射影定理PPT课件
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射影的有关概念及定理PPT教学课件
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
量严重减少，濒临灭绝。有些只剩
性
圈养或种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
a 00900
A
B
O
C
D
直角三角形的射影定理 课件
2
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
1.4直角三角形的射影定理课件人教新课标4
解析：如图，AB2＝AD2＋BD2，AB＝6 AB2＝BD·BC，BC＝ABBD2＝15.
5，由射影定理可得，
∴ CD ＝ BC － BD ＝ 15 － 12 ＝ 3. 由 射 影 定 理 可 得 ， AC2 ＝
CD·BC，AC＝ 3×15＝3 5.
AB2 AC2
＝BCDD··BBCC＝BCDD＝132＝4.
N.因 AB＝ 3，BC＝3，所以 AC＝2 3. 在 Rt△ABC 中，由射影定理得：AB2＝AE·AC ∴AE＝AABC2＝ 23， 在 Rt△AEB 中，由射影定理得：AE2＝AM·AB，
∴AM＝EN＝AAEB2
＝
232＝ 3
43，
在 Rt△ADC 中，tan∠CAD＝CADD＝ 33，∴EANN＝ 33，
答案：3 3 5 4∶1
考点二 利用射影定理解决证明问题 例2 如图所示，CD 垂直平分 AB，点 E 在 CD 上，DF⊥AC， DG⊥BE，F、G 分别为垂足．
求证：AF·AC＝BG·BE.
【证明】 因为 CD 垂直平分 AB，所以△ACD 和△BDE 均 为直角三角形，并且 AD＝BD. 又因为 DF⊥AC，DG⊥BE， 所以 AF·AC＝AD2，BG·BE＝DB2. 因为 AD2＝DB2，所以 AF·AC＝BG·BE. 【名师点评】 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形
AE＝ABcos π3＝ 23，则 CE＝2 3－ 23＝3 2 3.在△ECD 中，
DE2
＝
CE2
＋
CD2
－
2CE·CDcos
∠
ECD
＝
3
2
3
2
＋
(
3 )2 －
2×3 23× 3×12＝241，故 DE＝ 221.
人教A版高中数学选修4-1 第一讲 四 直角三角形的射影定理 课件(共16张PPT)优质课件PPT
呈现出一条波浪线，有起也有落，但你可以安排自己的休整点。事先看看你的时间表，框出你放松、调整、恢复元气的时间。即使你现在感觉不错，也要做好调
己的事业波峰时，要给自己安排休整点。安排出一大段时间让自己隐退一下，即使是离开自己挚爱的工作也要如此。只有这样，在你重新投入工作时才能更富激
不过是一场场艰辛的比赛。真正的运动者总是盼望比赛。如果把困难看作对自己的诅咒，就很难在生活中找到动力，如果学会了把握困难带来的机遇，你自然会
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
∵AC2=AD·AB. ∴AC=4 .
5
同理BC2=BD·AB. ∴AC=2 5.
C DB
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
自己去努力。当今社会的快速发展，各行各业的疲软，再加上每年几百万毕业生涌向社会，社会生存压力太大，以至于所有稍微有点意识的年轻人都想努力提高
么优秀，看着朋友圈的老同学个个事业有成、买房买车，我们心急如梵，害怕被这个社会抛弃。所以努力、焦躁、急迫这些名词缠绕着越来越多的年轻人，我们
人教版高中数学选修1.4直角三角形的射影定理ppt课件
C ）
D .60 °
3．若关于 x 的一元二次方程 x2+ax+b=0 的两根是一直角 三角形的两锐角的正弦值，且 a+5b=1，则 a、b 的值分别为 ( B ) 3 8 7 12 A．- ， B．- ， 25 25 5 5 4 9 C．- ， D．1,0 25 5 4．在 Rt△ABC 中，∠BAC=90，AD⊥BC 于点 D，若 AC 3 BD = ，则 =( C ) AB 4 CD 3 4 A. B. 4 3 16 9 C. D. 9 16
7．如图所示，四边形ABCD是矩形，∠BEF＝90°，①②③④这四个三
角形能相似的是__________．
①③
8．在△ABC中，AC⊥BC，CD⊥AB于点D，AD＝27，BD＝3，则AC＝ ______，BC＝______，CD＝______. 9 10
3 10 9
9．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，M 是BC的中点，DE⊥AM，E是垂足．求证：DE＝ 2 ab
如图所示，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°, CD⊥AB于点D， DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F.求证：AE· BF· AB＝CD3.
分析：分别在Rt△ABC、Rt△ADC、Rt△BDC中运用射影定理，再将线段进
行代换，就可以实现等积式的证明．
证明：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
4a 2 b 2
证明：在 Rt△AMB 和 Rt△ADE 中， ∠AMB=∠DAE， ∠ABM=∠AED=90， ∴△ABM∽△DEA. AB AM ∴ = .∵AB=a，BC=b， DE AD AB AD a b 2ab ∴DE= = = . 2 2 2 AM b 4a b a2 4
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
返回
2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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点击下图进入“创新演练”
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∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
返回
∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
返回
[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
返回
证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
[读教材·填要点]
1．射影的有关概念
(1)从一点向一直线所引垂线的垂足，叫做这个点在这 条直线上的 正射影 ． (2)线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段， 叫做这条线段在直线上的 正射影 ．
(3) 点和线段 的正射影简称为射影．
返回
2．射影定理 直角三角形斜边上的 两直角边在斜边上射影 的比
3 3
整理得 x6＝4.∴x＝ 2.∴AC＝ 2.
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∵AB⊥AC，AF⊥BC 又FC＝1， 根据射影定理， 得AC2＝FC· BC，
即BC＝x2.
再由射影定理， 得AF2＝BF· FC＝(BC－FC)· FC，
即 AF2＝x2－1.∴AF＝ x2－1. 在△BDC 中， D 作 DE⊥BC 于 E， 过
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∵BD＝DC＝1，∴BE＝EC. DE DC 又∵AF⊥BC，∴DE∥AF.∴ ＝ . AF AC x2－1 DC· AF ∴DE＝ ＝ . AC x 在 Rt△DEC 中，∵DE2＋EC2＝DC2， x2－1 2 x2 2 2 即( ) ＋( ) ＝1 ， x 2 x2－1 x4 ∴ 2 ＋ ＝1. x 4
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[悟一法] 将原图分成两部分来看，分别在两个三角形中运用 射影定理，实现了沟通两个比例式的目的，在求解此类
问题时，一定要注意对图形进行剖析．
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[通一类] 2．如图，AD、BE是△ABC的高，DF ⊥AB于F，交BE于G，FD的延长线 交AC的延长线于H， 求证：DF2＝FG· FH.
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证明：∵BE⊥AC，
∴∠ABE＋∠BAE＝90°.
同理，∠H＋∠HAF＝90° ∴∠ABE＝∠H.又∠BFG＝∠HFA， ∴△BFG∽△HFA. ∴BF∶HF＝FG∶AF. ∴BF· AF＝FG· FH. Rt△ADB中，DF2＝BF· AF，
1.4 直角三角形的射影定理 课件(人教A选修4-1)
(1)在Rt△ABC中，共有AC、BC、CD、AD、BD和 AB六条线段，已知其中任意两条，便可求出其余四条．
(2)射影定理中每个等积式中含三条线段，若已知两
条可求出第三条．
1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， CD是AB上的 高．已知BD＝4，
AB＝29，试求出图中其他未知线 段的长．
解：由射影定理，得 BC2＝BD· AB， ∴BC＝ BD· AB＝ 4×29＝2 29. 又∵AD＝AB－BD＝29－4＝25. 且 AC2＝AB2－BC2， ∴AC＝ AB2－BC2＝ 292－4×29＝5 29. ∵CD2＝AD· BD， ∴CD＝ AD· BD＝ 25×4＝10.
[例2]
如图所示，CD垂直平分AB，
点E在CD上，DF⊥AC，DG⊥BE，F、 G分别为垂足．
求证：AF· AC＝BG· BE.
[思路点拨]
先将图分解成两个基本图形(1)(2)，再
在简单的图形中利用射影定理证明所要的结论．
[证明] ∵CD垂直平分AB， ∴△ACD和△BDE均为直角三角形，且AD＝BD.
的长度，可考虑使用勾股定理和射影定理．
[解]
∵CD2＝AD· DB＝2×6＝12，
∴CD＝ 12＝2 3(cm)． ∵AC2＝AD· AB＝2×(2＋6)＝16， ∴AC＝ 16＝4(cm)． ∵BC2＝BD· AB＝6×(2＋6)＝48， ∴BC＝ 48＝4 3(cm)． 故 CD、AC、BC 的长分别为 2 3 cm,4 cm,4 3 cm.
1．射影 (1)点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的 垂足 ，叫做这个点在这条直线上的正射影． (2)线段在直线上的正射影：线段的 两个端点 在这条直线 上的 正射影 间的线段． (3)射影：点和线段的 正射影三角形斜边上的高是 两直角边 在斜边上射影的比例 斜边 上射影与 斜边 中项；两直角边分别是它们在 的比例中项．
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
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•直角三角形斜边上的高线分成的两直角三角形 与原三角形相似（母子相似定理）
•（由面积得） 两直角边积等于斜边上的高与斜边的积
• 射影定理
直角三角形中的成比例线段
这节课的知识， 你都听懂了吗？
不要忘了 哦！！
直角三角形中的成比例线段
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？
这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， A
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 l A’ B’
C DB
由复习得：
直角三角形中的成比例线段
C
A
DB
用文字如何叙述？
直角三角形中的成比例线段
直角三角形中,斜边上的高线是两条 直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上 的射影和斜边的比例中项.
这就是射影定理
直角三角形中的成比例线段
具体题目运用：
C
A
DB
根据应用选取相应的乘积式。
原来学好数 学，一点都 不难！
教
复
新
例
练小
学
目 标
习
课
题
习结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握 射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理 在证题和实际计算中有较多的 应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
没问题吧！
3.不能。只能证明
。
若已知
是直角三角形。
，则能推出
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
求其余线段。
C
AD
B
•直角三角形两锐角互余
•勾股定理 •直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 •直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。
大家先回忆一下：
在Rt
中， =90 ,有_____________________.
(1)一锐角相等 (2)任意两边对应 成比例.
直角三角形中的成比例线段
如图， C
由母子相似定理，得
推出：
所以：
A
DB
同理，得：
直角三角形中的成比例线段
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
CD是BD,AD的比例中项。
可求第三条.
(3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
例2. 如图,在
中,
C F
分析:欲证 已具备条件 要么找角,
E
AD
B
要么找边.
例2. 如图,在
中,
证法一：
C F
E
AD
B
例2. 如图,在
中,
证法二：
C
F
1
E2
AD
B
直角三角形中的成比例线段
书 P138 T2 T3
参考答案： 2.证明：
（2）BD= cm, CD =
cm.
（3）AB= cm, AC=
cm.
（4）CD= cm,BC=
cm.
你都做对 了吗？
你都弄懂了吗？
(1)在
中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB
已知任意两条,便可求出其余四条.
(2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条
利用射影定理证明勾股定理: A
C DB
射影定理只能用在直角三角形中,且必须
有斜边上的高
这里犯 迷糊， 可不行！
例1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C 分析：利用射影定理和勾股定理
AC,BC的边长分别为
直角三角形中的成比例线段
书 P137
T1
参考答案： 1. （1）CD=6cm, AC=3 cm.
直线l上的正射影，简称射影。
各种线段在直线上的射影的情况：
B A
A B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是
的斜边AB的高线
这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。