(完整版)等比数列的概念(教案)
等比数列的概念教案
等比数列的概念教案一、教学目标1. 掌握等比数列的概念；2. 能够判断一个数列是否为等比数列；3. 理解等比数列的特点和性质。
二、教学准备教师准备：黑板、白板、彩色粉笔、示意图、图片等；学生准备：课本、笔、作业本等。
三、教学过程1. 导入教师可以适当引入一些与数列相关的内容，如递增数列、递减数列等，让学生复习一下已学内容，并激发学生对等比数列的兴趣。
2. 概念讲解（教师在黑板上写下等比数列的定义）等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数r得到的。
（教师通过示意图或实际例子，如1、2、4、8、16等，展示等比数列的特点）- 前一项与后一项的比值相等；- 从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数r得到。
（教师提示学生观察并总结等比数列的通项公式）设等比数列的首项为a，公比为r，第n项为an，则通项公式为an= a * r^(n-1)。
3. 案例分析（教师给出一些具体的等比数列，让学生判断其是否为等比数列，并求出公比和第n项等。
可以通过黑板、白板或提供作业题的形式进行）案例1：2，4，8，16，32，...案例2：3，6，12，24，48，...4. 练习与巩固（教师提供一些练习题，让学生巩固所学知识）练习1：判断以下数列是否为等比数列，并求出它的公比和第n项。
a) 1，3，9，27，...b) 2，5，10，20，...c) 4，12，36，108，...练习2：求以下等比数列的第n项。
a) 2，6，18，54，...，n=5b) 3，9，27，...，n=6c) 5，25，125，...，n=45. 拓展与应用（教师让学生在生活中找到一些实际应用等比数列的例子，并与同学分享）例如，银行定期存款的利率、细菌的繁殖等。
6. 总结与思考（教师进行小结，回顾本节课的学习内容，并进行思考指导，如如何判断一个数列是否为等比数列，如何求解等比数列的公比和第n项等）四、作业布置1. 完成课堂练习题；2. 预习下一课时的内容。
等比数列概念及通项公式经典教案
等比数列概念及通项公式经典教案等比数列的概念及通项公式【学习目标】1．准确理解等比数列、等比中项的概念，掌握等比数列通项公式的求解方法，能够熟练应用通项公式解决等比数列的相关问题.2．通项对等比数列概念的探究和通项公式的推导，体会数形结合思想、化归思想、归纳思想，培养学生对数学问题的观察、分析、概括和归纳的能力.3．激情参与、惜时高效，利用数列知识解决具体问题，感受数列的应用价值.【重点】：等比数列的概念及等比数列通项公式的推导和应用.【难点】：对等比数列中“等比”特征的理解、把握和应用.【学法指导】1. 阅读探究课本上的基础知识，初步掌握等比数列通项公式的求法; 2. 完成教材助读设置的问题，然后结合课本的基础知识和例题，完成预习自测；3. 将预习中不能解决的问题标出来，并写到后面“我的疑惑”处.一、知识温故1.数列有几种表示方法？2.数列的项与项数有什么关系？3函数与数列之间有什么关系？教材助读1．等比数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：1-n na a =q （q ≠0）。
注:1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ｛na ｝成等比数列⇔n n a a1+=q （+∈N n ,q ≠0） 2︒ 隐含：任一项00≠≠q a n 且3︒ q= 1时，{a n }为常数列.2.等比数列的通项公式① 111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠ ②1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠3．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列．4.等比中项的定义：如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且2G ac =5．证明数列{}n a 为等比数列： ①定义：证明1n n a a +=常数， ②中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==或；6. 等比数列的性质：（1）n m n m a a q -=（,m n N +∈）； (2）对于k 、l 、m 、n ∈N*，若m n p q +=+，则a k a l =a m a n .； （3）每隔k 项（k N +∈）取出一项，按原来顺序排列，所得的新数列为等比数列；（4）在等比数列中，从第二项起，每一项都是与它等距离的前后两项的等比中项。
《等比数列》教案(2)
等比数列教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝a ＋b2，A 为等差中项.那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝b G，即G 2＝ab反之，若G 2＝ab ，则G a ＝b G，即a ，G ，b 成等比数列∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ·b ≠0)总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝100，求a 4.分析：由等比数列性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 可得：解：∵在等比数列中，∴a 3·a 5＝a 42又∵a 3·a 5＝100，∴a 4＝±10.［例2］已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n ·b n }是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{a n }的首项是a 1，公比为p ；{b n }的首项为b 1，公比为q .则数列{a n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n －1，a 1p n数列{b n }的第n 项与第n ＋1项分别为b 1q n －1，b 1q n.数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1·p n －1·b 1·qn －1与a 1·p n ·b 1·q n，即为a 1b 1(pq )n －1与a 1b 1(pq )n∵a n +1a n ·b n +1b n ＝a 1b 1（pq ）n a 1b 1（pq ）n －1＝pq 它是一个与n 无关的常数，∴{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.特别地，如果{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m ，G ，n 为此三数由已知得：m ＋n ＋G ＝14，m ·n ·G ＝64，又∵G 2＝m ·n ，∴G 3＝64，∴G ＝4，∴m ＋n ＝10 ∴⎩⎨⎧m ＝2n ＝8或⎩⎨⎧m ＝8n ＝2即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习课本P 50练习1，2，3，4，5. Ⅳ.课时小结本节主要内容为：(1)若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab ，G 叫做a 与b 的等比中项. (2)若在等比数列中，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q Ⅴ.课后作业课本P 52习题 5，6，7，9等比数列(二)1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.202．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.164．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列(二)答案1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a 1和q ，再求a 3＋a 5的方法是不行的，而应寻求a 3＋a 5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q ，由条件得a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5＝25即a 12q 4(q 2＋1)2＝25，又a n ＞0，得q ＞0∴a 1q 2(q 2＋1）＝5a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(q 2＋1)＝5 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25由等比数列性质得a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25即(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12解：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 15q 1+2+3+4＝a 15q 10＝a 15q 11－1又∵a 1＝1，∴a m ＝q 11－1，∴m ＝11. 答案：C 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.16解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z y 2＝x （z ＋2） ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z z ＝2x ⇒⎩⎨⎧2y ＝3x y 2＝（x ＋1）2x ⇒y ＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2＝ax ①a ＋（x －d ）＋x ＝19 ②（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝12③解得x ＝4，代入①、②得⎩⎨⎧（4－d ）2＝4a a －d ＝11解得⎩⎨⎧a ＝25d ＝14或⎩⎨⎧a ＝9d ＝－2故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：⎩⎨⎧2b n ＝a n ＋a n ＋1①a n ＋12＝b n b n ＋1②∴a n +1＝b n b n ＋1 ，a n ＝b n b n －1 (n ≥2) 代入①得2b n ＝b n b n ＋1 ＋b n b n －1 即2b n ＝b n ＋1 ＋b n －1 (n ≥2) ∴{b n }成等差数列，设公差为d又b 1＝2，b 2＝a 22b 1 ＝92 ，∴d ＝b 2 －b 1 ＝322－ 2 ＝22∴b n ＝ 2 ＋22（n －1）＝22（n ＋1），b n ＝12（n ＋1）2， 当n ≥2时，a n ＝b n b n －1 ＝n （n ＋1）2③ 且a 1＝1时适合于③式，故 a nb n＝nn ＋1.评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x ＞y ＞2，可知x －y ＜x ＋y ＜xy ，下来只需讨论 y x和x －y 的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x ＞y ＞2，x ＋y ＞x －y ，xy ＞x ＋y ，而 y x＜1＜x －y 当 y x ＜x －y 时，由 y x，x －y ，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列.则有⎩⎪⎨⎪⎧y x ·xy ＝（x －y ）（x ＋y ）（x ＋y ）2＝（x －y ）xy解方程组得x ＝7＋5 2 ，y ＝5＋72 2∴所求等比数列为22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋9922 . 当 yx ＞x －y 时，由x －y ，y x，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列则有⎩⎨⎧y x·xy ＝（x ＋y ）2yx （x ＋y ）＝（x －y ）xy解方程组得y ＝112，这与y ＞2矛盾，故这种情况不存在. 7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为 （x －d ）2x，x －d ，x ，x ＋d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2x ＋（x ＋d ）＝21（x －d ）＋x ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎨⎧x ＝274 d ＝92274 ∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 xq，x ，xq ，则第四个数为2xq －x .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q ＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝6q ＝2 或⎩⎨⎧x ＝454 q ＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得： ⎩⎨⎧y 2＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754 y ＝454∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .。
等比数列教案
等比数列教案一、教学目标1.理解等比数列的概念和性质；2.掌握等比数列的通项公式和求和公式；3.能够应用等比数列解决实际问题。
二、教学重点1.等比数列的概念和性质；2.等比数列的通项公式和求和公式。
三、教学难点1.等比数列的求和公式的推导；2.应用等比数列解决实际问题。
四、教学过程1. 导入教师可以通过提问的方式引入等比数列的概念，例如：“小明在银行存款，每年利率为5%，如果他连续存5年，每年的利息都加到本金里，最后一共有多少钱？”通过这个问题，引导学生思考连续增长的情况，从而引出等比数列的概念。
2. 概念讲解等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项都是前一项乘以同一个常数的结果。
这个常数称为公比，通常用字母q表示。
例如，1，2，4，8，16就是一个等比数列，公比为2。
3. 性质讲解等比数列有以下性质：1.任意一项与它的前一项的比值都相等，即an/an-1=q；2.任意一项与它的后一项的比值都相等，即an/an+1=q；3.等比数列的前n项和为a1(1-qn)/(1-q)。
4. 公式推导4.1 通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则有：an=a1qn-1这个公式可以通过数学归纳法证明。
4.2 求和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则有：Sn=a1(1-qn)/(1-q)这个公式可以通过以下方法推导：设Sn=a1+a2+…+an，则有：qSn=a1q+a2q+…+anq两式相减得：Sn-qSn=a1(1-qn)-an+1因为an+1=a1qn，所以有：Sn(1-q)=a1(1-qn)即：Sn=a1(1-qn)/(1-q)5. 应用实例教师可以通过一些实际问题，如利息计算、人口增长等，引导学生应用等比数列解决问题。
五、教学总结通过本节课的学习，学生应该掌握等比数列的概念和性质，能够使用等比数列的通项公式和求和公式解决实际问题。
同时，教师应该引导学生思考，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
等比数列教学案
等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。
授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。
教学难点：等比数列通项公式的探求。
教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，（２）8，16，32，64，128，256，（３）1，1，1，1，1，1，1，（４）1，2，4，8，16，263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q0)，3.递推公式：an1∶anq(q0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0.（4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。
必修5教案2.3等比数列的概念(一)
§2.3 第8课时 等比数列的概念(1)教学目标（1）明确等比数列的概念及公比的概念；（2）掌握等比数列的通项公式。
教学重点，难点（1）等比数列定义和等比数列通项公式．教学过程一．问题情境1．情境：观察下面几个数列，（1）1，2，4，8，16，…632；（2）111,,,248--…，1()2n -；（3）某轿车的售价约为36万元，年折旧率约为10%，那么该车从购买当年算起，逐年的价值依次为 2336,360.9,360.9,360.9,⨯⨯⨯ ；（4）某人年初投资10000元，如果年收益率是5%，那么按复利，5年内各年末的本利和依次为 23510000 1.05,10000 1.05,10000 1.05,,10000 1.05⨯⨯⨯⨯2．问题：以上数列有何共同特点？二．学生活动数列（1），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于2；数列（2），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于12-；数列（3），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于0.9；数列（4），从第二项起，每一项与它的前一项的比等于1.05．共同特点：从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．．三．建构数学1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）．2．等比数列的通项公式：由定义式可得：(1)n -个等式21a q a =，32 a q a =，……，1n n a q a -=， 若将上述1n -个等式相乘，便可得：11342312--=⨯⨯⨯n n n q a a a a a a a a ， 即：11-⋅=n n q a a （n ≥2）当1n =时，左边=1a ，右边=1a ，所以等式成立，∴等比数列通项公式为：11n n a a q -=．说明：1．由等比数列的通项公式可以知道：当公比1q =时该数列既是等比数列也是等差数列；3．等比数列的图象：等比数列的通项公式11n n a a q -=是一个常数与指数式的乘积，表示这个数列的各点(,)n n a 均在函数11x y a q -=的图象上（图象略）．四．数学运用1．例题：例1．判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列．（2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2．已知{},{}n n a b 是项数相同的等比数列，求证：{}n n a b ⋅是等比数列。
高中数学等比数列教案
高中数学等比数列教案
一、教学目标：
1. 掌握等比数列的定义及判断方法；
2. 掌握等比数列的通项公式及前 n 项和公式；
3. 能够灵活应用等比数列解决实际问题。
二、教学重点：
1. 等比数列的定义及判断方法；
2. 等比数列的通项公式及前 n 项和公式。
三、教学难点：
1. 灵活运用等比数列解决复杂问题；
2. 培养学生数学思维和逻辑推理能力。
四、教学内容：
1. 等比数列的定义及性质；
2. 等比数列通项公式及前 n 项和公式的推导；
3. 等比数列的应用实例。
五、教学过程：
1. 引入：通过生活中的实例引入等比数列的概念，让学生了解等比数列的特点和应用场景。
2. 学习等比数列的性质和判断方法，让学生能够判断一个数列是否为等比数列。
3. 学习等比数列的通项公式及前 n 项和公式的推导，让学生掌握这两个公式的用法和计算
方法。
4. 练习与巩固：让学生通过练习题巩固所学知识，培养他们的解题能力和推理思维。
5. 应用实例：通过一些实际问题，让学生运用等比数列解决实际问题，培养他们的数学建
模能力。
六、作业布置：
1. 课后练习：布置一些等比数列相关的习题，巩固学生所学知识。
2. 探究性问题：布置一些拓展性问题，让学生能够进一步应用所学知识解决问题。
七、课堂反馈：
1. 通过课堂讨论和作业批改，及时纠正学生的错误，加深他们对等比数列的理解和掌握。
八、教学总结：
1. 总结本节课所学知识，梳理等比数列的性质和应用场景，巩固学生的学习成果。
2. 展望下一节课内容，引导学生进行自主学习和提前预习。
示范教案（等比数列概念及通项公式）
⽰范教案（等⽐数列概念及通项公式）2.4等⽐数列2.4.1等⽐数列的概念及通项公式从容说课本节内容先由师⽣共同分析⽇常⽣活中的实际问题来引出等⽐数列的概念，再由教师引导学⽣与等差数列类⽐探索等⽐数列的通项公式，并将等⽐数列的通项公式与指数函数进⾏联系，体会等⽐数列与指数函数的关系，既让学⽣感受到等⽐数列是现实⽣活中⼤量存在的数列模型，也让学⽣经历了从实际问题抽象出数列模型的过程.教学中应充分利⽤信息和多媒体技术，给学⽣以较多的感受，激发学⽣学习的积极性和思维的主动性.准备丰富的阅读材料，为学⽣提供⾃主学习的可能，进⽽达到更好的理解和巩固课堂所学知识的⽬的.教学重点1.等⽐数列的概念;2.等⽐数列的通项公式.教学难点1.在具体问题中抽象出数列的模型和数列的等⽐关系;2.等⽐数列与指数函数的关系.教具准备多媒体课件、投影胶⽚、投影仪等三维⽬标⼀、知识与技能1.了解现实⽣活中存在着⼀类特殊的数列;2.理解等⽐数列的概念，探索并掌握等⽐数列的通项公式;3.能在具体的问题情境中，发现数列的等⽐关系，并能⽤有关的知识解决相应的实际问题;4.体会等⽐数列与指数函数的关系.⼆、过程与⽅法1.采⽤观察、思考、类⽐、归纳、探究、得出结论的⽅法进⾏教学;2.发挥学⽣的主体作⽤，作好探究性活动;3.密切联系实际，激发学⽣学习的积极性.三、情感态度与价值观1.通过⽣活中的⼤量实例，⿎励学⽣积极思考，激发学⽣对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学⽣的类⽐、归纳的能⼒;2.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际⽣活的密切联系，激发学⽣学习的兴趣.教学过程导⼊新课师现实⽣活中，有许多成倍增长的实例.如，将⼀张报纸对折、对折、再对折、…，对折了三次，⼿中的报纸的层数就成了8层，对折了5次就成了32层.你能举出类似的例⼦吗？⽣⼀粒种⼦繁殖出第⼆代120粒种⼦，⽤第⼆代的120粒种⼦可以繁殖出第三代120×120粒种⼦，⽤第三代的120×120粒种⼦可以繁殖出第四代120×120×120粒种⼦，…师⾮常好的⼀个例⼦！现实⽣活中，我们会遇到许多这类的事例.教师出⽰多媒体课件⼀：某种细胞分裂的模型.师细胞分裂的个数也是与我们上述提出的问题类似的实例.细胞分裂有什么规律，将每次分裂后细胞的个数写成⼀个数列，你能写出这个数列吗？⽣通过观察和画草图，发现细胞分裂的规律，并记录每次分裂所得到的细胞数，从⽽得到每次细胞分裂所得到的细胞数组成下⾯的数列：1，2，4，8，…①教师出⽰投影胶⽚1：“⼀尺之棰，⽇取其半，万世不竭.”师这是《庄⼦·天下篇》中的⼀个论述，能解释这个论述的含义吗？⽣思考、讨论，⽤现代语⾔叙述.师 (⽤现代语⾔叙述后)如果把“⼀尺之棰”看成单位“1”，那么得到的数列是什么样的呢？⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，21，41，81，161，… ②教师出⽰投影胶⽚2：计算机病毒传播问题.⼀种计算机病毒，可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进⾏传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第⼀轮，邮件接收者发送病毒称为第⼆轮，依此类推.假设每⼀轮每⼀台计算机都感染20台计算机,那么在不重复的情况下,这种病毒感染的计算机数构成⼀个什么样的数列呢?师 (读题后)这种病毒每⼀轮传播的计算机数构成的数列是怎样的呢？引导学⽣发现“病毒制造者发送病毒称为第⼀轮”“每⼀轮感染20台计算机”中蕴涵的等⽐关系.⽣发现等⽐关系，写出⼀个⽆穷等⽐数列：1，20，202，203，204，… ③教师出⽰多媒体课件⼆：银⾏存款利息问题.师介绍“复利”的背景：“复利”是我国现⾏定期储蓄中的⼀种⽀付利息的⽅式，即把前⼀期的利息和本⾦加在⼀起算作本⾦，再计算下⼀期的利息，也就是通常说的“利滚利”.我国现⾏定期储蓄中的⾃动转存业务实际上就是按复利⽀付利息的.给出计算本利和的公式：本利和=本⾦×(1+本⾦)n ，这⾥n 为存期.⽣列出5年内各年末的本利和，并说明计算过程.师⽣合作讨论得出“时间”“年初本⾦”“年末本利和”三个量之间的对应关系，并写出：各年末本利和(单位：元)组成了下⾯数列：10 000×1.019 8，10 000×1.019 82，10 000×1.019 83，10 000×1.019 84，10 000×1.019 85. ④师回忆数列的等差关系和等差数列的定义，观察上⾯的数列①②③④，说说它们有什么共同特点？师引导学⽣类⽐等差关系和等差数列的概念，发现等⽐关系.引⼊课题：板书课题 2.4等⽐数列的概念及通项公式推进新课［合作探究］师从上⾯的数列①②③④中我们发现了它们的共同特点是：具有等⽐关系.如果我们将具有这样特点的数列称之为等⽐数列，那么你能给等⽐数列下⼀个什么样的定义呢？⽣回忆等差数列的定义，并进⾏类⽐，说出：⼀般地，如果把⼀个数列，从第2项起，每⼀项与它前⼀项的⽐等于同⼀个常数，那么这个数列叫做等⽐数列.［教师精讲］师同学们概括得很好，这就是等⽐数列( geometric seque n ce)的定义.有些书籍把等⽐数列的英⽂缩写记作G .P.(Geometric Progressio n ).我们今后也常⽤G.P.这个缩写表⽰等⽐数列.定义中的这个常数叫做等⽐数列的公⽐(commo n r a tio)，公⽐通常⽤字母q 表⽰(q≠0). 请同学们想⼀想，为什么q≠0呢？⽣独⽴思考、合作交流、⾃主探究.师假设q=0，数列的第⼆项就应该是0，那么作第⼀项后⾯的任⼀项与它的前⼀项的⽐时就出现什么了呢？⽣分母为0了.师对了，问题就出在这⾥了，所以，必须q≠0.师那么，等⽐数列的⾸项能不能为0呢？⽣等⽐数列的⾸项不能为0.师是的，等⽐数列的⾸项和公⽐都不能为0，等⽐数列中的任⼀项都不会是0. ［合作探究］师类⽐等差中项的概念，请同学们⾃⼰给出等⽐中项的概念.⽣如果在a 与b 中间插⼊⼀个数G ，使a 、G 、b 成等⽐数列，那么G 叫做a 、b 的等⽐中项.师想⼀想，这时a 、b 的符号有什么特点呢？你能⽤a 、b 表⽰G 吗？⽣⼀起探究,a 、b 是同号的Gb a G ，G=±ab ，G 2=ab . 师观察学⽣所得到的a 、b 、G 的关系式，并给予肯定.补充练习：与等差数列⼀样，等⽐数列也具有⼀定的对称性，对于等差数列来说，与数列中任⼀项等距离的两项之和等于该项的2倍，即a n -k +a n +k =2a n .对于等⽐数列来说，有什么类似的性质呢？⽣独⽴探究，得出：等⽐数列有类似的性质：a n -k ·a n +k =a n 2.［合作探究］探究：(1)⼀个数列a 1,a 2,a 3,…,a n ,…(a 1≠0)是等差数列，同时还能不能是等⽐数列呢？(2)写出两个⾸项为1的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？写出两个公⽐为2的等⽐数列的前5项，⽐较这两个数列是否相同？(3)任⼀项a n 及公⽐q 相同，则这两个数列相同吗？(4)任意两项a m 、a n 相同，这两个数列相同吗？(5)若两个等⽐数列相同，需要什么条件？师引导学⽣探究，并给出(1)的答案，（2)(3)(4)可留给学⽣回答.⽣探究并分组讨论上述问题的解答办法，并交流(1)的解答.［教师精讲］概括总结对上述问题的探究，得出：(1)中，既是等差数列⼜是等⽐数列的数列是存在的，每⼀个⾮零常数列都是公差为0，公⽐为1的既是等差数列⼜是等⽐数列的数列.概括学⽣对(2)(3)(4)的解答.(2)中，⾸项为1，⽽公⽐不同的等⽐数列是不会相同的；公⽐为2，⽽⾸项不同的等⽐数列也是不会相同的.(3)中，是指两个数列中的任⼀对应项与公⽐都相同，可得出这两个数列相同；(4)中，是指两个数列中的任意两个对应项都相同，可以得出这两个数列相同；(5)中，结论是：若两个数列相同，需要“⾸项和公⽐都相同”.(探究的⽬的是为了说明⾸项和公⽐是决定⼀个等⽐数列的必要条件；为等⽐数列的通项公式的推导做准备)［合作探究］师回顾等差数列的通项公式的推导过程，你能推导出等⽐数列的通项公式吗？⽣推导等⽐数列的通项公式.［⽅法引导］师让学⽣与等差数列的推导过程类⽐，并引导学⽣采⽤不完全归纳法得出等⽐数列的通项公式.具体的，设等⽐数列{a n }⾸项为a 1，公⽐为q ，根据等⽐数列的定义，我们有： a 2=a 1q,a 3=a 2q=a 1q 2,…,a n =a n -1q=a 1q n -1，即a n =a 1q n -1.师根据等⽐数列的定义，我们还可以写出q a a a a a a a a n n =====-1342312..., 进⽽有a n =a n -1q=a n -2q 2=a n -3q 3=…=a 1q n -1.亦得a n =a 1q n -1.师观察⼀下上式，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数，你能发现有什么共同的特征吗？⽣把a n 看成a n q 0，那么，每⼀道式⼦⾥，项的下标与q 的指数的和都是n .师⾮常正确，这⾥不仅给出了⼀个由a n 倒推到a n 与a 1，q 的关系，从⽽得出通项公式的过程，⽽且其中还蕴含了等⽐数列的基本性质，在后⾯我们研究等⽐数列的基本性质时将会再提到这组关系式.师请同学们围绕根据等⽐数列的定义写出的式⼦q a a a a a a a a n n =====-1342312...,再思考. 如果我们把上⾯的式⼦改写成q a a q a a q a a q a a n n ====-1342312,...,,,. 那么我们就有了n -1个等式，将这n -1个等式两边分别乘到⼀起(叠乘)，得到的结果是11-=n n q a a ,于是，得a n =a 1q n -1. 师这不⼜是⼀个推导等⽐数列通项公式的⽅法吗？师在上述⽅法中，前两种⽅法采⽤的是不完全归纳法，严格的，还需给出证明.第三种⽅法没有涉及不完全归纳法，是⼀个完美的推导过程，不再需要证明.师让学⽣说出公式中⾸项a 1和公⽐q 的限制条件.⽣ a 1，q 都不能为0.［知识拓展］师前⾯实例中也有“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习和习题，那⾥是⽤什么⽅法解决问题的呢？教师出⽰多媒体课件三：前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的练习或习题.某种储蓄按复利计算成本利息，若本⾦为a 元，每期利率为r ，设存期是x,本利和为y 元.（1）写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式；（2）如果存⼊本⾦1 000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.师前⾯实例中关于“细胞分裂”“计算机病毒传播”“复利计算”的问题是⽤函数的知识和⽅法解决问题的.⽣⽐较两种⽅法，思考它们的异同.［教师精讲］通过⽤不同的数学知识解决类似的数学问题，从中发现等⽐数列和指数函数可以联系起来.(1)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为a n =2 n -1的数列的图象和函数y=2x-1的图象，你发现了什么？(2)在同⼀平⾯直⾓坐标系中，画出通项公式为1)21(-=n n a 的数列的图象和函数y=(21)x-1的图象，你⼜发现了什么？⽣借助信息技术或⽤描点作图画出上述两组图象，然后交流、讨论、归纳出⼆者之间的关系.师出⽰多媒体课件四：借助信息技术作出的上述两组图象.观察它们之间的关系，得出结论：等⽐数列是特殊的指数函数，等⽐数列的图象是⼀些孤⽴的点.师请同学们从定义、通项公式、与函数的联系3个⾓度类⽐等差数列与等⽐数列，并填充下列表格：【例1】某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过⼀年，剩留的这种物质是原来的84％，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？师从中能抽象出⼀个数列的模型，并且该数列具有等⽐关系.【例2】根据右图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建⽴数列的递推公式，这个数列是等⽐数列吗？师将打印出来的数依次记为a 1(即A )，a 2，a 3，….可知a 1=1;a 2=a 1×21;a 3=a 2×21.于是，可得递推公式 ??==-)1(21,111＞n a a a n n . 由于211=-n n a a ，因此，这个数列是等⽐数列. ⽣算出这个数列的各项，求出这个数列的通项公式.练习：1.⼀个等⽐数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项.师启发、引导学⽣列⽅程求未知量.⽣探究、交流、列式、求解.2.课本第59页练习第1、2题.课堂⼩结本节学习了如下内容：1.等⽐数列的定义.2.等⽐数列的通项公式.3.等⽐数列与指数函数的联系.布置作业课本第60页习题2.4 A 组第1、2题.板书设计。
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等比数列的概念
亳州三中 范图江
一、教学目标
1、 体会等比数列特性，理解等比数列的概念。
2、 能根据定义判断一个数列是等比数列，明确一个数列是等比数列的限定条件。
3、 能够运用类比的思想方法得到等比数列的定义,会推导出等比数列的通项公式。
二、教学重点、难点
重点：等比数列定义的归纳及应用，通项公式的推导。
难点：正确理解等比数列的定义，根据定义判断或证明某些数列为等比数列，通项公式的推导。
三、教学过程
1、 导入
复习等差数列的相关内容:
定义：*1,()n n a a d n N +-=∈
通项公式：()*1(1),n a a n d n N =+-∈
等差数列只是数列的其中一种形式，现在来看这两组数列1、2、4、8……，
1、1
2、14、18
…… 问：这两组数列中，各组数列的各项之间有什么关系？
2、 探究发现，建构概念
问：与等差数列的概念相类比，可以给出这种数列的概念吗？是什么？
<1>定义：如果一个数列从地2项起，每一项与前一项的比值都等于同一个常数，则称此数列为的不过比数列。
这个常数就叫做公比，用q 表示。
<2>数学表达式：*1,()n n
a q n N a +=∈ 问：从等比数列的定义及其数学表达式中，可以看出什么？也就是，这个公式在什么条件下成立？
结论1 等比数列各项均不为零，公比0q ≠。
带领学生看45P 页的实例，目的是让学生知道等比数列在现实生活中的应用，从而知道其重要性。
3、 运用概念
例1 判断下列数列是否为等比数列：
（1）1、1、1、1、1；
（2）0、1、2、4、8；
（3）1、11
1124816
-、、-、.
分析 （1）数列的首项为1，公比为1，所以是等比数列；
（2）等比数列中的各项均不为零，所以不是等比数列；
（3）数列的首项为1，公比为12-
，所以是等比数列. 注 成等比数列的条件：11;20;30n n n
a q a q a +=≠≠o o o . 练习47P 1、判断下列数列是否为等比数列：
（1）1、2、1、2、1； （2）-2、-2、-2、-2；
（3）11111392781--
、、、、； （4）2、1、12、14、0. 分析 （1）3122122
a a a a ==，，比值不等于同一个常数，所以不是等比数列； （2）首项是-2，公比是1，所以是等比数列；
（3）首项是1，公比是13
-，所以是等比数列；
（4）数列中的最后一项是零，所以不是等比数列.
例2 求出下列等比数列中的未知项： （1）2，a ，8； （2）- 4，b ，c ，12
. 分析 在做这种题的时候，可以根据等比数列的定义，列出一个或多个等式来求解。
（1）8442a a a
==-，解得或； （2）22442,,1122b c b b c b c b c c c b
⎧=⎪-⎧=-=⎧⎪⎪⎨⎨⎨=-=⎪⎩⎩⎪=⎪⎩化简得解得. 例3等比数列{}n a 中，
①a 3=4，a 5=16，求a n
②a 1=2，第二项与第三项的和为12，求第四项。
随堂练习 P23练习题。
思考 由前面的练习5，等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，
212321234321,
,
,
a a q a a q a q a a q a q a q ======
……
以此类推，可以得到n a 用1a 和q 表示的数学表达式吗？
归纳猜测得到：11n n a a q -=
证明 {}n a 是等比数列，当2n ≥时，有
3241231
,,,...,n n a a a a q q q q a a a a -====，用累积法把这n-1个式子相乘， 得 11
n n a q a -=，所以11n n a a q -= <3>通项公式：11n n a a q -= (*n N ∈)
四、归纳总结
本节课的主要内容是等比数列的定义及其通项公式，要求学生能理解、掌握，并能够会应用。
五、布置作业
练习册上与本节课相关的内容。
六、教学反思
上课刚开始的时候有点紧张，讲的内容不是很连贯流畅，不能和学生形成互动，但是等紧张情绪过后，讲课的语言变得很清晰，能注意观察学生，以便和学生产生交流，调动课堂气氛。
在以后的教学中，一定要保持平稳的心态，讲好课。