圆锥曲线的仿射变换

第28讲 仿射变换整理：四川泸州刁如金一、问题综述设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，作变换:x x ayy b ϕ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩得单位圆22:1C x y '''+=，记点1122(,),(,)A x y B x y 在变换ϕ下的对应点分别为1122(,),(,)A x y B x y ''''，设直线AB 和A B ''的斜率分别为,k k '（斜率存在且非零），AOB ∆和A OB '''∆的面积分别为,S S '．则变换ϕ有以下性质：性质1：共线结合性，即AB AC A B A C λλ''''=⇔=；1212////l l l l ''⇔；A C A C '∈⇔∈．性质2：b k k a '=或k bk a='． 证明：21212121()()y y b y y b k k x x a x x a ''--'===''--．性质3：线段AB 中点E 变成线段A B ''中点E '． 性质4：直线与曲线的位置关系保持不变．性质5：直线AB 上线段成比例，则变成直线A B ''上对应的线段仍成比例． 性质6：S abS '=或Sab S ='， 证明：因为122112211122S x y x y ab x y x y abS '''''=-=-=，即证之． 性质7：设线段AB 在伸缩变换ϕ下的像为A B ''，显然在伸缩变换下线段的长度关系不具有确定的关系，但是我们可以利用斜率的不变关系（性质2）寻找,AB A B ''的关系：即设线段AB 所在直线斜率为k，则A B A BAB x x A B x x -===''''-二、典例分析类型1：取值范围型【例1】设直线1y kx =-和椭圆2214x y m +=有且仅有一个公共点，求k 和m 的取值范围．解析：令2xx y y m ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，则已知椭圆和直线变为相应的圆22:1O x y '''+=和直线210kx ''-=，1=，即214m k =-，故得01m <≤， 即20141k <-≤，解得1122k -<<．【方法小结】转化到直线与圆相切，建立参数关系式，利用二次函数最值求解．类型2：三角形面积最值型【例2】若,,A B C 是椭圆()222210x y a b a b +=>>上的三点，求ABC ∆面积的最大值．解析：对椭圆()222210x y a b a b +=>>做伸缩变换x x ayy b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，椭圆就变成圆221x y ''+=．此时椭圆的内接ABC ∆就变成圆的内接A B C '''∆， 而圆的内接三角形以内接正三角形面积最大， 从而A B C S '''∆， 还原到椭圆中，由伸缩变换对应多边形面积比的不变性可知， ABCS ∆． 【例3】已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，面积为2ab 的椭圆内接四边形有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：对椭圆()222210x y a b a b +=>>做伸缩变换x x ayy b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，椭圆就变成圆221x y ''+=，此时相应的椭圆内接四边形就变成圆的内接四边形， 当椭圆的内接四边形的面积2ab 时， 其对应的圆内接四边形的面积就是122ab ab⨯=， 由平面几何知识知圆的内接正方形的面积为2， 而这样的内接正方形有无数个，还原到椭圆可知对应的椭圆内接四边形也有无数个， 故选D ．【例4】（2014年高考全国新课标1卷理第20题）已知点()0,2A -，椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. (Ⅰ)求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程． 解析：（Ⅰ）椭圆E 的方程为2214x y +=．（Ⅱ）由伸缩变换:2xx y y ϕ⎧'=⎪⎨⎪'=⎩，椭圆2214x y +=（如下图）变成了单位圆221x y ''+=， ()0,2A -变为()0,2A '-，设直线P Q ''的方程为2y kx ''=-．原点O '到直线P Q ''的距离为21d k =+圆与直线相交，则需要满足1d <， 从而易得23k >，则2222223211211k P Q d k k ⎛⎫-''=-=- ⎪ ⎪++⎝⎭则2222221213222112324332142O P Q SP Q d k k k k k k '''''=-=⋅++-==--≤= 23k -，即7k =()1S=，此时直线l 的斜率为72b k a ±=±，且()()()maxmaxmax21OPQ O P Q O P Q Sab SS''''''===．又直线l 过点()0,2A -， 所以直线l 的方程为722y x =-或722y x =--． 【方法小结】对于求三角形面积和直线方程问题，可以用性质2和6求解．类型3：四边形面积型【例5】（2013年高考全国新课标2卷理科第20题）平面直角坐标系xOy 中，过椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>右焦点的直线30x y +-=交M 于,A B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．（Ⅰ）求M 的方程；（Ⅱ）,C D 为M 上的两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形的最大值． 解析： 在伸缩变换:x x ay y b ϕ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩下，椭圆（如下图）变成圆，（Ⅰ）由伸缩变换性质知,2A B AB O P OP a a a ak k k k b b b b''''==-==， 又在椭圆中P 为AB 的中点，则在单位圆中P '为A B ''的中点， 则O P A B ''''⊥，故2212A B O P a k k b''''=-=-，即222a b =，又因为直线30x y +过椭圆的右焦点， 则3c 6,3a b ==， 则椭圆M 的方程为221x y +=．A B AB C D CDk k''''===设AB'与C D''间的夹角为α，则tanα==则sinα又直线AB变换为直线A B''10y''+-=，则O'到直线A B''的距离d==则A B''=又1sin2A B C DS A B C D Dα''''''''''=≤当C D''为圆的直径时取等号，由伸缩变换的性质知，ABCD A B C D A B C DS abS''''''''==【方法小结】对于四边形面积问题，在单位圆中利用三角函数的有界性和性质6求解．类型4：距离型【例6】在椭圆22147x y+=上求一点，使它到直线:3216l x y--=的距离最短，并求此距离．解析：作仿射变换2xxy⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，则已知椭圆和直线l变为相应的圆221x y''+=和直线:6160l x'''--=，从而所求问题变为：在圆221x y''+=上求一点到直线:6160l x'''--=的距离的最短问题，由平面几何知识可知，过圆221x y''+=的圆心()0,0O作直线l'的垂线段，交圆于点(),P x y'''，点P'到垂足的距离最短，由直线l'的垂线:OP y'''=和圆221xy''+=相交，解方程可求得点P'为3,4⎛⎝⎭，37⎛⎫所求最短距离为()22373216813241332⨯+⨯-=+-． 【方法小结】距离最短，转化为单位圆中的垂线段最短，联立方程后得到点的坐标，用点到直线的距离求解即可．类型5：证明型【例7】如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>（其中）与过点()()2,0,0,1A B 的直线有只且只有1个公共点T ，且椭圆的离心率32e =． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设12,F F 分别为椭圆的焦点，M 为线段2AF 的中点，求证：1ATM AFT ∠=∠．解析： （Ⅰ）如下图利用伸缩变换x x ayy b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩，椭圆上的点,,A T B 变换为圆,,A T B '''上的点，因为切线AB 的方程为12x y +=，所以切线A B ''的方程为12ax by ''+=， 由点O '到切线A B ''距离22112d a b ==⎛⎫+ ⎪⎝⎭，得2244a b +=，又32c e a ==，解得2212,2a b ==， 从而椭圆方程为22212x y +=．（Ⅱ）由点()()2,0,0,1A B 可变换得()()2,0,0,2A B ''，所以12A T AB ''''=． 由性质2可知1522AT AB ==， 在椭圆中易得1661,242AM AF =-=+， 从而21AT AF AM =，即1AT AM AF AT=，又1TAF M AT ∠=∠，从而1TAF MAT ，得1ATM AFT ∠=∠．【方法小结】用坐标伸缩变换将椭圆问题化作圆处理，解答过程完全退去了代数运算的成分，而是通过图形的几何性质进行解答，化繁为简，事半功倍类型6：相切轨迹型【例8】（2014年广东省数学高考理科试题第20题）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为53． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若动点00(,)P x y 为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆的两条切线互相垂直，求点P 的轨迹方程． 解析：（Ⅰ）22194x y +=（Ⅱ）如图，设点,,A P B 在伸缩变换32xx yy ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩下的像分别为,,A P B '''，可知00,32x y P ⎛⎫' ⎪⎝⎭，从而339224P A P B PA PB k k k k ''''==-，直线,P A PB ''与圆O '相切，设过点P 的圆的切线方程为0023y x y k x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即0066320kx y y kx -+-=， 从而圆心O '到切线的距离为1d ==，即()2220000436129360xk x y k y --+-=，根据韦达定理知， 202093694436P A P B y k k x ''''-==--， 化简得22013x y +=， 故点的轨迹方程为2213x y +=．【方法小结】在单位圆中得到切线方程，用点到直线的距离建立二次方程，用韦达定理得到202093694436P A P B y k k x ''''-==--，即可求得轨迹方程为2213x y +=．类型7：定值型【例9】（2011年重庆卷理科第20题） 如题（20）图，椭圆的中心为原点O，离心率e =，一条准线的方程为x =（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；(Ⅱ) 设动点P 满足：2OP OM ON =+，其中,M N 是椭圆上的点，直线OM 与ON 的斜率之积为12-，问：是否存在两个定点12,F F ，使得12PF PF +为定值？若存在，求12,F F 的坐标；若不存在，说明理由． 解析：（Ⅰ）所求椭圆的方程为22142x y +=（Ⅱ）在伸缩变换2x x y ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩的作用下（如下图）椭圆22142x y +=变为圆：221x y ''+=，12OM ON k k =-变为1O M O N k k ''''⋅=-，点,,M N P 变为点,,M N P '''．在圆中，由1O M O N k k ''''=-，知O M O N ''''⊥，设()(),,cos ,sin ,cos ,sin 22P x y M N ππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫'''''++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()sin ,cos N αα'-，因为2O P O M O N ''''''=+， 所以cos 2sin sin 2cos x y αααα'=-⎧⎨=+⎩，两式平方相加，得225x y ''+=， 即点P '的轨迹为圆225x y ''+=， 由伸缩变换知，在椭圆中，点P 的轨迹为椭圆2212010x y +=，所以存在两个定点())1210,0,10,0F F -，使得125PF PF +=【方法小结】利用单位圆的参数方程得到点P '的轨迹为圆225x y ''+=，通过伸缩变换得到点P 的轨迹为椭圆2212010x y +=，所以存在两个定点())1210,0,10,0F F -，使得125PF PF +=三、巩固练习1.（2014年浙江省数学高考理科试题第21题）如图，设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，动直线l 与椭圆C 只有一个公共点P ，且点P 在第一象限．（Ⅰ）已知直线l 的斜率为k ，用,,a b k 表示点P 的坐标；（Ⅱ）若过原点O 的直线1l 与l 垂直，证明：点P 到直线1l 距离的最大值为a b -．2、（2011年江苏卷理科第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，,M N 分别是椭圆22142x y +=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于,P A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ． （Ⅰ）当直线PA 平分线段MN 时，求k 的值； （Ⅱ）当2k =时，求点P 到直线AB 的距离d ； （Ⅲ）对任意0k >，求证：PA PB ⊥．3.（2013年山东高考理文科第22题）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短轴长是2． (Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)A ，B 是椭圆C 上满足三角形AOBE 为线段AB 的中点，射线OE 交椭圆C 于点P .设OP tOE =，求实数t 的值.(第21题图)参考答案：1.第1小题的伸缩变换解法如下：解析：（Ⅰ）如图，设切点()00,P x y ，在伸缩变换x x a y y b ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩的作用下，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>变换为圆221x y ''+=，椭圆上的点()00,P x y 变换为圆上的点00,x y P a b ⎛⎫' ⎪⎝⎭， 过点P 的切线l 变换为过点P '的切线l '，且l l a a k k k b b '==， 由点P '在圆221x y ''+=上得2200221x y a b += ① ， 由O P l '''⊥得1O P l k k '''=-， 从而001ay a k bx b=-， 即2002a ky x b =-，代入①式可得点22222222,a k b P a k ba kb ⎛⎫- ⎪ ⎪++⎝⎭． 2.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）略． （Ⅲ）在伸缩变换2:2x x yy ϕ⎧'=⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩的作用下，椭圆22142x y +=（如图）变成了单位圆221x y ''+=，()()0011,,,P x y B x y 变为,P B ''，在圆中，由21P A B A B A P B k k k k ''''''''=⎧⎨=-⎩，得2P A P B k k ''''=-， 得001001222y y y x x x '''-=-'''-，00122222=-⋅-， 即0010011y y y x x x -⋅=--，即1PA PB k k =-，故PA PB ⊥．3. 解析：(Ⅰ)略(Ⅱ)将椭圆2212x y +=伸缩变换成221x y +=， 设,,,,O A B E P 分别对应于点,,,,O A B E P '''''， 考虑到1,2AOB A B B A S x y x y =-则12A O B A B B A S x y x y '''''''=-由OP tOE =，有OP tOE ''=， 设A O E α'''∠=，由于2O E A π'''∠=， 故1O E O E O A O P t α''''==''''cos =又1=11sin 22A O B S α'''⨯⨯⨯=故sin 2α=，又2α为三角形内角， 故2=3πα或23π，则=6πα或3π，综上，1cos t α==或2，即，t =或2t =．。