5.3 正方形1
浙教版数学八年级下册《5.3正方形》说课稿1
浙教版数学八年级下册《5.3 正方形》说课稿1一. 教材分析《5.3 正方形》是浙教版数学八年级下册的一个重要内容。
本节内容是在学生已经掌握了矩形、菱形的基础上，进一步研究正方形的性质。
正方形既可以是矩形的一种特殊情况，也可以是菱形的一种特殊情况。
本节内容的教学，旨在让学生进一步理解正方形的性质，掌握正方形的判定方法，并能够运用正方形的性质解决一些实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了矩形和菱形的性质，对于图形的判定和性质的推导已经有了一定的理解。
但正方形作为一个特殊的图形，其性质和判定方法与矩形和菱形有所不同，需要学生进行进一步的学习和理解。
同时，正方形在实际生活中的应用也比较广泛，学生需要能够将所学的知识运用到实际问题中。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握正方形的性质，能够运用正方形的性质解决一些实际问题。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的观察能力、推理能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：让学生在学习过程中，体验到数学的乐趣，培养学生的自信心和克服困难的勇气。
四. 说教学重难点1.教学重点：正方形的性质及其判定方法。
2.教学难点：正方形性质的推导和应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、探究式教学法和合作交流法。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型和黑板等教学工具。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的正方形物品，引导学生对正方形产生兴趣，进而引出正方形的相关性质。
2.自主探究：让学生通过观察和推理，探究正方形的性质，教师引导学生，并提供必要的帮助。
3.合作交流：让学生分组讨论，分享各自的发现，教师巡回指导，并给予评价。
4.性质讲解：教师讲解正方形的性质，并通过举例解释其应用。
5.判定方法：教师引导学生探究正方形的判定方法，学生通过实践操作，理解判定方法。
6.巩固练习：让学生进行一些相关的练习题，巩固所学知识。
5.3 第1课时 正方形的判定
∴四边形EMFN是正方形．
全效学习 学案导学设计
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
变式跟进1 条件可以是 A．AC＝BD C．AD＝BC
已知四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°， ( D B．AB＝CD D．BC＝CD )
如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个
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5.3 正方形
第1课时 正方形的判定
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【明目标、知重点】1.理解正方形的概念，并能运用概念 判定正方形；2.掌握正方形的判定定理．
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形ABCD是正方形．
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【解析】 (1)利用等边三角形三线合一得DB⊥AC，对角
线互相垂直的平行四边形是菱形； (2)由等边三角形得∠AEC＝60°，∠AED＝2∠EAD，得 ∠EAD＝15°，于是∠ADO＝∠EAD＋∠AED＝45°， ∠ADC＝2∠ADO＝90°，从而四边形ABCD是正方形． 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO＝CO. 又∵△ACE是等边三角形，
说明：由于正方形既是矩形又是菱形，所以可以用矩
形或菱形来研究正方形的有关问题．
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探要点·究所然
类型之一 例1 利用“先证明矩形，再证明邻边相等”判定正方形
人教版三年级下册数学习题课件：5.3长方形、正方形面积的计算
)，所以正方形的面积＝(
)×(
)。
所以长方形的面积＝( )×( )。
运用长方形的面积计算公式解决问题
1提2示×：8＝点9击6(平方平进厘入米习方) 题 米？半个场地是多少平方米？
沿长方形的长边一排可以摆( )个小正方形，沿宽边一列可以摆( )个小正方形，一共可以摆( )×( )＝( )个小正方形，
这个长方形的面积＝( )×( )＝( )平方厘米。
（选题源于教材P68第3题）
14×9=126（平方分米） 答：这块玻璃的面积应该是126平方分米。
4．先估计黑板的面积，再测量它的长和宽，并计算 面积。
（选题源于教材P68第4题）
略
5．找一块正方形的手帕。先估计它的面积，再测量 它的边长，算出他的面积。
（选题源于教材P68第5题）
略
提示：点击 进入习题
宽：90÷3＝30(米) 面积：90×30＝2700(平方米) 一圈：(90＋30)×2＝240(米) 答：这个球场的面积是2700平方米，如果绕 球场跑一圈要240米。
提升点 2 逆用面积计算公式解决问题
6．一张长方形地毯的宽是4米，面积是200平方米，这 张地毯的长是多少米？
200÷4＝50(米) 答：这张地毯的长是50米。
420÷2=210（平方米） （选题源于教材P68第4题）
（选题源于教材P68第5题）
答：这块玻璃的面积应该是126平方分米。
答：它的面积是420平方米，半个场地是210平方米。 6．一张长方形地毯的宽是4米，面积是200平方米，这张地毯的长是多少米？
14×9=126（平方分米） 沿长方形的长边一排可以摆( )个小正方形，沿宽边一列可以摆( )个小正方形，一共可以摆( )×( )＝( )个小正方形，
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步提升训练(附答案)
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步提升训练（附答案）1．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为5和3，点E，G分别为AD，CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为（）A．2B．4C．D．2．如图，矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，点E从D向C以每秒1个单位的速度运动，以AE为一边在AE的右下方作正方形AEFG．同时垂直于CD的直线MN也从C向D以每秒2个单位的速度运动，经过（）秒时，直线MN和正方形AEFG开始有公共点．A．2B．2.5C．3D．3.53．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E是BC上的一点且CE＝3，连接DE，动点M从点A以每秒2个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点M的运动时间为t秒，当△ABM和△DCE全等时，t的值是（）A．3.5B．5.5C．6.5D．3.5或6.54．长度相等的三根铁丝，分别做成一个长方形、正方形和圆，（）面积最大．A．长方形B．正方形C．圆5．如图，三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，则两个阴影部分面积之和是（）A．1B．2C．D．46．下列说法正确的是（）A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B．对角线相等的四边形是矩形C．每一条对角线都平分一组对角的四边形是菱形D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形7．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点（不与端点重合），对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①②③④8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，在下列条件中，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC D．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD9．下列说法错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形D．对角线相等且垂直的四边形是正方形10．如图，点P的坐标为（4，4），点A，B分别在x轴，y轴的正半轴上运动，且∠APB＝90°，连接AB，OP，下列结论：①P A＝PB；②若OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形；③四边形OAPB的面积与周长为定值；④AB＞OP．其中正确的结论是（）A．①②B．①②③C．①③④D．①②④11．如图，两个边长均为6的正方形重叠在一起，O是正方形ABCD的中心，则阴影部分的面积是．12．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E、F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，点G、H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长度为．13．在▱ABCD中，AC、BD为对角线，如果AB＝BC，AC＝BD，那么▱ABCD一定是．14．平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为正方形．15．已知在四边形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠D＝90°，BC＝CD＝6，点E在线段DC上，且∠ABE＝45°，若AE＝5，则CE的长为．16．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．（1）证明：△ADG≌△DCE；（2）连接BF，求证：AB＝FB．17．如图，若在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE ＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．18．如图，长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），正方形ADEF的顶点D在边AB上，且点F的坐标为（2a+4，0）．（1）长方形OABC的面积为；（用含a的式子表示）（2）正方形ADEF的边长为；（3）求阴影部分的面积．（用含a的式子表示）19．如图，△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点，点P为△ABC内一点，点G，H 是PB，PC的中点，顺次连接点E，F，H，G．（1）求证：四边形EFHG是平行四边形；（2）若AP＝6，BC＝10，求四边形EFHG的周长；（3）当线段AP，BC满足什么条件时，四边形EFHG是正方形？请说明理由．20．已知：如图，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE．（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE（2）问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．21．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）判断AF与CD的数量关系，并证明之．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF为正方形，并证明你的猜想．22．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．参考答案1．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝＝1，∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝1，∴MH＝5﹣1＝4，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，故选：D．2．解：过点F作FQ⊥CD于点Q，∵在正方形AEFG中，∠AEF＝90°，AE＝EF，∴∠AED+∠FEQ＝90°，∵∠DAE+∠AED＝90°，∴∠DAE＝∠FEQ，在△ADE和△EQF中，，∴△ADE≌△EQF（AAS），∴AD＝EQ＝4，当直线MN和正方形AEFG开始有公共点时：DQ+CM≥10，∴t+4+2t≥10，解得：t≥2，故当经过2秒时．直线MN和正方形AEFG开始有公共点．故选：A．3．解：如图，当点M在BC上时，∵△ABM′和△DCE全等，∴BM＝CE，由题意得：BM′＝2t﹣4＝3，所以t＝3.5（秒）；当点M在AD上时，∵△ABM″和△CDE全等，∴AM″＝CE，由题意得：AM″＝16﹣2t＝3，解得t＝6.5（秒）．所以，当t的值为3.5秒或6.5秒时．△ABM和△DCE全等．故选：D．4．解：设长度为L的三根铁丝，图形的面积用S表示，长方形：设一边为x，S1＝x（﹣x）＝﹣x2+x，那么当x＝时，S1最大，此时S1＝；正方形：S2＝（）2＝；圆：2πr＝L，r＝，S3＝π•r2＝；∴S3＞S2≥S1．故选：C．5．解：连接AN，DN，如图所示：∵三个边长均为的正方形重叠在一起，M、N是其中两个正方形对角线的交点，∴∠ANE+∠END＝90°，∠DNF+∠END＝90°，∴∠ANE＝∠DNF，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAN＝∠FDN＝45°，AN＝DN在△ANE和△DNF中∴△ANE≌△DNF（ASA），∴两个正方形阴影部分ENFD的面积＝S正方形ABCD，同理另外两个正方形阴影部分的面积也是S正方形ABCD，∴S阴影部分＝S正方形＝××＝1．故选：A．6．解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，故本选项不符合题意；B、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项不符合题意；C、∵在△ADB和△CDB中，∴△ADB≌△CDB（ASA），∴AD＝CD，AB＝CB，同理△ACD≌△ACB，∴AB＝AD，BC＝DC，即AB＝BC＝CD＝AD，∴四边形ABCD是菱形，故本选项符合题意；D、对角线相等且垂直的平行四边形是正方形，故本选项不符合题意；故选：C．7．解：①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于O，∴OA＝OB＝OC＝OD，AB∥CD，AD∥BC，∴∠OBM＝∠ODP，∠OAQ＝∠OCN，过点O的直线MP和QN，分别交AB，BC，CD，AD于M，N，P，Q，∴∠BOM＝∠DOP，∠AOQ＝∠CON，所以△BOM≌△DOP（ASA），△AOQ≌△CON（ASA），所以OM＝OP，OQ＝ON，则四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；故正确；②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形；故正确；③如图，当PM⊥QN时，存在无数个四边形MNPQ是菱形；故正确；④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形，当四边形ABCD为正方形时，四边形MNPQ是正方形，故错误；故正确结论的序号是①②③．故选：C．8．解：A．∵AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC＝BD，∴四边形ABCD是矩形；B．AD＝BC，∠BAD＝∠BCD，四边形ABCD不一定是平行四边形，∴不能判定四边形ABCD是正方形；C．∵AO＝CO，BO＝DO，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AB＝BC，∴四边形ABCD是菱形；D．∵AO＝BO＝CO＝DO，∴四边形ABCD是矩形，∵AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形；故选：D．9．解：①由平行四边形的判定可知A正确；②由矩形的判定可知B正确；③因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故C正确；④D选项中再加上一个条件：对角线互相平分，可证其是正方形，故D错误；故选：D．10．解：过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AB与OP交于点C，如图所示：∵P（4，4），∴PN＝PM＝4，∵x轴⊥y轴，∴∠MON＝∠PNO＝∠PMO＝90°，∴∠MPN＝360°﹣90°﹣90°﹣90°＝90°，则四边形MONP是正方形，∴OM＝ON＝PN＝PM＝4，∵∠MPN＝∠APB＝90°，∴∠MPB＝∠NP A，在△MPB和△NP A中，，∴△MPB≌△NP A（ASA），∴P A＝PB，故①正确；∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，∴BC＝AC，在Rt△APB中，PC是斜边AB的中线，∴PC＝BC，在Rt△AOB中，OC是斜边AB的中线，∴OC＝BC，∴BC＝AC＝PC＝OC，∴四边形OAPB是矩形，∵P A＝PB，∴四边形OAPB是正方形，故②正确；∵△MPB≌△NP A，∴四边形OAPB的面积＝四边形BONP的面积+△PNA的面积＝四边形BONP的面积+△PMB的面积＝正方形PMON的面积＝4×4＝16，∵△MPB≌△NP A，∴BM＝AN，∴OA+OB＝ON+AN+OB＝ON+OM＝4+4＝8，P A＝PB，且P A和PB的长度会不断的变化，故周长不是定值，故③错误；∵OP与AB的交点恰好是AB的中点，则四边形OAPB是正方形，∴AB＝OP，故④错误；故选：A．11．解：如图，过点O作OE⊥AD于点E，OF⊥DC于点F，设两个正方形的边的交点分别为点G和点H，如图所示：则有∠OEG＝∠OFD＝∠D＝90°，∵O是正方形ABCD的中心，∴OE＝OF，∠EOF＝90°，∴四边形OEDF为正方形．∵∠GOH＝90°，∠EOF＝90°，∴∠EOG＝∠FOH，在△EOG和△FOH中，，∴△EOG≌△FOH（ASA）．∴阴影部分的面积等于正方形OEDF的面积，∵两个边长均为6的正方形重叠在一起，∴正方形OEDF的面积为：3×3＝9．∴阴影部分的面积为9．故答案为：9．12．解：连接CH并延长交AD于P，连接PE，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝2，∵E，F分别是边AB，BC的中点，∴AE＝CF＝×2＝1，∵AD∥BC，∴∠DPH＝∠FCH，∵∠DHP＝∠FHC，∵DH＝FH，∴△PDH≌△CFH（AAS），∴PD＝CF＝1，∴AP＝AD﹣PD＝1，∴PE＝＝，∵点G，H分别是EC，FD的中点，∴GH＝EP＝．13．解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，∴▱ABCD是菱形，又∵AC＝BD，∴▱ABCD是矩形，∴▱ABCD是正方形；故答案为：正方形．14．解：∵▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，∴▱ABCD是菱形，当∠BAD＝90°时，▱ABCD为正方形；当AC＝BD时，▱ABCD为正方形；故答案为：∠BAD＝90°或AC＝BD．15．解：如图，过点B作BF⊥AD交DA的延长线于F，∵AD∥BC，∠D＝90°，BC＝CD，∴四边形BCDF是正方形，把△BCE绕点B顺时针旋转90°得到△BFG，则CE＝FG，BE＝BG，∠CBE＝∠FBG，∵∠ABE＝45°，∴∠ABG＝∠ABF+∠FBG＝∠ABF+∠CBE＝90°﹣∠ABE＝90°﹣45°＝45°，∴∠ABE＝∠ABG，在△ABE和△ABG中，，∴△ABE≌△ABG（SAS），∴AE＝AG，∴AF+CE＝AF+FG＝AG＝AE，设CE＝x，则DE＝6﹣x，AF＝5﹣x，∴AD＝6﹣（5﹣x）＝x+1，在Rt△ADE中，AD2+DE2＝AE2，即（x+1）2+（6﹣x）2＝52，整理得，x2﹣5x+6＝0，解得x1＝2，x2＝3，即CE的长度是2或3；故答案为：2或3．16．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，∴△ADG≌△DCE（ASA）；（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．17．解：AE＝CF，AE⊥CF，理由如下：如图，延长AE交CF于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠CDE＝90°，在△ADE和△CDF中，，∴△ADE≌△CDF（SAS），∴AE＝CF，∠DAE＝∠DCF，∵∠DCF+∠F＝90°，∴∠DAE+∠F＝90°，∴AG⊥CF，即AE⊥CF．∴AE＝CF，AE⊥CF．18．解：（1）∵长方形OABC的顶点A、C的坐标分别为（2a+2，0）、（0，2a﹣2）（a＞2），∴OA＝2a+2，OC＝2a﹣2，长方形OABC的面积＝OA•OC＝（2a+2）（2a﹣2）＝4a2﹣4，故答案为：4a2﹣4；（2）∵A的坐标为（2a+2），点F的坐标为（2a+4，0），∴AF＝OF﹣OA＝2a+4﹣（2a+2）＝2，故答案为：2；（3）解：S＝S长方形OABC+S正方形ADEF﹣S△COF＝（2a+2）（2a﹣2）+22﹣（2a﹣2）（2a+4）＝4a2﹣4+4﹣（2a2+2a﹣4）＝2a2﹣2a+4．19．（1）证明：∵E、F分别是边AB、AC的中点，∴EF∥BC，EF＝BC，同理，GH∥BC，GH＝BC，∴EF∥GH，EF＝GH，∴四边形EFHG是平行四边形；（2）解：∵E、F、G分别是边AB、AC、PB的中点，∴EF＝BC，EG＝AP，∴EF＝5，EG＝3，由（1）知：四边形EFHG是平行四边形，∴四边形EFHG的周长＝2（EF+EG）＝2×（5+3）＝16；（3）解：当线段AP，BC满足AP＝BC且AP⊥BC时，四边形EFHG是正方形；理由如下：∵AP＝BC，EF＝BC，EG＝AP，∴EF＝EG，∴平行四边形EFHG是菱形，∵E、F、G分别是边AB、AC、PB的中点，∴EF∥BC，EG∥AP，∵AP⊥BC，∴EF⊥EG，∴菱形EFHG是正方形．20．（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴∠BDF＝∠CED＝90°∵点D是△ABC中BC边上的中点，∴BD＝CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；（2）解：当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一）时，四边形AEDF是正方形；理由如下：∵∠BDF＝∠CED＝90°，∠A＝90°，∴四边形AEDF是矩形，∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DE＝DF，∴四边形AEDF是正方形．21．解：（1）AF＝CD，理由如下：∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE，∵E是AD的中点，∴AE＝DE，在△AFE和△DBE中，，∴△AFE≌△DBE（AAS）；∴AF＝DB∵AD是BC边上的中线，∴DB＝CD∴AF＝CD；（2）当△ABC是等腰直角三角形（∠BAC＝90°，AB＝AC）时，四边形ADCF为正方形；理由如下：∵AF＝CD，AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是斜边BC的中线，∴AD⊥BC，AD＝BC＝DC，∴平行四边形ADCF是矩形，也是菱形，∴四边形ADCF为正方形．22．解：（1）如图所示，过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，∵正方形ABCD，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，且NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∵四边形DEFG是矩形，∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF，又∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，（2）CE+CG的值为定值，理由如下：∵矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴AE＝CG，∴AC＝AE+CE＝AB＝×4＝8，∴CE+CG＝8是定值．。
二年级上册数学课件-5.3 几何小实践(长方形、正方形的初步认识)(4)
3、信封里藏着一个四边形，两个角是直角，
它是什么图形？
（可能是？）
下面哪些是长方形？哪些是正方形？
正方形
（1）
（2）
（3）
长方形 （4）
（5）正方形
（6）
（7）长方形 （8正） 方形
下图中长方形有几个？正方形有几个？
1
3
5
2
4问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳 你身边总有这样一种人：你成功了，他（她）当面恭喜你，暗地里妒嫉你；你失败了，他（她）当面安慰你，背地里笑话你。 勿以恶小而为之，勿以善小而不为。 实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。 根本不必回头去看咒骂你的人是谁？如果有一条疯狗咬你一口，难道你也要趴下去反咬他一口吗？ 现实很近又很冷，梦想很远却很温暖。 带孩子去旅游，去爬山，去逛公园，去看电影，这都是夸奖孩子最适当的方式。——张石平 我很平凡，但骨子里的我却很勇敢。 人生就是学校。——在那里，与其说好的教师是幸福，不如说好的教师是不幸。——海贝尔 你能够做到的，比想像的更多。 说话不要有攻击性，不要有杀伤力，不夸已能，不扬人恶，自然能化敌为友。
二年级数学第一学期
哪些物体的面是长方形？ 哪些物体的面是正方形？
长方形： 有4个直角 有4条边，对边相等
学习单
盒子里有一些小棒、一张方格纸、两块 三角板、一个纸盒
要求：
1、利用这些材料想办法创造一个长方形
2、由组长分配，每人用一种材料创造一个长 方形
看哪组最先完成？
正方形：有4个直角 有4条边
正方形：有4个直角，
有4条边，4条边都相等。
长方形和正方形的特征有哪些相 同?又有哪些不同？
相同点：都有四条边 对边相等
浙教版八年级下测试题5.3 第2课时 正方形的性质
第2课时正方形的性质1．如图5－3－12所示，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一图5－3－12个角．为了得到一个正方形，剪刀与折痕所成的角的度数应为(C) A．60°B．30°C．45°D．90°【解析】正方形的对角线与边的夹角为45°.2．正方形具有而一般菱形不具有的性质是(C) A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．每一条对角线平分一组对角【解析】正方形既具有矩形的性质，又具有菱形的性质，故选C.3．如图5－3－13所示，正方形ABCD的对角线相交于点O，则图中等腰直角三角形有(C)图5－3－13A．4个B．6个C．8个D．10个【解析】图中等腰直角三角形有△AOB，△BOC，△COD，△AOD，△ABD，△BCD，△ADC，△ABC，共8个．4．如图5－3－14所示，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、CB均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF的大小为(C)图5－3－14A．15°B．30°C．45°D．60°【解析】由折叠的性质，可知∠ABE＝∠DBE，∠DBF＝∠CBF，∴∠EBF＝12∠ABC＝12×90°＝45°.选C.5．如图5－3－15所示，四边形ABCD是正方形，延长AB到E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是__22.5°__．图5－3－15【解析】∵AC＝AE，∠CAE＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝12×(180°－45°)＝67.5°，∴∠BCE＝∠ACE－∠ACB＝67.5°－45°＝22.5°.6．如图5－3－16所示，正方形ABCD的边长为a，点E，F分别是对角线BD 上的两点，过点E，F分别作AD，AB的平行线，则图中阴影部分的面积之和为__12a2__.图5－3－167．[2013·红河]如图5－3－17，过正方形ABCD的顶点D作DE∥AC交BC的延长线于点E.图5－3－17(1)判断四边形ACED的形状，并说明理由；(2)若BD＝8 cm，求线段BE的长．解：(1)四边形ACED是平行四边形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，即AD∥CE，∵DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．(2)由(1)知，BC＝AD＝CE＝CD，∵BD＝8 cm，∴BC＝22·BD＝22×8＝42(cm)，∴BE＝BC＋CE＝42＋42＝82(cm)．8．如图5－3－18所示，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连结EB，ED.图5－3－18(1)求证：△BEC ≌△DEC ；(2)延长BE 交AD 于点F ，若∠DEB ＝140°，求∠AFE 的度数． 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴CD ＝CB .∵AC 是正方形ABCD 的对角线， ∴∠DCE ＝∠BCE .又CE ＝CE ， ∴△BEC ≌△DEC .(2)由(1)知△BEC ≌△DEC ，∴∠DEC ＝∠BEC ＝12∠DEB ＝70°，∴∠AEF ＝∠BEC ＝70°.又∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∠DAB ＝90°，∴∠DAC ＝∠BAC ＝12∠DAB ＝45°.在△AEF 中，∠AFE ＝180°－70°－45°＝65°. 9．[2012·黄冈]如图5－3－19所示，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别在OD ，OC 上，且DE ＝CF ，连结DF ，AE ，AE 的延长线交DF 于点M .求证：AM ⊥DF .图5－3－19证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴OD ＝OC .又∵DE ＝CF ，∴OD －DE ＝OC －CF ，即OE ＝OF .在△AOE 和△DOF 中，⎩⎨⎧AO ＝DO ，∠AOD ＝∠DOF ＝90°，OE ＝OF ，∴△AOE≌△DOF，∴∠OAE＝∠ODF.∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠DEM，∴∠ODF＋∠DEM＝90°，∴∠EMD＝90°，即AM⊥DF.10．[2013·连云港]如图5－3－20，正方形ABCD的边长为4，点E在对角线BD 上，且∠BAE＝22.5°，EF⊥AB，垂足为F，则EF的长为(C)图5－3－20A．1 B. 2C．4－2 2 D．32－4【解析】在正方形ABCD中，∠ABD＝∠ADB＝45°，∵∠BAE＝22.5°，∴∠DAE＝90°－∠BAE＝90°－22.5°＝67.5°，在△ADE中，∠AED＝180°－45°－67.5°＝67.5°，∴∠DAE＝∠AED，∴AD＝DE＝4.∵正方形的边长为4，∴BD＝42，∴BE＝BD－DE＝42－4.∵EF⊥AB，∠ABD＝45°，∴△BEF是等腰直角三角形，∴EF＝22BE＝22×(42－4)＝4－2 2.故选C.11．[2012·宜宾]如图5－3－21，已知正方形ABCD的边长为1，连结AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE＝图5－3－21第11题答图【解析】过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO＝EF，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC＝2，∴CO＝12AC＝22，∴CF＝CO＝22，∴EF＝DF＝DC－CF＝1－22，∴DE＝EF2＋DF2＝2－1，故答案为：2－1.12．[2013·济宁]如图5－3－22(1)，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC 上的点，且AF⊥BE.(1)(2)图5－3－22(1)求证：AF＝BE；(2)如图5－3－22(2)，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等？并说明理由．解：(1)设AF与BE交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD ＝∠D＝90°，∴在Rt△ADF中，∠F AD＋∠AFD＝90°.∵AF⊥BE，∴∠AGE ＝90°，∴∠F AD＋∠AEG＝90°.∴∠AFD＝∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF＝BE.第12题答图(1)(2)相等；理由：过点A作AF∥MP交CD于点F，过点B作BE∥NQ交AD 于E.得到▱BEQN和▱AFPM，∴AF＝MP，BE＝NQ，由(1)，得AF＝BE，∴MP＝NQ.第12题答图(2)。
5.3《正方形(1)》教学课件
O
F E
随堂练习
变式一：
如图，正方形ABCD中，E为OC上一点，
AG ⊥ BE交BD于点F，求证：OE=OF.
随堂练习
变式二：
如图，正方形ABCD中，E为OC延长线上
一点， AG ⊥ BE，AG,DB的延长线交于点F，
此时OE=OF还成立吗？
课堂小结
谈谈本节课的收获！
5.3 正方形(1)
目 Contents 录
03 04
01 02
学习目标
旧知回顾
新知探究
例题精讲
05
06
随堂练习
课堂小结
学习目标
1.探究并掌握正方形的概念； 2.经历探索正方形判别条件的过程，了解 正方形与矩形、菱形的关系 3.掌握正方形的判定方法. 4.进一步加深对特殊与一般的认识.
旧知回顾 1.矩形的判定方法有： 1)定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 2)定理1：有三个角相等的四边形是矩形. 3)定理2：对角线相等的平行四边形是矩形. 2.菱形的判定方法有：
新知探究 你能给正方形下一个定义吗？
矩形
一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形
正 方 形
菱形
新知探究
正方形的定义：
有一组邻边相等且有一个角是直角 的平行四边形叫做正方形.
新知探究
平行四边形，矩形，菱形，正方形的关系!
矩形
正 方 形
平行四边形
菱形
新知探究
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩
形和菱形. 可得正方形的判定定理：
有一组邻边相等的矩形是正方形.
有一个角是直角的菱形是正方形.
你还可以得到哪些正方形的判定方法呢？
新知探究 判断下列命题是否正确，并简要说明理由.
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步基础达标训练(附答案)
2020-2021学年浙教版八年级数学下册《5.3正方形》同步基础达标训练（附答案）1．平行四边形、矩形、菱形、正方形共有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线相等C．对角线互相垂直D．对角线互相垂直平分2．下列说法正确的是（）A．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形B．一组邻边相等的平行四边形是矩形C．菱形有四条对称轴D．对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形3．下列说法正确的是（）A．平行四边形对角线相等B．矩形的对角线互相垂直C．菱形的四个角都相等D．正方形的对角线互相平分4．对角线互相垂直且相等四边形一定是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．无法确定5．下列说法中错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是菱形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．菱形的对角线互相垂直D．对角线长为a的正方形的面积是6．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点M和N分别从B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN，交于点P，连接PC，则PC长的最小值为（）A．2﹣2B．2C．3﹣1D．27．如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°8．如图所示，正方形ABCD的边长为2，AB在x轴的正半轴上，以A（1，0）为圆心，AC 为半径作圆交x轴负半轴于点P，则点P的横坐标是（）A．B．C．﹣1D．9．如图，在边长为6的正方形ABCD中，点M为对角线BD上一动点，ME⊥BC于E，MF ⊥CD于F，则EF的最小值为（）A．B．C．3D．210．如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．（6，3）B．（3，6）C．（0，6）D．（6，6）11．如图，等边△ABC与正方形DEFG重叠，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD＝BE．若AB＝6，DE＝2，则△EFC的面积为（）A．1B．2C．D．412．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形CDE，则∠DAE的度数为（）A．20°B．15°C．12.5°D．10°13．如图，P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD 于点F，连接EF．给出以下4个结论，其中，所有正确的结论是（）①△FPD是等腰直角三角形；②AP＝EF＝PC；③AD＝PD；④∠PFE＝∠BAP．A．①②B．①④C．①②④D．①③④14．如图，在正方形ABCD中，BF⊥CE于点F，交AC于点G，则下列结论错误的是（）A．△BCG≌△CDE B．AG＝BE C．∠OBG＝∠OCE D．∠ABG＝∠AGB15．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝，AB＝3，给出下列结论：①∠COD＝45°，②AE＝5，③CF＝BD＝，④△COF的面积S△COF＝3，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF ＝45°，则CF长为（）A．2B．3C．D．17．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点E是BC边上的一个动点，OE⊥OF交AB边于点F，点G，H分别是点E，F关于直线AC的对称点，点E从点C 运动到点B时，图中阴影部分的面积大小变化情况是（）A．先增大后减小B．先减小后增大C．一直不变D．不确定18．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（1，3），则点F的坐标为．19．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，A的坐标为（1，），则点C的坐标为．20．正方形ABCD，点P为正方形内一点，且满足P A＝3，PB＝2，PC＝5，则∠APB的度数为度．21．如图，正方形ABCD的对角线BD上有一点E，且BE＝3DE，点F在AB的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交BC的延长线于点G，连接GF并延长，交DB的延长线于点P，若AB＝4，BF＝1，则线段EP的长是．22．如图，四边形ABCD、AEFG都是正方形，且∠BAE＝45°，连接BE并延长交DG于点H，若AB＝4，AE＝，则线段BH的长是．23．已知正方形ABCD的边长为1，P为射线AD上的动点（不与点A重合），点A关于直线BP的对称点为E，连接PE，BE，CE，DE．当△CDE是等腰三角形时，AP的值为．24．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，则∠AEB的度数为．25．如图，正方形ABCD中，点E为对角线AC上一点，且AE＝AB，则∠BEA的度数是度．26．如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于O，E点在BC上，EG⊥OB，EF⊥OC，垂足分别为点G、F，AC＝10，则EG+EF＝．27．在正方形ABCD中，E是BC边延长线上的一点，且CE＝BD，则∠AEC＝．28．如图，正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，连接AE、EF、AF，且∠EAF ＝45°，下列结论：①△ABE≌△ADF；②∠AEB＝∠AEF；③正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长；④S△ABE+S△ADF＝S△CEF，其中正确的是．（只填写序号）29．如图，ABCD为正方形，∠CAB的角平分线交BC于点E，过点C作CF⊥AE交AE的延长线于点G，CF与AB的延长线交于点F，连接BG、DG、与AC相交于点H，则下列结论：①△ABE≌△CBF；②GF＝CG；③BG⊥DG；④DH＝（﹣1）AE，其中正确的是．30．如图，在正方形ABCD中，E是边CD上一点，AF⊥AE交CB的延长线于点F，连接DF，分别交AE、AB于点G、P．求证：AE＝AF．31．如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，DG＝2．求证：四边形EFGH为正方形．32．如图，正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，连接PB，边作PE⊥PB交AD边于于点E，且点E不与点A，D重合，作PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N．（1）求证：PM＝PN；（2）求证：EM＝BN．33．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．（1）求证：四边形ABCD是菱形．（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．34．已知：如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，若∠CAD＝∠DBC．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）E是OB上一点，DH⊥CE，垂足为H，DH与OC相交于点F，求证：OE＝OF．35．如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，PM⊥AD，PN⊥AB，垂足分别为点M和N，PE⊥PB交AD于点E．（1）求证：四边形MANP是正方形；（2）求证：EM＝BN．36．已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；（2）若DG＝6，求△FCG的面积；（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．37．如图，在▱BCFD中，点E是DF的中点，连接CE并延长，与BD的延长线相交于点A，连接CD，AF．（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；（2）若CA＝CB，则▱ADCF为（填矩形、菱形、正方形中的一个）．38．如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上一点，且CE＝CD，过点E作EF⊥AC 交AD于点F，连接BE．（1）求证：DF＝AE；（2）当AB＝2时，求AF的值．39．如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD 于点E，（1）求DE的长；（2）过点E作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长；（3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长．40．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG．（1）如图1，当点E与点D重合时，BG＝；AG＝；（2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长；（3）若AG＝，请直接写出此时DE的长．参考答案1．解：A、平行四边形、矩形、菱形、正方形的对角线都互相平分，故本选项正确；B、只有矩形，正方形的对角线相等，故本选项错误；C、只有菱形，正方形的对角线互相垂直，故本选项错误；D、只有菱形，正方形的对角线互相垂直平分，故本选项错误．故选：A．2．解：A．因等腰梯形满足“一组对边相等，另一组对边平行”，但它不是平行四边形，故此选项说法错误；B．一组邻边相等的平行四边形是菱形，不一定是矩形，故此选项说法错误；C．菱形的对称轴是两条对角线所在的直线，因此菱形只有两条对称轴，故此选项错误；D．因为对角线相等且互相平分的四边形是矩形，若再加上对角线互相垂直条件，则矩形便转化为正方形，所以对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故此选项正确；故选：D．3．解：A、平行四边形对角线互相平分，错误；B、矩形的对角线相等，错误；C、菱形的四条边都相等，错误；D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，正确；故选：D．4．解：对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，故A选项不符合题意；对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，故B选项不符合题意；对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形，故C选项不符合题意；故D选项正确．故选：D．5．解：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项错误，符合题意；因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确，不符合题意；因为菱形的对角线互相垂直，所以C选项正确，不符合题意；因为对角线长为a的正方形的面积是：a×a＝a2．所以D选项正确，不符合题意．6．解：由题意得：BM＝CN，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠BCN＝90°，AB＝BC＝4，在△ABM和△BCN中，AB＝BC，∠ABM＝∠BCN，MB＝CN，∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM＝∠CBN，∵∠ABP+∠CBN＝90°，∴∠ABP+∠BAM＝90°，∴∠APB＝90°，∴点p是以AP为半径的圆上远动，设圆心为O，运动路径一条弧，是这个圆的，如图所示：连接OC交圆O于P，此时PC最小，∵AB＝4，∴OP＝OB＝2，由勾股定理得：OC＝＝2，∴PC＝OC﹣OP＝2﹣2；故选：A．7．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°，∵AE＝AB，∴AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝67.5°，∴∠CDE＝90°﹣67.5°＝22.5°，8．解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB＝BC＝2，∴AC＝，∵以A为圆心，AC为半径画圆交x轴负半轴于点P，∴AP＝AC＝，又∵点A（1，0），∴OP＝﹣1，∴点P（1﹣，0），故选：D．9．解：连接MC，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，∠DBC＝45°，∵ME⊥BC于E，MF⊥CD于F∴四边形MECF为矩形，∴EF＝MC，当MC⊥BD时，MC取得最小值，此时△BCM是等腰直角三角形，∴MC＝BC＝＝3，∴EF的最小值为3；故选：A．10．解：∵四边形OBCD是正方形，∴OB＝BC＝CD＝OD，∠CDO＝∠CBO＝90°，∵O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），∴OD＝6，∴OB＝BC＝CD＝6，∴C（6，6）．故选：D．11．解：过F作FQ⊥BC于Q，则∠FQE＝90°，∵△ABC是等边三角形，AB＝6，∴BC＝AB＝6，∠B＝60°，∵BD＝BE，DE＝2，∴△BED是等边三角形，且边长为2，∴BE＝DE＝2，∠BED＝60°，∴CE＝BC﹣BE＝4，∵四边形DEFG是正方形，DE＝2，∴EF＝DE＝2，∠DEF＝90°，∴∠FEC＝180°﹣60°﹣90°＝30°，∴QF＝EF＝1，∴△EFC的面积为＝＝2，故选：B．12．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AD＝DC，∵△CDE是等边三角形，∴DE＝DC，∠EDC＝60°，∴∠ADE＝90°+60°＝150°，AD＝ED，∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣∠ADE）＝15°，故选：B．13．解：∵P为正方形ABCD的对角线BD上任一点，∴P A＝PC，∠BCD＝90°，∵过点P作PE⊥BC于点E，PF⊥CD，∴∠PEC＝∠DFP＝∠PFC＝∠C＝90°，∴四边形PECF是矩形，∴PC＝EF，∴P A＝EF，故②正确，∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠BDC＝∠DBC＝45°，∵∠PFC＝∠BCD＝90°，∴PF∥BC，∴∠DPF＝∠DBC＝45°，∵∠DFP＝90°，∴△FPD是等腰直角三角形，故①正确，在△P AB和△PCB中，，∴△P AB≌△PCB（SSS），∴∠BAP＝∠BCP，在矩形PECF中，∠PFE＝∠FPC＝∠BCP，∴∠PFE＝∠BAP．故④正确，∵点P是正方形对角线BD上任意一点，∴AD不一定等于PD，只有∠BAP＝22.5°时，AD＝PD，故③错误，故选：C．14．解：A．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠BCG＝∠CDE＝45°，BC＝CD，∵BF⊥CE，∴∠BFC＝90°，∴∠CBG+∠BCF＝∠BCF+∠DCE＝90°，∴∠CBG＝∠DCE，∴△BCG≌△CDE（ASA），故A正确；B．∵△BCG≌△CDE，∴CG＝DE，∵正方形ABCD中，AC＝BD，∴AG＝BE，故B正确；C．∵△BCG≌△CDE，∴∠CBG＝∠DCE，∵正方形ABCD中∠OBC＝∠OCD＝45°，∴∠OBG＝∠OCE，故C正确；D．∵E是OD上的任意一点，∴当BE≠BC时，有AB≠BE，∵AG＝BE，∴AB≠AG，∴∠ABG≠∠AGB，故D错误；故选：D．15．解：①∵∠AOC＝90°，∠DOE＝45°，∴∠COD＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝45°，故正确；②∵EF＝，∴OE＝2，∵AO＝AB＝3，∴AE＝AO+OE＝2+3＝5，故正确；③作DH⊥AB于H，作FG⊥CO交CO的延长线于G，则FG＝1，CF＝，BH＝3﹣1＝2，DH＝3+1＝4，BD＝，故错误；④△COF的面积S△COF＝×3×1＝，故错误；故选：B．16．解：∵正方形ABCD的面积为36，∴BC＝AB＝6，如图，延长FD到G，使DG＝BE；连接CG、EF；∵四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF与△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝3，∴AE＝3，设AF＝x，则DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝＝，∴（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4，∴DF＝6﹣4＝2，∴CF＝＝＝2，故选：A．17．解：连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴∠BOC＝90°，∴∠BOE+∠EOC＝90°，∵OE⊥OF，∴∠BOE+∠FOB＝90°，∴∠FOB＝∠EOC，在△FOB和△EOC中，，∴△FOB≌△EOC，同理，△HOD≌△GOC，∴图中阴影部分的面积＝△ABD的面积＝×正方形ABCD的面积，故选：C．18．解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′．∵四边形OEFG是正方形，∴OG＝EO，∠GOM＝∠OEH，∠OGM＝∠EOH，在△OGM与△EOH中，，∴△OGM≌△EOH（ASA）∴GM＝OH＝1，OM＝EH＝3，∴G（﹣3，1）．∴O′（﹣1，2）．∵点F与点O关于点O′对称，∴点F的坐标为（﹣2，4）．故答案是：（﹣2，4）．19．解：如图，过点C作CE⊥x轴于E，过点A作AF⊥y轴于F，∵点A的坐标为（1，），∴AF＝1，OF＝，∵四边形ABCO是正方形，∴OA＝OC，∠AOC＝90°＝∠EOF，∴∠COE＝∠AOF，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（AAS），∴AF＝CE＝1，OE＝OF＝，∴点C（﹣，1），故答案为：（﹣，1）．20．解：将△APB绕点B旋转90°得到△BP′C，则∠PBP′＝90°，BP＝BP′，AP＝P′C，∠APB＝∠CP′B，∵PB＝2，∴BP′＝2，∴PP′＝4，∠BP′P＝45°，∵P A＝3，PC＝5，∴P′C＝3，∵PP′2+P′C2＝42+32＝52＝PC2，∴△PP′C是直角三角形，∠PP′C＝90°，∴∠BP′C＝∠BP′P+∠PP′C＝135°，∴∠APB＝135°，故答案为：135．21．解：如图，作EN⊥AB于N，EM⊥BC于M，PH⊥CB于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC＝CB＝AB＝4，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠ADB＝∠CDB＝45°，∴EN＝EM＝BN＝BM，∵BE＝3DE，∴BN＝3AN，所以AN＝1，BN＝3，∴EM＝EN＝BM＝BN＝3，∵EF⊥EG，∴∠FEG＝90°，∵∠NEM＝90°，∴∠NEF＝∠MEG，在△NEF和△MEG中：∴△NEF≌△MEG（ASA），∴MG＝NF，EG＝EF，∵BF＝1，∴NF＝NB+BF＝4，∴MG＝4，∴BG＝BM+MG＝7，∵∠PBF＝∠ABD＝45°，∴∠PBG＝135°，∴∠PBH＝45°，∴∠HPB＝45°，∴BH＝PH，PB＝PH，设BH＝PH＝x，则PB＝x，GH＝BH+BG＝x+7，得x＝，所以PB＝，又因为BE＝BN＝3，所以EP＝EB+BP＝．22．解：连接GE交AD于点N，连接DE，如图，∵∠BAE＝45°，∴AF与EG互相垂直平分，且AF在AD上，∵AE＝，∴AN＝GN＝1，∴DN＝4﹣1＝3，在Rt△DNG中，DG＝＝；由题意可得：△ABE相当于逆时针旋转90°得到△AGD，∴DG＝BE＝，∵S△DEG＝GE•ND＝DG•HE，∴HE＝＝，∴BH＝BE+HE＝+＝．故答案是：．23．解：①如图1，当CE＝CD，且点P在线段AD上时，由题意知，△BEC为等边三角形，过点E作BC的垂线，分别交AD，BC于点M，N，则EN＝BE＝，∴ME＝1﹣，在四边形ABEP中，∠ABE＝30°，∠A＝∠PEB＝90°，∴∠APE＝150°，∴∠MPE＝180°﹣∠APE＝30°，∴在Rt△PEM中，PE＝2ME＝2﹣，∴AP＝PE＝2﹣；②如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时，由题意知，△BCE为等边三角形，过点E作BC的垂线，交BC于N，交AD于M，则NE＝CE＝，∴ME＝1+，在四边形ABEP中，∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°，∴∠APE＝30°，∴在Rt△PME中，PE＝2ME＝2+，∴AP＝PE＝2+；③如图3，当ED＝EC时，点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上，∴AE＝BE，又∵AB＝EB，∴△ABE为等边三角形，∴∠ABE＝60°，∴∠ABP＝∠EBP＝30°，在Rt△ABP中，AP＝AB＝，综上所述，AP的值为2﹣或2+或．24．解：根据等边三角形和正方形的性质可知AB＝AE，∴∠BAE＝90°+60°＝150°，∴∠AEB＝（180°﹣150°）÷2＝15°．故答案为：15°25．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAC＝45°，∵AE＝AB，∴∠BEA＝∠ABE＝＝67.5°．故答案为：67.5．26．解：∵四边形ABCD是正方形，AC＝10，∴AC⊥BD，BO＝OC＝5，∵EG⊥OB，EF⊥OC，∴S△BOE+S△COE＝S△BOC，∴•BO•EG+•OC•EF＝•OB•OC，∴×5×EG+×5×EF＝×5×5，∴EG+EF＝5．故答案为5．27．解：连接AC，则正方形ABCD中，AC＝BD ∵CE＝BD∴AC＝EC∴∠E＝∠CAF∵AD∥EC∴∠E＝∠DAF∴∠CAF＝∠DAF∵∠CAD＝45°∴∠CAF＝∠DAF＝22.5°∴∠AEC＝22.5°故答案为：22.5°28．解：①当E、F不分别是BC和CD的中点时，BE≠DF，则△ABE≌△ADF不成立，故①错误；②延长CD至G，使得DG＝BE，如图1，∵AB＝AD，∠ABE＝∠ADG＝90°，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴∠BAE＝∠DAG，∠AEB＝∠G，AE＝AG，∵∠BAD＝90°，∠EAF＝45°，∴∠BAE+∠DAF＝45°，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝45°，∴∠EAF＝∠F AG，∵AF＝AF，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴∠AEF＝∠G，∴∠AEB＝∠AEF，故②正确；③∵△AEF≌△AGF，∴EF＝GF＝DG+DF＝BE+DF，∴△CEF的周长＝CE+CF+EF＝CE+CF+BE+DF＝BC+CD＝2BC，∵正方形ABCD的周长＝4BC，∴正方形ABCD的周长＝2△CEF的周长，故③正确；④∵△ABE≌△ADG，∴S△ABE＝S△ADG，∴S△ABE+S△ADF＝S△AGF，∵GF＝EF＞CF，AD≥CE，∴，即S△AGF＞S△CEF，∴S△ABE+S△ADF≠S△CEF，故④错误；故答案为：②③．29．解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝∠CBF＝90°，∵AG⊥CF，∴∠AGF＝90°，∴∠GAF+∠F＝90°，∵∠BCF+∠F＝90°，∴∠GAF＝∠BCF，∴△ABE≌△CBF（ASA），故此小题结论正确；②∵AG是∠CAB的角平分线，∴∠BAG＝∠CAG，∵∠AGF＝∠AGC＝90°，AG＝AG，∴△AFG≌△ACG（ASA），∴FG＝CG，故此小题结论正确；③∵∠CBF＝90°，FG＝CG，∴BG＝CG，∴∠CBG＝∠BCG，∵∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABG＝∠DCG，∵AB＝DC，∴△ABG≌△DCG（SAS），∴∠AGB＝∠DGC，∵∠DGC+∠AGD＝∠AGC＝90°，∴∠AGB+∠AGD═90°，∴BG⊥DG，故此小题结论正确；④∵△ABG≌△DCG，∴∠CDG＝∠BAG＝∠CAG，∵∠DCH＝∠ACE，∴DH＝，故此小题结论错误．由上可知，正确的结论是①②③，故答案为：①②③．30．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝∠ADC＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，即∠F AB+∠EAB＝90°，而∠EAD+∠EAB＝90°，∴∠F AB＝∠EAD，在△ABF和△ADE中，，∴△ABF≌△ADE（ASA），∴AE＝AF．31．解：∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形．32．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AC平分∠BAD，又∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN．（2）∵PM⊥AD，PN⊥AB，∠MAN＝90°，PM＝PN，∴四边形PMAN为正方形，∴∠MPN＝90°，即∠MPE+∠EPN＝90°．∵PE⊥PB，∴∠EPN+∠NPB＝90°，∴∠MPE＝∠NPB．∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PME＝∠PNB＝90°．在△PME和△PNB中，，∴△PME≌△PNB（ASA），∴EM＝BN．33．证明：（1）∵▱ABCD，∴AO＝OC，∵△ACE是等边三角形，∴EO⊥AC（三线合一）即BD⊥AC，∴▱ABCD是菱形；（2）∵△ACE是等边三角形，∠EAC＝60°由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形∴∠EAO＝60°，∵∠AED＝2∠EAD，∴∠EAD＝15°，∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，∵▱ABCD是菱形，∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，∴菱形ABCD是正方形．34．（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∠BAD＝2∠DAC，∠ABC＝2∠DBC，∴∠BAD+∠ABC＝180°，∵∠CAD＝∠DBC，∴∠BAD＝∠ABC，∴2∠BAD＝180°，∴∠BAD＝90°，∴四边形ABCD是正方形；（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，AC＝BD，CO＝AC，DO＝BD，∴∠COB＝∠DOC＝90°，CO＝DO，∵DH⊥CE，垂足为H，∴∠DHE＝90°，∠EDH+∠DEH＝90°，∵∠ECO+∠DEH＝90°，∴∠ECO＝∠EDH，在△ECO和△FDO中，，∴△ECO≌△FDO（ASA），∴OE＝OF．35．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝90°，AC平分∠DAB，∵PM⊥AD，PN⊥AB，∴∠PMA＝∠PNA＝90°，∴四边形MANP是矩形，∵AC平分∠DAB，PM⊥AD，PN⊥AB，∴PM＝PN，（3分）∴四边形MANP是正方形；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴PM＝PN，∠MPN＝90°，∵∠EPB＝90°，∴∠MPE+∠EPN＝∠NPB+∠EPN＝90°，∴∠MPE＝∠NPB，在△EPM和△BPN中，∵，∴△EPM≌△BPN（ASA），∴EM＝BN．36．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），∴∠DHG＝∠HEA，∵∠AHE+∠HEA＝90°，∴∠AHE+∠DHG＝90°，∴∠EHG＝90°，∴四边形HEFG为正方形；（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，∵AB∥CD，∴∠AEG＝∠MGE，∵HE∥GF，∴∠HEG＝∠FGE，∴∠AEH＝∠MGF，在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，∴△AHE≌△MFG，∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，因此；（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，∴HE2≤53，∴x2+16≤53，∴x≤，∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．37．解：（1）在平行四边形BCFD中，DE∥BC，∵E是DF的中点，∴DE＝BC，∴DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴四边形ADCF是平行四边形．（2）∵CA＝CB，DE是△ABC的中位线，∴AD＝AE，∵E是AC的中点，∴AE＝CE，∴AD＝AC，∴∠ADC＝90°，∠ACD＝30°，∴▱ADCF是矩形．故答案为：矩形38．（1）证明：如图，连接CF，在Rt△CDF和Rt△CEF中，，∴Rt△CDF≌Rt△CEF（HL），∴DF＝EF，∵AC是正方形ABCD的对角线，∴△AEF是等腰直角三角形，∴AE＝EF，∴DF＝AE；（2）解：∵AB＝2，∴AC＝AB＝2，∵CE＝CD，∴AE＝2﹣2，过点E作EH⊥AB于H，则△AEH是等腰直角三角形，∴EH＝AH＝AE＝×（2﹣2）＝2﹣，∴AE＝EH＝2﹣2，∴AF＝AE＝4﹣2．39．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∠DBC＝∠BCA＝∠ACD＝45°，∵CE平分∠DCA，∴∠ACE＝∠DCE＝∠ACD＝22.5°，∴∠BCE＝∠BCA+∠ACE＝45°+22.5°＝67.5°，∵∠DBC＝45°，∴∠BEC＝180°﹣67.5°﹣45°＝67.5°＝∠BCE，在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD＝＝2，∴DE＝BD﹣BE＝2﹣；（2）∵FE⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠FEB＝∠CEF﹣∠CEB＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠DCE，∵∠FBE＝∠CDE＝45°，BE＝BC＝CD，∴△FEB≌△ECD，∴BF＝DE＝2﹣；（3）延长GE交AB于F，由（2）知：DE＝BF＝2﹣，由（1）知：BE＝BC＝，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥DC，：DG＝3﹣4．40．BG、解：（1）如图1，连接CG，∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形，∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG，∴∠CBG＝45°，∴∠CBG＝∠CBD，∵BC＝BC，∴△CBD≌△CBG（SAS），∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5，∴G，C，D三点共线，BG＝，∴AG＝；故答案为：5；5；（2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K，∵DE＝2，DC＝5，∴CE＝3，∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°，∴∠EBC＝∠GBK，∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°，∴△BCE≌△BKG（AAS），∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5，∴AK＝10，由勾股定理得：AG＝；（3）分三种情况：①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS），∴BC＝BK＝5，∵AG＝，由勾股定理得：KG＝，∴CE＝KG＝，此种情况不成立；②当点E在边CD上时，如图4，同理得：DE＝；③当点E在DC的延长线上时，如图5，同理得CE＝GK＝，∴DE＝5+综上，DE的长是或．故答案为或．。
2024年新北师大版7年级上册数学教学课件 5.3 1元1次方程的应用课时1
5.3 一元一次方程的应用
5.3.1 几何图形中的等量关系
七上数学 BSD
1. 借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，建立方程，解决实际问题.2.通过具体问题的解决，体会利用方程解决问题的关键是寻找等量关系.
学习目标
课堂导入
问题
下面的橡皮泥在按压前和按压后有何变化？你发现了一个等量关系没有？
长方形的周长始终是不变的， 即长与宽的和为10× = 5(m).
知识点2 等长变形
例1
用一根长为 10 m 的铁丝围成一个长方形.
(1)如果该长方形的长比宽多 1.4 m，那么此时长方形的长、宽各为多少米？
解：(1)设此时长方形的宽为 x m， 则它的长为（x + 1.4）m.
正方形的边长为 2.5 m，面积为 2.5×2.5 = 6.25(m2)，
x m
例1
比(2)中长方形的面积增大 6.25 – 6.0ห้องสมุดไป่ตู้ = 0.16(m2).
知识点2 等长变形
长方形的周长不变时，它的面积会随着长和宽的变化而变化，当_________（即为 ）时，面积最大.
包含的量：旧包装的底面直径、高、容积，新包装的底面直径、高、容积.等量关系:旧包装的容积=新包装的容积.
知识点1 等积变形
某饮料公司有一种底面直径和高分别为6.6 cm，12 cm的圆柱形易拉罐饮料.经市场调研决定对该产品外包装进行改造，计划将它的底面直径减少为6 cm.那么在容积不变的前提下，易拉罐的高度将变为多少厘米?(2)设新包装的高度为x cm，借助表格梳理问题中的信息.
(1)中长方形的面积为 3.2×1.8 = 5.76(m2).
2019-2020学年度最新浙教版八年级数学下册《正方形》单元考点练习及答案解析一精品试卷
5．3 正方形(二)(第1题)1．如图，以正方形ABCD 的边AB 为一边向内作等边三角形ABE ，连结EC ，则∠BEC 的度数为(D)A ．45°B ．60°C ．67.5°D ．75°2．已知正方形ABCD 的边长为2，E ，F 分别为BC 和CD 边上的中点，则S △AEF ＝(B)A.52B.32 C ．2 D.3553．有下列图形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形；⑤三角形．其中一定能够找到一点，使该点到各边距离都相等的是(D)A. ①②B. ②③④⑤C. ②④D. ②④⑤4．在正方形ABCD 中，对角线长为2 cm ，E 是AB 边上任意一点，则点E 到两条对角线的距离之和是(B)A. 22cmB. 1 cmC. 2 cmD. 2cm5．已知正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝16 cm，则DO＝__8__cm，BO＝__8__cm，∠OCD＝__45°__．(第6题)6．如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是__1__，△BPD的面积是__3－1__．(第7题)7．如图，在正方形ABCD中，G为CD边上的一个动点(点G与点C，D不重合)，以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连结DE交BG的延长线于点H.求证：(1)△BCG≌△DCE.(2)BH⊥DE.【解】(1)∵四边形ABCD，四边形GCEF都是正方形，∴BC＝DC，GC＝EC，∠BCG＝∠DCE＝90°，∴△BCG≌△DCE(SAS)．(2)由(1)知，△BCG≌△DCE，∴∠GBC＝∠EDC.又∵∠BGC＝∠DGH，∴∠DHG＝∠BCG＝90°，即BH ⊥DE.8．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，连结AC ，BD 交于点O ，CE 平分∠ACD ，交BD 于点E ，求DE 的长．(第8题)【解】 过点E 作EF ⊥DC 于点F. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ODC ＝45°，AC ⊥BD. ∵CE 平分∠ACD ，EF ⊥DC ，∴CO ＝CF ，∠DEF ＝45°＝∠ODC ，∴EF ＝DF. ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴AC ＝ 2.∴CO ＝12AC ＝22.∴CF ＝CO ＝22.∴EF ＝DF ＝DC －CF ＝1－22.∴DE ＝EF 2＋DF 2＝2－1.9．若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为(B)A. 6B. 8C. 10D. 12【解】 设正方形的边长为1，则矩形的长为12，该矩形的宽为x ，根据题意，得 x ＋12＋x ＝1， 解得x ＝14.∴k ＝2＋2＋1÷14＝8.(第9题) (第10题)10．如图，将正方形OABC 放在平面直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为(1，3)，则点C 的坐标为(－3，1)．【解】 过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，过点C 作CE ⊥x 轴于点E. ∵四边形OABC 是正方形，∴OA ＝OC ，∠AOC ＝90°， ∴∠COE ＋∠AOD ＝90°. 又∵∠OAD ＋∠AOD ＝90°， ∴∠OAD ＝∠COE. 在△AOD 和△OCE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠OAD ＝∠COE ，∠ADO ＝∠OEC ＝90°，AO ＝OC ，∴△AOD ≌△OCE(AAS)．∴OE ＝AD ＝3，CE ＝OD ＝1. ∵点C 在第二象限， ∴点C 的坐标为(－3，1)．(第11题)11．如图，F 是正方形ABCD 的边CD 上的一个动点，BF 的垂直平分线交对角线AC 于点E ，连结BE ，FE ，则∠EBF 的度数是45°．【解】 过点E 作HI ∥BC ，分别交AB ，CD 于点H ，I ，则∠BHE ＝∠EIF ＝90°.∵E 是BF 的垂直平分线EM 上的点， ∴BE ＝EF.∵E 是正方形对角线AC 上的点，即E 是∠BCD 的平分线上一点， ∴点E 到BC 和CD 的距离相等，∴BH ＝EI. 在Rt △BHE 和Rt △EIF 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝EF ，BH ＝EI ，∴Rt △BHE ≌Rt △EIF(HL)． ∴∠HBE ＝∠IEF. ∵∠HBE ＋∠HEB ＝90°， ∴∠IEF ＋∠HEB ＝90°， ∴∠BEF ＝90°. 又∵BE ＝EF ，∴∠EBF ＝∠EFB ＝45°.12．如图，正方形ABCD 的边长为1，P 为BC 边上任意一点(可与点B ，C 重合)，分别过点B ，C ，D 作射线AP 的垂线，垂足分别为B ′，C ′，D ′，求BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值与最小值．(第12题) (第12题解) 【解】 如解图，连结AC ，DP. 由题意，得S △ACD ＝S △ADP ＝12AP ·DD ′.∵S △ABP ＋S △ACP ＋S △ACD ＝1，∴12AP ·BB ′＋12AP ·CC ′＋12AP ·DD ′＝1， ∴BB ′＋CC ′＋DD ′＝2AP.易知1≤AP ≤2(当点P 与点B 重合时，AP ＝1；当点P 与点C 重合时，AP ＝2)，∴2≤BB ′＋CC ′＋DD ′≤2.即BB ′＋CC ′＋DD ′的最大值为2，最小值为 2.(第13题)13．如图，正方形ABCD的周长为40 m，甲、乙两人分别从A，B 同时出发，沿正方形的边行走，甲按逆时针方向每分钟行55 m，乙按顺时针方向每分钟行30 m.(1)出发几分钟后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)如果用记号(a，b)表示两人走a(min)，并相遇b次，那么当两人出发后第一次处在正方形的两个相对顶点位置时，对应的记号是多少？【解】(1)设出发x(min)后，甲、乙第y次相遇(y是正整数)，则有：(55＋30)x＝40(y－1)＋10，即85x＝40y－30，17x＝8y－6，∴y＝17x＋68＝2x＋x＋68.∵当甲、乙都在顶点处时，甲、乙的路程都必须为10的倍数，即55x和30x都为10的倍数，∴x为2的倍数．又∵y是正整数，∴x最小为2.∴出发2 min后，甲、乙两人第一次在正方形的顶点处相遇．(2)∵当甲、乙处在正方形的两个相对顶点位置时，他们相差20 m，∴(55＋30)a＝40(b－1)＋10＋20，即85a＝40b－10，17a＝8b－2，∴b＝17a＋28＝2a＋a＋28.由(1)知a为2的倍数，且b为整数，∴a最小为6.当a＝6时，b＝13，∴对应的记号为(6，13)．。
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①.由已知正方形证 三角形全等； ②.证得菱形； ③.再证直角； ④.是正方形
A
D
C/
A/
B
B/
C
证明：∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=DA 又∵A`A=B`B=C`C=D`D
∴D`A=A`B=B`C=C`D
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°
∴△AA`D`≌△BB`A`≌△CC`B`≌△DD`C`
5种识 别方法
一个角是直角且一组邻边相等
填空
? 的四边形是正方形。
5.如图，在直角三角形中，∠C=90°，∠A、∠B的平 分线交于点D。DE⊥AC，DF⊥AB。求证:四边形 CEDF为正方形
证明：过点D作DG⊥AB，垂足为G
∵AD是∠CAB的平分线 DE⊥AC，DG⊥AB ∴ DE=DG 同理：DG=DF ∴ED=DF ∵ DE⊥AC，DF⊥AB ∴∠DEC= ∠DFC=90 ° 又∵ ∠C=90 ° ∴四边形ADFC是矩形 ∴四边形ADFC是正方形
5.3 正方形
平行 四边形
两组对边 分别平行
四边形
有一个角是直角
矩形
有一组邻边相等并且有 一个角是直角的的平行 四边形叫正方形
．
＋
菱形
正方形
有一组邻 边相等
总结：矩形+（
）=正方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形 的判定方法吗？
有一组邻边相等的矩形是正方形。
有一个角 是直角
总结：菱形+（
）=正方形
4.四条边都相等的四边形是正方形 5.四个角都相等的四边形是正方形 6.四边相等，有一个角是直角的四边形是正方形.
2.下列说法正确的是（B ）
A.四条边相等的四边形是正方形
B.两条对角线互相垂直的矩形是正方形
C.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形
D.两条对角线分别平分一组对角的四边形是正
方形
你能从这个变化过程中总结出一种正方形 的判定方法吗？
有一个角是直角的菱形是正方形。
1.定义法：
有一组邻边相等并且有一个角是直角 的平行四边形是正方形。
2.矩形菱形法： 1）一组邻边相等的矩形是正方形 2）有一个角是直角的菱形是正方形
填图： 四边形、平行四边形、矩形、菱形、正方形
四边形 平行四边形
例1已知：在△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分
∠ACB，DE⊥BC， DF⊥AC，垂足分别为E、F． 求证： 四边形CFDE是正方形．
4.已知：如图点A' 、 B' 、 C'、D'分 别是正方形ABCD四条边上的点，并 且AA'=BB'=CC'=DD' 求证：四边形A'B'C'D'是正方形 证题思路分析 D菱形中，因而要判定一个四边形 是正方形，可以从两方面来着手，
一：先证四边形是矩形，再证一组邻边相等；
二：先判定四边形是菱形，再证有一内角是直角。
自学检测二
1.判断下列命题是否正确．
1.对角线相等的菱形是正方形 2.对角线互相垂直的矩形是正方形
3.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
C E D A
G
F
B
A`D`=A`B`=B`C`=C`D` ∴四边形A`B`C`D`是菱形 又∵∠AD`A`=∠BA`B`， ∠ AA`D`+∠AD`A`=90° ∴ ∠AA`D`+∠BA`B`=90 ° ∵∠D`A`B`=180°—（∠AA`D`+∠BA`B`）=90° ∴菱形A`B`C`D`是正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结