第5章回归分析
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5回归分析
第 5 章 回归分析
• 5.1 回归分析的基本概念
5.1 回归分析的基本概念 数学上“回归”一词第一个被英国生 物 统计学家高尔顿 (Galton)用于研究人类身 高的遗传问题上. 他研究的结论是：很高(或矮)的双亲 的儿子们一般高(或低)于平均值,但不像他 们的双亲那么高(或矮).因此儿子们的高度 将“回归” 到平均值,而不是更趋极端,这 也 是“回归”一词的最初含义.
• 对(X,Y)做n次观测，得到
~ N (0, ),
2
观测到的一元线性回归模型为：
β0, β1称为待估计的回归系数，下标 i 表示第i个观测值。
对于回归模型，我们假设： i ~ N (0, 2 ), i 1,2,, n
yi 0 1 xi i ,
i 1, 2,
一元回归分析
北京市居 民的体重
Y 与身高 X 间的关系
可控变量
随机因变量 某农作物 的亩产量
W
氮 与施肥量磷 钾
X 间的关系 Y Z
多元回归分析
5.2 一元线性回归
• 因变量为Y, 可控制变量(也称自变量)只有一个X。 • 当变量 X = x时，Y 的取值满足一元回归模型：
Y 0 1 x ,
0
1
5.2.1 回归系数的最小二乘估计
若散点图呈直线变化趋势,则可以假设变量Y与X变量 满足 Y=β0+ β1x+ε 并称其为(理论的)一元线性回归模型,ε是随机误差,通常 假定ε～N(0,σ2). 将 (xi , yi) i=1,2,…,n 逐一代入上式, 便得到(数据结构的)一元线性回归模型
yi 0 1 xi i 1 , 2 , , n , i.i.d , ~ N (0, 2 ), i 1, 2, i
• 5.1 回归分析的基本概念
5.1 回归分析的基本概念 数学上“回归”一词第一个被英国生 物 统计学家高尔顿 (Galton)用于研究人类身 高的遗传问题上. 他研究的结论是：很高(或矮)的双亲 的儿子们一般高(或低)于平均值,但不像他 们的双亲那么高(或矮).因此儿子们的高度 将“回归” 到平均值,而不是更趋极端,这 也 是“回归”一词的最初含义.
• 对(X,Y)做n次观测，得到
~ N (0, ),
2
观测到的一元线性回归模型为：
β0, β1称为待估计的回归系数，下标 i 表示第i个观测值。
对于回归模型，我们假设： i ~ N (0, 2 ), i 1,2,, n
yi 0 1 xi i ,
i 1, 2,
一元回归分析
北京市居 民的体重
Y 与身高 X 间的关系
可控变量
随机因变量 某农作物 的亩产量
W
氮 与施肥量磷 钾
X 间的关系 Y Z
多元回归分析
5.2 一元线性回归
• 因变量为Y, 可控制变量(也称自变量)只有一个X。 • 当变量 X = x时，Y 的取值满足一元回归模型：
Y 0 1 x ,
0
1
5.2.1 回归系数的最小二乘估计
若散点图呈直线变化趋势,则可以假设变量Y与X变量 满足 Y=β0+ β1x+ε 并称其为(理论的)一元线性回归模型,ε是随机误差,通常 假定ε～N(0,σ2). 将 (xi , yi) i=1,2,…,n 逐一代入上式, 便得到(数据结构的)一元线性回归模型
yi 0 1 xi i 1 , 2 , , n , i.i.d , ~ N (0, 2 ), i 1, 2, i
计量经济学第五章
• 首先估计出一般方程 • View/Coefficient Tests/Redundant
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入删除变量名--OK • 对比删除前后的AIC与SC信息值,信息
值小的结论是应采纳的。
9
用Eviews的误设定检验3
• 第一,估计出简单(单纯)方程 • 第二,在命令窗口上写入genr v_hat=resid 或者 Procs/Generate Series中 v_hat=resid 发现 v_hat • 第三,估计出新的回归方程
无约束模型(U)
有约束模型(K) (general to simple)
计算统计量F
F=(RSSK-RSSu)/J RSSu/(n-k-1)
~F(J, n-k)
J 为表示约束条件数, K 为表示自变量数 或者 应估计的参数数, n 为表示样本数(obs)
4
2. LM检验(Lagrange Multiplier
多重共线性多出现在横截面资料上。
16
三、异方差性的检验及对策
Var(ℇi)≠Var(ℇj) (i≠j)时, ℇi中存在异方差性(Herteroskedasticity)。 即随机项中包含着对因变量的影响因素。 异方差性多发生在横截面资料上。
17
异方差性的检验
1.图示检验法 如模型为Yi=0+1X1i+2X2i+…+ℇi 时,
7
用Eviews的误设定检验1
• 首先估计出简单(单纯)方程 • View/Coefficient Tests/Omitted
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入新变量名 OK • 检验结果出现在上端,如果P值很小时, 拒
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入删除变量名--OK • 对比删除前后的AIC与SC信息值,信息
值小的结论是应采纳的。
9
用Eviews的误设定检验3
• 第一,估计出简单(单纯)方程 • 第二,在命令窗口上写入genr v_hat=resid 或者 Procs/Generate Series中 v_hat=resid 发现 v_hat • 第三,估计出新的回归方程
无约束模型(U)
有约束模型(K) (general to simple)
计算统计量F
F=(RSSK-RSSu)/J RSSu/(n-k-1)
~F(J, n-k)
J 为表示约束条件数, K 为表示自变量数 或者 应估计的参数数, n 为表示样本数(obs)
4
2. LM检验(Lagrange Multiplier
多重共线性多出现在横截面资料上。
16
三、异方差性的检验及对策
Var(ℇi)≠Var(ℇj) (i≠j)时, ℇi中存在异方差性(Herteroskedasticity)。 即随机项中包含着对因变量的影响因素。 异方差性多发生在横截面资料上。
17
异方差性的检验
1.图示检验法 如模型为Yi=0+1X1i+2X2i+…+ℇi 时,
7
用Eviews的误设定检验1
• 首先估计出简单(单纯)方程 • View/Coefficient Tests/Omitted
Variables-Likelihood Ratio • 出现对话框时,写入新变量名 OK • 检验结果出现在上端,如果P值很小时, 拒
第五章-假设检验与回归分析
2
件，得到拒绝域；
步骤 4：明确或计算样本均值 x ，得到U 变量的观测值 u x 0 n 0
若观测值 u 落入拒绝域，则拒绝零假设 H 0 ，即接受备择假设 H1 ，
否则不能拒绝零假设 H 0 。
第五章 假设检验与回归分析 例1、 已知某面粉自动装袋机包装面粉，每袋面粉重量 Xkg
服从正态分布 N(25,0.02) ，长期实践表明方差 2 比较稳定，从
第五章 假设检验与回归分析
U 检验的步骤：
步骤 1：提出零假设 H 0 ： 0 与备择假设 H1 ；
步骤 2：明确所给正态总体标准差 0 值、样本容量 n 的
值，当零假设 H 0 成立时，构造变量
U X 0 n ～ N(0,1) 0
第五章 假设检验与回归分析
步骤 3：由所给检验水平 的值查标准正态分布表求出对应 的双侧分位数 u 的值或上侧分位数 u 的值，构造小概率事
u
2
0.05， u 1.96 ，
2
第五章 假设检验与回归分析
x 0 n
12.5 12 1 100
5 u
2
1.96
故拒绝 H0 ，即认为产品平均质量有显著变化。
小结与提问：
理解假设检验的基本原理、概念；掌握假设检验的步骤。
课外作业：
P249 习题五 5.01, 5.02，5.03。
0.10，再在表中第一列找到自由度 m n 1 7 1 6 ，
其纵横交叉处的数值即为对应的 t 分布双侧分位数 t 1.943
2
，使得概率等式
PT 1.943 0.10
成立。这说明事件 T 1.943是一个小概率事件，于是得到
拒绝域
t 1.943
第五章 假设检验与回归分析
件，得到拒绝域；
步骤 4：明确或计算样本均值 x ，得到U 变量的观测值 u x 0 n 0
若观测值 u 落入拒绝域，则拒绝零假设 H 0 ，即接受备择假设 H1 ，
否则不能拒绝零假设 H 0 。
第五章 假设检验与回归分析 例1、 已知某面粉自动装袋机包装面粉，每袋面粉重量 Xkg
服从正态分布 N(25,0.02) ，长期实践表明方差 2 比较稳定，从
第五章 假设检验与回归分析
U 检验的步骤：
步骤 1：提出零假设 H 0 ： 0 与备择假设 H1 ；
步骤 2：明确所给正态总体标准差 0 值、样本容量 n 的
值，当零假设 H 0 成立时，构造变量
U X 0 n ～ N(0,1) 0
第五章 假设检验与回归分析
步骤 3：由所给检验水平 的值查标准正态分布表求出对应 的双侧分位数 u 的值或上侧分位数 u 的值，构造小概率事
u
2
0.05， u 1.96 ，
2
第五章 假设检验与回归分析
x 0 n
12.5 12 1 100
5 u
2
1.96
故拒绝 H0 ，即认为产品平均质量有显著变化。
小结与提问：
理解假设检验的基本原理、概念；掌握假设检验的步骤。
课外作业：
P249 习题五 5.01, 5.02，5.03。
0.10，再在表中第一列找到自由度 m n 1 7 1 6 ，
其纵横交叉处的数值即为对应的 t 分布双侧分位数 t 1.943
2
，使得概率等式
PT 1.943 0.10
成立。这说明事件 T 1.943是一个小概率事件，于是得到
拒绝域
t 1.943
第五章 假设检验与回归分析
回归分析法
第五章 回归分析方法
1
§5－1 一元线性回归
一、什么叫回归分析
（一）两种不同类型的变量关系、函数与相关
简单的说，回归分析就是一种处理变量与变量之间关系的 数学方法。 例：自由落体运动中，物体下落的距离S与所需时间t之间，有 如下关系
S
1 2 gt 2
(0 t T )
2
变量S的值随t而定，这就是说，如果t给了固定值， 那么S的值就完全确定了 这种关系就是所谓的函数关系或确定性关系
（二）相关系数检验法
由U ( yi y ) U [(a bxi ) (a b x )]2
2 i=1 N i=1 N ^ _ N _
b ( xi x) 2
2 i=1
_
代入 Lyy [( yi yi ) ( yi y )]2整理后可得
i=1
23
相关系数临界值表 n-2 0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.01
1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708
n-2 0.05
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.01
0.684 0.661 0.641 0.623 0.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537
6
设y* a bx是平面上的一条任意直线，(xi , yi )(i 1,2, ..., N )是变量x，y的一组观测数据。 那么，对于每一个xi，在直线y* a bx上确可以确定一 个yi a bxi的值，yi 与xi处实际观测值yi的差： yi yi yi (a bx) 就刻画了yi与直线偏离度
1
§5－1 一元线性回归
一、什么叫回归分析
（一）两种不同类型的变量关系、函数与相关
简单的说，回归分析就是一种处理变量与变量之间关系的 数学方法。 例：自由落体运动中，物体下落的距离S与所需时间t之间，有 如下关系
S
1 2 gt 2
(0 t T )
2
变量S的值随t而定，这就是说，如果t给了固定值， 那么S的值就完全确定了 这种关系就是所谓的函数关系或确定性关系
（二）相关系数检验法
由U ( yi y ) U [(a bxi ) (a b x )]2
2 i=1 N i=1 N ^ _ N _
b ( xi x) 2
2 i=1
_
代入 Lyy [( yi yi ) ( yi y )]2整理后可得
i=1
23
相关系数临界值表 n-2 0.05
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.01
1.000 0.990 0.959 0.917 0.874 0.834 0.798 0.765 0.735 0.708
n-2 0.05
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
0.01
0.684 0.661 0.641 0.623 0.606 0.590 0.575 0.561 0.549 0.537
6
设y* a bx是平面上的一条任意直线，(xi , yi )(i 1,2, ..., N )是变量x，y的一组观测数据。 那么，对于每一个xi，在直线y* a bx上确可以确定一 个yi a bxi的值，yi 与xi处实际观测值yi的差： yi yi yi (a bx) 就刻画了yi与直线偏离度
空间分析原理与应用：第五章 空间回归分析
来自表2-1总体的两个随机样本
两个独立样本的回归线
总体回归线与样本回归线
Y
.Y1
需 求 量
. e1
u1
Yˆi b1 b2 Xi
.Yˆ1
EY | X B1 B2 Xi
A
..un Yn . en
Yˆn
0
X1 价格
Xn
X
5.2.6 “线性”回归的特殊含义
解释变量线性与参数线性
1. 解释变量线性 非线性举例：
y
y
000.5yy 0.5y 0 y
1 2 3 4 5
000...555yyy334
2 y
1
0.5y 5
0.5y 5
0.5y 4
(3 1)
式（3 1）表示变量y *用其他区域的y进行解释的线性关系，可写成：
y Cy
（3 2）
其中，是需要估计的回归参数，反映了样本数据内在的空间
模式的有效描述，因此需要引入能够描述空间自相关和空 间非平稳性的项，克服回归模型的缺陷。 • 空间关系的描述需要借助空间权重（邻接）矩阵。
空间邻接矩阵为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
W 0 0 0 1 1
(8)
0 0 1 0 1
0 0 1 1 0
行标准化为：
0 1 0 0 0
1 0 0 0 0
5.2.2 总体回归函数
例子：不同家庭收入水平下的学生数学SAT成绩
家庭年收入与数学S.A.T分数
总体回归函数PRF
E(Y | X i ) B1 B2 X i
(2-1)
Y的条件期望，可简写为E(Y)
B1和B2是参数(parameters)，也称回归系数 (regression coefficients)。
第5章多元线性回归分析1
k 个解释变量的多元线性回归模型的 n 个观测
样本，可表示为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 ... k X k 1 u 1
Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 ... k X k 2 u 2
Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n ... k X k n u n
相关系数，即全部自变量参与回归的总体相
关系数，Rmxi 为去掉xi 的复相关系数。可见
部分相关系数的平方是在总体拟合效果中扣 除了其他变量综合拟合效果之后剩余部分。
15
16
多元线性回归模型
●多元线性回归模型及古典假定 ●多元线性回归模型的估计 ●多元线性回归模型的检验
17
§5.1多元线性回归模型及古典假定
j 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。
20
多元线性回归
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则 可是线性的，也可是非线性的 例如：生产函数
YALKu
取自然对数
l n Y ln A l n L l n K l n u
21
多元总体回归函数
Y 的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
因为 Xe=0 ，则正规方程为：
XXβˆ =XY
32
OLS估计式
由正规方程 多元回归中 二元回归中
XXβˆ =XY ( X X ) k k 是 满 秩 矩 阵 ,其 逆 存 在
βˆ=(XX)-1XY
ˆ1Y-β ˆ2X2-β ˆ3X3
ˆ2(
yix2 i)( x3 2 i)-( yix3 i)( x2 ix3 i) ( x2 2 i)( x3 2 i)-( x2 ix3 i)2
样本，可表示为
Y 1 1 2 X 2 1 3 X 3 1 ... k X k 1 u 1
Y 2 1 2 X 2 2 3 X 3 2 ... k X k 2 u 2
Y n 1 2 X 2 n 3 X 3 n ... k X k n u n
相关系数，即全部自变量参与回归的总体相
关系数，Rmxi 为去掉xi 的复相关系数。可见
部分相关系数的平方是在总体拟合效果中扣 除了其他变量综合拟合效果之后剩余部分。
15
16
多元线性回归模型
●多元线性回归模型及古典假定 ●多元线性回归模型的估计 ●多元线性回归模型的检验
17
§5.1多元线性回归模型及古典假定
j 个解释变量的单位变动对应变量平均值的影响。
20
多元线性回归
指对各个回归系数而言是“线性”的，对变量则 可是线性的，也可是非线性的 例如：生产函数
YALKu
取自然对数
l n Y ln A l n L l n K l n u
21
多元总体回归函数
Y 的总体条件均值表示为多个解释变量的函数
因为 Xe=0 ，则正规方程为：
XXβˆ =XY
32
OLS估计式
由正规方程 多元回归中 二元回归中
XXβˆ =XY ( X X ) k k 是 满 秩 矩 阵 ,其 逆 存 在
βˆ=(XX)-1XY
ˆ1Y-β ˆ2X2-β ˆ3X3
ˆ2(
yix2 i)( x3 2 i)-( yix3 i)( x2 ix3 i) ( x2 2 i)( x3 2 i)-( x2 ix3 i)2
应用回归分析第5章课后习题答案
第5章自变量选择与逐步回归思考与练习参考答案5.1 自变量选择对回归参数的估计有何影响？答：回归自变量的选择是建立回归模型得一个极为重要的问题。
如果模型中丢掉了重要的自变量, 出现模型的设定偏误，这样模型容易出现异方差或自相关性，影响回归的效果；如果模型中增加了不必要的自变量, 或者数据质量很差的自变量, 不仅使得建模计算量增大, 自变量之间信息有重叠，而且得到的模型稳定性较差，影响回归模型的应用。
5.2自变量选择对回归预测有何影响？答：当全模型（m元）正确采用选模型（p元）时，我们舍弃了m-p个自变量，回归系数的最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计，使得用选模型的预测是有偏的，但由于选模型的参数估计、预测残差和预测均方误差具有较小的方差，所以全模型正确而误用选模型有利有弊。
当选模型（p元）正确采用全模型（m 元）时，全模型回归系数的最小二乘估计是相应参数的有偏估计，使得用模型的预测是有偏的，并且全模型的参数估计、预测残差和预测均方误差的方差都比选模型的大，所以回归自变量的选择应少而精。
5.3 如果所建模型主要用于预测，应该用哪个准则来衡量回归方程的优劣？C统计量达到最小的准则来衡量回答：如果所建模型主要用于预测，则应使用p归方程的优劣。
5.4 试述前进法的思想方法。
答：前进法的基本思想方法是：首先因变量Y对全部的自变量x1,x2,...,xm建立m个一元线性回归方程, 并计算F检验值，选择偏回归平方和显著的变量（F值最大且大于临界值）进入回归方程。
每一步只引入一个变量，同时建立m－1个二元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显著的两变量变量（F值最大且大于临界值）进入回归方程。
在确定引入的两个自变量以后，再引入一个变量，建立m－2个三元线性回归方程，计算它们的F检验值，选择偏回归平方和显著的三个变量（F值最大）进入回归方程。
不断重复这一过程，直到无法再引入新的自变量时，即所有未被引入的自变量的F检验值均小于F检验临界值Fα(1,n-p-1)，回归过程结束。
第五章相关分析与回归分析
第五章相关分析与回归分析相关分析（Correlation Analysis）和回归分析（Regression Analysis）都是统计学中常用的数据分析方法，用于研究两个或多个变量之间的关系。
相关分析主要用于衡量变量之间的线性关系强度和方向，回归分析则是基于相关分析的基础上建立数学模型来预测或解释因变量的方法。
相关分析是一种用于研究两个变量之间关系强度和方向的统计方法。
相关系数是用来衡量两个变量之间相关关系强度的指标，其取值范围为[-1,1]。
当相关系数为正时，表示两个变量呈正相关，即随着一个变量增加，另一个变量也增加；当相关系数为负时，表示两个变量呈负相关，即随着一个变量增加，另一个变量减少；当相关系数接近于0时，表示两个变量之间关系弱或不存在。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）、斯皮尔曼相关系数（Spearman’s rank correlati on coefficient）和肯德尔相关系数（Kendall’s rank correlation coefficient）等。
皮尔逊相关系数适用于两个变量均为连续型的情况，斯皮尔曼和肯德尔相关系数则适用于至少一个变量为顺序型或等距型的情况。
回归分析是一种建立数学模型来预测或解释因变量的方法。
在回归分析中，通常将一个或多个自变量与一个因变量建立数学关系，然后通过该关系来预测或解释因变量。
回归分析可以分为简单回归分析和多元回归分析两种。
简单回归分析是指只有一个自变量和一个因变量之间的分析。
该方法主要用于研究一个自变量对因变量的影响，通过拟合一条直线来描述自变量和因变量之间的线性关系。
简单回归分析的核心是最小二乘法，即通过最小化误差平方和来确定最佳拟合直线。
多元回归分析是指有多个自变量和一个因变量之间的分析。
该方法主要用于研究多个自变量对因变量的影响，并建立一个多元线性回归模型来描述它们之间的关系。
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表 商品价格与消费量的关系
价格X 5.0 5.2 5.8 6.4 7.0 7.0 8.0 8.3 8.7 9.0 10.0 11 消费量Y 4.0 5.0 3.6 3.8 3.0 3.5 2.9 3.1 2.9 2.2 2.5 2.6
5.2 一元线性回归
15
一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系（续） 在坐标轴上做出价格与消费量的相关关系。
• 子女的身高与父亲及母亲的身高之间的关系。
• 农田粮食的产量与施肥量之间的关系。 • 商品的销售量与广告费之间的关系。
5.1 回归分析的基本概念
8
回归分析的步骤 • 确定变量。寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响 因素。 • 建立预测模型。依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立 回归分析预测模型。 • 进行相关分析。作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度 如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的 问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和 因变量的相关程度。 • 计算预测误差。回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检 验和对预测误差的计算。 • 确定预测值。利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最 后的预测值。
最小二乘法的原理就是，找到一组 aˆ ，bˆ 。使所有点的实际测量值 yi 与预测值 yˆi 的偏差的平方和最小。
残差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）：
n
n
Q(aˆ,bˆ) (yi -yˆi )2 ( yi - aˆ - bˆxi )2
i=1
i=1
即，找到一组 aˆ ，bˆ 使RSS的值最小。
(3.472301 3.258333)2 (3.472301 3.258333)2 (3.125326 3.258333)2 (3.0212335 3.258333)2
天津大学计算机科学与技术学院 喻梅
数据挖掘
目录 CONTENTS
2
5.1 回归分析的基本概念 5.2 一元线性回归 5.3 多元线性回归 5.4 多项式回归
Chapter 5.1
回归分析的基本概念
5.1 回归分析的基本概念
4
回归分析（Regression Analysis)是确定两种或两种以上变量间相 互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
Chapter 5.2
一元线性回归
5.2 一元线性回归
3
1. 一元线性回归模型
一元线性回归模型只包含一个解释变量（自变量）和一个被解释变量（因变量），是最简单的线性回归模型。
一元线性回归模型为： Y a bX
其中， 为自变量， 为因变量； 为截距，是一常量； 为回归系数，表示自变量对因变量的影响程度； 为随机误差项。
12
4. 回归参数的显著性检验
采用 t 检验对回归参数进行显著性检验，t 检验检测变量 x 是否是被解释变量 y 的一个显著性的影响因
素，t 检验是用于样本的两个平均值差异程度的检验方法。它是用 T 分布理论来推断差异发生的概率，
从而判断两个平均数的差异是否显著。
t 检验的计算公式为：
ti
=
bˆi sbˆi
yˆ = aˆ + bˆ x
y
x
图5-2 离差，回归差，残差三者关系
5.2 一元线性回归
9
2. 拟合优度检验（续）
总平方和TSS表示因变量的n个观察值与其均值的误差总和，TSS是各个数据离差的平方和，即：
TSS=
回归平方和ESS表示自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，ESS是各个数据回归差的平方和，即：
RSS
s 其中， bˆi 的计算公式为： sbˆi
n k 1
n
i 1
xi 2
1 n
(
n i 1
xi )2
其中，bˆi 是自变量 xˆi 的回归参数，sbˆi 是回归参数bˆi 的抽样分布的标准差。K为自由度，n为样本总量，
RSS为残差平方和。
5.2 一元线性回归
13
4. 回归参数的显著性检验（续）
5.1 回归分析的基本概念
6
变量间的关系
– 确定性关系
确定性关系是指当一些变量的值确定以后另一些变量的值也随之完全确定的关系，这 些变量间的关系完全是已知的，变量之间的关系可以用函数关系来表示。
• 圆的面积 S 与半径 r 之间的关系 S r2。
• 如：价格不变时，某商品的销售收入与销售量的关系。
对于一元线性回归模型，只有一个自变量 xi ，所以 bˆi =bˆ ，自由度k=1。
如果某个自变量 xi 对因变量 y 没有产生影响或者影响很小，应当将自变量 xi 的系数取值为0，
即 bˆi = 0。
5.2 一元线性回归
14
一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系
以某家庭为调查单位，某种商品在某年各月的家庭平均月消费量Y (kg)与其价格X (元/kg) 间的调查数 据如表所示。
Y 销 售 收 入
Y=aX
0
X
销售量
图 某商品销售收入与销售量的关系
5.1 回归分析的基本概念
7
变量间的关系
– 非确定性关系
非确定性关系是指变量之间有一定的依赖关系，变量之间虽然相互 影响和相互制约，但由于受到无法预计和控制的因素的影响，使得 变量间的关系呈现不确定性，当一些变量的值确定以后，另一些变 量值虽然随之变化，却不能完全确定，这时变量间的关系就不可以 精确地用函数来表示，即不能由一个或若干变量的值精确地确定另 一变量的值。
5.2 一元线性回归
11
3. 线性关系的显著性检验
采用F 检验来度量一个或多个自变量同因变量之间的线性关系是否显著。F 检验（F test）运用服从F 分布的统计量或方差比作为统计检验，通过显著性水平（Significant Level） 检验回归方程的线性关系 是否显著。 F 检验的计算公式为：
2. 拟合优度检验
拟合优度指所求得的回归直线对观测值的拟合程度。 y 离差 = yi -y ，表示实际值与平均值之差。
回归差 = yˆi - y ，表示估计值与平均值之差。
残差 = yi -yˆi ，表示实际值与估计值之差。
其中，离差=回归差+残差。三者关系如下：
8
yi - y
yi - yˆi yˆi - y
模型特点： ① 是 的线性函数加上误差项。 ②线性部分反映了由于 的变化而引起的 的变化。 ③误差项 是随机变量，反映了除 和 之间的线性关系之外的随机因素对 的影响，它是一个期望值为0的
随机变量，即 E( ) 0 ；也是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立，即 ~ N (0, 2 ) 。
④对于一个给定的 值， 的期望值为 E(Y) a bX ， 称为 对 的回归。
F ESS / k RSS / (n k 1)
且服从F 分布 F (k, n k 。1)
其中 k 为自由度（自变量的个数），n 为样本总量。对于一元线性回归方程，只有一个自变量x ，所以 k=1。 F 值越大说明自变量和因变量之间在总体上的线性关系越显著。反之线性关系越不显著。
5.2 一元线性回归
由上图知，该商品在某家庭月平均消费量Y 与价格X 间基本呈线性关系，这些点与直线间的偏差是由其 它一些无法控制的因素和观察误差引起的，根据Y 与X 之间的线性关系及表中数据，可以求得两者之间 的回归方程。
5.2 一元线性回归
16
一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系（续）
（1）求解一元线性回归方程：
y 的数据集
yˆ
y
4.166251
4.0
4.096856
5.0
3.888671
3.6
3.680486
3.8
3.472301
3.0
3.472301
3.5
3.125326
2.9
3.0212335
3.1
2.8824435ຫໍສະໝຸດ 2.92.778351
2.2
2.431376
2.5
2.084401
2.6
5.2 一元线性回归
5.2 一元线性回归
4
2. 回归方程
Yˆ aˆ bˆX
和 是回归方程的回归系数， 是回归直线在y轴上的截距， 是直线的斜率。
对于每一个 xi ，由回归方程可确定一个回归值 yˆi =aˆ+bˆxi 。
5.2 一元线性回归
5
回归方程求解及模型检验
1. 最小二乘法 对于每一个点 (xi , yi ) , yˆi 是通过回归方程得到的回归值。
19
一元线性回归实例
n
( yˆi y)2
i 1
ESS (4.166251 3.258333)2 (4.096856 3.258333)2 (3.888671 3.258333)2 (3.680486 3.258333)2
R2=
TESSSS=4.7020976.529167=0.720168
（亦称确定系数）R2 ，计算公式为：
R2 ESS TSS RSS 1 RSS
TSS TSS
TSS
其中，R2 [0,1] ，R2 越接近于1，说明回归曲线拟合度越好；R2越小，说明回归曲线拟合度越差。
R2 =0 时，表示自变量 与因变量 没有线性关系。 R2 =1时，表示回归曲线与样本点重合。
aˆ= y-bˆx=3.258333 (0.346975) *7.616667=5.901126
故求得的线性回归方程为： yˆ 0.346975x 5.901126
价格X 5.0 5.2 5.8 6.4 7.0 7.0 8.0 8.3 8.7 9.0 10.0 11 消费量Y 4.0 5.0 3.6 3.8 3.0 3.5 2.9 3.1 2.9 2.2 2.5 2.6
5.2 一元线性回归
15
一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系（续） 在坐标轴上做出价格与消费量的相关关系。
• 子女的身高与父亲及母亲的身高之间的关系。
• 农田粮食的产量与施肥量之间的关系。 • 商品的销售量与广告费之间的关系。
5.1 回归分析的基本概念
8
回归分析的步骤 • 确定变量。寻找与预测目标的相关影响因素，即自变量，并从中选出主要的影响 因素。 • 建立预测模型。依据自变量和因变量的历史统计资料进行计算，在此基础上建立 回归分析预测模型。 • 进行相关分析。作为自变量的因素与作为因变量的预测对象是否有关，相关程度 如何，以及判断这种相关程度的把握性多大，就成为进行回归分析必须要解决的 问题。进行相关分析，一般要求出相关关系，以相关系数的大小来判断自变量和 因变量的相关程度。 • 计算预测误差。回归预测模型是否可用于实际预测，取决于对回归预测模型的检 验和对预测误差的计算。 • 确定预测值。利用回归预测模型计算预测值，并对预测值进行综合分析，确定最 后的预测值。
最小二乘法的原理就是，找到一组 aˆ ，bˆ 。使所有点的实际测量值 yi 与预测值 yˆi 的偏差的平方和最小。
残差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）：
n
n
Q(aˆ,bˆ) (yi -yˆi )2 ( yi - aˆ - bˆxi )2
i=1
i=1
即，找到一组 aˆ ，bˆ 使RSS的值最小。
(3.472301 3.258333)2 (3.472301 3.258333)2 (3.125326 3.258333)2 (3.0212335 3.258333)2
天津大学计算机科学与技术学院 喻梅
数据挖掘
目录 CONTENTS
2
5.1 回归分析的基本概念 5.2 一元线性回归 5.3 多元线性回归 5.4 多项式回归
Chapter 5.1
回归分析的基本概念
5.1 回归分析的基本概念
4
回归分析（Regression Analysis)是确定两种或两种以上变量间相 互依赖的定量关系的一种统计分析方法。
Chapter 5.2
一元线性回归
5.2 一元线性回归
3
1. 一元线性回归模型
一元线性回归模型只包含一个解释变量（自变量）和一个被解释变量（因变量），是最简单的线性回归模型。
一元线性回归模型为： Y a bX
其中， 为自变量， 为因变量； 为截距，是一常量； 为回归系数，表示自变量对因变量的影响程度； 为随机误差项。
12
4. 回归参数的显著性检验
采用 t 检验对回归参数进行显著性检验，t 检验检测变量 x 是否是被解释变量 y 的一个显著性的影响因
素，t 检验是用于样本的两个平均值差异程度的检验方法。它是用 T 分布理论来推断差异发生的概率，
从而判断两个平均数的差异是否显著。
t 检验的计算公式为：
ti
=
bˆi sbˆi
yˆ = aˆ + bˆ x
y
x
图5-2 离差，回归差，残差三者关系
5.2 一元线性回归
9
2. 拟合优度检验（续）
总平方和TSS表示因变量的n个观察值与其均值的误差总和，TSS是各个数据离差的平方和，即：
TSS=
回归平方和ESS表示自变量 x 的变化对因变量 y 取值变化的影响，ESS是各个数据回归差的平方和，即：
RSS
s 其中， bˆi 的计算公式为： sbˆi
n k 1
n
i 1
xi 2
1 n
(
n i 1
xi )2
其中，bˆi 是自变量 xˆi 的回归参数，sbˆi 是回归参数bˆi 的抽样分布的标准差。K为自由度，n为样本总量，
RSS为残差平方和。
5.2 一元线性回归
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4. 回归参数的显著性检验（续）
5.1 回归分析的基本概念
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变量间的关系
– 确定性关系
确定性关系是指当一些变量的值确定以后另一些变量的值也随之完全确定的关系，这 些变量间的关系完全是已知的，变量之间的关系可以用函数关系来表示。
• 圆的面积 S 与半径 r 之间的关系 S r2。
• 如：价格不变时，某商品的销售收入与销售量的关系。
对于一元线性回归模型，只有一个自变量 xi ，所以 bˆi =bˆ ，自由度k=1。
如果某个自变量 xi 对因变量 y 没有产生影响或者影响很小，应当将自变量 xi 的系数取值为0，
即 bˆi = 0。
5.2 一元线性回归
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一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系
以某家庭为调查单位，某种商品在某年各月的家庭平均月消费量Y (kg)与其价格X (元/kg) 间的调查数 据如表所示。
Y 销 售 收 入
Y=aX
0
X
销售量
图 某商品销售收入与销售量的关系
5.1 回归分析的基本概念
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变量间的关系
– 非确定性关系
非确定性关系是指变量之间有一定的依赖关系，变量之间虽然相互 影响和相互制约，但由于受到无法预计和控制的因素的影响，使得 变量间的关系呈现不确定性，当一些变量的值确定以后，另一些变 量值虽然随之变化，却不能完全确定，这时变量间的关系就不可以 精确地用函数来表示，即不能由一个或若干变量的值精确地确定另 一变量的值。
5.2 一元线性回归
11
3. 线性关系的显著性检验
采用F 检验来度量一个或多个自变量同因变量之间的线性关系是否显著。F 检验（F test）运用服从F 分布的统计量或方差比作为统计检验，通过显著性水平（Significant Level） 检验回归方程的线性关系 是否显著。 F 检验的计算公式为：
2. 拟合优度检验
拟合优度指所求得的回归直线对观测值的拟合程度。 y 离差 = yi -y ，表示实际值与平均值之差。
回归差 = yˆi - y ，表示估计值与平均值之差。
残差 = yi -yˆi ，表示实际值与估计值之差。
其中，离差=回归差+残差。三者关系如下：
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yi - y
yi - yˆi yˆi - y
模型特点： ① 是 的线性函数加上误差项。 ②线性部分反映了由于 的变化而引起的 的变化。 ③误差项 是随机变量，反映了除 和 之间的线性关系之外的随机因素对 的影响，它是一个期望值为0的
随机变量，即 E( ) 0 ；也是一个服从正态分布的随机变量，且相互独立，即 ~ N (0, 2 ) 。
④对于一个给定的 值， 的期望值为 E(Y) a bX ， 称为 对 的回归。
F ESS / k RSS / (n k 1)
且服从F 分布 F (k, n k 。1)
其中 k 为自由度（自变量的个数），n 为样本总量。对于一元线性回归方程，只有一个自变量x ，所以 k=1。 F 值越大说明自变量和因变量之间在总体上的线性关系越显著。反之线性关系越不显著。
5.2 一元线性回归
由上图知，该商品在某家庭月平均消费量Y 与价格X 间基本呈线性关系，这些点与直线间的偏差是由其 它一些无法控制的因素和观察误差引起的，根据Y 与X 之间的线性关系及表中数据，可以求得两者之间 的回归方程。
5.2 一元线性回归
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一元线性回归实例
例： 某种商品与家庭平均消费量的关系（续）
（1）求解一元线性回归方程：
y 的数据集
yˆ
y
4.166251
4.0
4.096856
5.0
3.888671
3.6
3.680486
3.8
3.472301
3.0
3.472301
3.5
3.125326
2.9
3.0212335
3.1
2.8824435ຫໍສະໝຸດ 2.92.778351
2.2
2.431376
2.5
2.084401
2.6
5.2 一元线性回归
5.2 一元线性回归
4
2. 回归方程
Yˆ aˆ bˆX
和 是回归方程的回归系数， 是回归直线在y轴上的截距， 是直线的斜率。
对于每一个 xi ，由回归方程可确定一个回归值 yˆi =aˆ+bˆxi 。
5.2 一元线性回归
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回归方程求解及模型检验
1. 最小二乘法 对于每一个点 (xi , yi ) , yˆi 是通过回归方程得到的回归值。
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一元线性回归实例
n
( yˆi y)2
i 1
ESS (4.166251 3.258333)2 (4.096856 3.258333)2 (3.888671 3.258333)2 (3.680486 3.258333)2
R2=
TESSSS=4.7020976.529167=0.720168
（亦称确定系数）R2 ，计算公式为：
R2 ESS TSS RSS 1 RSS
TSS TSS
TSS
其中，R2 [0,1] ，R2 越接近于1，说明回归曲线拟合度越好；R2越小，说明回归曲线拟合度越差。
R2 =0 时，表示自变量 与因变量 没有线性关系。 R2 =1时，表示回归曲线与样本点重合。
aˆ= y-bˆx=3.258333 (0.346975) *7.616667=5.901126
故求得的线性回归方程为： yˆ 0.346975x 5.901126