-的值为( )A ．3B ．0C ．1-D ．2- 【解答】解：原式224a b =-，当a 1b =时，原式242=-=-，故选：D ．【专项训练】1．当1a =-时，代数式2(1)(3)a a a +++的值等于( )A ．4-B ．4C ．2-D ．2【解答】解：原式22213a a a a =++++2251a a =++，当1a =-时，原式2512=-+=-．故选：C ．考点六 代数式化简求值——整体代入例6．（2019•东城区二模）如果x y -2(2)4(2)x x y y x +-+-的值是 ．【解答】解：x y -=Q2(2)4(2)x x y y x ∴+-+-224442x x x y xy =++-+-2224x xy y =-++2()4x y =-+24=+24=+6=，故答案为：6．【专项训练】1．（2019•怀柔区二模）已知232a a -=，那么代数式2(2)2(1)a a -++的值为( )A ．9-B ．1-C ．1D ．9【解答】解：232a a -=Q ，即223a a -=，∴原式2244222369a a a a a =-+++=-=+=，故选：D ．2．（2018•通州区一模）已知213a a +=，则代数式1a a +的值为 ．【解答】解：213a a +=Q ，2211133a a a a a a a a a+∴+=+===． 故答案为：3．3．（2018秋•北京期末）已知223x x +=，则代数式22(1)(2)(2)x x x x +-+-+的值为 ．【解答】解：22(1)(2)(2)x x x x +-+-+，22221(4)x x x x =++--+，225x x =++，223x x +=Q∴原式358=+=．故答案为：8．考点七 因式分解例7．（2019•西城一模）分解因式：225ax a -=_____________．【分析】原式提取a ，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：原式(5)(5)a x x =+-，故答案为：(5)(5)a x x +-【专项训练】1．（2018秋•朝阳区期末）下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是() A ．()ax ay a x y -=- B ．244(4)4x x x x -+=-+C ．298(3)(3)8x x x x x -+=+-+D ．2(32)(32)49a a a ---=-【解答】解：A 、是因式分解，正确；B 、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；C 、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误；D 、结果不是整式的积的形式，故不是因式分解，选项错误．故选：A ．2．（2019•东城一模）分解因式：22ab ab a -+= ．【解答】解：22ab ab a -+，2(21)a b b =-+，2(1)a b =-．3．（2018•西城二模）将34b b -分解因式，所得结果正确的是( )A ．2(4)b b -B ．2(4)b b -C ．2(2)b b -D ．(2)(2)b b b +-【解答】解：324(4)(2)(2)b b b b b b b -=-=+-．故选：D ．考点八 规律探索例8．（2018秋•西城区校级期中）按一定规律排列的一列数为12-，2，92-，8，252-，18⋯，则第8个数为 ，第n 个数为 ．【解答】解：把整数化为分母是2的分数，可以发现该数列中的每一个数的绝对值的分母都为2，分子恰是自然数列的平方，前面的符号，第奇数个为负，第偶数个为正，可用(1)n -表示，故第n 个数为：2(1)2nn -⨯， 第8个数为：288(1)322-⨯=． 故答案为：32，2(1)2nn -⨯． 【专项训练】 1．（2019秋•通州区期中）观察以下等式：第1个等式：101011212++⨯=； 第2个等式：111112323++⨯=， 第3个等式：121213434++⨯=， 第4个等式：131314545++⨯=， 第5个等式：141415656++⨯=， ⋯⋯按照以上规律，写出第7个等式： ．【解答】解：观察可知：第7个等式为161617878++⨯=， 故答案为161617878++⨯=．2．（2018秋•西城区校级期中）如图1、2、3，⋯是由花盆摆成的图案，图1中有1盆花，图2中有7盆花，图3中有19盆花，⋯⋯根据图中花盆摆放的规律，图4中，应该有 盆花；第n 个图形中应该有 盆花．【解答】解：Q 图1中有1盆花，图2中有167+=盆花，图3中有166219++⨯=盆花，⋯∴第n 个图中有16(1231)3(1)1n n n +⨯+++⋯+-=-+盆花；∴图4中，应该有12(41)137⨯-+=盆花，故答案为：37，[3(1)1]n n -+．3．（2018秋•朝阳区期末）定义一种对正整数n 的“C 运算”：①当n 为奇数时，结果为31n +；②当n 为偶数时，结果为2k n （其中k 是使2k n 为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，66n =时，其“C 运算”如下：若26n =，则第2019次“C 运算”的结果是( )A ．40B ．5C ．4D ．1【解答】解：若26n =，第一次结果为13，第2次结果为：3140n +=，第3次“C 运算”的结果是：34052=， 第4次结果为：3116n +=，第5次结果为：41612=， 第6次结果为：314n +=，第7次结果为：1，可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数是奇数时，结果是1，第2019次是奇数，结果是1，故选：D．。
代数式整式的加法和减法
05
整式的加减混合运算
整式的加减混合运算法则
合并同类项
在整式加减混合运算中， 常常需要将同类项进行合 并，以简化运算过程。
括号内的优先运算
在有括号的情况下，括号 内的运算应优先进行，遵 循先小括号后大括号的顺 序。
代数式是数学中基本且重要的概念之一，是数学表达和计算 的基础。
代数式的表示方法
通常使用字母表示未知数，数字和数学符号组成表达式。 例如，x + 3, 4x^2 - 7y, (x+2)^3 等都是代数式。
代数式的分类
整式
只包含加、减、乘、除和乘方运算的代数式 。
多项式
由多个单项式组成的代数式。
分式
代数式整式的加法和减法
2023-11-09
contents
目录
• 代数式的基本概念 • 整式的基本概念 • 整式的加法 • 整式的减法 • 整式的加减混合运算 • 整式的加减法在实际问题中的应用
01
代数式的基本概念
什么是代数式
代数式是由数学符号（加、减、乘、除、乘方等）和数字组 成的数学表达式。
合并同类项：把所有同类项合并起来 。
整式加法的例子
• 同类项：$2x^{2}$ 与 $6x^{2}$，$3x$ 与 $-2x$， $5$ 与 $7$。 • 结果：$(8x^{2} + x + 12)$。
$(2x^{2} + 3x + 5) + (6x^{2} - 2x + 7)$
• 系数相加：$2 + 6 = 8$，$3 - 2 = 1$，$5 + 7 = 12$。
代数式与整式的概念及运算
代数式与正式的概念及运算一、代数式的概念1、代数式的概念用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．【注意点】代数式中除含有数，字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“ =”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．例1 判断下列式子是不是代数式2、代数式的分类；单项式：都是数与字母的积的代数式叫做单项式,单独的一个数或字母也是单项式。
多项式：几个单项式的和叫做多项式整式：单项式和多项式统称整式.分式：如果整式A除以整式B,可以表示成AB的形式,且除式B中含有字母,那么称式子为分式.有理式：整式和分式统称有理式. 所以总结：; 2)1 ()8(;0)6(; )4(;01)2(+=≥-nnvtSx; )9(;0 4)7(;)5(;21)3(;43)1(tsxaahx=++练习：1、填空题（1）某种足球a 元，则涨价20%后是 元；（2）m 箱橘子重x kg ，每箱重 kg ；（3）购买单价为a 元的笔记本8本，共需人民币 元；（4）小明的体重是a kg ，小红比小明重b kg ，则小红的体重是 kg ；（5）练习本每本定价0.6元，铅笔每支定价0.2元，买a 本练习本，b 支铅笔共需_______元；（6）三个连续偶数中间的一个为2n ，则这三个数的和表示为_________。
2、选择题：（1）在一次数学测验中，30名男生平均得分为a,20名女生平均得分为b ，这个班所有同学的平均得分是（ ）。
Ａ．2a b + Ｂ．30202a b + Ｃ．302050a b + Ｄ． 50a b + （2）一种小麦磨成面粉后重量减轻15%，要得到m 千克面粉，需要小麦（ ）千克。
Ａ．（1+15%）m Ｂ．(1-15%)m Ｃ．15%m + Ｄ．15%m -3、设某数为x ，用x 表示下列各式：（1）某数与12的差；（2）某数的12与13的和；（3）某数与1的差的平方；（4）某数与2的和的倒数二、列代数式和代数式所表示的实际意义(1) 列代数式在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来即列代数式，使问题变得简洁，更具一般性，但列代数式的关键是正确分析数量关系，弄清运算顺序，掌握诸如和、差、积、商、倍分、大、小、多、少、增加了，增加到，除、除以等概念．(2)代数式所表示的实际意义若将代数式中的数、字母及运算符号赋予具体的含义，则代数式的内容显得丰富，富有内涵．说出代数式表示的实际意义时，数与字母的含义必须与实际相等，把实际问题中的数量关系用代数式表示后必须与原代数式吻合．在读代数式时，通常是按运算顺序选最后一步运算，依运算结果读．例2、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.（1）甲、乙两数的平方差；（2）甲、乙两数差的平方；（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.例3、（1）5a＋2b （2）abc－(a3＋b3＋c3)（3）3n+1 （4）100a＋50＋b解析：（1）与5a的差是b的2倍的数；（2）a、b、c三数的积与a、b、c三数立方和的差；（3）被3除余1的数；（4）百位数是a，十位数是5，个位数字是b的三位数三、代数式的求值1、直接代值例4、当X=2,Y=-3时，求代数式3X-2Y的值。