广东省东莞市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(学生版)
14.如图，以长方体 的顶点 为坐标原点，过 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若 的坐标为 ，则 的坐标为_________.
15.已知命题“ 不等式 ”为真命题，则 的取值范围为_______.
16.斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.它是这样一个数列： ……在数学上，斐波那契数列以如下递推的方法定义： ， ， ，记其前 项和为 ，设 （ 为常数），则 ______（用 表示）， ______(用常数表示)
A. 里B. 里C. 里D. 里
8.如图，已知三棱锥 ，点 分别是 中点，点 为线段 上一点，且 ，若记 ,则 （）
A. B.
C. D.
9.已知实数 且 ，则 的最大值为（）
A. B. C. D.
10.已知 ， 为双曲线 的左、右焦点， 为 上异于顶点的点．直线 分别与 ， 为直径的圆相切于 ， 两点，则
四、解答题:本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效．
17.已知 .
（1）若 且 为真，求实数 的取值范围；
（2）若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围.
实际操作中，第一小组测得 米， ， ，最终算得国贸中心高度为 ；第二小组测得 米， 米， 米，最终算得国贸中心高度为 ；假设他们测量者 “眼高 ”都为 米.
（1）请你用所学知识帮两个小组完成计算（参考数据： ， ,答案保留整数结果）；
（2）你认为哪个小组的方案更好，说出你的理由.
22.设圆 的圆心为 ，直线l过点 且与x轴不重合，l交圆 于 两点，过点 作 的平行线交 于点 .
（1）证明 为定值,并写出点 的轨迹方程；
（2）设点 的轨迹为曲线 ，直线 与曲线 交于 两点，点 为椭圆 上一点，若 是以 为底边的等腰三角形，求 面积的最小值.
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的平面角为 ？若存在，确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
21.在数学建模课上，老师给大家带来了一则新闻：“2019年8月16日上午，423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼（以下简称“国贸中心”）正式封顶，随着最后一方混凝土浇筑到位，标志着东莞最高楼纪录诞生，由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线，比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中，老师提出了问题：国贸中心真有这么高吗？我们能否运用所学知识测量验证一下？一周后，两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.
A. B. C. D.
3.糖水溶液（不饱和）的浓度计算公式为 ，向糖水（不饱和）中再加入 克糖，那么糖水（不饱和）将变得更甜，则反应这一事实的不等关系为（）
A. B. C. D.
4.已知双曲线 的实轴长是虚轴长的两倍，则它的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
5.已知数列 是等差数列，且 ，则 （）
东莞市2019—2020学年度第一学期期末教学质量检查
高二数学
一、单项选择题：本大பைடு நூலகம்共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
1.在 中，内角 的对边分别为 ,且 ，则边 （）
A. B. C. D.
2.已知实数 满足 ，则目标函数 的最大值是（）
C.四边形 的面积为 D. 的三边长度可以构成一个等差数列
12.我们通常称离心率为 的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆 ， 为顶点， 为焦点， 为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆 为“黄金椭圆”的有（）
A. 为等比数列
B
C. 轴，且
D.四边形 的内切圆过焦点
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上．
A.3B.4C.7D.8
6.已知a,b为实数，则“ ”是“ ” （）
A 充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
7.中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还”.其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”，则该人第4天走的路程为（）
A. B.3C.4D.5
二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．
11.四边形 内接于圆 ， ，下列结论正确的有（）
A.四边形 为梯形B.圆 的直径为7
18.已知等比数列 满足 ， ，数列 是首项为 公差为 的等差数列.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）求数列 的前n项和 .
19.在 中，内角 的对边分别为 ，且 .
（1）求角 的大小.
（2）若 边上的中线 ，且 ,求 的周长.
20.如图，已知斜三棱柱 中， ， 在底面 上的射影恰为 的中点 ，且 .
第一小组采用的是“两次测角法”：他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的 点测得国贸中心顶部的仰角为 ，正对国贸中心前进了 米后，到达 点，在 点测得国贸中心顶部的仰角为 ，然后计算出国贸中心的高度（如图）.
第二小组采用的是“镜面反射法”：在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼（与国贸中心处于同一水平面，每层约3米）楼顶天台上，进行两个操作步骤：①将平面镜置于天台地面上，人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置，测量出人与镜子的距离为 米；②正对国贸中心，将镜子前移 米，重复①中的操作，测量出人与镜子的距离为 米.然后计算出国贸中心的高度（如图）.
2019-2020学年广东省东莞市高二(上)12月月考数学试卷及答案解析
2019-2020学年广东省东莞市高二（上）12月月考数学试卷姓名：班级：考号：成绩：
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确.请用2B铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．）
1．不等式x2+3x﹣4＞0的解集为（）
A．{x|x＞1或x＜﹣4}B．{x|x＞﹣1或x＜﹣4}
C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|x＜﹣1或x＞4}
2．在等差数列{a n}中，a2＝11，a9＝18，则公差d为（）
A．﹣1B．﹣7C．1D．7
3．命题“”的否定是（）
A．∀x∈N，x3＜x2B．∀x∈N，x3≥x2
C ．
D ．
4．实数x，y 满足，则目标函数z＝2x+y的最小值为（）A．﹣2B．﹣1C．1D．2
5．若双曲线的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的离心率为（）
A．2B ．C ．D ．
6．在△ABC中，内角A，B，C满足2sin B cos C＝sin A，则△ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．正三角形
7．若点在曲线mx2+ny2＝1（m＞0，n＞0）上，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18
8．已知实数a，b，c满足0＜a＜b，0＜c＜1，则下列选项一定成立的是（）A．a+c＞b+c B．ac＞bc C．ac＜b D．bc＜a
9．若椭圆
+＝1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣＝1的渐近线方程为
（）
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2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．（5分）命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．（5分）双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．（5分）在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．（5分）已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4） C ．（2，0）D ．（4，0）6．（5分）已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．（5分）“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．（5分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定。
2019-2020学年广东省东莞市高二下学期期末教学质量检查数学试题 Word版
广东省东莞市2019—2020学年度第二学期期末教学质量检查高二数学一、单项选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑． 1. 已知复数z 满足(34)z i i =+(i 为虚数单位)，则z =A.C. 5D.252. 函数()(2)xf x x e =+的单调递增区间是A. (,3)-∞B. (0,3)C.(3,0)-D. (3,)-+∞3. 广东省实施“3+1+2”的新高考改革模式，“3”指全国统一高考的语文、数学、外语，“1”指物理、历史2门中选择1门，“2”指思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门. 已知甲选择物理，乙选择地理，则甲乙两人有（ ）不同的选择组合方案.A.12种B.18种C. 36种D. 48种4. 一个袋中装有大小相同的3个白球和3个黑球,若不放回地依次取两个球，设事件A 为“第一次取出白球”，事件B 为“第二次取出黑球”，则概率()P B A =A.56 B. 35 C. 12 D. 255. 已知,a b R ∈,i 为虚数单位，(2)(2)i bi a +-=，则a b +=A.6B.4C.2D.1 6. 设函数)(x f 的导函数'()f x 图象如下图，则函数)(x f y =的图象可能为A B C D7. 下表是某产品的广告费用(x 万元)与收益(y 万元)的几组对应数据，根据表中提供的数据，得到y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.70.35yx =+，那么表中m 的值为A.4D.28. 东莞近三年连续被评为“新一线城市”，“东莞制造”也在加速转型升级步伐，现有4个项目由东莞市政府安排到2个地区进行建设，每个地区至少有一个项目，其中项目A 和B 不能安排在同一个地区，则不同的安排方式有A.4种B.8种C.12 种D.16种 9. 随机变量X 的分布列如下表所示，则()21E X -=A.0B.2-C.1-D.2-10. 组合恒等式11mmm n n nC C C -++=，可以利用“算两次”的方法证明：分别求()11n x ++和()()11nx x ++的展开式中m x 的系数．前者()11n x ++的展开式中m x 的系数为1m n C +；后者()()11n x x ++的展开式()()01111m m m m n nn nn n n x C C x C x C x C x --+++++++中m x 的系数为111m m n n C C -⨯+⨯ .因为()()()1111n n x x x ++=++，所以两个展开式中m x 的系数相等，即11m m m n n nC C C -++=．请用“算两次”的方法化简式子0110n n n n n n n n n C C C C C C -+++=A. 2nn C B. 12n n C + C. 21n n C + D. 121n n C ++二、多项选择题：本大题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑.11. 近年来中国进入一个鲜花消费的增长期，某农户利用精准扶贫政策，贷款承包了一个新型温室鲜花大棚，种植销售红玫瑰和白玫瑰.若这个大棚的红玫瑰和白玫瑰的日销量分别服从正态分布2(,30)N μ和2(280,40)N ,则下列选项正确的是附：若随机变量X 服从正态分布2(,)N μσ，则()0.6826P X μσμσ-<<+≈.A. 若红玫瑰日销售量范围在(30,280)μ-的概率是0.6826，则红玫瑰日销售量的平均数约为250B. 红玫瑰日销售量比白玫瑰日销售量更集中C. 白玫瑰日销售量比红玫瑰日销售量更集中D. 白玫瑰日销售量范围在(280,320)的概率约为0.3413 12．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列选项正确的是A ．()()12120f x f x x x -<-B ．()()1122x f x x f x +<+C ．()()2112x f x x f x <D ．当ln 1x >-时，()()()()11222112x f x x f x x f x x f x +>+三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填在答题卡的相应位置上． 13. 函数xe xf 2)(=在0=x 处的切线方程为____________.14. 二项式6231x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，7x 项的系数为_______. 15. 已知8份血液样本中有一份病毒检验呈阳性，现先取其中4份混合检测，如果呈阳性，再逐份检测这4份，直到检测出阳性样本；如果呈阴性，则再对另外4份逐份检测，直到检测出阳性样本.则混合样本呈阳性的概率为______，恰好3次检测出阳性样本的概率为_________. 16. 有一种游戏，其规则为:每局游戏进行两轮积分，玩家先从标有1、2、3、4的4张卡片中随机抽取一张卡片，将卡片上数字的相反数作为得分；再从标有1、2、3、4的4张卡片中随机抽取两张卡片，将两张卡片数字之差的绝对值的1.2倍作为得分.则玩家玩一局游戏的得分期望为___.四、解答题: 本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效． 17. （本小题满分10分）已知复数2(32)(1)z m m m i =-++-(i 为虚数单位). （1）若z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）在复平面内，若z 所对应的点在直线21y x =+的上方，求实数m 的取值范围.18. （本小题满分12分）已知函数()ln 2f x x x =-. （1）求()f x 的极大值； （2）求()f x 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡e e ,1上的最值.19. （本小题满分12分）为提高全民身体素质，加强体育运动意识，某校体育部从全校随机抽取了男生、女生各100人进行问卷调查，以了解学生参加体育运动的积极性是否与性别有关，得到如下列联表（单位：人）：（1积极性与性别有关；（2）用频率估计概率，现从该校所有女生中随机抽取3人．记被抽取的3人中“偶尔运动或不运动”的人数为X ，求X 的分布列、期望()E X 和方差()D X ．附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20. （本小题满分12分）已知函数3211()(1),32f x x a x bx =+-+其中,,0a b R a ∈>. （1）若3a =且函数()f x 在[2,)-+∞上单调递增，求实数b 的取值范围； （2）若2'()xf x e x x ≤-+，求ab 的最大值．21. （本小题满分12分）某景区有A,B 两个出入口，在景区游客中随机选取了100人作为样本进行调查，调查结果显示从A 出入口进入景区的有55人，从B 出入口进入景区的有45人， （1）从上述样本中选取2人，求两人恰好从不同出入口进入景区的概率;（2）为了给游客提供更舒适的旅游体验，景区计划在今年国庆节当日投入1到3列往返两个景区出入口的通勤小火车，根据过去5年的数据资料显示，每年国庆节当日客流量X （单位：万人）的频数表如下：且每年国庆节当日客流量相互独立.已知国庆节当日小火车的使用量（单位：列）受当日客流量X （单位：万人）的影响，其关系如下表：若某列小火车在国庆节当日投入且被使用，则景区当日可获得利润3万元；若某列小火车在国庆节当日投入却未被使用，则景区当日亏损0.5万元；记Y （单位：万元）表示该景区在国庆节当日获得的总利润，则该景区在今年国庆节当日应投入多少列小火车才能使获得利润的期望最大？22. （本小题满分12分）已知函数11()ln (0)f x x a R a ax a=+-∈≠且. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当2[1,]x e ∈时，试讨论方程(ln 1)1x e mx x x-=-的根的个数．2019—2020学年度第二学期教学质量检查高二数学参考答案及评分标准一、单项选择题二、多项选择题（全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）三、填空题（15题第一空3分，第二空2分）13.220x y -+= 14.6 15.11;2416. 12-四、解答题17. 解：（1）z 是纯虚数，232010m m m ⎧-+=∴⎨-≠⎩， -----------------------------------------------2分 解得121m m m ==⎧⎨≠⎩或， -----------------------------------------------4分∴2m =. -----------------------------------------------5分（2）z 所对应的点是2(32,1)m m m -+-， -----------------------------------------------6分z 所对应的点在直线21y x =+的上方，即212(32)1m m m ->-++， -----------------------8分化简得22760m m -+<，即(2)(23)0m m --<， -----------------------------------------------9分∴322m <<. -----------------------------------------------10分18. 解：（1）()f x 定义域为(0,)+∞（无考虑定义域只扣1分） -------------------------------------1分112'()2xf x x x-=-=， -----------------------------------------------3分 当'()0f x >时，得102x <<；当'()0f x <时，得12x >； 所以()f x 在1(0,)2上单调递增，在1(,)2+∞上单调递减, ---------------------------------------------5分所以()f x 的极大值是11()ln 1ln 2122f =-=--. ---------------------------------------------6分（2）由（1）知 ()f x 在11(,)2e 单调递增，1(,)2e 单调递减, ----------------------------------------7分 且12()1f e e=-->()12f e e =-， ----------------------------------------9分max 1()()ln 212f x f ==--，min ()()12f x f e e ==-, ----------------------------------------11分 所以当12x =时，()f x 取得最大值ln 21--；当x e =时，()f x 取得最小值12e -. --------12分19. 解：（1）由列联表可知2200(70406030)2002.1981307010010091k ⨯⨯-⨯==≈⨯⨯⨯， --------------------3分因为2.198 2.706<， --------------------4分所以不能在犯错误的概率不超过10%的情况下认为该校参加体育运动的积极性与性别有关． --5分（2）由题意可知2(3,)5X B ，X 的所有可能取值为0,1,2,3， --------------------6分033327(0)()5125P X C ===，1232354(1)()()55125P X C ==⨯=， 2232336(2)()55125P X C ==⨯=，33328(3)()5125P X C ===． --------------------9分所以X 的分布列为--------------------10分26()355E X =⨯=，2218()3(1)5525D X =⨯⨯-=． --------------------12分20. 解：（1）由题设知2'()20f x x x b =++≥在[2,)-+∞上恒成立，（等号1分，不重复扣分） 即2(1)1b x ≥-++在[2,)-+∞上恒成立， --------------------2分 由函数2(1)1y x =-++在(2,1)--上单调递增，(1,)-+∞上单调递减，则函数2(1)1y x =-++在1x =-处取得最大值max 1y =（无单调性，用不等式性质不扣分）--4分1b ∴≥，b ∴的取值范围为[1,)+∞. --------------------5分（2）由2'()xf x e x x ≤-+，即22(1)xx a x b e x x +-+≤-+，得0xe ax b --≥恒成立--------------------6分记()xg x e ax b =--，则'()xg x e a =-因为0a >，所以当'()0g x <时，ln x a <；当'()0g x >时，ln x a >所以()g x 在(,ln )a -∞上单调递减，在(ln ,)a +∞上单调递增 --------------------7分()(ln )ln 0g x g a a a a b ≥=--≥，即ln b a a a ≤- --------------------8分所以22ln ab a a a ≤- --------------------9分记22()ln (0)h a a a a a =->，则'()22ln (12ln )h a a a a a a a =--=- --------------------10分因为0a >，所以当'()0h a <时，a >'()0h a >时，0a <<所以()h a 在上单调递增，在)+∞上单调递减 --------------------11分所以()2eh a h e e ≤=-=所以ab 的最大值为2e . --------------------12分 21. 解：（1）记“两人恰好从不同出入口进入景区”为事件A , 则11554521001()2C C P A C == --------------------2分 所以两人恰好从不同出入口进入景区的概率为12. --------------------3分 （2） ①当投入1列小火车时，()13E Y =（万元）. --------------------4分②当投入2列小火车时，若13X ≤<，则230.5 2.5Y =-=，此时()2511325P Y P X ⎛⎫==≤<= ⎪⎝⎭； --------------------5分 若3X ≥，则2326Y =⨯=，此时()()()2463555P Y P X P X ==≤<+≥=；------------------6分此时2Y 的分布列如下表：所以()2 2.56 5.355E Y =⨯+⨯=（万元）. -----------------7分 ③当投入3列小火车时，若13X ≤<，则3312Y =-=，此时()()312135P Y P X ==≤<=； --------------------8分 若35X ≤<，则3320.5 5.5Y =⨯-=，此时()()325.5355P Y P X ==≤<=；-------------------9分若5X ≥，则3339Y =⨯=，此时()()32955P Y P X ==≥=； --------------------10分此时3Y 的分布列如下表：所以()32 5.59 6.2555E Y =⨯+⨯+⨯=（万元）. --------------------11分 由于6.2 5.33>>，则景区在今年国庆节当日应投入3列小火车使获得利润的期望最大. -----12分22. 解：（1）21'()(0)ax f x x ax -=>， --------------------1分 当0a <时，'()0f x >恒成立，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； --------------------2分 当0a >时，当'()0f x <时，10x a <<；当'()0f x >时，1x a>， --------------------3分 所以函数()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a +∞上单调递增． --------------------4分 综上所述，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，函数()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,)a+∞上单调递增． --------------------5分 （2）当2[1,]x e ∈时，方程(ln 1)1x e m x x x -=-的根的个数等价于函数()(ln 1)x g x x e x m =-+-的零点个数． --------------------6分令()(ln 1)xh x x e x =-+， 则1'()(ln 1)1xh x x e x =+-+ . --------------------7分 由（1）知当1a =时，1()ln 1f x x x=+-在2(1,)e 上单调递增， ∴当2[1,]x e ∈时，()(1)0f x f ≥=. --------------------8分 ∴1()ln 10f x x x=+-≥在2[1,]x e ∈上恒成立． ∴1'()(ln 1)10+1>0x h x x e x=+-+≥， ∴()(ln 1)x h x x e x =-+在2[1,]x e ∈上单调递增， --------------------9分∴min ()(1)1h x h e ==-+ ,222max ()()e h x h e e e ==+ --------------------10分∴当221e m e m e e <-+>+或 时，函数()g x 在2[1,]e 上没有零点，即方程没有根； -----11分 当221e e m e e -+≤≤+时，函数()g x 在2[1,]e 上有一个零点，即方程有1根. -----12分。
广东省东莞市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题含解析
广东省东莞市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．已知双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，则双曲线M 的离心率为（ ）A B C ．2 D 或2 【答案】C【解析】【分析】转化条件得b a =e =即可得解. 【详解】 由题意可知双曲线的渐近线为b y x a=±， 又 渐近线与y 轴所形成的锐角为30︒，∴tan 60b a==o∴双曲线离心率2e ==. 故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的性质，属于基础题.2．已知(),0F c 为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，过原点O 的直线与双曲线交于A ，B 两点，若AF BF ⊥且ABF ∆的周长为42a c +，则该双曲线的离心率为（ ）A ．32B ．52CD 【答案】D【解析】【分析】设双曲线的另一个焦点为1F ，则根据双曲线的对称性得1AF BF 为矩形，2AB c =，由条件可得4AF BF a +=，由双曲线的定义2BF AF a -=，再由勾股定理可解得离心率.设双曲线的另一个焦点为1F ，由AF BF ⊥.根据双曲线的对称性得1AF BF 为矩形，如图，12AB F F c ==. 又ABF ∆的周长为42a c +，则4AF BF a +=…………①. 由双曲线的定义2BF AF a -=………………② 由①，②得3,BF a AF a ==.在直角三角形ABF V 中,222AB AF BF =+ .则()22243c a a =+，即22410c a =，所以10e =. 故选：D【点睛】本题考查双曲线的对称性和定义，求双曲线的离心率，属于难题.3．在区间[0,2]上随机取两个数，，则的概率是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题分析：由题意所有的基本事件满足，所研究的事件满足，画出可行域如图，总的区域面积是一个边长为2 的正方形，其面积为4，满足的区域的面积为，则的概率为考点：几何概型4．设实数x，y满足约束条件202301x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩,则z x y=-的取值范围是（）A．3[,3]2-B．[1,3]-C．3[,0]2-D．[1,0]-【答案】A【解析】分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=|x|﹣y对应的直线进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，即可得出z的取值范围．详解：作出实数x，y满足约束条件202301x yx yx-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，﹣2），B（0，32），O（0，0）．设z=F（x，y）=|x|﹣y，将直线l：z=|x|﹣y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，当x≥0时，直线为图形中的红色线，可得当l经过B与O点时，取得最值z∈[0，32 ]，当x＜0时，直线是图形中的蓝色直线，经过A或B时取得最值，z∈[﹣32，3]综上所述，z∈[﹣32，3]．故答案为：A．点睛：（1）本题主要考查线性规划，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合的思想方法，考查学生分类讨论思想方法.(2)解答本题的关键是对x 分x≥0和x ＜0讨论，通过分类转化成常见的线性规划问题. 5．设m ，n 为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则（ ）A ．若//m α，//n α，则//m nB ．若//m α，//m β，则//αβC ．若//m n ，n α⊥，则m α⊥D ．若//m α，αβ⊥，则m β⊥【答案】C【解析】【分析】根据空间线面关系、面面关系及其平行、垂直的性质定理进行判断．【详解】对于A 选项，若//m α，//n α，则m 与n 平行、相交、异面都可以，位置关系不确定； 对于B 选项，若l αβ=I ，且//m l ，m α⊄，m β⊄，根据直线与平面平行的判定定理知，//m α，//m β，但α与β不平行；对于C 选项，若//m n ，n α⊥，在平面α内可找到两条相交直线a 、b 使得n a ⊥，n b ⊥，于是可得出m a ⊥，m b ⊥，根据直线与平面垂直的判定定理可得m α⊥；对于D 选项，若αβ⊥，在平面α内可找到一条直线a 与两平面的交线垂直，根据平面与平面垂直的性质定理得知a β⊥，只有当//m a 时，m 才与平面β垂直．故选C ．【点睛】本题考查空间线面关系以及面面关系有关命题的判断，判断时要根据空间线面、面面平行与垂直的判定与性质定理来进行，考查逻辑推理能力，属于中等题．6．下列命题①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体是简单多面体；④一个几何体A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 根据多面体的定义判断．【详解】正多面体只有正四、六、八、十二、二十，所以①②正确．表面经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体．棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体．所以③④正确．故：①②③④都正确【点睛】根据多面体的定义判断．7．如图，ABC ∆和DEF ∆都是圆内接正三角形，且//BC EF ，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在ABC ∆内”，B 表示事件“豆子落在DEF ∆内”，则(|)P B A =（ ）A ．33B ．3C ．13D ．23【答案】D【解析】如图所示，作三条辅助线，根据已知条件，这些小三角形全等，ABC ∆包含9 个小三角形，同时又在DEF ∆内的小三角形共有6 个，所以(|)P B A =62= ，故选D.数与前一天相比，仅存在三种可能：或“多一个”或“持平”或“少一个”，那么，小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有（ ）A ．50种B ．51种C ．140种D ．141种【答案】D【解析】试题分析：小明共有6次选择，因为第一天和第七天均吃3个水果，所以在这6次选择中“多一个”和“少一个”的次数应相同、“持平”次数为偶数．当6次选择均为“持平”时，共有661C =种方案；当6次选择中有4次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各一次，共有246430A C =种方案；当6次选择中有2次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各2次，共有22264290C C C =种方案；当6次选择中有0次“持平”时，选择“多一个”和“少一个”各3次，共有336320C C =种方案.综上可得小明在这一周中每天所吃水果个数的不同选择方案共有1309020141+++=种方案,故D 正确.考点：排列组合，考查分类讨论思想.9．以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是A ．38=0+x y -B ．3=+0+4x yC ．36=0+x y -D ．3=+0+3x y【答案】B【解析】【分析】求出AB 的中点坐标，求出AB 的垂直平分线的斜率，然后求出垂直平分线方程．【详解】因为(1,3)A ，(5,1)B -，所以AB 的中点坐标(2,2)-，直线AB 的斜率为311153-=+， 所以AB 的中垂线的斜率为：3-，所以以(1,3)A ，(5,1)B -为端点的线段的垂直平分线方程是23(2)y x -=-+，即340x y ++=． 故选：B【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系，直线方程的求法，考查计算能力．10．若复数z 满足12iz i =+，其中i 为虚数单位，则在复平面上复数z 对应的点的坐标为（ ） A ．(2,1)--B ．(2,1)-C ．(2,1)-D ．(2,1) 【答案】C利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】 z=()()212122i i i i i i +-+==--， 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( )A ．{}|04a a <<B ．{|04}a a ≤<C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤【答案】D【解析】【分析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围。
东莞市2019-2020学年度第一学期高二第一次月考数学试卷及答案
第 1 页 共 10 页 东莞市2019-2020学年度第一学期第一次月考高二数学试时间：120分钟 试卷分值：150分第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1.在△ABC 中，已知a ＝40，b ＝202，A ＝45°，则角B 等于( )A ．60°B ．60°或120°C ．30°D ．30°或150°2.已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则=+++32951a a a a a （） A ．2 B ．3 C ．5 D ．73．在数列{a n }中，a 2＝6，a n ＋1＝3a n ，则此数列的前5项和S 5等于( )A ．80B ．242C ．486D ．7264.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5.等差数列{}n a 的首项11=a ，公差0≠d ，如果521a a a 、、成等比数列，那么d 等于（ ）A ．3B ．2C ．－2D ．2±6.在△ABC 中，B ＝60°，b 2＝ac ，则△ABC 一定是( )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形 7.数列{a n }的通项公式是a n =1(1)n n +(n ∈N*)，若前n 项的和为1011，则项数n 为( ) A ．12 B ．11 C ．10D ．9 8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2b =，︒=75A ，则=B sin ( )A ．426+-B ．46C ．626+ D ．62 9．两等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n 、T n ，已知S n T n ＝7n n ＋3，则a 5b 5＝( ) A ．7 B.23 C.278 D.214。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷及答案解析
第 1 页 共 16 页2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小題给出的四个选项中，只有一只符合题目要求的.1．命题“∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3＜0”的否定是（ ） A ．∀x ≤0，x 2﹣4x +3＜0 B ．∃x 0≤0，x 02﹣4x 0+3＜0C ．∀x ＞0，x 2﹣4x +3≥0D ．∃x 0＞0，x 02﹣4x 0+3≥02．双曲线x 264−y 236=1的焦距是（ ）A ．10B ．20C ．2√7D ．4√73．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＝3a n ﹣1+2（n ≥2），则a 3＝（ ） A ．2B ．6C ．8D ．144．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，A =π6，B =π4，a =√6，则b ＝（ ） A ．2√3B ．3√62C ．3√3D ．2√65．已知点P （﹣2，4）在抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．（0，2） B ．（0，4）C ．（2，0）D ．（4，0）6．已知双曲线x 2m−y 22=1的焦点与椭圆x 24+y 2=1的焦点相同，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．4D ．57．“﹣1＜m ＜3”是“方程x 2m+1+y 27−m=1表示椭圆”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知双曲线x 216−y 248=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 是该双曲线上的一点，且|PF 1|＝10，则|PF 2|＝（ ） A ．2或18B ．2C ．18D ．49．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin 2B ＝b cos A cos B ，则△ABC 的形状是（ ） A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定10．直线l ：y ＝kx +2与椭圆C ：x 22+y 2=1有公共点，则k 的取值范围是（ ）。
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案
2019-2020学年广东省高二上学期期末数学试及答案一、单选题1．命题“00x ∃>，200430x x -+<”的否定是（ ） A ．0x ∀≤，200430x x -+< B ．0x ∀>，2430x x -+≥ C ．00x ∃≤，200430x x -+≥ D ．00x ∃>，200430x x -+≥【答案】B【解析】本题中所给的命题是一个特称命题，其否定是一个全称命题，按规则写出其否定即可． 【详解】解：命题“00x ∃>，200430x x -+<”是特称命题， 故其否定为：0x ∀>，2430x x -+≥ 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，正确解答本题，关键是掌握住命题的否定的定义及书写规则，对于两特殊命题特称命题与全称命题的否定，注意变换量词，属于基础题．2．双曲线2216436x y -=的焦距是（）A ．10B ．20C ．D ．【答案】B【解析】双曲线的方程得8a =，6b =，可求10c ==，即可求出焦距．解：双曲线2216436x y -=中8a =，6b =，10c ∴==， 220c ∴=．故选：B ． 【点睛】本题考查的重点是双曲线的几何性质，解题的关键是掌握c ，属于基础题．3．在数列{}n a 中，10a =，()1322n n a a n -=+≥，则3a =（ ） A ．2 B ．6 C ．8 D ．14【答案】C【解析】根据数列的递推公式求出2a ，即可求得3a . 【详解】解：因为10a =，132n n a a -=+， 所以21322a a =+=， 则32328a a =+=. 故选：C 【点睛】本题考查利用递推公式求数列的项的问题，属于基础题. 4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，6A π=，4B π=，a =b =（）A ．BC ．D ．【解析】直接利用正弦定理得到sin sin a Bb A=，代入数据计算得到答案. 【详解】根据正弦定理sin sin a b A B =，所以sin 21sin 2a Bb A===.故选：A 【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力. 5．已知点()2,4P -在抛物线()220y px p =>的准线上，则该抛物线的焦点坐标是（ ） A ．()0,2 B ．()0,4 C ．()2,0 D ．()4,0【答案】C【解析】首先表示出抛物线的准线，根据点()2,4P -在抛物线的准线上，即可求出参数p ，即可求出抛物线的焦点. 【详解】 解：抛物线()220ypx p =>的准线为2p x =-因为()2,4P -在抛物线的准线上22p∴-=- 4p ∴=28y x ∴=故其焦点为()2,0故选：C 【点睛】本题考查抛物线的简单几何性质，属于基础题.6．已知双曲线2212x y m -=的焦点与椭圆2214x y +=的焦点相同，则m =（ ） A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】A【解析】由椭圆的方程可得焦点坐标，根据双曲线的性质即可得m 的值. 【详解】在椭圆2214x y +=中，2a =，1b =，c =即椭圆的焦点坐标为()，∴双曲线2212x y m -=的焦点为()，∴23m +=，解得1m =， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的焦点坐标以及双曲线的焦点坐标，属于中档题.7．“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】方程22117x y m m +=+-表示椭圆解得13m -<<或37m <<，根据范围大小判断得到答案. 【详解】因为方程22117x ym m +=+-表示椭圆，所以107017m m m m +>⎧⎪->⎨⎪+≠-⎩，解得13m -<<或37m <<.故“13m -<<”是“方程22117x y m m +=+-表示椭圆”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件，意在考查学生的推断能力.8．已知双曲线2211648x y -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是该双曲线上的一点，且110PF =，则2PF =（ ） A ．2或18 B ．2C ．18D ．4【答案】C【解析】首先根据1PF a c <+可判断出点P 在该双曲线左支上，再根据双曲线的定义即可得结果. 【详解】在双曲线2211648x y -=中，4a =，b =8c =，因为11012PF a c =<+=，所以点P 在该双曲线左支上，则212241018PF a PF =+=⨯+=，故选：C. 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，判断出点P 的位置是解题的关键，属于中档题.9．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，2sin cos cos a B b A B =，则ABC ∆的形状是（）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定【答案】B【解析】根据正弦定理得到2sin sin sin cos cos A B B A B =，化简得到()sin cos 0B A B -+=，计算得到答案. 【详解】2sin cos cos a B b A B =，所以2sin sin sin cos cos A B B A B =，所以()sin sin sin cos cos 0B A B A B -=，即()sin cos 0B A B -+=. 因为0A π<<，0B π<<，所以2A B π+=，故ABC ∆是直角三角形. 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理和三角恒等变换，意在考查学生对于三角公式的综合应用. 10．直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点，则k 的取值范围是（ ）A ．22⎡-⎢⎣⎦B ．6,,22⎛⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭C ．⎡⎣D ．(),6,⎡-∞+∞⎣【答案】B【解析】联立直线与曲线方程消元，利用根的判别式求出参数的取值范围. 【详解】解：联立直线与椭圆方程得22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()2212860k xkx +++=二次项系数2121k +≥因为直线l ：2y kx =+与椭圆C ：2212x y +=有公共点， ()()22841260k k ∴∆=-⨯+⨯≥解得k ≥或k ≤即6,,k ⎛⎡⎫∈-∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭故选：B 【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系求参数的取值范围，属于基础题.11．已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 有最小值，且111210aa -<<，则使得0n S >成立的n 的最小值是（ ） A ．11 B ．12 C ．21 D ．22【答案】D【解析】由题意可知公差0d >，又111210a a -<<，故120a >，110a <，且11120a a +>，根据前n 项和公式及下标和公式，可得其220S >，21S 0<即可得解.【详解】解：由题意可得等差数列{}n a 的公差0d >.因为111210a a -<<，所以120a >，110a <，所以11120a a +>，则()()1121211122221102a a a a S +==+>，2111S 210a =<.故使得0n S >成立的n 的最小值是22.故选：D 【点睛】本题考查等差数列的性质及前n 项和公式，属于基础题.12．双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，渐近线分别为1l ，2l ，过点1F 且与1l 垂直的直线l 交1l 于点P ，交2l 于点Q ，若12PQ F P =，则双曲线的离心率为（ ） ABC ．2D ．3【答案】B【解析】设1l ：b y x a =-，2l ：by x a =，联立方程得到2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭，再计算2PQ b =，OQ =4224430c a c a -+=，计算得到答案.【详解】记O 为坐标原点.由题意可得()1,0F c -，不妨设1l ：by x a=-，2l ：b y x a= 则直线l ：()a y x c b =+.联立()a y x c b b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得2a x cab y c ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩则2,a ab P c c ⎛⎫- ⎪⎝⎭故1PF b =，OP a =.因为12PQ F P =，所以12PQ PF =所以2PQ b =，OQ =22221cos QOF ∠=.因为2tan b QOF a ∠=，所以2cos aQOF c∠=， 22220ac=，整理得4224430c a c a -+=，则42430e e -+=解得e =故选：B 【点睛】本题考查了双曲线的离心率问题，综合性强，计算量大，意在考查学生的综合应用能力和计算能力.二、填空题13．椭圆224624x y +=的短轴长是______. 【答案】4【解析】椭圆标准方程为22164x y +=，再直接利用椭圆的短轴公式得到答案. 【详解】 椭圆方程为22164x y +=，则2b =，则短轴长是24b =. 故答案为：4 【点睛】本题考查了椭圆的短轴长，属于简单题.14．已知0a b >>，且2a b +=，则515a b +的最小值是______. 【答案】185【解析】变形得到()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开利用均值不等式得到答案. 【详解】因为2a b +=，所以()511511526525255b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 因为0a b >>，所以525b a a b +≥，当且仅当53a =，13b =时，等号成立所以511261825255a b ⎛⎫+≥⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为：185【点睛】本题考查了利用均值不等式求最值，变换()51151525a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭是解题的关键. 15．从某建筑物的正南方向的A 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是45︒，从该建筑物的北偏东30的B 处测得该建筑物的顶部C 的仰角是30，A ，B 之间的距离是35米，则该建筑物的高为______米. 【答案】【解析】设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，利用余弦定理求得h 的值.【详解】解：设该建筑物的高OC h =（O 为该建筑物的底部），由题意可得OA h =，OB =，35AB =，150AOB ∠=︒，则2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-∠，即2222353h h ⎛=+-⨯ ⎝⎭，解得h =【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，属于基础题. 16．已知抛物线C ：24y x =，点Q 在x 轴上，直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，若直线QM与直线QN 的斜率互为相反数，则点Q 的坐标是______. 【答案】()2,0-【解析】设出()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点，即,,M N P 三点共线，//PM PN ，根据直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，MQ NQ k k =，即可求出Q 点坐标. 【详解】考虑直线l ：()2240m x y m ---+=，即()2240m x x y ---+=， 所以直线恒过定点()2,0P ，设()22121212,,,,4,04,y y M y N y y y Q a ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 直线l ：()2240m x y m ---+=与抛物线C 交于M ，N 两点， 即,,M N P 三点共线，//PM PN ，2212122,,2,44y y PM y PN y ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 22122122044y y y y ⎛⎫⎛⎫---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2212212122044y y y y y y --+= 化简得：()1212204y y y y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以128y y =-，直线QM 与直线QN 的斜率互为相反数，1222124,4MQ NQ y y k k yy a a =+-=-即222112044y y y a y a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立 22121212044y y y y ay ay -+-= ()121204y y a y y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则1204y y a -= 所以1224y y a ==- 即点Q 的坐标是 ()2,0- 故答案为：()2,0- 【点睛】此题考查直线与抛物线的位置关系，关键在于合理使用点的坐标关系将题目所给条件转化为代数运算求解参数.三、解答题17．已知p ：函数()()0f x ax m a =-≠在区间[)1,+∞上单调递增，q ：关于x 的不等式20x mx m ++≤的解集非空.（1）当3a =时，若p 为真命题，求m 的取值范围； （2）当0a >时，若p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件，求a 的取值范围.【答案】（1）(],3-∞； （2）[)4,+∞.【解析】（1）当3a =时，()3f x x m =-，根据单调性得到13m≤，计算得到答案.（2）p 为假命题，则m a >；q 为真命题，则0m ≤或4m ≥；根据充分不必要条件得到范围大小关系得到答案. 【详解】（1）当3a =时，()3f x x m =-.因为p 为真命题，所以13m ≤，即3m ≤，故m 的取值范围是(],3-∞. （2）因为p 为假命题，所以1ma>，因为0a >，所以m a >.记满足p 为假命题的m 的取值集合为(),A a =+∞. 因为q 为真命题，所以240m m -≥，解得0m ≤或4m ≥. 记满足q 为真命题的m 的取值集合为(][),04,B =-∞+∞. 因为p 为假命题是q 为真命题的充分不必要条件 所以集合A 是集合B 的真子集，则4a ≥.故a 的取值范围是[)4,+∞.【点睛】本题考查了命题的真假判断，充分不必要条件，根据充分不必要条件得到范围的大小关系是解题的关键.18．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b a =，221c C a =+. （1）求C ； （2）若c =ABC ∆的面积.【答案】（1）23C π=； （2）【解析】（1）利用余弦定理得到22254cos c a a C =-，再根据221c C a=+整理得到1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据（1）代入数据计算得到c =2a =，24b a ==.，代入面积公式计算得到答案. 【详解】（1）因为2b a =，所以222222cos 54cos c a b ab C a a C =+-=-.所以2254cos 1c C C a =-=+，整理得1sin 62C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭. 又因为()0,C π∈，所以23C π=.（2）由（1）可知23C π=，22254cos c a a C =-，又因为c = 所以2a =，24b a ==. 所以1sin 232ABC S ab C ∆.【点睛】本题考查了余弦定理和面积公式的应用，意在考查学生对于三角公式的灵活运用. 19．已知抛物线2:8C x y =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于,M N 两点.（1）若直线l 的方程为3yx，求||||MF NF +的值；（2）若直线l 的斜率为2，l 与y 轴的交点为P ，且2MP NP =，求||MN .【答案】（1）18；（2【解析】（1）设出点的坐标联立直线与抛物线的方程，消去x ，由韦达定理可得1214y y +=，由抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等即可得结果.（2）可设直线l 的方程为2y x t =+，联立直线与抛物线的方程，消去y ，结合韦达定理以及2MP NP =可解出1323x =，2163x =，根据弦长公式12|||MN x x =-即可得结果.【详解】（1）设()11,M x y ，()22,N x y .联立28,3,x y y x ⎧=⎨=+⎩整理得21490y y -+=，则1214y y +=.因为,M N 均在抛物线C 上，所以12||||418MF NF y y +=++=. （2）设(0,)P t ，则直线l 的方程为2y x t =+.联立28,2,x y y x t ⎧=⎨=+⎩整理得21680x x t --=，则1216x x +=，128x x t =-， 且216320t ∆=+>，即8t >-.因为2MP NP =，所以点N 为线段MP 的中点，所以122x x =. 因为1216x x +=，所以1323x =，2163x =， 此时51289t -=，6489t =->-，故123216|||333MN x x ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，直线与抛物线相交时所得的弦长问题，注意抛物线性质的应用，属于中档题.20．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*123n n S a a n N =-∈，数列{}n b 满足14b =，()*21n n n b S na n N =++∈.（1）求{}n a 的通项公式； （2）求{}n b 的前n 项和nT .【答案】（1）13-=n na； （2）()25354n nn T +⨯-=.【解析】（1）利用公式1n n n a S S -=-化简得到()*132,n n a a n n N -=≥∈，再利用14b =计算11a =得到数列{}n a 的通项公式.（2）由（1）可得13-=n na ，则()133n n b n -=+⨯，再利用错位相减法计算前n 项和. 【详解】（1）因为()*123n n S a a n N =-∈，所以()*111232,n n S a a n n N --=-≥∈， 所以()*12332,n n n a a a n n N -=-≥∈，即()*132,n n a a n n N -=≥∈. 因为14b =，()*21n n n b S na n N =++∈，所以111214b S a =++=，所以11a =.故数列{}n a 是以1为首项，以3为公比的等比数列，1113n n n a a q --==.（2）由（1）可得13-=n na，则()()121333n n n n n b S na n a n -=++=+=+⨯，从而()214536333n n T n -=+⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯，① ()23343536333n n T n =⨯+⨯+⨯+++⨯，②①-②得()212433333n nn T n --=+++⋅⋅⋅+-+⨯()335254333222n n nn n -+=+-+⨯=-⨯， 故()25354n nn T +⨯-=.【点睛】本题考查了求通项公式，利用错位相减法计算前n 项和，意在考查学生对于数列公式的灵活运用.21．如图，在四棱锥P ABCD -中，AB AD ⊥，//AD BC ，PA PB PD ==，2PE EC =，O为BD 的中点.（1）证明：OP ⊥平面ABCD ； （2）若2AB =，243BC AD ==4PA =，求二面角C BD E --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】（1）取AD 的中点F ，连接,PF OF ，易得AD PF ⊥，OF AD ⊥，由线面垂直判定定理可得AD ⊥平面POF ，进而AD OP ⊥，再将PO BD ⊥与线面垂直判定定理相结合即可得结果.（2）建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，可求出平面BDE 的一个法向量(3,1,4)m =-，取平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，根据图象结合||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=〈〉=即可得结果. 【详解】（1）证明：取AD 的中点F ，连接,PF OF . 因为PA PD =，F 为AD 的中点，所以AD PF ⊥. 因为O 为BD 中点，F 为AD 的中点，所以//OF AB .因为AB AD ⊥，所以OF AD ⊥，因为OF PF F ⋂=，OF ⊂平面POF ，PF ⊂平面POF ，所以AD ⊥平面POF .又OP ⊂平面POF ，所以AD OP ⊥.因为PB PD =，O 为BD 的中点，所以PO BD ⊥. 因为ADBD D =，AD ⊂平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥平面ABCD .（2）解：以O 为坐标原点，FO 所在直线为x 轴，平行AD的直线为y 轴，OP 所在直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，∵PA PB PD ==， ∴122OA OB OD BD ====，∴3OP =则(0,0,0)O ，(1,3,0)B ，(3,0)D -，(1,33,0)C ，(0,0,3)P ，因为2PE EC =，所以223,23,3E ⎛ ⎝⎭，故(2,3,0)BD =-，5233,33DE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面BDE 的法向量(,,)m x y z =，则22305233033m BD x m DE x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩不妨取3x =3,1,4)m =-平面BCD 的一个法向量(0,0,1)n =，记二面角C BD E --的大小为θ，由图可知θ为锐角，则||cos |cos ,|||||25m n m n m n θ⋅=〈〉===【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的判定，利用向量法求二面角的大小，求出面的法向量是解题的关键，属于中档题.22．已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的焦距为，点A 在椭圆E 上，且OA O 为坐标原点）.（1）求椭圆E 的标准方程.（2）已知动直线l 与圆O ：()2220xy t t +=>相切，且与椭圆E交于P ，Q 两点.是否存在实数t ，使得OP OQ ⊥？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y +=；（2）存在3t =【解析】（1）根据焦距和椭圆的几何意义即可求出椭圆标准方程；（2）分别对斜率不存在和斜率存在两种情况讨论，相切即圆心到直线距离等于半径，OP OQ ⊥即向量的数量积为零，进行代数运算即可求解. 【详解】（1）因为OA 的最小值是，所以b =因为椭圆E 的焦距为2c =，即c =所以2224a b c =+=，故椭圆E 的标准方程是22142x y +=；（2）①当直线l 的斜率不存在时，因为直线l 与圆O 相切，所以直线l 的方程为x t =±，则直线l 与椭圆E的交点为,2t ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭或,2t ⎛-± ⎪⎝⎭， 因为OP OQ ⊥，所以2212128204t x x y y t -+=-=，所以243t =，即t =，②当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y .联立22142x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得()222214240k x kmx m +++-=，则122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k ，因为()11,P x y ，()22,Q x y 在直线l 上，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，将122421km x x k +=-+，21222421-=+m x x k 代入上式，得()2222212222442121k m k m y y m k k -=-+++222421m k k -=+，因为OP OQ ⊥，所以22212122224402121m m k x x y y k k --+=+=++，即()22341m k =+，因为动直线l 与圆Ot =，所以222413m t k ==+，即3t =，综上，存在t =，使得OP OQ ⊥.【点睛】此题考查根据椭圆的几何意义求解椭圆方程，根据直线与曲线的位置关系结合韦达定理解决探索性问题.第 21 页共 21 页。
广东省东莞市2019-2020学年度第一学期高二第一次月考数学试卷含答案解析
第 1 页 共 20 页 广东省东莞市2019-2020学年度第一学期第一次月考高二数学试时间：120分钟 试卷分值：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分）()=-212321214-1-4-1-.1b a a b b b a a 成等比数列，则、、、、成等差数列，、、、已知21.-A 41.B 21.C 2121.或-D {}{}()===-==224411,8,1.2b a b a b a b a n n 则满足和等比数列若等差数列 A ． B ． C ．1 D ．4 ()=∠===∠∆C BC AB A ABC cos 523.3，则，，中，在π 522.±A 522.-B 53.C 522.D()====∆∆A S c b ABC ABC 则中，在,316,38,8.4A ．30°B ．60°C ．60°或 120°D ．30°或 150°5．若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶5∶7，则△ABC( )A ．一定是锐角三角形B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形()的面积等于则，中，若在ABC c B a b A ABC ∆===∆,1,cos 23.6π 23.A 43.B 63.C 83.D 7．已知等差数列的公差和首项都不等于0，且成等比数列，则=+++32951a a a a a （）。
2019-2020学年东莞市东华高级中学高二上期末测试数学模拟试卷及答案解析
2019-2020学年东莞市东华高级中学高二上期末测试
数学模拟试卷
考试时间：120分钟；试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一．选择题（共10小题）
1．△ABC中，若a：b：c＝3：5：7，则＝（）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．不等式（x﹣1）2＜x+5的解集为（）
A．{x|1＜x＜4}B．{x|﹣1＜x＜4}C．{x|﹣4＜x＜1}D．{x|﹣1＜x＜3} 3．已知数列{a n}的前n项和为S n，S n＝2a n﹣2，若存在两项a m，a n，使得a m a n＝64，则的最小值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知实数x，y 满足，则z＝x﹣3y的最小值为（）
A．﹣7B．﹣6C．1D．6
5．以抛物线y2＝4x的焦点为右焦点，且长轴为4的椭圆的标准方程为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．在空间直角坐标系中，＝（3，2，x），＝（4，y，2），且||＝7，⊥，则x+y＝（）A．6B．﹣6C．0D．6或﹣6
7．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线过椭圆的左焦点F1，且与椭圆交于P、Q 两点，则△PQF2（F2是椭圆的右焦点）的周长为（）
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广东省东莞市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题含解析
广东省东莞市2019-2020学年数学高二第二学期期末联考试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线2:4C πθ=，若曲线1C 与2C 交于,A B 两点，则线段AB 的长度为（ ）A ．2B C ．D ．1 【答案】B【解析】【分析】分别将曲线1C ，2C 的极坐标方程化为普通方程，根据直线与圆相交，利用点到直线的距离公式结合垂径定理，可得结果【详解】根据题意，曲线()222221:22cos 211C cos x y x x y ρθρρθ==+=-+= 曲线2:4C y x πθ==，则直线与圆相交，圆的半径为1，圆心到直线y x =的距离为2d == 设AB 长为m ，则有22212m d r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即211142m +=解得m =（舍负）故线段AB故选B【点睛】本题主要考查的是极坐标与直角坐标方程的互化，圆的方程以及直线与圆的位置关系，是一道基础题 2．已知平面向量a ，b 的夹角为3π，且1a =，2b =，则32a b -=（ ）A ．13B C D ．11 【答案】C【解析】分析：根据向量的运算，化简()23232a b a b -=-，由向量的数量积定义即可求得模长． 详解：平面向量数量积cos a b a b θ⋅= ，所以()22232329124a b a b a a b b -=-=-⋅+ 2212cos a a b b θ=-⋅+22911212cos 42θ=⨯-⨯⨯+⨯13=所以选C点睛：本题考查了向量的数量积及其模长的求法，关键是理解向量运算的原理，是基础题． 3．若集合{}{}201,20A x x B x x x =<<=-<， 则下列结论中正确的是（ ）A ．AB ⋂=∅B ．A B R ⋃=C ．A B ⊆D ．B A ⊆ 【答案】C【解析】【分析】由题意首先求得集合B ，然后逐一考查所给选项是否正确即可．【详解】求解二次不等式220x x -<可得：02x <<，则{}|02B x x =<<．据此可知：{}|01A B x x ⋂=<<≠∅，选项A 错误； {}|02A B x x ⋃=<<，选项B 错误；且集合A 是集合B 的子集，选项C 正确，选项D 错误． 本题选择C 选项，故选C ．【点睛】本题主要考查集合的表示方法，集合之间的关系的判断等知识，熟记集合的基本运算方法是解答的关键，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4．已知1(5,)3XB ，则37()22P X ≤≤=（ ） A ．80243 B ．40243C ．4081D ．8081【答案】C【解析】【分析】根据二项分布求对应概率【详解】()()372322P X P X P X ⎛⎫≤≤==+= ⎪⎝⎭23322355121240C C 333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选C.【点睛】本题考查二项分布，考查基本分析求解能力，属基础题.5．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏 【答案】B【解析】【分析】【详解】设塔顶的a 1盏灯，由题意{a n }是公比为2的等比数列，∴S 7=()711212a --=181，解得a 1=1．故选B ．6．若函数()ln f x ax x =-在(1,)+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(,1)-∞B ．(,1]-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】D【解析】【分析】由题意得()10f x a x '=-≥在(1,)+∞上恒成立，利用分离参数思想即可得出结果． 【详解】∵()ln f x ax x =-，∴1()f x a x'=-， 又∵函数()ln f x ax x =-在(1,)+∞上是增函数， ∴1()0f x a x '=-≥在(1,)+∞恒成立， 即1,(1,)a x x∈+∞恒成立，可得1a ≥， 故选D.【点睛】本题主要考查了已知函数的单调性求参数的取值范围，属于中档题．7．定义运算a b c d ＝ad －bc ，若复数z 满足1i z z -＝－2，则z =（ ） A ．1－iB ．1＋iC ．－1＋iD ．－1－i 【答案】D【解析】 分析：直接利用新定义，化简求解即可.详解：由a b c d ＝ad －bc ，则满足1i z z -＝－2，可得：2iz z +=-，()()()2121111i z i i i i ---∴===-+++-， 则1z i =--.故选D.点睛：本题考查新定义的应用，复数的除法运算法则的应用，以及共轭复数，考查计算能力.8．已知函数()f x 与'()f x 的图象如图所示，则函数()()x f x g x e=（其中e 为自然对数的底数）的单调递减区间为（ ）A ．(0,4)B ．(,1)-∞，4,43⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,1)，(4,)+∞【答案】D【解析】 分析：结合函数的图象求出()()0f x f x '-<成立的x 的取值范围，即可得到结论．详解：结合函数的图象可知：(0,1)x ∈和(4,)x ∈+∞时，()()0f x f x '-<，又由()()x f x g x e =，则()()()x f x f x g x e-''=， 令()0g x '<，解得(0,1)(4,)x ∈⋃+∞，所以函数()g x 的递减区间为(0,1),(4,)+∞，故选D ．点睛：本题主要考查了导数的四则运算，以及利用导数研究函数的单调性，求解单调区间，其中结合图象，得到()()0f x f x '-<，进而得到()0g x '<的解集是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力．9．如果)1f x =+，则()f x 的解析式为（ ）A ．()()21f x x x =≥B ．()()210f x x x =-≥ C ．()()211f x x x =-≥ D ．()()20f x x x =≥【答案】C【解析】【分析】根据配凑法，即可求得()f x 的解析式，注意定义域的范围即可．【详解】因为)1fx =+))2111f =-令1t = ，1t ≥则()21f t t =-，1t ≥即()()211f x x x =-≥ 所以选C【点睛】本题考查了配凑法在求函数解析式中的应用，注意定义域的范围，属于基础题．10．设2921101211(1)(23)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则1211a a a +++的值为 （ ）A ．－7B ．3-C ．2D ．7 【答案】D【解析】【分析】利用赋值法，令2,1x x =-=-即可确定1211a a a +++的值. 【详解】题中所给等式()()()()()9211201211123222x x a a x a x a x ++=+++++++中， 令2x =-可得：()()904143a +⨯-+=，即05a =-，令1x =-可得：()()90123111123a a a a a +⨯-+=+++++，即0123112a a a a a +++++=， 据此可知：1211a a a +++的值为()257--=.本题选择D 选项.【点睛】 本题主要考查赋值法及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则33a b +的最小值是( )A ．18B ．6C ．23D ．43【答案】B【解析】【分析】 由重要不等式可得3323323a b a b a b ++≥⋅=，再根据a ＋b ＝2，代入即可得解.【详解】解：由实数a ，b 满足a ＋b ＝2，有33233236a b a b a b ++≥⋅==，当且仅当33a b =，即1a b ==时取等号，故选:B.【点睛】本题考查了重要不等式的应用及取等的条件，重点考查了运算能力，属基础题.12．函数的图像大致是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】A【解析】【分析】可分类讨论，按，，分类研究函数的性质，确定图象．【详解】 时，是增函数，只有A 、B 符合，排除C 、D ， 时，＜0，只有A 符合，排除B ． 故选A ．【点睛】本题考查由函数解析式选取图象，解题时可通过研究函数的性质排除一些选项，如通过函数的定义域，单调性、奇偶性、函数值的符号、函数的特殊值等排除错误的选项．二、填空题：本题共4小题13．命题“1x ∃<使得21x ≥”是______命题. （选填“真”或“假”）【答案】真.【解析】分析：存在命题只需验证存在即可.详解：由题可知：令x=0，则021=符合题意故原命题是真命题.点睛：考查存在性命题的真假判断，属于基础题.14．有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取2张，则抽到的牌中至少有1张红心的概率是_________． 【答案】910【解析】【分析】先由题意，求出“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率，再根据对立事件的概率计算公式，即可求出结果.【详解】由题意，从5张扑克牌中，任意抽取2张，所包含的基本事件的个数为：2510C =；“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”只有一种情况； 则“抽取的两张扑克牌，都是黑桃”的概率为：110P =； 因此，抽到的牌中至少有1张红心的概率是9110P -=. 故答案为：910. 【点睛】本题主要考查对立事件概率的相关计算，以及古典概型的概率计算，属于基础题型.15．已知等比数列{}n a 中，141,8a a ==，则公比q =______；3a =______．【答案】2 4【解析】【分析】根据等比数列通项公式构造方程求解即可.【详解】33418a a q q === 2q ∴=2314a a q ∴==本题正确结果：2；4【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，关键是熟练掌握等比数列通项公式，属于基础题.16．某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的方差为______．【答案】2【解析】【分析】由题意，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为83，84，85，86，87，先求出所剩数据的平均数，由此能求出所剩数据的方差．【详解】解：某高中十佳校园主持人比赛上某一位选手得分的茎叶统计图如图所示，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为：83，84，85，86，87，∴所剩数据的平均数为：()18384858687855x =++++=， 所剩数据的方差为：(2222221[(8385)(8485)(8585)(8685)8785)25S ⎤=-+-+-+-+-=⎦． 故答案为1．【点睛】本题考查方差的求法，考查茎叶图、平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。