(新课标I版01期)2014届高三数学_名校试题分省分项汇编专题04_三角函数与三角形(含解析)理
（新课标I 版01期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题04三角函数与三角形（含解析）理一．基础题组1. 【山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考】在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c 且a=1，B=45°，ABC S ∆=2，则b 等于( )A ．5B ．25C ．41D ．252. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】已知1sin 23α=，则2c o s ()4πα-=（ ） A ．13-B ．23-C ．13D ．233. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A. 31 B. 31- C. 97 D. 97-【答案】A. 【解析】试题分析：212cos ()1cos()sin[()]sin()6232363παππππααα+-=+=-+=-=，选A. 考点：三角函数的倍角公式、诱导公式.4. 【2012-2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】将函数))(6sin(R x x y ∈+=π图像上所有的点向左平行移动6π个单位长度，再把图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图像的解析式为（ ） A.)32sin(π+=x y B.)32sin(π+=x y C.2sin xy = D.2cosx y =5. 【河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】已知sin()sin 0,32ππααα++=-<<则2cos()3πα+等于（ ）A ．45-B ．35-C ．35D ．456. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学】设函数()sin cos 2f x x x =图象的一个对称轴是（ ）A ．B ．0x = C7. 【河北衡水中学2013～2014学年度高三上学期二调高三数学试卷】已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,2A ϕ><）的部分图象如右图所示，为了得到()sin 2g x x =的图象，则只需将()f x 的图象（ ）A.向右平移π6个长度单位B.向右平移π12个长度单位C.向左平移π6个长度单位D.向左平移π12个长度单位【答案】A 【解析】试题分析：由图像知1A =，724()123T ππππω=-==，∴2ω=，又∵23πϕπ⨯+=，∴3πϕ=，∴()sin(2)3f x x π=+将图像向右平移π6个长度单位可得到()sin 2g x x =. 考点：1.由图像确定函数解析式；2.图像变换.8. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】函数x x y sin 2cos 2+= (656ππ≤≤-x )的值域是_______________。
9. 【河北省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】已知ααcos 21sin +=,且)2,0(πα∈,则)4sin(2cos παα-的值为________.考点：1.二倍角公式；2.两角和与差公式.10. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考】设θ为第四象限角，21)4tan(=+πθ，则=-θθcos sin ．11. 【中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试】（本小题满分12分） 设函数f （x ）＝2sin x －sin （2x －2π）． （1）求函数f （x ）的最大值和最小值；（2）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c ＝3，f （2C ）＝14，若sinB ＝2sinA ，求△ABC 的面积．12. 【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考】(本小题满分12分)已知函数2()sin(2)2cos 1()6f x x x x R π=-+-∈.(1)求()f x 的单调递增区间； (2)在ABC ∆中，三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知1()2f A =,2a b c =+,18bc =.求a 的值.∴()f x 的单调递增区间为[,]()36k k k Z ππππ-+∈………………………6分13. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C所对的边分别是,,a b c ，已知sin cos c A C =. （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c =sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．若cos 0A =，则2A π=，tan 3c b π=，b =，14. 【河南省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】(本小题满分12分)已知ABC ∆三个内角A B C 、、的对边分别为,,a b c ，向量(cos ,sin )22C C m = ，(cos ,sin )22C C n =- ，且m 与n 的夹角为3π.（1）求角C 的值；（2）已知3c =，ABC ∆的面积S =a b +的值.二．能力题组1. 【山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考】函数sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<图象的一条对称轴在(,)63ππ内，则满足此条件的一个ϕ值为( ) A ．12π B ．6π C ．3πD ． 65π2. 【山西省山西大学附中2014届高三9月月考题】已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是（ ）A.11211-=⎪⎭⎫⎝⎛πf B.⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf fC.()x f 是奇函数D.()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ3. 【2013年河南省十所名校高三第三次联考试题】在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若22a b ＋＝20142c ，则2tan tan tan (tan tan )A BC A B ⋅＋的值为( )A ．0B ．1C ．2013D ．20144. 【河南省方城一高2014届高三第一次调研（月考）】将函数sin()6y x π=+图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平移3π个单位，那么所得图像的一条对称轴方程为（ ）A ．4x π=-B ．2x π=-C ．8x π=D ．4x π=5. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】若()2sin()f x x m ωϕ=++，对任意实数t 都有()()88f t f t ππ+=-，且()38f π=-，则实数m 的值等于（ ）A ．1-B ．5±C ．5-或1-D ．5或16. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】已知函数()sin()f x x α=+2在x π=12时有极大值，且()f x β-为奇函数，则,αβ的一组可能值依次为( ) （A ）,ππ-612（B ）,ππ612 （C ）,ππ-36（D ）,ππ36【答案】D 【解析】试题分析:因函数()sin()f x x α=+2在x π=12时有极大值，故22(),2();1223k k Z k k Z πππαπαπ⨯+=+∈∴==+∈因()f x β-=sin(22)x βα-+为奇函数，则2(),a k k Z βπ-+=∈令0,,.36k ππαβ=∴==考点：三角函数的奇偶性.7. 【2012-2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】已知点(,)M a b (0,0)a b >>是圆C ：221x y +=内任意一点，点),(y x P 是圆上任意一点，则实数1-+by ax （ ）A.一定是负数B.一定等于0C.一定是正数D.可能为正数也可能为负数8. 【石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟】若函数()sin()(0)2f x A x A πϕ=+>满足f(1)=0,则（ ） A.f(x-2)—定是奇函数 B.f(x+1)—定是偶函数 C.f(x+3)一定是偶函数D.f(x-3)一定是奇函数9. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】（本小题满分12分） 在ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,所对的边，且4=a ，5=+c b ，()B A B A tan tan 13tan tan ⋅--=+，求角A 的正弦值.10. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】（本小题满分12分）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ac=b 2-a 2,A=6π,求B.将已知条件代入上式，得2ac c =-c a -=，11. 【石家庄市2013届高中毕业班第一次模拟】如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸（不知 道它们的高度，且不能到达对岸），某人想测量两 座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测 角仪两种工具.若此人在地面上选一条基线EF ，用 卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：a AEF =∠,β=∠AFE ，θ=∠CEF ,ϕ=∠CFE ,γ=∠AEC 请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果.12. 【河北衡水中学2013～2014学年度高三上学期二调高三数学试卷】（本题10分）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ， (2,1)q a = ，(2,cos )p b c C =-，且//p q．求：（1）求sin A 的值； （2）求三角函数式1tan 12cos 2++-CC的取值范围．（2）原式C C C C C C C CC cos sin 2cos 21cos sin 1)sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+--=++-=， )42sin(22cos 2sin π-=-=C C C ，∵π320<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-πC ，∴2)42sin(21≤-<-πC ，∴)(C f 的值域是]2,1(-．考点：1.向量的共线；2.正弦定理；3.倍角公式；4.两角和与差的正弦公式；5.三角函数值域.13. 【河北省邯郸市2014届高三9月摸底考试数学】（本题满分12分）设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足222a c b +-=.（1）求角B 的大小； （2） 若)cos cos (3cos 2C a A c A b +=，BC 边上的中线AM 的长为7，求ABC ∆的面积．方法一：由余弦定理可知：14. 【河北省高阳中学2014届高三上学期第一次月考】（本小题满分12分）已知函数()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+（1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程 （2）求函数()f x 在区间[,]122ππ-上的值域1cos 22cos 22x x x =-sin(2)6x π=- ……4分三．拔高题组1. 【山西省山西大学附中2014届高三9月月考题数学】已知函数()()ϕ+=x x f 2sin ,其中ϕ为实数,若()()6f x f π≤对R ∈x 恒成立,且()()2f f ππ<.则下列结论正确的是（ ）A.11211-=⎪⎭⎫⎝⎛πf B.⎪⎭⎫⎝⎛>⎪⎭⎫ ⎝⎛5107ππf f C.()x f 是奇函数 D.()x f 的单调递增区间是()Z ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-k k k 6,3ππππ 【答案】D 【解析】考点：三角函数图象和性质2. 【唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试】设,x y R ∈，则22(34cos )(43sin )y x y x --+++的最小值为（ ）A ．4B ．16C ．5D ．253. 【河北唐山开滦二中2013~2014学年度第一学期高三年级期中考试】已知函数()2cos(2)6f x x π=+，下面四个结论中正确的是 ( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象是由2cos 2y x =的图象向左平移6π个单位得到 D ．函数()6f x π+是奇函数4. 【河北省唐山市2013届高三第二次模拟考试】函数23sin 2)(x x x x f --=π所有零点的和等于( )（A ）6（B ）7.5（C ）9（D ）12考点：函数的零点.5. 【中原名校联盟2013——2014学年高三上期第一次摸底考试】如图所示，M ，N 是函数y ＝2sin （wx ＋ϕ）（ω＞0）图像与x 轴的交点，点P 在M ，N 之间的图像上运动，当△MPN 面积最大时PM uuu r ·PN uuu r＝0，则ω＝ （ ）A ．4π B ．3π C ．2πD ．8考点：三角函数图像与性质，向量的数量积，学生的数形结合能力以及化归与转化的数学思想．6. 【2012-2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】观察下面两个推理过程及结论： （1）若锐角,,A B C 满足+=A B C π+,以角,,A B C 分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可得到等式：222sin sin sin 2sin sin cos A B C B C A =+-,（2）若锐角,,A B C 满足+=A B C π+，则()()()222222A B Cππππ-+-+-=，以角,,222222A B Cπππ---分别为内角构造一个三角形，依据正弦定理和余弦定理可以得到的等式：222coscos cos 2cos cos sin 222222A B C B C A =--. 则：若锐角,,A B C 满足+=A B C π+，类比上面推理方法，可以得到的一个等式是______________.7. 【山西省长治二中 康杰中学 临汾一中 忻州一中2013届高三第四次四校联考】已知点A （4，0）、B （0，4）、C （ααsin 3,cos 3）（1）若),0(πα∈=，求α的大小；（2）BC AC ⊥，求αααtan 12sin sin 22++的值．【答案】（I ）4πα= ；（II ）716-. 【解析】考点：1.向量的坐标运算， 2.同角三角函数关系， 3.二倍角公式.8. 【河北省保定市八校联合体2014届高三上学期第一次月考】（本小题满分10分） 设ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且2,2cos 3A a b C π==，求： （1）角B 的值；（2）函数()sin 2cos(2)f x x x B =+-在区间[0,]2π上的最大值及对应的x 值．∴B =C 23A π=6B π∴= …………… ……………………（4分）9. 【2012-2013学年度南昌市高三第二次模拟测试卷】（本小题满分12分） 已知向量n x ),1,(sin -=)23,(cos x =，.)()(m n m x f ⋅+= (1) 当[0,]2x π∈时，求函数)(x f 的值域：(2)锐角ABC ∆中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，若1023)2(,27,245===B f b c a ，求边c a ,.所以当[0,]2x π∈时，函数()y f x =的值域是1[2-；……………………………6分10. 【2013年河南省十所名校高三第三次联考试题】（本小题满分12分） 已知函数f （x ）＝cos （2x －3）＋sin 2x －cos 2x ． （Ⅰ）求函数f （x ）的最小正周期及其图象的对称轴方程； （Ⅱ）设函数g （x ）＝[f （x ）]2＋f （x ），求g （x ）的值域．。
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(word解析版可编辑)(四)三角函数与解三角形(逐题详解)
2014年全国高考理科数学试题分类汇编(纯word 解析版) 四、三角函数与解三角形（逐题详解）第I 部分1.【2014年江西卷（理04）】在ABC ∆中，内角A,B,C 所对的边分别是,,,c b a ，若,3,6)(22π=+-=C b a c 则ABC ∆的面积是A.3B.239C.233 D.33【答案】C【解析】()2222222222cos 2611333cos 2222c a b b a b c ab ba b c ab C abab b abab S ab C b =-+∴+-=-+-==∴-=∴=∴===Q Q g g2.【2014年陕西卷（理02）】函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是（ ）.2A π.B π .2C π .4D π【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω3.【2014年浙江卷（理04）】为了得到函数sin 3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象A.向右平移4π个单位B.向左平移4π个单位 C.向右平移12π个单位 D.向左平移12π个单位【答案】C【解析】函数y=sin3x+cos3x=，故只需将函数y=cos3x 的图象向右 平移个单位，得到y==的图象．故选：C ．4.【2014年全国新课标Ⅱ（理04）】钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，BC=2 ，则AC=( )A. 5B. 5C. 2D. 1【答案】B 【解析】..5,cos 2-43π∴ΔABC 4π.43π,4π∴,22sin ∴21sin 1221sin 21222ΔABC B b B ac c a b B B B B B B ac S 故选解得，使用余弦定理，符合题意，舍去。
为等腰直角三角形，不时，经计算当或=+======•••==5.【2014年全国新课标Ⅰ（理08）】设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B6.【2014年四川卷（理03）】为了得到函数sin(21)y x =+的图象，只需把函数sin 2y x =的图象上所有的点A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度【答案】A【解析】因为1sin(21)sin[2()]2y x x =+=+，故可由函数sin 2y x =的图象上所有的 点向左平行移动12个单位长度得到7.【2014年全国大纲卷（03）】设0sin 33a =，0cos55b =，0tan 35c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】C【解析】由诱导公式可得b=cos55°=cos （90°﹣35°）=sin35°，由正弦函数的单调性可知b ＞a ，而c=tan35°=＞sin35°=b ，∴c ＞b ＞a 故选：C8.【2014年辽宁卷（理09）】将函数3sin(2)3y x π=+的图象向右平移2π个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间7[,]1212ππ上单调递减B ．在区间7[,]1212ππ上单调递增 C ．在区间[,]63ππ-上单调递减 D ．在区间[,]63ππ-上单调递增【答案】B【解析】把函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2（x ﹣）+]．即y=3sin （2x ﹣）．由，得．取k=0，得．∴所得图象对应的函数在区间[，]上单调递增．故选：B9.【2014年湖南卷（理09）】 已知函数)sin()(ϕ-=x x f ，且⎰=3200)(πdx x f ，则函数)(x f 的图象的一条对称轴是 A. 65π=x B. 127π=x C. 3π=x D. 6π=x【答案】A【解析】函数()f x 的对称轴为2x k πϕπ-=+2x k πϕπ⇒=++，又由⎰=3200)(πdx x f 得ϕ的一个值为3πϕ=，则56x π=是其中一条对称轴，故选A 10.【2014年重庆卷（理10）】已知A B C ∆的内角21)sin()sin(2sin ,+--=+-+B A C C B A A C B A 满足，，面积S满足C B A c b a S ,,,,21分别为，记≤≤所对的边，则下列不等式成立的是（ ）A.8)(>+c b bcB.()162ac a b +>C.126≤≤abcD.1224abc ≤≤【答案】A【解析】已知变形为1sin 2sin[()]sin[()]2A CB AC B A +-+=--+展开整理得11sin 22cos()sin 2sin [cos cos()]22A C B A A A C B +-=⇒+-= 即112sin [cos()cos()]sin sin sin 28A CBC B A B C -++-=⇒=而22111sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 224S ab C R A R B C R A B C R ==⋅⋅⋅=⋅⋅= 故2122224R R ≤≤⇒≤≤，故338sin sin sin [8,162]abc R A B C R =⋅=∈， 排除,C D ，因为b c a +>，所以()8bc b c abc +>≥，选择A第II 部分11.【2014年天津卷（理12）】在ABC ∆中，内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .已知14b c a -=，2sin 3sin B C =，则cos A 的值为_____________. 【答案】14- 【解析】 因为2sin 3sin B C =，所以23b c =，解得32cb =，2ac =.所以2221cos 24b c a A bc +-==-.12.【2014年山东卷（理12）】在ABC V 中，已知tan AB AC A ⋅=uu u r uu u r ，当6A π=时，ABCV 的面积为 。
(完整word版)2014年高考数学文科(高考真题+模拟新题)分类汇编：三角函数(解析版),推荐文档
数 学C 单元 三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 2．[2014·全国卷] 已知角α的终边经过点(－4，3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452．D [解析] 根据题意，cos α＝－4（－4）2＋32＝－45.C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin 2α＞0D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13.因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.C3 三角函数的图象与性质 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.7．[2014·福建卷] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位，得到函数y ＝f (x )的图像，则下列说法正确的是( )A ．y ＝f (x )是奇函数B ．y ＝f (x )的周期为πC ．y ＝f (x )的图像关于直线x ＝π2对称D ．y ＝f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－π2，0对称7．D [解析] 将函数y ＝sin x 的图像向左平移π2个单位后，得到函数y ＝f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2的图像，即f (x )＝cos x ．由余弦函数的图像与性质知，f (x )是偶函数，其最小正周期为2π，且图像关于直线x ＝k π(k ∈Z )对称，关于点⎝⎛⎭⎫π2＋k π，0(k ∈Z )对称，故选D.图1-25．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质8．[2014·天津卷] 已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为( )A.π2B.2π3C ．πD ．2π8．C [解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，∴sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx 1＋π6＝π6＋2k 1π(k 1∈Z )或 ωx 2＋π6＝5π6＋2k 2π(k 2∈Z )，则ω(x 2－x 1)＝2π3＋2(k 2－k 1)π.又∵相邻交点距离的最小值为π3，∴ω＝2，∴T ＝π.7．[2014·安徽卷] 若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y 轴对称，则φ的最小正值是( )A.π8B.π4C.3π8D.3π47．C [解析] 方法一：将f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图像向右平移φ个单位，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2φ的图像，由所得图像关于y 轴对称，可知sin ⎝⎛⎭⎫π4－2φ＝±1，即sin ⎝⎛⎭⎫2φ－π4＝±1，故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ，又φ>0，所以φmin ＝3π8.13．[2014·重庆卷] 将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝________．13.22[解析] 函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，得到y＝sin(2ωx ＋φ)的图像，再向右平移π6个单位长度，得到y ＝sin2ωx －π6＋φ＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ的图像．由题意知sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －ωπ3＋φ＝sin x ，所以2ω＝1，－ωπ3＋φ＝2k π(k ∈Z )，又－π2≤φ≤π2，所以ω＝12，φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6，所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎫12×π6＋π6＝sin π4＝22.16．[2014·北京卷] 函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图像如图1-4所示．图1-4(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．16．解：(1)f (x )的最小正周期为π. x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12，所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0.于是，当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.11．[2014·辽宁卷] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递减B ．在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增C ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递减D ．在区间⎣⎡⎦⎤－π6，π3上单调递增11．B [解析] 将函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图像向右平移π2个单位长度，得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图像 ，函数单调递增，则－π2＋2k π≤2x －23π≤π2＋2k π，k ∈Z ，即π12＋k π≤x ≤7π12＋k π，k ∈Z ，即函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤π12＋k π，7π12＋k π，k ∈Z ，当k ＝0时，可知函数在区间⎣⎡⎦⎤π12，7π12上单调递增．14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.7．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③7．A [解析] 函数y ＝cos|2x |＝cos 2x ，其最小正周期为π，①正确；将函数y ＝cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变，位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方，即可得到y ＝|cos x |的图像，所以其最小天正周期也为π，②正确；函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，③正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期为π2，④不正确．12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .2．[2014·陕西卷] 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( )A.π2 B ．π C ．2π D ．4π 2．B [解析] T ＝2π2＝π.4．[2014·浙江卷] 为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( )A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位4．A [解析] y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫3x －π4＝2cos ⎣⎡⎦⎤3⎝⎛⎭⎫x －π12，故将函数y ＝2cos3x 的图像向右平移π12个单位可以得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，故选A.3．[2014·四川卷] 为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点( )A ．向左平行移动1个单位长度B ．向右平行移动1个单位长度C ．向左平行移动π个单位长度D ．向右平行移动π个单位长度3．A [解析] 由函数y ＝sin x 的图像变换得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，应该将函数y ＝sin x 图像上所有的点向左平行移动1个单位长度，故选A.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C5 两角和与差的正弦、余弦、正切 9．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4满足l 1⊥l 2，l 2∥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是( )A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1与l 4既不垂直也不平行D ．l 1与l 4的位置关系不确定9．D [解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可． 如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，AD 是直线l 3，则DD 1是直线l 4，此时l 1∥l 4；设BB 1是直线l 1，BC 是直线l 2，A 1D 1是直线l 3，则C 1D 1是直线l 4，此时l 1⊥l 4.故l 1与l 4的位置关系不确定．16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217. (2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 14．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为________． 14．1 [解析] f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝sin x cos φ＋cos x sin φ－2sin φcos x ＝sin x cos φ－cos x sin φ＝sin(x －φ)，其最大值为1.17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中， 由题意知，sin A ＝1－cos 2A ＝33. 又因为B ＝A ＋π2，所以sin B ＝sin ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝cos A ＝63.由正弦定理可得，b ＝a sin Bsin A＝3×6333＝3 2. (2)由B ＝A ＋π2得cos B ＝cos ⎝⎛⎭⎫A ＋π2＝－sin A ＝－33.由A ＋B ＋C ＝π，得C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin[π－(A ＋B )] ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝33×⎝⎛⎭⎫－33＋63×63＝13. 因此△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×3×32×13＝322.8．、[2014·四川卷] 如图1-3所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度是60 m ，则河流的宽度BC 等于( )图1-3A ．240(3－1)mB ．180(2－1)mC ．120(3－1)mD ．30(3＋1)m8．C [解析] 由题意可知，AC ＝60sin 30°＝120.∠BAC ＝75°－30°＝45°，∠ABC ＝180°－45°－30°＝105°，所以sin ∠ABC ＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝6＋24.在△ABC 中，由正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC∠BAC，于是BC ＝120×222＋64＝240 22＋6＝120(3－1)(m)．故选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.18．、[2014·重庆卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝8.(1)若a ＝2，b ＝52，求cos C 的值；(2)若sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C ，且△ABC 的面积S ＝92sin C ，求a 和b 的值．18．解：(1)由题意可知c ＝8－(a ＋b )＝72.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝22＋⎝⎛⎭⎫522－⎝⎛⎭⎫7222×2×52＝－15. (2)由sin A cos 2B 2＋sin B cos 2A2＝2sin C 可得sin A ·1＋cos B 2＋sin B ·1＋cos A2＝2sin C ，化简得sin A ＋sin A cos B ＋sin B ＋sin B cos A ＝4sin C .因为sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )＝sin C ，所以sin A ＋sin B ＝3sin C . 由正弦定理可知a ＋b ＝3c .又a ＋b ＋c ＝8，所以a ＋b ＝6.由于S ＝12ab sin C ＝92sin C ，所以ab ＝9，从而a 2－6a ＋9＝0，解得a ＝3，所以b ＝3.C6 二倍角公式 18．，，[2014·福建卷] 已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．18．解：方法一： (1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2cos 5π4⎝⎛⎭⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cos π4⎝⎛⎭⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π，故函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x＝sin 2x ＋cos 2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1 ＝2.(2)因为T ＝2π2＝π，所以函数f (x )的最小正周期为π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .14．、[2014·全国卷] 函数y ＝cos 2x ＋2sin x 的最大值为________．14.32 [解析] 因为y ＝cos 2x ＋2sin x ＝1－2sin x 2＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以当sinx ＝12时函数y ＝cos 2x ＋2sin x 取得最大值，最大值为32. 16．、[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．16.43 [解析] 如图所示，根据题意知，OA ⊥P A ，OA ＝2，OP ＝10，所以P A ＝OP 2－OA 2＝2 2，所以tan ∠OP A ＝OA P A ＝22 2＝12，故tan ∠APB ＝2tan ∠OP A 1－tan 2∠OP A ＝43，即l 1与l 2的夹角的正切值等于43.2．、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α＞0，则( ) A ．sin α＞0 B ．cos α＞0 C ．sin 2α＞0 D ．cos 2α＞0 2．C [解析]因为sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α>0，所以选C.17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z .(2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.C7 三角函数的求值、化简与证明16．、[2014·广东卷] 已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝322. (1)求A 的值；(2)若f (θ)－f (－θ)＝3，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭⎫π6－θ.18．、、、[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0，24)．(1)求实验室这一天上午8时的温度； (2)求实验室这一天的最大温差．18．解：(1)f (8)＝10－3cos ⎝⎛⎭⎫π12×8－sin ⎝⎛⎭⎫π12×8＝10－3cos 2π3－sin 2π3＝10－3×⎝⎛⎭⎫－12－32＝10. 故实验室上午8时的温度为10 ℃.(2)因为f (t )＝10－2⎝⎛⎭⎫32cos π12t ＋12sin π12t ＝10－2sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3，又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3，所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3≤1.当t ＝2时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝1；当t ＝14时，sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π3＝－1.于是f (t )在[0，24)上取得最大值12，最小值8.故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃. 5．、[2014·江苏卷] 已知函数y ＝cos x 与y ＝sin(2x ＋φ)(0≤φ<π)，它们的图像有一个横坐标为π3的交点，则φ的值是________．5.π6 [解析] 将x ＝π3分别代入两个函数，得到sin ⎝⎛⎭⎫2×π3＋φ＝12，解得23π＋φ＝π6＋2k π(k ∈Z )或23π＋φ＝5π6＋2k π(k ∈Z )，化简解得φ＝－π2＋2k π(k ∈Z )或φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又φ∈[0，π)，故φ＝π6.15．[2014·江苏卷] 已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55.(1)求sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值； (2)求cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α的值． 15．解： (1)因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin α＝55，所以cos α＝－1－sin 2α＝－2 55.故sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4cos α＋cos π4sin α＝22×⎝⎛⎭⎫－2 55＋22×55＝－1010. (2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2×55× ⎝⎛⎭⎫－2 55＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎭⎫552＝35， 所以cos ⎝⎛⎭⎫5π6－2α＝cos 5π6cos 2α＋sin 5π6sin 2α＝ ⎝⎛⎭⎫－32×35＋12×⎝⎛⎭⎫－45＝－4＋3 310.16．、[2014·江西卷] 已知函数f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)为奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫π4＝0，其中a ∈R ，θ∈(0，π)．(1)求a ，θ的值；(2)若f ⎝⎛⎭⎫α4＝－25，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值． 16．解：(1)因为f (x )＝(a ＋2cos 2x )cos(2x ＋θ)是奇函数，而y 1＝a ＋2cos 2x 为偶函数，所以y 2＝cos(2x ＋θ)为奇函数．又θ∈(0，π)，得θ＝π2，所以f (x )＝－sin 2x ·(a ＋2cos 2x )．由f ⎝⎛⎭⎫π4＝0得－(a ＋1)＝0，即a ＝－1.(2)由(1)得，f (x )＝－12sin 4x .因为f ⎝⎛⎭⎫α4＝－12sin α＝－25，所以sin α＝45，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，从而cos α＝－35，所以有sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝sin αcos π3＋cos αsin π3＝4－3 310.17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2. 因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327.21．、[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )＝π(x －cos x )－2sin x －2，g (x )＝(x －π)1－sin x1＋sin x＋2xπ－1.证明： (1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0；(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0，且对(1)中的x 0，有x 0＋x 1＞π.21．证明：(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝π＋πsin x －2cos x ＞0，所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上为增函数．又f (0)＝－π－2＜0，f ⎝⎛⎭⎫π2＝π22－4＞0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使f (x 0)＝0.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π时，化简得g (x )＝(π－x )·cos x 1＋sin x ＋2xπ－1.令t ＝π－x 则t ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.记u (t )＝g (π－t )＝－t cos t 1＋sin t －2πt ＋1，则u ′(t )＝f （t ）π（1＋sin t ）.由(1)得，当t ∈(0，x 0)时，u ′(t )＜0；当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0，π2时，u ′(t )＞0.所以在⎝⎛⎭⎫x 0，π2上u (t )为增函数，由u ⎝⎛⎭⎫π2＝0知，当t ∈⎣⎡⎭⎫x 0，π2时，u (t )＜0，所以u (t )在⎣⎡⎭⎫x 0，π2上无零点．在(0，x 0)上u (t )为减函数，由u (0)＝1及u (x 0)＜0知存在唯一t 0∈(0，x 0)，使u (t 0)＝0.于是存在唯一t 0∈⎝⎛⎭⎫0，π2，使u (t 0)＝0.设x 1＝π－t 0∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则g (x 1)＝g (π－t 0)＝u (t 0)＝0.因此存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2，π，使g (x 1)＝0.由于x 1＝π－t 0，t 0＜x 0，所以x 0＋x 1＞π.12．，[2014·山东卷] 函数y ＝32sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为________． 12．π [解析] 因为y ＝32sin 2x ＋1＋cos 2x 2＝ sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋12，所以该函数的最小正周期T ＝2π2＝π .17．、、、[2014·四川卷] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4.(1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．17．解：(1)因为函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ，由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z . (2)由已知，得sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4(cos 2α－sin 2α)．所以sin αcos π4＋cos αsin π4＝45⎝⎛⎭⎫cos αcos π4－sin αsin π4(cos 2α－sin 2α)， 即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．当sin α＋cos α＝0时，由α在第二象限内，得α＝3π4＋2k π，k ∈Z .此时，cos α－sin α＝－ 2.当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.由α是第二象限角，得cos α－sin α＜0，此时cos α－sin α＝－52.综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.16．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 a －c ＝66b ，sin B ＝6sin C . (1)求cos A 的值；(2)求cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6的值．16．解：(1)在△ABC 中，由b sin B ＝csin C，及sin B ＝6sin C ，可得b ＝6c .又由a －c ＝66b ，有a ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝6c 2＋c 2－4c 226c 2＝64.(2)在△ABC 中，由cos A ＝64，可得sin A ＝104.于是cos 2A ＝2cos 2A －1＝－14，sin 2A ＝2sin A ·cos A ＝154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A －π6＝cos 2A ·cos π6＋sin 2A ·sin π6＝15－38.C8 解三角形18．[2014·浙江卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知4sin 2A －B2＋4sin A sin B ＝2＋ 2.(1)求角C 的大小；(2)已知b ＝4，△ABC 的面积为6，求边长c 的值． 18．解：(1)由已知得2[1－cos(A －B )]＋4sin A sin B ＝2＋2， 化简得－2cos A cos B ＋2sin A sin B ＝2， 故cos(A ＋B )＝－22， 所以A ＋B ＝3π4，从而C ＝π4.(2)因为S △ABC ＝12ab sin C ，由S △ABC ＝6，b ＝4，C ＝π4，得a ＝3 2.由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得c ＝10. 16．、[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别是a ，b ，c ，且b ＝3，c ＝1，△ABC 的面积为 2.求cos A 与a 的值． 16．解： 由三角形面积公式，得12×3×1·sin A ＝2，故sin A ＝2 23. 因为sin 2A ＋cos 2A ＝1， 所以cos A ＝±1－sin 2A ＝±1－89＝±13. ①当cos A ＝13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×13＝8，所以a ＝2 2.②当cos A ＝－13时，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝32＋12－2×1×3×⎝⎛⎭⎫－13＝12，所以a ＝2 3.12．[2014·北京卷] 在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，cos C ＝14，则c ＝________；sin A ＝________．12．2158 [解析] 由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝1＋4－2×2×1×14＝4，即c ＝2；cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4＋4－12×2×2＝78，∴sin A ＝1－⎝⎛⎭⎫782＝158.14．[2014·福建卷] 在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝2，BC ＝3，则AB 等于________．14．1 [解析] 由BC sin A ＝ACsin B ，得sin B ＝2sin 60°3＝1，即B ＝90°，所以△ABC 为以AB ，BC 为直角边的直角三角形， 则AB ＝AC 2－BC 2＝22－（3）2＝1，即AB 等于1.7．、[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sin B ”的( )A ．充分必要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件 7．A [解析] 设R 是三角形外切圆的半径，R ＞0，由正弦定理，得a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ．故选A.∵sin ≤A sin B ，∴2R sin A ≤2R sin B ，∴a ≤b .同理也可以由a ≤b 推出sin A ≤sin B .13．[2014·湖北卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a＝1，b ＝3，则B ＝________．13.π3或2π3 [解析] 由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，即1sin π6＝3sin B，解得sin B ＝32.又因为b >a ，所以B ＝π3或2π3.19．、、[2014·湖南卷] 如图1-4所示，在平面四边形ABCD 中，DA ⊥AB ，DE ＝1，EC＝7，EA ＝2，∠ADC ＝2π3，∠BEC ＝π3.(1)求sin ∠CED 的值； (2)求BE 的长．图1-419．解：设∠CED ＝α.(1)在△CDE 中，由余弦定理，得 EC 2＝CD 2＋DE 2－2CD ·DE ·cos ∠EDC ，于是由题设知，7＝CD 2＋1＋CD ，即CD 2＋CD － 6＝0，解得CD ＝2(CD ＝－3舍去)．在△CDE 中，由正弦定理，得EC sin ∠EDC ＝CDsin α.于是，sin α＝CD ·sin 2π3EC ＝2×327＝217，即sin ∠CED ＝217.(2)由题设知，0＜α＜π3，于是由(1)知，cos α＝1－sin 2α＝1－2149＝277.而∠AEB ＝2π3－α，所以cos ∠AEB ＝cos ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝cos 2π3cos α＋sin 2π3sin α＝－12cos α＋32sin α＝－12×277＋32×217＝714.在Rt △EAB 中，cos ∠AEB ＝EA BE ＝2BE，故BE ＝2cos ∠AEB ＝2714＝47.14．、[2014·江苏卷] 若△ABC 的内角满足sin A ＋2sin B ＝2sin C ，则cos C 的最小值是______．14.6－24[解析] 设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，则由正弦定理得a ＋2b ＝2c .故cos C ＝a 2＋b 2－c22ab＝a 2＋b 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋2b 222ab＝34a 2＋12b 2－22ab 2ab ＝34a 2＋12b 22ab －24≥234a 2·12b 22ab －24＝6－24，当且仅当3a 2＝2b 2，即a b ＝23时等号成立．18．、、、[2014·江苏卷] 如图1-6所示，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80 m ．经测量，点A 位于点O 正北方向60 m 处，点C 位于点O 正东方向170 m 处(OC 为河岸)，tan ∠BCO ＝43.(1)求新桥BC 的长．(2)当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？图1-618．解： 方法一：(1)如图所示， 以O 为坐标原点， OC 所在直线为 x 轴， 建立平面直角坐标系xOy .由条件知A (0, 60), C (170，0)，直线 BC 的斜率k BC ＝－tan ∠BCO ＝－43.又因为 AB ⊥BC, 所以直线AB 的斜率k AB ＝34.设点 B 的坐标为(a ，b )，则k BC ＝b －0a －170＝－43， k AB ＝b －60a －0＝34，解得a ＝80, b ＝120，所以BC ＝（170－80）2＋（0－120）2＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m, OM ＝d m (0≤d ≤60)． 由条件知， 直线BC 的方程为y ＝－43(x －170)，即4x ＋3y －680＝0.由于圆M 与直线BC 相切， 故点 M (0, d )到直线BC 的距离是r ，即r ＝|3d － 680|42＋32＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680 － 3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大， 即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 方法二：(1)如图所示， 延长 OA, CB 交于点F .因为 tan ∠FCO ＝43，所以sin ∠FCO ＝45， cos ∠FCO ＝35.因为OA ＝60，OC ＝170，所以OF ＝OC tan ∠FCO ＝6803， CF ＝OC cos ∠FCO ＝8503， 从而AF ＝OF －OA ＝5003.因为OA ⊥OC, 所以cos ∠AFB ＝sin ∠FCO ＝45.又因为 AB ⊥BC ，所以BF ＝AF cos ∠AFB ＝4003， 从而BC ＝CF －BF ＝150.因此新桥BC 的长是150 m.(2)设保护区的边界圆 M 与BC 的切点为D ，连接 MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半径，并设MD ＝r m ，OM ＝d m (0≤d ≤60)．因为OA ⊥OC, 所以sin ∠CFO ＝cos ∠FCO .故由(1)知sin ∠CFO ＝MD MF ＝MD OF －OM ＝r 6803－d ＝35， 所以r ＝680－3d 5.因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m ，所以⎩⎪⎨⎪⎧r －d ≥80，r －（60－d ）≥80，即⎩⎨⎧680－3d5－d ≥80，680－3d5－（60－d ）≥80，解得10≤d ≤35.故当d ＝10时， r ＝680 － 3d5最大，即圆面积最大，所以当OM ＝10 m 时， 圆形保护区的面积最大． 5．[2014·江西卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若3a ＝2b ，则2sin 2B －sin 2Asin 2A的值为( )A ．－19 B.13 C ．1 D.725．D [解析] 由正弦定理得，原式＝2b 2－a 2a 2＝2⎝⎛⎭⎫b a 2－1＝2×⎝⎛⎭⎫322－1＝72. 17．、[2014·辽宁卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＞c .已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3.求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．17．解：(1)由BA →·BC →＝2，得c ·a cos B ＝2，又cos B ＝13，所以ac ＝6.由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ， 又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×2＝13.联立⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝6，a 2＋c 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2.(2)在△ABC 中，sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝⎛⎭⎫132＝223.由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429.因为a ＝b ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫4292＝79. 于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝ 13×79＋2 23×4 29＝2327. 18．、[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .18．解：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ， 故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ， 所以tan C ＝12，所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°. 17．[2014·新课标全国卷Ⅱ] 四边形ABCD 的内角A 与C 互补，AB ＝1，BC ＝3，CD ＝DA ＝2.(1)求C 和BD ；(2)求四边形ABCD 的面积． 17．解：(1)由题设及余弦定理得 BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD cos C ＝13－12cos C ，① BD 2＝AB 2＋DA 2－2AB ·DA cos A ＝5＋4cos C ．②由①②得cos C ＝12，故C ＝60°，BD ＝7.(2)四边形ABCD 的面积S ＝12AB ·DA sin A ＋12BC ·CD sin C ＝⎝⎛⎭⎫12×1×2＋12×3×2sin 60°＝2 3. 16．[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C为测量观测点．从A 点测得M 点的仰角∠MAN ＝60°，C 点的仰角∠CAB ＝45°，以及∠MAC ＝75°，从C 点测得∠MCA ＝60°.已知山高BC ＝100 m ，则山高MN ＝________m.图1-316．150 [解析] 在Rt △ABC 中，BC ＝100，∠CAB ＝45°，所以AC ＝100 2.在△MAC中，∠MAC ＝75°，∠MCA ＝60°，所以∠AMC ＝45°，由正弦定理有AM sin ∠MCA ＝ACsin ∠AMC ，即AM ＝sin 60°sin 45°×100 2＝1003，于是在Rt △AMN 中，有MN ＝sin 60°×1003＝150 .17．，，[2014·山东卷] △ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知a ＝3，cos A ＝63，B ＝A ＋π2. (1)求b 的值；(2)求△ABC 的面积． 17．解：(1)在△ABC 中，。
2014届高三名校数学(文)试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形
一．基础题组1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知4cos()65πα-=，则sin()3πα+= ．2. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ．3.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=则c = ．4. 【江苏省兴化市2013~2014学年度第一学期期中考试高三】在ABC ∆中，已知0sin sin sin sin sin 222=---C B C B A ，则A ∠的大小为 ．5. 【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ= ，其中πβα<<<0，若|2||a b a b +=- ，则βα-= .6. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】函数2cos y x =的最小正周期为 ．7. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】已知f (x )=3sin(2x －π6)，若存在α∈(0,π)，使f (α+x )= f (α-x )对一切实数x 恒成立，则α= ．8. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】已知△ABC 中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，2=a ，A = 45°，B = 60°，那么△ABC 的面积=∆ABC S .9.【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知ABC ∆的周长为1，且sin sin A B C +=（1）求边AB 的长；（2）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C .10.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==． （1）若67πβα=-，求a b ⋅ 的值； （2）若4,58a b πα⋅== ，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．【答案】（1）2-；（2）7. 【解析】11.【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++ ⑴求()f x 的最小正周期及对称中心； ⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.12.【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中角ϕ的终边经过点P ，且0ϕπ<<. （1）求ϕ的值；（2）求()f x 在[0,]π上的单调减区间．考点：三角函数的定义、()sin()f x A x ωϕ=+的单调性.二．能力题组1.【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】将函数()2sin()3f x x πω=-（0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】求值：002cos10sin 20cos 20-= ．3. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】方程0cos 3sin =++a x x 在)2,0(π内有相异两解βα,，则=+βα .【答案】3π或37π【解析】4. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在ABC ∆中，若22()||5C A C B A B A B+⋅= ，则tan tan AB= .5. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 .3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆面积S 的最大值.6. 【江苏省兴化市2013~2014学年度第一学期期中考试高三】在△ABC 中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知m ()A A sin 3,cos 2=，n ()A A cos 2,cos -=，m·n 1-=．（1）求A ∠的大小；（2）若32=a ，2=c ，求△ABC 的面积．7. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】设向量)sin ,2(θ=，)cos ,1(θ= ，θ为锐角．（1）若136a b ⋅= ，求θθcos sin +的值；（2）若a b ，求)32sin(πθ+的值．8.【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c， ＝8，∠BAC＝θ，a＝4，(1)求b·c的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f(θ)＝23sin2(π4＋θ)＋2cos2θ－3的最值．9. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m = ，(cos ,sin )n A A =- ，记()f A m n =⋅.（1）求()f A 的取值范围；（2）若m 与n 的夹角为3π，3C π=，c =，求b 的值．10. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】 已知向量a =(2cos x ,2sin x ) ，b =(3cos x , cos x ),设函数f (x )=a •b -3, 求： (1) f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若()()26212f f απαπ--+=, 且α∈(π2,π). 求α. 【答案】(1) 22T ππ== , 函数()f x 的单调递增区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈ ；(2) 712πα=或1112π.【解析】三．拔高题组1. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅，则tan x =2. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】 已知ααcos 21s in +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为__ ____．3. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+．（1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围． 【答案】（1）3C π=；（2）223342a b <+≤；【解析】试题分析：（1）sin sin tan cos cos A B C A B +=+中有正切和正弦、余弦，这样的问题一般是“切化弦”，统一为同名三角函数后再利用三角函数的相关公式进行变形解答；（2）利用正弦定理，22a b +可化为角,A B 的三角函数，再利用3C π=，可消去一元，问题于是就转化为三角函数的值域问题.试题解析：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+， 即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分 所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)． 即 2C A B =+, 得 3C π=． ………………………………7分(2)由3C π=，设,33A B ππαα=+=-，2πππ0,,333A B α<<<<知-．因2sin sin ,2sin sin a R A A b R B B ====， ………………………………………8分 故22221cos 21cos 2sin sin 22A B a b A B --+=+=+=12π2π11cos(2)cos(2)1cos 22332⎡⎤-++-=+⎢⎥⎣⎦ααα． …………………12分ππ2π2π,2,3333αα<<<<由-知-1cos 212α-<≤，故223342a b <+≤．…………14分考点：两角和与差的三角函数、正弦定理.4. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角045CAD ∠=． (1)求BC 的长度；(2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？BC的长度是18 m．………………………7分。
(山东版 第01期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编试题 专题04 三角函数与三角形 文(解
（某某版 第01期）2014届高三数学 名校试题分省分项汇编试题 专题04 三角函数与三角形 文（解析版）一．基础题组1.【某某省潍坊一中2014届高三10月份阶段检测】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2B ．2sin1C ．2sin1D ．sin 22. 【某某省某某市某重点中学2014届高三9月月考】在ABC ∆中，a =15,b =10,A =60°，则cos B =( ).A. －223 B .223C .－63 D. 633.【某某省某某市某重点中学2014届高三9月月考】在△ABC 中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c ，若223a b bc -=，sin 23C B =，则A=（ ）A.030 B.060 C.0120 D.01504.【某某省某某市某重点中学2014届高三9月月考】在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，若∠C=120°，c =2a ，则（ ）.A.a ＞bB.a ＜bC. a ＝bD.a 与b 的大小关系不能确定5.【某某省潍坊一中2014届高三10月份阶段检测】已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线20x y -=上，则 3πsin()cos(π-)2πsin()sin(π-)2θθθθ++=--（ ） A ．-2 B ．2 C ．0 D ．236.【某某省潍坊一中2014届高三10月份阶段检测】已知3sin 5α=，且α为第二象限角，则tan α的值为.7.【某某省某某市2013届高三5月高考模拟】将函数sin y x =的图象向右平移2π个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为( )（A ）1sin y x =-（B ）1sin y x =+ （C ）1cos y x =-（D ）1cos y x =+二．能力题组 1.【某某省某某市2013届高三5月高考模拟】若ABC ∆的边,,a b c 满足2224a b c +-=，且C =60°，则ab 的值为.【答案】42.【某某省某某市某重点中学2014届高三9月月考】在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b a C a b +=，则tan tan tan tan C CA B+=___ .3.【某某省堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测】函数sin (0)y x ωω=>的部分如图所示,点A 、B 是最高点,点C 是最低点,若ABC ∆是直角三角形,则ω的值为( ) A ．2π B ．4π C ．3πD ．π 4.【某某省堂邑中学2014届高三上学期9月假期自主学习反馈检测】在ABC ∆中，2sin cos 2A A +=,4,5AC AB ==, 则ABC ∆的面积是_ _.5.【某某省潍坊一中2014届高三10月份阶段检测】如图所示为函数π()2sin()(0,0)2f x x ωϕωϕ=+>≤≤的部分图像，其中A ，B 两点之间的距离为5，那么(1)f -=( ) A ．-1 B ．3- C ．3D ．16.【某某省某某市某重点中学2014届高三9月月考】（本小题满分12分）已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为,,a b c ，且2a =， c osB =35． (1)若b =4，求sinA 的值；(2) 若△ABC 的面积S △ABC =4，求b ，c 的值．三．拔高题组1.【某某省某某市某重点中学2014届高三9月月考】（本小题满分12分）已知(2cos 23sin ,1),(cos ,)m x x n x y =+=-，且m n ⊥. （1）将y 表示为x 的函数()f x ，并求()f x 的单调增区间；（2）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的边长，若()3,2,42Af a b c ==+=且，求ABC ∆ 的面积.2.【某某省某某市某重点中学2014届高三9月月考】（本小题满分13分）已知A 、B 、C 是直线l 上的不同三点，O 是l 外一点，向量,,OA OB OC 满足23(1)(ln )2OA x OB x y OC =+--，记()y f x =；（1）求函数()y f x =的解析式； （2）求函数()y f x =的单调区间．3.【某某省聊城市某重点高中高三上学期期初分班教学测试】已知向量)1,(sin -=x a ，)2,cos 3(x b =，函数2)()(b a x f +=．（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）若]2,4[ππ-∈x ，求函数)(x f 的值域.4. 【某某省潍坊一中2014届高三10月份阶段检测】（本小题满分12分）设函数()sin 3f a αα=+，其中，角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(,)P x y ，且0απ≤≤.（1）若P 点的坐标为（3,1），求()f α的值；（2）若点(,)P x y 为平面区域11x y y x y +≥⎧⎪≥⎨⎪≤⎩上的一个动点，试确定角α的取值X 围，并求函数()f α的值域.5.【某某省潍坊一中2014届高三10月份阶段检测】（本小题满分12分）若()sin(2)6f x x πω=-的图象关于直线3x π=对称，其中15(,).22ω∈-（1）求()f x 的解析式； （2）将()y f x =的图象向左平移3π个单位，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍（纵坐11 / 12 标不变）后得到()y g x =的图象；若函数π()(,3π)2y g x x =∈的图象与y a =的图象有三个交点且交点的横坐标成等比数列，求a 的值. 6.【某某省某某市2013届高三5月高考模拟】（本小题满分12分） 已知2,0(1,sin()),(cos 3),2x x x x ωωωωπ∈=+=R ＞，u v 函数1()2=⋅-f x u v 的最小正12 / 12 周期为π.（Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[0,]2π上的值域.。
2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形
一．基础题组1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知4cos()65πα-=，则sin()3πα+= ．2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】求值：002cos10sin 20cos 20-= ．3. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知向量(sin ,1),(1,cos ),22a b ππθθθ==-<< ．(1) 若a b ⊥，求θ；(2) 求a b +的最大值．【答案】(1)4πθ=【解析】试题分析：(1)由向量垂直的充要条件:11221212(,y ),(,y ),0y y 0a x b x a b a b x x ==⊥⇔⋅=⇔+=,这样4. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知ABC ∆的周长1，且sin sin A B C + （1）求边AB 的长； （2）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C .试题解析：解：（1）由题意及正弦定理得：1AB BC AC ++=,BC AC +=,两式相减得1AB =.…………（6分）5. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角045CAD ∠=． (1)求BC 的长度；(2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？试题解析：解：(1)如图作AN CD ⊥ 于N ．91569AB CD AB CD DN EC ∴ ，＝，＝，＝，＝ ．设AN x DAN θ∠＝，＝ ，4545CAD CAN θ∠︒∴∠︒ ＝，＝－ ． 在Rt ANC ∆ 和Rt AND ∆ 中，069tan ,tan(45-)=x x θ ………………………4分()91tan 451tan tan x θθθ-∴︒+＝－＝ 化简整理得215540x x －－＝ ， 解得12)183(x x ＝，＝－舍去 ．BC 的长度是18 m ． ………………………7分6. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】在ABC ∆中，2BC =，23A π=，则AB AC ⋅的最小值为 .7. 【南京市、盐城市2014届高三第一次模拟考试】 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知2c =，3C π=.（1）若ABC ∆a ，b ；（2）若sin sin()2sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.8. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为__ ▲____．【答案】214- 【解析】9. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试】 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ， AC AB ∙＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4， (1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．当2+62ππθ=，即=6πθ时，max f()3θ=.考点：1.余弦定理;2.三角函数的图象;3.基本不等式10. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】若动直线)(R a a x ∈=与函数()3sin()()cos()66f x xg x x ππ=+=+与的图象分别交于N M ,两点，则||MN 的最大值为 ．11. 【江苏省扬州中学2013—2014学年第一学期月考】设向量),cos ,(sin x x a =),sin 3,(sin x x b =x ∈R ，函数)2()(b a a x f +⋅=.（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）求使不等式()2f x '≥成立的x 的取值集合．试题解析：(1) )2()(x f +⋅=222sin cos 2(sin 3sin cos )x x x x x =++ 3111cos 23222(sin 2cos 2)2x x x x =+-=+⋅22(sin 2coscos 2sin )22sin(2)666x x x πππ=+-=+-. …………5′ 由222262k x k πππππ-≤-≤+，得63k x k ππππ-≤≤+()k ∈Z ，∴()f x 的单调递增区间为[,]63k k ππππ-+()k ∈Z . …………8′12. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】 在△ABC 中，已知3AB =，o 120A =，且ABC ∆，则BC 边长为 ．13. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知函数()2sin(2)(0)4f x x ωωπ=->的最大值与最小正周期相同，则函数()f x 在[11]-，上的单调增区间为 ． 【答案】13[,]44- 【解析】试题分析：由题意可知，函数()2sin()4f x x ππ=-，令22242k x k ππππππ-+≤-≤+，解得1322,44k x k k Z -+≤≤+∈，又[1,1]x ∈-，所以1344x -≤≤，所以函数()f x 在[1,1]-上的单调递增区间为13[,]44-.考点：三角函数的图象与性质.14. 【苏北四市2014届高三第一次质量检测】已知向量(cos ,sin )θθ=a ，(2,1)=-b ．(1)若⊥a b ，求sin cos sin cos θθθθ-+的值；(2)若2-=a b ，(0,)2θπ∈，求sin()4θπ+的值．15. 【苏州市2014届高三调研测试】 若函数()sin()f x x θ=+（π02θ<<）的图象关于直线π6x =对称，则θ = ▲ ．【答案】3π16. 【苏州市2014届高三调研测试】已知π3sin()45x +=，π4sin()45x -=，则tan x = ▲ ．17. 【苏州市2014届高三调研测试】 在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1cos 2a C c b +=．（1）求角A 的大小；（2）若a =4b =，求边c 的大小．试题解析：（1）用正弦定理，由1cos ,2a C cb +=得1sin cos sin sin .2A C C B +=………2分sin sin()sin cos cos sin ,B A C A C A C =+=+1sin cos sin .2C A C ∴=………4分 1sin 0,cos .2C A ≠∴= ………6分0,.3A A ππ<<∴=………8分18. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ．19．【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒=，则c = ．20.二．能力题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值；(2)求C B cos sin 3-的最大值.2. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅ 的值； （2）若4,58a b πα⋅== ，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．3. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三12月月考】 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，且 .3tan )(222bc A a c b =-+ （1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆面积S 的最大值. 【答案】（1）60A ︒=；（2）3. 【解析】试题分析：（1）由式子.3tan )(222bc A a c b =-+的结构特征，很自然联想到余弦定理，将其化为关于角A 的三角函数，由其函数值则可求出角A ；（2）由第（1）题的结果，可知1sin 2S bc A ==，再由条件可得，224b c bc +=+，利用基本不等式可求出bc 的最大值，进一步可得三角形面积的最大值.三．拔高题组1. 【江苏省诚贤中学2014届高三数学月考试题】如图，两座建筑物CD AB ,的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9cm 和15cm ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的视角︒=∠45CAD .求BC 的长度；在线段BC 上取一点(P 点P 与点C B ,不重合），从点P 看这两座建筑物的视角分别为,,βα=∠=∠DPC APB 问点P 在何处时，βα+最小？【答案】⑴18m ;⑵当BP 为27)m 时，αβ+取得最小值． 【解析】+取得最小值．……………………………14分答：当BP为27)m时，αβ考点：1.两角和差的正切公式;2.直角三角形中正切的表示;3.导数在函数中的运用。
2014年高考数学三角函数、解三角形汇编
2014年高考数学三角函数、解三角形1．已知函数2()2sin ()234f x x x π=--，ππ42x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， (1)求()f x 的最大值和最小值;(2)若方程()f x m =仅有一解,求实数m 的取值范围.2．已知函数()4cos sin()1(0)6f x x x πωωω=-+>的最小正周期是π． (1)求()f x 的单调递增区间；(2)求()f x 在[8π，38π]上的最大值和最小值．3．已知函数2()2cos sin(2)1f x x x π=-+-.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最小值和最大值.4．已知函数2()cos(2)2sin 13f x x x =--+π．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在区间[0,]2π上的最大值和最小值.5．已知向量()1cos ,1,(1,)a x b a x ωω=+= （ω为常数且0ω>），函数x f ⋅=)(在R 上的最大值为2．（1）求实数a 的值；（2）把函数()y f x =的图象向右平移6πω个单位，可得函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，求ω取最大值时的单调增区间．6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos 3cos C a c B b-=. (1)求sin B ;(2)若b a c ==，求ABC ∆的面积.7．设函数()f x a b =⋅，其中向量(sin 21,sin 2,6a x b x x R π⎛⎫⎛⎫==--∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 。
（1）求()f x 的最小值，并求使()f x 取得最小值的x 的集合。
（2）将函数()f x 图像沿x 轴向右平移，则至少平移多少个单位长度，才能使得到的函数()g x 的图像关于y 轴对称。
8．已知函数22())2sin ()312f x x x ππ-+-，钝角ABC ∆（角,,A B C 对边为,,a b c ）的角B 满足()1f B =.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）若3,b c ==,B a .9．设函数f (x )＝sin 3x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋sin 3x πω⎛⎫- ⎪⎝⎭ωx (其中ω＞0)，且函数f (x )的图象的两条相邻的对称轴间的距离为2π. (1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．10．已知函数f (x )＝tan 34x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭. (1)求f 9π⎛⎫ ⎪⎝⎭的值； (2)设α∈3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若f 34απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2，求cos 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．11．已知函数()sin f x m x x =+,(0)m >的最大值为2．（Ⅰ）求函数()f x 在[]0,π上的值域；（Ⅱ）已知ABC ∆外接圆半径3=R ，()()sin 44f A f B A B ππ-+-=，角,A B 所对的边分别是,a b ，求b a 11+的值．12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，ABC ∆的面积S 满足c o s 2S b c A =. （Ⅰ）求角A 的值；（Ⅱ）若a =B 的大小为x,用x 表示c 并求的取值范围.13．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 已知cos -2cos 2-cos A C c a B b = . （1）求sin sin C A 的值； （2） 若1cos ,24B b ==，求ABC ∆的面积.14．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知c o s c o s c o s a C b C c B c A -=-，且C ＝120°．（1）求角A ；（2）若a ＝2，求c ．15．已知函数2()1cos 22sin (),6f x x x x R π=+--∈.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和对称中心；（Ⅱ）若将()f x 的图像向左平移(0)m m >个单位后所得到的图像关于y 轴对称，求实数m 的最小值.16．（本小题满分12分）设()sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）求()f x 最大值及相应x 值；（Ⅱ）锐角ABC △中，满足()1f A =．求()sin 2B C +取值范围．17．在△ABC ，已知.sin sin 3)sin sin )(sin sin sin (sin C B A C B C B A =-+++(1)求角A 值；(2)求C B cos sin 3-的最大值.18．已知：ABC c b a ∆分别是锐角,,三个内角A ，B ，C 所对的边，向量)sin ,cos 2(),sin 32,(sin A A b A A a ==，设b a A f ⋅=)(（1）若32)(=A f ，求角A ；（2）在（1）的条件下，若2,tan 2tan tan ==+a Aa C c Bb ，求三角形ABC 的面积．19．在ABC ∆中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且满足cos (3)cos b C a c B =- （1）求B cos ；（2）若4BC BA ⋅= ，b =a ，c 的值.20．在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别为,,a b c 且cos ,cos ,cos a C b B c A 成等差数列．（1）求B 的值；（2）求22sin cos()A A C +-的范围．21．已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、，且)c o s c o s c B b C-=. （1）求角B 的大小；（2）设向量8(cos 21,cos ),(1,)5A A +-m =n =，且⊥m n ，求tan()4A π+的值参考答案1．(1) m ()2ax f x =，min ()4f x =-(2)({}2,34⎤-⋃-⎦【解析】试题分析：(1)先用余弦的二倍角公式将其降幂，再用诱导公式及化一公式将其化简为()()sin f x A x k ωϕ=++或()()cos f x A x k ωϕ=++的形式，再根据正弦或余弦的最值情况求其最值。
专题4 三角函数与三角形-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第01期)Word版含解析[ 高考]
一．基础题组1.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试理科】已知1s i n 23α=，则2cos ()4πα-=（ ）A ．13- B ．23-C ．13D ．232.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题】将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ） .A sin 2y x = .B c o s 2y x = .C 2s i n (2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-3.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】已知cos 2θ=，则44sin cos θθ-的值为 （ ）A B C 1811 D 29-4.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（理）】已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]245.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A.向右平移6π个单位长度 B. 向右平移3π个单位长度 C.向左平移6π个单位长度D. 向左平移3π个单位长度6.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】函数)42sin()(π-=x x f 在]2,0[π上的单增区间是 （ ）A ．]8,0[π B ．]2,8[ππC ．]83,0[πD ．]2,83[ππ7.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()()()s i n 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭8.【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考理】已知()πϕϕπ<<=+0,23)2sin(，则ϕtan =________ ．9.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】函数()2sin()4f x x π=-，[,0]x π∈-的单调递减区间单间为__________．10.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b11.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】已知0y x π<<<，且t a n t a n 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___．12.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】已知(,0)2πα∈-，3cos 5α=，则tan()4πα+= ．13.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】已知2242-=--)sin()cos(πααπ，则_______sin cos =+αα14.【广东省汕头四中2014届高三第一次月考数学（理）】如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α= ．15.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（理）】 在ABC ∆中，AB ，=2AC ，0=60C ，则BC = ．16.【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】若3sin 5α=-，且t a n 0α>，则cos α= ．17.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考理】设θ为第四象限角，21)4tan(=+πθ，则=-θθcos sin ． Aαxy O二．能力题组18.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（理）】若sin()3πα-=-且3(,)2παπ∈，则sin()22πα+=（ ）A ．3-B ．6-C ．6．319.【吉林市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理】已知函数()sin())(0,||)2f x x x πωφωφωφ=++><，其图象相邻的两条对称轴方程为0x =与2x π=，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递增函数B ．()f x 的最小正周期为2π，且在(0,)π上为单调递减函数C ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递增函数 D ．()f x 的最小正周期为π， 且在(0,)2π上为单调递减函数20.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数2()sin 22cos 1f x x x =+-，将()f x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移4π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的解析式为（ ）A ．()g x x =B ．()g x x =C ．3())4g x x π=-D ．()4g x x =21.【四川省德阳中学2014届高三“零诊”试题理科】定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A (sin )(cos )f f αβ>B (sin )(cos )f f αβ<C (cos )(cos )f f αβ<D (cos )(cos )f f αβ>22.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足bc a c b =-+222，0>⋅,23=a ,则cb +的取值范围是 .23.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（理）】已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.②若12()()f x f x =-，则12x x =-.③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增. ④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos22y x =的图象.⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称．其中正确说法的序号是 . 【答案】①④24.【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（理）】在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-，则A 的取值范围是________．25.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若 AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 .26.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】函数()s i n ()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为________．27.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ．三．拔高题组28.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对的边分别为,,a b c ，且2,60c C ==︒．(Ⅰ)求sin sin a b A B++的值； (Ⅱ)若a b ab +=，求ABC ∆的面积ABC S ∆．29.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知向量m u r =(sin()A B -，sin()2A π-)，n r =(1，2sinB )，且m u r ⋅n r =sin 2C -，其中A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角.（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若3sin sin sin 2A B C +=，且ABC S ∆=，求边c 的长.30.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．31.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()2cos sin()sin cos 2222A A A A f A π=-+-. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0f A =，512C π=，a =b 的值．32.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试理】(本小题满分12分)凸四边形PABQ 中，其中,A B 为定点，,AB P Q =为动点，满足1AP PQ QB ===.（1）写出cos A 与cos Q 的关系式；（2）设APB PQB ∆∆和的面积分别为S 和T ，求22S T +的最大值，以及此时凸四边形PABQ 的面积。
2014年全国各地高考试题分类汇编(文数)4----三角函数(全Word,精心排版)
2014年全国各地高考试题分类汇编（文数）三角函数（2014安徽文数）7．若将函数()sin2cos2f x x x =+的图像向右平移ϕ个单位，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小正值是（ ） A ．8π B ．4π C ．83π D ．43π【解析】由()πsin 2cos 224f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭知()f x 图像的对称轴方程为()ππ28k x k =+∈Z ，因此在y 轴左侧且离y 轴最近的对称轴方程为3π8x =-．依题意结合图像知，ϕ的最小正值为3π8，故选C ．（2015大纲文数）2．已知角α的终边经过点(43)-，，则cos α=（ ）A ．45 B ．35 C ．35- D ．45-【解析】由三角函数定义知4cos 5α==-．故选D ． （2015大纲文数）14．函数cos22sin y x x =+的最大值为 ．【解析】221312sin 2sin 2sin 22y x x x ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭，因为1sin 1x-剟，所以当1sin 2x =时，max 32y =． （2014北京文数）12．在ABC △中，1a =，2b =，1cos 4C =，则c = ；sin A = ． 【解析】由余弦定理知2222212cos 1221244c a b ab C =+-=+-⨯⨯⨯=，故2c =；由22sin cos 1C C +=，1cos 4C =，sin 0C >知sin C ==sin sin a c A C =知1sin 4sin 28a C A c === （2014福建文数）7．将函数sin y x =的图像向左平移2π个单位，得到函数()y f x =的图像，则下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的周期是πC ．()y f x =的图像关于直线2x π=对称 D ．()y f x =的图像关于点02π⎛⎫- ⎪⎝⎭，对称 【解析】将sin y x =函数的图像向左平移π2个单位，得到函数()y f x =的图像，则()πsin cos 2y f x x x ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭．此函数为偶函数，周期为2π．由于πππcos cos 0222f ⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =的图像关于点π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故选D ．（2014福建文数）14．在ABC △中，60,2,A AC BC ===AB 等于 ．【解析】由余弦定理得2222cos BC AC AB AC AB A =+-⋅，即2342A B A B =+-，即2210A B A B -+=．所以1AB =．（2014湖北文数）13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ． 已知π6A =，a =1，b =，则B= ． 【解析】由sin sin a b A B =得1πsin 6=sin B =．又因为b a >，所以π3B =或2π3． （2014江西文数）5．在ABC △中，内角,A B C ,所对的边分别为,,,c b a ，若32a b =，则2222sin sin sin B AA-的值为（ ） A ．19-B ．13C ．1D ．72【解析】由正弦定理知，222222222sin sin 221sin B A b a b A a a --==-，又知32a b =，所以23a b =，故222222711429b b a b -=-=，故选D ． （2014辽宁文数）11．将函数3sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度，所得图像对应的函数（ ） A ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 B ．在区间7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增 【解析】将π3sin 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移π2个单位长度后得到ππ2π3sin 23sin 2233y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图像，当π7π1212x 剟时，π2ππ2232x --剟，所以2π3sin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故选B ． （2014山东文数）12．函数22cos y x x =+的最小正周期为 ．【解析】2cos 21112cos 22cos 2222x y x x x x x +=+=+=++=π1sin 262x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，所以该函数的最小正周期为π．（2014陕西文数）2．函数()πcos 2+4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的最小正周期是（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π 【解析】2π2ππ2T ω===．故选B ． （2014四川文数）3．为了得到函数()sin 1y x =+的图像，只需把函数sin y x =的图像上所有的点（ ） A ．向左平行移动1个单位长度 B ．向右平行移动1个单位长度 C ．向左平行移动π个单位长度 D ．向右平行移动π个单位长度【解析】根据平移法则“左加右减”可知，将函数sin y x =的图像上所有的点向左平移移动1个单位长度即可得到函数()sin 1y x =+的图像．故选A ．（2014四川文数）8．如图所示，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75，30，此时气球的高是60m ，则河流的宽度BC 等于（ ）A．)2401m B．)1801m C．)1201m D．)301m【解析】如图，30ACD ∠=，75ABD ∠=，60AD =m ，在Rt ACD △中，60tan tan 30AD CD =ACD ==∠m ，在Rt ABD △中，(60602tan tan 75AD BD =ABD ===∠m，所以()6021201BC CD BD =-=-=m ．故选C ．°（2014天津文数）8．已知函数()()cos 0,.f x x x x ωωω=+>∈R 在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．π2B ．2π3C ．πD ．2π【解析】因为()cos f x x x ωω=+π=2sin 6x ω⎛⎫+⎪⎝⎭，所以可以将曲线2sin y x =向左平移π6个单位，再将所有点横坐标变为原来的1ω倍得到．曲线()y f x =与直线1y =的交点横坐标即为方程π2sin 16x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解．由图像变换原理知，又1sin 2x =相邻实数距离的最小值为5ππ2π663-=，5πππ663ωω-=，即2ω=，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．故选C ． 本题也可用推理法处理，令1ππ2π66x k ω+=+，k ∈Z ，得12πx k ω=⋅，k ∈Z ，再令2π5π2π66x k ω+=+，k ∈Z ，得22π2π3x k ωω=+⋅，k ∈Z ．则12min 2ππ33x x ω-==，解得2ω=，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==．故选C ．（2014新课标1文数）2．若0tan >α，则（ ）A ．0sin >αB ．0cos >αC ．02sin >αD ．02cos >α【解析】由tan 0α>得α是第一、三象限角，若α是第三象限角，则A ，B 错；由sin 22sin cos ααα=知sin 20α>，C 正确；α取π3时，2211cos 22cos 121022αα⎛⎫=-=⨯-=-< ⎪⎝⎭，D 错．故选C ． （2014新课标1文数）7．在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π+=x y ，④)42tan(π-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③ 【解析】①cos2cos2y x x ==，最小正周期为π；②由cos y x =图像知的最小正周期为π；③πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期2ππ2T ==；④πtan 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期π2T =．因此选A ． （2014新课标1文数）16．如图，为测量山高MN ，选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点．从A 点测得 M点的仰角60MAN ∠=︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒．已知山高100BC m =，则山高MN =________m ．【解析】在Rt ABC △中，45CAB ∠=，100BC =m ，所以AC =m ．在A M C △中，75MAC ∠=，60MCA ∠=，从而45AMC ∠=，由正弦定理得，sin 45sin 60AC AM=，因此AM =m ．在Rt MNA△中，AM =m ，60MAN ∠=，由sin 60MN AM =得150MN ==m ，故填150． （2014新课标2文数）14．函数()sin()2sin cos f x x x ϕϕ=+-的最大值为 ． 【解析】()()sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos f x x x x x x ϕϕϕϕϕ=+-=+-=()sin cos cos sin sin 1x x x ϕϕϕ-=-…，所以()max 1f x =．（2014浙江文数）4．为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数y x 的图像（ ） A ．向右平移π12个单位 B ．向右平移π4个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向左平移π4个单位【解析】因为ππsin3cos333412y x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以将y x =的图像向右平移π12个单位即可得到πcos 312y x ⎡⎤⎛⎫=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图像，故选A ． （2014重庆文数）13．将函数()()sin 022f x x ωφωφππ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭，≤图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移6π个单位长度得到x y sin =的图像，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭______． 【解析】π62π1πsin sin sin 626y x y x y x ⎛⎫⎛⎫=−→=+−−−−−−−→=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭向左平移个纵坐标不变单位长度横坐标变为原来的倍，即()1π=sin 26f x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以ππππ=sin =sin 61264f ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2014安徽文数）16．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，且3b =，1c =，ABC △cos A 与a 的值．解：由三角形面积公式，得131sin 2A ⨯⨯⋅=sin 3A =． 因为22sin cos 1A A +=，所以1cos 3A ===±． ①当1cos 3A =时，由余弦定理得2222212cos 3121383a b c ab A =+-=+-⨯⨯⨯=，所以a = ②当1cos 3A =-时，由余弦定理得2222212cos 31213123a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以a =． （2014北京文数）16．（本小题满分13分）函数()π3sin 26f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图像如图所示． （1）写出()f x 的最小正周期及图中0x ，0y 的值；（2）求()f x 在区间ππ,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．解：（1）()f x 的最小正周期为π．007π36x y =⋅=． （2）因为ππ,212x ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦，所以π5π2,066x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦．于是，当π206x +=，即π12x =-时，()f x 取得最大值0； 当ππ262x +=-，即π3x =-时，()f x 取得最小值3-．（2015大纲文数）18．（本小题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知13cos 2cos tan 3a C c A A ==，，求B ．解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A =．故3tan cos 2sin A C C =，因为1tan 3A =，所以cos 2sin C C =， 1tan 2C =．所以()()tan tan tan tan 180tan 1tan tan 1A CB AC A C A C +⎡⎤=-+=-+==-⎣⎦⋅-，即135B =． （2014福建文数）18．（本小题满分12分）已知函数()2cos (sin cos )f x x x x =+．（1）求5()4f π的值；（2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间．解法一：（1）5π5π5π5ππππ2cos sin cos 2cos sin cos 4444444f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2=．（2）因为()2π2sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以2ππ2T ==．由πππ2π22π242k x k -++剟，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -+剟，k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．解法二：()2π2sin cos 2cos sin 2cos 21214f x x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭．（1）5π11ππ112444f ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭． （2）2ππ2T ==．由πππ2π22π242k x k -++剟，k ∈Z ，得3ππππ88k x k -+剟，k ∈Z ． 所以()f x 的单调递增区间为3πππ,π88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．（2014广东文数）16．（本小题满分12分）已知函数()πsin ,3f x A x x ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，且5π122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．（1）求A 的值；（2）若()()ff θθ--=π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求π6f θ⎛⎫- ⎪⎝⎭．解：（1）由5π12f ⎛⎫⎪⎝⎭5ππ3πsin sin 31234A A A A ⎛⎫+=⇒=⇒=⇒= ⎪⎝⎭．（2）由()()ff θθ--=ππ3sin 3sin 33θθ⎛⎫⎛⎫+--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即ππ3sin 3sin 33θθ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π6sin cos 3θ=3sin θ=sin 3θ=因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos θ=．所以ππππ3sin 3sin 3cos 6632f θθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．（2014湖北文数）18．（本小题满分12分）某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t （单位：h ）的变化近似满足函数关系：ππ()10sin 1212f t t t =-，[0,24)t ∈．（1）求实验室这一天上午8时的温度；（2）求实验室这一天最大温差．解：（1）()ππ8108sin 81212f ⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π2π10sin 33=-110102⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．故实验室上午8时的温度为10C ．（2）因为()π1πππ102sin 102sin 12212123f t t t t ⎫⎛⎫=-+=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．又024t <…，所以πππ7π31233t +<…，ππ1sin 1123t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭剟．当2t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；当14t =时，ππsin 1123t ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭．于是，()f t 在[)0,24上取得最大值12，取得最小值8．故实验室这一天最高温度为12C ，最低温度为8C ，最大温差为4C ．（2014湖南文数）19．（本小题满分13分）如图所示，在平面四边形ABCD中，2123DA AB DE EC EA ADC π⊥===∠=，，，，3BEC π∠=．（1）求CED ∠sin 的值；（2）求BE 的长．解：（1）在CDE △1sin DCE =∠，且2sin sin 3CDE π∠==，1sin DCE =∠，得sin DCE ∠==． 2sin sin 3CED DCE π⎛⎫∠=π--∠ ⎪⎝⎭sin 3DCE π⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33DCE DCE ππ=∠-∠1214=-⨯28=7=． （2）sin sin 3AEB CED π⎛⎫∠=π--∠ ⎪⎝⎭sin 3CED 2π⎛⎫=-∠ ⎪⎝⎭sin cos cos sin 33CED CED 2π2π=∠-∠12=+=．2cos BE AEB ===∠（2014江西文数）16．（本小题满分12分）已知函数()()()θ++=x x a x f 2cos cos 22为奇函数，且04f π⎛⎫=⎪⎝⎭，其中a ∈R ，()0θ∈π，．（1）求θ，a 的值；（2）若2452f ααπ⎛⎫⎛⎫=-∈π ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，求sin 3απ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值．AED CB解：（1）因为()()()22cos cos 2f x a x x θ=++是奇函数，而212cos y a x =+为偶函数，所以()1cos 2y x θ=+为奇函数，又()0,πθ∈，则π2θ=， 所以()()2sin 22cos f x x a x =-⋅+，由π04f ⎛⎫=⎪⎝⎭得()10a -+=，即1a =-． （2）由（1）得，()1sin 42f x x =-，因为12sin 425f αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，即4sin 5α=，又π,π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭，从而3cos 5α=-，所以有πππsin sin cos cos sin 333ααα⎛⎫+=+=⎪⎝⎭． （2014辽宁文数）17．（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且a c >，已知2BA BC ⋅=，1cos 3B =，3b =，求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值． 解：（1）由2BA BC ⋅=uu r uu u r 得cos 2c a B ⋅=．又1cos 3B =，所以6ac =．由余弦定理，得2222cos a c b ac B +=+．又3b =，所以2292213a c +=+⨯=． 解22613ac a c =⎧⎨+=⎩，得2a =，3c =或3a =，2c =．因为a c >，所以3a =，2c =．（2）在ABC △中，sin 3B ==．由正弦定理，得2sin sin 339c C B b ==⋅=． 因为a b c =>，所以C为锐角，因此7cos 9C ==．于是()1723cos cos cos sin sin 3927B C B C B C -=+=⨯=． （2014山东文数）17．（本小题满分12分）ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知π3,cos 2a A B A ===+．（1）求b 的值；（2）求ABC △的面积． 解：（1）在ABC △中，由题意知，sin A ==因为π2B A =+，所以πsin sin cos 2B A A ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭3sin sin a B b A === （2）由π2B A =+得πcos cos sin 2B A A ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭πA B C ++=，得()πC A B =-+．所以()()sin sin πsin C A B A B =-+=+=⎡⎤⎣⎦1sin cos cos sin 3A B A B ⎛+=+= ⎝⎭．因此ABC △的面积111sin 32232S ab C ==⨯⨯=． （2014四川文数）17．（本小题满分12分）已知函数()πsin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭． （1）求()f x 单调递增区间；（2）若α是第二象限角，4πcos cos 2354f ααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求cos sin αα-的值．解：（1）因为函数sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．由πππ2π32π242k x k -+++剟，k ∈Z ，得π2ππ2π43123k k x -++剟，k ∈Z ． 所以函数()f x 的单调递增区间为π2ππ2π,43123k k ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ． （2）由已知，有()22π4πsin cos cos sin 454αααα⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()22ππ4ππsin cos cos sin cos cos sin sin cos sin 44544αααααα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭， 即()()2ππ4sin coscos sin cos sin sin cos 445αααααα+=-+．当sin cos 0αα+=时，由α是第二象限角，知3π2π4k α=+，k ∈Z ．此时cos sin αα-=． 当sin cos 0αα+≠时，有()25cos sin 4αα-=．由α是第二象限角，知cos sin 0αα-<，此时cos sin αα-=．综上所述，cos sin αα-=或 （2014天津文数）16．（本小题满分13分）在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，已知b c a 66=-，C B sin 6sin =．（1）求A cos 的值；（2）求πcos 26A ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．解：（1）在ABC △中，由sin sin b cB C=，及sin B C =，可得b =．又由a c -=，有2a c =．所以，222222cos 2bc a A ab +-===11 （2）在ABC △中，由cos 4A =，可得sin 4A =．于是，21cos 22cos 14A A =-=-，sin 22sin cos A A A =⋅=．所以，πππcos 2cos 2cos sin 2sin 666A A A ⎛⎫-=⋅+= ⎪⎝⎭ （2014新课标2文数）17．（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，1AB =，3BC =，2CD DA ==．（1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积．解：（1）由题设及余弦定理得2222cos 1312cos BD BC CD BC CD C C =+-⋅=-，① 2222cos 54cos BD AB DA AB DA A C =+-⋅=+．② 由①，②得1cos 2C =，故60C =，BD = （2）四边形ABCD 的面积1111sin sin 1232sin 60232222S AB DA A BC CD C ⎛⎫=⋅+⋅=⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ （2014浙江文数）18．在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知24sin 4sin sin 22A B A B -+=． （1）求角C 的大小；（2）已知4b =，ABC △的面积为6，求边长c 的值．解：（1）由已知得()21cos 4sin sin 2A B A B --+=+⎡⎤⎣⎦，化简得2cos cos 2sin sin A B A B -+=()cos 2A B +=-3π4A B +=，从而π4C =． （2）因为1sin 2ABC S ab C =△，由6ABC S =△，4b =，π4C =，得a = 由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，得c =（2014重庆文数）18．（本小题满分12分）在ABC △中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，且8=++c b a ．（1）若522a b ==，，求C c o s 的值；（2）若C A B B A s i n 22c o s s i n 2c o s s i n 22=+，且ABC △的面积C S sin 29=，求a 和b 的值． 解：（1）由题意可知()782c a b =-+=．由余弦定理得222222572122cos 525222a b c C ab ⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭===-⨯⨯． （2）由22sin cos sin cos 2sin 22B A A B C +=可得：1cos 1cos sin sin 2sin 22B A A BC ++⋅+⋅=， 化简得sin sin cos sin sin cos 4sin A A B B B A C +++=．因为()sin cos cos sin sin sin A B A B A B C +=+=， 所以sin sin 3sin A B C +=．由正弦定理可知3a b c +=．又因为8a b c ++=，所以6a b +=．由于19sin sin 22S ab C C ==，所以9ab =，从而2690a a -+=，解得3a =，3b =．。
2014高三名校数学(文)试题解析分项汇编4.三角函数与三角形汇总
一．基础题组1.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】sin 480的值为（ ）A ．12- B．．12 D2.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试文科】已知1sin 23α=，则2cos ()4πα-=（ ）A ．13-B ．23- C ．13 D ．233.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ） A.向右平移6π个单位长度B. 向右平移3π个单位长度C.向左平移6π个单位长度 D. 向左平移3π个单位长度4.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】函数)2sin(sin )(π+=x x x f 的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD ．2π5.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】 若cos()πα-=且(,)2παπ∈，则sin()πα+=（ ）A ．．23- C ．13- D ．23±6.【安徽省望江四中2014届高三上学期第一次月考数学（文）】函数)2sin(sin x x y +=π的最小正周期是（ ） A ．π2B ．πC ．2πD ．4π7.【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】已知4cos 5α=-,且(,)2παπ∈,则tan()4πα-=（ ）A ．17-B ．7-C ．71D ．78.【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考文】已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论错误．．的是（ ） A. 函数()f x 的最小正周期为2π B. 函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数C. 函数()f x 的图像关于直线0x =对称D. 函数()f x 是奇函数9.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】要得到函数cos y x =的图像，只需将函数sin(2)4y x π=+的图像上所有的点的（ ）A ．横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度10.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知α是ABC ∆的一个内角，且1sin cos 5αα+=，则2sin 2cos αα+的值为（ ） A 、35- B 、825- C 、3325 D 、35-或825-11.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（文）】已知0ω>，函数()cos()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是( )A ．15[,]24B ．17[,]24C ．39[,]44D ．37[,]2412.【广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学文】将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位，那么所得的图像所对应的函数解析式是（ ）A.sin 2y x =B.cos 2y x =C.2sin(2)3y x π=+ D.sin(2)6y x π=-13.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试文】将函数sin(2)3y x π=+的图像平移后所得的图像对应的函数为cos 2y x =，则进行的平移是（ ） A 、向右平移12π个单位 B 、向左平移12π个单位C 、向右平移6π个单位 D 、向左平移6π个单位14.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】已知(,0)2πα∈-，3cos 5α=，则tan()4πα+=．15.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】函数()2sin()4f x x π=-，[,0]x π∈-的单调递减区间单间为__________．16.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】在ABC ∆中，3A π∠=，=2AB ，且ABC ∆，则边BC 的长为_________.17.【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】在ABC △中，若13,1,cos 3b c A ===，则a =.18.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___．19.【吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试文】在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2a =，3c =，60B =︒．则b = .20.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知α为钝角，且53)2cos(-=+απ，则 .二．能力题组21.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】ABC ∆的三内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足cos cos a b B A=，则ABC ∆的形状是（ ）A 、正三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、等腰三角形或直角三角形22.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】 已知函数()sin(+)(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=>><的部分图像如图所示，则(0)f =（ ）A ．1 BC ．2D ．23.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知),0(πα∈，且,21cos sin =+αα则α2cos 的值为( )A ．47± B ．47 C ．47-D ．43-25.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（文）】在△ABC 中，4cos 5A =，8AB AC ⋅=，则△ABC 的面积为 （ ）A.65B.3C.125D.626.【浙江省绍兴市第一中学2014届高三上学期回头考】.已知,αβ的终边在第一象限，则“αβ>”是“sin sin αβ>”（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件27.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】已知ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知C B A 2cos 22cos 2cos =+，则cos C 的最小值为( )A.23 B.22 C.21D.21-28【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】函数)2||,0)(sin()(πϕωϕω<>+=x x f 的部分图像如图所示，如果)3,6(,21ππ-∈x x ，且)()(21x f x f =，则=+)(21x x f ( )A ．21 B ．22 C ．23 D ．129.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】海水受日月的引力作用，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是港口在某季节每天的时间与水深关系的表格：时刻０：００３：００６：００９：００１２：００ １５：００ １８：００ ２１：００ ２４：００水深５.０７.５５.０２.５５.０７.５５.０２.５５.０选用函数sin()(0,0)y A x B A ωϕω=++>>来模拟港口的水深与时间的关系.如果一条货船的吃水深度是４米，安全条例规定至少有2.25米的安全间隙(船底与洋底的距离)，则该船一天之内在港口内呆的时间总和为____________小时30.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】已知函数()cos sin f x x x =⋅，给出下列五个说法：①19211124f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若12()()f x f x =-，则12x x =-；③()f x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增； ④将函数()f x 的图象向右平移34π个单位可得到1cos22y x =的图象；⑤()f x 的图象关于点,04π⎛⎫- ⎪⎝⎭成中心对称．其中正确说法的序号是.31.【山西省忻州一中 康杰中学 临汾一中 长治二中2014届高三第一次四校联考文】.下面有四个命题：①函数44sin cos y x x =-的最小正周期是π； ②函数x x y cos 4sin 3+=的最大值是5； ③把函数)32sin(3π+=x y 的图象向右平移6π得x y 2sin 3=的图象；④函数)2sin(π-=x y 在),0(π上是减函数.其中真命题的序号是 .32.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】函数()sin()(0,0,)2f x A x A πωφωφ=+>><的部分图像如图所示，则将()y f x =的图象向右平移6π个单位后，得到的图像解析式为________．33.【江苏省苏州市2014届高三九月测试试卷】已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ．34.【山东省临沂市某重点中学2014届高三9月月考文】在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos baC a b +=，则tan tan tan tan C C A B+=___35.【2014届吉林市普通高中高中毕业班复习检测】在ABC ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、满足bc a c b =-+222，0>⋅BC AB ,23=a ,则cb +的取值范围是 .36.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】在锐角ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2,3b B π==，且sin cos c A C =，则ABC ∆的面积为 ．考点：解三角形.三．拔高题组37.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】（本小题满分12分） 函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图像如图所示.(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期及解析式；(Ⅱ)设x x f x g 2cos )()(-=，求函数)(x g 在区间]2,0[π上的最小值.38.【成都外国语学校2014级高三开学检测试卷】已知向量m u r=(sin()A B -，sin()2A π-)，n r =(1，2sin B )，且m u r n r =sin 2C -，其中A 、B 、C 分别为ABC ∆的三边a 、b 、c 所对的角.（Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）若3sin sin sin 2A B C +=，且ABC S ∆=，求边c 的长．38.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且22()2cos sin()sin cos2222A A A A f A π=-+-. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值； （Ⅱ）若()0f A =，512C π=，a =，求b 的值．39.【安徽省六校教育研究会2014届高三素质测试文】（本小题满分12分）已知3(sin ,),(cos(),1)3a x b x π==+，函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最值和单调递减区间；（2）已知在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c ，()0,f A a ==ABC 的面积的最大值.40.【广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理】已知函数=+.f x x x x()2sin(sin cos)（1）求()f x的对称中心.f x的最小正周期；（2）求()41.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数x x x f cos 2sin 32)(-=（Ⅰ）若],0[π∈x ,求)(x f 的最大值和最小值； （Ⅱ）若0)(=x f ,求)4sin(21sin 2cos 22π+--x x x的值.42.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】若函数)0(cos sin sin )(2>-=a ax ax ax x f 的图象与直线m m y (=为常数)相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为2π（I ）求m 的值；（Ⅱ）若点),(00y x A 是)(x f y =图象的对称中心，且]2,0[0π∈x ，求点A 的坐标43.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】已知函数2()cos sin cos f x x x x =+，x R ∈（1）求()6f π的值；（2）若3sin 5α=，且(,)2παπ∈，求(+)224f απ.44.【广东省广州市越秀区2014届高三上学期摸底考试（文）】已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，x ∈R 的最大值是1，最小正周期是2π，其图像经过点(0,1)M ． （1）求()f x 的解析式；（2）设A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且3()5f A =，5()13f B =，求()f C 的值．45.【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（文）】已知函数()sin(2)sin(2)233f x x x x mππ=++--，若()f x 的最大值为1.（1）求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间;（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ,若()1f B =b c =+，试判断三角形的形状.46.【吉林市普通中学2013—2014学年度高中毕业班摸底测试文】在锐角ABC ∆中，cos 1A A =+.（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求B A B sin cos 42cos +的取值范围.47.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】已知函数21()2cos 2f x x x --，x R ∈．（Ⅰ）求函数()f x 的最小值和最小正周期；（Ⅱ）设ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足c =()0f C =且sin 2sin B A =，求a 、b 的值.48.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】已知函数2()cos cos ()f x x x x m m R =-+∈的图像过点(,0)12M π.（1）求函数()f x 的单调增区间；（2）将函数()f x 的图像各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移3π个单位，得函数()g x 的图像.若,,a b c 分别是ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，4a c +=，且当x B =时，()g x 取得最大值，求b 的取值范围.49.【广东省惠州市2014届高三第一次调研考试】已知函数()1sin cos f x x x =+⋅.（1）求函数()f x 的最小正周期和最小值；（2）若3tan 4x =，(0,)2x π∈，求()42x f π-的值.50.【广东省广州市“十校”2013-2014学年度高三第一次联考文】已知锐角ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且6c =，sin 22C C =.（1）求角C 的大小； （2）若1sin 3A =，求ABC ∆的面积.51.【内蒙古赤峰市全市优质高中2014届高三摸底考试（文）】已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，且22cos 5cos 228A A -=(1)求角A 的大小， (2)若35a B ==，求b 的值．52.【江苏省泰州中学2013-2014学年度第一学期高三数学考试】在锐角ABC ∆中，角A B C 、、的对边分别为a b c 、、，已知.3tan )(222bc A a c b =-+（1）求角A ；（2）若=2a ，求ABC ∆面积S 的最大值.53.【河北省唐山市2013-2014学年度高三年级摸底考试文科】( 本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知sin cos c A C =.（Ⅰ）求C ； （Ⅱ）若c =，且3b a =，求ABC ∆的面积.。
2014届高三名校数学(理)试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形
一．基础题组1. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知4cos()65πα-=，则sin()3πα+= ．2. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】已知)0,2(πα-∈，53cos =α，则=+)4tan(πα ．3.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】在ABC ∆中，若2,60,a B b =∠=︒，则c = ．4. 【江苏省兴化市2013~2014学年度第一学期期中考试高三】在ABC ∆中，已知0sin sin sin sin sin 222=---C B C B A ，则A ∠的大小为 ．5. 【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】设向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中πβα<<<0，若|2||2|a b a b +=-，则βα-= .6. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】函数2cos y x =的最小正周期为 ．7. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】已知f (x )=3sin(2x －π6)，若存在α∈(0,π)，使f (α+x )= f (α-x )对一切实数x 恒成立，则α= ． 【答案】65,3ππ8. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】已知△ABC 中，c b a ,,分别是角A ，B ，C 的对边，2=a ，A = 45°，B = 60°，那么△ABC 的面积=∆ABC S .9.【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】已知ABC ∆的周长为1，且sin sin A B C +=（1）求边AB 的长； （2）若ABC ∆的面积为1sin 6C ，求角C .10.【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==．（1）若67πβα=-，求a b ⋅的值； （2）若4,58a b πα⋅==，且⎪⎭⎫⎝⎛-∈-0,2πβα，求tan()αβ+的值．试题解析：（1）解：（1）∵)sin ,(cos ),sin ,(cos ββαα==b a∴()2367cos cos -==-=⋅πβαb a （2）∵54=⋅∴()54cos =-βα，()53sin -=-βα，()43tan -=-βα11.【江苏省扬州中学2013—2014期中考试模拟】已知函数2()2sin cos 1f x x x x =-++ ⑴求()f x 的最小正周期及对称中心； ⑵若[,]63x ππ∈-，求()f x 的最大值和最小值.12.【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，其中角ϕ的终边经过点(1P ，且0ϕπ<<.（1）求ϕ的值；（2）求()f x 在[0,]π上的单调减区间．二．能力题组1.【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】将函数()2sin()3f x x πω=-（0ω>）的图象向左平移3πω个单位，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[0,]4π上为增函数，则ω的最大值为 【答案】2 【解析】试题分析：()2sin[()]2sin()33g x x x ππωωω=+-=，根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象可知，2. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】求值：002cos10sin 20cos 20-= ．3. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】方程0cos 3sin =++a x x 在)2,0(π内有相异两解βα,，则=+βα .考点：函数与方程，函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质.4. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在ABC ∆中，若22()||5CA CB AB AB +⋅=，则tan tan A B= .5. 【江苏省兴化市安丰高级中学2014届高三】在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且 .3tan )(222bc A a c b =-+ （1）求角A ；（2）若2a =，求ABC ∆面积S 的最大值. 【答案】（1）60A ︒=；（2）3. 【解析】6. 【江苏省兴化市2013~2014学年度第一学期期中考试高三】在△ABC 中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，已知m ()A A sin 3,cos 2=，n ()A A cos 2,cos -=，m·n 1-=．（1）求A ∠的大小；（2）若32=a ，2=c ，求△ABC 的面积．试题解析：解：（1）法一：由题意知m·n 1cos sin 32cos 22-=-=A A A ．7. 【江苏省徐州市2013-2014第一学期高三期中试题】设向量)sin ,2(θ=，)cos ,1(θ= ，θ为锐角．（1）若136a b ⋅=，求θθcos sin +的值； （2）若ab ，求)32sin(πθ+的值．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）利用向量数量积的坐标表示，136a b ⋅=可转化为三角等式，然后利用三角函数的相关公式对其变形，求解则可得到θθcos sin +的值，求解过程中要注意由角的取值范围对结果进行8. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ， ∙＝8，∠BAC ＝θ，a ＝4，(1)求b ·c 的最大值及θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝23sin 2(π4＋θ)＋2cos 2θ－3的最值．2f()=a 2sin cos c θθθ⨯+⨯＋b 的形式，再利用22)a sin cos c c θθθϕ⨯+=+⨯+＋b 的形式，最后利用(1)中所求θ的范围并结合三角函数的图象可求出函数的最大值和最小值．9. 【盐城市2014届高三年级第一学期期中考试】在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，设(1,1)m =，(cos ,sin )n A A =-，记()f A m n =⋅.（1）求()f A 的取值范围；（2）若m 与n 的夹角为3π，3C π=，c =b 的值．试题解析：（1）因为()f A m n =⋅=cos sin 4A A A π⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭， ………………3分考点：平面向量的数量积、三角函数的图象与性质、解三角形.10. 【金陵中学2013－2014学年度第一学期高三期中试卷数学】 已知向量a =(2cos x , 2sin x ) ，b =(3cos x , cos x ),设函数f (x )=a •b -3, 求：(1) f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)若()()26212f f απαπ--+=, 且α∈(π2,π). 求α.试题解析：()3f x a b =⋅-=22sin cos x x x +sin 22x x =2sin(2)3x π+-3分三．拔高题组1. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】已知)2sin ,2(),sin ,1(2x b x a ==，其中()0,x π∈，若a b a b ⋅=⋅，则tanx =2. 【江苏省通州高级中学2013-2014学年度秋学期期中考试高三数学试卷】 已知ααcos 21sin +=，且)2,0(πα∈，则)4sin(2cos παα-的值为__ ____．3. 【江苏启东中学2014届上学期期中模拟高三数学】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin tan cos cos A B C A B+=+． （1）求角C 的大小；（2）若△ABC 的外接圆直径为1，求22a b +的取值范围．试题解析：(1)因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A B C A B+=+， 所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-． …………………………………………………4分所以C A B C -=-，或()C A B C π-=--(不成立)．考点：两角和与差的三角函数、正弦定理.4. 【江苏省灌云高级中学2013-2014学年度高三第一学期期中考试】如图，两座建筑物AB ，CD 的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m 和15m ，从建筑物AB 的顶部A 看建筑物CD 的张角045CAD ∠=．(1)求BC 的长度；(2)在线段BC 上取一点P (点P 与点B ，C 不重合)，从点P 看这两座建筑物的张角分别为APB α∠=，DPC β∠=，问点P 在何处时，tan()αβ+最小？先在图中含有α和β的两个直角三角形中,得到915PC=18-t,tan =,tan =18t tαβ-,再由两角和的正。