常微分方程第二章
Definition 2.1 separable equation
A first-order differential equation of the form
dy g ( x ) h( y ) dx
is said to be separable or to have separable variables.
Information about the nature of solutions directly from The differential equation itself. Integral curves
dy 1 一阶微分方程 f ( x, y )的解y ( x)代表xy平面上的 dx 一条曲线，称为微分方程的积分曲线。
方向场。
在方向场中，方向相同的点的几何轨迹为等斜线。
dy f ( x, y )的等斜线方程为f ( x, y ) （参数）,给出k k dx
充分接近的值，就可得到足够密集的等斜线族。
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2.2 separable variables
Solution by integration
x 0, y 1 into the ordinary solution in order to define
arbitrary constant, that
c 1
Therefore, the particular solution is
1 y 1 sin x
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(1)
also can transform to the separate variable equation, a1 , a2 , b1 , b2 , c1 , c2 separately are constants. We discuss it by three cases.
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When f is independent of the variable y -that is, f ( x, y) g ( x) The differential equation
dy g ( x) (1) dx can be solved by integration. If g(x) is a continuous
y du dy u y ux x u x dx dx
du x u g (u ) du g (u ) u dx x dx
This is a separable equation.
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if
g (u) u 0
The above equation is a separable equation. If exist u=u0, , and g(u0)- u0 =0. We can have the result u=u0, is a solution of the above equation , so y= u0 is a solution of the previous equation.
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Example 1 solve the equation dy y y tg dx x x Solution Let
y dy du u x u x dx dx
put the above into the equation, get du x u u tgu dx du tgu dx x Let the above separate variable and integrate,
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dy dx g ( x)h( y)
Observe that by dividing by the function h(y) we can write a separable equation as
1 dy g ( x) dx h( y )
and therefore
1 h( y) dy g ( x)dx
Example 3
find the general solution of dy P ( x) y (2) dx P(x) is continuous function of x. Solution separate the variables, get
dy p( x)dx y
integrated by the both sides, There,
y sin u cx sin cx x
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Exercise solve the equation
dy x 2 xy y ( x 0) dx
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2) the form
dy a1 x b1 y c1 dx a2 x b2 y c2
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Example 2
solve the initial-value problem
dy y 2 cos x, y (0) 1 dx
Solution please separate the variables
dy cos xdx 2 y
Integrated by the both, get 1 sin x c y from which it follows that, the general solution
a1 b1 0 and c1 , c2 are not all zero. a2 b2
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而通解y ( x, c)对应于xy平面上的一族曲线(积分曲线
族)满足y( x0 ) y0条件的特解是过( x0 , y0 )的一条积分曲线。
2.设f ( x, y)的定义域为D，在( x, y) D处画上一个小线段， 其斜率等于f ( x, y)，带这种直线段的区域D为方程的
2 first-order differential equation
2.1 Solution curves without the solution
2.2 separable variables 2.3 linear equations
2.4 exact equation
2.5 solutions by substitutions
where H(y) and G(x) are antiderivatives of 1 h( y) and g(x), respectively.
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Methoer family of solutions, usually given
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2.1 Solution curves without the solution If we can neither find nor invent a method for solving it
analytically, it is often possible to glean useful
~ c
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~ ln y p( x)dx c
is an arbitrary constant.
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From the define of log, we get
p ( x ) dx c y ec e p ( x ) dx y e
Let e c , have
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Have
dx ctgudu x
ln sin u ln x c
sin u e x
c
sin u cx (e c)
c
Otherwise, the equation have solution tgu=0 , that is to say sinu=0 , therefore the solution is
function, then integrating both sides of (1) gives the
solution
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y g ( x)dx G ( x) c
where G(x) is an antiderivative (indefinite integral) of g(x).
variable equation.
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(2) the form
a1 a2
a1 b1 b1 0 a2 b2 b2
a1 b1 k a2 b2
Suppose the ratio is k, that is to say
Then the equation can be
1 y sin x c
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c is an arbitrary constant
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Otherwise, the equation also have the solution
y 0
In order to determine the particular solution, put
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2
reduction to separation of variables
dy y g( ) dx x
We only introduce two types 1) the form
Is called homogeneous equation, g(u) is continuous function of u.
常微分方程第二章一阶微分方程的初等解法
一阶微分方程的初等解法， 一阶微分方程的初等解法，即把微分方程的求 解问题化为积分问题。 解问题化为积分问题。用数学方法经过有限次 代数运算和作有限次不定积分，将微分方程的 代数运算和作有限次不定积分， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达， 解用初等函数或初等函数的待积式来表达，这 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。 种方法，习惯上称为初等积分法或求积法。能 初等积分法或求积法 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 用初等积分法求解的微分方程称为可积方程。 可积方程
内江师范学院数学与信息科学学院 ( x , y ) 中几类可积方程的求解
同时， 问题 。同时，对一阶隐式方程和高阶方程中的某些特 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 殊可积函数类型的求解问题，也作适当的介绍。 主要内容
一、变量分离方程与变量替换 待定函数法) 二、线性方程与常系数变易法(待定函数法 线性方程与常系数变易法 待定函数法 三、恰当方程与积分因子（全微分方法） 恰当方程与积分因子（全微分方法） 四、一阶隐方程与参数表示 五、小结
转化” 这是数学学习的精髓。 基本思想：“变”或“转化”，这是数学学习的精髓。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
初等积分法的实质， 初等积分法的实质，就是尽可能设法把所遇到的 的实质 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数） 微分方程的求解问题转化为积分（求原函数）问 转化为积分 题。应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 应当指出，只有少数特殊类型的微分方程， 才可能用初等积分法求解，在多数情况下，初等 才可能用初等积分法求解，在多数情况下， 积分法是不适用的。因此， 积分法是不适用的。因此，对于微分方程中常见 的类型在什么情况下能用初等积分法求解， 的类型在什么情况下能用初等积分法求解，是一 个很重要而又有实际意义的问题。 个很重要而又有实际意义的问题。
《常微分方程》 (方道元 著) 课后习题答案 浙江大学出版社
= v0 + at.
dh dt |t=T
=0
2.一个湖泊的水量为V立方米，排入湖泊内含污染物A的污水量为V1 立方米/时，流入湖泊内不含污
0 不得超过 m 5 。试讨论湖泊中污染物A的浓度变化？
解：设污染物A的浓度为P(t),由题意可得 V P (t) + P (t)(V1 + V2 ) = P (0) = 5m
w
ω )e−s ds = y (x)。
4.考虑方程
w
.k
w
其中p(x)和q (x)都是以ω 为周期的连续函数，试证：
(1)若q (x) ≡ 0，则方程(2.4.23)的任一非零解以ω 为周期当且仅当函数p(x)的平均值 p ¯= 1 ω
ω
hd aw
答
dy + a(x)y ≤ 0, (x ≥ 0). dx
−
x 2y
= 0, y (0) = 1;
−2 ，令z = y 2 ，方程两边再乘以因子e−2x ，得到 (1)显然y ≡ 0是方程的解，当y = 0时，方程两边乘以 1 2y
方程的通解为 y = (Ce2x − x 1 2 − ) 4 8
hd aw
1 1
案 网
1.试求下列微分方程的通解或特解： √ dy − 4xy = x2 y ; (1) x dx
w
w
(3) y =
dy dx
1 1−x2 y = 1 + x, x ex + 0 y (t) dt; x4 +y 3 xy 2 ;
(4)
=
(5) 2xydy − (2y 2 − x)dx = 0;
(6) (y ln x − 2)ydx = xdy ;
常微分方程第二章
第二章 基本定理我们在第一章主要学习了初等积分法，掌握了几类常微分方程的解法.但是这些解法只适用于某些特殊的类型，很多其它的常微分方程不能用初等解法进行求解.1841年，法国数学家刘维尔（Liouville ）证明了里卡蒂（Riccati ）方程)0)(()()()(2≠++=x p x r y x q y x p dydx 除了某些特殊的类型外，一般不能用初等积分法求解.例如，很简单的里卡蒂方程22y x dxdy +=就不能用初等积分法求解.自然地，如果一个常微分方程不能用初等积分法求解，那么应该如何处理呢？是否存在解呢？如果存在解，它的解是否唯一呢？解的存在区间是什么呢？初值的微小误差对解有什么影响呢？这些问题在理论的研究和实际应用中，都有着重要的意义.本章将解决这些基本问题. 本章主要介绍解的存在唯一性定理、解的延展定理与比较定理、解对初值的连续依赖性定理以及解对初值的可微性定理，这些定理就回答了我们刚才的疑问，有效的处理解的存在性、唯一性、存在区间、初值对解的影响等问题，为我们使近似解法奠定理论基础，同时这些定理也是常微分方程理论的基础内容，对进一步的学习奠定基础.2.1 解的存在唯一性定理对于一般的常微分方程),(y x f dxdy = （2.1） 如果给出了初始条件00)(y x y =，我们就得到了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy （2.2） 这时，在什么样的条件下，柯西初值问题的解存在且唯一呢？解的存在区间是什么呢？我们有如下的解的存在唯一性定理.2.1.1 存在唯一性定理的叙述定理2.1（存在唯一性定理）如果方程（2.1）的右端函数),(y x f 在闭矩形区域b y y b y a x x a x R +≤≤-+≤≤-00002,:上满足如下条件：（1）在2R 上连续；（2）在2R 上关于变量y 满足李普希兹（Lipschitz ）条件，即存在常数N ，使对于2R 上的任何一对点),(y x 和),(x 有不等式：y y N y x f y x f -≤-),(),(则初值问题（2.2）在区间],[0000h x h x +-上存在唯一解00)(),(y x x y ==ϕϕ 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==. 在给出定理2.1的证明之前，我们先对定理2.1的条件和结论做些说明：1、在两个条件中，条件（2）,即李普希兹条件比较难于验证，因为李普希兹常数N 难以确定.但是，我们可以将该条件加强，替换为：如果函数),(y x f 在闭矩形区域2R 关于y 的偏导数),(y x f y '存在且有界.这样，可以推出李普希兹条件成立.事实上，因为),(y x f y '有界，故设N y x f y ≤'),(，对2),(),,(R x y x ∈∀，由拉格朗日中值定理得：y y N y y x f y x f y x f y -≤-'=-),(),(),(ξ我们验证),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界也不容易，可以进一步将条件加强为：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上连续.由闭区域上连续函数的性质知：),(y x f y '在闭矩形区域2R 上有界，所以李普希兹条件成立.因此，有如下的关系式：),(y x f y '在2R 上连续⇒),(y x f y '在2R 上存在且有界⇒李普希兹条件2、在定理2.1的结论中，解)(x y ϕ=的存在区间为],[0000h x h x +-，其中 ),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.为什么解的存在区间不是],[00a x a x +-呢？这是因为我们研究问题的范围为闭矩形区域2R ，方程的解)(x y ϕ=不能超出2R 的范围，又因为),(max ),(y x f M Ry x ∈=，所以M y x f M ≤≤-),( 即 M dxdy M ≤≤- 由⎪⎩⎪⎨⎧=-=00)(y x y M dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==00)(y x y M dx dy 得：001)()(y x x M x y +--=，002)()(y x x M x y +-= 因此)()()(21x y x y x y ≤=≤ϕ，即)(x y ϕ=夹在)(1x y 与)(2x y 之间.又，)(1x y 与)(2x y 在2R 上的存在区间为],[0000h x h x +-，故)(x y ϕ=的存在区间也是],[0000h x h x +-.2.1.2 存在性的证明首先，我们给出柯西初值问题（2.2）的等价转化，即求（2.2）的解)(x y ϕ=，等价于求解积分方程⎰+=xx d y f y y 0))(,(0ξξξ （2.3） 事实上，如果)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解，即有))(,()(x x f x ϕϕ='且00)(y x =ϕ从0x 到x 积分得：⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 即)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解.反过来，如果)(x y ϕ=是积分问题（2.3）的解，即有⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 则00)(y x =ϕ且))(,()(x x f x ϕϕ='即)(x y ϕ=是初值问题（2.2）的解.经过等价转化，我们将初值问题（2.2）的求解，转化为积分问题（2.3）的求解.下面用皮卡（Picard ）逐次逼近来证明积分问题（2.3）的解的存在性，分为三个步骤：1、构造近似函数列{})(x n ϕ任取一个满足初值条件00)(y x y =的函数)(0x y ϕ=作为首项（初始项），并要求在2R 上的存在区间为：],[0000h x h x +-，简单起见，取00)(y x =ϕ，将它代入方程（2.3）的右端，所得到的函数用)(1x ϕ表示，并称为一次近似，即⎰+=xx d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ 再将)(1x ϕ代入方程（2.3）的右端就得到二次近似⎰+=xx d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ 序行此法，可以得到n 次近似⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 为了保证上述的逐次逼近过程可以一直进行下去，必须有2))(,(R x x n ∈ϕ，即当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ 下面用数学归纳法证明b y x n ≤-0)(ϕ.显然，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y y y x ≤=-=-0)(0000ϕ假设，当],[0000h x h x x +-∈时，有b y x n ≤--01)(ϕ，那么，对于)(x n ϕ有⎰-=-xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ 从而有b Mb M Mh x x M d f y x xx n n =≤≤-≤≤-⎰-00100))(,()(ξξϕξϕ 由数学归纳法知，当],[0000h x h x x +-∈时，有,2,1)(0=≤-n b y x n ϕ这样，我们就可以得到一个近似函数列{})(x n ϕ.2、证明近似函数列{})(x n ϕ在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.由于无法得到{})(x n ϕ的通项公式，只知道首项和递推关系式，直接证明函数列{})(x n ϕ的收敛性比较困难，为此我们构造函数项级数+-++-+-)]()([)]()([)(1010x x x x x n n ϕϕϕϕϕ （2.4） 它的部分和是)()]()([)]()([)()(10101x x x x x x x S n n n n ϕϕϕϕϕϕ=-++-+=-+因此，证明{})(x n ϕ的收敛性转化为证明级数（2.4）的收敛性，下面我们证明级数（2.4）在区间],[0000h x h x +-上一致收敛.首先研究级数（2.4）的通项)(x n μ⎰=-xx d f x x 0))(,()()(001ξξϕξϕϕ 即⎰=-xx d y f y x 0),()(001ξξϕ 所以00010),()(x x M d y f y x x x -≤≤-⎰ξξϕ 因为⎰+=x x d f y x 0))(,()(001ξξϕξϕ，⎰+=x x d f y x 0))(,()(102ξξϕξϕ，所以 ⎰-≤-x x d f f x x 0))(,())(,()()(0112ξξϕξξϕξϕϕ由李普希兹条件，得 !2)()()()(200011200x x MN d x MN d N x x x x x x -=-≤-≤-⎰⎰ξξξξϕξϕϕϕ 下面用数学归纳法证明!)()(011n x x MN x x nn n n -≤---ϕϕ 显然，2,1=n 的时候，不等式成立（上面已经给出）， 假设!)()(011n x x MN x x n n n n -≤---ϕϕ成立，那么对于1+n 的情形有 )!1(!)()())(,())(,()()(100111000+-=-≤-≤-≤-+--+⎰⎰⎰n x x MN d n x MN d N d f f x x n n x x n n xx n n x x n n n n ξξξξϕξϕξξϕξξϕξϕϕ由数学归纳法知，对一切自然数n ，均有!)()(011n x x MNx x nn n n -≤---ϕϕ 又00h x x ≤-，所以级数（2.4）的通项满足： !)(011n h MN v x n n n n -+=≤μ （ ,2,1=n ） 利用比式判别法，可知以n v 为通项的级数收敛，从而以)(x n μ为通项的级数(2.4)绝对收敛且一致收敛.又，每一个)(x n μ是连续的，所以级数（2.4）的和函数也是连续的，记为)(x ϕ，其存在区间也是],[0000h x h x +-.因此函数列{})(x n ϕ就收敛于)(x ϕ.3、证明)(lim )(x x n n ϕϕ∞→=是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.在⎰-+=x x n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ两端取极限，得到 ⎰-∞→∞→+=xx n n n n d f y x 0))(,(lim )(lim 10ξξϕξϕ 即⎰+=xx d f y x 0))(,()(0ξξϕξϕ 所以)(x ϕ是积分问题（2.3）的解，从而也是初值问题（2.2）的解.2.1.3 唯一性的证明下面我们证明解的唯一性.在证明唯一性之前，先介绍一个重要的不等式，即贝尔曼（Bellman ）不等式.贝尔曼引理 设)(x y 为区间],[b a 上的非负连续函数，b x a ≤≤0.若存在,0≥δ 0≥k ，使得)(x y 满足不等式],[,)()(0b a x d y k x y xx ∈+≤⎰ττδ （2.5） 则有],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ证明 仅证明0x x ≥的情形，0x x ≤的情形类似.令)(x y 的原函数为⎰=xx d y x R 0)()(ττ，代入（2.5）得 δ≤-')()(x kR x R两边同时乘以积分因子)(0x x k e --，得)()(00)]()([x x k x x k e x kR x R e ----≤-'δ从0x 到x 积分得)()(00)(x x k x x k e e x kR -----≤δδ即)(0)(x x k e x kR -≤+δδ 由（2.5）知，)()(x kR x y +≤δ，所以],[,)(0b a x e x y x x k ∈≤-δ下面证明积分问题（2.3）的解的唯一性.假设积分问题(2.3)有两个解)(1x y 和)(2x y ，我们只需要证明：)(1x y )(2x y ≡，],[0000h x h x x +-∈事实上，因为⎰+=x x d y f y x y 0))(,()(101ξξξ，⎰+=xx d y f y x y 0))(,()(202ξξξ 所以有⎰-≤-xx d y f y f x y x y 0))(,())(,()()(2121ξξξξξ由李普希兹条件知⎰-≤-xx d y y N x y x y 0)()()()(2121ξξξ 令N k x y x y x y ==-=,0,)()()(21δ，由贝尔曼引理可知，0)(=x y ，即)(1x y )(2x y ≡. 这样，我们就完成了解的存在性与唯一性的证明.2.1.4 三点说明为了更好的理解和掌握解的存在唯一性定理，我们对该定理再做三点说明.1、在存在性的证明过程中，我们利用逐次逼近法构造了近似函数列{})(x n ϕ，其中首项为：00)(y x =ϕ，递推关系式为：⎰-+=xx n n d f y x 0))(,()(10ξξϕξϕ.该方法实际上给出了我们一种求初值问题（2.2）的近似解的方法，当用n 次近似解逼近精确解时，需要给出它的误差估计.事实上，有∑∑∞+=∞=+-≤-≤-101!)()()()(n k k k nk k k n k x x N N M x x x x ϕϕϕϕ 0)!1()(!)!1()(!10001010Nh n k k k n n k k k e n Nh N M k h N n Nh N M k h N N M +=+<≤+∞=+∞+=∑∑ 2、如果方程（2.1）是线性方程，即)()(x q y x p dxdy +-= 其中)(x p 和)(x q 在区间],[b a 上连续，这时，初值问题（2.2）在带型区域+∞<<-∞≤≤y b x a R ,:2满足定理2.1的条件.事实上，)()(),(x q y x p y x f +-=在2R 上连续，而且)(),(x p y x f y -='在2R 上也连续，所以),(y x f 关于变量y 满足李普希兹条件.这时，初值问题（2.2）的解存在且唯一，存在区间为],[b a .3、定理2.1中的李普希兹条件是保证解唯一的充分条件，那么这个条件是不是必要条件呢？回答是否定的，即李普希兹条件是解唯一的充分非必要条件.下面我们给出一个例子来说明李普希兹条件是解唯一的非必要条件，也就是说，即使李普希兹条件不成立，初值问题（2.2）的解也可能是唯一的.例1 试证方程0,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 经过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.证明 由00,ln ,0≠=⎩⎨⎧=y y y y dx dy 可得：0=y 或x Ce e y ±=. 任给xOy 平面上的一个点),(00y x ，只会对应0=y 或xCe e y ±=中的一个解，也就是说，过xOy 平面上任一点的解都是唯一的.但是，我们有0ln ln )0,(),(-==-y y y y x f y x f 因为+∞=→y y ln lim 0，所以找不到0>N ，使得 0)0,(),(-≤-y N x f y x f从而方程右端函数在0=y 的任何邻域上不满足李普希兹条件，但是初值问题（2.2）的解却是唯一的，这说明李普希兹条件是非必要条件.习 题 2.11.试判断方程y x dx dy tan =在区域 （1）π≤≤≤≤-y x R 0,11:1；（2）44,11:2ππ≤≤-≤≤-y x R上是否满足定理2.1的条件？2.讨论方程3123y dx dy =在怎样的区域中满足定理2.1的条件.并求通过)0,0(的一切解.3.试用逐次逼近法求方程2y x dxdy -=满足初值条件0)0(=y 的近似解： )(),(),(),(3210x x x x ϕϕϕϕ并在闭矩形区域11,11:2≤≤-≤≤-y x R 给出三次近似的误差估计.4.利用逐次逼近法求方程22x y dxdy -=适合初值条件1)0(=y 的近似解： )(),(),(210x x x ϕϕϕ并在闭矩形区域111,11:2≤-≤-≤≤-y x R 给出二次近似的误差估计.5.试证明定理2.1中的n 次近似解)(x n ϕ与精确解)(x ϕ有如下的误差估计式：10)!1()()(+-+≤-n n n x x n MN x x ϕϕ 6.在条形区域+∞<≤≤y b x a ,内，假设方程（2.1）的所有解都唯一，对其中任意两个解)(),(21x y x y ，如果有)()(0201x y x y <，则必有b x x x y x y ≤≤<021),()(.7.讨论方程323y dx dy = 解的唯一性.2.2 延展定理和比较定理由解的存在唯一性定理，我们知道，初值问题（2.2）的解在满足一定条件的情况下存在且唯一，但是解的存在区间不是],[00a x a x +-，而是],[0000h x h x +- 其中),(max ),,min(),(0y x f M Mb a h R y x ∈==.如果M 比较大的话，则解的存在区间就非常小，这对我们研究解的性质产生了很大的局限性，只能在很小的范围内有解，当x 超出这个范围时，解的情况就不清楚了.为了解决这个问题，我们有下面的延展定理.2.2.1 延展定理定理2.2（延展定理）如果方程（2.1）的右端函数在区域R R D ⨯⊂上连续，且关于变量y 满足局部的李普希兹条件，即对于D 内的任一闭矩形区域都满足李普希兹条件，则对任何一点D y x ∈),(00，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=可以向左右无限延展，直到))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界.在给出定理的证明之前，先对“))(,(x x ϕ任意接近区域D 的边界”进行说明.当区域D 有界时，积分曲线向左右延展可以任意接近；当区域D 无界时，积分曲线向左、右延展，或者任意接近区域D 的边界（边界存在的话），或者无限远离坐标原点.证明 首先证明区域D 有界的情形.设区域D 的边界为D D L -=（D 为D 的闭包）.对于任意给定的正数ε，记L 的ε邻域为εU ，记L 的2ε邻域为2εU ，记L 的4ε邻域为4εU .则集合22εεU D D -=为闭集，且D D ⊂2ε，所以2εD 有界. 只要证明积分曲线可以到达2εD 的边界2εL ，由ε的任意性知，积分曲线就可以任意接近区域D 的边界L .事实上，以2εD 中的任意一点为中心，以4ε为半径的闭圆区域均包含在区域D 的内部.且在闭区域44εεU D D -=之内.从而，以2εD 中的任意一点为中心，以4221ε=a 为边长的正方形也在闭区域4εD 之内.记 ),(max 4),(1y x f M D y x ε∈= 则过2εD 的任意一点),(**y x 的积分曲线，必至少可在区间],[**h x h x +-上存在，其中)82,82min(),min(1111M M a a h εε==. 于是，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=每向左或向右延展一次，其存在区间就伸长一个确定的正数h ，由于2εD 有界，)(x y ϕ=经过有限次延展后一定可以达到2εD的边界2εL .于是也就可以任意接近区域D 的边界L .其次考虑区域D 为无界的情形.这时，我们可以用闭圆区域,2,1},),{(222=≤+=n n y x y x S n与区域D 取交集，令n n S D D =，则 ∞==1n n D D .由于n D 为有界的区域，根据前面的证明，我们可知，过n D 内任一点的积分曲线能够任意接近n D 的边界.因此，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=可以无限接近区域D 的边界.延展定理的证明，关键是第一步证明，也就是区域D 有界的时候，过点),(00y x 的积分曲线)(x y ϕ=向左向右延展的时候，一定要做等速延展，即延展步幅h 是不变的. 例1 试讨论方程2y dxdy=通过点)1,1(的解和通过点)1,3(-的解的存在区间. 解 该题目中研究问题的区域D 为整个坐标平面xOy .方程右端函数满足延展定理的条件.由2y dxdy=可以解得方程的通解为 xC y -=1代入1)1(=y 得：2=C .故通过点)1,1(的解为xy -=21 它可以向左无限延展，而当-→2x 时，+∞→y ，所以通过点)1,1(的解xy -=21的存在区间为)2,(-∞.代入1)3(-=y 得：2=C .故通过点)1,3(-的解为xy -=21它可以向右无限延展，而当+→2x 时，-∞→y ，所以通过点)1,3(-的解xy -=21的存在区间为),2(+∞.这个例子说明，尽管),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，解上的点))(,(x x ϕ也能无限接近区域D 的边界，但是延展的方向却不一定是无限向右和向左，可能是向上或向下，从而导致解的存在区间不是),(+∞-∞. 例2 试证明：对任意的0x 及满足条件100<<y 的0y ，方程221)1(y x y y dx dy ++-=的满足条件00)(y x y =的解)(x y y =在),(+∞-∞上存在.证明：令221)1(),(y x y y y x f ++-=，则222222)1(122),(y x x y y x y y x f y ++--++=' 显然),(),,(y x f y x f y '在xOy 平面上连续，满足解的存在唯一性条件及延展定理的条件，而1,0==y y 是),(y x f dxdy=的解， 因此，满足00)(y x y =，100<<y 的解存在，而且可以无限延展到xOy 平面的边界，且不能穿过1,0==y y ，故只能向左右无限延展，所以，)(x y y =在),(+∞-∞上存在.该例题说明，),(y x f 在整个坐标平面上满足延展定理的条件，当方程的解不能穿过1,0==y y 时，它就不能向上向下无限延展了，只能向左、向右延展，所以解的存在区间就是),(+∞-∞.在这里，1,0==y y 控制了解的延展方向，使它按照我们的要求进行延展，因此就有了下面的比较定理. 2.2.2 比较定理我们在使用延展定理的时候，通常会和比较定理配合使用，从而起到控制延展方向的作用.下面介绍一下比较定理.我们在考察方程（2.1）),(y x f dxdy=时，通常将右端函数),(y x f 进行放缩的处理，比如),(),(),(21y x F y x f y x F <<这时，我们可以同时考察),(1y x F dx dy =和),(2y x F dxdy = 我们有如下的比较定理：定理2.3 （第一比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F <<设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ<<Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ>>Φϕ证明 仅证当0x x >时，)()(2x x Φ<ϕ，其它的情形相类似. 由比较定理的条件（1），初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解在0x 的某一邻域内存在且唯一，分别记为)(x y ϕ=和)(2x y Φ=，它们满足0020)()(y x x =Φ=ϕ令)()()(2x x x h ϕ-Φ=，则0)()()(0020=-Φ=x x x h ϕ且0))(,())(,()()()(0002020020>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ所以函数)(x h 在0x 的某一右邻域内是严格单调增加的.如果在0x x >时，0)(>x h 不是总成立，则至少存在一点01x x >，使得0)(1=x h ，且当10x x x <<时，0)(>x h ，因此在点1x 的左导数0)0(1≤-'x h ，这与0))(,())(,()()()(1112121121>-Φ='-Φ'='x x f x x F x x x h ϕϕ矛盾.因此当0x x >时，0)(>x h 总成立，即)()(2x x Φ<ϕ.比较定理的应用，关键是),(1y x F 和),(2y x F 的选取，因为初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解)(x y ϕ=的存在区间的延展，受到)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的控制，即)(x y ϕ=夹在)(1x y Φ=和)(2x y Φ=之间.因此，我们必须能确定出)(1x y Φ=和)(2x y Φ=的存在区间，这就是我们选取),(1y x F 和),(2y x F 的标准，即⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dxdy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解)(1x y Φ=和)(2x y Φ=必须能够求得. 下面我们给出第二比较定理.定理2.4 （第二比较定理）设定义在某个区域D 上的函数),(y x f ，),(1y x F 和),(2y x F 满足条件：（1）在D 满足解的存在唯一性定理及延展定理的条件，即在D 上连续，在D 上关于变量y 满足李普希兹条件；（2）在D 上有不等式),(),(),(21y x F y x f y x F ≤≤设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy ，⎪⎩⎪⎨⎧==001)(),(y x y y x F dx dy 和⎪⎩⎪⎨⎧==002)(),(y x y y x F dx dy的解分别为)(x y ϕ=，)(1x y Φ=和)(2x y Φ=，则在它们的共同存在区间上有下列不等式：021),()()(x x x x x >Φ≤≤Φϕ 021),()()(x x x x x <Φ≥≥Φϕ习 题 2.21．设方程为),()(22y x f a y dxdy-= 假设),(y x f 及),(y x f y '在xOy 平面上连续，试证明：对于任意的0x 及a y <0，方程满足00)(y x y =的解都在),(+∞-∞上存在.2.指出方程2)1(2xy e y dxdy -=的每一个解的最大存在区间，以及当x 趋于这个区间的右端点时解的极限.3.讨论方程xx dx dy 1cos 12-= 解的存在区间.4.设),(y x f 在整个平面上连续有界，对y 有连续偏导数，试证明方程),(y x f dxdy=的任一解)(x y ϕ=在区间+∞<<∞-x 上有定义. 5.讨论方程212-=y dx dy 的通过点)0,0(的解，以及通过点)3,2(ln -的解的存在区间.6.在方程)(y f dxdy=中，如果)(y f 在),(+∞-∞上连续可微，且 )0(0)(≠<y y yf ，求证方程满足00)(y x y =的解)(x y 在区间),[0+∞x 上存在，且有0)(lim =+∞→x y x .2.3 解对初值的连续依赖性定理和解对初值的可微性定理通过前两节的存在唯一性定理和延展定理，加上比较定理，我们知道了初值问题（2.2）在什么样的条件下，解是存在的，是唯一的，而且存在区间比较小的时候，通过延展定理和比较定理可以将解的存在区间变大，从而在实际问题中可以达到我们的要求.但是，在实际问题中，还有一个问题需要解决，那就是误差问题.我们的初始条件00)(y x y =如果产生了微小的偏差，这个偏差对我们的初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=会有什么影响呢？下面我们来解决这个问题. 我们在研究初值问题（2.2）的时候，习惯上把0x 和0y 当作常数来看待，这样初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=被看作x 的函数.实际上，如果0x ，0y 变化，初值问题（2.2）的解)(x y ϕ=也会发生变化.例如方程xydx dy = 经过点),(00y x 的解为x x y y 0=，可以看作00,,y x x 的函数.对于一般的情形，初值问题（2.2）的解也可以看作00,,y x x 的函数，记为),,(00y x x y ϕ=，代入00)(y x y = 得：0000),,(y y x x =ϕ.如果我们的初始条件00)(y x y =发生了微小的误差，变为了**0)(y x y =，初值问题（2.2）的解也变化不大的话，称解连续依赖于初值.下面我们给出连续依赖性的严格定义.定义2.1 设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==**0)(),(y x y y x f dxdy的解),,(*0*0y x x y ϕ=在区间],[b a 上存在，如果对于任意给定的正数ε，存在正数δ (δ的选取与,ε**0,y x 有关)，使得对于满足δδ<-<-*00*00,y y x x （2.2）的解),,(00y x x y ϕ=都在],[b a 上存在，且有],,[,),,(),,(*0*000b a x y x x y x x ∈<-εϕϕ则称初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在点),(*0*0y x 连续依赖于初值,0x 0y .定理2.4 （解对初值的连续依赖性定理）设),(y x f 在区域D 内连续，且关于变量y 满足李普希兹条件.如果D y x ∈),(*0*0，初值问题（2.2）有解),,(*0*0y x x y ϕ=,且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，则对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x证明 对于任意给定的正数ε，取εδ<<10，使得闭区域}),,(,),{(1*0*0δϕ≤-≤≤=y x x y b x a y x U整个含在区域D 内，这是可以做到的，因为区域D 是开区域，且当b x a ≤≤时，D y x x x ∈)),,(,(*0*0ϕ，所以，只要1δ的选取足够小，以曲线),,(*0*0y x x y ϕ=为中线，宽度为12δ的带形开区域U 就整个包含在区域D 内， 选取δ满足)(110a b N e M--+<<δδ其中N 为李普希兹常数，),(max ),(y x f M Uy x ∈=，同时还要求δ的选取，必须保证闭正方形δδ≤-≤-*0*02,:y y x x R含于带形开区域U 内.由存在唯一性定理知，对于任一200),(R y x ∈，初值问题（2.2）在0x 的某邻域上存在唯一解),,(00y x x y ϕ=，而且),,(00y x x y ϕ=在0x 的该邻域上可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(000000⎰+=而),,(*0*0y x x y ϕ=可以表示为ττϕτϕd y x f y y x x xx )),,(,(),,(*0*0*0*0*0*⎰+=对上述两式做差得：ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx x x )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*⎰⎰-+-=-ττϕτττϕτϕϕd y x f d y x f y y y x x y x x xx xx )),,(,()),,(,(),,(),,(*0*000*00*0*000*0⎰⎰-+-≤-ττϕτττϕττϕτd y x f d y x f y x f y y x x xx |)),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000*0*0*00**0⎰⎰+-+-≤δττϕττϕτδM d y x f y x f xx +-+≤⎰|)),,(,()),,(,(|00*0*0*0ττϕτϕδd y x y x N M xx |),,(),,(|)1(00*0*0*0-++≤⎰由贝尔曼引理，得εδδδϕϕ<<+≤+≤---1)(*0*000)1()1(),,(),,(*a b N x x N e M e M y x x y x x因此，只要在),,(00y x x y ϕ=有定义的区间上，就有εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .下面我们证明：),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.事实上，因为εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x即解),,(00y x x y ϕ=夹在εϕ+=),,(*0*0y x x y 和εϕ-=),,(*0*0y x x y 之间，而且，初值问题（2.2）满足延展定理的条件，所以，解),,(00y x x y ϕ=可以向左向右无限延展，直到无限接近区域D 的边界，于是，它在延展的时候，必须由直线a x =和直线b x =穿出区域U ，从而),,(00y x x y ϕ=在区间],[b a 上有定义.解对初值的连续依赖性说明，初值),(00y x 无法准确得到，但是我们能得到测量数据),(*0*0y x ，只要误差比较小，即δδ<-<-*00*00,y y x x .我们就可以用),(*0*0y x 代替),(00y x 去计算，得到初值问题的解),,(*0*0y x x y ϕ=，这个解可以非常接近真实解),,(00y x x y ϕ=，即εϕϕ<-),,(),,(*0*000y x x y x x .同理，如果方程的右端函数),(y x f 不能准确得到，只能得到),(y x f 的近似函数),(~y x f ，即)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ我们就可以用),(~y x f 代替),(y x f 去计算，得到初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=，那么),,(00~y x x y ϕ=能否代替),,(00y x x y ϕ=呢？我们有下面的解的连续依赖性定理.定理2.5 （解对被积函数的连续依赖性定理）在区域D 上，),(y x f 和),(~y x f 都连续，而且关于变量y 满足李普希兹条件， 若初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 在b x a ≤≤上有解),,(00~y x x y ϕ=，则对任意给定的正数ε，存在0>δ，只要),(y x f 满足)),((,),(),(~D y x y x f y x f ∈<-δ则初值问题（2.2）的解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(00~00y x x y x x .证明 由解的存在唯一性定理知，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00~)(),(y x y y x f dxdy 的解),,(00~y x x y ϕ=存在，设其存在区间为],[b a ，且有⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00~~000~ξξϕξϕ而初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dxdy的解),,(00y x x y ϕ=也存在，且可以表示为⎰+=xx d y x f y y x x 0))],,(,([),,(00000ξξϕξϕ则⎰⎰-=-xx xx d y x f d y x f y x x y x x 0))],,(,([))],,(,([),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξξϕξϕϕ从而有⎰-≤-xx d y x f y x f y x x y x x 0|)),,(,()),,(,(|),,(),,(0000~~0000~ξξϕξξϕξϕϕ⎰-+-=xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,()),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ ⎰-+-≤xx d y x f y x f y x f y x f 0|)),,(,()),,(,(||)),,(,()),,(,(|0000~00~00~~ξξϕξξϕξξϕξξϕξ⎰+-≤xx d y x y x N 0)|),,(),,((|0000~ξδξϕξϕ ⎰-+-≤xx d y x y x N a b 0|),,(),,(|)(0000~ξξϕξϕδ由贝尔曼引理，得)(0000~)(),,(),,(a b N e a b y x x y x x --≤-δϕϕ取)(a b N e ab ---<εδ，则εϕϕ<-),,(),,(0000~y x x y x x .且解),,(00y x x y ϕ=在b x a ≤≤上存在. 例1 考虑方程,ln ,0≠=⎩⎨⎧-=y y y y dx dy 解的情况.解 显然1,1,0-===y y y 是方程的解，当1,1,0-≠≠≠y y y 时，有y y dxdyln -= 这时解得上半平面的通解为x Ce e y -=，下半平面的通解为xCe e y --=.可以看到，对于Ox 轴上的初值)0,(0x ，在任意有限闭区间上解对初值连续依赖，但是，在),0[+∞上，无论),(00y x ，00≠y 如何接近)0,(0x ，只要x 充分大，过),(00y x 的积分曲线就不能与过)0,(0x 的积分曲线（即0=y ）任意接近了.这个例子说明，解在有限闭区间上对初值连续依赖，不能推广到无限区间，即，在无限区间上解对初值的连续依赖定理就不成立了.我们有时不仅要求解对初值连续依赖，而且还要知道解),,(00y x x y ϕ=对初值00,y x 的偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ是否存在.下面给出解对初值的可微性定理. 定理2.6 （解对初值的可微性定理）如果函数),(y x f 以及),(y x f y '在区域D 内连续，则初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=在它有定义的区间上有连续偏导数00,y x ∂∂∂∂ϕϕ.并且有 ⎰-=∂∂'x x y d y x f e y x f x y x x 000)),,(,(00000),(),,(ττϕτϕ 及⎰=∂∂'xx y d y x f e y y x x 000)),,(,(000),,(ττϕτϕ 习 题 2.31.若函数),(y x f ，),(y x R 在区域D 内连续且满足李普希兹条件，设初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=*0*0)(),(),(y x y y x R y x f dx dy 的解为),,(*0*0~y x x y ϕ=，存在区间为],[b a .对任意的正数ε，存在0>δ，使对于满足)),((,),(D y x y x R ∈<δ的),(y x R ，以及满足δδ<-<-*00*00,y y x x的任意),(00y x ，初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解),,(00y x x y ϕ=也在区间],[b a 上存在，且有εϕϕ<-),,(),,(*0*0~00y x x y x x 2.已知方程)sin(xy dxdy = 试求0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x x y x x y 和0000000),,(==⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂y x y y x x y 3.设),,(00y x x ϕ是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 的解，试证明0),(),,(),,(00000000=∂∂+∂∂y x f y y x x x y x x ϕϕ 2.4 欧拉折线法在第一章，我们介绍了方程的初等解法，即用微积分的知识求得常微分方程的函数解.但是绝大多数的方程不能用初等方法求解，在第二章的前三节中，我们给出了柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在什么样的条件下，解存在且唯一；在什么条件下，解的存在区间可以延展；在什么条件下连续依赖于初值；在什么条件下，解对初值是可微的.有了这些准备，我们就可以研究柯西初值问题的近似解.下面我们介绍求近似解的方法，欧拉折线法.假定函数),(y x f 在区域：+∞<<-∞≤≤y b x a ,上连续，且关于变量y 满足李普希兹条件，求柯西初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy 在区间],[0b x 上的近似解，我们采用的方法是：（1）等分区间],[0b x ，分点为n k kh x x k ,,1,0,0 =+=；小区间长度nx b h 0-=， （2）第一个小区间上用切线段逼近曲线：))(,(0000x x y x f y y -+=，（3）求出1x 所对应的纵坐标))(,(010001x x y x f y y -+=，（4）依次重复（2），（3）得到每个小区间上的线段，从而得到欧拉折线. 这样，我们就用欧拉折线作为柯西初值问题在区间],[0b x 近似解.欧拉折线法的前提是：柯西初值问题的解存在且唯一，而且解的存在区间是],[0b x .例1试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=+=1)1(22y y x dx dy 的解在4.1=x 时的近似值.解 令22),(y x y x f +=，2)1,1(=f ，这时12-=x y ，代入1.11=x 得：2.11=y ，65.2)2.1,1.1(=f ，这时2.1)1.1(65.2+-=x y ， 代入2.12=x 得：465.12=y ，586225.3)465.1,2.1(=f ，这时465.1)2.1(586225.3+-=x y ， 代入3.13=x 得：8236225.13=y ，0155990225.5)8236225.1,3.1(=f ，这时8236225.1)3.1(0155990225.5+-=x y ，代入4.14=x 得：53251824022.24=y 习 题 2.41. 试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题⎪⎩⎪⎨⎧=-=0)0(22y y x dx dy 的解在5.1=x 时的近似值.2．试用欧拉折线法，取步长1.0=h ，求初值问题 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=2)1(22y y x dx dy 在区间]4.1,1[上的近似解.。
常微分方程第二章第一讲
2.1.2 可化为变量分离方程的类型
引言 有的微分方程从表面上看，不是可分 离变量的微分方程，但是，通过适当的变量替 换，就可以很容易地化为“变量分离方程”， 在这里，介绍两类这样的方程。 1. 齐次方程
1)方程的类型
定义
dy y g ( ) (2.5) 的方程，称为齐次 dx x 微分方程，这里 g (u ) 是 u 的连续函数。 14
dy ( y) f ( x)dx C (2.2)
可以证明这就是方程(2.1)的通解.
2)如果存在 y0， ( y0 ) 0, 则方程（ .1 使 2 ）还有特解
y y0
(**)
微分方程(2.1)的所有解为：式(2.2)和(**).
注意：积分常数C 的相对任意性。
7
3.变量分离方程的解题步骤
即 1 , 2 1 ,
则 ON OM ,
PM 而 tan 2 , OP ON
_____ _____
则有 y'
y x x y
2 2
.
上述方程为齐次微分 方程，可用变量变换 法求解。
27
小结 1.变量分离方程的形状 dy f ( x) ( y )或M 1 ( x) N1 ( y ) dx M 2 ( x) N 2 ( y ) dy 0 dx 2.变量分离方程的求解：分离变量法 步骤：分离变量，两边积分，检查是否有遗漏的特解
2
(*)
23
分离变量，得 dX 1 u du 2 X 1 2u u 两边积分，得 ~ 2 2 ln X ln | u 2u 1 | C
即X (u 2u 1) C1 (C1 e ), 此外容易验证 u 2 2u 1 0 亦为方程（*）的解，因此方程(*)的通解为 X 2 (u 2 2u 1) C1， 其中C1为任意常数。
常微分方程课程总结
常微分方程课程总结第一章 绪论§1.2微分方程的基本概念（1）常微分方程偏微分方程微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程。
常微分方程：未知函数为一元函数的微分方程。
()(),dyaxy a dxdy p x y Q x dx=+=为常数 偏微分方程：未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程。
()22,22242u uf x y x y u u y x ∂∂+=∂∂∂∂=∂∂（2）线性与非线性一般n 阶线性微分方程具有形式：（等式左面全是一次有理整式）()(1)11()()()().n n n n y a x y a x y a x y f x --'++++=（3）解和隐式解微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 隐式解：Φ（x,y ）=0 （4）通解和特解通解：微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数同.） 特解： 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件：用来确定任意常数的条件.初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题.（5）积分曲线：微分方程任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积曲线。
第二章 一阶微分方程的初等解法§2.1 变量分离方程与变量变换2.1.1、变量分离方程)()(y x f dxdyϕ= ⎰⎰+=c dx x f y dy )()(ϕ 2.1.2、可化为变量分离方程的类型1.形如)(x y g dx dy =，称为齐次微分方程，令u ＝xy ,即y ＝ux ，于是dx dy ＝x dx du ＋u ，代入原方程，变形为x dx du ＋u ＝g （u ），整理得dx du ＝xuu g -)(2.形如222111c x b x a c x b x a dx dy ++++= 的方程也可经变量变换化为变量分离方程（1）常数）(212121k c c b b a a ===，方程化为dxdy ＝k ，有通解c kx y += （2）≠==k b b a a 212121c c 情形，令u ＝y b x a 21+，这时有dx du ＝dx dy b a 22+＝2122c u c ku b a +++是分离变量方程 （3）2121b b a a ≠情形，若21c c 、不全为零，方程右端分子、分母都是x 、y 的一次多项式，因此111c x b x a ++＝0，222c y b x a ++＝0，交点（),βα，令X ＝x －α，Y ＝y －β，化为011=+Y b X a ， 022=+Y b X a 。
丁同仁常微分方程教程第二章小结
−( Q
∂M ∂N − ) ∂y ∂x = −1 M
仅与 y 有关，故方程有积分因子 µ ( y ) = e ∫
− dy
= e− y
从而方程 −e − y + e− y ( x + 2 y )dy = 0 为全微分方程 其通解为： − ∫x e − y dx + ∫y ( x0 + 2 y )dy = c1
z =y−y1
Riccati方程不恒为零。观察其一 特解为y = ϕ ( x)
1
dy = p ( x) y 2 + q ( x ) y + r ( x), dx p( x)
习题课 目的：①对 1-5 节内容即初等积分法求解方法的归纳，并通过几个 典型例题的讲解，使大家认识到一阶方程解法的灵活性，多样性。 ②关于一阶方程的通解公式和通解结构定理， 也是一重要的
变量分离方程
∆=0
dy = f ( x)ϕ ( y ) dx
y = c(x)e ∫
− p( x)dx
线性方程
dy = p ( x) y + q ( x) dx
1 µ= ϕ1(y)
dy a x + b1 y + c1 = f( 1 ) dx a2 x + b2 y + c2
a1 b1 a2 b2
µ=
u= y x
从而 δ lim ce x →+∞
∫x0 a (τ ) dτ
≤ lim c e− k ( x − x0 ) = 0
δ x →+∞
再讨论前一项，首先，由积分性质
−
e
∫x0 a (τ ) dτ
x
∫
x
x0
常微分方程与动力系统第二章课后题参考答案
常微分方程与动力系统第二章习题参考答案 1.证明：因为()t Φ是线性齐次系统（LH ）的一个基本解矩阵，由定理2.5知()t Φ在区间J 上满足矩阵微分系统()M LH ,即.()()()t A t t Φ=Φ，.1()()()A t t t -=ΦΦ所以由()A t 确定的线性齐次系统（LH ）必唯一。
2.证明：因为()t ϕ，()t ψ分别是.()x A t x=和.()T x A t x =-的解，所以111()()()nk k k nnk k k a d t A t t dt a ϕϕϕϕ==⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭∑∑ ，11211111122222*121()()()nn k k k n n kn kn n n nnk a a a a a a a d t A t t dta a a a ψψψψψψ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=-ψ=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭∑∑ 因而1111112211(,)(,)(,),,nnk k k k k k nnkn k k nk k n n k a a d d d dt dt dt a a ψϕϕψψϕϕψϕψψϕψϕψϕ====⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥=+= ⎪+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑ 11111111()0nnn n nnnnn n nnm m m m i ij j i ij j i mk k km k mk k km m m m m i j i j k k k k a a a a a a ϕψψϕϕψϕψϕψϕψ============-=+=-=-=∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑所以(),()()()1nt t t t k kk ϕψϕψ≡≡∑=常数。
3.证明：设)t Φ(为系统.()x A t x=的一个基本解矩阵，则由定理2.11知[]1()Tt -Φ是系统.()Tx At x =-的基本解矩阵，由定理2.4知系统.()x A t x=满足初始条件00()x t x =的特解为100()))t t t x ϕ-=Φ(Φ(，[)0,0,t t ∈+∞由题可知)t Φ(与[]1()Tt -Φ在[)0,+∞上有界，从而由定理2.24知110()0k k t ∃=>和220()0k k t =>使得10120(),(),T t k t t t k t t -⎧Φ≤≤<+∞⎪⎨Φ≤≤<+∞⎪⎩,利用常数变易法公式（2.32），可知式.()()y A t y B t y=+的初始条件为00()y t y =的解满足1()()()()()()tt y t t t s B s y s ds ϕ-=+ΦΦ⎰因为1111()()(Ttttt---ΦΦ≤Φ所以12120()()(),tt y t k kx k k B s y s≤+≥⎰，利用格朗瓦尔不等式有12()120().tt k k B s dsy t k k x e⎰≤记12()12tt k k B s dsC k k e ⎰=设0()B t dt M +∞=<+∞⎰则()()tt B s ds B t dt M+∞≤=⎰⎰有1212k k MCk k e≤从而00(),y t C x t t ≤≥所以系统.()()y A t y B t y =+的一切解都在[)0,+∞上有界。
常微分方程 ppt课件
量，x是未知函数，是未知函数对t导数. 现
在，我们还不会求解方程(1.1)，但是，如果
考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程
(1.1)可化为
d2x dt 2
g
(1.2)
将上式对t积分两次得
x(mt)xk12xgt2mgc1t c2
(1.3) (1.1)
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一般说来，微分方程就是联系自变量、 未知函数以及未知函数的某些导数之间的关 系式. 如果其中的未知函数只是一个自变量 的函数，则称为常微分方程；如果未知函数 是两个或两个以上自变量的函数，并且在方 程中出现偏导数，则称为偏微分方程. 本书 所介绍的都是常微分方程，有时就简称微分 方程或方程.
这样，从定义1.1可以直接验证：
F(x, y, y) 0
(1.8)
如果在(1.8)中能将 y 解出，则得到方程
y f (x, y)
(1.9)
或
M (x, y)dx N(x, y)dy 0
(1.10)
(1.8)称为一阶隐式方程,(1.9)称为一阶显式方程，(1.10)称为微 分形式的一阶方程.
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n 阶隐式方程的一般形式为
常微分方程
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常微分方程课程简介
常微分方程是研究自然科学和社会科学中的事物、 物体和现象运动、演化和变化规律的最为基本的数 学理论和方法。物理、化学、生物、工程、航空航 天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都 可以描述成适当的常微分方程，如牛顿运动定律、 万有引力定律、机械能守恒定律，能量守恒定律、 人口发展规律、生态种群竞争、疾病传染、遗
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传基因变异、股票的涨伏趋势、利率的 浮动、市场均衡价格的变化等，对这些 规律的描述、认识和分析就归结为对相 应的常微分方程描述的数学模型的研究.
第二章常微分方程
an (n c)(n c 1)xnc (F0 F1x F2 x2 ) an (n c)xnc
n0
n0
(G0 G1x G2 x2 ) an xnc 0
n0
第二章常微分方程——二阶变系数方程
首项xc的系数为0——指标方程
c2 (F0 1)c G0 0
第n项xn+c的系数为0 ——递推公式
rAs
)
dy dt
y
(rA
rAs )
[Qr (T )
Qr (Ts )]
第二章常微分方程——线性稳定性分析
将反应项与移热项线性展开
dx dt
1
rA cA
s
x
rA T
s
y
dy dt
rA cA
s
x
1
rA T
s
dQr dT
s
y
特征根方程
2 tr 0
detA I 0
从中可解出n个特征根和特征向量，构成基解矩阵
第二章常微分方程——一阶常系数方程组
通解 或
Y t e1t x 1 , e2t x 2 , ，ent x n
y t c1 x 1e1t c2 x 2e2t cn x nent
y=Yc 常数 c 由初始条件确定
y2
y c cc1
➢ 当c1－c2 为整数时，第二解为
y2
c
c
c2
y cc2
第二章常微分方程——二阶变系数方程
推导：设
y(x,c)
an不一定满足指标方程，将其代入
方程后有
x 2 d 2y dx 2
xF
(x
)
dy dx
G(x)y （c c1)(c c2)a0x c
常微分方程2.1 线性方程
的通解之和是非齐次方程的通解。
11
y e p( x)dx[ g( x)e p( x)dxdx C]
求方程 y 1 y sin x 的通解. p( x) ? g( x) ?
x
x
解
y
e
1 dx x
[
sin x x
e
1 dx
x dx
C
]
cos x
x
C x
考虑：dy dx , yx
对应齐通解：y C , x
设非齐通解：y u( x) , x
u( x) sin x ,
x
x
u( x) cos x C.
12
解初值问题:
( x2 1) y 2xy cos x 0
1
本章的主要内容
2.1 线性方程 2.2 变量可分离方程 2.3 全微分方程 2.4 变量替换法
2.5 一阶隐式方程 2.6 近似解法 2.7 一阶微分方程1 线性方程
一阶线性微分方程 y ' p(x) y g(x)
一、 线性齐次方程
若 y ' p(x) y g(x) 中 g(x) 0 时，
先解：dx dy , x y ln y
ln x ln ln y lnC,
设 : x u( y) , u( y) 1 , u( y) 1 ln2 y C,
ln y ln y y
2
x 1 ln y C .
2
ln y
此外, y = 1 也是原方程的解.
16
解微分方程 dy sin y x cos y x 0 dx