第10讲 函数的奇偶性
第十讲 奇偶性
第十讲 奇偶性【目标要求】1.了解函数奇偶性的含义；2.理解奇函数、偶函数的定义及图象特征；3.会判断函数的奇偶性，并能解决函数的奇偶性与单调性的综合问题.【知识解读】,x 都有)(()(x f x f -=-或)),()(x f x f =-才能说是奇（或偶）函数；(2)函数)(x f y =是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件：定义域关于原点对称.若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性；(3)若奇函数在原点处有定义，则必有0)0(=f ；(4)若),()(x f x f -=-且),()(x f x f =-则)(x f 既是奇函数又是偶函数，既奇又偶的函数有且只有一类，即D D x x f ,,0)(∈=是关于原点对称的非空实数集.2.奇偶函数的图象特征(1)奇函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数；(2)偶函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数是偶函数.注意：(1)如果直到一个函数是奇函数或偶函数，那么只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分，得出函数在一部分上的性质和图象，就可以推出这个函数在另一部分上的性质和图象；(2)如果)(x f 为奇函数，点))(,(x f x 在其图象上，那么点)),(,(x f x --即点))(,(x f x --也在)(x f 的图象上；(3)如果)(x f 为偶函数，点))(,(x f x 在其图象上，那么点)),(,(x f x --即点))(,(x f x -也在)(x f 的图象上.3.函数奇偶性的判定：(1)判断函数)(x f 的定义域是否关于原点对称，若关于原点对称，则进行下一步；(2)化简函数)(x f 的解析式（注意定义域）；(3)求出),(x f -根据)(x f -与)(x f 之间的关系，判断函数)(x f 的奇偶性：①由0)()(=+-x f x f 或),0)((1)()(≠-=-x f x f x f 得),()(x f x f -=-则)(x f 是奇函数； ②由0)()(=--x f x f 或),0)((1)()(≠=-x f x f x f 得),()(x f x f =-则)(x f 是偶函数. 4.有关奇函数、偶函数的重要结论：(1)两个奇函数的和仍为奇函数，定义域为它们的公共部分；(2)两个偶函数的和仍为偶函数，定义域为它们的公共部分；(3)两个奇函数的积是偶函数，定义域为它们的公共部分；(4)两个偶函数的积是偶函数，定义域为它们的公共部分；(5)一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，定义域为它们的公共部分.注意：以上所有函数都是定义在同一个关于原点对称的定义域上.5.一般地，若函数)(x f 为奇函数，则)(x f 在关于原点对称的两个区间],[b a 和],[a b --具有相同的单调性；若函数)(x f 为偶函数，则)(x f 在关于原点对称的两个区间],[b a 和],[a b --具有相反的单调性.【典型例题】题型一 函数奇偶性的判断例1 下面四个结论中，正确的是（ ）①偶函数的图像一定与y 轴相交 ②奇函数图像一定关于原点对称③偶函数图像一定关于y 轴对称 ④既是奇函数又是偶函数的函数一定是)(0)(R x x f ∈=A.①④B.②③C.①②D.③④例2 判断下列函数的奇偶性 (1)x x x f 1)(+= (2)221)(2-+-=x x x f (3)⎪⎩⎪⎨⎧<≤---≤<--+=;61,4)5(,16,4)5()(22x x x x x f (4)⎪⎩⎪⎨⎧<---=>+-=;0,32,0,0,0,32)(22x x x x x x x x f (5))()(R a a x a x x f ∈--+=例3 (1)若对于任意实数,,b a 函数R x x f ∈),(都有),()()(b f a f b a f +=+求证：)(x f 为奇函数；(2)若对于任意实数,,21x x 函数R x x f ∈),(都有),()()()(212121x f x f x x f x x f ⋅=-++求证：)(x f 为偶函数；(3)设函数)(x f 定义在),(l l -上，求证：)()(x f x f -+是偶函数，)()(x f x f --是奇函数；(4)证明：任何定义域关于原点对称的函数都可以表示为一个奇函数和一个偶函数的和.题型三 函数奇偶性的应用例4 已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0>x 时，,1)(3++=x x x f 求)(x f 的解析式.例5 已知奇函数)1,1(),(-∈=x x f y 在)1,1(-上是减函数，解不等式.0)31()1(<-+-x f x f例6 设函数)(x f 在R 上是偶函数，且在)0,(-∞上是增函数，并有),123()12(22-+-<++a a f a a f 则实数a 的取值范围是________．【拓展阅读】 奇函数、偶函数名称的由来1727年，年轻的瑞士数学家欧拉在提交给圣彼得堡科学院的旨在解决“反弹道问题”的一篇论文（原文为拉丁文）中，首次提出了奇、偶函数的概念.欧拉列举了三类偶函数和三类奇函数，并讨论了奇函数、偶函数的性质.法国数学家达朗贝尔（J.R.D.Alembert ，1717-1783）在狄德罗（D.Diderot ,1713-1784）主编的《大百科全书》第7卷（1757年出版）关于函数的词条中说：“古代几何学家，更确切地说是古代分析学家，将某个量x 的不同次幂称为x 的函数.”但只字未提“奇函数”和“偶函数”这两种特殊函数.法国数学家拉格朗日在《解析函数论》（1797）开篇中也说，早期分析学家们使用“函数”这个词，只是表示“同一个量的不同次幂”.后来，其含义被推广，表示“以任一方式得自其他量的所有量”，莱布尼茨和约翰·伯努利最早采用了后一含义.在1727年的论文中，欧拉在讨论奇函数、偶函数时确实没有涉及任何超越函数.因此，最早的奇函数、偶函数概念都是针对幂函数以及相关复合函数而言，欧拉提出的“奇函数”、“偶函数”之名显然源于幂函数的指数或指数分子的奇偶性：指数为偶数的幂函数为偶函数，指数为奇数的幂函数为奇函数.1748年，欧拉出版他的数学名著《无穷分析引论》，将函数确立为分析学最基本的研究对象.在第一章，他给出了函数的定义，对函数进行了分类，并再次讨论了奇函数和偶函数.欧拉给出的奇函数、偶函数定义与1727年论文中的定义实质上并无二致，但他讨论了更多类型的奇函数、偶函数，也给出了奇函数、偶函数的更多性质.1786年，法国人裴奇（F.pezzi ）将《无穷分析引论》 第1卷译成了法文，“奇函数”和“偶函数”分别被译为“fonction paire ”，“fonction impaire ”，这是两个数学名词在法文中首次出现.1792年，法国数学家勒让德（A.Legendre ，1752-1833）在向科学院提交的论文中提出了正弦函数的偶函数.勒让德可能沿用了裴奇的译名或直接翻译了欧拉的名词.这里我们需要指出的是，将“奇函数”、“偶函数”的拉丁文翻译成对应的法文，并不会产生不同的译法，因为最迟在笛卡儿（R.Descartes ，1596-1650）的《几何学》 中已经有了法文的“偶数”（nombres pairs ）和“奇数”（nombres impairs ）之名.“奇函数”，“偶函数”这两个名称在18世纪末的法国并未得到普遍使用，或者说，函数的奇偶性还没有受到当时法国数学家的普遍关注.1796年，法国数学家拉贝将《无穷分析引论》全书译成法文，其中拉贝同样将“奇函数”，“偶函数”分别译为“fonction paire ”，“fonction impaire ”.1809年，苏格兰数学家华里司（W.Wallace ,1768-1843）将勒让德的论文译成英文，发表在《数学文库》（Mathematics Repository ）上.华里司很自然地将 “function paire ”译为“even function ”.这是“even function ”这个词在英语世界中首次出现.不过，在英国著名数学家胡顿（C.Hutton ，1737-1823）于1815年出版的《数学与哲学辞典》中，虽然有“函数”和“微积分中的函数”这两个词条，但奇函数、偶函数概念却付之阙如.而德·摩根的《代数学基础》（李善兰与伟烈亚力译为《代数学》）虽对函数进行了清晰的分类，但仍只字未提奇函数、偶函数.美国数学家罗密士（E.Loomis ，1811-1889）的微积分畅销书《解析几何与微积分基础》（李善兰与伟烈亚力译为《代微积拾级》）虽然给出了隐函数、显函数、增函数、减函数之名，但同样不含奇函数、偶函数之说.这说明，奇函数、偶函数概念以及华里司所引入的新名词在19世纪上半叶的英语世界里尚未得到广泛传播和普遍关注.相应地，这两个概念也就不见于中国晚清的西方数学译著.直到20世纪初，这两个概念才传入中国.1938年出版的《算学名词汇编》 和1945年出版的《数学名词》中都收录了这两个名词.第十讲 奇偶性 测试题姓名： 成绩：1.设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f ( ) A.0 B.1 C.25 D.5 2.已知函数)(x f 是定义在区间]2,1[a a -上的奇函数，则实数a 的值为( ) A.0 B.1 C.31 D.不确定 3.已知函数bx ax x f +=2)(是定义在]2,1[a a -上的偶函数，则b a +等于（ ）A.1B.12C.13D.14 4.已知函数)(),(x g x f 分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且,1)()(23++=-x x x g x f 则=+)1()1(g f （ ）A.-3B.-1C.1D.35.函数)1(11±≠-=x x y 可以表示成一个偶函数)(x f 与一个奇函数)(x g 的和，则=)(x f ________． 第十讲 奇偶性 回家作业姓名： 成绩：1.函数)(x f y =是偶函数，.R x ∈在0<x 时，y 是增函数，对于,,0,02121x x x x <><则（ ）A.)()(21x f x f ->-B.)()(21x f x f -<-C.)()(21x f x f -=-D.)()(21x f x f -≥-2.已知奇函数)(x f 的定义域为),1,1(-且)(x f 在)1,0(上单调递增，若,0)1()1(2>-+-a f a f 则实数的取值范围为________．3.已知8)(335++++=x c bx ax x x f (其中c b a ,,是实常数),且.10)2(=-f 求)2(f 的值.4.已知奇函数)(x f 在定义域)1,1(-内单调递减，那么当m 为何值时，0)1()1(2<-+-m f m f 成立？5.设定义在),(+∞-∞上的两个函数)(),(x g x f 对于任意的实数y x ,满足关系式).()(2)()(y g x f y x f y x f =-++若,0)0(=f 但0≠x 时，,0)(,0)(≠≠x g x f 讨论)(),(x g x f 的奇偶性.。
《函数的奇偶性》说课稿
《函数的奇偶性》说课稿《函数的奇偶性》说课稿1一、教材分析函数是中学数学的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中。
函数的奇偶性是函数中的一个重要内容，它不仅与现实生活中的对称性密切相关联，而且为后面学习指、对、幂函数的性质作好了坚实的准备和基础。
因此，本节课的内容是至关重要的，它对知识起到了承上启下的作用。
二。
教学目标1.知识目标：理解函数的奇偶性及其几何意义；学会运用函数图象理解和研究函数的性质；学会判断函数的奇偶性。
2.能力目标：通过函数奇偶性概念的形成过程，培养学生观察、归纳、抽象的能力，渗透数形结合的数学思想。
3.情感目标：通过函数的奇偶性教学，培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力。
三。
教学重点和难点教学重点：函数的奇偶性及其几何意义。
教学难点：判断函数的奇偶性的方法与格式。
四、教学方法为了实现本节课的教学目标，在教法上我采取：1、通过学生熟悉的函数知识引入课题，为概念学习创设情境，拉近未知与已知的距离，激发学生求知欲，()调动学生主体参与的积极性。
2、在形成概念的过程中，紧扣概念中的关键语句，通过学生的主体参与，正确地形成概念。
3、在鼓励学生主体参与的同时，不可忽视教师的主导作用，要教会学生清晰的思维、严谨的推理，并顺利地完成书面表达。
五、学习方法1、让学生利用图形直观启迪思维，并通过正、反例的构造，来完成从感性认识到理性思维的质的飞跃。
2、让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、研究问题和分析解决问题的能力。
六。
教学程序（一）创设情景，揭示课题"对称"是大自然的一种美，这种"对称美"在数学中也有大量的反映，让我们看看下列各函数有什么共性？观察下列函数的图象，总结各函数之间的共性。
f（_）= _2 f（_）=__通过讨论归纳：函数是定义域为全体实数的抛物线；函数f （_）=_是定义域为全体实数的直线；各函数之间的共性为图象关于轴对称。
函数的奇偶性(精辟讲解)
[难点正本 疑点清源] 1．函数奇偶性的判断
判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于 函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝f(x)(或 f(－x)＝－f(x))，那么函数 f(x)就叫做偶函数(或奇函 数)．其中包含两个必备条件： ①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要 不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地 解决问题； ②判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶 性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或 f(x)－f(－x)＝0(偶函数)) 是否成立．
2．函数奇偶性的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单 调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单 调性，则其单调性恰恰相反． (2)若 f(x)为偶函数，则 f(－x)＝f(x)＝f(|x|)． (3)若奇函数 f(x)定义域中含有 0，则必有 f(0)＝0. f(0)＝0 是 f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件． (4)定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表 示成“一个奇函数与一个偶函数的和(或差)”． (5)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”． (6)既奇又偶的函数有无穷多个(如 f(x)＝0，定义域是关 于原点对称的任意一个数集)．
∴f(x)为偶函数．
题型二 函数的奇偶性与单调性
例 2 (1)已知 f(x)是 R 上的奇函数，且当 x>0 时，f(x) ＝x2－x－1，求 f(x)的解析式； (2)设 a>0，f(x)＝eax＋eax是 R 上的偶函数，求实数 a 的值；
(3)已知奇函数 f(x)的定义域为[－2,2]，且在区间 [－2,0]内递减，求满足 f(1－m)＋f(1－m2)<0 的实 数 m 的取值范围． 思维启迪 (1)f(x)是一个分段函数，当 x<0 时，转化为
函数的奇偶性
函数的奇偶性课件
函数的奇偶性课件
5525函数的奇偶性课件
■函数的奇偶性课件
对称是一种思想通实它们生追求，并创造-乐、芙即哲的奇信尔生外尔
学习目标：-理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的-方法，会用定义判断函数的奇偶性；-体会具有奇偶性的 数的图像特征，感受数学的-对称美，体会数学的美学所在。-学习重点：奇偶性的定义；-奇偶函数的图像特征。-学 难点：奇偶性的判定及应用。
一、新知探究-探究1观察下面两个函数的图象，它们有什么共同特征？-y=x2-6-y=x划-4-3--3-2 19123-结论：这两个函数的图象都关于y轴对称
观察函数值对应表，你能发现自变量的取值特点和对应-的函数值的特点吗？-X--3-2-10--3-2-101 3-y=x294-y=x刘32101-对于任意一个x和一x都有f-x=fx-探究2如何定义偶函数？-一般地 对于函数x的定义域内的任意一个x,都有-f一x=fx,那么fx就叫做偶函数-注：偶函数的定义域关于原点对称 -2,1,-1,1,[-1,1,汇1,1]-o0,+∞，（∞，00，+∞）
小试身手：-证明：函数（①）fx=x2fx=x+是奇函数-X-证明：1函数的定义域为R证明：2函数的定义域 x|x≠0-对定义域内的每一个x对定义域内的每-都有fx=x-都有fx=+-=-x3=-fx-即f-x=x-∴.函数fx=x为奇函数-∴.fx为奇函数-小结：用定义证明一个函数为奇函数的步骤：-1求定义域2判断 -x=-fx？3结论-解析式法
观察函数值对应表，你能发现自变量的取值特点和对应-的函数值的特点吗？-X--3-2-10-x-3-2-13-x=X-3-2-101-对于任意一个x和一x都有f-x=一fx-探究5如何定义奇函数？-一般地，对于函 x的定义域内的任意一个x,都有-f一x=一fx,那么fx就叫做奇函数，-注：-1若函数是奇函数或偶函数，就 这个函数具有奇偶性；-2具有奇偶性的函数定义域关于原点对称
函数的奇偶性
函数的奇偶性第一部分 知识梳理1.函数的奇偶性的定义：设()y f x =，x A ∈，如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=-，则称函数()y f x =为奇函数；如果对于任意x A ∈，都有()()f x f x -=，则称函数()y f x =为偶函数；2.函数奇偶性的判定方法①定义法：ⅰ)若函数的定义域不是关于原点对称的对称区域，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；ⅱ)若函数的定义域关于原点对称，在判断()f x -是否等于()f x ±-，或判断()()f x f x ±-是否等于零，或判断()()f x f x -是否等于1±；判断函数奇偶性一般步骤：ⅰ)求函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称ⅱ）用x -代替x ，验证()()f x f x -=-，奇函数；若()()f x f x -=，偶函数；否则，非奇非偶。
②图像法③性质法：偶函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为偶函数；奇函数的和、差仍奇函数； 奇数个奇函数的积、商（分母不为零）为奇函数；一个偶函数与一个奇函数的乘积是奇函数3.奇偶函数图像的性质①()()()()0f x f x f x f x ⇔-=-⇔+-=奇函数⇔函数的图像关于中心原点对称；⇔偶函数()()()-()0f x f x f x f x -=⇔-=⇔函数的图像关于y 轴对称②若奇函数()f x 的定义域包含0，则(0)0f =．③()f x 为偶函数()()(||)f x f x f x ⇔=-=④奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.第二部分 精讲点拨考点1 奇偶函数的概念与性质1、下列说法错误的个数（ ）①图像关于坐标原点对称的函数奇函数 ②图象关于y 轴对称的函数是偶函数③奇函数的图像一定过坐标原点 ④偶函数的图像一定与y 轴相交.1A 个 .2B 个 .3C 个 .4D 个[].1EX (1)已知函数()y f x =是偶函数，其图像与x 轴有四个交点，则方程()0f x =的所有实根之和是（ ）A ．4 B.2 C.1 D.0（2）已知()f x 是定义在[)(]2,00,2-⋃上的奇函数，当0x >时，()f x 的图像如图，那么()f x 的值域是___________[].2EX （1）设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-若当[]0,5x ∈时,()f x 的图象如右图,则不等式()0f x < 的解是____________(2)设()f x 是R 上的任意函数，则下列叙述正确的是 （ ）.()()A f x f x -是奇函数 .()()B f x f x -是奇函数 .()()C f x f x --是偶函数 .()()D f x f x +-是偶函数(3)若函数(1)()y x x a =+-为偶函数，则a 等于（ ）.2A - .1B - .1C .2D(4)已知2()1x f x m x =++为奇函数，则(1)f -的值是________考点2 奇偶函数的判断判断下列函数的奇偶性（1）()f x = （2）()11f x x x =++- （3）()(f x x =-（4）23()f x x x =- (5)2223(0)()0(0)23(0)x x x f x x x x x ⎧-+>⎪==⎨⎪---<⎩考点3 函数奇偶性的应用（1） 已知53()8f x ax bx cx =++-，且()10f d =，求()f d -的值。
高中数学重难点第10讲 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型(解析版)(新高考专用
重难点第10讲函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性10大题型【命题趋势】函数的性质是函数学习中非常重要的内容，对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性，利用性质判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小，属于基础题；对于解答题部分，一般与导数结合，考查难度较大。
第1天认真研究满分技巧及思考热点题型【满分技巧】一、单调性定义的等价形式:1、函数()x f 在区间[]b a ,上是增函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021<-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121>--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121>--x f x f x x .2、函数()x f 在区间[]b a ,上是减函数:⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x <，都有()()021>-x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x x x f x f ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()()[]02121<--x f x f x x ；⇔任取[]b a x x ,,21∈，且21x x ≠，()()02121<--x f x f x x .二、判断函数奇偶性的常用方法1、定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等.2、验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()f x -()f x ±=0及()1()f x f x -=±是否成立.3、图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称.4、性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系.首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.三、常见奇、偶函数的类型1、()x x f x a a -=+（00a a >≠且）为偶函数；2、()x x f x a a -=-（00a a >≠且）为奇函数；3、()2211x x x x xx a a a f x a a a ----==++（00a a >≠且）为奇函数；4、()log a b xf x b x-=+（00,0a a b >≠≠且）为奇函数；5、())log af x x =（00a a >≠且）为奇函数；6、()f x ax b ax b =++-为偶函数；7、()f x ax b ax b =+--为奇函数；四、函数的周期性与对称性常用结论1、函数的周期性的常用结论（a 是不为0的常数）（1）若()()+=f x a f x ，则=T a ；（2）若()()+=-f x a f x a ，则2=T a ；（3）若()()+=-f x a f x ，则2=T a ；（4）若()()1+=f x a f x ，则2=T a ；（5）若()()1+=-f x a f x ，则2=T a ；（6）若()()+=+f x a f x b ，则=-T a b （≠a b ）；2、函数对称性的常用结论（1）若()()+=-f a x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（2）若()()2=-f x f a x ，则函数图象关于=x a 对称；（3）若()()+=-f a x f b x ，则函数图象关于2+=a bx 对称；（4）若()()22-=-f a x b f x ，则函数图象关于(),a b 对称；3、函数的奇偶性与函数的对称性的关系（1）若函数()f x 满足()()+=-f a x f a x ，则其函数图象关于直线=x a 对称，当0=a 时可以得出()()=-f x f x ，函数为偶函数，即偶函数为特殊的线对称函数；（2）若函数()f x 满足()()22-=-f a x b f x ，则其函数图象关于点(),a b 对称，当0=a ,0=b 时可以得出()()-=-f x f x ，函数为奇函数，即奇函数为特殊的点对称函数；4、函数对称性与周期性的关系（1）若函数()f x 关于直线=x a 与直线=x b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（2）若函数()f x 关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是2-b a ；（3）若函数()f x 关于直线=x a ，又关于点(),0b 对称，那么函数的周期是4-b a .5、函数的奇偶性、周期性、对称性的关系（1）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为2a .（2）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为2a .（3）①函数()f x 是奇函数；②函数图象关于直线=x a 对称；③函数的周期为4a .（4）①函数()f x 是偶函数；②函数图象关于点(),0a 对称；③函数的周期为4a .其中0≠a ，上面每组三个结论中的任意两个能够推出第三个。
函数的的奇偶性-
∴
f
(
x
)
既
是
10
学点二 由奇偶性求函数解析式 设f(x)是定义在R上的奇函数, 当x>0时, f(x)= x2 +x+1,求函 数解析式. 【分析】由奇函数的图象关于原点对称, 找x≥0和x<0时解析 式间的联系.
【 f(x) 解 析 】
11
当
【评析】（1）求f(x)在什么范围上的解析式, 则取x为这一 范围上的任一值, 再转化为条件. （2）在求函数的解析式时, 应紧扣题目中的已知条件, 当 求自变量在不同区间上的不同表达式时, 要用分段函数的 形式表示出来.
22
【
解
析
【评析】该例】在求解过程中用到了前面提到的减函数定
义的逆命题.由
f
23
(
（1）定义在(-1,1)上的奇函数f(x)为减函数, 且f(1-a)+f(1a2)<0, 求实数a的取值范围；
（2）定义在［-2,2］上的偶函数g(x), 当x≥0时, g(x)为减函数, 若g(1-m)<g(m)成立, 求m的取值范围. （1）∵f(1-a)+f(1-a2)<0,∴f(1-a)<-f(1-a2),∵f(x)为奇函数,∴f(1-a)<f(a2-1),
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1.如果已知函数具有奇偶性, 只要画出它在y轴一侧的图象, 则 另一侧的图象可对称画出.
2.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同；偶函数在关 于原点对称的区间上的单调性相反.
3.判断函数的奇偶性时, 我们可以根据f(-x)=±f(x), 或是根据 f(-x)±f(x)=0, 或是根据f(-x)/f(x)=±1等途径来判断.
如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的 轴对称图形；反之如果一个函数的图象关于y轴对称，则 这个函数是偶函数.
函数的奇偶性讲义
函数的奇偶性【知识要点】1.函数奇偶性的定义：一般地，对于函数f (x)定义域内的任意一个X,都有f (-x) = f (x), 那么函数f (x)叫偶函数(even function).如果对于函数定义域内的任意一个x,都有f(-x) = -f(x)，那么函数f(x)叫奇函数(odd function).2.奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，反之亦真.由此，可由函数图象的对称性判断函数的奇偶性,也可由函数的奇偶性作函数的图象.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别 f (-x) 与f (x)的关系；⑴奇函数o f (-x)=- f (x)o f--)+f (x)=0 o 釜=-1(fx)) 0)；(2)偶函数o f (-x)= f (x)o f (- x)- f (x)= 0 o4.函数奇偶性的几个性质：(1)奇偶函数的定义域关于原点对称,在判断函数奇偶性时,应先考察函数的定义域；(2)奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；(3)若奇函数f Q)在原点有意义，则f (0)= 0；(4)根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数,又不是偶函数；(5)在公共的定义域内：两个奇(偶)函数的和与差仍是奇(偶)函数；两个奇(偶)函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数；(6)函数f Q)与函数有相同的奇偶性.5 .奇偶性与单调性: （1）奇函数在两个关于原点对称的区间L b ,- j a ,4上有相同的单调性;（2）偶函数在两个关于原点对称的区间L b ,- j a ,4上有相反的单调性.【典例精讲】 类型一函数奇偶性的判断 例1判断下列函数的奇偶性:x 2 + 2x + 3, x < 0,(6)f (x )= {a x = 0, -x 2 + 2x - 3, x > 0.变式 判断下列函数的奇偶性:11 ⑴f(x)=x 4； (2)f(x)=X 5；⑶ f (x)=x+x 2 ；(4) f(x)= - x 2(5) f (x )= x 3- 2x(6) f (x ) = 2 x 4 4十 一x 2，、b ,,(7) y = ax H ——(a > 0,b > 0) x(8) x (k > 0)y -例2已知/ Q)是R 上的奇函数，且当X > 0时，f Q)= x 3+ 2 x 2-1,求f Q)的表达式。