§4.4 单调性和凸凹性
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函数单调性与凹凸性
例1 判断曲线 y x 3 的凹凸性.
y
y x3
解 y 3 x 2 , y 6x ,
当x 0时， y 0,
o
x
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0,)为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界 . 点
五、曲线的拐点及其求法
令 f ( x) 0 , 得 x 1, x 2
x ( , 1) f (x)
f (x)
故
1 0 2
(1 , 2)
2 ( 2 , ) 0 1
的单调增区间为 ( , 1) , (2 , ); 的单调减区间为
(1 , 2).
例4
当x 0时, 试证e 1 x成立.
例2 确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间. 解： x (,).
f ( x ) 2 3 x
3
y
,
( x 0)
o
y 3 x2
当x 0时, 导数不存在.
x
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0)上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在(0,)上单调增加；
1.定义
连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点.
2.拐点的求法
定理 2 如果 f ( x )在( x0 , x0 ) 内存在二阶导
x0 , f ( x0 ) 是拐点的必要条件是 f " ( x0 ) 0 . 数,则点
方法:
设函数f ( x )在x0的邻域内二阶可导 ,
且f ( x0 ) 0,
(1) x0两近旁f ( x )变号,点( x0 , f ( x0 ))即为拐点 ; (2) x0两近旁f ( x )不变号,点( x0 , f ( x0 ))不是拐点.
4.4-5 函数的单调性,极最值,凹凸性,拐点
例4 求下列函数的最值
(1) y 3 ( x 2 2 x ) 2 x 0,3 4( x 1) ( x ) 解 f 33 x 2 2 x 而 令f x） 0，得驻点 x 1， x 0,2是不可导点 （ 由于f (1) 1, f ( 2) 0, f (0) 0, f ( 3) 3 9
内的所有 x 0及f x不存在的点 找出 a, b f （一般有限个） ：
x 1 , x 2 , , x k ;在f a , f x 1 , f x 2 , , f x k , f b 中 选取出最大最小 ,
即为f x 在a, b上的M, m.
若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 ) 0，f
( 4)
( x0 ) 0, 则如何?
(1).若 f ( x0 ) f ( x0 ) f ( 2n1) ( x0 ) 0，f
则f ( x)在x0处取极值 .
( 2n)
( x0 ) 0,
x
f (x) f (x)
故
( , 1)
1
0
(1 , 2)
2 0 1
( 2 , )
y
2
(2 , ); 的单调减(单减)区间 为 (1 , 2).
的单调增(单增)区间为 ( , 1) ,
2 1
o
1 2
x
说明:
1) 单调区间的分界点除驻点外,也可是导数不存在的点.
例如,
y y 3 x2
f ( x0 ) f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 o ( x x0 ) 2 2!
函数单调性与曲线凹凸性的判别法PPT课件
般方法: ⑴确定函数的定义域; ⑵求出函数的一阶导函数, 并求出函数的驻点及不可
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3
导点;
⑶根据驻点和导数不存在的点, 划分区间, 注意到, 导函数在每一个区间内的符号不会改变, 从而有确定的
单调性.
第十六页，课件共有37页
应用: 证明不等式.
例5 证明当 x 0时, 有 ln x 1 x2 x.
-2
-1
-2
1
2
第三十页，课件共有37页
例8 设函数 f x 2x 5 3 x2 , 求曲线的凹凸区间.
解 当 x 0时,
f x 10 x 1, f x 10 2x 1,
3 3x
9 x3 x
当 x 1 时 f x 0, 而当 x 0时, 二阶导数不存
2
在, 从而将函数 f x的定义域划分成三个区间:
x2
y f x
f x1 f x2
2
o
x1
x x x1 x2
2
2
第二十五页，课件共有37页
如果函数 f x的图形在经过点 x0 , f x0 时改变了 上下凸性, 则称点 x0 , f x0 是曲线 y f x 的一个
拐点.
y
y f x
x0 , f x0
第十三页，课件共有37页
将函数的导数符号及单调性按三个区间列表如下:
f x 10 x 1, x 0
3 3x
x ,0 0
f x
f x
0
0,1 1 1,
0 3
第十四页，课件共有37页
y
2
单调下降
-1 -2 -4 -6 -8
-10
1
2
单调上升
第十五页，课件共有37页
x 3
函数的单调性与凹凸性
当x 0时， y 0,
曲线 在(,0]为凸的；
当x 0时， y 0,
曲线 在[0, )为凹的；
注意到, 点(0,0)是曲线由凸变凹的分界点.
放大图象
四 曲线的拐点及其求法
1 定义 设 函 数f ( x )在 区 间I上 连 续 ， 我 们 把
y f ( x )的 图 形 上 凸 弧 与 凹 弧 （ 弧 与 凸 弧 ） 凹 的分界点叫做曲线的拐 . 点
单调区间为 (,1]， [1,2]， [2, ).
例4
确定函数 f ( x ) 3 x 2 的单调区间.
解 函数的定义域为,). (
f ( x ) 2 33 x , ( x 0)
y 3 x2
当x 0时,导数不存在.
当 x 0时，f ( x ) 0, 在(,0]上单调减少； 当0 x 时， f ( x ) 0, 在[0, )上单调增加；
故在[1,)上单调增加； f (1) 0,
当x 1时， f ( x ) 0
1 当x 1时,2 x 3 成立. x
例6试证sin x x只有一个实根。
解：先证存在性: 观察法x 0
再 证 唯 一 性应 用 单 调 性 ） ( 设f ( x ) s in x x
由可导函数取得极值的条件，
f ( x ) 0.
注意：若 f ( x0 ) 不存在, 点 ( x0 , f ( x0 )) 也可能 是连续曲线y f ( x ) 的拐点.
3
拐点的求法 步骤：
(1)求f ( x );
( 2)令f ( x ) 0, 找出实根和二阶不可导 x0 点
于所张弦的上方
二 曲线凹凸的定义
4.4函数的单调性、凹凸性与曲线的渐近线
确定函数单调区间的一 般步骤：
(1) 确定函数 f ( x ) 的定义域；
(2) 求 f ( x ), 并求出使得 f ( x ) 0 的点以及 f ( x ) 不存在的点；
(3) 用上述点将 f ( x ) 的定义域分成若干小区间， 并判定每个子区 间内 f ( x ) 的符号，从而得到 f ( x ) 的单调区间.
例6. 判断曲线 y x 的凹凸性.
3
定义 连续曲线上凸弧与凹弧 的分界点称为拐点 .
注1. 设 ( x 0 , f ( x 0 )) 为 曲线 y f ( x ) 的拐点, 若 f ( x 0 ) 存在,
则 f ( x 0 ) 0. 反之未必, 如
(0, 0) 并非 y x 的拐点.
4
注2. 若 ( x0 , f ( x0 )) 为 y f ( x) 的拐点, 则 f ( x0 ) 未必存在.
例7. 求曲线 y 3 x 的拐点.
3 5 3 2 例 8. 求曲线 y x 3 x 3 1 的凹凸区间及拐点 . 5 2
确定函数凹凸区间及曲 线的拐点的一般步骤：
三. 曲线的渐近线 1.定义
定义 如果动点 M 沿曲线 C 趋于无穷远时, M 与某
直线 L 的距离趋于零, 则称 L 为曲线 C 的一条渐近线 .
2.渐近线的确定
(1) 垂直渐近线(垂直于 x 轴的渐近线)
命题 1
设函数 f ( x) 在 x c 间断, 若
x c x c
lim f ( x ) 或 lim f ( x ) ,
则称 f ( x ) 在 (a, b) 内是下凸 (上凹) 的, 也称 f ( x ) 是 (a, b) 内的下凸函数, 称区间 (a, b) 为该函数的下凸
第四节函数的单调性与凹凸性
F ( x ) 是凸函数
F ( x ) min F (0), F ( ) 0 (自证) 2 2 sin x x 即
第四节、函数单调性与凹凸性
五、作业
第四节、函数单调性与凹凸性
在区间I 上有二阶导数
在 I 内图形是凹的 ;
则 在 I 内图形是凸的 . 利用一阶泰勒公式可得
x1 x2 x x x x 1 2 1 2 f ( x1 ) f ( ) ) ( x1 ) f ( 2 2 2 f (1 ) x1 x2 2 ( x1 ) 2! 2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 ) ) f ( ) ( x2 f ( x2 ) f ( 2 2 2 f ( 2 ) x1 x2 2 ( x2 ) 两式相加，得 2! 2
第四节 函数的单调性与凹凸性
一、函数单调性的判定 法 二、曲线的凹凸与拐点 三、小结、思考与练习 四、作业
一、 函数单调性的判定法
定理 1. 设函数 在开区间 I 内可导, 若 在 I 内单调递增 (递减). 任取
( f ( x ) 0) ,则
证: 无妨设
由拉格朗日中值定理得
0
故
这说明 在 I 内单调递增.
( x 1)
2( x 3 3 x 2 3 x 1) 2 3 ( x 1)
2( x 1)( x 2 3 )( x 2 3 ) 2 3 ( x 1)
第四节、函数单调性与凹凸性
令 y 0 得 x1 1 , x2 2 3 ,
x 3 2 3
内容小结
1. 可导函数单调性判别 f ( x ) 0 , x I f ( x ) 0 , x I
函数的单调性与凹凸性
§4.4 函数的单调性与凹凸性
一、一阶导数的符号与函数的单调性
二、二阶导数符号与函数的凹凸性
一、一阶导数的符号与函数的单调性
性质4.1 设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内可导 ,
则 f ( x ) 在 [a , b] 上单增( 或单减 )的充要条件是
f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ),
在定义域 (0, ) 内有唯一零点 .
二、二阶导数符号与函数的凹凸性
定义4.2 设 f ( x ) 在 (a , b ) 内有定义 , 若对任何 x1 , x2
(a , b ) . 任何非负数 q1 , q2 q1 q2 1 有 f (q1 x1 q2 x2 ) q1 f ( x1 ) q2 f ( x2 )
y
y ln x
O
1
x
因此 f ( x ) ln x 在 (0,1) 内是下凸的,
在 (1, ) 内是上凸的.
例5
证明：
(1)
f ( x ) e x 是 (, ) 内的下凸函数;
( 2) 对任何 x , y (0, ) , 任何正数 p, q, pq 1 成立不等式 xy px qy .
2 x f ( x ) 4( x 1)e
x ( ,1) 时 , f ( x ) 0 , f ( x ) 在 (,1) 内是上凸的;
) 内是下凸的. x (1, ) 时 , f ( x ) 0 , f ( x ) 在 (1，
(4)
f ( x ) ln x 的定义域为 (0, ) ,
O a
b
x
O
a
b
一、一阶导数的符号与函数的单调性
二、二阶导数符号与函数的凹凸性
一、一阶导数的符号与函数的单调性
性质4.1 设 f ( x ) 在 [a , b] 上连续, 在 (a , b) 内可导 ,
则 f ( x ) 在 [a , b] 上单增( 或单减 )的充要条件是
f ( x ) 0 ( 或 f ( x ) 0 ),
在定义域 (0, ) 内有唯一零点 .
二、二阶导数符号与函数的凹凸性
定义4.2 设 f ( x ) 在 (a , b ) 内有定义 , 若对任何 x1 , x2
(a , b ) . 任何非负数 q1 , q2 q1 q2 1 有 f (q1 x1 q2 x2 ) q1 f ( x1 ) q2 f ( x2 )
y
y ln x
O
1
x
因此 f ( x ) ln x 在 (0,1) 内是下凸的,
在 (1, ) 内是上凸的.
例5
证明：
(1)
f ( x ) e x 是 (, ) 内的下凸函数;
( 2) 对任何 x , y (0, ) , 任何正数 p, q, pq 1 成立不等式 xy px qy .
2 x f ( x ) 4( x 1)e
x ( ,1) 时 , f ( x ) 0 , f ( x ) 在 (,1) 内是上凸的;
) 内是下凸的. x (1, ) 时 , f ( x ) 0 , f ( x ) 在 (1，
(4)
f ( x ) ln x 的定义域为 (0, ) ,
O a
b
x
O
a
b
微积分课件 第4章 导数的应用 4
2
2021年11月3日星期三
注 ①a可以取-∞，b可以取+∞； ②条件可以减弱。如可导性可以减弱为在(a,b)内除
有限个点外f ′(x)>0(或<0)。即：区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性. 如：
y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
③条件中是开区间，结果中是闭区间。 例如 对y=(x+1)3(x-2 )，y′=(x+1)2(4x-5)。当x>5/4时 y′>0，因此y在[5/4,+∞)上递增。类似地， x ≤ 5/4时y′≤0，且导 数等于零的点有两个，因此y在(-∞,5/4]上递减。
定义 f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若对任意x∈Uo(x0)有
f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
则称f(x0)为f(x)的极大(小)值，x0为f(x)的极大(小)值点。极大值 (点)和极小值(点)统称为极值(点)。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2021年11月3日星期三
y
y f (x)
5
2021年11月3日星期三
3. 利用单调性证明不等式
方法是将不等式化为右端为零的形式，左端设为f(x)，
然后求导分析f(x)的单调性。
例 证 明x 0时 ln(1 x) x x 2 。 2(1 x)
证明
设f
(x)
ln(1
x) (x
x2 2(1
)， x)
f
( x)
x2 2(1 x)2
21
2021年11月3日星期三
二、最值 1. 闭区间情况
极值是局部性质，把所有的极值都综合考虑可求最值。我们知 道，闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值、最小值， 显然f(x)的最值点要么是极值点，要么是区间的端点，因此只 要求出所有的极值点，把它们的函数值与两端点的函数值相比 较，最大的即为最大值，最小的为最小值。
2021年11月3日星期三
注 ①a可以取-∞，b可以取+∞； ②条件可以减弱。如可导性可以减弱为在(a,b)内除
有限个点外f ′(x)>0(或<0)。即：区间内个别点导数为零,不影响 区间的单调性. 如：
y x3, y x0 0, 但在(,)上单调增加.
③条件中是开区间，结果中是闭区间。 例如 对y=(x+1)3(x-2 )，y′=(x+1)2(4x-5)。当x>5/4时 y′>0，因此y在[5/4,+∞)上递增。类似地， x ≤ 5/4时y′≤0，且导 数等于零的点有两个，因此y在(-∞,5/4]上递减。
定义 f(x)在x0的某领域U(x0)有定义，若对任意x∈Uo(x0)有
f (x) f (x0 ) f (x) f (x0 )
则称f(x0)为f(x)的极大(小)值，x0为f(x)的极大(小)值点。极大值 (点)和极小值(点)统称为极值(点)。
14
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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y
y f (x)
5
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3. 利用单调性证明不等式
方法是将不等式化为右端为零的形式，左端设为f(x)，
然后求导分析f(x)的单调性。
例 证 明x 0时 ln(1 x) x x 2 。 2(1 x)
证明
设f
(x)
ln(1
x) (x
x2 2(1
)， x)
f
( x)
x2 2(1 x)2
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二、最值 1. 闭区间情况
极值是局部性质，把所有的极值都综合考虑可求最值。我们知 道，闭区间[a,b]上的连续函数f(x)必有最大值、最小值， 显然f(x)的最值点要么是极值点，要么是区间的端点，因此只 要求出所有的极值点，把它们的函数值与两端点的函数值相比 较，最大的即为最大值，最小的为最小值。
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微积分
4
x2 例 证明 x > 0时 ln(1 + x ) < x . 2(1 + x )
x2 练习 证明x > 0时 ln(1 + x) > x . 2
例
证明当x∈(0,1) 时, ln2(1+x)+2ln(1+x)<2x. 证明当
第四章简单优化问题
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2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
拐点. 凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点 凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点. 第四章简单优化问题
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2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
微积分
6
二,凹凸性
上可导, 定义 f ( x)在区间(a, b)上可导,若对 x0 ∈ (a, b),f ( x)在
x0处的切线在曲线 处的切线在曲线y=f(x)的下 上)方,则称 在(a,b)上(的图 的下(上 方 则称f(x)在 的下 上 的图 凸的)或 凸 弧 区间. 形)是凹的 凸的 或凹(凸)弧,(a,b)为f(x)的凹(凸)区间. 是凹的(凸的 为 的 凸 区间 拐点. 凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点 凹弧和凸弧的分界点称为曲线的拐点. 定理 f ( x)在区间(a, b)上二阶可导,若对 x ∈ (a, b),有 上二阶可导,
微积分
5
二,凹凸性 定义
f ( x)在区间(a, b)上连续,若对x1,x 2 ∈ (a, b)有 上连续, x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) f < 2 2
则称f(x)在 的图形)是 凹弧), 则称 在(a,b)上(的图形 是凹的 凹弧 ,(a,b)为f(x)的凹区间. 上 的图形 凹的(凹弧 为 的凹区间.
3 3 3 3 例 求y = x x + 1的拐点 . 5 2
5
2
1 9 3 2) . 答案 ( ,1 2 10
第四章简单优化问题
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�
练习 求y =
5 3
利用函数的单调性可以证明一些不等式. 利用函数的单调性可以证明一些不等式.方法是将 不等式化为右端为零的形式,左端设为f(x), 不等式化为右端为零的形式,左端设为 ,然后求导 分析其单调性. 分析其单调性. 第四章简单优化问题
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2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
第四章简单优化问题
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2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
微积分
2
定理 函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导, 函数 在 上连续, 内可导, 上连续 内可导
(1)x ∈ ( a , b ), f ′( x ) > 0,则 y = f ( x )在[ a , b ]上单调递增; 上单调递增; (2 )x ∈ ( a , b ), f ′( x ) < 0,则 y = f ( x )在[ a , b ]上单调递减. 上单调递减.
返 回 上一张 下一张 退 出
2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
微积分
3Hale Waihona Puke 例y = x 3 3 x + 1 的单调性. 的单调性. 讨论函数 [1, +∞) 上递增;在 [1,1] 递减. 上递增; 递减.
2 3
答案 在 (∞, 1] 和
3 3 x x + 1的单调区间 . 5 2 上递增; 答案 在 ( ∞ ,0]和[1, +∞ ]上递增;在 [0,1]上递减 .
f ′′( x) > 0(< 0),则y = f ( x)在区间(a, b)上是凹(凸)的.
例 求y = e
x2
的凸区间和凹区间 .
2 2 2 2 )和( ,+∞)是凹区间, 是凹区间, ( , )是凸区间. 答案 (∞, 2 2 2 2
第四章简单优化问题
返 回 上一张 下一张 退 出
2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
2010年6月26日星期六 年 月 日星期六
微积分
1
§4.3 单调性和凸凹性
一,单调性 单调性的定义: 回忆 单调性的定义:
f ( x ) 在区间 D 有定义, x1, x 2 ∈ D , x1 < x 2, 有定义,
(1)f(x1)<f(x2),则称 在D上单调递增; ,则称f(x)在 上单调递增; (2)f(x1)>f(x2),则称 在D上单调递减; ,则称f(x)在 上单调递减;
可以取可以取+∞; , 可以取 , 可以取 注 1,a可以取-∞,b可以取 ; 2,条件可以减弱,如连续性可以减弱为在[a,b]内除有限 ,条件可以减弱,如连续性可以减弱为在 内除有限 个点外f′(x)>0(或<0). 或 . 个点外 例如 对y=(x+1)3(x-2). . 一般地,在求单调区间时, 一般地,在求单调区间时,先找出使导数等于零 的点(称为驻点)和导数不存在的点 称为驻点 和导数不存在的点, 的点 称为驻点 和导数不存在的点,利用这些点将函 数的定义域分成几个区间, 数的定义域分成几个区间,然后在每个区间内用导数 的符号判断单调性.一般可以列表讨论. 的符号判断单调性.一般可以列表讨论. 第四章简单优化问题
f ( x)在区间(a, b)上连续,若对 x1,x 2 ∈ (a, b)有 上连续, x1 + x 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) f > 2 2 则称f(x)在 的图形)是 凸弧), 则称 在(a,b)上(的图形 是凸的 凸弧 ,(a,b)为f(x)的凸区间. 上 的图形 凸的(凸弧 为 的凸区间.
微积分
7
例 求 y = ln(1 + x 2 ) 的凹凸区间. 的凹凸区间.
)和(, ∞)是凸区间,(1,1) 是凹区间. 1+ 是凸区间, 是凹区间. 答案 ( ∞, 1
求拐点,先求出使二阶导数等于零和不存在的点. 求拐点,先求出使二阶导数等于零和不存在的点. 注意这些点不一定都是拐点 这些点不一定都是拐点, 注意这些点不一定都是拐点,还要判断在其左右邻域 内二阶导数是否异号. 内二阶导数是否异号.