戴维南定理例题

第四章电路定理◆重点：1、叠加定理2、戴维南定理和诺顿定理◆难点：1、熟练地运用叠加定理、戴维南定理和诺顿定理分析计算电路。

2、掌握特勒根定理和互易定理，理解这两个定理在路分析中的意义。

4-1 叠加定理网络图论与矩阵论、计算方法等构成电路的计算机辅助分析的基础。

其中网络图论主要讨论电路分析中的拓扑规律性，从而便于电路方程的列写。

4.1.1 几个概念1．线性电路——Linear circuit由线性元件和独立源组成的电路称为线性电路。

2．激励与响应——excitation and response在电路中，独立源为电路的输入，对电路起着“激励”的作用，而其他元件的电压与电流只是激励引起的“响应”。

3．齐次性和可加性——homogeneity property and additivity property“齐次性”又称“比例性”，即激励增大K倍，响应也增大K倍；“可加性”意为激励的和产生的响应等于激励分别产生的响应的和。

“线性”的含义即包含了齐次性和可加性。

齐次性：可加性：4.1.2 叠加定理1．定理内容在线性电阻电路中，任一支路电流（电压）都是电路中各个独立电源单独作用时在该支路产生的电流（电压）之叠加。

此处的“线性电阻电路”，可以包含线性电阻、独立源和线性受控源等元件。

2．定理的应用方法将电路中的各个独立源分别单独列出，此时其他的电源置零——独立电压源用短路线代替，独立电流源用开路代替——分别求取出各独立源单独作用时产生的电流或电压。

计算时，电路中的电阻、受控源元件及其联接结构不变。

4.1.3 关于定理的说明1．只适用于线性电路2．进行叠加时，除去独立源外的所有元件，包含独立源的内阻都不能改变。

3．叠加时应该注意参考方向与叠加时的符号4．功率的计算不能使用叠加定理4.1.4 例题1．已知：电路如图所示–6V+4– 6V +求：X U 及两个独立源和受控源分别产生的功率。

解：根据叠加定理，电路中电压源和电流源分别作用时的电路如图（b ）、（c ）所示。

图（b ）中，根据节点法或直接根据克希霍夫定律和欧姆定律可得电路方程为：X X U U '215')4121(-=⨯+ 解得：V U X 4'=。

图（c ）中，同样也可根据节点法或直接根据克希霍夫定律和欧姆定律可得电路方程为：X X X U U U ''214''62''++=-解得：V U X 2.1'-=。

根据叠加定理，V U U U X X X 8.2'''=+= 对于独立电压源：V U S 6=，V U I X 6.328.2525=-=-=因此，独立电压源的功率)(6.216.36W I U P S U S =⨯==对于独立电流源：V I S 5=，V U U X 8.2==因此，独立电流源的功率)(148.25W UI P S I S =⨯==对于受控源：)(4.128.22A U I X ===受，)(8.88.266V U U X =+=+=受因此，受控源的功率)(32.124.18.8W I U P -=⨯-=-=受受受从这个例题可以看出，使用叠加定理时，当几个独立源单独作用时的电路的分析应该灵活地使用我们所学过的电路分析方法。

2． 已知：如图所示的电路中，网络N 由线性电阻组成，当A 1=s i ，V 2=s u 时，A 5=i ；当A 2-=s i ，V 4=s u 时，V 24=u 。

3Ω求：当A 2=s i ，V 6=s u 时，=u ？解：所求的电压u 可以看作是激励s i 和s u 产生的响应，利用线性电路的线性性质，响应u 与激励s i 和s u 之间为一次线性函数关系：s s u k i k u 21+=根据已知条件，列写联立方程组，⎩⎨⎧⨯+-⨯=⨯+⨯=Ω⨯-V 4A)2(V 24V2A 13A 52121k k k k 可以解出5.131-=k ，75.02-=k ，由此当A 2=s i ，V 6=s u 时，)V (5.31675.025.1321-=⨯-⨯-=+=s s u k i k u4-2 替代定理4.2.1 定理内容给定任意一个线性电阻电路，其中第k 条支路的电压k u 和电流k i 已知，那么这条支路就可以用一个具有电压等于k u 的独立电压源，或者一个具有电流等于k i 的独立电流源来代替，替代后的电路中的全部电压和电流均将保持原值（即电路在改变前后，各支路电压和电流均是唯一的）。

4.2.2 关于定理的说明1．定理中的支路可以含源，也可以不含源，但不含受控源的控制量或受控量； 2．定理可以应用于非线性电路；3．定理的证明略去，但可以根据“等效”的概念去理解。

4.2.3 例题1．已知：如图所示 求：当=1i ？(a)U(b)解：图（a ）中：1773434//21015.0+-=++-=U U I图（b ）中：123221-=-+=U U U I 由于对于外电路而言是等效的，因此，被划开的支路的VCR 应相同：123177343-==+-U I U V U 98=∴这样，就可以在图（a ）中计算待求量。

A I 914244//2101)981(1=+⨯+⨯+=4-3 戴维南定理和诺顿定理4.3.1 戴维南定理一、定理内容一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻串联的组合来等效置换，此电压源的电压等于一端口的开路电压，而电阻等于一端口的全部独立源置零后的输入电阻。

Ru(a) (b)+uocR eq-1’(c) (d)二、定理的证明替代定理S(t)(a) (b)R+u_oc N0)()()(t iRutuutueqocNoc⋅+=+=1．将所求支路划出，余下部分成为一个一端口网络；2．求出一端口网络的端口开路电压；3．将一端口网络中的独立源置零，求取其入端等效电阻；4．用实际电压源模型代替原一端口网络，对该简单电路进行计算，求出待求量。

4.3.2 诺顿定理一、定理内容一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电阻并联的组合来等效置换，此电流源的电流等于一端口的短路电流，而电阻等于一端口的全部独立源置零叠加定理后的输入电阻。

i(a) (b)sc eq (c) (d)二、定理的证明 略。

三、定理的使用与戴维南定理的用法相同。

只是在第2点时变为求取一端口网络的短路电流。

4.3.3 最大功率传递定理一、定理内容应用T-N 定理可以推出：由线性单口网络传递给可变负载的功率为最大的条件是：负载应该与戴维南（诺顿）等效电阻相等。

设L R 为变量，在任意瞬间，其获得的功率为：L Lo ocL R R R U R i p 22)(+==这样，原电路问题变为：以L R 为函数，p 为变量，求取在变量L R 为何值时，其功率p 为最值。

因为0)()()()(2)(342=+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+=L o L o oc L o L L o L o oc L R R R R U R R R R R R R U dR dp时， o L R R =而 083222<-==oocR R LR U dR p d oL因此，o L R R =即为使功率为最大值时的条件。

二、说明1． 该定理应用于电源（或信号）的内阻一定，而负载变化的情况。

如果负载电阻一定，而内阻可变的话，应该是内阻越小，负载获得的功率越大，当内阻为零时，负载获得的功率最大。

2． 线性一端口网络获得最大功率时，功率的传递效率未必为50%。

（即由等效电阻o R 算得的功率并不等于网络内部消耗的功率）4.3.4 关于这两个定理的说明1． 十分重要，常常用以简化一个复杂电路中不需要进行研究的有源部分，即将一个复杂电路中不需要进行研究的有源二端网络用戴维南或诺顿等效来代替，以利于其余部分的分析计算。

2． 如果外部电路为非线性电路，定理仍然适用。

3． 并非任何线性含源一端口网络都有戴维南或诺顿等效电路。

如果一个单口网络只能等效为一个理想电压源，那么它就不具有诺顿等效电路；相同的，如果一个单口网络只能等效为一个理想电流源，那么它就不具有戴维南等效电路。

具体的说明可以参看有关参考文献或资料。

（问题：何时会出现这种情况，可否举出相应的例子？）4． 当电路中存在受控源时使用这两个定理要十分小心。

外电路不能含有控制量在一端口网络N S 之中的受控源，但是控制量可以为端口电压或电流。

因为在等效过程中，受控量所在的支路已经被消除，在计算外电路的电流电压时就无法考虑这一受控源的作用了。

4.3.5 例题一、 戴维南定理1．已知：电路如图所示U S _U S _(b)(c)求：负载上的电流I 。

解： 实际上这是我们在电子测量中常常遇到的“电桥”电路。

可以分析出，如果用前面的“支路法”、“回路法”或“节点法”计算负载电阻上流过的电流，都比较麻烦。

而且这类问题只关系某一条支路的响应，用前面的方法必然引入多余的电量。

1．将负载电阻划出 电路如图（b ）所示2．求一端口网络的开路电压（这一部分可能会遇到复杂电路，就可以用网孔法或节点法来解决）))((43213241343121R R R R R R R R U R R R U R R R U U U U U sss cbac ab oc ++-=+-+=+==3．将一端口网络内的独立电源置零，求其入端等效电阻 置零后，一端口网络的电路如图（c ）所示，。

因此))(()()(////4321214343214321R R R R R R R R R R R R R R R R R eq +++++=+=4．对于负载电阻而言，原电路等效为R U -S LL oc U R R R R R R R R R R R R R R R R R R R U I ))(()()(43212143432132410++++++-=+=二、 诺顿定理1． 已知：电路如图所示2k求：I 。

解：1．将待求支路从原电路中划开，如图（a ）2．求o R将电路中的电源置零——电压源用短路线代替，电流源用开路代替，如图（b ）所示：(b)Ω=+=k R o 33//125.23．求sc I应用叠加定理。

求取短路电流的电路如图（c ）所示。

将它等效为图（d ）+图（e ）：在图（d ）中，mA I sc 125.2111//25.2312'=+⨯+=在图（e ）中，所求支路为短路线，所以mA I sc 2''-=所以：mA I I I sc sc sc 112'''-=+-=+=。

4．原电路等效为：可以计算得出：mA I 6.02331-=+⨯-= 5．电路如图，用戴维南定理求I 及U+ 11IU _20V U解： （1）将所求支路划出（2）求U oc因为X X I I =+-511011，所以A I x 2=。