数值计算方法拉格朗日与牛顿插值法
数值计算方法 第3章复习
1 第3章 插值法与数据拟合一、考核知识点拉格朗日插值法及其余项、牛顿插值、最小二乘法、超定方程组。
二、考核要求：1．熟练掌握拉格朗日插值法及其余项。
2．掌握牛顿插值。
3．了解最小二乘法的基本思想，熟练掌握求最小二乘多项式与超定方程组最小二乘解的方法。
三、重、难点分析例1 已知,3)9(,2)4(==f f 用线性插值计算)5(f ，并估计误差。
解 取插值节点x 0= 4,x 1= 9，两个插值基函数分别为)9(51)(1010--=--=x x x x x x l )4(51)(0101-=--=x x x x x x l 故有 565)4(53)9(52)()()(11001+=-+--=+=x x x y x l y x l x L 2.25655)5()5(1=+=≈L f 误差为 )(2)95)(45(!2)()5(2ξξf f R ''-=--''=例2 求过点(0,1)、(1,2)、(2,3)的三点插值多项式。
解:由Lagrange 插值公式又0120120,1,2;1,2,3x x x y y y ======故例3已知f(0)=8, f(1)= -7.5, f(2)= -18;用牛顿插值法求f(x)在[0,2]之间的近似零点。
0201122012010210122021()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x ------=++------2(1)(2)(0)(2)(0)(1)()123(01)(02)(10)(12)(20)(21)1x x x x x x L xx ------=⨯+⨯+⨯------=+2例4求下列超定方程组的最小二乘解。
⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+2724212121x x x x x x1 解 令 ⎪⎩⎪⎨⎧--=-+=-+=2724213212211x x u x x u x x u23222121u u u x x ++=）（ϕ221221221)2()72()4(--+-++-+=x x x x x x 由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=∂∂=-+=∂∂0)1662(20)1323(2212211x x x x x x ϕϕ得法方程组 ⎩⎨⎧=+=+166213232121x x x x解得 7231=x 7112=x所以最小二乘解为 7231=x 7112=x2 解 方程组写成矩阵形式为 正规方程组为即解得12114127112x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦12114111111127121121112x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1232132616x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦122311,77x x ==。
插值方法
格朗日（Lagrange）插值。
2.n=2
线 性 插 值 只 利 用 两 对 值 (x0,y0) 及 (x1,y1) 求 得
y=f(x)的近似值，误差较大。
p2(x0)=y0,p2(x1)=y1,p2(x2)=y2
p2(x)是x的二次函数，称为二次插值多项式。
第1章 插值方法
插值法是一种古老的数学方法。早在 1000多年前，我国历法上已经记载了应用一 次插值和二次插值的实例。 拉格朗日（Lagrange）、牛顿 （Newton）、埃特金（Aitken）分别给出了 不同的解决方法。
1.1 拉格朗日插值公式 1.2 牛顿插值公式 1.3 埃特金插值公式 1.4 存在惟一性定理 1.5 插值余项 1.6 分段三次埃尔米特插值 1.7 三次样条插值 1.8 应用实例
［a,b］,有与x有关的ξ(a<ξ<b)存在, 使得
其中ω(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)。
［例５］ 设f(x)=lnx, 并假定已给出值表试近 似计算ln(0.6)的值，并指出精度。 值表 0.4 -0.916291
x lnx
0.5 -0.693147
0.7 -0.356675
0.8 -0.223144
(x∈［-5,5］)。
取等距节点xi=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形, 观察L10(x)对f(x)的逼近效果。
图1-3 例6的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
为了避免 Runge现象的发生 , 我们很自 然地会想到把区间［-5, 5］等分为10个小区 间, 在每一个小区间内应用低次插值。但由 于每个小区间只有两个端点（插值节点） , 按照我们已知的方法, 得到的将是一个分段 线性插值函数。
数值计算方法第2版 第4章 插值法
则
l ( x ) 1 ( k i ) , k i l ( x ) 0 ( k i ) , i 、 k 0 , 1 , , n k i
lk (x)称为关于节点xi( i=0,1,…,n)的n次插值基函数。
基函数的特点
1. 基函数的个数等于节点数。 2. n+1个节点的基函数是n次代数多项式。 3. 基函数和每一个节点都有关。节点确定，基函数就唯 一的确定。 4. 基函数和被插值函数无关。 5. 基函数之和为1。
公式的结构：它是两个一次函数的线性组合 线性插值基函数
x x 1 l ( x ) , 0 x x 0 1 x x 0 l ( x ) 1 x x 1 0
3 线性插值的几何意义 用直线 P ( x ) 近似代替被插值函数 f ( x ) 。
例
造数学用表。平方根表
给定函数在100、121两点的平方根如下表，试用线性 插值求115的平方根。 x 100 121
其系数行列式
a0 a1 x0 a2 x02 an x0n y0 2 n a0 a1 x1 a2 x1 an x1 y1 2 n a a x a x a x n n yn 0 1 n 2 n
1 x 0 x 02
x 0n
2 n 1 x x x 1 1 ( x x 0 V ( x , x , , x ) 1 i j) 0 1 n 0 j i n
1 xn
x n2 x nn
,a , ,a 0 1 n ，因此P(x)存在且唯一。 方程组有唯一解 a
唯一性说明不论用那种方法构造的插值多 项式只要满足相同的插值条件，其结果都是互 相恒等的。 推论 当f(x)是次数不超过n的多项式时， 其n次插值多项式就是f(x)本身。
拉格朗日插值和牛顿插值matlab
拉格朗⽇插值和⽜顿插值matlab1. 已知函数在下列各点的值为0.20.40.60.8 1.00.980.920.810.640.38⽤插值法对数据进⾏拟合，要求给出Lagrange插值多项式和Newton插值多项式的表达式，并计算插值多项式在点的值。
程序：x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];x0=[0.2 0.28 0.44 0.76 1 1.08];[f,f0]=Lagrange(x,y,x0)function [f,f0] = Lagrange(x,y,x0)%求已知数据点的Lagrange插值多项式f，并计算插值多项式f在数据点x0的函数值f0syms t;n = length(x);f = 0.0;for i = 1:nl = y(i);for j = 1:i-1l = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;for j = i+1:nl = l*(t-x(j))/(x(i)-x(j));end;f = f + l;simplify(f);if(i==n)f0 = subs(f,'t',x0);f = collect(f);f = vpa(f,6);endend结果：>> Untitled3f =- 0.520833*t^4 + 0.833333*t^3 - 1.10417*t^2 + 0.191667*t + 0.98f0 =[ 49/50, 60137/62500, 56377/62500, 42497/62500, 19/50, 15017/62500]⽜顿：%y为对应x的值，A为差商表，C为多项式系数，L为多项式%X为给定节点，Y为节点值，x为待求节点function[y,A,C,L] = newton(X,Y,x,M)n = length(X);m = length(x);for t = 1 : mz = x(t);A = zeros(n,n);A(:,1) = Y';s = 0.0; p = 1.0; q1 = 1.0; c1 = 1.0;for j = 2 : nfor i = j : nA(i,j) = (A(i,j-1) - A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1));endq1 = abs(q1*(z-X(j-1)));c1 = c1 * j;endC = A(n, n); q1 = abs(q1*(z-X(n)));for k = (n-1):-1:1C = conv(C, poly(X(k)));d = length(C);C(d) = C(d) + A(k,k);endy(t) = polyval(C,z);endL = poly2sym(C);x=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0];y=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38];x0=[0.2 0.28 0.44 0.76 1 1.08];m=1;[y,A,C,L]=newton(x,y,x0,m)结果：y =0.9800 0.9622 0.9020 0.6800 0.3800 0.2403A =0.9800 0 0 0 00.9200 -0.3000 0 0 00.8100 -0.5500 -0.6250 0 00.6400 -0.8500 -0.7500 -0.2083 00.3800 -1.3000 -1.1250 -0.6250 -0.5208C =-0.5208 0.8333 -1.1042 0.1917 0.9800L =- (25*x^4)/48 + (5*x^3)/6 - (53*x^2)/48 + (23*x)/120 + 49/502. 在区间上分别取，⽤两组等距节点对Runge函数作多项式插值（Lagrange插值和Newton插值均可），要求对每个值，分别画出插值多项式和函数的曲线。
数值分析常用公式及示例
数值分析常用公式及示例数值分析是用数值方法研究数学问题的一种方法。
在数值分析中，我们经常会用到一些常用的公式和方法，下面是一些常用的公式和示例。
1.插值公式：插值是用已知数据点来估计未知数据点的一种方法。
常用的插值公式有拉格朗日插值、牛顿插值和埃尔米特插值等。
拉格朗日插值公式：对于给定的n+1个数据点(x0, y0), (x1,y1), ..., (xn, yn)，拉格朗日插值公式为P(x) = y0·l0(x) + y1·l1(x) + ... + yn·ln(x)其中li(x) = Π(j≠ i)((x - xj) / (xi - xj))。
2.数值积分公式：数值积分是用数值方法计算函数积分的一种方法。
常用的数值积分公式有梯形公式、辛普森公式和高斯公式等。
梯形公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，梯形公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 2 · (f(a) + f(b))。
辛普森公式：对于一个区间[a,b]上的函数f(x)，辛普森公式的积分近似值为∫(a, b) f(x)dx ≈ (b - a) / 6 · (f(a) + 4f((a + b) / 2) + f(b))。
3.数值解方程公式：数值解方程是通过数值计算方法找到方程的根的一种方法。
常用的数值解方程公式有二分法和牛顿法等。
二分法：对于一个在区间[a,b]上连续的函数f(x)，如果f(a)·f(b)<0，则函数在该区间内存在一个根。
二分法的基本思想是将区间不断二分，直到找到根。
具体步骤为：1)如果f(a)·f(b)>0，则输出“区间[f(a),f(b)]上不存在根”；2)否则，计算c=(a+b)/2；3)如果f(c)≈0，则输出c为方程的一个根；4)否则，如果f(a)·f(c)<0，则更新b=c，并返回第2步进行下一次迭代；5)否则，更新a=c，并返回第2步进行下一次迭代。
几种插值法简介
举例来看：可以认为某水文要素T 随时间t 的变化是连续的，某一个测点的水文要素T 可以看作时间的函数T=f(t)，这样在实际水文观测中，对测得的（n+1）个有序值进行插值计算来获取任意时间上的要素值。
①平均值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则直接取T 为T i 和T i+1的平均值。
插值公式为：T=T i +T i+12②拉格朗日（Lagrange ）插值法：若求T i 和T i+1之间任一点T ，则可用T i-1、T 1、T i+1三个点来求得，也可用T i 、T i+1、T i+2这三个点来求得。
前三点内插公式为：T=(t-t i )(t-t i+1)(t i-1-t i )(t i-1-t i+1) T i-1+(t-t i-1)(t-t i+1)(t-t i-1)(t-t i+1) T i +(t-t i )(t-t i-1)(t i+1-t i )(t i+1-t i-1) T i+1后三点内插公式为：T=(t-t i+1)(t-t i+2)(t i -t i+1)(t i -t i+2) T i +(t-t i )(t-t i+2)(ti-t i )(t i -t i+2) T i+1+(t-t i )(t-t i+1)(t i+2-t i )(t i+2-t i+1) T i+2为提高插值结果可靠性，可将前后3点内插值再进一步平均。
③阿基玛（Akima ）插值法：对函数T=f(t)的n+1个有序型值中任意两点T i 和T i+1满足：f(t i )=T i df dt |t-ti =k i f’(t i+1)=T’i df dt|t-ti+1=k i+1 式中k i ，k i+1为曲线f(t)在这两点的斜率，而每点的斜率和周围4个点有关，插值公式为：T=P 0+P 1(t-t i )+P 2(t-t i )2+P 3(t-t i )3，来对T i 和T i+1之间的一点T 进行内差。
数值计算方法插值法资料
一次插值
当n 1时，求一次多项式P1(x),要求通过 x0, y0 , x1, y1
两点
y
y0 x0
y1 x1
P1(x) f(x)
二次插值
当n 2时，求二次多项式P2 (x),要求通过 x0, y0 , x1, y1 , x2, y2 三点
y
f(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
P1(x)
知两点。
线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知：
P1(x)
yk
yk 1 xk 1
yk xk
(x
xk )，把此式按照
yk和yk1写成两项:P1(x)
x xk1 xk xk 1
yk
x xk xk 1 xk
yk
，
1
记l k (x)
x xk1 xk xk 1
, lk1(x)
l
0 ( x)
x 20 10 20
1 10
(x
20)，l1 ( x)
x 10 20 10
1 10
(x
10)
例子
于是，拉格朗日型一次插值多项式为：
P1 ( x)
y0l0 (x)
y1l1 ( x)
1 10
(x
20)
1.3010 10
(x
10)
故P1
(12)
1 10
(12
20)
1.3010 10
(12
决定
1
例子
例1：已知lg10 1 , lg 20 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f (x) lg x，f (x) lg x，f (10) 1，f (20) 1.3010 设x0 10，x1 20，y0 1，y1 1.3010， 则插值基本多项式为：
插值数值实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的1. 理解并掌握插值法的基本原理和常用方法。
2. 学习使用拉格朗日插值法、牛顿插值法等数值插值方法进行函数逼近。
3. 分析不同插值方法的优缺点，并比较其精度和效率。
4. 通过实验加深对数值分析理论的理解和应用。
二、实验原理插值法是一种通过已知数据点来构造近似函数的方法。
它广泛应用于科学计算、工程设计和数据分析等领域。
常用的插值方法包括拉格朗日插值法、牛顿插值法、样条插值法等。
1. 拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种基于多项式的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等。
2. 牛顿插值法牛顿插值法是一种基于插值多项式的差商的插值方法。
其基本思想是：给定一组数据点，构造一个次数不超过n的多项式，使得该多项式在这些数据点上的函数值与已知数据点的函数值相等，并且满足一定的差商条件。
三、实验内容1. 拉格朗日插值法（1）给定一组数据点，如：$$\begin{align}x_0 &= 0, & y_0 &= 1, \\x_1 &= 1, & y_1 &= 4, \\x_2 &= 2, & y_2 &= 9, \\x_3 &= 3, & y_3 &= 16.\end{align}$$（2）根据拉格朗日插值公式，构造插值多项式：$$P(x) = \frac{(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_0-x_1)(x_0-x_2)(x_0-x_3)}y_0 + \frac{(x-x_0)(x-x_2)(x-x_3)}{(x_1-x_0)(x_1-x_2)(x_1-x_3)}y_1 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_3)}{(x_2-x_0)(x_2-x_1)(x_2-x_3)}y_2 + \frac{(x-x_0)(x-x_1)(x-x_2)}{(x_3-x_0)(x_3-x_1)(x_3-x_2)}y_3.$$（3）计算插值多项式在不同点的函数值，并与实际值进行比较。
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线性插值
插值函数和插值基函数
由直线的点斜式公式可知： yk +1 − yk P 1 ( x ) = yk + ( x − xk )，把此式按照 xk +1 − xk x − xk +1 x − xk yk 和yk +1写成两项:P 1 ( x) = yk + yk +1， xk − xk +1 xk +1 − xk x − xk +1 x − xk 记l k ( x) = , lk +1 ( x) = ， xk − xk +1 xk +1 − xk 称它们为一次插值基函数。
n+1
个点
( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) ,L , ( xn , yn ) ,
插值问题
y
。
同时在其它
上要估计误差
R(x) = f (x)− P(x)
f(x)
P(x)
y0
y1
y2 yn-1 yn
x0
x1
当
x2
xn-1
xn
x
n= 1
时,求一次多项式 求一次多项式
一次插值
当n = 1时，求一次多项式P ( x), 要求通过 ( x0 , y0 ) , ( x1 , y1 ) 1 两点
例子
例1：已知 lg10 = 1 , lg 20 = 1.3010，利用插值一次 多项式求 lg12的近似值。 解：f ( x) = lg x，f ( x) = lg x，f (10) = 1，f (20) = 1.3010 设x0 = 10，x1 = 20，y0 = 1，y1 = 1.3010， 则插值基本多项式为： x − 20 1 x − 10 1 l 0 ( x) = = − ( x − 20)，l1 ( x) = = ( x − 10) 10 − 20 10 20 − 10 10
插值基函数
由于li ( xk ) = 0, ( k ≠ i )，故li ( x)有因子： ( x − x0 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − xn )，因其已经是n 次多项式，故而仅相差一个常数因子。令： li ( x) =+1 )L ( x − xn ) 由li ( xi ) = 1，可以定出a，进而得到： ( x − x0 )L ( x − xi −1 )( x − xi +1 )L ( x − xn ) li ( x) = ( xi − x0 )L ( xi − xi −1 )( xi − xi +1 )L ( xi − xn )
二次插值多项式
已知函数y = f ( x)在点xk −1 , xk , xk +1上的函数值 yk −1 = f ( xk −1 ) , yk = f ( xk )，yk +1 = f ( xk +1 )。 求一个次数不超过二次的多项式P2 ( x)，使其满足 P2 ( xk −1 ) = yk −1，P2 ( xk ) = yk，P2 ( xk +1 ) = yk +1。 其几何意义为：已知平面上的三个点：
拉格朗日插值法
问题的提出
[ a, b] 上是存在的。但是，通过观察或测量或实验只能 得到在[ a, b]区间上有限个离散点x0 , x1,L, xn上的函数值
但却很复杂而不便于计算，希望用一个简单的函数来 描述。 在实际问题中常遇到这样的函数y = f ( x)，其在某个区间
y = f ( xi ),(i = 0,1,L, n)或者f ( x)的函数表达式是已知的，
例2（续）
1 故P2 ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + y2l2 ( x) = ( x − 20 )( x − 15 ) 50 1.1761 1.3010 − x − 10 )( x − 20 ) + ( ( x − 10 )( x − 15) 25 50 1 1.1761 所以：P2 (12) = (12 − 20 )(12 − 15 ) − (12 − 10 )(12 − 20 ) 50 25 1.3010 + (12 − 10 )(12 − 15) = 1.0766 50 利用三个点进行抛物线插值得到的 lg12的值，与精确值
线性插值
基函数的特点：
lkk(+x) x 1
lk +1( x )
xk
1 0
xk +1
0 1
lk ( x ) lk +1 ( x)
从而，P ( x) = yk lk ( x) + yk +1lk +1 ( x), 此形式称之为 1 拉格朗日型插值多项式。其中，插值基函数与 yk、yk +1无关，而由插值结点xk、xk +1决定
xii = lg xi y
lg12 = 1.0792相比，具有3位有效数字。
拉格朗日型n次插值多项式 拉格朗日型 次插值多项式
已知函数y = f ( x)在n+1个不同的点x0 , x1 ,L , xn上 的函数值分别为y0 , y1 ,L , yn，求一个次数不超过n次 的多项式Pn ( x)，使其满足 Pn ( xi ) = yi，i = 0,1,L , n ) ( 即n + 1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
lkk−−x) ) x ++1( x (1
xk −1
lk −1 ( x)
1 0 0
xk
0 1 0
xk +1
0 0 1
lk ( x )
lk +1 ( x)
二次插值基本多项式
因为lk −1 ( xk ) = 0, lk −1 ( xk +1 ) = 0，故lk −1 ( x)有因子 ( x − xk )( x − xk +1 )，而其已经是一个二次多项式，仅 相差一个常数倍，可设lk −1 ( x) = a ( x − xk )( x − xk +1 )， 又因为lk −1 ( xk −1 ) = 1，故a ( xk −1 − xk )( xk −1 − xk +1 ) = 1，得： ( x − xk )( x − xk +1 ) 1 a= ，从而lk −1 ( x) = ， ( xk −1 − xk )( xk −1 − xk +1 ) ( xk −1 − xk )( xk −1 − xk +1 ) ( x − xk −1 )( x − xk +1 ) ( x − xk −1 )( x − xk ) lk ( x ) = ，lk +1 ( x) = ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 ) ( xk +1 − xk −1 )( xk +1 − xk )
二次插值
当n = 2时，求二次多项式P2 ( x), 要求通过 ( x0 , y0 ) ,
( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) 三点
y
f(x)
P1(x)
y0 x0
y1 x1
y2 x2
x
拉格朗日插值公式
线性插值（一次插值）
已知函数f ( x)在区间[ xk , xk +1 ]的端点上的函数值 yk = f ( xk ), yk +1 = f ( xk +1 )，求一个一次函数y = P ( x) 1 平面上两点 ( xk , yk ) , ( xk +1 , yk +1 )，求一条直线过该已 知两点。 使得yk = P ( xk ), yk +1 = P ( xk +1 )。其几何意义是已知 1 1
n次拉格朗日型插值多项式Pn(x)
Pn ( x)是n + 1个n次插值基本多项式l0 ( x), l1 ( x),L , ln ( x) 的线性组合，相应的组合系数是y0 , y1 ,L , yn。即 Pn ( x) = y0l0 ( x) + y1l1 ( x) + L + ynln ( x) = ∑ yk lk ( x)
插值基函数
过n + 1个不同的点分别决定n + 1个n次插值函数 l0 ( x), l1 ( x),L , ln ( x)。每个插值基本多项式li ( x)满足： （）li ( x)是n次多项式； 1 （2）li ( xi ) = 1, 而在其它n个li ( xk ) = 0, ( k ≠ i )。
k =0 n
从而Pn ( x)是一个次数不超过n的多项式，且满足 Pn ( xi ) = yi，i = 0,1,L , n ) (
例子
例3：求过点(2,0)(4,3)(6,5)(8,4)(10,1)的拉格朗日型 插值多项式。 解：用4次插值多项式对5个点插值： x0 = 2，x1 = 4，x2 = 6，x3 = 8，x4 = 10， y0 = 0，y1 = 3，y2 = 5，y3 = 4，y4 = 1； ( x − 4)( x − 6)( x − 8)( x − 10) l0 ( x) = (2 − 4)(2 − 6)(2 − 8)(2 − 10) 1 = ( x − 4)( x − 6)( x − 8)( x − 10) 384
l1 ( x ) = = − l2 = l3 = l4 =
( x − 2 )( x − 6 )( x − 8 )( x − 1 0 ) (4 − 2 )(4 − 6 )(4 − 8 )(4 − 1 0 )
1 ( x − 2 ) ( x − 6 ) ( x − 8 ) ( x − 1 0 )， 9 6 ( x − 2 )( x − 4 )( x − 8 )( x − 1 0 ) ( x ) = (6 − 2 )(6 − 4 )(6 − 8 )(6 − 1 0 ) 1 ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 8 ) ( x − 1 0 )， 6 4 ( x − 2 )( x − 4 )( x − 6 )( x − 1 0 ) ( x ) = (8 − 2 )(8 − 4 )(8 − 6 )(8 − 1 0 ) 1 ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 6 ) ( x − 1 0 )， − 9 6 ( x − 2 )( x − 4 )( x − 6 )( x − 8 ) ( x ) = (1 0 − 2 ) (1 0 − 4 ) (1 0 − 6 ) (1 0 − 8 ) 1 ( x − 2 ) ( x − 4 ) ( x − 6 ) ( x − 8 )； 3 8 4