☆2005年普通高等学校春季招生统一考试上海春考卷

2005年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必将姓名、高考座位号、校验码等填写清楚.2.本试卷共有22道试题，满分150分.考试时间120分钟.一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分） 1、方程()02lg lg 2=+-x x 的解集是{}1,2-.2、=+++++→∞nn n (3212)lim0.3、若53cos =α，且⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πα，则tan2α=12.4、函数()(]()2,2-∞-∈-=x x x f 的反函数()=-x f 1)4x ≤-.5、在ABC ∆中，若︒=∠90C，4==BC AC ，则=⋅16.6、某班共有40名学生，其中只有一对双胞胎，若从中一次随机抽查三位学生的作业，则这对双胞胎的作业被同时抽中的概率是1260.（结果用最简分数表示） 7、双曲线116922=-y x 的焦距是56.8、若()()3,2...223≥∈+++++=+n N n cx bx ax x x n n n ，且2:3:=b a ，则=n 11. 9、设数列{}n a 的前n 项和为n S ()N n ∈，关于数列{}n a 有下列三个问题：⑴若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则()N n a a n n ∈=+1；⑵若()R b a bn an S n ∈+=,2，则{}n a 是等差数列；⑶若()nn S 11--=，则{}n a 是等比数列；则这些命题中正确命题的序号是⑴⑵⑶. 10、若集合{}{}Ry yy B R x x x A x∈==∈==,1,,32cos 32π，则=⋂B A {}1.11、函数x x y arcsin sin +=的值域是sin1,sin122ππ⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦.12、若函数()x x f x2log 2+=，数列{}n a 的通项公式是()N n n a n ∈=1.0，当()2005-n a f 取得最小值时，=n 110.二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且仅有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（无论是否都写在圆括号内）一律得零分。

13、已知直线n m l ,,及平面α，下列命题中的假命题是————————————————————————（D ）()A 若l ∥m ，m ∥n ，则l ∥n ； ()B 若l ⊥α，n ∥α，则l ⊥n ； ()C 若l ⊥m ，n ∥m ，则l ⊥n ；()D 若l ∥α，n ∥α，则l ∥n ；14、在ABC ∆中，若CcB b A a cos cos cos ==，则ABC ∆是————————————————————（B ）()A 直角三角形 ()B 等边三角形 ()C 钝角三角形 ()D 等腰直角三角形15、若c b a ,,是常数，则“0>a 且042<-ac b ”是“对任意R x ∈，有02>++c bx ax ”的————（A ）()A 充分不必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 以上答案都不对16、设函数()x f 的定义域为R ，有下列三个命题：⑴若存在常数M ，使得对任意R x ∈，有()M x f ≤，则M 是函数()x f 的最大值；⑵若存在R x ∈0，使得对任意R x ∈且0x x ≠，有()()0x f x f <，则()0x f 是函数()x f 的最大值； ⑶若存在R x ∈0，使得对任意R x ∈，有()()0x f x f ≤，则()0x f 是函数()x f 的最大值；这些命题中真命题的个数是———————————————————————————————————（C ）()A 0个()B 1个()C 2个()D 3个三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17、已知z 是复数i z 2+、iz -2均为实数（i 为虚数单位），且复数()2ai z +在复平面上对应的点在第一象限， 求实数a 的取值范围. 参考解答： 设(),zx yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++，由i z 2+为实数可知2y =-.同理i z -2()()()()2111222242555x i x i i x x i i -==-+=++--为实数可知4x =，所以42z i =-. 因此()()()2212482z ai a a a i +=+-+-在复平面上对应的点在第一象限，可推得()21240820a a a ⎧+->⎪⎨->⎪⎩，解该不等式组得26a <<，所以实数a 的取值范围()2,6.18、已知tan α是方程22sec 10x x α+⋅+=的两个根中较小的根，求α的值.参考解答：tan α是方程22sec 10xx α+⋅+=的较小的根，可知方程较大的根为1tan α，则由韦达定理知1tan 2sec tan ααα+=-，即12sin cos cos ααα=-⋅，所以1sin 2α=-， 解得()726k k Z αππ=+∈或()126k k Z αππ=-∈.当()726k k Z αππ=+∈时，tan 3αα==当()126k k Z αππ=-∈时，tan 3αα=-=不符合题意，舍去.因此()726k k Z αππ=+∈为所求α的值.19、已知正三棱锥ABCP -的体积是372，侧面与底面所成的二面角的大小为︒60，⑴证明：BC PA ⊥⑵求底面中心O 到侧面的距离.参考解答： ⑴设P 点在底面ABC 上的射影为O ，由正三棱锥可知AO BC ⊥，延长AO 交BC 于点M ，因为PA 为斜线，AO 为射影，所以 当OA BC ⊥时，BC PA ⊥.⑵连接PM ，过O 作OG PM ⊥，可知OG 为所求中心O 到侧面的距离，PO 为正三棱锥的高，由侧面与底面成60︒角，设AB a =，可知21132a a =⋅，整理即37224a =⨯，所以12a =，由于OG =11234a ==⋅=， 所以所求底面中心O 到侧面的距离为3.20、某市2004年有住房面积1200万平方米，计划从2005年起，每年拆除20万平方米的旧住房，假定该市每年新建住房面积是上年年底住房面积的%5 ⑴分别求2005年底和2006年底的住房面积；⑵求2024年底的住房面积.（计算结果以万平方米为单位，且精确到01.0） 参考解答：⑴2005年底的住房面积为()120015%201240⨯+-=万平方米；2006年底的住房面积为()124015%201282⨯+-=万平方米.⑵2024年底的住房面积为()()()()201918120015%2015%2015%...2015%20⨯+-⨯+-⨯+--⨯⨯+-20201.0511200 1.05202522.641.051-=⨯-⋅- （万平方米），因此2024年底的住房面积为2522.64万平方米.21、已知函数()x a x x f +=的定义域为()+∞,0，且()2222+=f ，设点P 是函数图像上的任意一点， 设点P 是函数图像上的任意一点，过点P 分别作直线x y =和y 轴的垂线，垂足分别为N M ,，⑴求a 的值； ⑵问：PNPM ⋅是否为定值？若是，则求出该定值，若不是，则说明理由；⑶设O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值. 参考解答： ⑴()22222a f =+=+，因此a =⑵令(),P x y，可得)0y x x =>，因此1PM x==，PN x =， 所以PNPM ⋅为定值1.⑶四边形OPMN 分割成两个三角形OPN ∆和OPM ∆.12OPNS x y ∆=⋅⋅，延长NP 交y x =于G ，则PG y x x=-=可推得1MG x =，1211OM x x x x =-=+-=+，因此211111222OPM S x x x ∆⎫=⋅+⋅=+⋅⎪⎭.所以211122OMPN S x x x ⎛⎛=⋅⋅+⋅+ ⎝⎝⎭， 整理可知OMPN S=22111121222x x +⋅+≥⋅+=，当且仅当41x =时，即1x =时取等号.所以当(1,1P +时，四边形OMPN1.22、⑴求右焦点坐标为()0,2，且经过点()2,2--的椭圆的标准方程；⑵已知椭圆C 的方程是()012222>>=+b a by a x ，设斜率为k 的直线l ，交椭圆C 于B A ,两点，AB 的中点为M ，证明：当直线l 平行移动时，动点M 在一条过原点的定直线上；⑶利用⑵所揭示的椭圆几何性质，用作图方法找出下面给定椭圆的中心，简要写出作图步骤，并在 图中标出椭圆的中心.参考解答：⑴由题意令椭圆标准方程为22221x y a b+=，可得2224c a b =-=，令焦点()12,0F ，因此()22,0F -，由点(2,P -在椭圆上，可得1PF==，2PF =2a =a =2844b =-=，所求椭圆方程为22184x y +=. ⑵设直线l 的方程为y kx m =+，令()()1122,,,A x y B x y ，则AB 中点M ()00,x y ，因此0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩.由B A ,在椭圆上，因此2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，整理得()()22222212120b x x a y y -+-=，即()()2212012221212022b x x b x y y k x x a y y a y -+-⋅-===-+⋅，中点M 必在直线220bx a ky +=上，且该直线经过原点，因此原命题得证.⑶作两条平行直线分别交椭圆于,A B 和,C D ，并分别取,AB CD 的中点,M N ，连接直线MN ，又作两条平行直线（与前两条直线不平行）分别交椭圆于11,A B 和11,C D ，并分别取1111,A B C D 的中点11,M N ， 连接直线11M N ，那么直线MN 和直线11M N 的交点O 即为椭圆中心.。