19.1.1 第2课时 利用矩形的性质进行有关的计算与证明
九江市第四中学八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形19.1 矩形 2矩形的判定教案华东师大版
19.1.2 矩形的判定(二)一、教学目标：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力二、重点、难点1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．三、例题的意图分析本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．四、课堂引入1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）五、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)指出：（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=21AC ，BO=21BD ． ∵ AO=BO ，∴ AC=BD ． ∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC 中，∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ， ∴ BC=344822=-（cm ）．例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ．∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴ ∠EAB ＋∠ABG=21×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．六、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（ ）．（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．七、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是：；2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．第十四章整式的乘法与因式分解基础过关满分120分时间100分钟一．选择题（每题3分，共计30分）1．（2019 •郑州期末）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（2a）3＝6a3C．a9÷a3＝a3D．（﹣2a）2•a3＝4a5【答案】D【解答】A、a2+a2＝2a2，不符合题意；B、（2a）3＝8a3，不符合题意；C、a9÷a3＝a6，不符合题意；D、（﹣2a）2•a3＝4a5，符合题意；故选：D．2．（2020•卫辉市期末）已知3a＝1，3b＝2，则3a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．27【答案】B【解答】∵3a×3b＝3a+b∴3a+b＝3a×3b＝1×2＝2故选：B．3．（2019 •贵池区期中）计算（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019的结果是（）A． B． C．D．【答案】D【解答】（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019＝（）2017×（）2018×（﹣1）．故选：D．4．计算（x﹣2）x＝1，则x的值是（）A．3 B．1 C．0 D．3或0【答案】D【解答】∵（x﹣2）x＝1，当x﹣2＝1时，得x＝3，原式可以化简为：13＝1，当次数x＝0时，原式可化简为（﹣2）0＝1，当底数为﹣1时，次数为1，得幂为﹣1，故舍去．故选：D．5．（2020•河东区期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（）A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6【答案】D【解答】已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b，则a＝1，b＝﹣6，故选：D．6．（2019•新蔡县期中）如果一个三角形的底边长为2x2y+xy﹣y2，底边上的高为6xy，那么这个三角形的面积为（）A．6x3y2+3x2y2﹣3xy3B．6x2y2+3xy﹣3xy2C．6x2y2+3x2y2﹣y2D．6x2y+3x2y2【答案】A【解答】三角形的面积为：（2x2y+xy﹣y2）×6xy＝6x3y2+3x2y2﹣3xy3．故选：A．7．（2020•广安期末）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【答案】A【解答】（x﹣2）（x2+mx+1）＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，因为不含x2项，所以m﹣2＝0，解得：m＝2，故选：A．8．（2020•息县期末）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6【答案】A【解答】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．9．（2020•北碚区模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解答】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．9．（2019•北京期末）10如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b【答案】A【解答】由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．二．填空题（每题3分，共计15分）11．（2020•新乡期末）分解因式（2a﹣1）2+8a＝．【答案】（2a+1）2【解答】原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，故答案为：（2a+1）2．12．（2020•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝．【答案】-1【解答】2020×2018﹣20192＝（2019+1）（2019﹣1）﹣20192＝20192﹣12﹣20192＝﹣1故答案为：﹣1．13．（2020•偃师市期末）如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为．【答案】【解答】（x﹣2）（x2+3mx﹣m）＝x3+3mx2﹣mx﹣2x2﹣6mx+2m＝x3+（3m﹣2）x2﹣7mx+2m∵乘积中不含x2项，∴3m﹣2＝0，解得m．故答案为：．14．（2020•魏都区期中）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝；b＝．【答案】﹣5，﹣2【解答】∵甲抄错了第一个多项式中a的符号∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10∴2b﹣3a＝11①∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10∴2b+a＝﹣9②由①②得：a＝﹣5，b＝﹣2故答案为：﹣5，﹣2．15．（2020•伊犁州期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当27时，则x＝22 ．【答案】22【解答】∵27，∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27，∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27，∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27，∴x＝22；故答案为：22．三．解答题（共75分）16．（8分）（2020中原区月考）因式分解：（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．解：（1）原式＝4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]＝4[（a﹣b）+2（a+b）][（a﹣b）﹣2（a+b）]＝4（3a+b）（﹣a﹣3b）＝﹣4（3a+b）（a+3b）；（2）原式＝[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+5（a+b）]＝（﹣a﹣3b）（6a+4b）＝﹣2（a+3b）（3a+2b）．17．（9分）（2020 •新泰市期中）已知多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，求p和q的值．解：∵（x2+px+q）（x2﹣3x+2）＝x4﹣3x3+2x2+px3﹣3px2+2px+qx2﹣3qx+2q＝x4﹣（3﹣p）x3+（2﹣3p+q）x2+2px﹣3qx+2q由多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，∴3﹣p＝0，2﹣3p+q＝0，解得：p＝3，q＝7．18．（9分）（2019•普兰店区期末）已知：a+b＝5，ab＝4．（1）求a2+b2的值；（2）若a＞b，求a﹣b的值；（3）若a＞b，分别求出a和b的值．解：（1）∵a+b＝5，ab＝4，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（2）∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣8＝9，∴a﹣b＝±3，又∵a＞b，∴a﹣b＝3；（3）由（2）得a﹣b＝3，解方程组，解得．19．（9分）（2020•兰考县期中）有两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．（1）用代数式表示正方形与长方形的面积之差，并化简结果；（2）若x≠y，试说明正方形与长方形面积哪个大．解：（1）长方形的周长为2（2x+2y）＝4（x+y）．∵两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．∴正方形的边长为x+y，∴正方形与长方形的面积之差为（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2．答：正方形与长方形的面积之差为（x﹣y）2．（2）∵x≠y，∴（x﹣y）2＞0，∴正方形的面积大于长方形面积．20．（9分）（2018•镇平县期中）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板．一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？解：设小正方形的边长为x，依题意得1+x+2＝4+5﹣x，解得x＝3，∴大正方形的边长为6厘米，∴大正方形的面积是36平方厘米，答：大正方形的面积是36平方厘米．21．（10分）（2020•兰考县期末）阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②所以c2＝a2+b2．③所以△ABC是直角三角形．④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；（2）请你将正确的解答过程写下来．解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．22．（10分）（2020•连山区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．解：设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a∴解得：a＝4，k＝20故另一个因式为（x+4），k的值为2023．（11分）（2020 •江阴市期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）（1）（1）（1）…（1）（1）＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）第3课时 分式方程的应用1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2．使学生经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程． 3．学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力．重点能将实际问题中的等量关系用分式方程表示． 难点寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．一、复习导入1．解分式方程有哪些步骤？2．解分式方程： x ＋1x －1－4x 2－1＝1.3．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？ 二、探究新知1．课件出示教材第129页“做一做”．处理方式：小组讨论，教师巡回指导，师生共同总结． 解：(1)等量关系：①第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500元． ②第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋间数．③出租房屋的间数＝所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金． (2)①求出租房屋的总间数；②分别求这两年每间房屋的租金． (3)方法一：解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为(x ＋500)元．第一年出租的房屋为96 000x 间，第二年出租的房屋为102 000x ＋500间，根据题意，得96 000x＝102 000x ＋500.解得x ＝8 000.经检验，x ＝8 000是原分式方程的解，也符合题意． x ＋500＝8 500(元)．所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． 方法二：解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为96 000x元，第二年每间房屋的租金为102 000x 元，根据题意，得102 000x ＝96 000x＋500.解这个方程，得x ＝12.经检验，x ＝12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．102 000÷12＝8 500(元)，96 000÷12＝8 000(元)． 所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． (教师强调：解分式方程应用题时一定要检验．) 三、举例分析例 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．处理方式：审清题意，找出题中的等量关系．思考：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？处理方式：先引导学生思考这个问题，小组交流，学生回答并相互补充，教师多媒体展示．(1)审：分析题意，找出数量关系和相等关系．(2)设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．(3)列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．(4)解：认真仔细．(5)验：有两次检验．(6)答：注意单位和语言完整．四、练习巩固1．某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是( )A.120x＋3＝180xB.120x＋3＝180xC.120x＝180x＋3D.120x＝180x＋32.全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传，全程共10千米，自行车队的速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为( )A.10x＋2＝102.5x＋12B.102.5x－10x＝2－0.5C.10x－102.5x＝2－0.5 D.10x－102.5x＝2＋0.5五、课堂小结通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？六、课外作业1．教材第129页“随堂练习”．2．教材第130页习题5.9第1、2、3题．本节课教学列分式方程解决实际问题，这个内容是在学生已经认识了解分式方程、列一元一次方程解决实际问题的基础上进行教学的．教学列分式方程解决实际问题，需要引导学生在解决问题的过程中，进一步掌握分式方程的解法，积累分析数量关系以及把实际问题抽象为方程的经验，进而适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题．。
初中数学北师大版九年级上册《矩形的性质与判定第二课时》课件
∴四边形ADCE是平行四边形.
而∠ADC=90°,
∴四边形ADCE是矩形.
Hale Waihona Puke 1.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、 AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的角平分线,则四边 形ABCD是（ C ）
E B
AP F
D
M QC
N
A.菱形 B.平行四边形
C.矩形
D.不能确定
2.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE、CE交于点 E，四边形CEDO是矩形吗？说出你的理由.
解：四边形CEDO是矩形. 理由如下：已知四边形ABCD是菱形.
∴AC⊥BD. ∴∠BOC=90°.
∵DE∥AC,CE∥BD，
∴四边形CEDO是平行四边形. ∴四边形CEDO是矩形（矩形的定义）.
数学北师大版 九年级上
1.2
矩形的性质与 判定第二课时
问题: 什么是矩形？矩形有哪些性质？
A
B
O
D
C
矩形：有一个角是直角的平行四边形. 矩形性质：①是轴对称图形;
②四个角都是直角; ③对角线相等且平分.
矩形判定的定理及其证明
活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的 顶点时, 注意视察两条对角线的长度.
α
问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线长 度相等时,平行四边形有什么特征？
猜想:当对角线相等时，该平行四边形可能是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
19.1.1-矩形的性质(共21张PPT)
•
求证：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形， ∠A=90°。 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°
证明： ∵四边形ABCD是矩形
角 矩形的四个角都是直角 A ∴A ∴O∴AB A=∴DDA C=C∥O B=C ，CBO D，D C=DD O∥= BAA9 BB0
对角线
矩形 的两条对角线相等 矩形的 两条对角线互相平分
比一比,知关系
边
角
对角线 对称性
平行四 对边平行 对角相等 对角线互 中心对 边形 且相等 邻角互补 相平分 称图形
A
D
∴ ∠A=∠C ∠B = ∠D
∠A +∠B = 180°
B
C ∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°
即矩形的四个角都是直角
求证:矩形的对角线相等
已知：如图,四边形ABCD是矩形
求证：AC = BD
证明：∵四边形ABCD是矩形
A
D
∴∠ABC = ∠DCB = 90°
AB = DC 在△ABC与△DCB中
A
D
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/172021/9/172021/9/179/17/2021 10:22:10 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/172021/9/172021/9/17Sep-2117-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/172021/9/172021/9/17Friday, September 17, 2021
华师大版八下数学19.1.1矩形及其性质说课稿
华师大版八下数学19.1.1矩形及其性质说课稿一. 教材分析华师大版八下数学19.1.1矩形及其性质这一节主要介绍了矩形的定义、性质和判定。
教材从生活实例出发，引导学生探究矩形的性质，并通过几何图形和逻辑推理来证明矩形的性质。
教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固矩形的性质和应用。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形、四边形等基本几何图形，对图形的性质和判定有一定的了解。
但是，学生对矩形的性质和判定可能还比较陌生，需要通过实例和推理来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对证明题和应用题的解决方法还不够熟练，需要教师的引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解矩形的定义，掌握矩形的基本性质和判定方法。
2.过程与方法：学生通过观察、推理和证明，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣和自信心，培养合作和探究的精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：矩形的性质和判定。
2.教学难点：矩形的判定方法，特别是通过几何图形的推理和证明。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论和实践活动。
2.教学手段：利用多媒体课件和几何画板等软件，展示矩形的性质和判定过程，帮助学生直观理解。
六. 说教学过程1.导入：通过生活实例引入矩形的概念，让学生直观感受矩形的存在。
2.新课导入：介绍矩形的定义和性质，引导学生通过观察和推理来发现矩形的性质。
3.合作探究：学生分组讨论，通过实践活动和几何画板软件来探索矩形的判定方法。
4.讲解与证明：教师引导学生进行逻辑推理和证明，解释矩形的性质和判定方法。
5.练习与巩固：学生进行练习题，巩固矩形的性质和应用。
6.总结与拓展：教师引导学生总结矩形的性质和判定方法，并提供一些拓展问题，激发学生的思考。
七. 说板书设计板书设计应包括矩形的定义、性质和判定方法。
可以用简洁的语言和图示来展示矩形的特点和判定规则，方便学生理解和记忆。
华东师大版数学八年级下册19.1.1矩形的性质优秀教学案例
1.生活情境导入：通过引入生活中常见的矩形实例，让学生在真实的情境中感受和认识矩形，激发学生的学习兴趣，提高学生的学习积极性。
2.探究式教学：引导学生通过观察、操作、探究等活动，自主发现和证明矩形的性质，培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力，使学生真正成为学习的主人。
3.小组合作学习：组织学生进行小组合作，鼓励学生互相倾听、互相帮助，培养学生的团队协作精神和沟通能力，提高学生的社会责任感。
（二）过程与方法
本节课的过程与方法目标是培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。具体包括：
1.通过对生活中的矩形实例观察，培养学生的空间想象能力。
2.通过自主探究和小组合作，培养学生的逻辑思维能力。
3.通过解决实际问题，培养学生的创新能力。
为了达到这些目标，我在教学中采用了探究式教学法，让学生在观察、操作、探究的过程中，发现问题、解决问题，从而培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和创新能力。
华东师大版数学八年级下册19.1.1矩形的性质优秀教学案例
一、案例背景
矩形作为基本的几何图形之一，在华东师大版数学八年级下册第19.1.1节中，学生需要掌握矩形的性质。本节课主要内容是引导学生探究矩形的性质，包括矩形的定义、矩形的对边相等、矩形的对角相等以及矩形的四个角都是直角。
在制定本节课的教学案例时，我以学生已有的知识基础和认知能力为出发点，结合课程标准的要求，设计了以下教学目标：
（四）反思与评价
反思与评价是本节课的重要教学策略。具体包括：
1.在每个教学环节结束后，我引导学生进行反思，让学生回顾自己的学习过程，思考自己学到了什么，还有什么需要改进的地方。
2.在反思的过程中，我鼓励学生积极表达自己的观点和思考，培养学生的表达能力和发展学生的个性。
2020-2021学年华东师大版数学八年级下册同步训练：19.1.1 第2课时 矩形性质的应用
19.1.1第2课时矩形性质的应用知识点1利用矩形的性质计算角的度数1.如果矩形的两条对角线所夹锐角为44°,那么对角线与相邻两边所夹的角的度数分别是()A.22°,68°B.44°,66°C.24°,66°D.40°,50°2.在矩形ABCD中,过点D作DE⊥AC于点E.若∠ADE∶∠EDC=3∶2,则∠BDE的度数为()A.36°B.9°C.27°D.18°3.如图在矩形ABCD中,连结AC,延长BC至点E,使BE=AC,连结DE.若∠BAC=40°,则∠E的度数是.知识点2利用矩形的性质计算线段的长度4.[2019·眉山]如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是()A.1B.C.2D.5.如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3 cm和5 cm的两部分,那么矩形的较短边长为()A.3 cmB.5 cmC.3 cm或5 cmD.以上都不对6.[教材例3变式]如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,CE垂直平分DO,AB=1,则BE 的长度为()A.B.C.D.27.如图在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点M在边CD上.若MA平分∠DMB,则DM的长是.8.如图在矩形ABCD中,AB=6,AD=10.以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E;以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F.求EF的长.知识点3利用矩形的性质解决与面积有关的问题9.[教材练习第1题变式]如图,四边形ABCD和四边形BDEF均为矩形,点A在EF边上,设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系为()A.S1=S2B.S1>S2C.S1<S2D.3S1=2S210.如图,矩形ABCD的对角线的交点为O,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F,则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的()A.B.C.D.11.如图在矩形ABCD中,AD=8,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AC交BC于点E,CE=5,则矩形ABCD的面积为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=3 cm,E是CD的中点,BF=FC,则四边形DBFE的面积为.13.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E.若∠DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中等腰三角形(虚线也视为角的边)共有()A.2个B.3个C.4个D.5个14.如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE,交AB于点F,DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF.求AE的长.15.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,CE,AF分别交BD于G,H两点.求证:(1)四边形AFCE是平行四边形;(2)EG=FH.16.某研究性学习小组在探究矩形时,将一块三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对角线交点O旋转(如图,图中M,N分别为三角板的直角边与矩形ABCD的边CD,BC的交点.(1)该学习小组中的一名成员意外地发现:在图①(三角板的一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角板的一直角边与OC重合)中,CN2=BN2+CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由.(2)试探究图②中BN,CN,CM,DM这四条线段之间的关系,写出你的结论,并说明理由.教师详解详析1.A[解析] 根据矩形的对角线相等且互相平分,四个角为直角求解.2.D[解析] 如图,∵∠ADE∶∠EDC=3∶2,∠ADC=90°,∴∠ADE=54°,∠EDC=36°.又∵DE⊥AC,∴∠DCE=90°-36°=54°.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=54°,∴∠BDE=∠ODC-∠EDC=54°-36°=18°.故选D.3.65°[解析] 连结BD,与AC交于点O.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB,∴∠ABD=∠BAC=40°,∴∠DBE=90°-∠ABD=90°-40°=50°.∵AC=BD,AC=BE,∴BD=BE,∴在△BDE中,∠E=(180°-∠DBE)=×(180°-50°)=65°.4.B[解析] 连结CE,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC.∵EF⊥AC,∴AE=CE.设DE=x,则CE=AE=8-x.在Rt△CDE中,由勾股定理,得x2+62=(8-x)2,解得x=,即DE=.故选B.5.C6.A[解析] ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OD=OC.∵CE垂直平分OD,∴OC=CD,OE=DE=OD,∴OC=OD=OB=1,则OE=,∴BE=1+=.故选A.7.2-[解析] ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=1,CD=AB=2.∵MA平分∠DMB,∴∠AMD=∠AMB.又∵AB∥CD,∴∠AMD=∠MAB,∴∠AMB=∠MAB,∴BM=AB=2.在Rt△BMC中,CM==,∴DM=CD-CM=2-.故答案为2-.8.解:如图,连结DF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=6,AD=BC=10.∵以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E,∴BE=6.∵以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F,∴DF=10.在Rt△DFC中,CF===8.∵EF=BE+CF-BC,∴EF=6+8-10=4.9.A[解析] ∵S1=2S△ABD,S△ABD=S2,∴S1=S2.故选A.10.B[解析] ∵矩形ABCD的边AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.在矩形ABCD中,OB=OD.在△BOE和△DOF中,∵∠ABO=∠CDO,OB=OD,∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(A.S.A.),∴S△BOE=S△DOF,∴阴影部分的面积=S△AOB=S矩形ABCD.故选B.11.32[解析] 连结AE.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∠ABC=90°,BC=AD=8,∴BE=BC-CE=3.∵OE⊥AC,∴AE=CE=5,∴AB===4,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=8×4=32.故答案为32.12.6 cm2[解析] ∵在矩形ABCD中,AB=6 cm,E是CD的中点,∴∠C=90°,AB=DC=6 cm,DE=CE=3 cm.∵BC=3 cm,BF=FC,∴CF=2 cm,BF=1 cm,∴四边形DBFE的面积=S△BDC-S△CEF=×6×3-×3×2=6(cm2).故答案为6 cm2.13.B[解析] 由矩形的性质,得∠ABC=∠A=∠C=90°,AD∥BC,∴∠BDE=∠DBC=22.5°,由折叠的性质,得∠C'BD=∠DBC=22.5°.∠C'=∠C=90°,∴∠CBC'=45°,∠C'BD=∠BDE,∴∠ABE=45°,∴△ABE,△BDE是等腰三角形,∴∠C'ED=∠AEB=45°,∴△C'DE是等腰直角三角形,∴图中的等腰三角形共有3个.故选B.14.解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠CED+∠DCE=90°.∵EF⊥CE,∴∠CEF=90°,∴∠CED+∠AEF=90°,∴∠DCE=∠AEF.又∵CE=EF,∴△DCE≌△AEF,∴CD=AE.由题意可知2(AE+DE+CD)=16且DE=2,∴2AE=6,∴AE=3.15.[解析] (1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)证明EG和FH所在的△DEG,△BFH全等即可.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,即AE∥CF.∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE=AD,CF=BC,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形.(2)由(1)可知,DE=BF.∵四边形AFCE是平行四边形,∴CE∥AF,∴∠DGE=∠DHA=∠BHF.∵AD∥BC,∴∠EDG=∠FBH.在△DEG和△BFH中,∵∠DGE=∠BHF,∠EDG=∠FBH,DE=BF,∴△DEG≌△BFH,∴EG=FH.16.解:(1)选择不唯一,如选图①.如图①,连结DN.∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD.∵∠DON=90°,∴BN=DN.∵∠BCD=90°,∴DN2=CD2+CN2,∴BN2=CD2+CN2.(2)BN2+DM2=CM2+CN2.理由:如图②,延长NO交AD于点P,连结PM,MN.∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OB,AD∥BC,∴∠DPO=∠BNO,∠PDO=∠NBO.在△BON和△DOP中,∵∠NBO=∠PDO,∠BNO=∠DPO,OB=OD,∴△BON≌△DOP(A.A.S.),∴ON=OP,BN=PD.∵∠MON=90°,∴PM=MN.∵∠ADC=∠BCD=90°,∴PM2=PD2+DM2,MN2=CM2+CN2,∴PD2+DM2=CM2+CN2,∴BN2+DM2=CM2+CN2.。
2019-2020年初中数学华师版八年级下册19.1.1矩形的性质课件 (2).ppt
A
D
又∵BE∥AC,
O
∴四边形ABEC是平行四边形,
B
C
∴AC=BE,
∴BD=BE.
E
(2)解：∵在矩形ABCD中,BO=4,
∴BD = 2BO =2×4=8. ∵∠DBC=30°, ∴CD= BD= ×8=4,
A
D
O
B
C
∴AB=CD=4,DE=CD+CE=CD+AB=8.
在Rt△BCD中,
E
BC=
A
D
测量 物体
橡皮 擦
（实物） AC BD
O B （形象图）C
∠BAD ∠ADC ∠BCD ∠ABC
课本 桌子
（2）根据测量的结果,你有什么猜想？ 猜想1 矩形的四个角都是直角. 猜想2 矩形的对角线相等.
你证明吗？
初中
数学优秀课件
证一证 已知,矩形ABCD.
A
D
求证： ∠A=∠B=∠C=∠D=90°. B
∴42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5，即DE＝5.
矩形的折叠问 题常与勾股定 理结合考查
∴S△BED＝ DE·AB＝ ×5×4＝10.
思考：矩形是不是中心对称图形? 如果是,那么对称中心是 什么？
O
由于矩形是平行四边形，因此 矩形是中心对称图形，对角线的交点是
它的对称中心.
做一做 请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观 察并思考. 矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称 轴有几条?
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第19章 矩形、菱形与正方形
19.1 矩形
1.矩形的性质
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
(课件) 19.1.2矩形的判定2
又∵AE∥DC ∴四边形ADCE是平行四边形
B
C
D
∴四边形ADCE是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）
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本节课你学习图，AB=AC，AE=AF，且∠EAB=∠FAC， EF=BC．求证：四边形EBCF是矩形．
例6 如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC垂足为点
D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB交
AG于点E，求证：四边形ADCE是矩形。
证明：∵AB=AC,AD⊥BC ∴∠B=∠ACB,BD=CD 又∵AG是∠FAC的平分线，
F
A
1E
G
2
1 1 CAF 1 (B ACB) B B
证明：∵△ABD和△BCD是全等的正三角D 形。
∴∠AOB=∠CDB=60°
C
又∵M,N是BC,AD边的中点。
N
M
∴BN⊥AD,DM⊥BC, ∠BDM=30° A ∴∠DNB=∠DMB=90 °
B
∠MDN=∠ADB+∠BDM=90°
∴四边形BMDN是矩形(三个角都是直角的四边形是矩形）
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2
2
∴AE∥BC
又∵ DE∥AB
∴四边形ADCE是平行四边形
C D
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例6 如图，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC垂足为点
D，AG是△ABC的外角∠FAC的平分线，DE∥AB交
AG于点E，求证：四边形ADCE是矩形。 F
A
E
G
∴AE=BD,AB=DE
∴AC=DE,AE=DC
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