平行四边形典型例题

平行四边形典型例题1．已知如图12-1-19，所示□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，OE上AD于E，OF⊥BC于F．求证：四边形AECF是平行四边形错证：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD，OF⊥BC ∴∠AEO=∠CFO=90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，AD∥BC ∴∠EAC＝∠ACF）∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF=OE∴四边形AECF是平行四边形错误分析：上面证明由OF＝OE，OA=OC不能说明EF与AC互相平分，因为原题设中没有说明E、O、F三点共线，因此先证E、O、F三点共线．正确证明：在△AOE和△COF中∵OE⊥AD OF⊥BC ∴∠AEO＝∠CFO＝90°∵四边形ABCD为平行四边形∴OA＝OC，AD∥BC ∴∠EAC=∠ACF∴△AOE≌△COF（AAS）∴OF＝OE又∵AD∥BC，OE⊥AD，OF⊥BC∴E、O、F三点共线(∴四边形AECF是平行四边形2．如图12-1-22所示，现有一块等腰直角三角形的铁板，通过切割焊接成一个含有45°角的平行四边形，请你设计一种最简单的方案，并证明你的方案确实得到的是一个符合条件的平行四边形．分析：运用三角形全等，平行四边形的识别方法来解答，在证明时不要忽略证明F，E，D共线．解：取AC、BC的中点E、D连结ED，则沿ED切割下来，如图使点E不变，点C与点A重合，再焊接上去最简单．证明：在Rt△ABC中∵AC＝BC ∴∠B=45°又∵E、D分别为AC、BC的中点∴EC＝DC ∴∠CED＝∠CDE＝45°∴∠AEF＝∠CED＝45°∴∠AEF+∠AED=∠CED+∠AED＝180°∴F、E、D在一条直线上∵∠EAF＝∠C＝90°∴AF∥CD—又∵AF＝CD＝DB ∴四边形AFDB是平行四边形，且∠B＝45°3．如图12-1-23，在□ABCD的对角线上取两点E、F，且BF＝DE，请至少用两种不同的方法证明四边形AECF 是平行四边形，并指出哪种方法最简便．分析：可证两组对边分别相等，也可证对角线互相平分．证明方法（一）在△ABF和△CDE中，AB＝CD，BF＝DE，∠ABF＝∠CDE．∴△ABF≌△CDE ∴AF＝CE同理可证AE＝CF，故四边形AECF是平行四边形方法（二）连AC交BD于O%在□ABCD中，OA＝OC，OB＝OD∵BF＝DE ∴OE=OF ∴四边形AECF为平行四边形4．如果一块木板两边是线段，把两把曲尺的一边紧靠木板边缘，再看木板另一边缘对曲尺另一边上的刻度是否相等，就可以判断木板的两个边缘是否平行，这是为什么分析：这是一道生活实践题，运用数学知识来解决和分析一些生活实践问题，此题就是运用平行四边形的识别方法来判断两边是否平行．解：如果曲尺的刻度相等，则木板的两个边缘就平行，因为，两把曲尺与木板的两个边缘构成一个四边形，当曲尺的刻度相等，则四边形中就有一组对边平行且相等，所以四边形为平行四边形，则木板的两边缘平行．如果曲尺的刻度不相等，则木板的两个边缘就不平行，因为曲尺与木板边缘构成的四边形不是平行四边形．5．已知如图12-1-4所示，□ABCD中，AB的延长线上取一点E，使BE＝AB，在CE上取一点M使CM＝CD，连结DM并延长交AE的延长线于点F求证：BD＝BF,分析：由于BD，BF是△BDF的两边，所以要证BD＝BF，可由证△BDF中∠BDF＝∠F入手，易知∠F＝∠CDM=∠CMD＝∠EMF，故只要证BD∥CE，由此由证法一又注意到BF＝BE+EF，易知BE＝AB＝CD＝CM，EF＝EM，故BF＝CE，从而只要证BD＝CE，由此有证法二．证法（一）：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB CD又∵E点在AB延长线上，且BE＝AB ∴AB CD∴四边形BECD是平行四形∴BD∥CE ∴∠BDF＝∠EMF∵∠EMF＝∠CMD ∴∠BDF＝∠CMD又∵CM＝CD ∴∠CMD=∠CDM ∴∠BDF＝∠CDM∵AF∥CD ∴∠CDM＝∠F ∴BDF＝∠F即BD＝BF证法（二）：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB CD又∵E点在AB延长线上且BE＝AB ∴BE CD】∴四边形BECD是平行四边形∴BD＝CE，BE＝CD又∵∠EMF=∠CMD，CD＝CM ∴∠CMD=∠CDM∴∠EMF=∠CDM ∵BE∥CD ∴∠F＝∠EMF ∴EF＝EM∴BF＝BE+EF＝CD+EM=CM+EM＝CE＝BD即BF＝BD习题精选一、填空题1．过□ABCD的顶点A、C分别作对角线BD的垂直线，垂足为E、F，则四边形AECF是.2．延长△ABC的中线AD到E，使DE＝AD 则四边形ABEC是四边形．（3．在四边形ABCD中∠A＝50°欲使四边形为平行四边形，则∠B= ，∠C＝，∠D＝.4．在四边形中，任意相邻两个内角互补，则这个四边形是四边形．5．如图12-1-29，在□ABCD中，E、F为AB、CD的中点，连结DE、EF、BF则图中共有个平行四边形．6．在□ABCD中连结BD作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，连结CE、AF，点P、Q 在线段BD上，且BP＝DQ，连结AP、CP、AQ、CQ，MN分别交AB、CD于M、N连结AM、CM、NA、NC，那么图中平行四边形（除□ABCD外）有个，它们是.二、判断题1．平行四边形的对边分别相等（）2．平行四边形的对角线相等（）3．平行四边形的邻角互补（）>4．平行四边形的对角相等（）5．平行四边形的对角线互相平分一组对角（）6．对角线平分平行四边形的四个三角形的面积相等（）三、选择题1．能判断四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边平行，一组对角相等C．一组对边平行，一组邻角互补D．一组对边相等，一组邻角相等2．能确定平行四边形的大小和形状的条件是（）%A．已知平行四边形的两邻边B．已知平行四边形的两邻角C．已知平形四边形的两对角线D．已知平行四边形的两边及夹角3．平行四边形一边为32，则它的两条对角线长不可能为（）A．20和18 B．40和50C．60和30 D．32和504．如图12-1-30所示，已知□ABCD的对角线的交点是O，直线EF过O点且平行于BC，直线GH过O且平行AB，则图中有（）个平行四边形．A．5个B．6个C．7个D．10个5．能判定四边形为平行四边形的是（）—A．一组对角相等B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相平分D．一对邻角互补6．以下结论正确的是（）A．对角线相等，且一组对角也相等的四边形是平行四边形．B．一边长为5，两条对角线分别是4和6的四边形是平行四边形．C．一组对边平行，且一组对角相等的四边形是平行四边形．D．对角线相等的四边形是平行四边形．7．在□ABCD中，点E、F分别在边BC、AD上，如果点E，F分别由下列各种情况得到的，那么四边形AECF不一定是平行四边形的是（）A．AE、CF分别平分∠DAB、∠BCDB．AE，CF使∠BEA＝∠CFD!C．E、F分别是BC、AD的中点D．BE＝BC，AF＝AD8．□ABCD对角线交点为O，△OBC的周长为59cm，且AD＝28cm，两对角线之差为14cm，则对角线长为（）A．12cm和9cm B．24cm和38cmC．8．5cm和22．5cm D．15．5cm和29．5cm四、解答题1．如图12-1-31所示，在□ABCD中，AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，四边形AECF是平行四边形吗2．如图12-1-32所示，四边形ABCD中∠B＝∠D，∠1＝∠2，则四边形ABCD是平行四边形吗为什么；3．如图12-1-33所示，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OD、OB 上一点，若∠ECD＝∠FAB，EC＝AF，则四边形AECF是平行四边形吗为什么4．如图12-1-34所示，四边形ABCD中AB=CD，∠DBC＝90°，FD⊥AD于D，求证四边形ABCD是平行四边形．5．如图12-1-35所示，△ABC中DE在BC边上，N、M在AB、AC上，且EN与DM互相平分，MD∥AB，NE∥AC求证：BD＝DE＝CE五、证明题1．已知：如图12-1-18，在□ABCD中，E、F是对角线BD上的两点，且BE=DF.求证：（1）AE＝CF（2）AE∥CF|2．已知：如图12-1-19，四边形ABCD为平行四边形，E、F是直线BD延长线上的两点，且DE＝BF，求证AE＝CF参考答案一、填空题1．平行四边形点拨：由一组对边平行且相等，即可判断2．平行四边形3．130°，50°，130°4．平行四边形点拨：由题意可得两组对边分别平行5．4个点拨：□ABCD，□ADFE，□EFCB，□EDFB[6．3个□AECF，□APCQ，□AMCN二、判断题1．√2．×点拨：对角线不一定相等，但互相平分3．√4．√5．×点拨：对角线不平分一组对角，只是自己互相平分6．√三、选择题1．B 2．D 3．A 4．D 5．C 6．C 7．B 8．B四、解答题1．解：四边形AECF是平行四边形点拨：由□ABCD知∠BCD＝∠BAD，又AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，故∠EAF＝∠ECF，又∠AF∥EC，故∠AEC+∠EAF＝18O°，即∠AEC+∠ECF＝18O°，所以AE∥CF，故四边形AECF 是平行四边形．<2．解：四边形ABCD是平行四边形由∠1＝∠2得DC∥AB，所以∠D+∠DAB＝18O°，又∠B＝∠D，所以∠DAB+∠B＝180°，所以AD∥BC，即四边形ABCD为平行四边形．3．解：是平行四边形点拨：AB∥CD，故∠ACD＝∠CAB，又∠ECD＝∠FAB，故∠ACD-∠ECD＝∠CAB-∠FAB，即∠ACE＝∠CAF，所以CE=AF，CE＝AF，故AFCE是平行四边形．4．证明：∵BD⊥AD ∴∠BDA=90°∵∠DBC＝90°，DC＝AB，DB＝DB∴△ADB≌△CBD ∴AD＝BC∴四边形ABCD是平行四边形5．证明：∵NE，MD互相平分∴四边形MNDE为平行四边形∴MN DE/又∵MD∥AB，NE∥AC ∴四边形MNBD、MNEC为平行四边形∵MN＝BD，MN＝CE ∴BD=DE＝CE五、证明题1．证明：∵四边形ABCD为平行四边形∴AB DC ∴∠ABE＝∠CDF在△ABE和△CDF中∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF ∴∠AEB＝∠CFD∴∠AED＝∠BFC（等角的补角相等）∴AE∥CF2．证明：如图（3）所示∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，AD＝BC ∴∠1＝∠2∵BD是直线∴∠1+∠3＝180°，∠2+∠4＝180°∴∠3＝∠4∴△ADE≌△CBF ∴AE＝CF。