二次根式

16.1二次根式

第课时

使学生理解并掌握二次根式的概念,掌握二次根式中被开方数的取值范围和二次根式的取值范围.

经历观察、比较,总结二次根式概念和被开方数取值范围的过程,发展学生的归纳概括能力.

经历观察、比较和应用等数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体验发现的快乐,并提高应用的意识.

【重点】了解二次根式的概念,理解二次根式有意义的条件.

【难点】会求二次根式中字母的取值范围.

【教师准备】教学所需的习题资料.

【学生准备】复习平方根和立方根的有关知识.

导入一:

唐僧师徒在万寿山五庄观做客.猪八戒来到后花园,看见人参果树上结满了人参果,嘴馋得直流口水.正准备伸手摘时,突然一道金光,在同一个枝头上一大一小的两个果子同时掉了下来,噗的一声同时着地.有爱好数学的电视迷算了人参果下落的时间t与h之间的关系式为t=,你觉得他算的正确吗?

要解决这个问题,我们得从二次根式说起.

[设计意图]将数学问题融入到学生喜爱的神话故事中,激发学生学习的兴趣,拉近了数学与学生的距离,为探究本节课奠定了基础.

导入二:

1.教师出示复习题:

(1)4的平方根是;0的平方根是;-16的平方根是.

(2)5的平方根是;5的算术平方根是.

学生口答:(1)4的平方根是±2;0的平方根是0;-16没有平方根.

(2)5的平方根是±;5的算术平方根是.

2.教师出示教材第2页“思考”题:

用带有根号的式子填空,看看写出的结果有什么特点:

(1)面积为3的正方形的边长为,面积为S的正方形的边长为.

(2)一个长方形的围栏,长是宽的2倍,面积为130 m2,则它的宽为m.

(3)一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时离地面的高

度h(单位:m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t,那么t为.

学生思考后回答,教师补充得出答案:(1),;(2);(3).

[设计意图]以回顾练习和思考的形式引导学生回忆,巩固所学知识,并引入新课.

1.二次根式的概念

表示的非负数)的算术平方根.

讨论:你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗?

学生小组讨论,全班交流.教师由此给出二次根式的定义:

一般地,我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式,“”称为二次根号.

追问:在二次根式的概念中,为什么要强调“a≥0”?

教师引导学生举出例子说明,经过讨论知道二次根式被开方数必须是非负数.

[设计意图]让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系,体会研究二次根式的必要性,再让学生体会由特殊到一般的过程,培养学生的概括能力,最后通过讨论二次根式中被开方数a≥0,进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解.

思路二

像,,,这样的式子有什么共同特点呢?

学生观察,交流发现:一是从形式上看,都含有二次根号;二是被开方数的取值范围有限制:被开方数必须是非负数.

教师进一步明确:形如(a≥0)的式子叫做二次根式.

引导学生说一说对二次根式的认识:

(1)表示a的算术平方根;(2)a可以是数,也可以是代数式;(3)从形式上看,含有二次根号;(4)a≥0,≥0.

[设计意图]加深对二次根式的理解,进一步明确二次根式的非负性.

下列各式中,哪些是二次根式?并指出二次根式中的被开方数.

,,,(x≥3),(y>-1),,,(xy>0).

引导学生观察根指数和被开方数分析发现:显然不是二次根式(因为它的根指数是4,含有四次根号),其余式子都含有二次根号,关键看根号下的被开方数是否为非负数.若根号下是负数,则二次根式没有意义.

解:,(x≥3),,(xy>0)是二次根式.其中被开方数依次是7,x-3,(x+1)2,.

[解题策略]①当被开方数形式是含有字母的代数式时,可以把这个代数式看成一个整体.如的被开方数是x2+2015.②当被开方数形式比较复杂时,可以将这个被开方数适当化简.如,因为(-3)2-7=9-7=2,所以它的被开方数其实就是2.

【变式训练】下列各式中,一定是二次根式的是()

A. B.

C. D.(其中a<0)

〔解析〕的被开方数-9<0,的被开方数m-1可能是负数,的根指数是3,所以选项A,B,C 中的式子都不是二次根式.含有二次根号,并且无论a取什么负数,被开方数a2+8都是正数,所以一定是二次根式.故选D.

(教材例1)当x是怎样的实数时,在实数范围内有意义?

引导学生从概念出发进行思考:二次根式的被开方数为非负数,则x-2≥0.

解:由x-2≥0,得x≥2.

当x ≥2时,在实数范围内有意义.

【变式训练】 若式子1+有意义,则x 的取值范围是 .

〔解析〕 根据二次根式的性质可知:x +1≥0,即x ≥-1;又因为分式的分母不能为0,所以x 的取值范围是x ≥-1且x ≠0.故填x ≥-1且x ≠0.

[易错分析] 容易产生只考虑到x +1≥0,而忽略了x ≠0的错误.

[设计意图] 通过变式训练,加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解,提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识.

[知识拓展] (1)二次根式的定义是从代数式的结果和形式上界定的,必须含有二次根号“”,如,都是二次根式,而就不是二次根式了.(2)在二次根式中,被开方数可以是具体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.(3)形如b (a ≥0)的式子也是二次根式,其表示的是b 与的乘积,如3表示3×,-表示-×,但是不能写成3的形式.(4)当a ≥0时,表示a 的算术平方根.也就是说,有意义的条件是a ≥0.(5)当a 是非负数时,(其中a ≥0)本身也是一个非负数.

1.已知下列各式:,(a ≥2),, ,其中二次根式的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

解析:的被开方数不是非负数,所以不是二次根式,其余3个都是二次根式.故选C . 2.(2014·南通中考)若在实数范围内有意义,则x 的取值范围是 ( ) A.x ≥ B.x ≥- C.x > D.x ≠

解析:是二次根式,因此2x -1≥0,在分母上,因此≠0.则解得x >.故选C . 3.当x = 时,二次根式有最小值,其最小值是 .

解析:∵二次根式有意义,∴x +3≥0,即x +3的最小值是0,∴x +3=0,解得x =-3. 答案:-3

4.求下列各式中字母a 的取值范围: (1);(2) ;(3);(4).

解:(1)由a +1≥0,

得a ≥-1.∴字母a 的取值范围是大于或等于-1的实数. (2)由>0,得

1-2a >0,即a <.∴字母a 的取值范围是小于的实数. (3)因为无论a 取何值,都有(a -3)2

≥0,所以字母a 的取值范围是全体实数. (4)因为无论a 取何值,都有|a |+1>0,所以字母a 的取值范围是全体实数.

第1课时

1.二次根式的概念

2.例题讲解 例1 例2

教材作业

【必做题】

教材第3页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第1题.

【选做题】

教材第5页习题16.1第7题.

我们经常说过程比结果更重要.我对整节课的设计力求符合学生的认知特点,想方设法创设生动活泼的教学情境,使学生始终处在好奇、好学的高亢的学习情绪当中,同时,整节课努力做到先有框架,中有深化,后有突破.学生学有情趣,学有所获,并由衷感到:学习是快乐的事,学会了更是幸福的事.

在教学中,我适当增加了有拓展性的练习,层层递进,想使不同的学生得到不同程度的发展和提高,但受到教材中练习题的局限,就当a是非负数时,本身也是一个非负数的练习没有落实到位.

第课时

1.理解()2=a(a≥0)和=a(a≥0),并利用它们进行计算和化简.

2.用具体数据结合算术平方根的意义推出()2=a(a≥0)和探究=a(a≥0),会用这个结论解决具体问题.

3.了解代数式的概念.

在明确()2=a(a≥0)和=a(a≥0)的算理的过程中,感受数学的实用性.

通过运用二次根式的性质化简的相关计算,解决一些实际问题,培养学生解决问题的能力.

【重点】掌握二次根式的性质,并能将二次根式的性质运用于化简.

【难点】能运用二次根式的性质化简.

【教师准备】教学所需的习题资料.

【学生准备】自学教材第3~4页的内容.

导入一:

教师出示问题:

先化简再求值:当a=9时,求a+值,甲、乙两人的解答如下:

甲的解答为:原式=a+=a+(1-a)=a+1-a=1;乙的解答为:原式=a+=a+(a-1)=2a-1=17.两种解答中,谁的解答是错误的呢?

本节课,我们一起来学习二次根式的性质,然后就可以解决上面的问题了.

[设计意图]以问题设疑,发挥问题导向作用,激发学生的求知欲,为本节课学习打下基础.

导入二:

1.什么叫二次根式?

2.当a≥0时,叫什么?当a<0时,有意义吗?

学生口答,老师点评.

通过前面的学习,我们知道了二次根式具有双重非负性.今天我们主要学习一些二次根式的其他性质.

[设计意图]复习旧知导入新知,让本节课自然过渡,为本节课学习奠定了基础.

思路一

1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)

()2,()2,,()2.

学生口述,教师根据情况评价.

()2表示4的算术平方根的平方;()2表示2的算术平方根的平方;表示的算术平方根的平方;()2表示0的算术平方根的平方.

追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

()2=;()2=;=;()2=.

学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

教师引导学生说出每一个式子的含义.

是4的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于4的非负数,因此有()2=4.是2的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于2的非负数,因此有()2=2. 是的算术平方根,根据算术平方根的意义,是一个平方等于的非负数,因此有=.表示0的算术平方根,因此有()2=0.

讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?

引导学生归纳得出二次根式的性质:一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).

(教材例2)计算:

(1)()2;(2)(2)2.

学生独立完成,两名学生板演,再集体订正.

〔解析〕(1)直接运用()2=a(a≥0)化简即可.(2)运用幂的性质(ab)2=a2b2.

解:(1)()2=1.5.

(2)(2)2=22×()2=4×5=20.

[解题策略]把底数看成根号外因数与二次根式的积,按照积的乘方计算即可.

【变式训练】计算:(-2)2.

〔解析〕把原式的底数看成是-2与的积,先利用(mn)2=m2n2,再根据()2=a(a≥0)化简.解:(-2)2=(-2)2()2=4×3=12.

[知识拓展]形如(x)2的关于二次根式的运算可结合(ab)2=a2b2得到(x)2=x2a.

[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质1,培养学生抽象概括的能力,并通过例题和变式训练及时巩固二次根式的性质1,学会灵活运用.

,,,.

教师引导学生说出每一个式子的含义.

表示2的平方的算术平方根;表示0.1的平方的算术平方根;表示的平方的算术平方根;表示0的平方的算术平方根.

追问:根据算术平方根的意义填空,并说出得到结论的依据.

=;=;=;=.

学生独立完成填空后,让学生展示其思维过程,说出得到结论的依据.

∵4=22,∴=2,因此=2;∵0.01=0.12,∴=0.1,因此=0.1;∵=,∴=,因此=;∵0=02,∴=0,因此=0.

讨论:从以上的结论中你能发现什么规律?你能用一个式子表示这个规律吗?

引导学生归纳得出:一个非负数的平方的算术平方根等于这个数.即=a(a≥0).

(教材例3)化简:

(1);(2).

引导学生根据=a(a≥0)进行分析:(1)因为16=42,所以=,再计算即可得出结果.(2)因为(-5)2=52,所以=.

学生独立完成,集体订正.

解:(1)==4.

(2)==5.

[知识拓展](1)中的a的取值范围可以是任意实数,即不论a取何值,一定有意义.(2)化简时,一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数,若是正数或0,则等于a本身,即=a(a ≥0);若a是负数,则等于a的相反数-a,即=-a(a<0).

小组讨论:()2和有什么关系?

学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:

()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=

[设计意图]让学生经历从特殊到一般的过程,概括出二次根式的性质2,培养学生抽象概括的能力,并通过例题练习及时巩固二次根式的性质2.

思路二

请同学们阅读和自学课本第3~4页的内容,并思考下面的问题:

1.(1)填

空:()2=;()2=;=;()2=;=;()2=. (2)猜想当a≥0时,()2=.

2.(1)观察下列各式的特点,找出各式的共同规律,并用表达式表示你发现的规律.

==;==;==;==;….

通过观察,你得到的结论是什么?试着说一说.

(2)发现:当a≥0时,=,当a<0时,=.

学生用充足的时间学习后,交流学习情况,教师分析并讲解.

1.(1)根据算术平方根与乘方运算的关系,得=2,所以()2=22=4;=4,所以()2=42=16;=,所以==.根据以上规律,可以得出()2=2;=;()2=0.

(2)从第(1)问可以发现,一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数,即()2=a(a≥0).

2.先计算==2;==2;==3;==3;….可以看出:一个正数的平方的算术平方根等于这个数,一个负数的平方的算术平方根等于这个数的相反数.于是当a≥0时,=a,当a<0时,=-a.

归纳并板书:

二次根式的性质:1.()2=a(a≥0);2.=a(a≥0).

提问:()2和有什么关系?

学生自由讨论,教师根据情况引导学生从式子的意义和结果两个方面去分析,得出:

()2表示a的算术平方根的平方,()2=a(a≥0);表示a的平方的算术平方根,=|a|=

[设计意图]在计算的基础上,引导学生观察、猜想、归纳得出二次根式的两个性质,并从式子的意义和结果进行比较,得出二者之间的关系.

3.代数式

提问:回顾我们学过的式子,如a+b,-ab,,-x3,,(a≥0),这些式子有哪些共同特征?

学生概括式子的共同特征,得出代数式的概念.

这些式子都是用基本运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,我们称这样的式子为代数式.

学生举出一些例子,并书写,教师针对学生书写出现问题的地方进行指导.

[设计意图]学生通过观察式子的共同特征,形成代数式的概念,培养学生的概括能力. 4.例题讲解

(补充)计算:(-5)2,,-.

〔解析〕利用()2=a(a≥0)和=a(a≥0)化简,注意被开方数的符号.

解:(-5)2=(-5)2×()2=25×2=50.

==.

-=-=-.

(补充)比较2与3的大小.

〔解析〕直接比较这两个二次根式的大小不太容易,由于这两个二次根式平方后得到两个有理数,因此可以通过比较这两个二次根式平方的大小来比较它们的大小.

解:∵(2)2=22×()2=44,(3)2=32×()2=45,

又∵44<45,且2>0,3>0,

∴2<3.

1.计算的结果是()

A.-3

B.3

C.-9

D.9

解析:==3.故选B.

2.下列各式:①m2-3;②(a>0);③a-1=6;④3x-5>0;⑤;⑥66.其中代数式的个数是

()

A.2个

B.3个

C.4个

D.5个

解析:③a-1=6是方程,不是代数式;④3x-5>0是一元一次不等式,也不是代数式;其余都是代数式.故选C.

3. +的值是.

解析:+=2+2=4.故填4.

4.(1)当x 时,=2-x成立;

(2)计算=.

解析:(1)当x-2≤0时,=2-x,所以x≤2;(2)因为3<π,所以3-π<0,因此=π-3.

答案:(1)≤2(2)π-3

5.计算:(1);(2)(2)2;(3);(4)(-)2.

解:(1)=0.9. (2)(2)2=22×()2=12. (3)=(-2)2×=2.

(4)(-)2=(-1)2×()2=15.

第2课时

1.二次根式的性质1:()2=a(a≥0)

例1

2.二次根式的性质2:=a(a≥0)

例2

3.代数式

4.例题讲解

例3例4

教材作业

【必做题】

教材第4页练习第1,2题;教材第5页习题16.1第2,3,4,5,6题.

【选做题】

教材第5页习题16.1第7,8,9,10题.

本节课通过“观察——归纳——运用”的模式,让学生对知识的形成与掌握变得简单起来,将一个一个知识点落实到位,适当增加了拓展性的练习,层层递进,使不同的学生得到了不同的发展和提高.

在探究二次根式的性质时,通过“提问——追问——讨论”的形式展开,保证了活动有一定的针对性,但是学生发挥主体作用不够.

16.2二次根式的乘除

第课时

1.理解=·(a≥0,b≥0),使学生能够利用积的算术平方根的性质进行二次根式的计算和化.

2.掌握二次根式的乘法法则,会进行二次根式的乘法运算.

1.经历“探索——发现——猜想——验证”的过程,使学生进一步了解数学知识之间是互相联系的.

2.培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力.

鼓励学生积极参与数学活动,激发学生的好奇心和求知欲,体验数学活动中的探索和创新,感受数学的严谨性.

【重点】会利用积的算术平方根的性质化简二次根式,会进行二次根式的乘法运算.【难点】二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】复习二次根式的定义和代数式的定义.

导入一:

古希腊的几何家海伦的邻居家有一块三角形的菜地,测得三边的长分别为7 m,5 m,8 m,海伦很快就算出了这块菜地的面积,邻居想了很久也算不出来,你知道海伦是如何将这块地的面积计算出来的吗?

原来海伦先算出三角形的周长的一半为10 m,再根据计算三角形的面积公式得=(m2),可是后面这个式子该如何化简呢?这节课我们一起来进行探讨.

[设计意图]创设情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.

导入二:

我们知道长方形的面积等于长乘宽,一个一组邻边长为2和3的长方形,你能算出它的面积吗?其实这个长方形的面积是2×3,你能算出这个结果,求出长方形的面积吗?

[设计意图]联系生活实际导入新课,让学生感受到数学来源于生活,唤起学生探究新知的欲望.

1.二次根式的乘法

思路一

计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

(1)×=,=;

(2)×=,=;

(3)×=,=.

参考上面的结果,用“>,<或=”填空.

×,×,×.

老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.

老师点评:(1)被开方数都是正数;(2)两个二次根式的乘法等于一个二次根式,并且把这两个二次根式中的数相乘,作为等号另一边二次根式中的被开方数.

提问:二次根式的乘法法则是什么?字母表达式是怎样的?

学生总结二次根式的法则:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.

[设计意图]培养学生细心观察问题,并合作完成问题的习惯.

[知识拓展](1)·=成立的条件是a≥0且b≥0,千万不能忽略.(2)此法则可以推广到多个二次根式的乘法运算中,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).在·=(a≥0,b≥0)中,a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数,如m·n=mn(a≥0,b≥0).

思路二

出示教材第6页“探究”.

计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

(1)×=,=;

(2)×=,;

(3)×=,=.

学生自己计算,并力争独立发现规律:×=,×=,×=.

教师演算:×=×5=,==,则×=.

由上面的特殊例子引导学生总结:·=(a≥0,b≥0),即二次根式相乘,把被开方数相乘,根指

计算:(1)×;(2)×.

学生独立做完后,同桌内确定答案,并记录下自己的错误之处,以便后面交流.

[设计意图]由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式乘法的法则,通过尝试练习使学生先学会初步掌握如何进行二次根式的乘法.

2.积的算术平方根的性质

①==,×=2×5=;

②==,×=6×=;

③==,×=0.1×3=.

你认为=(a≥0,b≥0).

学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现.教师根据学生情况引导:

根据算术平方根的意义,得==10,×=2×5=10,则=×;同样,==,×=6×=,则有=

×;==0.3,×=0.1×3=0.3,则有=×.由此可以得出两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积.

进一步明确:=·(a≥0,b≥0).

[设计意图]让学生亲自动手,进行探究,得出结论,激发学生求知欲望.

化简:(1);(2)(m>0).

学生讨论,得出:(1)先把被开方数化为202×10,再利用=·计算;

(2)先把被开方数化为(9m)2与n乘积的形式,再利用=·计算.

解:(1)原式=×=20.

(2)原式==·=9m.

教师针对练习中的错误进行纠正,引导学生归纳:两个非负数积的算术平方根等于它们算术平方根的积,即=·(a≥0,b≥0).

[设计意图]鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.

[知识拓展](1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=·,而不等于·.(2)积的算术平方根性质可推广为:当a≥0,b≥0,c≥0时,=··.(3)公式中a,b既可以是具体的数,也可以是含有字母的代数式,但必须满足a≥0,b≥0.

3.例题讲解

(教材例1)计算:

(1)×;(2)×.

引导学生结合前面尝试练习分析:根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)进行计算.解:(1)×=.

(2)×===3.

(教材例2)化简:

(1);(2).

教师引导发现:被开方数4a2b3含4,a2,b3这样的因数或因式,它们被开方后可以移到根号外,是开得尽方的因数或因式.根据积的算术平方根的性质=·进行二次根式的化简.

解:(1)=×=4×9=36.

(2)=··=2·a·=2ab.

(教材例3)计算:

(1)×;(2)3×2;(3)·.

〔解析〕根据二次根式的乘法法则·=(a≥0,b≥0)计算,其中3×2中,二次根式前面有系数,可以类比单项式乘单项式的法则进行运算,即系数之积作为系数,被开方数之积作为被开方数.

解:(1)×===×=7.

(2)3×2=3×2=6=6×=6×5=30.

(3)·===·=x.

[解题策略]化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.

【变式训练】判断下列各式是否正确,不正确的请予以改正.

(1)=×;

(2)×=4××=4×=4=8.

解:(1)不正确.改正:==×=2×3=6.

(2)不正确.改正:×=×===4.

[设计意图]让学生把所学知识灵活运用,给前面尝试练习错误的学生一次强化训练的机会,力争人人能过关.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

1.·=(a≥0,b≥0),即两个二次根式相乘,把被开方数相乘,根指数不变.二次根式的乘法法则可以推广到多个二次根式进行相乘的运算,如··=(a≥0,b≥0,c≥0).

2.=·(a≥0,b≥0),用语言叙述为:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积.

1.若=·,则a的取值范围是()

A.-4≤a≤4

B.a>-4

C.a≤4

D.-4

解析:由题意可知:4-a≥0且4+a≥0,得a≤4且a≥-4,因此-4≤a≤4.故选A.

2.下列各式成立的是()

A.4×2=8

B.5×4=20

C.4×3=7

D.5×4=20

解析:A错,正确结果为40;B错,正确结果为20;C错,正确结果为12;D正确.故选D.

3.一个长方形的长和宽分别是 cm和 cm,则这个长方形的面积是.

解析:×==25(cm2).故填25 cm2.

4.已知x>0,y>0,则·=.

解析:·=·=·=xy.故填xy.

5.化简:(1);(2)(a≥0,b≥0).

解:(1)=×=6×9=54. (2)=··=3·a·=3a·=3ab.

6.计算:(1)×;(2)4×7;(3)3×5;(4)·.

解:(1)×==6. (2)4×7=4×7=28=252. (3)3×5=3×5=15. (4)·==a.

第1课时

1.二次根式的乘法

2.积的算术平方根的性质

3.例题讲解

例1例2例3

教材作业

【必做题】

教材第7页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第1题.

【选做题】

教材第11页习题16.2第6题.

本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,不断进行自主探究,在探究过程中注意观察知识产生发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.

学生基本掌握了二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质,但一些学生在计算被开方数相乘时,喜欢急于算出乘积的结果,而应将被开方数进一步分解因数,以便把开得尽方的因数移到根号外面,从而使计算简便.

第课时

1.会进行简单的二次根式的除法运算.

2.使学生能利用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.

3.理解最简二次根式的概念,并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式.

1.在学习了二次根式乘法的基础上进行总结对比,得出除法的运算法则.

2.引导学生用从特殊到一般的方法及类比的方法,解决数学问题.

在经历探索二次根式除法运算法则的过程中,认识到事物之间的相互联系,获得成就感,建立学习数学的信心和兴趣.

【重点】会进行简单的二次根式的除法运算,会用商的算术平方根的性质进行二次根式的化简与运算.

【难点】二次根式的除法与商的算术平方根的关系及应用.

【教师准备】教学中出示的教学插图和例题.

【学生准备】复习二次根式的乘法法则.

导入一:

化育中学有一块直角三角形的花台,计划让九年级的同学负责花台周围的清洁卫生.已知直角边AC= m,BC=3 m,你能求出斜边AB的边长吗?在学习了下一章后,根据勾股定理得AB== =.

在上面的问题中,你会计算的结果吗?学习这节课后,你将很容易地解答这类问题.

[设计意图]创设问题情境导入新课,激发学生学习的兴趣,为本节课学习打下基础.

导入二:

1.请同学们回忆·=(a≥0,b≥0)是如何得到的?

学生回忆二次根式乘法的运算法则的推导过程,并总结学习方法.

2.计算下面的式子,并请每一个同学举出一个例子.

(1)=,=;(2)=,=;

教师巡视学生举例和计算结果是否正确.

这些式子的计算涉及我们这节课要学习的二次根式的除法等相关内容,让我们一起来探究一下.

1.二次根式的除法

思路一

计算下列各式,观察计算结果,你能发现什么规律?

(1)=,=;

(2)=,=;

(3)=,=.

参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.

;;.

老师纠正学生练习中的错误后,引导学生观察运算结果,发现和总结式子有什么规律,指出几名学生回答,其余学生补充.

提问:二次根式的除法法则是什么?字母表达式是怎样的?

学生总结二次根式除法的法则:

=(a≥0,b>0).

即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.

追问:a,b的取值范围为什么不同?

学生思考,交流:因为分母不能为0,所以b≠0.当a<0,b<0时,,无意义,因此a≥0,b>0. [设计意图]运用二次根式乘法的方法探索,使学生清楚新旧知识之间的区别与联系,培养学生从特殊到一般的归纳概括能力.

思路二

,

.

提问:比较上面的式子,你能得到什么样的结论呢?

引导学生比较计算结果,发现规律.

因为=,=,所以=;因为=,=,所以=.

由此可以看出两个二次根式相除,把被除数的被开方数除以除数的被开方数,根指数不变.明确二次根式的除法法则:=(a≥0,b>0).

(教材例4)计算:

(1);(2)÷.

学生利用=(a≥0,b>0)进行计算,根据学生计算情况指点.对于(2)题,需将除法转化成乘法后,再进行化简.

解:(1)===2.

(2)÷====3.

[设计意图]由特殊到一般,由特殊例子推导得出二次根式的除法法则,通过尝试练习使学生先学,教师后教,初步掌握二次根式的除法运算.

[知识拓展](1)当被除式的被开方数能被除式中的被开方数整除时,可直接利用二次根式除法法则计算.如÷===2.(2)当被除式中的被开方数不能被除式中的被开方数整除时,或者被除式是整数而除式是二次根式时,可以利用分数的基本性质把分母中的根号化去.如==,==.(3)当二次根式前面有系数时,可以类比单项式除以单项式的法则进行运算,即系数之商作为系数,被开方数之商作为被开方数,如m÷n=(m÷n)×(÷),其中a≥0,b>0且n≠0.

2.商的算术平方根的性质

(1)=,=;

(2)=,=;

(3)=,=.

参考上面的结果,用“>”“<”或“=”填空.

;;.

你认为=(a≥0,b>0).

学生计算后比较每一组的结果,说出自己的发现,教师明确商的算术平方根的性质:

=(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. [设计意图]让学生亲自动手计算,提出猜想,归纳论证,得出结论,培养学生探究能力和探究的良好习惯.

学生阅读教材第8页内容:把=(≥0,>0)反过来,就得到=(≥0,>0),利用它就可以将二次根式化简.

尝试练习:

(教材例5)化简:

(1);(2).

学生独立完成后,找学生口述解题过程,教师将过程写在黑板上.

解:(1)==.

(2)===.

引导学生归纳:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根,

即=(a≥0,b>0).

[设计意图]鼓励学生尝试练习,练后进行归纳,培养学生主动探究数学规律的能力,提高他们的归纳总结能力.

[知识拓展](1)当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=,而不等于.(2)如果被开方数是带分数,应先将其化成假分数,如必须化成,防止出现=×这样的错误.

化简:=;=.

学生独自练习后,教师讲解.

由于27可以分解为32×3,根据=·(a≥0,b≥0),则有=×=3,可以根据=(a≥0,b>0)得,再利用分数的基本性质可以变形,则有===.

追问:观察化简结果3和,它们有什么特点?自己可以再举例说明.

引导学生从上面两小题化简的过程来看:

(1)把被开方数中能开得尽方的因数(或因式)开出来;

(2)把被开方数中所含有的分母化去.

进一步归纳总结:如果二次根式满足下列两个条件:(1)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式;(2)被开方数中不含有分母.那么这样的二次根式叫做最简二次根式.

[知识拓展](1)在二次根式的运算中,一般都要把最后结果化成最简二次根式.(2)判断一个二次根式是不是最简二次根式,就要紧扣最简二次根式的特点:①被开方数中不含有分母或小数;②被开方数中不含有能开得尽方的因数或因式;③若被开方数是和或差的形式,则先把被开方数写成积的形式,再判断,若无法写成积或一个数的平方的形式,则为最简二次根式.如因为=,所以不是最简二次根式;因为无法进行因式分解或变成一个数或因式的平方,所以是最简二次根式.

4.例题讲解

(教材例6)计算:

(1);(2);(3).

先引导学生分析本题3道小题,根据二次根式的除法法则进行计算,计算结果应化成最简二次根式,在自己练习后小组交流.

解法1:(1)=====.

解法2:(1)===.

解:(2)======.

(3)===.

[解题策略]化简二次根式的方法:①把被开方数化为能开得尽方的因数(或因式)与其他因数(或因式)积的形式,再开平方即可;②被开方数是小数的,要化成分数,可以利用分数的基本性质,使得化简后被开方数不含分母;③当被开方数是和(或差)的形式时,要把被开方数写成一个数或分解因式,再化简.

(教材例7)设长方形的面积为S,相邻两边长分别为a,b.已知S=2,b=,求a.

学生先分析题意,独立列出式子,再代值计算.

分析:∵S=ab,∴a=,将S,b的值代入进行化简即可.

解:a=====.

[设计意图]通过对例题的分析和解答,加深对二次根式的除法与商的算术平方根的理解和应用.

师生共同回顾本节课所学主要内容:

1.=(a≥0,b>0),即两个二次根式相除,把被开方数相除,根指数不变.

2. =(a≥0,b>0),即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

3.如果一个二次根式满足以下两个条件:(1)被开方数不含分母;(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们称这样的二次根式为最简二次根式.

1.下列计算正确的是()

A.==

B.==

C.===

D.=±=±

解析:当a<0,b<0时,虽然有意义,但是=,而不等于,因此===.故选C.

2.(2015·淮安中考)下列式子为最简二次根式的是()

A. B. C. D.

解析:=2,=2,=,均不是最简二次根式.故选A.

3.计算4÷2的结果是.

解析:4÷2=(4÷2)×=2×=2×3x=6x.故填6x.

4.计算:(1);(2);(3);(4).

解:(1)==. (2)==. (3)==. (4)=-=-=-1.

5.计算:(1)(y>0);(2)-÷;(3).

解:(1)==. (2)-÷=-=-3. (3)==.

第1课时

1.二次根式的除法

例1

2.商的算术平方根的性质

例2

3.最简二次根式

4.例题讲解

例3例4

教材作业

【必做题】

教材第10页练习第1,2,3题;教材第10页习题16.2第2,3,4题.

【选做题】

教材第11页习题16.2第7,8,9,10题.

本节课以问题的方式提出要解决的问题,让学生观察、计算、归纳,运用类比学习的方法探究得出二次根式的除法法则.在探究过程中注意观察知识产生、发展的全过程,从而让学生的学习情感和学习品质得到升华,学生的创新精神得到发展.本课时设计充分反映了课堂教学的灵活性与探究性,基本达到了通过再创造培养学生创新精神和创造能力的教学目标.

由于本节课内容较多,练习量大,学生基本掌握了二次根式的除法法则和商的算术平方根

的性质,但一些学生在计算时,没有把结果化成最简二次根式.