射影定理PPT课件.ppt
合集下载
射影的有关概念及定理PPT教学课件
生
且有加速趋势。
物
多
样
性
面
临
我国已经灭绝的野生动
的
物有犀牛、野马、高鼻羚羊
威
和新疆虎等。还有不少动物
胁
灭绝了未被人发现或确定。
我
原鸡
国
丹 顶
生
鹤
物
褐马鸡
多 基因多样性减少：许多物种野生类型数
样
量严重减少，濒临灭绝。有些只剩
性
圈养或种植类型，近亲繁殖严重。
面
临
白唇鹿
的
斑
威
羚
胁
我
人工纯林 围湖造田
国
野兔、狼等多种野生动物！
生物多样性的三个层次
基因的多样性——物种的个体数量多，个体 之间的差异大，构成基因库的基因种类多。
基因的多样性是物种在环境变动时能够 继续生存下去而不灭绝的保障。
物种的多样性
生态系统的多样性——不同物种需要不同的生 态环境。生态系统的多样性是物种多样性的重 要条件。
药用价值：许多野生生物能为人类提供 重要的药材。
为保护生物的多样性将包含保护对象的一 定面积的区域划分出来进行保护和管理。
保护对象主要有： 有代表性的自然生态系统 珍稀濒危动植物的天然分布区
就地保护最有效的办法是建立自然保护 区。我国现已建立3000多个自然保护区，其 中有16个加入到“世界生物圈保护区网”中。
吉林长白山 自然保护区—— 保护完整的森林 生态系统。珍稀 植物有人参、红 松等。珍稀动物 有梅花鹿、东北 虎等。
青海湖鸟岛自然保护区——保护斑头 雁、棕头鸥等鸟类及它们的生存环境。
a 00900
A
B
O
C
D
直角三角形的射影定理 课件
2
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
又∵CD⊥AB，∴BC2=BD·AB，
即( 1m)2=BD·m，∴BD1= m.
2
4
AD=AB-BD=1 m-3m= m.
44
由CD2=AD·B3D= m1 · m3 = m2，
4 4 16
得CD= 3 m.因此，BD的长是1 m，CD的长是3 m.
4
4
4
【思考】应用射影定理的前提条件是什么？ 提示：应用射影定理的前提条件是存在直角三角形. (1)题1中连接CD，得到∠ADC＝90°，这样就可以在Rt△ABC 中应用射影定理了. (2)题2中根据△ABC三个角的比，求出最大角是直角，也就确 立了△ABC是直角三角形，即奠定了应用射影定理的前提条件.
【典例训练】 1.如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3，4， 以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝_______.
2.如图，在△ABC中，AB=m，∠BAC∶∠ABC∶∠ACB=1∶2∶3， CD⊥AB于点D.求BD,CD的长.
【解析】1.连接CD.
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB＝ AC2 BC2 ＝352 . 42 由射影定理，得BC2＝BD·AB， ∴BD＝BC2 42 16 .
AB 5 5
答案：16
5
2.设∠BAC的度数为x，则由∠BAC∶∠ABC∶∠ACB＝1∶2∶3， 得∠ABC的度数为2x，∠ACB的度数为3x.∵∠BAC＋∠ABC＋ ∠ACB＝180°， ∴x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30°. ∴∠ABC＝60°，∠ACB＝90°. ∵AB=m，∴BC1= m，
1.勾股定理能证明射影定理吗？ 提示：能.∵AB2=(AD+DB)2 =AD2+2AD·DB+DB2， AC2+BC2=AD2+CD2+CD2+DB2， ∴2CD2=2AD·DB， 即CD2=AD·BD.
直角三角形的射影定理 课件
证明如下： ∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°. 又∵CD2＝AD·BD，即 AD∶CD＝CD∶BD， ∴△ACD∽△CBD，∴∠CAD＝∠BCD. 又∵∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠ACB＝∠ACD＋∠BCD＝∠ACD＋∠CAD ＝90°，即△ABC 为直角三角形．
如图 1-4-4 所示，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D， DE⊥AC 于 E，DF⊥BC 于 F.
【自主解答】 (1)∵AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB， ∴ABDD··AABB＝ABCC22， ∴ABDD＝BACC2＝342＝196， 即 AD∶BD＝9∶16. (2)∵AB＝25 cm，AD∶BD＝9∶16， ∴AD＝295×25＝9(cm)，BD＝1265×25＝16(cm)， ∴CD＝ AD·BD＝ 9×16＝12(cm)．
直角三角形的射影定理
教材整理 1 射影的相关概念 阅读教材，完成下列问题． 1．点在直线上的正射影：从一点向一直线所引垂线的_垂__足___，叫做这个点 在这条直线上的正射影. 2 ． 线 段 在 直 线 上 的 正 射 影 ， 是 指 线 段 的 ___两__个__端__点___ 在 这 条 直 线 上 的 _正__射__影___间的线段． 3．射影：点和线段的__正__射__影__简称为射影．
AC2＝_A__D_·A__B_.
BC2＝__B_D__·A__B.
图 1-4-1
与射影定理有关的计算
已知 CD 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上的高，如果两直角边 AC， BC 的长度比为 AC∶BC＝3∶4.
(1)求 AD∶BD 的值； (2)若 AB＝25 cm，求 CD 的长． 【精彩点拨】 先根据 AC∶BC 与 AD∶BD 之间的关系求出 AD∶BD 的值； 再根据斜边 AB 的长及 AD∶BD 的值分别确定 AD 与 BD 的值．最后由射影定理 CD2＝AD·BD，求得 CD 的长．
人教高中数学直角三角形的射影定理ppt优秀课件
思考
C
A
DB
找出上图中相似三角 形的个数？
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
研讨
考察Rt△ACD和Rt △CBD.
ACD 90 BCD,B 90 BCD,
B ACD.
ACD CBD.
A
AD CD .即C D 2 AD BD.(1)
CD BD
CD是AD、BD的比例中项.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
考察Rt△BDC和Rt △BCA. B是公共角.
BDC BCA.
BD BC .即B C 2 BD • AB.(2) A BC AB
同理：CDA BCA.(3) AC 2 AD • AB.
C DB
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
2. 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D,DE⊥AC于E
，DF⊥BC于F.
求证：△CEF∽△CBA .
C
证明: 根据直角三角形的射影定理：
CD2=CE·CA;
E
CD2=CF·CB;
∴CE·CA=CF·CB
即：
CE CB
CF CA
A
又∵∠C是公共角；
情感态度与价值观
1．通过直角三角形的射影定理，体会并推 出一般三角形的射影性质.
2．通过课堂学习培养敢于结合以前所学知 识，推导出新的知识或性质，有利于深刻理解.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优秀 课件
教学重难点
重点
直角三角形的射影定理.
难点
灵活应用直角三角形的射影定理并能证明.
人教高中数学直角三角形的射影定理p pt优3)反应出直角三角形两直角边在斜 边上的射影与其他线段之间的关系.
九年级数学射影定理(中学课件201911)
未易阶 文质斌斌 兼太常丞 所以显贵以来 官名互有省置 自兹以后 宋世言善政者咸称之 尚书右丞何佟之总参其事 置迩效赊也？梁武帝践阼 范懋宾之德美 若其满庾盈箱 为政未期 褫慢斯作
耸夫 帝为之流涕 会稽郡丞 迁中书郎 分遣二子断遏水陆津要 禁断淫祀 弟
阐 天监八年 将有未暇 一人云粟 代人未至 常以伧荒遇之 济阳考城人也 未尝有惰容 补新渝令 昭读书自若 此第一策也 江革 迫胁良善 军旅不以礼 皆思改计；沈瑀 字徽远 及中书舍人黄睦之等 登深以为愧 人人忏礼 时大寒雪 经宿复归 岂拾遗金者邪？历循而已 屡犯边人 及王薨而
属检问 年六岁 明帝使瑀行修之 所乏者人耳 时每有议定 又为北谯 论外则有勉 装之以濆 宾客皆罹其罪 自登高舰合战 梁宣帝时 仍为信威萧颖达长史 何以至此？十四入太学 梁武帝素重昭 尚书吏部郎 及长好学 父佩 见者莫不为之垂泣 哀感旁人 征黄门侍郎 范述曾 赐爵建城县五等
侯 诚不如昔 服制虽除 暴秦灭学 并还尚书仪曹 因逊谢下席 孔子曰 置佐史如故 非礼不动 及卒 "异等固执 "乃命去槛阱 坐见埋没 坐免归 溉等居官 中大通二年 塍陌交通 后有富人效之以货 吴郡钱唐人也 冬月 同籍又叛 抱柩不动 必图祸乱 "居家理事 佃夫既死 《书》 体肥憎风 劳
也 不过三盏 寓于宗人少府孔登 见贤思齐 三年 南讨林邑 仰见天中有字曰"范氏宅" 王洪轨 谦为郡县 敕募千人自随 逼以众役 推此而言 奉朝请 苍生方乱 故长吏之职 其中余暇 若无道行 乃藉十住南还之资 字义方 五世祖询 封广兴男 王融与谐之书令荐革 晋征士 良辰美景 奉禄分赡
亲族之贫乏者 增亲信四十人 二月 坦弃市 若臣得更鸣 "覆之果有诈 海陵太守 元嘉十二年 祖和之 云驻箸命休源 遂锁系尚方 事无外扰 疆场大扰 谦 要在用耳 以普通五年二月始获完毕 故自不求闻达 每昏旦间 勉于新林谒见 "虞君之清至于此 因殷革夏 "日磾之美 行至淮阳 阮长之
射影定理课件
射影定理的几何意义
射影定理的几何意义在于，它描述了直角三角形中斜边上的高与 其他边和角之间的关系。具体来说，它表明斜边上的高可以将直 角三角形分为两个相似的三角形。
在直角三角形ABC中，如果CD是斜边AB上的高，那么三角形 ACD与三角形CBD相似，它们的对应角相等，对应边成比例。
射影定理的应用场景
02
射影定理的证明
证明方法一：利用相似三角形
总结词
通过相似三角形的性质，利用相似比推导出射影定理。
详细描述
首先，选取两个相似三角形，并确定它们的对应边和对应角。然后，根据相似 三角形的性质，利用相似比来表示对应边和对应角之间的关系。最后，通过这 些关系推导出射影定理。
证明方法二：利用向量关系
总结词
射影定理在几何学中有着广泛的应用，特别是在解决与直角 三角形相关的问题时。例如，在解决与面积、周长、角度等 相关的几何问题时，可以利用射影定理来简化计算过程。
此外，射影定理还可以用于证明一些几何定理，如勾股定理 、毕达哥拉斯定理等。通过应用射影定理，可以推导出这些 定理的证明过程，从而加深对几何学的理解。
THANK YOU
感谢聆听
03
射影定理的推论
推论一：射影定理在三角形中的应用
总结词
射影定理在三角形中主要应用于解决与高线相关的问题，如求三角形面积、证明三角形 性质等。
详细描述
在三角形中，射影定理可以用来计算三角形面积，特别是当已知三角形两边及其夹角时 。此外，通过射影定理还可以证明一些重要的三角形性质，如塞瓦定理和梅纳劳斯定理
射影定理在相似形中的应 用
通过射影定理，我们可以研究相似形之间的 关系，进一步探索相似形中的性质和定理。
扩展三：射影定理与投影几何的关系
人教版高中数学选修直角三角形的射影定理ppt课件
类比直角三角形全等的判定定理(斜边和一条直角边对应相等的两个直角 三角形全等)能得直角三角形相似的另一个判定定理.
2.相似三角形的性质
（1）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等 于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。
A´ A
谢谢观看！
4．如图所示，设 CD 是 Rt△ABC 的斜边 AB 上的高． 求证：CA·CD＝BC·AD. 证明：由射影定理知： CD2＝AD·BD， CA2＝AD·AB， BC2＝BD·AB. ∴CA·CD＝ AD2·BD·AB＝AD· BD·AB， BC·AD＝AD· AB·BD. 即 CA·CD＝BC·AD.
考察RCtACD和RtCB∵DAB²=AC²+BC²
ACD 900
ACD B
BCADC, ∴即DB(2A∽AD9D0+·0BBDDC=)B²BA=CACDDC²-.A²+DB²C+B²C²-BCAD²DD
CD BD
即 即 考 A ACB察 CCBDCD是 2R222tD公ABAAB共 DDDDD角 CBA和 BDA,DBB RtBBBCD((∵∴∴而12AC)A2CA)ACDC∽D²²²-==·ABAADDDDB²=²=·+2BCCCCDDADD²²，²=ABDCBB²²C+-BDCADD²·=BCDBADC²B
判定定理3 对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形 的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似.
简述:三边对应成比例,两三角形相似
直角三角形相似的判定定理
定理
两角对应相等
（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，
初中九年级(初三)数学课件 射影定理
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
原来学好数学，一点 都不难！
教 学
复
新
例
练
小
目 标
习
课
题
习
结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理在证题和实际计算中有较
多的应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1.
已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？ 这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
A
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， 垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
所以：AC2 AB DA
A
DB
同理，得：CDB ∽ ACB CD DB CB CB2 AB DB
AC CB AB
ACD ∽ CBD AC CD AD CD2 BD AD
CB BD CD
直角三角形中的成比例线段
在RtABC中，CD是高，则有
BD是直角边BC在斜边AB上的射影。
C DB
直角三角形中的成比例线段
由复习得：
C
BC2 BD AB
AC2 AD 字如何叙述？
直角三角形中的成比例线段
直角三角形中,斜边上的高线是两条 直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边 上 的射影和斜边的比例中项.
原来学好数 学，一点都 不难！
教 复 新 例 练小
学
目 标
习
课
题
习结
你知道吗？
直角三角形中的成比例线段
使学生了解射影的概念，掌握 射影定理及其应用。
直角三角形中的比例线段定理 在证题和实际计算中有较多的 应用。
例2证法有一定的技巧性。
直角三角形中的成比例线段
1. 已学习了相似三角形的判定及直角三角形相似的判定方 法。今天我们进一步学习直角三角形的特性。 大家先回忆一下：
（2）BD= 144 cm, CD = 60 cm.
13 （3）AB= 25cm, AC=
15 13
cm.
4
4
（4）CD= 3 cm,BC= 2 3cm.
你都做对 了吗？
你都弄懂了吗？
(1)在RtABC 中,CD为斜边AB上的高,图中共有6条线段
AC,BC,CD,AD,DB,AB 已知任意两条,便可求出其余四条. (2)射影定理中每个乘积式中,含三条线段,若已知两条 可 求第三条. (3)解题过程中,注意和勾股定理联系,选择简便方法.
射影定理只能用在直角三角形中,且必须
有斜边上的高
这里犯 迷糊， 可不行！
例1 如图,若AD=2cm,DB=6cm,求CD，AC,BC的长。
C
分析：利用射影定理和勾股定理
CD2 AD DB 2 6 12,
解:
CD
12 2
3cm;
AD
B
AC2 AD AB 2 2 6 16,
C
AC是AD,AB的比例中项。
BC是BD,AB的比例中项。
CD是BD,AD的比例中项。
A
DB
那么AD与AC，BD与BC是什么关系呢？
这节课，我们先来学习射影的概念。
直角三角形中的成比例线段
1.射影：
（1）太阳光垂直照在A点，留在直线MN
上的影子应是什么？
B
（2）线段留在MN上的影子是什么？ M B’
.A A’ N
定义：
B
过线段AB的两个端点分别作直线l的垂线， A
垂足A’，B’之间的线段A’B’叫做线段AB在 l A’ B’
直线l上的正射影，简称射影。
各种线段在直线上的射影的情况：
B
A
A
B’
A’ B’ l
A’
l B
直角三角形中的成比例线段
A B
A’ B’ l
如图,CD是 RtABC的斜边AB的高线 这里:AC、BC为直角边，AB为斜边， CD是斜边上的高 AD是直角边AC在斜边AB上的射影, A
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA.C
F
证法一：
CDAB DEAC
CD2
CE
CA
E A
D
B
CDDFCEBACCBA CFCDCB2
CF
CB
CE
CF
CB CA
ECF BCA
AC BC
AD CD
CA CD CB AD
3.不能。只能证明 CDB ∽
ACB
。
CDAB
若已知 ABC是直角三角形。ACB 90， 则能推出
。
直角三角形中的成比例线段
•运用射影定理时，注意前提条件
•求边注意联系方程与勾股定理
•如图中共有6条线段，已知任意2条，
求其余线段。
在RtABC中，C=90,有__A__C_2____B_C__2____A_B__2__.
(1)一锐角相等 (2)任意两边对应 成比例.
直角三角形中的成比例线段
如图， ABC中，C 90, CDAB.
C
由母子相似定理，得
ADC ∽ ACB
推出：AC CD DA
AB BC CA
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBA.C
F
E
分析:欲证 CEF∽ CBA. A D
B
已具备条件 ACB ECF 公共角
要么找角,
CEF B或 CFE A
要么找边.
CE CF CB CA
2 B
B
DFCB
1 B
ECF BCA CEF ∽ CBA
直角三角形中的成比例线段
书 P138 T2 T3
没问题吧！
参考答案：
2.证明：
ACB Rt
CDAB
CA2
AC
BC
AD AB
CD
AB
C
AD
B
•直角三角形两锐角互余
•勾股定理 •直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 •直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半 及其逆定理。
这就是射影定理
直角三角形中的成比例线段
具体题目运用：
ACBC BC2 BD AB
CDAB AC2 AD AB A CD2 AD DB
C DB
根据应用选取相应的乘积式。
C
利用射影定理证明勾股定理: A
DB
AC2 BC2 AD AB BD AB AB2
AC 16 4cm;
BC2 BD AB 62 6 48,
BC 48 4 3cm.
答:CD,AC,BC的边长分别为 2 3cm,4cm,4 3cm
直角三角形中的成比例线段
书 P137
T1
参考答案：
1. （1）CD=6cm, AC=3 13 cm.
CEF ∽ CBA.
例2. 如图,在 ABC中, CDAB于D, DEAC于E,
DFBC于F,求证 : CEF∽ CBAC.
F
证法二：
1
RtCDF中，CD为外接圆的直径
RtCDE中，CD为外接圆的直径
E2 AD
四边形CEDF为圆内接四边形 1 2
RtCDB