拉格朗日配方法(将二次型转化为标准型)
§62 二次型化为标准型的三种方法
2 n n n
2
a 12 a 1n a 11 x 1 x 2 ... xn a 11 a 11 1 a 12 x 2 a 13 x 3 ... a 1n x n a 11
2 2 a 22 x 2 ... 2a 2 n x n 2 ...... a nn x n
2 1
y 的 系 数 2 a 0 , 再 用 ( 1 ) 化 简 . 1 2
反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型 化为标准形. y=Dz,|D|≠0 因为 x=Cy, |C|≠0 则 x=(CD)z, |CD|=|C||D|≠0 也是非退化线性替换.
以上做法中,每一步都是非退化线性替换.
2 2 2 x 2 x x 2 x x 2 x 5 x 6 x x 1 12 13 2 3 2 3 2 2 2 去掉配方后多出来的项 x x x x 4 x 4 xx 1 2 3 2 3 23 2 2 2 2 2 x x 2 x x 2 3 2 3 x x x x 4 x 4 x x
g ( y , y , , y ) d y d y d y ,
2 n n
上 式 称 为 f 的 标 准 型 .
(2)如果存在，如何求C?
问 题 ： ( 1 ) 非 退 化 得 线 性 替 换 X C Y 是 非 存 在 ？
定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性 替换 化为标准形。
' 2 ay n nn
当aii'不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2)
(2)若a ii=0 (i=1,2,…,n),但至少有一个aij≠0,
设a12≠0,则
f(x ,x ,...,x 1 2 n) 2 a xx a xx a xx 1 2 1 2 2 1 3 1 3 ...2 1 n 1 n 2 a xx a xx 2 3 2 3 ...2 2 n 2 n ...... 2 a x x n 1 , n n 1 n
线性代数—二次型的标准形和规范形汇总
9
2、用正交变换法化二次型为标准形
由上节定理可知，对实对称阵 A，总可找到正交 阵 P，使 P AP 为对角阵， 而由正交阵性质可知，
1
1
P
P ，故 P AP P AP 。因此这样的正交
T T
1
阵 P 正好用来作为变换 X CY 中的矩阵 C。
当 C 是正交阵时， 我们称 X CY 是一个正交变换。
2
45 4 45 5 45
14
于是所求正交变换为 X PY ,
2 2 2 f 9 y 18 y 18 y 标准形为 1 2 3 .
15
例4
用正交变换将二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 2 x1 x4 2 x2 x3 2 x2 x4 2 x3 x4
1
2
2 ( 3)( 1)3 . 1
3 1 1 1 1 3 1 1 1 3 , 3 E A 1 1 3 1 1 1 1 3
17
3 1 1 1 1 1 13 1 1 0 1 1 E3 A 1 1 3E A 11 1 0 0 1 1 3 0 10 1 1 1 1 1 3
析可以看出， 要把一个二次型化为标准形， 只要找一个可逆阵 C，
T C AC 成为对角阵，义
如果二次型
f ( x1 , x2 ,, xn ) X T AX 通过可逆线性变换 X CY ，化为二次型 2 2 2 Y T BY d 1 y1 d 2 y2 d n yn ，
2 2
f 2 y 2 y 4 y1 y3 8 y2 y3 .
二次型化为标准规定型的三种方法
2x1x2
2x1x 3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
化为标准形
解:配方化简
x12
2x1x2
2x1x3
2x
2 2
4x2x3
x
2 3
x12 2x1(x2 x3) (x2 x3)2 (x2 x3)2 2x22 4x2x3 x32
x1 x2 x3 2 x22 2x2x3
x1 x2 x3 2 x2 x3 2 x32
再配方，得
f 2 y1 y3 2 2 y2 2 y3 2 6 y32 .
令
z1 z2
y1 y2
y3 2 y3
z3 y3
y1 y2
z1 z2
z3 2z3
,
y3 z3
y
1
1
即
y
2
y 3
0
0
0 1 0
z 1 z 2 z 1
1 ,Y 2 3
实二次型f(x1, x2, , xn )=XT AX (AT A), 由于A为实对称，则存在正交矩阵Q使得
Q 1AQ QT AQ diag(1, 2, , n ),
于是线性替换X=QY(称为正交变换)化f为
标准型1y12
2y
2 2
n
y
2 n
.
定理 对于任意n元实二次型f(x1, x2, , xn ) X T AX (AT A),都存在正交变换X=QY化f为
令
y1
y2
x1
x2 x2
x x3
3
y3 x3
即
x1 x2
y1 y2
y2 y3
x3 y3
1 1 0 C 0 1 1 1 0
配方法化二次型为标准型
配方法化二次型为标准型方法化二次型为标准型的步骤如下：1. 首先，判断二次型的矩阵是否为对称矩阵。
若不是对称矩阵，则进行对称化处理。
2. 对称化处理：对于二次型$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{A}\boldsym bol{x}$，若矩阵$\boldsymbol{A}$不是对称矩阵，则可以构造对称矩阵$\boldsymbol{B}$，使得$\boldsymbol{A}=\frac{1}{2}(\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^T)$。
这样，二次型可表示为$Q(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T(\frac{1}{2}\boldsymbol {B}+\frac{1}{2}\boldsymbol{B}^T)\boldsymbol{x}$。
3. 根据对称性质，可以知道对称矩阵可以进行正交对角化，即存在正交矩阵$\boldsymbol{P}$，使得$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P}=\boldsymbol{D}$。
这里，$\boldsymbol{D}$为对角矩阵，其对角元素为特征值，即$\boldsymbol{D}=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_n)$。
4. 将二次型进行变量替换，令$\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}$，则有$\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$，代入二次型得到$Q(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{y}^T(\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{A}\boldsymbol{P})\boldsymbol{y}=\boldsymbol {y}^T\boldsymbol{D}\boldsymbol{y}$。
第二节 化二次型为标准型
第二节 化二次型为标准形若二次型),,,(21n x x x f 经可逆线性变换化为只含平方项的形式,2222211n n y b y b y b则称之为二次型),,,(21n x x x f 的标准形.由上节讨论知,二次型AX X x x x f T n ),,,(21 在线性变换CY X 下,可化为.)(Y AC C Y T T 如果AC C T 为对角矩阵n b b b B 21则),,,(21n x x x f 就可化为标准形,2222211n n y b y b y b 其标准形中的系数恰好为对角阵B 的对角线上的元素,因此上面的问题归结为A 能否合同于一个对角矩阵.内容分布图示★ 二次型的标准性★ 用配方法化二次型为标准形 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 用初等变换化二次型为标准形★ 例5 ★ 例6★ 定理 3 4 ★ 用正交变换化二次型为标准形★ 例7 ★ 例8★ 二次型与对称矩阵的规范形★ 例9 ★ 例10★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题5-2 ★ 返回内容要点：一、用配方法化二次型为标准形.定理1 任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形. 拉格朗日配方法的步骤:(1) 若二次型含有i x 的平方项,则先把含有i x 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止, 经过可逆线性变换, 就得到标准形;(2) 若二次型中不含有平方项, 但是)(0j i a ij ,则先作可逆变换 ),,,2,1(j i k n k y x y y x y y x kk ji j j i i且 化二次型为含有平方项的二次型, 然后再按(ⅰ)中方法配方.注：配方法是一种可逆线性变换, 但平方项的系数与A 的特征值无关. 因为二次型f 与它的对称矩阵A 有一一对应的关系，由定理1即得:定理2 对任一实对称矩阵A ，存在非奇异矩阵C ，使 B AC C T 为对角矩阵. 即任一 实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为CY X ，它把二次型AX X T 化为标准型BY Y T ，则 B AC C T . 已知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积, 故存在初等矩阵s P P P ,,,21 ，使 s P P P C 21 , 于是s P P EP C 21s TT T s T P P AP P P P AC C 2112.由此可见, 对n n 2矩阵E A 施以相应于右乘s P P P21的初等列变换, 再对A 施以相应于左乘Ts T T P P P ,,,21 的初等行变换, 则矩阵A 变为对角矩阵B , 而单位矩阵E 就变为所要求的可逆矩阵C .三、用正交变换化二次型为标准形定理 2 若A 为对称矩阵，C 为任一可逆矩阵,令,AC C B T ,则B 也为对称矩阵,且).()(A r B r注: (1) 二次型经可逆变换CY X 后,其秩不变,但f 的矩阵由A 变为;AC C B T (2) 要使二次型f 经可逆变换CY X 变成标准形,即要使AC C T 成为对角矩阵, 即.),,,(2222211212121n n n n n T T y b y b y b y y y b b b y y y ACY C Y定理3 任给二次型),(1,ij ji nj i j i ij a a x x a f 总有正交变换,PY X 使f 化为标准形,2222211n n y y y f其中n ,,,21 是f 的矩阵)(ij a A 的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1) 将二次型表成矩阵形式,AX X f T 求出A ; (2) 求出A 的所有特征值 n ,,,21 ; (3) 求出对应于特征值的特征向量 n ,,,21 ;(4) 将特征向量n ,,,21 正交化, 单位化, 得n ,,,21 , 记);,,,(21n C(5) 作正交变换CY X ,则得f 的标准形.2222211n n y y y f四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形式后,如有必要可重新安排量的次序(相当于作一次可逆线性变换),使这个标准形为)1(22112211r r p p p p x d x d x d x d 其中).,,2,1(0r i d i定理4 任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是由二次型本身决定的唯一形式,与所作的可逆线性变换无关.注: 把规范形中的正项个数p 称为二次型的正惯性指数,负项个数p r 称为二次型的负惯性指数, r 是二次型的秩.注: 任何合同的对称矩阵具有相同的规范形0000000p r pE E定理5 设A 为任意对称矩阵,如果存在可逆矩阵Q C ,，且,Q C 使得0000000pr p TE E AC C ，0000000qr p TE E AQ Q 则 .q p注: 说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定的。
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型的三种方法
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形 1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换 X=CY ，使之成为标准型（平方和） 证明 对变量个数进行归纳。 平方项的系数不全为零，不妨设
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
情形2
不含平方项，必有
是非退化的线性变换，使得
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
与上一 章化相 似标准 型的做 法基本 一致， 也可以 作组内 正交化
用正交变换将二次型化为标准形的方法 例1 求一个正交变换x=Ty,把二次型
化为标准形,并指出方程f =1表示何种二 次曲面.
解 写出 f 的系数矩阵A，求出A的特征 值和特征向量
由
,
得
当
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
例2 解
拉格朗日配方法的具体步骤
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
线性代数C第6章二次型4讲2
2 0 0 1 0 0 A − 2 E = 0 1 1 ~ 0 1 1 0 1 1 0 0 0
0 0 的基础解系为 ξ1 = 1 ， 单位化得 P = 1 1 ; 1 2 −1 −1
线性代数
机动
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结束
§2 用配方法将二次型化为标准形
用正交变换法化二次型为标准形，具有保持几何形状 不变的优点.如果不限于正交变换，还可以用其他方法将二 次型化成标准形.本节将介绍拉格朗日(Lagrange)配平方法. 用此方法时，二次型大致分为两类，各种二次型都可化成 这两类二次型来解决.
1 1 −1 1 CT = 1 −1 −1 1
0 0 1 −1 1 −1 1 1 −1 1 0 0 , C = . 0 0 1 1 1 0 1 2 0 0 0 2
作可逆变换x=Cy,即 x1 1 −1 1 −1 y1 x 1 1 −1 1 y 2 = 2, x3 0 0 1 1 y3 x4 0 0 0 2 y4
f =y +y .
2 1 2 2
例2.2 用配方法化二次型 f = 2x1x2 + 2x1x3 − 6x2 x3 成标准型，并求出所用的可逆的线性变换. 解 在f中不含有平方项，由于含有x1,x2的乘积项，故令 x1 = y1 + y2 , x2 = y1 − y2 , x = y3 , 3
x1 = y1 − y2 + y3, y2 − 2y3, x2 = x = y3. 3
所用的线性变换为
把二次型化为标准形的方法
160
工科数学 第 14 卷
2 2 因为 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = 2x 2 1 + 3x 2 + 5x 3 + 4x 1 x 2 - 4x 1 x 3 - 8x 2 x 3 的矩阵为 A ( 前面已写出) , 由 2 2 - 2 2 2 - 2 2 0 - 2 2 3 - 4 0 1 - 2 0 1 - 2 A - 2 - 4 5 - 2 - 4 5 - 2 - 2 5 r2 - r1 C 2- C 1 = … … … … … … … … …
其中 + =
0 0
, C= 1 0
0 0 1 - 1 - 1 y1 1 2
所作的可逆变换为 x 2 =
y 2 , 即 x 2=
所以 此种方法, 与书本中的初等变换结合紧密, 学生容易理解和掌握 . 本题所用的三种方法, 求得的标准形都是一致的, 但变换矩阵 C 各有不同 ( 因变换矩阵不 是唯一的) , 若用正交变换法, 不但变换矩阵不同, 而且标准形的平方项系数也可能不同, 但平 方项的个数总是相同的, 因为平方项的个数是由二次型的秩, 也就是二次型的矩阵 A 的秩所 唯一确定, 它与所作的变换无关.
i, j = 1
∑a
ij
x i x j 都可以通过非退化的线性变换变成标准 形 f = Κ 1y 1 + Κ 2y 2
2 2
2 + …+ Κ . 这个问题不仅在数学上, 而且在物理学、 工程学、 经济学等领域中都是一个重要的 ny n
问题 . 变换的方法很多, 但工程数学教材中一般只用了正交变换法和拉格朗日配方法 . 现以一 题为例, 介绍偏导数法, 雅可比法和初等变换法, 借以扩大眼界, 开阔思路 . 例 将二次型
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得标准形
2 2 f z1 z2 z3 , 2
所用可逆线性变换为 x1 z1 z 2 z 3 , x 2 z1 z 2 z 3 , x3 z3 .
1 1 0 1 0 1 C 1 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0 1 3 1 1 1 1 1. 0 0 1
C
2 0.
二、小结
将一个二次型化为标准形，可以用正交变换 法，也可以用拉格朗日配方法，或者其它方法， 这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交矩 阵，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一 个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用． 正交变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就 班一步一步地求解，但计算量通常较大；如果二 次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而 比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所 得到的标准形可能不相同，但标准形中含有的项 数必定相同，项数等于所给二次型的秩．
思考题
化二次型 f x1 , x 2 , x 3 x1 x 2 x1 x 3 x 2 x 3 为标准形, 并写出所作的可逆线性 变换 .
思考题解答
解 由于所给二次型不含平 方项, 故令 x1 y1 y 2 , x 2 y1 y 2 , x y , 3 3 2 2 2 有 f ( y1 y 3 ) y 2 y 3 , z1 y1 y 2 , y1 z1 z 3 , 再令 z 2 y 2 , 或 y2 z2 , z y , y z , 3 3 3 3
拉格朗日配方法的步骤 1. 若二次型含有 xi 的平方项，则先把含有 x i 的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同 样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线 性变换，就得到标准形; 2. 若二次型中不含有平方项，但是 aij 0 ( i j ),则先作可逆线性变换 x i yi y j k 1,2,, n且k i , j x j yi y j x y k k 化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方 法配方.
2 2 2 2 x1 x 2 2 x1 x 3 2 x 2 x1 5 x3 6 x2 x3 x1 x 2 x 3 2 去掉配方后多出来的项 2 2 2 2 5 x3 6 x2 x3 x2 x3 2 x2 x3 2 x2
x1 x2 x3 x22 4 x32 4 x2 x3
y1 1 0 1 z1 即 y 2 0 1 2 z 2 y 0 0 1 z 3 3
2 2 2 f 2 z1 2z2 6z3 .
所用变换矩阵为
2
x1 x2 x3 x2 2 x3 .
2 2
y1 x1 x2 x3 令 y2 x 2 2 x 3 y x 3 3
x1 y1 y2 y3 x 2 y2 2 y3 x y 3 3
x1 1 1 1 y1 x 2 0 1 2 y2 y x 0 0 1 3 3
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3
2 2 y1 y2 .
所用变换矩阵为
1 1 1 C 0 1 2 , 0 0 Байду номын сангаас 1
C
1 0.
例2 化二次型
f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 成标准形, 并求所用的变换矩阵. 解 由于所给二次型中无平方项，所以 x1 y1 y 2 x1 1 1 0 y1 令 x 2 y1 y 2 , 即 x 2 1 1 0 y 2 x y x 0 0 1 y 3 3 3 3
代入 f 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3 ,
得
2 2 f 2 y1 2 y2 4 y1 y 3 8 y 2 y 3 .
再配方，得
2 f 2 y1 y3 2 y2 2 y3 6 y3 . 2 2
令
得
z1 y1 y3 z 2 y2 2 y3 z y 3 3 y1 z1 z 3 y2 z 2 2z3 , y z 3 3
例1 化二次型
2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x 2 2 x1 x3 6 x 2 x 3
为标准形, 并求所用的变换矩阵 .
解
含有 x1的项配方 含有平方项 2 2 2 f x1 2 x2 5 x3 2 x1 x2 2 x1 x3 6 x2 x3