积分方法和计算步长的选择
控制系统建模设计与仿真概述
二、控制系统的建模方法
• 数学建模过程
坐标系定义
• 直角坐标系
直线运动——力，线加速度、线速度和位移 旋转运动——力矩，角加速度、角速度和角度
• 坐标系变换
地理坐标系 车体坐标系 传感器坐标系
余弦矩阵 四元素
俯仰->偏航->滚动
二、控制系统的建模方法
• 数学建模过程
被控对象 • 模型结构已知，通过测力等试验获取模型参数，得到 非线性耦合模型 • 例如，汽车轮胎滑移特性试验、飞机风洞试验等
• 建立数学模型的原因
• 便于控制算法设计与分析 • 便于通过仿真分析与评价系统性能
• 控制系统仿真的原因
• 优化控制系统设计 • 系统故障再现 • 部分替代试验，减小试验的次数 • 快速验证，大幅缩短验证周期 • 边界验证，替代具有危险性的试验
一、控制系统概述
• 控制系统建模、设计与仿真验证流程
二、控制系统的建模方法
• 数学建模过程
执行器 • 物理建模
• 试验建模
阶跃激励获取最大角速度 正弦扫频获取频率特性
二、控制系统的建模方法
• 数学模型转换
时域模型
微分方程
s=p
jw=p
求解
时域响应
传递函数
计算
频率特性
频域响应
s=jw
复数域模型
频域模型
控制系统建模、设计 与仿真概述
一、控制系统概述 二、控制系统的建模方法 三、控制律的设计方法 四、仿真验证和分析评价
控制系统建模、设计 与仿真概述
一、控制系统概述 二、控制系统的建模方法
三、控制律的设计方法 四、仿真验证和分析评价
一、控制系统概述
• 广义的控制系统
(完整版)控制系统数字仿真题库
控制系统数字仿真题库一、填空题1. 定义一个系统时，首先要确定系统的边界；边界确定了系统的范围，边界以外对系统的作用称为系统的输入，系统对边界以为环境的作用称为系统的输出。
2．系统的三大要素为：实体、属性和活动。
3．人们描述系统的常见术语为：实体、属性、事件和活动。
4．人们经常把系统分成四类，它们分别为：连续系统、离散系统、采样数据系统和离散-连续系统。
5、根据系统的属性可以将系统分成两大类：工程系统和非工程系统。
6．根据描述方法不同，离散系统可以分为：离散时间系统和离散事件系统。
7. 系统是指相互联系又相互作用的实体的有机组合。
8．根据模型的表达形式，模型可以分为物理模型和数学模型二大类，其中数学模型根据数学表达形式的不同可分为二种，分别为：静态模型和动态模型。
9、采用一定比例按照真实系统的样子制作的模型称为物理模型，用数学表达式来描述系统内在规律的模型称为数学模型。
10．静态模型的数学表达形式一般是代数方程和逻辑关系表达式等，而动态模型的数学表达形式一般是微分方程和差分方程。
11．系统模型根据描述变量的函数关系可以分类为线性模型和非线性模型。
12 仿真模型的校核是指检验数字仿真模型和数学模型是否一致。
13．仿真模型的验证是指检验数字仿真模型和实际系统是否一致。
14．计算机仿真的三个要素为：系统、模型与计算机。
15．系统仿真的三个基本活动是系统建模、仿真建模和仿真试验。
16．系统仿真根据模型种类的不同可分为：物理仿真、数学仿真和数学-物理混合仿真。
17．根据仿真应用目的的不同，人们经常把计算机仿真应用分为四类，分别为：系统分析、系统设计、理论验证和人员训练。
18．计算机仿真是指将模型在计算机上进行实验的过程。
19. 仿真依据的基本原则是:相似原理。
20. 连续系统仿真中常见的一对矛盾为计算速度和计算精度。
21．保持器是一种将离散时间信号恢复成连续信号的装置。
22．零阶保持器能较好地再现阶跃信号。
变步长辛卜生积分法
在复杂问题中的应用拓展
01
多维问题
将变步长辛卜生积分法应用于多 维问题的数值求解，研究多维问 题的数值方法和技巧。非线性问题02
03
实际应用问题
针对非线性问题的特点，研究变 步长辛卜生积分法的适用性和改 进方法。
将变步长辛卜生积分法应用于实 际工程和科学计算问题，提高算 法的实用性和可靠性。
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变步长辛卜生积分法的实现方式
误差估计
在积分过程中，通过误差估计来判断当前步长是否合适，从而决定 是否需要调整步长。
积分路径的确定
在变步长辛卜生积分法中，积分路径的确定是关键步骤之一，需要 根据被积函数的特点和误差控制要求来确定合适的积分路径。
数值积分的计算
在确定了积分路径后，需要采用适当的数值方法进行积分计算，如辛 卜生公式、高斯积分等。
04 变步长辛卜生积分法的改 进与优化
预估校正方法
预估步长
01
在积分过程中，首先使用预估步长进行积分，以减少计算量。
校正步长
02
根据预估步长的误差，使用校正步长进行修正，以提高积分精
度。
迭代修正
03
通过迭代方式不断修正预估步长和校正步长，以获得更精确的
积分结果。
自适应步长策略
误差判断
根据积分结果的误差判断当前步长是否合适。
步长调整
根据误差判断结果，自动调整步长，以适应 积分过程的变化。
动态调整
在积分过程中，动态调整步长，以获得更好 的积分效果。
多重步长策略
多重步长设置
设置多个不同大小的步长，以满足不同积分阶段的需 求。
步长选择
根据积分过程的实际情况，选择合适的步长进行积分。
第三章 化学反应动力学的计算
第三章 化学反应动力学的计算化学反应的速度各不相同，有的反应速度极快，只要几个毫微秒就达到平衡(接近扩散速度，如无机酸碱中和)，有的反应速度极慢，几乎看不到变化(如自然界的某些变化)。
大部分有机化学反应可用常规方法测量，对某些快速反应则可用停留法、驰豫法等测量。
不论反应速度的快慢，动力学方程都是类似的。
一、化学反应动力学方程反应物浓度随时间的变化绝大部分不是线性关系，而是一条曲线，见图3-1。
反应速度公式可用微分方程来表示。
具有简单级数的化学反应的反应速度公式可用积分式表示：一级 如：0AA1Adc A C =a, -=k c dt 生成物：，㏑C A =㏑a –K 1t 二级 A+A →产物 C A 0=a 2A 2A 2A d c 11-k C , =+k t d t c a对于反应 1-1k k A B 这一可逆反应初始条件 t=0 a 0 时间t 时 t=t a-x x达到平衡时，B 的浓度为X e ，则可逆反应的速度积分式为： 级数：1-1 1-10k A A e e 1A -1B k 0e 0C =a dc x xA B=-k C +k C : =kt dt a x -xC =0ln 1-21-10Ak0A e e e B 1A -1B C k e e 0CC =a dc x ax +x(a-x )A B+C C =0=-k C +k C C : =kt dt 2a-x a(x -x)C =0ln 二、常微分方程的解化学反应动力学方程是用微分方程表示的，对于简单的反应，可直接求得微分方程的解。
微分方程：()(1)(,,,......)......(1)n n y f x y y y -'=在区间a<x<b 的解，是指()y x ϕ=,这样一个函数，在所述区间内存在导数()(),(),......()n x x x ϕϕϕ'''。
且对于区间a<x<b 内的每一个x ，等式(1)都成立。
数值积分方法
数值积分方法数值积分，又称为数值分析，是一种应用科学和数学技术来求解数学分析中几何或者微分方程的数学方法。
在实际应用中，有一系列的数值积分方法可以应用于解决某些数学问题，其中包括这些方法的微元法、有限元法、线性多项式插值法、指数插值法、函数拟合法和通用积分等方法。
通过合理的数值技术及其应用，可以有效地解决众多实际问题。
数值积分是数值分析中最基本的方法，指将数学分析中的连续函数或曲线所表示的求和问题离散化，以使其被数值计算机计算出来，也被称为数值积分。
当需要用数值积分方法求某函数的定积分时，首先必须找出该函数的积分表达式，然后对该表达式进行离散化，得到计算机可以处理的函数，最后根据具体的算法，得到数值积分的解。
数值积分方法具有多种形式，分别适用于不同实际问题。
首先，常用的数值积分方法有积分公式，如梯形公式、抛物线公式、Simpson 公式等，以及牛顿-拉夫逊多项式插值公式等，这些积分公式可以以直接的方式计算定积分，但是这种方法只适用于简单的定积分计算，在复杂定积分的计算中效果不佳。
其次，还有多元积分法，如变步长梯形法、双积分法等，这些积分法可以帮助求解一些复杂的定积分，但是计算时间较长。
此外，还有有限元法、隐式Runge-Kutta法、快速积分法等，这些积分方法能够帮助求解非定积分问题，其计算效率也相对较高。
数值积分方法在实际应用中得到了广泛的应用，如仿真求解有限元方程，求解复杂的拟合问题，估计系统的运行参数，计算力学分析等等都与数值积分技术有关。
另外，今天在这一领域，全球多家著名计算数值分析软件公司也在不断改进技术，开发出更加高效的数值积分软件，从而更好地服务于实际问题的求解。
总之，数值积分方法是一门重要的数值分析学科，可用于解决多种实际问题，广泛应用于科学和技术领域，具有重要的现实意义。
python数值积分
python数值积分Python是一种高级编程语言，广泛用于科学计算和数据分析。
在数学和科学计算领域，数值积分是一个重要的问题。
数值积分是指用数值方法计算函数的定积分，即给定一个函数$f(x)$和积分区间$[a,b]$，求$int_a^bf(x)dx$的近似值。
本文将介绍Python中常用的数值积分方法和库。
一、数值积分方法1.矩形法矩形法是最简单的数值积分方法之一。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用函数在小区间中点的函数值$f(frac{a+i*h}{2})$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
具体公式为：$$int_a^bf(x)dxapproxhsum_{i=0}^{n-1}f(frac{a+i*h}{2})$$矩形法的优点是简单易懂，容易实现。
但是它的精度较低，误差较大。
2.梯形法梯形法是一种比矩形法更精确的数值积分方法。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用小区间两端点的函数值$f(a+i*h)$和$f(a+(i+1)*h)$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
具体公式为：$$int_a^bf(x)dxapproxfrac{h}{2}sum_{i=0}^{n-1}[f(a+i*h)+f(a+(i+1)*h)]$$梯形法的优点是比矩形法更精确，误差较小。
但是它的计算量较大，对于复杂函数和大量数据，可能需要较长的计算时间。
3.辛普森法辛普森法是一种更加精确的数值积分方法。
它的思想是将积分区间$[a,b]$分成$n$个小区间，每个小区间的宽度为$h=frac{b-a}{n}$，然后用小区间两端点和中点的函数值$f(a+i*h)$，$f(a+(i+1)*h)$和$f(frac{a+i*h+a+(i+1)*h}{2})$来近似表示小区间的面积，从而得到整个积分区间的近似值。
3.3多步法3.4误差与稳定性分析3.5数值积分法的选择与计算步长的确定
最大误差
0.001
0.00797
0.01
0.00078
0.02
0.00038
0.05
0.00001
0.1
0.00104
0.2
0.01501
0.5
0.59470
1.0
0.48049
（R=0）
最大误差 0.00104 0.00010 0.00005 0.00001 0.00003 0.00107 0.01645 0.79498
5 12
h y ( ),
3 (3)
系统仿真
a.Adams显示公式
当k=3时，可得四阶Adams显式公式：
yn1 yn
h 24
55 f n 59 f n1 37 f n2 9 f n3
h y ( ),
5 (5)
其局部截断误差
Rn
251 720
(tn1, tn )
式中：
ek 1 y(tk 1 ) yk 1 ——整体截断误差
k 1 yk 1 yk 1
系统仿真
——舍入误差
17
（a）截断误差
截断误差
局部截断误差
• 假定前k步为微分方程精确解的误差
整体截断误差
• 从初值开始，每步均有局部截断误差
假定前一步得到的结果yn是准确的，则用泰级数展
h p yn (9 f n1 19 f n 5 f n 1 f n 2 ) 24
y n1
c
是一个四步法，具有四阶精度。
除了初始值yo以外，其前三步的值y1，y2，y3 往往用RK4法计算，其余的y4,y5转向预估－校正 求解
sap2000基础操作
1，荷载工况(load case)：是对各种荷载类型的定义（define），然后通过指定(assign)建立模型中空间分布的力、位移或其他作用(例如：温度)。
这仅仅是建立了作用，荷载工况本身不在结构上产生响应。
2，分析工况（analysis case）：是定义荷载作用方式（静力或动力）、结构的响应方式（线性或非线性）、分析方法（模态分析法或直接积分法）。
分析工况中包含荷载工况，分析工况可以对应一个荷载工况，也，可以是荷载的组合（多点风荷载、多维地震动）。
运行分析工况才能得到结构关于荷载的响应。
3，定义组合(define combination ):是将分析工况的计算结果进行组合（计算机运行减少人工进行计算的工作量），常用的组合形式是线性（linear）叠加或者包络(envelope)。
1.时程分析时用EL波，原始记录的波一般是以重力加速度g为单位，它的峰值为0.341g,也就是0.341*9.8m/s2.而你sap的单位用的是N/mm/s,也就是你的单位与原始波的单位相差1000*9.8个单位，那么你的系数要输入9800。
如果你sap的单位为N/m/s，那么你的系数取9.8即可。
2.规程中的8度罕遇要求是400g，这个g是单位gal的缩写字母，它的单位是cm/s2。
实际上就是0.4个重力加速度。
即400gal ＝0.4g，考虑第1点，那么你的系数应该取1000*9.8*（0.4/0.341）＝11495.6。
3.定义时程函数时，单位无所谓，只要你的系数对应好就可以。
注：sap输入的地震函数本身是没有单位的，它的单位随着你sap 的右下角的单位走的。
所以才需要将这个单位和原始波单位对应。
1，将索得抗弯刚度设为极小值。
2，需作索的非线性分析，在作索得非线性分析需要打开大变形得选项。
3，加载需要分步加载，先加载预应力，再加载其它荷载。
4，在v9版本里面，可以直接用应变来直接模拟预应力，不用降温也可以。
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用上面的RK系数还可以导出一个3阶的RK公式
h yn1 yn 3k1 9k3 12k4 6
由以上两式确定的误差为
h en yn1 yn1 2k1 9k3 8k4 k5 6
该算法四阶精度，三阶估计误差，因此被称为 RKM34法。 该法的缺点是计算量大，每次需计算5次导函 数，比普通的RK4法多出1/4的计算量。
1 1 T min h T min 20 5 1 1 h 20 c 5 c h tn 40
其中 t n为系统在阶跃函数作用下的过渡过程 c为系统开环频率特性的剪切频率； Tmin 时间； 为系统的最小时间常数。当系统中有多个闭 合回路时，按反应最快的那个闭环系统确定 c 和 Tmin 。 相应的 t n ，
E E min
N
Y
E E max
N
Y
本步积分无效 步长减半
本步积分有效 步长不变
本步积分有效 步长加倍
输出本步积分结果
这种自动改变步长的方法，虽然增加了 局部的计算量，但从总体上考虑往往是合 算的，它较好地解决了计算精度与计算量 之间的矛盾，尤其是系统特征根分布分散 度较大的情况，更是如此。
是误差容许值， 其中 en是 n步的局部截断误差， yn是第 n 步的计算值。 hn 是第 n(Runge-Kutta-Merson) 变步长方法。 Merson的四阶RK公式 h y n 1 y n k 1 4 k 4 k 5 6 k 1 f t n , y n h h k 2 f t n , y n k1 3 3 h h k 3 f t n , y n k 1 k 2 2 6 h h k 4 f t n , y n k 1 3 k 3 2 8 h k 5 f t n h , y n k 1 3 k 3 4 k 4 2
相对误差方法：
rn en yn1 yn1 yn 1
rn 是相对误差；而当 当 yn1 很大时， rn 便成为绝对误差 en 。这样可以 yn 1 很小时， 避免当 y 值很小时而导致 rn 变得过大。
开始 给定初步长和误 差上、下限Emax、Emin
利用Runge-Kutta-Merson 法进行积分运算 估计误差E
变步长的起因：
c ， Tmin 有时是很难估 1 高阶仿真系统的 t n ， 计的， 有时根本就无法估计上述性能指标。 2 系统中最小时间常数对应的极点只影响到 过渡过程起始段形态，而系统过渡过程主要由 那些靠近虚轴的主导极点所决定。 3 固定步长积分方法的计算步长，是按起始 段来选取的，会造成后面阶段由于使用过小步 长积分而引起计算量增加和时间浪费。
变步长策略： (1) 分段变步长，将过渡过程分成几段，每
段使用不同的步长；
(2) 根据每步积分的误差，自动调整下一步
的积分步长；
(3) 最优步长法，使每一步积分步长在保证
精度的前提下取最大的步长。
3.5.3 误差估计与步长控制
控制误差的办法通常有三种：
en en hn en y n
3.5.积分方法和计算步长的选择
算法和步长的选择考虑以下因素：
方法本身复杂程度 计算量和误差的大小 步长和易调整性 系统本身的刚性程度 稳定性的要求
3.5.1 积分方法的选择
•精度要求
影响数值积分精度的因素：
截断误差：同积分方法、方法阶次、步长大小
等 因素有关
舍入误差：同计算机字长、步长大小、程序编
一般来说，对于系统阶次高、导函数复杂、 精度要求高的复杂仿真问题宜采用Adams预估－ 校正法。
• 数值解的稳定性
保证数值解的稳定性是进行数字仿真的先 决条件，否则计算结果将失去实际意义，导致 仿真失败。
刚性（病态系统）：对于刚性（病态系统）
问题，选择数值积分方法时，应特别注意稳定 性的要求，并采取相应的处理策略。
码质量等因素有关 初始误差：由初始值准确度确定
实际应用时应视仿真精度要求合理地选 择方法和阶次，并非阶次越高、步长越小 越好。
• 计算速度
计算速度：主要取决于每步积分运算所花费的 时间以及积分的总次数。 每步运算量：同具体的积分方法有关，它主 要取决于导函数的复杂程度以及每步积分应计 h 算导函数的次数。
3.5.2 积分步长的确定
积分步长与误差的关系：
步长太大，会导致较大的截断误差，甚至会 出现数值解的不稳定现象；
步长太小，必增加计算次数，造成舍入误差 的积累，使总误差加大。
系统的特性与步长的关系：
在确定积分方法以后，选择积分步长时，需要考 虑的一个重要的因素就是系统的动态响应特性。 对变化剧烈的快变量，要选择高阶的计算方法， 取较小的步长。 对于一般工程系统的仿真， 确定步长的经验公 式：
积分方法的选择具有较大的灵活性，要结 合实际问题而定。
RK法：当导函数不是十分复杂而且要求精度
不是很高时，RK法是合适的选择；
Adams预估－校正法：如果导函数复杂、计
算量大，则最好采用Adams预估－校正法；
Gear法：对于一些刚性仿真问题来说，Gear
法是一种通用的算法，它既适合正常系统， 又适合严重的病态系统；对于那些实时仿真 问题，则必须采用实时仿真算法。