【5套打包】大连市初三九年级数学上(人教版)第21章《一元二次方程》单元小结(解析版)
(人教版新课标)九年级数学第21章《一元二次方程》知识小结
- 1 -一元二次方程是初中数学的重要内容，在初中数学中占有重要的地位，它和二次函数的联系非常密切．这部分内容是各地考试热点和同学们容易出错的地方，是历年各地中考的必考内容之一，在试卷中占有较大的分值比例．考试中不仅基础题会考查，更重要的是后面的综合题也会重点考查，一般以函数等知识为背景进行综合考查，因此同学们应对这部分内容予以高度重视． 【知识网络】【知识解读】1．一元二次方程的定义只含有一个未知数，并且未知数的次数是二次的整 式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式：20ax bx c ++=（0a ≠）． （1）判断一个方程是不是一元二次方程时应抓住三点：①只含有一个未知数；②未知数的最高次数是2；③方程是整式方程（即含有未知数的式子是整式）．三者必须同时满足，否则就不是一元二次方程．（2）20ax bx c ++=（a ，b ，c 为常数，0a ≠）称为一元二次方程的一般形式，其中0a ≠是定义中的一部分，不可缺少，否则就不是一元二次方程． 2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，二者是不同的概念，不可混淆．2．一元二次方程的解法注意事项：解一元二次方程常见的思维误区是忽略几个关键：用因式分解法解方程的关键是先使方程的右边为0；用公式法解方程的关键是先把一元二次方程化为一般形式，正确写出a、b、c的值；用直接开平方法解方程的关键是先把方程化为(mx-n) 2=h的形式；用配方法解方程的关键是先把二次项系数化为1，再把方程的两边都加上一次项系数一半的平方.解具体的一元二次方程时，要分析方程的特征，灵活选择方法．公式法是解一元二次方程的通法，而配方法又是公式法的基础（公式法是直接利用了配方法的结论）．分解因式法可解某些特殊形式的一元二次方程．掌握各种方法的基本思想是正确解方程的根本．一般说来，先特殊后一般，即先考虑分解因式法，后考虑公式法．没有特别说明，一般不用配方法．4．一元二次方程的是实际应用方程是解决实际问题的有效模型和工具，解方程的技能训练要与实际问题相联系，在解决问题的过程中体会解方程的技巧，理解方程的解的含义．利用方程解决实际问题的关键是找出问题中的等量关系，找出题目中的已知量与未知量，分析已知量与未知量的关系，再通过等量关系，列出方程，求解方程，并能根据方程的解和具体问题的实际意义，检验解的合理性．列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答．审：读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的等量关系；设：设元，也就是设未知数；列：列方程，这是非常重要的关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等关系，然后列代数式表示相等关系中的各个量，就得到含有未知数的等式，即方程；解：解方程，求出未知数的值；验：检验方程的解能否保证实际问题有意义；答：写出答语．相等关系的寻找应从以下几方面入手：①分清本题属于哪一类型的应用题，如行程问题，则其基本数量关系应明确（v t s=）．②注意总结各类应用题中常用的等量关系．如工作量（工程）问题．常常是以工作量为基础得到相等关系（如各部分工作量之和等于整体1等）．③注意语言与代数式之间的转化．题目中多数条件是通过语言给出的，我们要善于将这些语言转化为我们列方程所需要的代数式．④从语言叙述中寻找相等关系．如甲比乙大5应理解为“甲=乙＋5”等．⑤在寻找相等关系时，还应从基本的生活常识中得出相等关系．总之，找出相等关系的关键是审题，审题是列方程的基础，找相等关系是列方程解应用题的关键．【易错点】一、忽视一元二次方程定义中的条件例 1 关于x的一元二次方程（01)122=-+++axxa的一个根为0，则a=_______.错解：∵0是一元二次方程的根，∴将0=x代入方程得,012=-a∴1±=a。
数学人教九年级上册(2014年新编)第二十一章 一元二次方程(章末总结)
相等
2)当p＝0时，根据平方根的意义，方程有两个________________的实数
x1＝x2＝−
根______________________；
3)当p＜0时，因为对于任意实数x，都有(mx＋n)2 ____0，所以方程
≥
无
_______实数根。
01
基础巩固（配方法）
完全平方
将方程通过配成____________形式来解一元二次方程的方法，叫
（韦达定理）
应用
x1 x2
b
a
x1 x2
c
a
01
基础巩固（利用一元二次方程解决实际问题）
利用一元二次方程解决实际问题：
传染源
总数
1）传播问题：明确每轮传播中的___________个数，以及这一轮被传染的__________．
2) 增长率问题：
①如果增长率问题中的基数为a，平均增长率为x，则第一次增长后的数量为
降次
做配方法。配方是为了___________，把一个一元二次方程转化成
两个
______一元一次方程来解。
用配方法解一元二次方程的关键：将一元二次方程配成完全平方形式。
(若方程二次项系数为1时，方程两边加 一次项系数一半的平方
)
01
基础巩固(公式法)
判别式概念：一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）根的判别式。
2
a(1＋x)
a(1＋x)
____________，第二次增长后的数量为____________．
②如果下降率问题中的基数为a，平均下降率为x，则第一次下降后的数量为
a(1－x)
初三数学上册(人教版)第二十一章一元二次方程21.7知识点总结含同步练习及答案
描述：例题：初三数学上册(人教版)知识点总结含同步练习题及答案第二十一章 一元二次方程 21.7 公共根（补充）一、学习任务1. 理解公共根的概念，已知几个方程有公共根会求方程的系数．二、知识清单公共根三、知识讲解1.公共根解一元二次方程公共根问题的一般步骤：① 设公共根为 ，则 同时满足这两个一元二次方程；② 用加减法消去 的项，求出公共根或公共根的有关表达式；③ 把共公根代入原方程中的任何一个方程，就可以求出字母系数的值或字母系数之间的关系式．四、课后作业m m m 2若两个关于 的方程 与 只有一个公共的实数根，求 的值．解：设方程的公共的实数根为 ，则两式相减得解得将 带入方程得 ．x +x +a =0x 2+ax +1=0x 2a m {+m +a =0,m 2+am +1=0．m 2(a −1)m +1−a =0．m =1．m =1a =−2答案：1. 试求满足方程 与 有公共根的所有的 值及所有公共根和所有相异根．不妨设两个方程的公共根为 ，则有两式相减可得即当 时，两个方程均为此时有公共根 和 ，无相异实根．当 时，，两个方程为所以 的根为 ，．的根为 ，．此时公共根为 ，相异根为 和 ．−kx −7=0x 2−6x −(k +1)=0x 2k x 0{−k −7=0,x 02x 0−6−(k +1)=0.x 02x 0⋯⋯①⋯⋯②(6−k )+(k +1)−7=0,x 0(6−k )(−1)=0.x 0k =6−6x −7=0,x 27−1=1x 0k =−6+6x −7=0,−6x +5=0.x 2x 2+6x −7=0x 2=−7x 1=1x 2−6x +5=0x 2=5x 1=1x 21−75答案：2. 为何值时，使得一元二次方程 ， 有相同的根，并求两个方程的相同根．不妨设 是这两个方程相同的根，由方程根的定义有① ②有即所以 或 ．当 时，两个方程都变为解得k +kx −1=0x 2+x +(k −2)=0x 2a {+ka −1=0,a 2+a +(k −2)=0.a 2⋯⋯①⋯⋯②−ka −1−a −(k −2)=0,(k −1)(a −1)=0.k =1a =1k =1+x −1=0.x2。
【初三数学】大连市九年级数学上(人教版)第21章一元二次方程单元小结及答案
人教版九年级数学（上）第21章《一元二次方程》单元检测题（word 版有答案）一、选择题（每小题3分，共30分）1．关于x 的方程(a －1)x 2＋x －2＝0是一元二次方程，则a 满足（ ）A ．a ≠1B ．a ≠－1C ．a ≠0D ．为任意实数2．用公式法解一元二次方程3x 2－2x ＋3＝0时，首先要确定a 、b 、c 的值，下列叙述正确的是（ ）A ．a ＝3，b ＝2，c ＝3B ．a ＝－3，b ＝2，c ＝3C ．a ＝3，b ＝－2，c ＝3D ．a ＝3，b ＝2，c ＝－3 3．一元二次方程x 2－4＝0的根为（ ）A ．x ＝2B ．x ＝－2C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x ＝44．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋a 2－1＝0的一个根是0，则a 的值为（ ）A ．－1B ．1C ．1或－1D ．215．某企业2017年的产值是360万元，要使209年的产值达到490万元，设该企业这两年的平均增长率为x ，根据题意列方程，则下列方程正确的是（ ）A ．360x 2＝490 B ．360(1＋x )2＝490C ．490(1＋x )2＝360D ．360(1－x )2＝4906．要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个 7．一个面积为120 m 2的矩形苗圃，它的长比宽多2 m ，苗圃的长是（ ）A ．10 mB ．12 mC ．13 mD ．14 m 8．若M ＝2x 2－12x ＋15，N ＝x 2－8x ＋11，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M ≤NB ．M ＞NC ．M ≥ND ．M ＜N9．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中，平均一个人传染的人数 为（ ）A ．8人B ．9人C ．10人D ．11人10．定义[a ，b ，c ]为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的特征数，下面给出特征数为[2m ，1－m ，－1－m ]的方程的一些结论：①m ＝1时，方程的根为±1；②若方程的两根互为倒数，则m ＝31 ；③无论m 为何值，方程总有两个实数根；④无论m 为何值，方程总有一个根等于1，其中正确有（ ）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④二、填空题（每小题3分，共18分） 11．一元二次方程x 2＝9的解是 ．12．若方程3x 2－5x －2＝0有一根是a ，则6a 2－10a 的值是 ．13．已知关于x 的一元二次方程x 2＋bx ＋b －1＝0有两个相等的实数根，则b 的值是 ． 14．现有一块长80 cm 、宽60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为x cm 的小正方形，做成一个底面积为1500 cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 ．15．已知方程x 2－4x －3＝0的两根为m ，n ，则m 2＋mn ＋n 2＝ ．16．如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的．如果AB ＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，则小矩形的长为 ． 三、解答题（共8题，共72分） 17．（本题8分）解方程：x 2＋3x ＝0．18．（本题8分）已知x 1、x 2是方程2x 2＋3x －4＝0的两个根，不解方程． （1）求x 1＋x 2＋x 1x 2的值； （2）求2111x x的值．19．（本题8分）已知x 的方程x 2－(k ＋1)x －6＝0的根为2，求另一根及k 的值．20．（本题8分）有两人患了流感，经过两轮传染后共有242人患了流感，每轮传染中平均一个人传染几个人？21．（本题8分）已知m ，n 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，求m 2－mn ＋3m ＋n 的值．22．（本题8分）如图，A 、B 、C 、D 为矩形的四个顶点，AB ＝16 cm ，AD＝6cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，点Q以2 cm/s的速度向点D移动，当点P运动到点B停止时，点Q也随之停止运动，问P、Q两点从出发经过几秒时，点P、Q间的距离是10cm？23．（本题10分）如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设长方形地面，请观察下列图形，并解答有关问题：（1）在第n个图中，第一横行共_____块瓷砖，第一竖列共有_____块瓷砖，铺设地面所用瓷砖的总块数为__________________（用含n的代数式表示）；（2）上述铺设方案，铺一块这样的长方形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；（3）黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（2）中，共需要花多少钱购买瓷砖？（4）是否存在黑瓷砖与白瓷砖块数相等的情形？请通过计算加以说明．24．（本题12分）在平面直角坐标系中，已知A(a，a2)、B(b，b2)两点，其中a＜b，P、A、B三点共线．（1）若点A、B在直线y＝5x－6上，求A、B的坐标；（2）若点P的坐标为(－2，2)，且P A＝AB，求点A的坐标；（3）求证：对于直线y＝－2x－2上任意给定的一点P，总能找到点A，使P A＝AB成立．1-5ACDAB 6-10BBCAB11.x1＝3，x2＝－312.－413.2_14.x2－70x＋825＝015.1916.617.解：x1＝0，x2＝－3．18.解：（1）x1＋x2＝－32；x1x2＝－2，则x1＋x2＋x1x2＝－3.5；（2）34．19.解：另一根为a，则2a＝－6，2＋a＝k＋1，∴a＝－3，k＝－2．20.解：10．21.解：m2＋2m－5＝0，m＋n＝－2，mn＝－5，∴原式＝5－2m－mn＋3m＋n＝5＋m＋n－mn＝8．22.解：设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．(16－2x－3x)2＋62＝102．(16－5x)2＝64，16－5x＝±8，x1＝1.6，x2＝4.8．23.解：（1）n＋3，n＋2，(n＋3)(n＋2)；（2）(n＋3)(n＋2)＝506，解得n＝20或n＝－25（舍）；（3）420×3＋86×4＝1604元；n ( n ＋1)＝2(2n ＋3)，解得n《一元二次方程》单元检测试题（含答案）一、选一选，慧眼识金（每小题3分，共24分）1．在一元二次方程265x x x -=+中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）.A ．1、－1、5B ．1、6、5C ．1、－7、5D ．1、－7、－5 2．用配方法解方程22x x +=，方程的两边应同时（ ）.A ．加上14B ．加上12C ．减去14D ．减去123．方程(x －5)( x －6)=x －5的解是（ ）A ．x =5B ．x =5或x =6C ．x =7D ．x =5或x =74．餐桌桌面是长160cm ，宽为100cm 的长方形，妈妈准备设计一块桌布，面积是桌面的2倍，且使四周垂下的边等宽，小刚设四周垂下的边宽为xcm ，则应列得的方程为（ ）. A ．（160＋x ）（100＋x ）=160×100×2 B ．（160＋2x ）（100＋2x ）=160×100×2 C ．（160＋x ）（100＋x ）=160×100 D ．（160＋2x ）（100＋2x ）=160×1005．电流通过导线会产生热量，设电流强度为I （安培），电阻为R （欧姆），1秒产生的热量为Q （卡），则有Q=0.24I 2R ，现在已知电阻为0.5欧姆的导线，1秒间产生1.08卡的热量，则该导线的电流是（ ）.A ．2安培B ．3安培C ． 6安培D ．9安培 6．关于x 的方程20ax bx c ++=（a ≠0，b ≠0）有一根为－1，则ba c+的值为（ ） A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－27．关于x 的一元二次方程x 2(23)20m x m --+-=根的情况是（ ）.A ．有两个相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个不相等的实数根D ．根的情况无法确定8．在解二次项系数为1的一元二次方程时，粗心的甲、乙两位同学解同一道题，甲看错了常数项，得到两根分别是4和5；乙看错了一次项系数，得到的两根分别是－3和－2，则方程是（ ）A ．2960x x ++=B ．2960x x -+=C ．2960x x +-=D ．2960x x --= 二、填一填，画龙点睛（每题3分，共18分） 9．关于x 的方程是一元二次方程，则m 的值为_______.10．若关于x 的一元二次方程20x mx n ++=有两个相等的实数根，则符合条件的一组m ，n 的实数值可以是m =_________，n =________.22(2)(3)20m m xm x --+--=11．第二象限内一点A （1x -， x 2－3），其关于x 轴的对称点为B ，已知AB=12，则点A 的坐标为__________.12．随着人们收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多地进入了普通家庭，成为居民消费新的增长点．据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为150万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达216万辆．则2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率为__________.13．黎明同学在演算某正数的平方时，将这个数的平方误写成它的2倍，使答案少了35，则这个数为__________. 14．将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d ，定义a b c dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x xx +--+6=，则x =______.三、做一做，牵手成功（共58分）15．（每小题3分，共9分）用适当方法解下列方程： （1）（x －4）2－81=0；（2）3x （x －3）=2（x －3）； （3）2216x x -=.16．（5分）已知213y x x =-+，25(1)y x =-，当x 为何值时，12y y =. 17．（6分）飞机起飞时，要先在跑道上滑行一段路程，这种运动在物理中叫做匀加速直线运动，其公式为2012s v t at =+，若某飞机在起飞前滑行了400m 的距离，其中v 0=30m/s ，a =20m/s 2，求所用的时间t .18．（7分）阅读材料：为解方程222(1)5(1)40x x ---+=，我们可以将21x -看作一个整体，然后设21x y -=，那么原方程可化为2540y y -+=……①. 解得y 1=1，y 2=4.当1y =时，211x -=，∴22x =，∴x =；当4y =时，214x -=，∴25x =，∴x =故原方程的解为1x =2x =，22x =-，4x =解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解方程x 4－x 2－6=0.19．（7分）设a 、b 、c 是△ABC 的三条边，关于x 的方程220x c a ++-=有两个相等的实数根，且方程322cx b a +=的根为0. （1）求证：△ABC 为等边三角形；（2）若a 、b 为方程230x mx m +-=的两根，求m 的值.20．（7分）在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由今年5月份的14000元/人教版九年级上册第二十一章一元二次方程单元检测（含答案）一、单选题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A ．213x x -=B ．2 4x =C ．2310x y ++=D ．31x x +=2．关于x 的方程240x mx --=的一个根是13x =，则它的另一个根2x 是（ ） A ．3B ．43C ．43-D ．533．关于 的一元二次方程 有两个实数根，则 的取值范围是（ ）A ．B ．C ． 且D ． 且 4．一元二次方程配方后可化为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若m 是方程2210x x --=的根，则212m m +-的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．26．下列方程，是一元二次方程的是（ ）①234y x +=， ②22340x x -+=， ③213x x-=， ④ 20x = A ．①②B ．①②④C ．①③④D ．②④7．方程x 2=4的解是（ ）A ．x=2B ．x=﹣2C ．x 1=1，x 2=4D ．x 1=2，x 2=﹣2 8．关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥B ．1a >且5a ≠C ．1a ≥且5a ≠D ．5a ≠9．某电子产品经过连续两次降价，售价由4900元降到了3600元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是（ ） A.()2490013600x += B.()2490013600x -= C.()24900123600x -=D.()2360014900x -=10．方程2230x x --=的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.有且只有一个实数根D.没有实数根11．已知关于x 的一元二次方程230x x a ++=有一个根是2-，那么a 的值是（ ） A.2-B.1-C.2D.1012．为迎接端午促销活动，某服装店从6月份开始对春装进行“折上折“(两次打折数相同)优惠活动，已知一件原价500元的春装，优惠后实际仅需320元，设该店春装原本打x 折，则有A.500(12)320x -=B.2500(1)320x -=C.250032010x ⎛⎫= ⎪⎝⎭D.2500132010x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭二、填空题 13．已人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(8)一、精心选一选！（每题3分，共30分）1．关于x 的一元二次方程(m +1)21m x++4x +2＝0的解为（ ）A.x 1＝1，x 2＝－1B. x 1＝x 2＝－1C. x 1＝x 2＝1D.无解2．用配方法解方程x 2－4x +2＝0，下列配方正确的是（ ）A.(x －2)2＝2B. (x +2)2＝2C. (x －2)2＝－2D. (x －2)2＝6 3．一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（ ） A ．x ＝0 B ．x 1＝0，x 2＝13 C ．x 1＝0，x 2＝3 D ．x ＝134．已知关于x 的一元二次方程x 2－m ＝2x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A ． m ＞－1 B ． m ＜－2 C ．m ≥0 D ．m ＜05． 一元二次方程x 2+x +2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正根 B ．有两个不相等的负根 C ．没有实数根 D ．有两个相等的实数根 6．已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 43>mB. 43≥m C. 43>m 且2≠m D. 且2≠m 7．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） Ａ.240x += Ｂ.24410x x -+= Ｃ.230x x ++= Ｄ.2210x x +-= 8．关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，则k 的值（ ） A ．0或2 B ．﹣2或2 C ．﹣2 D ．2 9．今年“十一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元．已知我市前年“五一”黄金周旅游总收入约6.25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ） Ａ．12% Ｂ．16% Ｃ．20% Ｄ．25%10．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ） A ．9（1﹣2x ）＝1 B ．9（1﹣x ）2＝1 C ．9（1+2x ）＝1 D ．9（1+x ）2＝1二、耐心填一填！（每题3分，共30分）43≥m11． 方程x 2+2x=0的解为 .12．若0x =是方程22(2)3280m x x m m -+++-=的解，则m ＝＿＿＿＿＿＿. 13．已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ．14． 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b = ，c = ．15．已知a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则a 2﹣b +2019的值是（ ）16． 已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，那么代数式2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值为 ． 17． 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-， acx x =21·．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 18． 请写出一个值k ＝________，使一元二次方程x 2－7x ＋k ＝0有两个不相等的非0实数根．19． 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 20．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m 2，设道路的宽为xm ，则根据题意，可列方程为 ．三、细心做一做！（每题8分，共40分）21．解方程：（1）2220x x +-=； （2）x 2＋3＝3(x ＋1)．22． 设23111x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等。
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》知识点小结与复习
当 a 0 时,它不是一元二次方程.
方程2ax2 -2bx+a=4x2, (1)在什么条件下此方程为一元二次方程？ (2)在什么条件下此方程为一元一次方程？
解： 原方程转化为(2a-4)x2 -2bx+a=0 当a≠2时是一元二次方程； 当a＝2,b≠0时是一元一次方程；
m=
。
3、当m
时，关于x的方程3x2－
2(3m+1)x+3m2－1=0有两个不相等的实数
根。
4、关于x的一元二次方程mx2+(2m－1)x－
2=0的根的判别式的值等于4，则m=
。
一元二次方程的根与系数的关系： （韦达定理）
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是X1 , X2 ,
那么X1+x2= -
2(a－2)x+a２－5=0有实数根，且两 根之积等于两根之和的2倍，求a的值。
【例4】已知x1,x2是关于x的方程 x2+px+q=0的两根，x1+1,x2+1是关 于x的方程x2+qx+p=0的两根，求常 数p、q的值。
拓展练习：
１、当a,c异号时,一元二次方程ax2+bx+c=0的根的
情况是
一元二次方程的解法：（公式法）
例：（3） 2x2 3x 4 0
解： a 2,b 3,c 4
b2 4ac 32 4 24
9 32 41
3 41
x 22
3 41 3 41 x1 4 , x2 4
注：当一元二次方程二次项系数不为1且
难以用因式分解时常用公式法比较简便。
b2 4ac 0,
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程知识点复习总结一元二次方程知识点复习总结1. 一元二次方程的一般形式: a ≠0时，ax 2+bx+c=0叫一元二次方程的一般形式，研究一元二次方程的有关问题时，多数习题要先化为一般形式，目的是确定一般形式中的a 、 b 、 c ；其中a 、 b,、c 可能是具体数，也可能是含待定字母或特定式子的代数式.2. 一元二次方程的解法: 一元二次方程的四种解法要求灵活运用，其中直接开平方法虽然简单，但是适用范围较小；公式法虽然适用范围大，但计算较繁，易发生计算错误；因式分解法适用范围较大，且计算简便，是首选方法；配方法使用较少.3. 一元二次方程根的判别式: 当ax 2+bx+c=0 (a ≠0)时，Δ=b 2-4ac 叫一元二次方程根的判别式.请注意以下等价命题：Δ＞0 <=> 有两个不等的实根；Δ=0 <=> 有两个相等的实根；Δ＜0 <=> 无实根；Δ≥0 <=> 有两个实根（等或不等）.4. 一元二次方程的根系关系：当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，如Δ≥0，有下列公式：.a c x x ab x x )2(a 2ac 4b b x )1(212122,1=-=+-±-=，；※ 5．当ax 2+bx+c=0 (a ≠0) 时，有以下等价命题：(以下等价关系要求会用公式 a c x x a b x x 2121=-=+，；Δ=b 2-4ac 分析，不要求背记) （1）两根互为相反数 ? a b -= 0且Δ≥0 ? b = 0且Δ≥0；（2）两根互为倒数 ?a c =1且Δ≥0 ? a = c 且Δ≥0；（3）只有一个零根 ?a c = 0且ab -≠0 ?c = 0且b ≠0；（4）有两个零根 ? ac = 0且a b -= 0 ? c = 0且b=0；（5）至少有一个零根 ?a c =0 ? c=0；（6）两根异号 ? ac ＜0 ? a 、c 异号；（7）两根异号，正根绝对值大于负根绝对值? ac ＜0且a b -＞0? a 、c 异号且a 、b 异号；（8）两根异号，负根绝对值大于正根绝对值?a c ＜0且ab -＜0? a 、c 异号且a 、b 同号；（9）有两个正根 ? ac ＞0，a b -＞0且Δ≥0 ? a 、c 同号， a 、b 异号且Δ≥0；（10）有两个负根 ? ac ＞0，a b -＜0且Δ≥0 ? a 、c 同号， a 、b 同号且Δ≥0. 6．求根法因式分解二次三项式公式：注意：当Δ＜0时，二次三项式在实数范围内不能分解.ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2) 或 ax 2+bx+c=???? ??----???? ??-+--a 2ac 4b b x a 2ac 4b b x a 22.7．求一元二次方程的公式：x 2 -（x 1+x 2）x + x 1x 2 = 0. 注意：所求出方程的系数应化为整数.8．平均增长率问题--------应用题的类型题之一（设增长率为x ）：(1) 第一年为 a , 第二年为a(1+x) , 第三年为a(1+x)2.（2）常利用以下相等关系列方程：第一年+第二年+第三年=总和.9．分式方程的解法：.0)1(≠），值（或原方程的每个分母验增根代入最简公分母公分母两边同乘最简去分母法.0.2≠分母，值验增根代入原方程每个换元凑元，设元，换元法）（ 10. 二元二次方程组的解法：.0)3(0)2(0)4(0)1(0)4(0)2(0)3(0)1(0)4)(3(0)2)(1()3(;02;1?===========------分组为应注意：的方程）（）（中含有能分解为方程组）分解降次法（程中含有一个二元一次方方程组法）代入消元（※11．几个常见转化：；；或；；；<-+-=--≥-+=-=-+-=+-+=+-+=--+=+)x x (x x 4)x x ()x x ()x x (x x 4)x x ()x x (x x 2)x 1x (x 1x 2)x 1x (x 1 x x x 4)x x ()x x (x x 2)x x (x x )1(212122122121212212212122222221221221212212221=--=-=-?=-4x x .22x x 2x x .12x x )2(221212121）两边平方为（和分类为；-==?==.,)2(34x x 34x x )1()916x x (34x x )3(2121222121因为增加次数两边平方一般不用和分类为或； .0x ,0x :.1x x Bsin A cos ,1A cos A sin ,90B A B sin x ,A sin x )4(2122212221>>=+==+?=∠+∠==注意隐含条件可推出由公式时且如.0x ,0x :.x ,x ),,(,x ,x )5(212121>>注意隐含条件的关系式推导出含有公式等式面积例如几何定理，相似形系可利用图形中的相等关时若为几何图形中线段长.k ,)6(”辅助未知元“引入些线段的比，并且可把它们转化为某比例式、等积式等条件角三角形、三角函数、如题目中给出特殊的直.,;,)7(知数的关系但总可求出任何两个未般求不出未知数的值少一个时，一方程个数比未知数个数一般可求出未知数的值数时方程个数等于未知数个。
【5套打包】大连市初三九年级数学上(人教版)第21章《一元二次方程》单元测试及答案
人教版九年级上册数学第二十一章：一元二次方程单元测试题（含分析）一．选择题（共10 小题）1．对于 x 的方程（ m ﹣ 1 ）x 2+2mx ﹣3＝ 0 是一元二次方程，则m 的取值是（）A ．随意实数B ．m ≠1C ． m ≠﹣ 1D ． m ＞ 12．一元二次方程x 2+5＝﹣ 4x 的一次项的系数是（）A ．4B ．﹣ 4C ． 1D ． 53．若对于 x 的一元二次方程（a+1 ） x 2+x+a 2﹣ 1＝ 0 的一个根是 0，则 a 的值为（）A ．1B ．﹣ 1C ．± 1D ． 04．方程（ x+1） 2＝ 0 的根是（）A ．x 1＝ x 2＝ 1B ．x 1＝ x 2＝﹣ 1C ． x 1＝﹣ 1， x 2＝ 1D ．无实根2）5．方程 x +2x+1＝ 0 的根是（A ．x 1＝ x 2＝ 1B ．x 1＝ x 2＝﹣ 1C ． x 1＝﹣ 1， x 2＝ 1D ．无实根6．一元二次方程2的根是（）x +x ﹣1＝ 0A ．x ＝ 1﹣B ．x ＝C ． x ＝﹣ 1+D ． x ＝2的根是（）7．方程 x ＝ 4xA ．x ＝ 4B ．x ＝ 0C ． x 1＝ 0，x 2＝ 4D ． x 1＝ 0，x 2＝﹣ 42）8．假如（ x+2y ） +3 （ x+2y ）﹣ 4＝0，那么 x+2y 的值为（A ．1B ．﹣ 4C ．1 或﹣ 4D ．﹣1或 39．已知对于 x 的一元二次方程x 2+（ 2k+1） x+k 2＝ 0① 有两个不相等的实数根．则k 的取值范围为（）A ．k ＞﹣B ．k ＞ 4C ． k ＜﹣ 1D ． k ＜ 410．某机械厂七月份生产部件 50 万个，第三季度生产部件 182 万个．若该厂八、九月份平均每个月生产部件的增添率均为 x ，则下边所列方程正确的选项是（ ）A ．50（ 1+x ） 2＝ 182B ． 50+50（1+x ） 2＝ 182C ． 50+50（1+x ） +50（ 1+2x ）＝ 182D ．50+50 （1+x ） +50 （1+x ） 2＝ 182二．填空题（共8 小题）11．已知x ＝﹣ 1 是方程x 2+ax+3﹣ a ＝ 0 的一个根，则a 的值是．12．假如对于 x 的方程（ m ﹣ 1）x 3﹣ mx 2+2＝ 0 是一元二次方程， 那么此方程的根是．13．已知对于 x 的一元二次方程 20 有实数根，则 m 的取值范围是 ． mx +x+1 ＝ 14．将一元二次方程 x 2﹣ 6x+10 ＝0 化成（ x ﹣ a ） 2＝ b 的形式，则 b 的值为．15．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡 110 张，则可列方程为．16．我市计划用三年时间对全市学校的设备和设备进行全面改造，2015 年市政府已投资 5亿元人民币，若每年投资的增添率相同， 2017 年投资 7.2亿元人民币，那么每年投资的增添率为．17．已知 x 1，x 2 是方程 x 2﹣ 3x+1 ＝ 0 的两个实数根，则＝．18．已知 x ＝2 是一元二次方程 2的一个根，则方程的另一个根是．x +mx+6＝ 0 三．解答题（共 7 小题）19．解方程：（ 1） 2（ x ﹣ 3）＝ 3x （x ﹣ 3）（ 2） 2x 2﹣ x ﹣3＝ 0．20．能否存在某个实数 m ，使得方程 x 2+mx+2＝ 0 和 x 2+2x+m ＝ 0 有且只有一个公共的实根？假如存在，求出这个实数 m 及双方程的公共实根；假如不存在，请说明原因．21．对于 x 的方程（ m+1 ）x |m ﹣ 1|+mx ﹣ 1＝0 是一元二次方程，求 m 的值．22．已知：对于 x 的一元二次方程 x 2﹣（ k+3 ） x+2 k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根小于0，求 k 的取值范围．23．汽车家产的发展，有效促使我国现代化建设．某汽车销售企业2015 年盈余 1500 万元，到 2017 年盈余 2160 万元，且从 2015 年到 2017 年，每年盈余的年增添率相同．（ 1）求均匀年增添率？（2）若该企业盈余的年增添率持续保持不变，估计2018 年盈余多少万元？24．某镇为打造“绿色小镇”，投入资本进行河流治污．已知2016 年投入资本 1000 万元，2018 年投入资本 1210 万元．（1）求该镇投入资本从2016 年至 2018 年的年均匀增添率；（2）若2019 年投入资本保持前两年的年均匀增添率不变，求该镇2019年估计投入资本多少万元？25．为了让学生亲自感觉合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了以下收费标准：（1）假如人数不超出30 人，人均旅行花费为100 元；（ 2）假如超出30 人，则每超出1 人，人均旅行花费降低2 元，但人均旅行花费不可以低于80 元．该班实质共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？2019 年春九年级上册数学《第二十一章一元二次方程》单元测试题参照答案与试题分析一．选择题（共10 小题）1．对于 x 的方程（ m ﹣ 1）x 2+2mx ﹣3＝ 0 是一元二次方程，则 m 的取值是（A ．随意实数B ．m ≠1C ． m ≠﹣ 1D ． m ＞ 1【剖析】 依据一元二次方程的定义求解．一元二次方程一定知足二次项系数不为）0，所以 m﹣ 1≠ 0，即可求得 m 的值．【解答】 解：依据一元二次方程的定义得：m ﹣ 1≠ 0，即 m ≠ 1，应选： B ．【评论】 本题考察一元二次方程，一元二次方程一定知足三个条件：（ 1）未知数的最高次数是 2；（ 2）二次项系数不为 0．（ 3）整式方程．要特别注意二次项系数a ≠ 0 这一条件，当 a ＝ 0 时，上边的方程就不是一元二次方程了．当 b ＝ 0 或 c ＝ 0 时，上边的方程在 a ≠ 0 的条件下，还是一元二次方程，只可是是不完整的一元二次方程．2．一元二次方程 x 2+5＝﹣ 4x 的一次项的系数是（）A ．4B ．﹣ 4C ．1D ．5【剖析】 方程整理为一般形式，找出一次项系数即可．【解答】 解：方程整理得： x 2+4x+5＝ 0，则一次项系数为4．应选：A ．【评论】 本题考察了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c ＝ 0（ a ，b ，c 是常数且a ≠0）特别要注意 a ≠0 的条件．这是在做题过程中简单忽视的知识点．在一般形式中ax 2 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．此中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．3．若对于x 的一元二次方程（a+1 ） x 2+x+a 2﹣ 1＝ 0 的一个根是0，则 a 的值为（）A ．1B ．﹣ 1C ．± 1D ． 0【剖析】 把x ＝ 0 代入方程（a+1） x 2+x+a 2﹣ 1＝ 0 得a 2﹣ 1＝ 0，而后解对于 a 的方程后利用一元二次方程的定义确立知足条件的a 的值．【解答】 解：把x ＝ 0 代入方程（a+1 ） x 2+x+a 2﹣ 1＝ 0 得a 2 ﹣ 1＝ 0，解得a 1＝ 1， a 2＝﹣ 1，而 a+1 ≠ 0，所以 a ＝ 1．应选： A ．【评论】 本题考察了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．4．方程（ x+1） 2＝ 0 的根是（）A ．x 1＝ x 2＝ 1B ．x 1＝ x 2＝﹣ 1C ． x 1＝﹣ 1， x 2＝ 1D ．无实根【剖析】 依据一元二次方程的解法即可求出答案．【解答】 解：因为（x+1） 2＝ 0， ∴x+1＝ 0，∴x 1＝ x 2＝﹣ 1 应选： B ．【评论】 本题考察一元二次方程的解法，解题的重点是娴熟运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．2的根是（）5．方程 x +2x+1＝ 0A ．x 1＝ x 2＝ 1B ．x 1＝ x 2＝﹣ 1C ． x 1＝﹣ 1， x 2＝ 1D ．无实根【剖析】 由原方程得出（ x+1 ）2＝ 0，开方即可得．2【解答】 解：∵ x+2 x+1＝ 0，∴（ x+1） 2＝0， 则 x+1＝ 0，解得： x 1＝ x 2＝﹣ 1，应选： B ．【评论】 本题主要考察解一元二次方程， 解题的重点是娴熟掌握完整平方公式及配方法解一元二次方程．6．一元二次方程x 2+x ﹣1＝ 0 的根是（）A ．x ＝ 1﹣B ．x ＝C ． x ＝﹣ 1+D ． x ＝【剖析】 先计算鉴别式的值，而后依据鉴别式的意义可判断方程根的状况．【解答】 解：∵△＝ 12﹣ 4×（﹣ 1）＝ 5＞0，∴方程有两个不相等的两个实数根，即 x ＝．应选： D ．【评论】 本题考察了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：① a ≠ 0； ② b 2﹣ 4ac ≥0．7．方程x 2＝ 4x 的根是（）A ．x ＝ 4B ．x ＝ 0C ． x 1＝ 0，x 2＝ 4D ． x 1＝ 0，x 2＝﹣ 4【剖析】 原式利用因式分解法求出解即可．【解答】 解：方程整理得： x （ x ﹣ 4）＝ 0，可得 x ＝ 0 或 x ﹣ 4＝ 0，解得： x 1＝ 0， x 2＝ 4，应选： C ．【评论】本题考察了一元二次方程﹣因式分解法，娴熟掌握因式分解的方法是解本题的重点．2（ x+2y ）﹣ 4 ＝0，那么 x+2y 的值为（）8．假如（ x+2y ） +3A ．1B ．﹣ 4C ．1 或﹣ 4D ．﹣1或 3【剖析】 在本题中有两个未知数，且经过察看最后结果，可采纳换元法，把x+2y 当作一个整体进行考虑．【解答】 解：设 x+2y ＝a ，则原方程变形为 a 2+3a ﹣4＝ 0，解得 a ＝﹣ 4 或 a ＝1．应选 C ．【评论】 本题主假如把x+2y 当作一个整体，把求代数式的值的问题转变成解对于这个整体的方程，利用求根公式求解．22k 的取值9．已知对于 x 的一元二次方程 x +（ 2k+1） x+k ＝ 0① 有两个不相等的实数根．则范围为（ ）A ．k ＞﹣B ．k ＞ 4C ． k ＜﹣ 1D ． k ＜ 4【剖析】 依据方程的系数联合根的鉴别式△＞0，即可得出对于k 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】 解：∵对于 x 的一元二次方程x 2+（ 2k+1）x+k 2＝ 0 有两个不相等的实数根，∴△＝（ 2k+1） 2﹣ 4×1× k 2＝ 4k+1＞0，∴k ＞﹣．应选： A ．【评论】 本题考察了根的鉴别式，切记“当△＞0 时，方程有两个不相等的实数根”是解题的重点．10．某机械厂七月份生产部件均每个月生产部件的增添率均为50 万个，第三季度生产部件182 万个．若该厂八、九月份平x ，则下边所列方程正确的选项是（）A ．50（ 1+x ） 2＝ 182B ． 50+50（1+x ） 2＝ 182C ． 50+50（1+x ） +50（ 1+2x ）＝ 182D ．50+50 （1+x ） +50 （1+x ） 2＝ 182【剖析】 设该厂八、九月份均匀每个月生产部件的增添率均为x ，依据该机械厂七月份及整个第三季度生产部件的数目，即可得出对于x 的一元二次方程，本题得解．【解答】 解：设该厂八、九月份均匀每个月生产部件的增添率均为x ，依据题意得： 50+50 （1+x ） +50（ 1+x ） 2＝ 182． 应选： D ．【评论】 本题考察了由实质问题抽象出一元二次方程，程是解题的重点．二．填空题（共 8 小题）找准等量关系， 正确列出一元二次方11．已知x ＝﹣ 1 是方程x 2+ax+3﹣ a ＝ 0 的一个根，则a 的值是2 ．【剖析】 把 x ＝﹣ 1 代入方程 x 2+ax+3﹣ a ＝ 0 获取对于 a 的一元一次方程，解之即可．2【解答】 解：把 x ＝﹣ 1 代入方程 x +ax+3﹣a ＝ 0 得：1﹣ a+3﹣ a ＝0， 解得： a ＝ 2， 故答案为： 2．【评论】 本题考察了一元二次方程的解，正确掌握代入法是解题的重点．12．假如对于 x 的方程（ m ﹣1）x 3﹣ mx 2+2＝ 0 是一元二次方程， 那么此方程的根是．【剖析】 直接利用一元二次方程的定义得出 m 的取值范围，再代入方程解方程即可．【解答】 解：由题意得： ，∴m ＝ 1，原方程变成：﹣ x 2+2 ＝0，x ＝，故答案为：．【评论】 本题主要考察了一元二次方程的定义，正确掌握二次项系数不为零是解题重点．13．已知对于 x 的一元二次方程mx 2+x+1＝0 有实数根，则 m 的取值范围是 m ≤ 且 m ≠ 0 ．【剖析】 因为对于 x 的一元二次方程有实数根，计算根的鉴别式，得对于m 的不等式，求解即可．【解答】 解：∵对于 x 的一元二次方程 mx 2+x+1＝0 有实数根，则△＝ 1﹣ 4m ≥ 0，且 m ≠ 0．解得 m ≤且 m ≠ 0．故答案为： m ≤且 m ≠ 0．【评论】本题考察了根的鉴别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义． 题目难度不大，解题过程中简单忽视 m ≠ 0 条件而犯错．14．将一元二次方程 x 2﹣ 6x+10 ＝0 化成（ x ﹣ a ） 2＝ b 的形式，则 b 的值为 ﹣ 1 ．【剖析】 利用配方法获取（ x ﹣ 3） 2＝﹣ 1，从而获取 b 的值．【解答】 解： x 2﹣ 6x+10＝ 0，x 2﹣6x ＝﹣ 10，x 2﹣6x+9 ＝﹣ 1，（ x ﹣ 3） 2＝﹣ 1，所以 b 的值为﹣ 1．【评论】 本题考察认识一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m ） 2＝ n 的形式，再利用直接开平方法求解，这类解一元二次方程的方法叫配方法．15．圣诞节时，某班一个小组有x 人，他们每两人之间互送贺卡一张，已知全组共送贺卡110 张，则可列方程为x （ x ﹣ 1）＝ 110 ．【剖析】 设这个小组有 x 人，要求他们之间互送贺卡，即除自己外，每一个人都要求送其余的人一张贺卡，即每一个人要送x ﹣ 1 张贺卡，所以全组共送 x （ x ﹣1）张，又知全组共送贺卡 110 张，由送贺卡数相等为等量关系，列出方程即可．【解答】 解：设这个小组有 x 人，则每人应送出x ﹣1 张贺卡，由题意得：x （x ﹣ 1）＝ 110，故答案为： x （ x ﹣ 1）＝ 110．【评论】 本题考察由实质问题抽象出一元二次方程的知识，重点在于找出等量关系，列出方程．16．我市计划用三年时间对全市学校的设备和设备进行全面改造，2015 年市政府已投资 5亿元人民币，若每年投资的增添率相同， 2017 年投资 7.2 亿元人民币，那么每年投资的增添率为 20% ．【剖析】 设每年投资的增添率为x ，依据 2015 年及 2017 年市政府投资的钱数，即可得出关于 x 的一元二次方程，解之取其正当即可得出结论．【解答】 解：设每年投资的增添率为 x ，依据题意得： 5（ 1+x ）2＝ 7.2，解得： x 1＝ 0.2＝ 20% ， x 2＝﹣ 2.2（不合题意，舍去）．故答案为： 20%．【评论】 本题考察了一元二次方程的应用，找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的重点．17．已知 x 1，x 2 是方程 x 2﹣ 3x+1 ＝ 0 的两个实数根，则＝ 3 ．【剖析】 第一依据根与系数的关系求出x +x ＝ 3，x x ＝1 ，而后将变形，再将 x +x121 21 2＝ 3， x 1 x 2 ＝1 代入即可．【解答】 解：∵ x 1， x 2 是方程 x 2﹣ 3x+1＝ 0 的两个实数根，依据根与系数的关系有：x 1+x 2＝ 3， x 1x 2＝ 1，所以＝＝3．故答案为： 3．【评论】 本题主要考察根与系数的关系，重点是娴熟运用．18．已知x ＝2 是一元二次方程x 2+mx+6＝ 0 的一个根，则方程的另一个根是x ＝ 3．【剖析】 设方程的另一根为a ，由根与系数的关系可获取a 的方程，可求得 a 的值，即可求得方程的另一根．【解答】 解：设方程的另一根为a ，∵x ＝ 2 是一元二次方程x 2+mx+6＝ 0 的一个根，∴ 2a ＝ 6，解得 a ＝ 3，即方程的另一个根是 x ＝ 3，故答案为： x ＝ 3．【评论】 本题主要考察一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于﹣、两根之积等于是解题的重点．三．解答题（共 7 小题）19．解方程：（ 1） 2（ x ﹣ 3）＝ 3x （x ﹣ 3）（ 2） 2x 2﹣ x ﹣3＝ 0．【剖析】 （1）先移项获取 2（x ﹣ 3）﹣ 3x （ x ﹣ 3）＝ 0，而后利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程．【解答】 解：（ 1） 2（ x ﹣ 3）﹣ 3x （ x ﹣ 3）＝ 0，（x ﹣ 3）（ 2﹣ 3x ）＝ 0，x ﹣3＝ 0 或 2﹣ 3x ＝ 0，所以 x 1＝ 3， x 2 ＝ ；（ 2）（ 2x ﹣ 3）（ x+1）＝ 0，2x ﹣ 3＝ 0 或 x+1＝ 0，所以x 1＝， x 2＝﹣ 1．【评论】 本题考察认识一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这类方法简易易用，是解一元二次方程最常用的方法．2220．能否存在某个实数 m ，使得方程 x +mx+2＝ 0 和 x +2x+m ＝ 0 有且只有一个公共的实根？假如存在，求出这个实数m 及双方程的公共实根；假如不存在，请说明原因．【剖析】 设双方程的公共根为a ，而后将双方程相减，消去二次项，求出公共根和m 的值．【解答】 解：假定存在切合条件的实数m ，且设这两个方程的公共实数根为a ，则①﹣②，得a （ m ﹣2） +（ 2﹣ m ）＝ 0（m ﹣ 2）（ a ﹣ 1）＝ 0∴m ＝ 2 或 a ＝ 1．当 m ＝ 2 时，已知两个方程是同一个方程，且没有实数根，故m ＝ 2 舍去；当 a ＝ 1 时，代入 ② 得 m ＝﹣ 3，把 m ＝﹣ 3 代入已知方程，求出公共根为x ＝ 1．故实数 m ＝﹣ 3，双方程的公共根为x ＝ 1．【评论】 本题考察的是两个一元二次方程的公共根的问题，一般状况是将双方程相减求出公共根，再求出此中的字母系数．21．对于 x 的方程（ m+1 ）x |m ﹣ 1|+mx ﹣ 1＝0 是一元二次方程，求m 的值．【剖析】 依据一元二次方程的定义， 一定知足两个条件： （ 1）未知数的最高次数是 2；（ 2）二次项系数不为 0，据此即可求解．【解答】 解：依据题意得， |m ﹣ 1|＝ 2，且 解得： m ＝ 3，答： m 的值为 3．m+1≠ 0，【评论】本题主要考察一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx+c ＝ 0（ a ，b ，c 是常数且a ≠ 0），特别要注意a ≠ 0 的条件．22．已知：对于x 的一元二次方程x 2﹣（ k+3 ）x+2 k+2＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根小于0，求 k 的取值范围．【剖析】 （ 1）依据方程的系数联合根的鉴别式可得出△＝（k ﹣ 1） 2≥ 0，由此可证出方程总有两个实数根；（2）利用因式分解法解一元二次方程可得出x 的值，联合方程有一个根小于0，即可得出对于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围．【解答】 （1）证明：∵△＝ [ ﹣（ k+3） ] 2﹣ 4×1×（ 2k+2）＝ k 2﹣ 2k+1 ＝（ k ﹣1） 2≥ 0，∴方程总有两个实数根；（ 2）解：∵ x 2﹣（ k+3 ）x+2k+2＝ 0，即（ x ﹣ 2） [x ﹣（ k+1） ] ＝0，∴ x 1＝ 2， x 2＝ k+1．∵方程有一个根小于 0，∴ k +1＜ 0，∴ k ＜﹣ 1．【评论】 本题考察了根的鉴别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的重点是：（1）牢记“当△≥ 0 时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法求出一元二次方程的根．23．汽车家产的发展，有效促使我国现代化建设．某汽车销售企业2015 年盈余 1500 万元，到 2017 年盈余 2160 万元，且从 2015 年到 2017 年，每年盈余的年增添率相同．（ 1）求均匀年增添率？（2）若该企业盈余的年增添率持续保持不变，估计2018 年盈余多少万元？【剖析】 （1）设均匀年增添率为x ，依据题意列出方程，求出方程的解即可获取结果；（ 2）由求出的年增添率确立出所求即可．【解答】 解：（ 1）设均匀年增添率为 x ，依据题意得： 1500 （1+x ） 2＝ 2160，整理得：（ 1+x ） 2＝ 1.44，开方得： 1+x ＝± 1.2，解得： x ＝ 0.2＝ 20%或 x ＝﹣ 2.2（舍去），则均匀年增添率为20%；（ 2）依据题意得： 2160×（ 1+20% ）＝ 2592（万元），则 2018 年盈余 2592 万元．【评论】 本题考察了一元二次方程的应用，弄清题意是解本题的重点．24．某镇为打造“绿色小镇”，投入资本进行河流治污．已知2016 年投入资本 1000 万元，2018年投入资本 1210万元．（1）求该镇投入资本从2016 年至 2018 年的年均匀增添率；（2）若2019 年投入资本保持前两年的年均匀增添率不变，求该镇2019 年估计投入资本多少万元？【剖析】（ 1）设该镇投入资本从2016 年至 2018 年的年均匀增添率为x，依据该镇2016 年及 2018 年投入的资本金额，即可得出对于x 的一元二次方程，解之取其正当即可得出结论；（2）依据2019 年投入资本金额＝2018 年投入资本金额×（1+ 增添率），即可求出结论．【解答】解：（ 1）设该镇投入资本从2016年至2018 年的年均匀增添率为x，依据题意得： 1000 （1+x）2＝ 1210，解得： x1＝ 0.1＝ 10% ， x2＝﹣ 2.1（舍去）．答：该镇投入资本从2016 年至 2018 年的年均匀增添率为10%．（2） 1210×（ 1+10% ）＝ 1331 （万元）．答：该镇 2019 年估计投入资本 1331 万元．【评论】本题考察了一元二次方程的应用，解题的重点是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）依据数目关系，列式计算．25．为了让学生亲自感觉合肥城市的变化，蜀山中学九（1）班组织学生进行“环巢湖一日研学游”活动，某旅行社推出了以下收费标准：（1）假如人数不超出30 人，人均旅行花费为100 元；（ 2）假如超出30 人，则每超出 1 人，人均旅行花费降低 2 元，但人均旅行花费不可以低于80 元．该班实质共支付给旅行社3150元，问：共有多少名同学参加了研学游活动？【剖析】依据题意先判断出参加的人数在30 人以上，设共有x 名同学参加了研学游活动，再依据等量关系：（ 100﹣在 30 人基础上降低的人数×2）×参加人数＝3150，列出方程，而后求解即可得出答案．【解答】解：∵ 100× 30＝ 3000＜ 3150，∴该班参加研学游活动的学生数超出30 人．设共有 x 名同学参加了研学游活动，由题意得：x[100 ﹣2（ x﹣ 30） ]＝ 3150 ，解得 x1＝ 35，x2＝ 45，当 x＝ 35 时，人均旅行花费为100﹣ 2（ 35﹣ 30）＝ 90＞ 80，切合题意；当 x＝ 45时，人均旅行花费为100﹣ 2（ 45﹣ 30）＝ 70＜ 80，不切合题意，应舍去．答：共有35 名同学参加了研学游活动．【评论】本题考察一元二次方程的应用；获取人均付费是解决本题的易错点，获取总花费的等量关系是解决本题的重点．人教版九年级数学上册第21 章一元二次方程单元测试卷（含答案）一、选择题（每题 3 分，共 30 分）1.若方程 (m2) x |m|10 是对于 x 的一元二次方程，则（）3mxA． m2B． m=2C．m= -2D． m22．一元二次方程m 2 x24mx2m 6 0 有两个相等的实数根，则m 等于（）A. -6B. 1C. 2D. -6或 13．对于随意实数2的值是一个（）x,多项式 x -5x+8A．非负数B．正数C．负数D．没法确立4．已知代数式323x 的值互为相反数，则x 的值是（）x 与 xA．-1 或 3B．1 或-3C．1或 3D．-1 和-35．假如对于 x 的方程 ax 2+x–1= 0 有实数根，则 a 的取值范围是（）1111 A． a＞–B． a ≥–C．a ≥–且 a≠0D．a＞–且 a≠0 44446．方程 x2+ax+1=0 和 x2－ x－a=0 有一个公共根，则 a 的值是（）A． 0B． 1C．2D． 37.已知 m 方程 x2x 10 的一个根，则代数式 m2m 的值等于（）A.-1B.0C.1D.28.从正方形的铁皮上，截去2cm 宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则本来的正方形铁皮的面积是（）222D.64cm 2A.9cmB.68cmC.8cm9.县化肥厂第一季度增产 a 吨化肥 ,此后每季度比上一季度增产x%,则第三季度化肥增产的吨数为（）A、 a(122C、 (1 x%)2D、 a2 x)B、 a(1 x )a( x%)10. 一个多边形有9 条对角线 ,则这个多边形有多少条边（）A、 6B、 7C、8D、 9二、填空题（每题 3 分，共30 分）11.若方程 mx2+3x-4=3x2是对于 x 的一元二次方程，则 m 的取值范围是. 12．一元二次方程（x+1） (3x－2)=10 的一般形式是.13.方程 x23x 的解是＿＿＿＿14．已知两个连续奇数的积是15，则这两个数是＿＿＿＿＿＿15．已知( x2y21)( x2y22) 4 ，则x2y2 的值等于.16．已知 x23x 20 ，那么代数式( x 1)3x21的值为.x117.若一个等腰三角形的三边长均知足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长为.18． k＝时，二次三项式２x －2（k＋1）x＋k＋7 是一个 x 的完整平方式．19．当 k＜ 1 时，方程 2（ k+1）x2＋4kx+2k-1=0 的根的状况为：．20．已知方程x2－ b x + 22 = 0 的一根为5 - 3 ，则 b＝，另一根为＝．三、解答题21．解方程（每题 5 分，共 20 分）① x24x 30② (x 3)22x(x 3) 0(3) ( x 1)2(4) 3x2+5(2x+1)=0422.（本题10 分）有一面积为150 平方米的矩形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 米），另三边用篱笆笆围成，假如篱笆笆的长为35 米 .求鸡场的长和宽.23．（本题 10 分）百货商铺服饰柜在销售中发现：某品牌童装均匀每日可售出20 件，每件盈余 40 元．为了迎接“六一”国际小孩节，商场决定采纳适合的降价举措，扩大销售量，增加盈余，减少库存．经市场检查发现：假如每件童装降价 1 元，那么均匀每日便可多售出2件．要想均匀每日销售这类童装盈余1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（本题 10 分）一张桌子的桌面长为 6 米，宽为 4 米，台布面积是桌面面积的 2 倍，假如将台布铺在桌子上，各边垂下的长度相同，求这块台布的长和宽．25．（本题10 分）美化城市，改良人们的居住环境已成为城市建设的一项重要内容．某市近几年来，经过拆迁旧房，植草，栽树，修公园等举措，使城区绿地面积不停增添人教版九年级数学上册第21 章一元二次方程单元检测题（有答案）(9)一、选择题1. 一元二次方程 x2+2x+1=0 的解是 ? ()A. x1=1,x2=-1B. x1=x2=1C.x1=x2=-1D. x1=-1,x2=22. 一元二次方程2x2+3x-5=0 的根的状况为 ? ()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根3.若一元二次方程 x2-2x+m=0 有两个不相同的实数根 ,则实数 m 的取值范围是? ()A.m≥1B.m≤1C.m>1D.m<14.国家实行“精确扶贫”政策以来 ,好多贫穷人口走向了致富的道路 . 某地域 2016 年末有贫穷人口9 万人 ,经过社会各界的努力 ,2018 年末贫穷人口减少至 1 万人 .设 2016 年末至 2018 年末该地域贫穷人口的年均匀降落率为x,依据题意列方程得 ? ()A.9(1-2x)=1B.9(1-x)2=1C.9(1+2x)=1D.9(1+x)2=15.我国古代数学家刘徽将勾股形 (先人称直角三角形为勾股形 )切割成一个正方形和两对全等的三角形,以下图,已知∠A=90° ,BD=4,CF=6,则正方形 ADOF的边长是 ? ()?A. B.2 C. D.46. 若 x1,x2是一元二次方程x2-4x-5=0 的两根 ,则 x1·x2的值为 ? ()A.-5B.5C.-4D.47.对于 x 的一元二次方程 x2-2? x+m=0 有两个不相等的实数根 ,则实数 m 的取值范围是? ()A.m<3B.m>3Cm.≤3 D.m≥ 38.小刚在解对于 x 的方程 ax2+bx+c=0(a≠0)时,只抄对了 a=1,b=4,解出此中一个根是 x=-1.他查对时发现所抄的 c 比原方程的 c 值小 2,则原方程的根的状况是 ()A.不存在实数根B.有两个不相等的实数根C.有一个根是 x=-1D.有两个相等的实数根9.已知对于 x 的一元二次方程 (a+1)x2+2bx+(a+1)=0有两个相等的实数根,以下判断正确的选项是 ? ()A.1 必定不是对于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根B.0 必定不是对于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根C.1 和-1 都是对于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根D.1 和-1 不都是对于 x 的方程 x2+bx+a=0 的根10.以下一元二次方程中 ,没有实数根的是 ()A.x2-x+2=0B.x2-3x+1=0C.2x2-x-1=0D.4x2-4x+1=011. 若方程 x2-ax+4=0 有两个相等的实数根 ,则 a 的值为 ? ()A.2B.±2C±.4 D.412.一元二次方程 x(x-2)=0 根的状况是 ? ()A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根13.已知 x1、x2是对于 x 的方程 x2-ax-2=0 的两根 ,以下结论必定正确的是?()A.x1≠x2B.x1+x2>0C.x1·x2>0D.x1<0,x2<014.三角形两边长分别为 4 和 6,第三边的长是方程 x2-13x+36=0 的根 , 则三角形的周长为? ()A.14B.18C.19D.1419或二、填空题1. 已知对于x 的方程x2-3x+a=0 有一个根为1,则方程的另一个根为.2. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,此中有一个数学识题 :“直田积八百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何 . ”意思是 :一块矩形田地的面积为 864 平方步 ,只知道它的长与宽共60步,问它的长比宽多多少步?依据题意得 ,长比宽多步.3.如图 ,在一块长 12 m,宽 8 m 的矩形空地上 ,修筑相同宽的两条相互垂直的道路 (两条道路各与矩形的一条边平行 ),节余部分种植花草 ,且种植花草的面积为 77 m2.设道路的宽为 x m,则依据题意 ,可列方程为.?4.设 x1,x2是一元二次方程 x2-x-1=0 的两根 ,则 x1+x2+x1x2=.5.当 x=时,代数式 x2+2x 与-6x-1 的值互为相反数 .6.菱形的两条对角线的长是方程x2-7x+1=0 的两根 ,则菱形的面积是.三、解答题1.解方程 (1) x2-3x-2=0.(2)(x-1)2=4.(3)(x+1)2=3(x+1).2.对于 x 的一元二次方程 x2-3x+k=0 有实数根 .(1)求 k 的取值范围 ;(2)假如 k 是切合条件的最大整数 ,且一元二次方程 (m-1)x2+x+m-3=0 与方程 x2-3x+k=0 有一个相同的根 ,求此时 m 的值 .3.近期 ,长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿指导工作实行意见》,鼓舞教师参加志愿指导 .某区领先示范,推有名师公益大讲堂,为学生供给线上线下免费指导 .据统计,第一批公益课得益学生2 万人次,第三批公益课得益学生 2.42 万人次 .(1)假如第二批 ,第三批公益课得益学生人次的增添率相同,求这个增添率;(2)依据这个增添率 ,估计第四批公益课得益学生将达到多少万人次.4.一所学校为了绿化校园环境 ,向某园林企业购置了一批树苗 ,园林企业规定 :假如购置树苗不超出 60 棵,每棵售价为 120 元;假如购置树苗超出 60 棵,每增添 1 棵,所销售的这批树苗每棵售价均降低0.5 元,但每棵树苗最低售价不得少于100 元,该校最后向园林企业支付树苗款 8 800 元,请问该校共购置了多少棵树苗?5.在漂亮农村建设中 ,某县经过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造 .(1)原计划今年 1 至 5 月,村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米 ,此中道路硬化的里程数起码是道路拓宽的里程数的 4 倍,那么 ,原计划今年1 至5 月,道路硬化的里程数起码是多少千米?(2)到今年 5 月尾 ,道路硬化和道路拓宽的里程数恰巧按原计划达成,且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2018 年经过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45 千米 ,每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1∶ 2,且里程数之比为2∶1.为加速美丽农村建设 ,政府决定加大投入 .经测算 :从今年 6 月起至年末 ,假如政府投入经费在 2018 年的基础上增添10a%(a>0),并所有用于道路硬化和道路拓宽 ,而每千米道路硬化、道路拓宽的花费也在 2018 年的基础上分别增添 a%,5a%,那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年 1 至 5 月的基础上分别增添 5a%,8a%,求 a 的值 .参照答案一、选择题1、C2、B3、D4、B5、B6、A7、A8、A9、B10、A11、C12、A 13. A14.D二、填空题1. 22.123.(12-x)(8-x)=77(或 x2-20x+19=0)4.05. 26.三、解答题1. (1)∵a=1,b=-3,c=-2,∴b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=9+8=17,∴x==,∴x1=,x2=.(2)(x-1)2=4,所以 x-1=2 或 x-1=-2,即 x=3 或 x=-1. 所以原方程的解为x1=3,x2=-1.(3)(x+1)2=3(x+1),(x+1)2-3(x+1)=0,(x+1)(x-2)=0,∴x+1=0 或 x-2=0,解得 x1=-1,x2=2.2.分析(1)由对于 x 的一元二次方程x2-3x+k=0 有实数根 ,得 =9-4k≥0,解得 k≤ .(2)由(1)得 k 的最大整数值为 2,所以方程 x2-3x+k=0,即为 x2-3x+2=0,此方程的根为 x1=1,x2=2.由方程 x2-3x+k=0 与一元二次方程 (m-1)x2+x+m-3=0 有一个相同的根 ,得(m-1)×12+1+m-3=0 或(m-1)×22+2+m-3=0,即 m= 或 m=1.当 m=1 时,m-1=0,不合题意 ,故 m= .3.分析 (1)设第二批 ,第三批公益课得益学生人次的增添率均为 x,根据题意得 2(1+x)2=2.42,解此方程得 x1=0.1,x2=-2.1(不合题意 ,舍去 ).答:第二批 ,第三批公益课得益学生人次的增添率均为10%.(2)2.42×(1+10%)=2.662.答:第四批公益课得益学生将达到 2.662 万人次 .4. 分析∵60棵树苗的售价为120×60=7 200元<8 800 元,∴该校购置树苗超出60 棵.设该校共购置了x 棵树苗 ,由题意得 x[120-0.5(x-60)]=8 800,解得 x1=220,x2=80.当 x=220 时,120-0.5×(220-60)=40<100,∴x=220 不合题意 ,舍去 .当 x=80 时,120-0.5×(80-60)=110>100,∴x=80.答:该校共购置了80 棵树苗 .5. (1)设今年 1 至 5 月道路硬化的里程数为x 千米 ,依据题意 ,得 x≥4(50-x),解得 x≥40.答:今年 1 至 5 月道路硬化的里程数起码为40 千米 .(2)因为 2017 年道路硬化与道路拓宽的里程数共45 千米 ,它们的里程数之比为 2∶1,所以 ,道路硬化的里程数为30 千米 ,道路拓宽的里程数为 15 千米.设 2018 年道路硬化每千米的经费为 y 万元 ,则道路拓宽每千米的经费为 2y 万元 .由题意 ,得 30y+15×2y=780,解得 y=13.所以 ,2018 年每千米道路硬化的经费为13 万元 ,每千米道路拓宽的经费为 26 万元.依据题意 ,得。
人教版九年级数学上册第21-25章《小结与复习》课件全套精选全文完整版
审
设
列
解
检
答
（1）审题：通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系． （2）设元：就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法． （3）列方程：就是建立已知量与未知量之间的等量关系．列方程这一环节最重 要，决定着能否顺利解决实际问题． （4）解方程：正确求出方程的解并注意检验其合理性． （5）作答：即写出答语，遵循问什么答什么的原则写清答语．
不相等的实数根，则m的值可能是 0 （写出一个即
可）．
考点五 一元二次方程的根与系数的关系 例5 已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n， 则m2－mn＋n2＝ 25 ．
解析 根据根与系数的关系可知，m+n=4,mn=-3. m2－mn＋n2 ＝m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
人教版九年级数学上册
第二十一章 一元二次方程 小结与复习
要点梳理
一、一元二次方程的基本概念
1.定义： 只含有一个未知数的整式方程，并且都可以化为
ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的 方程叫做一元二次方程． 2.一般形式：
ax2 ＋ bx ＋c＝0 (a，b，c为常数，a≠0)
（注意：这里的横坚斜小路的的宽度都相等）
课堂小结
一元二次方 程的定义
概念：①整式方程； ②一元； ③二次. 一般形式：ax2+bx+c=0 (a≠0)
直接开平方法
一元二次方 程的解法
一元二次方程
配方法 公式法
x b b2 4ac (b2 4ac 0) 2a
因式分解法
根的判别式及 根与系数的关系
人教版九年级数学上第21章一元二次方程复习与小结课件
广东省怀集县观塘初级中学
韩文丽
二、强化训练
1、一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组 共送贺卡72张，则这个小组共 9 人。
2、一个两位数等于它的个位数的平方，且各 位数字比十位数字大3，则这个两位数为
25或36
3、若关于x的一元二次方程ax²-2x+6=0有两
个实数根，求a的取值范围。
解：依题意得a≠0,
即3x= 6 ∴
5
∴
3
-
2 5
m 5
x 2 5
即 m=-13
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知识点二 降次——解一元二次方程
1、配方法 配方是为了降次，把一个一元二次方程转化为 两个 一元二次方程来解。
步骤：
①方程化为一般情势; ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边 为常数项；
③化二次项系数为1；
x2
-
b a
0
即k+1=0
∴k=-1
（2） x1
x2
c a
1
即 k-2=1
∴K=3
（3）x1 x2 k 2 0
∴K=2
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我相信，只要大家勤 于思考，勇于探索，一定 会获得很多的发现，增长 更多的见识，谢谢大家， 再见！
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2、已知2和-1是关于x的方程2x²+mx+n=0 的两个根，则m的值为 -2 ，n的值为 -4
3、已知方程3x²+2x-3=0的两根为 x1, x2 ，
则 x1 x2
2 3
x1 x2 -1
=
22 9
。
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第21章 一元二次方程小结与复习 人教版数学九年级上册课件
转化为一般 式，判断 Δ
考点四 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程 x2 - 4x - 3 = 0 的两根为 m，n， 则 m2 - mn + n2 = 25 ．
总结 重要公式变形：
练一练
2. 已知关于 x 的一元二次方程 x2 + 2mx + m2 + m = 0 有 两个实数根．
第二十一章 一元二次方程
小结与复习
人教版九年级（上）
单元结构图
设未知数，列方程 实际问题
一元二次方程
ax2 + bx + c = 0
配方法
解 方 程
公式法 因式分解法
降 次
实际问题 的答案
检验 方程 ax2 + bx + c = 0 的根
1. 一元二次方程的三个判断条件： ①方程两边都是整式； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数是 2.
2. 根的判别式与根与系数的关系：
Δ > 0，方程有两个不等的实数根
根的判别式 Δ = b2 − 4ac
Δ = 0，方程有两个相等的实数 根 Δ < 0，方程无实数根
根
*根与系数的关系
3. 解一元二次方程几种方法：
直接开平方法
(mx + n)2 = p (p≥0，m≠0)
配方法 解
法
公式法
(mx + n)2 = p (p≥0)
即
(2) (2x − 1)2 = (3 − x)2.
解：直接开方法： 2x −1=±(3 - x)， 即 2x −1 = 3 − x， 或 2x − 1 = −3 + x. ∴ x1 = ，x2 = −2.
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人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(10)一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分．在每小题所给出的四个选项中，恰 有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1．（2 分）计算5821--⨯-的结果是（ ）。
A ．-21B ．-1C ．9D ．112．（2 分）关于代数式 x+1的结果，下列说法一定正确的是（ ）。
A ．比 1 大B ．比 1 小C ．比 x 大D ．比 x 小3．（2 分）如图，菱形 ABCD 中， AB=5 ， BD =6 ，则菱形的高为（ ）。
A ．512B ．524C ．12D ．244．（2 分）如图，五边形 ABCDE 中，AB / /CD ，∠1，∠2 ，∠3分别是∠BAE ，∠AED ，∠EDC 的外角，则∠1+∠2+∠3= （ ）。
A ．90B ．180C ．120D ． 2705．（2 分）计算39999-的结果更接近（ ）。
A ．999B ．989C ．969D ．3396．（2 分）如图，矩形 ABCD 中， AB=3， BC =4 ，点 P 从 A 点出发，按 A →B →C 的方 向在 AB 和 BC 上移动．记 PA=x ，点 D 到直线 PA 的距离为 y ，则 y 关于 x 的函数大致图象是（ ）。
二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分．不需写出解答过程，请把答案直 接填写在答题卡相应位置上）7．（2 分）2016年3月，鼓楼区的二手房均价约为25000元/平方米，若以均价购买一套100平方米的二手房，该套房屋的总价用科学记数法表示为 元．8．（2 分）因式分解：=-a a 1233 ．9．（2 分）代数式21-+x x 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 . 10．（2 分）计算)0(21822≥-a a a 的结果是 ．11．（2 分）如图，将一张矩形纸片沿EF 折叠后，点D 、C 分别落在点D ’，C ’的位置；若 ∠1 =40°，则∠D ’EF= ．12．（2 分）如图，点 A 在函数)0(>=x xk y 的图象上，点B 在x 轴正半轴上，∆OAB 是边长为2的等边三角形，则k 的值为 ．13．（2 分）如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 中点．当▱ABCD 满足 时， 四边形 EHFG 是菱形．14．（2 分）一元二次方程)0(022≠=++m m mx x 的两个实根分别为1x ，2x ，则=+2121x x x x ． 15．（2 分）如果一个正比例函数的图象与反比例函数x y 5=交于 A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2 )， 那么=--))((2121y y x x ．16．（2 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB=5，BC=6，点E 是AD 上一点，把∆BAE 沿 BE 向矩形内部折叠，当点 A 的对应点A 1恰落在∠ADC 的平分线上时，DA 1= ．三、解答题（本大题共 10 小题，共 68 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文 字说明，证明过程或演算步骤）17．（6 分）求不等式2113-+≤x x 的负整数解.18．（6 分）计算：6)31312(28⨯--．19．（8 分）解方程；（1）)1()1(3x x x -=-（2）01422=--x x20．（6 分）（1）化简：21442---x x（2）方程的2121442=---x x 解是 ．21．（6 分）在读书月活动中，学校准备购买一批课外读物．为使课外读物满足同学们的需 求，学校就“我最喜爱的课外读物”从文学、艺术、科普和其他四个类别进行了抽样调 查（每位同学只选一类），如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次调查中，一共调查了 名同学；（2）在条形统计图中，n ；扇形统计图中，艺术类读物所在扇形的圆心角是 度；（3）学校计划购买课外读物 6000 册，请根据样本数据，估计学校购买其他类读物多少册比较合理．22．（7 分）如图，▱ABCD 的对角线 AC 、 BD 相交于点O ，OE人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(7)一、精心选一选，慧眼识金（每小题3分，共30分）.1．下列方程中，是一元二次方程的是（ ）.A ．230x x y ++=B ．2(2)x x x x -=+C ．221132x x ++=D ．2150x x++= 2．方程(3)x x x +=的根是（ ）.A ．3x =-B ．0x =C ．D ．0x =或3x =- 3．一元二次方程220x x -+=的根的情况是（ ）．A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．只有一个实数根D ．无实数根4．用配方法解方程2410x x ++=，经过配方可得到（ ）.3x=A ．()223x +=B ．()225x +=C ．()223x -=D ．()225x -= 5判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ）.A ．3＜x ＜3.23B ．3.23＜x ＜3.24C ．3.24＜x ＜3.25D ．3.25 ＜x ＜3.266．若12x x ，是一元二次方程2560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）.A ．1B ．5C ．5-D ．67．关于x 的一元二次方程230x ax a --=的一个根为6，另一个根为（ ）.A ．2B ．2-C ．6-D ．48．有一个面积为16 cm 2的梯形，它的一条底边长为3 cm ，另一条底边长比它的高长1c m ，若设这条底边长为x cm ，依据题意，列出方程整理后得（ ）．A ．22350x x +-=B ．22700x x +-=C ．22350x x --=D ．22700x x -+=9．方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．不能确定10．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可出售20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，经调查发现：如果每件衬衫每降低1元，则商场平均每天多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，则每件衬衫应降价（ ）.A ．10元B ．20元C ．25元D ．10元或20元二、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分）11．把方程()()42213-+=-x x x 化成一元二次方程的一般形式为 ，它的二次项系数、一次项系数以及常数式的和为 .12．方程是一元二次方程，则m 的值为________.13．为了改善居民住房条件，我市计划用未来两年的时间，将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ，若每年的平均年增长率相同，则其增长率为_______.14．用配方法解关于x 的方程x 2＋mx ＋n ＝0，此方程可变形为：2()2m x +=__________. 15．若关于的方程有两个实数根相等，则__________．16．小亮在写作业时，一不小心，把方程23x -80x -=的一次项x 前的数字被墨水玷29180x x -+=22(2)(3)20m m x m x --+--=x ()24110x k x -++=k =污了，但从题的条件中，他知道方程的一个解是2x =，请问你能帮助小亮求出被玷污的数字是________.17．在实数内定义运算“”，其法则为：，方程（43）的解为 ．18．若两个连续偶数的积是288，则这两个数的和等于 ．19．已知实数x 满足2(1)4(1)120x x ----=，则代数式1x -的值为______.20．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意一个实数对 （a ，b ）进入其中时，会得到一个新的实数：21a b +-，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6. 现将实数对（m ，2m -）放入其中，得到实数2，则m 的值为___________.三、细心做一做，马到成功（共60分）21．（每小题4分，共12分）解下列方程：（1） 2235x x +-=（2）2(53)40x +-=（3）22．（6分）当x 为何值时，代数式562++x x 的值与代数式1-x 的值相等？23．（7分）某村2016年的人均收入为20000元，2018年的人均收入为24200元（1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率；（2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平均增长率相同，请你预测2019年村该村的人均收入是多少元？24．（8分）已知关于x 的方程222(1)0x m x m -++=.（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根.25．（8分）已知关于x 的方程2210x kx +-=. ⊕22a b a b ⊕=-⊕⊕24x =2)2)(113(=--x x（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1-，求k 值及方程的另一个根．26．（9分）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做一个正方形．（1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm 2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(8)一、精心选一选！（每题3分，共30分）1．关于x 的一元二次方程(m +1)21m x ++4x +2＝0的解为（ ）A.x 1＝1，x 2＝－1B. x 1＝x 2＝－1C. x 1＝x 2＝1D.无解2．用配方法解方程x 2－4x +2＝0，下列配方正确的是（ ）A.(x －2)2＝2B. (x +2)2＝2C. (x －2)2＝－2D. (x －2)2＝63．一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（ ）A ．x ＝0B ．x 1＝0，x 2＝13C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x ＝134．已知关于x 的一元二次方程x 2－m ＝2x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A ． m ＞－1 B ． m ＜－2 C ．m ≥0 D ．m ＜05． 一元二次方程x 2+x +2＝0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正根B ．有两个不相等的负根C ．没有实数根D ．有两个相等的实数根6．已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ） A. 43>m B. 43≥m C. 43>m 且2≠m D. 且2≠m 7．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） Ａ.240x += Ｂ.24410x x -+= Ｃ.230x x ++= Ｄ.2210x x +-=8．关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，则k 的值（ ）A ．0或2B ．﹣2或2C ．﹣2D ．29．今年“十一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元．已知我市前年“五一”黄金周旅游总收入约6.25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ）Ａ．12% Ｂ．16% Ｃ．20% Ｄ．25%10．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ） 43≥mA ．9（1﹣2x ）＝1B ．9（1﹣x ）2＝1C ．9（1+2x ）＝1D ．9（1+x ）2＝1 二、耐心填一填！（每题3分，共30分）11． 方程x 2+2x=0的解为 .12．若0x =是方程22(2)3280m x x m m -+++-=的解，则m ＝＿＿＿＿＿＿.13．已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ．14． 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b = ，c = ．15．已知a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则a 2﹣b +2019的值是（ ）16． 已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，那么代数式2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值为 ． 17． 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-， ac x x =21·．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 18． 请写出一个值k ＝________，使一元二次方程x 2－7x ＋k ＝0有两个不相等的非0实数根．19． 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a b c d，定义a b c dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 20．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m 2，设道路的宽为xm ，则根据题意，可列方程为 ．三、细心做一做！（每题8分，共40分）21．解方程：（1）2220x x +-=； （2）x 2＋3＝3(x ＋1)．22． 设23111x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等。