高中数学第三章统计案例1.2相关系数知识导航北师大版选修2-3资料
i
xi
yi
xi2
yi2
xiyi
1
159
158
25 281 24 964 25 122
2
160
159
25 600 25 281 25 440
3
160
160
25 600 25 600 25 600
4
163
161
26 569 25 921 26 243
5
159
161
25 281 25 921 25 599
2.设变量x,y存在相关关系,今测得下列10组数据.
x 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16
y 15 20 25 30 35 45 60 80 82 105
（1）写出y关于x的线性回归方程； （2）预测x=25时y的取值； (3)求线性相关系数r. 解：
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑
784
840
7
30
30.36
900
910.80
∑
168
202.94
4 144
4 900.16
==24,=,
r=
==0.96.
由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的线性相关关系.
绿色通道:当相关系数|r|越接近1时,两个变量的相关关系越强,当相关系
数|r|越接近0时,两个变量的相关关系越弱.
变式训练
1.以下是收集到的新房屋的销售价格y和房屋的大小x的数据.
房屋大小/m2 115
110
80
135
105
销售价格/万 元
24.8
21.6
18.4
29.2
22
(1)画出数据的散点图;
(2)用最小二乘估计求线性回归方程；
(3)求相关系数r,并作出评价.
解:(1)略.
(2)
i
xi
yi
xi2
yi2
xiyi
1
115
33 149
xiyi 30 60 =8，=49.7，
100
150
210
360
600
960
1 148
1 680
5 298
b=≈6.3， a=-b=49.7-6.3×8=-0.7， ∴线性回归方程为y=-0.7+6.3x. 当x=25时,y=156.8， r== =0.992 5. x与y之间有很强的线性相关性.
24.8
13 225 615.04
2 852
2
110
21.6
12 100 466.56
2 376
3
80
18.4
6 400
338.56
1 472
4
135
29.2
18 225 852.64
3 942
5
105
22
11 025
484
2 310
∑
545
116
60 975 2 756.8 12 952
==109，==23.2， b==0.196， a=-b=23.2-0.196×109=1.836. ∴回归方程为y=1.836+0.196x， （3）r= =0.96， 拟合程度较高. 【例题2】为了了解某地母亲身高x与女儿身高y的相关关系,现随机测得 10对母女的身高,所得数据如下表所示.
母亲身 高x/cm
159 160 160 163 159 154 159 158 159 157
女儿身 高y/cm
158 159 160 161 161 155 162 157 162 156
（1）试对x与y进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm时，女 儿的身高为多少？
（2）求相关系数r. 解：（1）
1.2相关系数
自主整理 判断两个变量之间的线性相关关系的方法有：
（1） _______________________________________________________________. （2） _______________________________________________________________. 高手笔记
如何用变量间线性系数r来恒量两变量间的线性相关程度的大小? 剖析：误差Q(a，b）=［yi-(a+bxi)］2=lyy+n［-(a+b)］2+lxx(b-)2-. 当b=,a=-b时，Q（a，b）最小=lyy-=lyy（1-）=lyy·（1-r2）. ∵Q(a,b)≥0， ∴1-r2≥0，即r∈［-1，1］. （1）|r|值越大，1-r2越接近于0，误差Q（a，b）越小，两变量之间的线 性相关程度越高. （2）|r|值越接近于0，1-r2越大，误差Q（a，b）越大，两变量之间的线 性相关程度越低. （3）当r=0时，两变量线性不相关. 讲练互动
求相关系数r. 解：列表如下
i
28.35 xi
28.75 28.87 yi
29.75 xi2
30.00 30.36 xiyi
1
ห้องสมุดไป่ตู้
18
26.86
324
483.48
2
20
28.35
400
567
3
22
28.75
484
632.5
4
24
28.87
576
692.88
5
26
29.75
676
773.5
6
28
30.00
1.假设两个随机变量的数据分别为（x1，y1），（x2，y2)，…，（xn， yn），则变量间线性相关系数r的计算公式为 r= 2.（1）r∈［-1，1］，|r|值越大，误差Q越小，变量之间的线性相关程 度越高. （2）|r|值越接近0,Q越大,变量之间的线性相关程度越低. (3)当r＞0时,lxy＞0,b=＞0,两个变量正相关. 当r＜0时,lxy＜0,b=＜0,两个变量负相关. 当r=0时,两个变量线性不相关. 名师解惑
【例1】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡 量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重
要因素，在生产中常用甲醛浓度x（克/升）去控制这一指标，为此必须 找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.
甲醛浓度(克/ 升)18
20
22
24
26
28
30
缩醛化度(克分 子%)26.86
xi 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16 80
yi 15 20 25 30 35 45 60 80 82 105 497
xi2 4 9 16 25 36 64 100 144 196 256 850
yi2
225
400
625
900
1 225
2 025
3 600
6 400
6 724
11025
==158.8，=159.1， b=≈0.78， a=-b=159.1-0.78×158.8=35. ∴回归直线方程为y=35+0.78x. 当x=161时,y=160.58 cm,即女儿身高为160.58 cm. （2）r== ≈0.715. 绿色通道:解相关性检验的必要性，如果不作相关性检验，我们仍然可 以求出x与y的回归直线方程，但这时的回归直线方程已经没有任何实际 价值了，它也就不能反映变量x与y之间的变化规律. 只有在x与y之间具有相关关系时,求回归直线方程才有实际意义,也才可 以用于预测取值的情况. 变式训练
6
154
155
23 716 24 025 23 870
7
159
162
25 281 26 244 25 758
8
158
157
24 964 24 649 24 806
9
159
1622
5 281
26 244 25 758
10
157
156
24 649 24 336 24 492
∑
1 588
1 591 252 222 253 185 252 688
高中数学第三章统计案例3.1.2相关系数教案北师大版选修2_3
1.2 相关系数（一）、问题情境1、情境：下面是一组数据的散点图，若求出相应的线性回归方程，求出的线性回归方程可以用作预测和估计吗？2．问题：思考、讨论：求得的线性回归方程是否有实际意义．（二）、学生活动对任意给定的样本数据，由计算公式都可以求出相应的线性回归方程，但求得的线性回归方程未必有实际意义．左图中的散点明显不在一条直线附近，不能进行线性拟合，求得的线性回归方程是没有实际意义的；右图中的散点基本上在一条直线附近，我们可以粗略地估计两个变量间有线性相关关系，但它们线性相关的程度如何，如何较为精确地刻画线性相关关系呢？这就是上节课提到的问题①，即模型的合理性问题．为了回答这个问题，我们需要对变量x 与y 的线性相关性进行检验（简称相关性检验）．（三）、探析新课1、相关系数的计算公式：对于x ，y 随机取到的n 对数据(,)i i x y (1,2,3,,)i n =，样本相关系数r 的计算公式为2、相关系数r 的性质：（1）||1r ≤；（2）||r 越接近与1，x ，y 的线性相关程度越强；（3）||r 越接近与0，x ，y 的线性相关程度越弱．可见，一条回归直线有多大的预测功能，和变量间的相关系数密切相关．3、对相关系数r 进行显著性检验的步骤： 相关系数r 的绝对值与1接近到什么程度才表明利用线性回归模型比较合理呢？这需要对相关系数r 进行显著性检验．对此，在统计上有明确的检验方法，基本步骤是：（1）提出统计假设0H ：变量x ，y 不具有线性相关关系；（2）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据10.950.05-=与2n -（n 是样本容量）在附录2（教材P111）中查出一个r 的临界值0.05r （其中10.950.05-=称为检验水平）；（3）计算样本相关系数r ；（4）作出统计推断：若0.05||r r >，则否定0H ，表明有95%的把握认为变量y 与x 之间具有线性相关关系；若0.05||r r ≤，则没有理由拒绝0H ，即就目前数据而言，没有充分理由认为变量y 与x 之间具有线性相关关系。
《相关系数》(北师大版 选修2-3)
A.变量x与y正相关,u与v正相关 B.变量x与y正相关,u与v负相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D.变量x与y负相关,u与v负相关
当堂检测
3.在回归分析中,相关系数|r|越大,则误差Q(a,b)应( A ) A.越小 B.越大 C.可能大也可能小 D.以上都不对 4.两个变量满足如下表的关系:
由表可知：
2 2 x 1 00 ， y i i 75 ， xi yi 0 ，
n
n
n
i 1
i 1
i ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
x 0 ，y 2.71，则可得
r 0 7 0 2.71 100 7 0 2 75 7 2.712 0
你发现什么了？？ r=0，则变量间并不存在线性相关关系。即此时 建立线性回归方程是没有意义的。
=1 i=1
6
6
6
=1
2 =79,
∑
6
=1
2 =30
268, ∑ x iyi =1
=1
6
∴r=
=1
∑
6
-6
2 2 ∑ 2-6 6
=1 6
∑ 2- 6
6
=
1 481 -6×3.5×71 79-6×3 .52×
30 268 -6×71 2
≈-0. 91,
=1
∴y 与 x 具有较高的相关程度. ∴
b= =1 6
自主学习
活动:请阅读课本P76-P77“思考交流”之前的内容， 思考下列问题： 1、相关系数r的计算公式是什么？ 2、说出相关系数r的取值范围。 3、相关系数与线性相关的程度有怎样的关系？ 4、根据相关系数r的范围，线性相关可以分为几类？
点拨精讲
2019_2020学年高中数学第3章统计案例1回归分析课件北师大版选修2_3
自主预习 探新知
1．回归分析
设变量 y 对 x 的线性回归方程为 y＝a＋bx，由最小二乘法知系数
的计算公式为：n
xi－ x yi－ y
i＝1
n
xiyi－n x y
i＝1
b＝llxxyx＝_____i＝n_1 __xi_－__x_2____＝___i＝n_1x_2i_－__n_x_2____，a＝__y_－__b_x______.
第三章 统计案例
§1 回归分析 1.1 回归分析 1.2 相关系数 1.3 可线性化的回归分析
学习目标
核心素养
1.了解回归分析的思想和方法．(重点) 通过对回归分析的学
2．掌握相关系数的计算和判断线性相关 习，培养“逻辑推理”、
的方法．(重点) “数学抽象”、“数学
3．了解常见的非线性回归模型转化为线 运算”的数学素养.
2．利用相关系数 r 来检验线性相关显著性水平时，通常与 0.75 作比较，若 r>0.75，则线性相关较为显著，否则为不显著．
1．下列两变量中具有相关关系的是( ) A．正方体的体积与边长 B．人的身高与体重 C．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D．球的半径与体积
B [选项 A 中正方体的体积为边长的立方，有固定的函数关系； 选项 C 中匀速行驶车辆的行驶距离与时间成正比，也是函数关系； 选项 D 中球的体积是43π 与半径的立方相乘，有固定函数关系．只有 选项 B 中人的身高与体重具有相关关系．]
_u_＝__a_＋__b_v____
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个变量的相关系数 r＞0，则两个变量正相关． ( ) (2)两个变量的相关系数越大，它们的相关程度越强． ( ) (3)若两个变量负相关，那么其回归直线的斜率为负． ( )
312相关系数课件2优质公开课北师大选修23
t 4 2 1 0.5 0.25
y 16 12 5 2
1
由散点图也可以看出y与t呈近似的线性相关关系．列表如
下：
序号
ti
yi
tiyi
t2i
y2i
1
4 16 64
16
256
2
2 12 24
4
144
3
1
5
5
1
25
4
0.5 2
1
0.25
4
5
0.25 1 0.25 0.062 5
1
∑ 7.75 36 94.25 21.312 5 430
规律方法 进行线性回归分析的关键是画出样本点的散点图，确 定出变量具有线性相关关系，再求出回归直线方程．如果x，y的 线性相关关系具有统计意义，就可以用线性回归方程来作预测 和控制．预测是指对于x的取值范围内任一个x0，y取相应值y0的 估计；控制是指通过控制x的值把y的值控制在指定范围内．
【训练1】为了研究3月下旬的平均气温(x)与4月20日前棉花害虫化 蛹高峰日(y)的关系，某地区观察了2006年至2011年的情 况，得到了下面的数据：
∴ t ＝1.55， y ＝7.2.
5
tiyi－5 t y
i＝1
b＝
≈4.134 4.
5
t2i －5 t 2
i＝1
a＝ y －b t ≈0.8. ∴y＝0.8＋4.134 t. ∴y 与 x 的回归方程是 y＝0.8＋4.1x34.
求回归方程，应注意首先对样本点是否线性相关进行 检验，因为对于任何一组样本点，都可以根据最小二乘法求得 一个线性回归方程，但这条线性回归方程是否较好地反映了样 本点的分布呢，显然不一定，特别是对于不呈线性相关的回归 模型．可以通过散点图或求相关系数r首先作出是否线性相关的 检验，然后再选择恰当的回归模型进行模拟.
高中数学第三章统计案例1.1回归分析1.2相关系数ppt课件北师大版选修2_3
19 解答
(2)画出散点图； 解 散点图如下：
2021/5/26
20 解答
(3)求纯获利y与每天销售件数x之间的回归方程.
7
7
解 因为 xiyi＝3 487， x2i ＝280，
i＝1
i＝1
7
xiyi－7 x y
i＝1
3 487－7×6×79.86
所以 b＝
7
＝ 280－7×62 ≈4.75.
2021/5/26
8 答案
思考2
怎样通过相关系数刻画变量之间的线性相关关系？
答案 |r|值越接近1，变量之间的线性相关程度越高；|r|值越 接近0，变量之间的线性相关程度越低；当r＝0时，两个变量线 性不相关.
2021/5/26
9 答案
梳理
(1)相关系数 r 的计算公式 r＝
n
∑xiyi－n x y
＝bx＋a；
4
解 因为 xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，
i＝1
6＋8＋10＋12
2＋3＋5＋6
x＝
4
＝9， y ＝
4
＝4，
4
x2i ＝62＋82＋102＋122＝344，
i＝1
所以 b＝15384－4－4×4×9×924＝2104＝0.7，
a＝ y －b x ＝4－0.7×9＝－2.3，
2021/5/26
22 解答
(2)求日销售量y对销售单价x的线性回归方程；
2021/5/26
24 解答
(3)设经营此商品的日销售利润为P元，根据(2)写出P关于x的函数关系式， 并预测当销售单价x为多少元时，才能获得最大日销售利润. 解 依题意，有P＝(161.5－3x)(x－30)＝－3x2＋251.5x－4 845 ＝－3(x－2561.5)2＋25112.52－4 845. 所以当 x＝2561.5≈42 时，P 有最大值，约为 426 元. 即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润.
1.2相关系数-北师大版选修2-3教案
1.2相关系数-北师大版选修2-3教案
一、教学目标
1.了解相关系数的概念；
2.学习两个变量之间相关系数的计算方法；
3.理解相关系数的数值意义和分析方法；
4.掌握相关系数的应用实例。
二、教学重点
1.相关系数的概念；
2.相关系数的计算方法；
3.相关系数的分析方法。
三、教学难点
1.相关系数的应用实例；
2.相关系数的分析方法。
四、教学步骤
（一）引入
1.老师介绍相关系数的概念；
2.引出本课的主要内容——两个变量之间相关系数的计算方法。
（二）知识讲解
1.老师介绍计算相关系数的方法，包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数；
2.老师讲解相关系数的数值意义，包括正相关、负相关和不相关。
（三）案例分析
1.老师给出一组数据，引导学生计算相关系数；
2.老师让学生分析计算结果，并结合实际情况进行解释。
（四）课堂练习
1.老师出示几组数据，让学生分组计算相关系数；
2.学生进行小组讨论，分析计算结果。
（五）拓展应用
1.老师介绍相关系数在实际应用中的例子，如相关性分析、回归分析等；
2.学生结合实际案例，分享相关系数在其专业领域中的应用实例。
五、教学反思
本节课的教学目标是让学生学习如何计算两个变量之间的相关系数，并掌握相关系数的数值意义和分析方法。
通过讲解相关系数的概念和计算方法，结合实际案例进行分析，使学生能够灵活运用相关系数解决实际问题。
在课堂练习环节，学生积极参与，对计算结果进行了深入分析，并提出了许多好的建议与反馈，这为我今后的教学提供了很好的参考。
高中数学 第三章 统计案例 1.2 相关系数同步测控 北师大版选修23
高中数学 第三章 统计案例 1.2 相关系数同步测控 北师大版选修2-3我夯基，我达标1.下列结论正确的是( ) ①函数关系是一种确定性关系 ②相关关系是一种非确定性关系③回归分析是具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④ 答案：C2.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本的平均值为x =4,y =5，则回归直线的方程是（ ）A.y=1.23x+4B.y=1.23x+5C.y=1.23x+0.08D.y=0.08x+1.23 解析:回归直线都过点(y ,x ),即(4,5)点,斜率为1.23.答案:B3.回归分析中，相关系数|r|值越大，则误差Q （a ，b ）应（ ） A.越小 B.越大C.可能大也可能小D.以上都不对解析：Q=l yy （1-r 2）＞0,∴|r|越大，Q （a ，b ）越小. 答案：A4.对于相关系数r ，下列说法正确的是（ ） A.|r|越大，相关程度越小 B.|r|越小，相关程度越大C.|r|越大，相关程度越小，|r|越小，相关程度越大D.|r|≤1且|r|越接近于1，相关程度越大，|r|越接近于0，相关程度越小 答案：DA.很强B.很弱C.无相关D.不确定 解析：∑∑∑=====5125151,543,75i i i i i i x y x =1 375，∑=51i ix y i=8 285，∑=512i iy=59 051，x =15，y =108.6.r=∑∑∑===---512251225155i i i i i iiyy xx yx yx =226.10855905115513756.1081558285⨯-•⨯-⨯⨯-=0.982 6.相关程度很强. 答案:A我综合，我发展（2）指出产量每增加1 000件时，单位成本下降多少；（3）假定产量为6 000件时，单位成本是多少？单位成本为70元时，产量应为多少？ 解：∑=61i ix=21，∑=61i iy=426，∑=61i ix2=79，∑=61i iy2=30 268，∑=61i ixy i =1 481，x =3.5，y =71,b=5.5105.3679715.361481662261261-=⨯-⨯⨯-=--∑∑==xx yx yx i i i ii=-1.818， a=y -6x =71+1.818×3.5=77.363， ∴回归方程为y=77.363-1.818x.r==---∑∑∑===2612261261666i ii i i iiyyxx yx yx1110225.510716302685.3679715.36148122-=⨯-=⨯-⨯-⨯⨯-=-0.91.(2)产量每增加1 000件时单位成本下降1.818元. （3）当x=6时，y=66.455元； 当y=70时,x=4.05(千件)=4 050件.若由资料知y 对x 呈线性相关关系，试求： （1）线性回归方程y=bx+a 的回归系数a 、b ； （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？ （3）求线性相关系数r.∴x =4，y =5, b=103.1245905453.1122=⨯-⨯⨯-=1.23, a=y -b x =5-1.23×4=0.08.(2)回归直线方程为y=1.23x+0.08.当x=10时,y =1.23×10+0.08=12.38(万元).估计使用10年时维修费用是12.38万元. (3)r=78.15103.125578.14045905453.11222⨯=⨯-⨯-⨯⨯-=0.979.x 、y 有很强的线性相关性.我创新，我超越8.为了研究三月下旬的平均气温x （单位：℃)与四月二十号前棉花害虫化蛹高峰日y 的关日为哪一天;(2)对变量x 、y 进行相关性检验. 解:(1)x =61(24.4+29.5+…+28.9)≈29.12, y =61(19+6+…+8)=7.5, ∑=61i ix2=24.42+…+28.92=5 125.01,∑=61i iy2=192+…+82=563,∑=61i ixy i =24.4×19+…+28.9×8=1 222,∴b=212.29601.512512.295.761222⨯-⨯⨯-≈-2.379, a=y -b x =7.5+2.379×29.12=76.77.回归直线方程为y=-2.379x+76.77.当x=27时,y=-2.379×27+76.77=12.537.据此估计该地区2008年4月12日或13日为化蛹高峰日.(2)r=∑∑∑===---6161222261)6)(6(6i i i i i iiy y x x yx yx =-0.966，由于|r|接近于1，∴y 与x 存在很强的线性相关关系.求y 与x 的线性回归方程,并检验回归方程中的显著性. 分析:x 、y 有明显的线性关系,可根据公式求方程. 解:由已知数据得x=71，∑=71i i x ≈0.543,y =71×145.2≈20.74,∑=712i i x =2.595,∑=712i i y =3094.72，i i i y x ∑=71=85.45. ∴b≈2)543.0(7595.274.20543.0745.85⨯-⨯⨯-≈12.45,a=20.74-12.45×0.543≈13.98.回归直线方程为y=13.98+12.45x,利用相关系数检验是否显著,∑=71i ixy i -7x y =85.45-7×0.543×20.74≈6.62，∑=71i ix2-72x =2.595-7×(0.543)2≈0.531,∑=712i i y -72y =3 094.72-7×（20.74)2=83.687.∴r=687.63531.062.6⨯≈0.993.由于r接近于1,故钢铁碳含量对电阻的效应线性相关关系显著.。
高中数学第三章统计案例本章整合课件北师大版选修23
专题1 专题2 专题3
应用1观察两个相关变量的如下数据:
x -1 -2 -3 -4 -5 5 4 3 2 1 y -0.9 -2 -3.1 -3.9 -5.1 5 4.1 2.9 2.1 0.9
关系越强,在线性相关关系较强,即|r|>0.75时,求线性回归方程.
专题1 专题2 专题3
解:(1)列出下表,并用科学计算器进行计算.
i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∑
xi 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 550
yi 62 68 75 81 89 95 102 108 115 122 917
=
���1���(x1+x2+x3+…+xn),������ = ���1���(y1+y2+y3+…+yn).
再由 a=������-b������求出 a 的值,最后写出线性回归方程.
(2)线性回归直线在y轴上的截距a和斜率b都是通过样本估计而 来,存在着误差,这种误差可能导致预报结果的偏差.
(3)线性回归方程y=a+bx中的b表示x每增加1个单位时y的变化量, 而a表示y不随x的变化而变化的量.
(1)求
b
时利用公式
b=������=∑1∑n(x(i-������x������)-(���y���)i2-y) i=1
=
������=∑������=∑1���������1���������������������2������ ���-���-������������������������2������,先求出������
北师大版高中数学选修2-3课件：3.1.2 相关系数 3.1.3 可线性化的回归分析
预习探究
3.非线性回归问题可以通过换元法转化为线性回归问题来解决,常见曲线方 程的变换公式如下表:
曲线方程
换元
换元后的线性方程
y'=a+bx'
y=axb y'=ln y,x'=ln x y'=A+bx'(A=ln a)
y=a+bln x y'=y,x'=ln x
y'=a+bx'
备课素材
1．为什么要采用相关性检验？
考点类析
[小结] 对于非线性回归问题,我们可以利用已知数据画出散点图,把它与学过的 各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)的图像进行比较,挑选一种跟散点 图拟合得最好的函数,采用适当的变量变换,把问题化为线性回归问题,使之得 到解决.
考点类析
【拓展】为了研究某种细菌随天数x的变化 繁殖个数y的变化情况,收集数据如下:
新课导入
[导入一] 复习启发导入 上节课，我们已经学习了最小二乘法，并会求解变量之间的线性回归方程， 那么两个变量之间的线性相关程度还可以用什么来刻画呢？这就是我们本节 课所要学习的相关系数问题，进入课题．
新课导入
[导入二] 有关法律规定：香烟盒上必须印有“吸烟有害健康”的警示语，那么吸烟和健 康之间有因果关系吗？每一个吸烟者的健康问题都是由吸烟引起的吗？要回 答这样的问题，我们一起来学习本节的知识．
考点类析
考点一 变量相关关系的判断
例1 对变量x,y由观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)得散点图3-1-2(1);对变量u,v由观测数据 (ui,vi)(i=1,2,…,10),得散点图3-1-2(2).由这两个散点图可以判断 ( ) A.变量x与y正相关,u与v正相关
高中数学 第三章 统计案例 1.2 相关系数知识导航 北师大版选修2-3-北师大版高二选修2-3数学
1.2相关系数自主整理判断两个变量之间的线性相关关系的方法有：（1）_______________________________________________________________. （2）_______________________________________________________________. 高手笔记1.假设两个随机变量的数据分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2)，…，（x n ，y n ），则变量间线性相关系数r 的计算公式为r=∑∑∑∑∑∑======---==---=ni i ni i ni ii ni in i ii ni iyyxx xy yn y xn x yx n yx y yx xy y x xl l l 122122121121)()()()(2.（1）r∈［-1，1］，|r|值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越高. （2）|r|值越接近0,Q 越大,变量之间的线性相关程度越低. (3)当r ＞0时,l xy ＞0,b=xxxy l l ＞0,两个变量正相关.当r ＜0时,l xy ＜0,b=xxxy l l ＜0,两个变量负相关.当r=0时,两个变量线性不相关. 名师解惑如何用变量间线性系数r 来恒量两变量间的线性相关程度的大小? 剖析：误差Q(a ，b ）=∑=ni 1［y i -(a+bx i )］2=l yy +n ［y -(a+b x )］2+l xx (b-xxxy l l )2-xxxyl l 2.当b=xxxy l l ,a=y -b x 时，Q （a ，b ）最小=l yy -xxxyl l 2=l yy （1-yyxx xyl l l 2）=l yy ·（1-r 2）.∵Q (a,b)≥0，∴1-r 2≥0，即r∈［-1，1］.（1）|r|值越大，1-r 2越接近于0，误差Q （a ，b ）越小，两变量之间的线性相关程度越高.（2）|r|值越接近于0，1-r 2越大，误差Q （a ，b ）越大，两变量之间的线性相关程度越低. （3）当r=0时，两变量线性不相关. 讲练互动 【例1】维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y 来衡量，这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x （克/解：列表如下x =7=24,y =7, r=2712712271777yy xx yx yx l l l i i i i i ii yyxx xy ---=∑∑∑====22)794.202(758922474144794.20224716.4900⨯-⨯-⨯⨯-=0.96. 由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的线性相关关系.绿色通道:当相关系数|r|越接近1时,两个变量的相关关系越强,当相关系数|r|越接近0时,两个变量的相关关系越弱. 变式训练(2)用最小二乘估计求线性回归方程；(3)求相关系数r,并作出评价. 解:(1)略. x =5=109，y =5=23.2，b=15703081095609752.2310951295252251251=⨯-⨯⨯-=--∑∑==xx yx yx i i i ii=0.196， a=y -b x =23.2-0.196×109=1.836. ∴回归方程为y=1.836+0.196x ，（3）r==---∑∑∑===5122251251555i ii i i iiy yxx yx yx6.6515703082.2358.27561095609752.2310951295222⨯=⨯-•⨯-⨯⨯-=0.96，拟合程度较高. 【例题2】为了了解某地母亲身高x 与女儿身高y 的相关关系,现随机测得10对母女的身高,所得数据如下表所示.（1）试对x 与y 进行线性回归分析，并预测当母亲身高为161 cm 时，女儿的身高为多少？ （2）求相关系数r.x =10=158.8，y =159.1， b=6.472.378.158102522221.1598.158102526881010221012101=⨯-⨯⨯-=--∑∑==x x yx yx i i i ii ≈0.78，a=y -b x =159.1-0.78×158.8=35.∴回归直线方程为y=35+0.78x.当x=161时,y=160.58 cm,即女儿身高为160.58 cm.（2）r=2101221012101101010yy x x yx yx i i i i i ii-•--∑∑∑=====⨯-⨯-⨯⨯-221.159102531858.15810222.2521.1598.158********9.566.472.37⨯≈0.715.绿色通道:解相关性检验的必要性，如果不作相关性检验，我们仍然可以求出x 与y 的回归直线方程，但这时的回归直线方程已经没有任何实际价值了，它也就不能反映变量x 与y 之间的变化规律.只有在x 与y 之间具有相关关系时,求回归直线方程才有实际意义,也才可以用于预测取值的情况. 变式训练（2）预测x=25时y 的取值； (3)求线性相关系数r. 解：x =8，y =49.7，b=21013228108507.4981052981010210122101=⨯-⨯⨯-=--∑∑==i ii iixxy x yx ≈6.3， a=y -b x =49.7-6.3×8=-0.7，∴线性回归方程为y=-0.7+6.3x. 当x=25时,y=156.8，r=2101210122101101010yy xx yx yx i i i i i ii---∑∑∑====227.4910331498108507.498105298⨯-⨯-⨯⨯-=0.992 5.x 与y 之间有很强的线性相关性.。