计算方法论文 浅谈拉格朗日插值法
数值分析论文 ――几种插值方法的比较课程论文8(学院+专业+学号)
数值分析论文——几种插值方法的比较1．插值法概述插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。
在生产和实验中，函数或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函()x f 数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数，使()x ϕ其近似的代替，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿()x f (Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermite 插值,分段插值和样条插值.这里主要介绍拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值和埃尔米特插值（Hermite 插值）。
2．插值方法的比较2．1拉格朗日插值2.1.1基本原理构造次多项式，这是n ()()()()()x l y x l y x l y x l y x P n n k nk k n +⋅⋅⋅++==∑=11000不超过次的多项式，其中基函数：n()x l k =)...()()...()(()...()()...()(()1110)1110n k k k k k k k n k k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ----------+-+-显然满足 =()x l k ()i k x l ⎩⎨⎧≠=)(0)(1k i k i 此时,误差()()x f x P n ≈()()()=-=x P x f x R n n (x))!1()(1)1(+++n n n f ωξ其中∈且依赖于，.ξ()b a ,x ()()()()n n x x x x x x x -⋅⋅⋅--=+101ω很显然，当，插值节点只有两个,时1=n k x 1+k x ()()()x l y x l y x P k k k k i 11+++=其中基函数 = ， =()x l k 11++--k k k x x x x ()x l k 1+kk kx x x x --+12.1.2优缺点可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，故常选用代数多项式作为插值函数。
计算方法论文浅谈拉格朗日插值法
计算方法论文浅谈拉格朗日插值法拉格朗日插值法是一种常用的数值计算方法，用于构造一个多项式来逼近一些已知的离散数据点。
它被广泛应用于插值问题，如图像处理、物理实验数据处理、曲线拟合以及信号处理等领域。
本文将从原理、计算步骤以及优缺点三个方面，对拉格朗日插值法进行探讨。
拉格朗日插值法的基本原理是利用多项式的线性组合来逼近函数。
假设已知n+1个数据点：(x0, y0), (x1, y1), ... , (xn, yn)，其中x0, x1, ... , xn是互不相同的。
我们的目标是通过已知的数据点构造一个多项式P(x)，使得在这n+1个数据点上有P(xi) = yi。
根据插值定理，只要这些数据点满足一定的条件，存在唯一的插值多项式。
下面我们来具体讨论拉格朗日插值法的计算步骤。
首先，我们需要构造一个基于已知数据点的拉格朗日基函数。
对于每个数据点(xi, yi)，我们定义一个拉格朗日基函数Li(x)，它满足在xi处取值为1，而在其他数据点xj上取值为0。
拉格朗日基函数的定义如下：Li(x) = Π(j=0, j≠i, n)(x - xj) / Π(j=0, j≠i, n)(xi - xj)其中，Π表示一系列数的乘积符号。
接下来，我们需要将基函数与其对应的函数值进行线性组合，得到插值多项式P(x)。
插值多项式的表达式如下：P(x) = Σ(i=0, n)Li(x) * yi最后，我们可以利用插值多项式来计算任意点的函数值。
拉格朗日插值法的优点在于相对简单和容易理解，它能够精确地通过已知的n+1个数据点来构造一个次数不超过n的多项式，实现对函数的逼近。
然而，拉格朗日插值法也存在一些缺点。
首先，拉格朗日插值法对于数据点的选择非常敏感，如果数据点的密度不均匀或者存在较大误差，那么插值结果可能会出现较大的误差。
此外，拉格朗日插值法在计算多项式系数时需要进行大量的乘法和除法运算，这在数据规模较大时可能会导致计算效率降低。
拉格朗日插值法在数值分析中的应用研究
拉格朗日插值法在数值分析中的应用研究拉格朗日插值法是一种常用的数值分析方法，广泛应用于函数逼近、数据拟合、信号处理等领域。
本文将探讨拉格朗日插值法的原理、优缺点以及其在数值分析中的具体应用。
一、拉格朗日插值法原理拉格朗日插值法基于一个简单的思想：通过已知的离散数据点，构建一个多项式函数，该函数能够在给定的区间内，以已知数据点为插值节点，对未知数据进行逼近。
插值的多项式函数称为拉格朗日插值多项式。
设已知的离散数据为{(x₀, y₀), (x₁, y₁), ..., (xₙ, yₙ)}，其中xi为已知的节点，yi为相应数据点的函数值。
拉格朗日插值多项式L(x)可以表示为：L(x) = Σ(yᵢ * Li(x))其中Li(x)称为基函数，满足条件：Li(xi) = 1，Li(xj) = 0 (i ≠ j)。
二、拉格朗日插值法的优缺点拉格朗日插值法具有以下几个优点：1. 简单易懂：拉格朗日插值法的原理简单明了，易于理解和实现。
2. 精度较高：在节点较密集的情况下，拉格朗日插值多项式可以准确地逼近原始函数。
3. 适用范围广：拉格朗日插值法适用于各种类型的数据，包括等间隔数据和非等间隔数据。
然而，拉格朗日插值法也存在一些缺点：1. 多项式次数过高时，可能出现龙格现象：在某些情况下，拉格朗日插值多项式次数过高会引起振荡，降低插值的准确性。
2. 对于大规模数据的计算量较大：当节点数量较多时，计算拉格朗日插值多项式的复杂度较高。
三、拉格朗日插值法的应用拉格朗日插值法在数值分析中有着广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1. 数据拟合：给定一组离散数据点，我们可以使用拉格朗日插值法拟合出一个多项式函数，从而对未知的数据点进行估计。
这在科学实验中常用于实验数据处理和结果预测。
2. 函数逼近：对于已知的函数，我们可以通过设定一组插值节点，使用拉格朗日插值法将这个函数逼近为一个多项式函数。
这在数学建模和函数分析中非常有用。
信息与计算科学-拉格朗日插值及中值定理的应用论文
拉格朗日插值法及中值定理的应用摘要本文运用拉格朗日插值和中值定理这两个原理，分别研究了数学计算中根号运算的算法，和在现实生活中汽车的测速问题,通过这两个例子来体现出这两个数学原理在日常生活中的重要作用.测速应用中，一般测速距离为300米，在300米中测定其中1秒的距离，利用拉格朗日中值定理测出在一秒内的速度.计算根号的应用中，利用公式和已知可以完全开方的数字（例如根号4），用尽量多的已知条件来提高难以开根号的数字的精度，通过乘法除法等简单的数学运算来得到难以运算的根号运算的结果.由于计算量比较大，所以通过计算机软件MATLAB来实现.最后通过与现实例子的比较，得出两种模型可以实现测速和计算器计算，可以比较精确的达到提高精度的目的.关键词拉格朗日中值定理拉格朗日插值法瞬时变化极限MATLAB Lagrange Interpolation and Application of Mean Value TheoremAbstract This article uses the two principles of Lagrange interpolation and median theorem to study the algorithm of the root operation in mathematical calculations and the speed measurement of cars in real life. These two examples show the two mathematical principles Important role in daily life.In the application of speed measurement, the general speed measurement distance is 300 meters, and the distance of 1 second is measured in 300 meters, and the speed within one second is measured by the Lagrange median theorem. In the application of calculating the root number, use formulas and numbers that are known to be easily rooted (for example, root number 4), use as many known conditions as possible to improve the accuracy of numbers that are difficult to root, simple by multiplication and division Mathematical operation to get the result of the difficult root operation. Because the calculation is relatively large, it is realized by the computer software MATLAB.Finally, through comparison with actual examples, it is concluded whether the twomodels are feasible.KEY WORDS Lagrange mean value theorem Lagrange interpolation method instantaneous change limit MATLAB目录引言 (1)1研究的目的和实现方法 (1)1.1研究的目的 (1)1.2研究的方法 (2)1.3相关原理的推导和证明 (3)2定理的运用 (4)2.1拉格朗日中值定理在测速中的应用 (4)2.2中值定理的例题 (5)2.3拉格朗日插值法在根式计算中的运用 (5)2.4拉格朗日插值法的例题 (6)结论 (8)参考文献 (10)致谢 (11)附录 (12)引言在物体运动过程中，我们可以直接观测到物体的物理量其实只有位移和时间，并不能直接观测物体运动的速度，所以需要通过数学计算来获得速度的大小，本文将通过拉格朗日中值定理来求得速度这个极限量.我们可以求得这种连续的函数的极限值[2p p33，那么在离散中该如何解决极限问题？我们通过查阅资料了解到计算机无法处理连续的数学模型[7]p23，因为连续的数字是无穷多的，拉格朗日插值法将数字离散化，通过尽可能的逼近得到结果，从而可以进行有限的数字的计算.在数学计算中，我们知道开根运算较为复杂，本文将运用拉格朗日插值法来剖析开根运算在计算器中的运算原理.因为在查阅的过程中[9]p8，发现在数学领域中，有大量的原理证明，却没有原理的应用，所以本文准备从数学原理出发，应用于生活实际，探索数学原理对物理学中的作用和在计算器的计算原理[3]p16.本文通过交通测速仪和计算器计算开根的两个例子，并从这两个例子延展，讨论这两个原理所得到结果的精确度.预计的结果可以符合生活实际的内容，进而加深对定理的理解与应用。
计算方法 插值法Lagrange插值
的n次插值基函数
以n+1个n次基本插值多项式lk(x)(k 0,1, … , n) 为基础，可直接写出满足插值条件
P(xi ) f(x i ) (i 0,1,2, … , n)
的n次代数插值多项式：
P(x) l0(x)y 0 l1(x)y1 … ln(x)yn
B(x1, f(x1))
x0
x1
由解析几何知道,这条直线用点斜式表示为
改写为
p(x)
y0
y1 x1
y0 x0
(x
x0)
p(x)
x x1 x0 x1
y0
x x0 x1 x0
y1
为了便于推广，记
推导
l0(x)
x x1 , x0 x1
l1(x )
x x0 x1 x0
线性插值 基函数
或者写成：
(i 0,1,2)
其几何意义是用经过3个点
(x0, y0 ), (x1, y1), (x2, y2 )
的抛物线 y P(x) 用以近似计算 y f(x)
y=f(x)
y
y = L 2 (x)
y0
y1
x0
x1
y2 x
x2
P(x)的系数 a0 , a1, a2 直接由插值条件决定，即
a0 , a1, a2 满足代数方程组：
(x 0 x1)(x 0 x2 )
从而导出 l0(x)
(x (x 0
x1)(x x2 ) x1)(x 0 x2 )
类似地可以构造出插值多项式 l1(x )和l2 (x )
于是确定了3个抛物插值的基函数：
l0(x)
(x (x 0
x1)(x x1)(x
插值算法之：拉格朗日插值
插值算法之：拉格朗日插值插值算法之：拉格朗日插值记一下拉格朗日插值公式的推导和一些要点【这里说的都是二维插值，多维上的以此类推】1、插值问题：在做实验的过程中，往往得到一堆离散的数据，现在想用数学公式模拟这堆离散数据。
怎么办，数学家们提出了插值问题。
插值问题的提法是这样的给定一堆数据点(x0, y0), (x1, y1), (x2, y2)...(xn, yn)，要求一个函数 y = f(x) ，要求该函数经过上面所有的数据点。
2、多项式插值及其唯一性：在所有的函数中，多项式函数是最简单的函数，所以只要是人就会想到用多项式函数来作为插值函数，好，以上给定了n+1个点，现在要求一个n次多项式y = an * x^n + ... a1 * x + a0, 使它们经过这n+1个点；通过范德蒙行列式和克莱姆法则，可以判定如果这n+1个点的x值各不相同，那么这个多项式是唯一的。
结果唯一，但是用直接法很不好求。
现在用别的办法来求之。
这就是：拉格朗日多项式3、拉格朗日多项式的构造，以四个点为例子进行说明由于函数经过4个点(x0, y0)，(x1, y1)，(x2, y2)，(x3, y3)，所以可以设函数为：f(x) = b0(x) * y0 + b1(x) * y1 + b2(x) * y2 + b3(x) * y3注意：b0(x)，...，b3(x)都是x的3次多项式，称之为拉格朗日插值基函数。
由于要求当x为x0时候，f(x) = y0, 所以最简单的做法就是让b0(x0) = 1, b1(x0) = b2(x0) = b3(x0) = 0;同理可知，在x1，x2，x3点上，插值基函数的值构造如下：b0(x) b1(x) b2(x) b3(x)x=x0 1 0 0 0x=x1 0 1 0 0x=x2 0 0 1 0x=x3 0 0 0 1问题1、根据这些值来确定b0(x)的表达式，由于b0(x1) = b0(x2) = b0(x3) = 0，所以x1, x2, x3是b0(x)的零点，由于b0(x)是三次多项式，所以设b0(x) = c0 * (x-x1) * (x-x2) * (x-x3)由于b0(x0) = 1,所以 1 = c0 * (x0-x1) * (x0-x2) * (x0-x3) 得到c0 = 1/[(x0-x1)(x0-x2)(x0-x3)]所以：b0(x) = (x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/[(x0-x1)*(x0-x2)*(x0-x3)]同理可求b1(x)、b2(x)，略问题2、根据上面的表格说明插值基函数的一个性质：无论x取和值，它们的和都为1.【这个叫做调和函数】以3次为例子说明：将上述表格的每一行分别相加，得到的事函数：g(x) = b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x)在x0, x1, x2, x3的值，都为1.b0(x) + b1(x) + b2(x) + b3(x)x=x0 1+0+0+0 = 1x=x1 0+1+0+0 = 1x=x2 0+0+1+0 = 1x=x3 0+0+0+1 = 1所以：方程g(x) - 1 = 0，应该有4个根x0, x1, x2, x3；但是，由于b0(x)、b1(x)、b2(x)、b3(x)都是3次多项式，所以，g(x)最多也是3次多项式，至多只有3个根，所以等式：g(x) = 1 应该是恒等式。
拉格朗日插值法理论及误差分析
拉格朗日插值法理论及误差分析拉格朗日插值法理论及误差分析浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、1、截断误差在[a,b]区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x)，其截断误差是指Rn?x??f?x??Ln?x?通常称Rn?x?为拉格朗日插值余额。
注意到利用公式估计截断误差实际上非常困难。
一是因为它要计算函数f(x)的高阶导数，当f(x)很复杂时，计算量很大，而当f(x)没有可用来计算的表达式时，导数无法准确计算；二是因为即使能得到高阶导数的解析式，但于?的具体位置不知道，所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。
因此，公式并不实用。
2、截断误差的实用估计式既然公式估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？假设插值条件中包含n+2组数据?,n,n?, 1f(xi)?yi , i?0,1那么利用n+1组数据我们可以构造一个n 次拉格朗日插值多项式Ln(x)，利用后n+1组数据我们可以构造另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。
利用公式知，他们各自的插值余项为f(x)?Ln(x)?1f(n?1)(?)(x?x0)(x?x1)?(x?xn),(n?1)!1f(n?1)(?*)(x?x1)(x?x2)?(x?xn?1), (n?1)!f(x)?L*n(x)?两式相减得L*n(x)?Ln(x)?并可写成1fn?1(?)(x?x1)?(x?xn)(xn?1?x0),(n?1)!L*(x)?Ln(x)1(n?1)f(?)(x?x1)?(x?xn)?n.(n?1)!xn?1?x0注意到上式中利用fn?1(?)?fn?1(?*).该条件在很多情况下是成立的。
利用式可得?Ln(x)?L*n(x)R(x)?f(x)?L(x)?,n? nx0?xn?1? ? *?R*(x)?f(x)?L*(x)?Ln(x)?Ln(x),nn?xn?1x0?式给出了用Ln(x)或L*n(x)作近似计算时的实用误差估计式，它不需要计算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。
浅谈拉格朗日插值公式
浅谈拉格朗⽇插值公式拉格朗⽇差值公式：拉格朗⽇插值法在数值分析中，拉格朗⽇插值法是以法国⼗⼋世纪数学家约瑟夫，拉格朗⽇命名的⼀种多项式差值⽅法。
——百度百科为什么学它？在oi中，可以⽔这道题。
在以后的⽇常⽣活中，我们有些⼈在给机器编程的过程中可能会遇到⼀些模型中的函数，不能⽤实际的代数，或者机器的数据来准确的模拟这个函数的表达（⽐如sinx，这个函数的准确值的求法着实让⼈摸不着头脑。
），sinx很抽象，但是我们完全可以在sinx上多取很多点，使得⽤多项式能够近似表达。
⽽多项式可以带⼊数据准确的求得其函数值。
如果你要⽤机器加⼯⼀个外形波浪（sinx）的零件，你完全可以按照拉格朗⽇插值法求得⼀个多项式来近似表达它的外形，从⽽加⼯出光滑的波浪表⾯。
在其他⽅⾯应⽤也很⼴泛。
开始学习：众所周知，n个⼆维坐标系上的不同的点能够确定唯⼀⼀个最⾼次为n-1多项式。
有些题需要或者需要类似的知识。
引⼊拉格朗⽇插值公式：拉格朗⽇插值公式就是根据给你的点来O（n^2）求那个多项式的系数。
根据带⼊的点，我们可以得到这样⼀种⽅案：每⼀个点“掌管”多项式的⼀部分，多项式由n部分组成，当带⼊⼀个点的横坐标xi时，其他的部分中都带有（x-xi）这⼀个因式使得其值为0，最后xi“掌管”的那部分中没有这个因式使得这⼀部分的值为（xi，yi）中的yi。
根据这个原则，带⼊所有的点的横坐标都满⾜纵坐标等于其对应的值，我们找到了那个多项式。
f（xk）表⽰取第k个x值时它所对应的那⼀部分的值。
（图⽚来源luogu）可以感知到，当x取xi之外的值时，k-x[j]肯定有⼀项为0，进⽽约去整个部分。
当然，取这些x之外的值的时候所有部分⼀起发挥作⽤，⽽不是约去。
关于其进阶：拉格朗⽇在x取值连续的时候可以被优化成连乘的形式进⾏O（n）求解。
这⾥不再深⼊讲述，真正深⼊研究者们可以浏览其他dalao博客⾃⾏学习。
例题P4781 拉格朗⽇插值：裸板⼦题，O（n^2）求解。
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盐城师范学院课程考查论文
课程名称：《计算方法》
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论文题目：浅谈拉格朗日插值法
浅谈拉格朗日插值法
插值法又称“内插法”，是利用函数f (x)在某区间中若干点的函数值，作出适当的特定函数，在这些点上取已知值，在区间的其他点上用这特定函数的值作为函数f (x)的近似值，这种方法称为插值法。
如果这特定函数是多项式，就称它为插值多项式。
下面将主要谈谈拉格朗日插值法。
一、问题的背景
在实际问题中常遇到这样的函数y=f(x),其在某个区间[a,b]上是存在的。
但是,通过观察或测量或试验只能得到在区间[a,b]上有限个离散点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值yi =f(xi ) ,(i=0,1,…,n) 。
或者f(x)的函数f(x)表达式是已知的,但却很复杂而不便于计算;希望用一个既能反映函数f(x)的特性，又便于计算的简单函数来描述它。
二、插值问题的数学提法:
已知函数在n+1个点x0 ,x1 ,…,xn 上的函数值
yi =f(xi ), (i=0,1,…,n)
求一个简单函数y=P(x),使其满足:
P(xi )=yi ,(i=0,1,…,n) 。
即要求该简单函数的曲线要经过y=f(x)上已知的这个n+1个点：
(x0 ,y0 ),(x1 ,y1 ),…,(xn ,yn ),
同时在其它x∈[a,b]上要估计误差:
R(x) = f(x) - P(x)
其中P(x)为f(x)的插值函数，x0 ,x1 ,…,xn 称为插值节点，包含插值节点的区间[a,b] 称为插值区间，求插值函数P(x)的方法称为插值法。
若P(x)是次数不超过n的代数多项式，就称P(x)为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值。
若P(x)是分段的多项式，就是分段插值。
若P(x)是三角多项式，就称三角插值。
下面是对拉格朗日插值法的介绍：
已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为：
y0,y1,…,y n,求一个次数不超过n的多项式P n(x),使其满足:
P n(x i)=y i, (i=0,1,…,n),
即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。
（1）. 插值基函数
过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数
应用程序设计:
一方面利用计算机求拉格朗日插值多项式的值编程比较容易，另一方面，许多应用程序中可以利用插值的方法“试探”一下，看能否得到更精确的结果，所以通常的应用只是对已经得到的一些点处得函数值再利用插值法计算1个或少量几个点处得插值的结果。
在这种情况下，有一个便于应用的程序比起节省计算量来说显得更为重要，所以在是实际应用中，应用拉格朗日插值多项式进行计算的机会也相当多。
下面是拉格朗日插值法用VB编的程序。
Private Sub Form_Load()
Dim X(5) As Double, Y(5) As Double
Dim X0 As Double
X(1) = 5: X(2) = 7: X(3) = 10
X(4) = 14: X(5) = 19
Y(1) = 35: Y(2) = 47: Y(3) = 56
Y(4) = 78: Y(5) = 87
X0 = 15
Print
Print
Print "五个点(5,35)，(7,47)，(10,56)，(14,78)，(19,87)插值X0=15"
Print "结果：" & Format(Lagrange(X0, X, Y, 5), "0.00")
End Sub
Option Base 1
''拉格朗日公式
''(X-X1)(X-X2)···(X-Xk-1)(X-Xk+1)···(X-Xn)”
P(x)=求和(Yk * (k=1，2，3，4，5···n) (Xk-X1)(Xk-X2)···(Xk-Xk-1)(Xk-Xk+1)···(Xk-Xn)
Public Function Lagrange(X0 As Double, X As Variant, Y As Variant, n As Long) As Double'拉格朗日On Error GoTo ERR:
Dim i As Long, j As Long
Dim P As Double
Dim Q() As Double
ReDim Q(n)
P = 0
For j = 1 To n
Q(j) = 1
For i = 1 To n
If (i - j) Then
Q(j) = Q(j) * (X0 - X(i)) / (X(j) - X(i))
End If
Next
Next
For i = 1 To n
P = P + Q(i) * Y(i)
拉格朗日想选用的基函数具有对称性，所以我们可以从中体验到数学的对称美，事实上它也是证明差商具有对。