第2章 导数与微分总结

1基础总结1、极限的实质是：动而不达导数的实质是：一个有规律商的极限。

规律就是：0lim x y x∆→∆∆2、导数的多种变式定义：00000()()()()lim=lim lim x x x x f x f x y f x x f x x x x x ∆→∆→→-∆+∆-=∆∆-要注意细心观察发现，0()()limx f x x f x x∆→+∆-∆是描述趋近任意x 时的斜率。

而00()()limx x f x f x x x →--可以刻画趋近具体x0时的斜率。

3、若x 没趋近到x0，那么除法得到的值是这段的平均斜率，如果趋近到了x0,得到的就是这点的斜率——导数。

4、可导与连续的关系：导数的实质是定义在某点的左右极限。

既然定义在了某点上，该点自然存在，而且还得等于左右极限。

因此，可导一定是连续的。

反之，如果连续，不一定可导。

不多说。

同理，如果不连续，肯定某点要么无定义，要么定义点跳跃跑了，肯定极限有可能存在，但是导数绝不会存在。

同理要注意左右导数的问题。

如果存在左或者右导数，那么在左侧该点一定是存在的。

如：(),0f x x x =<这个函数，在0点就不存在左导数，只存在右导数。

为什么嫩？看定义：0()()()(0)limlimx x f x x f x f x x f x x∆→∆→+∆-+∆-=∆∆。

定义里面需要用到f(0)啊！因此，千万不要以为导数是一种简单的极限，极限是可以在某点无定义的，而导数却是该点必须存在！由此引发了一些容易误判的血案： 例如：定义解决时候一定要注意000()()limx x f x f x x x →--中的0()f x 到底是神马。

比如求上图中01()()lim x f x f x x x +→-- ,这个f(x0)千万要等于2/3，而不是1！由此也可以知道，32(),13f x x x =≤ 这个函数是不存在导数的，也不存在左导数，只存在右导数。

5、反函数的导数与原函数的关系：有这样一条有趣的关系：函数的导数=对应的反函数的导数的倒数。

11'()(())'f x f y -=注意，求反函数时候不要换元。

因为换了元虽然对自身来讲函数形式不变，但是与原函数融合运算时候就算是换了一个不是自己反函数的一个函数进行运算。

结果显然是错误的。

举例子：求xy e =的导数。

显然反函数（不要换元）是ln x y = 。

反函数的导数是1'x y= 。

反函数导数的倒数是 =xy e，因此，()'x xy e e ==再如，求arcsin()x 的导数。

解：令函数为arcsin()y x =，则其反函数为sin x y =，导数的倒数为1(arcsin )'cos x y =。

但是必须消去y(注意到在定义域内cosy 恒为正，因此舍掉负解)6、复合函数求导法则：只要父函数和子函数随时能有定义，就拆着求就可以了。

7、高阶导数：如果f(x)在点x 处具有n 阶导数，那么f(x)在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶的导数。

()sin ()sin()2n n x x π=+; ()cos ()cos()2n n x x π=+;其余的也记不住，自己慢慢推导。

()()()()n n n u v u v ±=± ;二项式定理中有：0()nn k n k kn k u v C u v-=+=∑ ；类似的，乘法的n 阶导数也有：()()()(*)nn k n k k n k u v C u v-==∑。

这个是要熟练记忆的。

8、隐函数，参数方程的导数，相关变化率建议隐函数，参数方程的导数，以及求导数的相关变化率时使用dydx形式求解。

只有这样才能准确，安全，方便。

举例：求0ye xy e +-= （隐函数f(x,y)=0）中y 对x 的导数dy dx解：两边求导，()0y d e xy e d dx dx+-=())00y y y d e xy e de dxy de de dy dxydx dx dy dx dx+-+-→=→=+=，()0yy ydy ydx xdy dy dy ye e x y dx dx dx dx dx e x→++=++=→=-+解完以后发现效果还不错。

如果直接用什么y ’神马的净是错误，所以不要直接用口算，用dy/dx 方法求解。

复合隐函数如何求导？例如，如何求x yde dx+ ？简单，()=(1)()x y x y x y de de d x y dye dx d x y dx dx++++=++。

怎么样，就是层层剥香蕉的意思。

参数方程同理，设()()x x t y y t =⎧⎨=⎩ ，则简单，而且显然有'()'()dy dy dt y t dx dt dx x t ==，二阶导数有223'()'()()()''()'()'()''()'()'()['()]y t y t d d d ydt y t x t y t x t x t x t dxdx dt dx x t -===。

麻烦吗？根本不要记，连参数方程的公式都不要记，自己慢慢算，算到哪里推导到哪里，简单又方便。

相关变化率问题，是说,dy dxdt dt之间的关系。

求dydx这一类（幂指数是12）一般都是对方程两边先求对数，再求解，这样求解起来应该会简单。

9、微分微分用dy 表示。

dy y ≈∆.微分的产生主要就是为了能方便简单的计算给定x ∆ 后对应的近似的y ∆ 。

实际上，()()y f x x f x ∆=+∆-，若可以化简成00()()()y f x x f x k x o x ∆=+∆-=∆+∆形式，则称()f x 在该点x0处可微记作0|x x dy k x ==∆ ，这部分称为线性部分。

()o x ∆ 是x ∆ 的高阶无穷小，因此在计算时可以省去，这样只计算线性部分就特别简单的算出近似的y ∆了。

当0x ∆→ 时，(())0()0y k x o x dy k x ∆=∆+∆→=∆→ ，经过计算0lim =...=1x ydy∆→∆ ，可见，0dy y x ∆∆→与在 时是等价无穷小，即有y dy ∆:可微与可导的关系：可微和可导是等价的，互为充要条件。

关系如图课本上的一些重要易错的题1、求1arccos()yx=的导数解：2)dyxdx-=-===x≠2、试从1'dxdy y=导出223''(')d x ydy y=-解：222311()''1''''**(')'(')dxd d dd x dx y ydy y ydy dy dy dx dy y y y====-=-3、设f(x)在x=a的某个邻域内有定义，则f(x)在x=a处可导的一个充分条件是：A 1lim[()()]hh f a f ah→+∞+-存在B(2)()limhf a h f a hh→+-+存在C()(-)lim2hf a h f a hh→+-存在D()(-)limhf a f a hh→-存在答案：D4、sin,0()ln(1),0x xf xx x<⎧=⎨+≥⎩在0处的单侧导数'(0)f-。

解：注意，不能用()()limxf x x f xx∆→+∆-∆，应该用()()limx xf x f xx x→--才能算出来。

这个要注意。

如果用()()limxf x x f xx∆→+∆-∆怎么算？5、此题主要存在的问题是不知道如何将实际问题转换为数学问题。

2 扩展部分求x=x0处导数有两种定义：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧----∆+=→→∆0000000)()()()()('lim lim 0x x x f x f x x x f x x f x f x x x 而x 处的导函数只有一种定义hx f h x f x f h )()()('lim-+=→可导与连续的关系：可导指的是：存在左导数和右导数，且两者相等。

而左导数还是右导数的实质是单侧极限问题。

而若两侧（导函数的）极限都存在，那么必然该导函数存在极限，即该种极限的导函数即导数存在。

故可导的充要条件是存在左右极限且相等。

单侧导数与单侧极限一样，光有一个说明不了导数（极限）存在 可导必然连续，连续未必可导。

因为连续在公式上的表现是lim 0→∆x △y=0可导在公式上表现是存在lim 0→∆x △y/△x=f ’(x)故可导可以推出连续。

但连续推不出可导。

不可导未定不连续，但不连续一定不可导。

（可以用反证法证明）这些不用死记。

某点单侧导数存在，则该点一定要有定义。

比如⎪⎩⎪⎨⎧>≤=1,1,32)(23x x x x x f 在x=1处的右导数就不存在。

但是⎩⎨⎧>-≤=1,121,)(2x x x x x f 在x=1处的右导数就存在。

反函数存在的充要条件是原函数单调。

要注意中自变量是什么。

是)('1)('y x f ϕ=而不是)('1)('x x f ϕ=一定要注意 Tan ，cot ，sec ，csc ，arctan ，arcsin ，arccos ，arccot 导数都可以自己推倒出来。

用的就是反函数的导数公式。

如：)(11)(sin 11)cos(1)'sin(1)'arcsin(22舍掉负值x y y y x -=-===a x a a a x y y a ln 1ln 1)'(1)'(log ===如果哪个忘了，要能够自己推导。

【回忆】牛顿二项式展开∑=-=+nk k k n k n nb a C b a 0)(与莱布尼茨高阶导形式类似。

这一节就是练习给出f(x)求)()(n x f 。

本节的题比较难。

主要方法是：1归纳法。

将)('x f ，)(''x f 求出整理归纳出n 阶导数 莱布尼茨公式求uv 乘积的高阶导数2遇到一些求分数函数的高阶导数的式子，一般就要先化简。

最好是想办法化成和的形式，再分别求高阶导数。

3遇到三角函数的高阶导数时，要把三角函数降阶到1阶再求。

一般给出f(x)求)()(n x f 需要综合运用各种方法才能算出来。

如先化简，再用归纳法，莱布尼茨公式等。

还有题是变量替换题。

例：设y=y(x)定义在（-1,1）上且二阶可导，满足方程0)1(2222=+--y a dxdyx dx y d x ，做变量代换x=sint ，证明0222=+y a dtyd证明：dxdy t dt dx dx dy dt dy cos *== dx dy t dt dx dy d t dt dx dy td dty d sin )(cos )(cos 22-==dxdy t dt dx dx y d t sin cos 22-= dxdy x dx y d x dx dy t dx y d t --=-=22222)1(sin sin -1）（ 带入可证明结论。