初中数学思想之转化思想指导及经典题型例题讲解
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践
初中数学巧妙“转化”的解题思想与教学应用实践“转化”是指把一个难以解决的问题，转化成一个易于解决的问题。
在数学中，很多难题都可以通过巧妙的转化来解决。
初中数学中，有很多题目都可以通过转化解决，如下面几个例子。
1. 利用分式化简例如：计算：$\sqrt{3+\sqrt{8}}+\sqrt{3-\sqrt{8}}$$$x^{2} = (3+\sqrt{8}) + 2\sqrt{(3+\sqrt{8}) (3-\sqrt{8})} + (3-\sqrt{8}) = 6+2\sqrt{3}$$例如：计算：$\frac{(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}{4ab}$$$\frac{(a+b)^{3}-(a-b)^{3}}{4ab} = \frac{6ab(a+b)}{4ab} =\frac{3}{2}(a+b)$$3. 利用代数恒等式解法：将右边的括号拆开得到代入右边的式子中，得到等式成立。
通过以上例子，我们可以看出，利用转化的思想可以较快地求解一些数学难题。
对于初中数学教学的应用实践，我们可以采取以下措施。
1. 总结转化的方法在教学过程中，我们应该学生总结一些常见的数学转化方法，例如：分式化简、因式分解、代数恒等式等。
这样可以帮助学生更加深入地理解数学知识，提高解题的效率。
2. 组织转化的练习在数学教学中，我们可以组织一些转化的练习，让学生在解题的过程中熟悉转化的方法，提高解题的能力。
例如，在练习中可以设置一些简单的转化题目，慢慢地逐步增加难度，从而让学生更加熟练地掌握转化的技巧。
3. 引导学生思考在数学教学中，我们应该引导学生养成自主思考的习惯。
当遇到一道难题时，学生可以先尝试通过转化的方法来解决，这样可以大大提高解题的效率。
同时，也可以帮助学生更加深入地理解数学知识，为日后的学习打下良好的基础。
数学转化思想
转化思想转化思想就是解决数学问题得一种最基本得数学思想，在研究数学问题时，我们通常就是将未知问题转化为已知得问题，将复杂得问题转化为简单得问题，将抽象得问题转化为具体得问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同得数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎就是无处不在得。
例题分析 例1 解方程组x x x y x x y ()()++=++=⎧⎨⎩13514445242分析：从表面上瞧此题属于二元三次方程组得求解问题，超过我们所掌握得知识范围，但仔细分析可将方程组变形为()()()()x x x y x x x y 22351443524++=+++=⎧⎨⎪⎩⎪，再利用换元法，问题就迎刃而解了。
解：设x x u x y v 235+=+=，原方程组可化为u v u v ⋅=+=⎧⎨⎩14424解之，得u v ==⎧⎨⎩1212即x x x y 2123512+=+=⎧⎨⎩解之，得x y 11448=-=⎧⎨⎩.x y 22306==⎧⎨⎩. 例2若m 、n 、p 同时满足下面二式：23572351111mnpm n p ++=++=-+，，求23511m n p +-++得取值范围。
分析：直接利用已知条件中得两个等式得到23511m n p +-++得取值范围不好下手，如果换个角度考虑2351111m n p -+++=可变形为2235511mn p ++⋅=，令2m a =，3n b =，5p c =，则已知条件可转化为方程组a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪72511，进而找到a 、b 与c 得关系，可以确定所求式子得取值范围。
解：设235mn p a b c ===，，，则a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪7125112()()由(1)、(2)可得a c =-+88 (3)bc =-159 (4)此时，23525365111m n p a b c c +-++=++=- (5) Θa >0，由(3)得c >1Θb >0，由(4)得c <53∴<<153c ∴由(5)得3152351111<++<+-m n p例3 如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。
转化思想在初中数学解题中的应用
转化思想在初中数学解题中的应用作为一个初中数学学习者，在解题的过程中，有一个重要的能力就是转化思想。
在解题过程中，能够使用转化思想，能够将复杂的问题转化为简单的问题，能够将问题的条件转化成解题的工具，具有很大的优势。
下面我们就讨论一下在初中数学解题中如何应用转化思想。
一、利用等式化简在代数运算中，我们时常要将一个式子化简为更简洁的形式以用于计算，而这种化简往往涉及到等式的运用。
在初中数学中，解题时如果能够利用等式化简，将会事半功倍。
比如，下面这个问题：“如果$2x+y=15$，$x-2y=1$，求$x^2+y^2$的值。
”我们可以利用等式将$x^2+y^2$的值转化成$(2x+y)^2+5(x-2y)^2$，而$(2x+y)^2+5(x-2y)^2=5x^2+29y^2-8xy=289$。
二、数形结合数学中数形结合问题比较常见，利用图形中的角度、长度、面积等概念，可以将数学问题变得简单一些。
例如，下面的问题：“如图，在$\triangle ABC$中，$AD$是边$BC$的中线，$E$、$F$分别在边$AB$和$AC$上，使得$\angle CEF=\angle BCD$，$\angle BCE=\angle BCF$，若$\frac{AE}{EB}=\frac{1}{2}$，$\frac{AF}{FC}=\frac{2}{3}$，求$\frac{BD}{DC}$。
”我们可以利用数形结合的思想，设$\triangle AED$与$\triangle BEC$的面积分别为$S_1$和$S_2$，则$\triangle ADF$和$\triangle CEF$的面积分别为$\frac{2}{3}S_1$和$\frac{1}{3}S_2$，且$\triangle ABD=\triangle AED+\triangle ADF$，$\triangle BDC=\triangle BEC+\triangle CEF$，于是$\frac{BD}{DC}=\frac{\frac{1}{3}S_2}{\frac{2}{3}(S_1+S_2)} =\frac{1}{2}$。
专题47 中考数学转化思想(解析版)
专题47 中考数学转化思想1. 转化思想的含义所谓转化思想是指一种研究对象在一定条件下转化为另一种研究对象的思维方式。
转化思想是数学思想方法的核心，其它数学思想方法都是转化的手段或策略。
初中数学中诸如化繁为简、化难为易、化未知为已知等均是转化思想的具体体现．2.转化思想的表现形式：（1）把新问题转化为原来研究过的问题。
如有理数减法转化为加法，除法转化为乘法等；（2）复杂问题向简单问题转化，新问题用已有的方法不能或难以解决时，建立新的研究方式。
如引进负数，建立数轴等；（3）多元向一元转化。
如解三元方程组需要通过一定手段转化为解一元方程求解；（4）高次向低次转化。
如解一元三次方程，可以转化为一元二次方程解决；（5）变利用逆运算的性质解方程为利用等式的性质解方程，等等。
【例题1】（2020潍坊模拟）计算++++…+的结果是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】把每个分数写成两个分数之差的一半，然后再进行简便运算．原式＝＝＝．【点拨】本题是个规律计算题，主要考查了有理数的混合运算，关键是把分数乘法转化成分数减法来计算．【对点练习】分式方程=1的解是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣3【答案】A【解析】观察可得最简公分母是x（x﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．=1，去分母，方程两边同时乘以x（x﹣2）得：（x+1）（x﹣2）+x=x（x﹣2），x2﹣x﹣2+x=x2﹣2x，x=1，经检验，x=1是原分式方程的解。
【点拨】考查了解分式方程，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．【例题2】（2020绵阳模拟）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【答案】．【解析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，∠∠ABC+∠ADC=180°，∠图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，∠阴影部分的面积应为：S==．【点拨】本题考查学生的观察能力及计算能力．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．【对点练习】如图，∠ABC中，AB=5，AC=6，BC=4，边AB的垂直平分线交AC于点D，则∠BDC的周长是（）A.8B.9C.10D.11【答案】C【解析】∠ED是AB的垂直平分线，∠AD=BD，∠∠BDC的周长=DB+BC+CD，∠∠BDC的周长=AD+BC+CD=AC+BC=6+4=10．【点拨】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长的计算，掌握转化思想的应用是解题的关键．【例题3】（2020河北模拟）如图，为测量某建筑物BC上旗杆AB的高度，小明在距离建筑物BC底部11.4米的点F处，测得视线与水平线夹角∠AED=60°，∠BED=45°．小明的观测点与地面的距离EF为1.6米．（1）求建筑物BC的高度；（2）求旗杆AB的高度（结果精确到0.1米）．参考数据：≈1.41，≈1.73．【答案】见解析。
转化思想 解题经典
转化思想 解题经典转化是中考命题中重点考查的一种数学思想方法，是创造性思维的一种重要形式.所谓转化，就是在研究和解决数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，从而使复杂问题简单化，化难为易，使未知的问题已知化，最终达到解决问题的目的.转化在初中数学中应用十分广泛.例1 （2005盐城中考）已知，如图1所示，现有a ×a 、b ×b 的正方形纸片和a ×b 的矩形纸片若干块，试选用这些纸片（每种纸片至少用一次），在下面的虚线方框中拼成一个矩形（每两种纸片之间既不重叠，也无缝隙，拼出的图形中必须保留拼图的痕迹），使拼出的矩形面积为22252b ab a ++，并标出此矩形的长与宽.分析：把22252b ab a ++化为)2)(2(b a b a ++，并把两因式分别作为矩形的长和宽即可拼出.答案不唯一，只要符合题意即可.如图2.例2 某片绿地的形状如图3所示，其中AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠A =︒60，AB =200米，CD =100米，求AD 、BC 的长（精确到1米，732.13≈）.分析：先把四边形ABCD 转化成直角三角形，再利用特殊角的三角函数值及解直角三角形的知识求出AD 、BC 的长.解：延长AD 、BC 交于点E在R t △ABE 中，∠A =︒60，∠B =︒90，AB =200，∴AE =︒60cos AB =21200=400， BE =︒⋅60sin AE =400×23=2003. 在R t △CDE 中，∠E =︒30，∠CDE =︒90，CD =100， ∴CE =2CD =2×100=200， DE =CE ︒⋅30cos =200×23=1003， ∴AD =DE AE -=400-1003≈227（米），BC =CE BE -=2003-200≈146（米）. 例3 （2005重庆中考）已知四边形ABCD 中，P 是对角线BD 上的一点，过P 作MN ∥AD ，EF ∥CD ，分别交AB 、CD 、AD 、BC 、于M 、N 、E 、F ，设a =PE PM ⋅，b =PF PN ⋅，解a ab 图2 A BC ED 图3图1答下列问题：⑴当四边形ABCD 是矩形时，如图4所示，请判断a 与b 的大小关系，并说明理由； ⑵当四边形ABCD 是平行四边形，且∠A 为锐角时，如图5所示，⑴中的结论是否成立？并说明理由；⑶在⑵的条件下，设k PD BP =，是否存在这样的实数k ，使得ABDPEAM S S ∆四边形=94，若存在，请求出满足条件的所有k 的值；若不存在，请说明理由.分析：⑴当四边形ABCD 是矩形时，a =PE PM ⋅=S 矩形PEAM ， b =PF PN ⋅=S 矩形PFCN ，把a 与b 的大小关系转化为面积之间的关系；⑵当四边形ABCD 是平行四边形时，S 四边形PEAM =PE PM ⋅MPE ∠⋅sin ，S 四边形PNCF =PF PN ⋅NPF ∠⋅sin ，而MPE ∠sin =NPF ∠sin ，类比⑴可得出相同的结论；⑶把图形面积之比转化为边长之比，用已知条件k 来表示即可. 解：⑴∵四边形ABCD 是矩形，MN ∥AD ，EF ∥CD ， ∴四边形PEAM 、PNCF 也是矩形，∴a =PE PM ⋅= S 矩形PEAM ，b =PF PN ⋅= S 矩形PFCN ， 且△PMB ≌△BFP , △PDE ≌△DPN , △DAB ≌△BCD ,而S 矩形PEAM =S △DAB - S △PMB - S △PDE ，S 矩形PNCF =S △BCD - S △BFP - S △DPN ， ∴S 矩形PEAM = S 矩形PNCF ， 即a =b ；⑵成立.∵四边形ABCD 是平行四边形，MN ∥AD ，EF ∥CD ，∴四边形PEAM 、PNCF 也是平行四边形， 仿⑴可得S 四边形PEAM = S 四边形PNCF ， 而S 四边形PEAM =PE PM ⋅MPE ∠⋅sin ，S 四边形PNCF =PF PN ⋅NPF ∠⋅sin ， 又∵MPE ∠=NPF ∠， ∴PE PM ⋅=PF PN ⋅，即a =b ；⑶连接AP （如图6），设△PBM 、△PBM 、△PBM 、△PBM 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则k PD BP AM BM S S ===21，k PDBPDE AE S S ===43， ∴21kS S =，43kS S =，S 2= S 3， ∴421S k S =，S 2= S 3=k S 4， ∴ABDPEAMS S ∆四边形==++++432132S S S S S S 424)12(2S k k kS ++=1222++k k k， ∴1222++k k k =94，整理，得 02522=+-k k ， ∴21=k ，212=k ， 图4 DN C 图5C图6∴存在实数2=k 或21=k ，使得ABDPEAM S S ∆四边形=94.。
例谈转化思想在初中数学解题中的应用
原 理 和 方 法用 到 具 体 问题 上 去 ， 而 发 现 行 之 有 效 从
的特 殊 方 法．
所 以 ａ＋ ｂ＜ ａ— ｂ＜ 一 “ ｂ＜ 一 ａ— ｂ 选 Ｂ ＋ ． ．
＋ — “＋ ・ 一 ＋ 一— 一＋ — 一 ・ 一— —
当 ＞ ０时 ， ）＜ ｇ ０ ｇ（ （ ）一 ０ ，
要 敢 于 尝 试 ， 胆 变 形 ． 路 走 要 找 路 走 ， 不 要 急 大 没 也 于有路就走 ， 适 当选择好 的方案 ， 要 多想 一 点 ， 少 就 算一点．
；
０的零 点 无 法 用 常规 代 数 方 法 求 得 ， 故此 法行 不 通 ．
思 路 ２ 可 以考 虑适 度 重 组 整 合 ： ：
例 １ 若 ａ＜ ｂ＜ ０ 则 下 列 结 论 中 正 确 的 是 ，
（ ） ．
重 要 的思 想方 法 ． 化 思 想 又 称 转 换 或 化 归 思 想 ， 转 是
一
（ ） Ａ ａ＋ ｂ＜ 一 ＆＋ ｂ＜ ａ— ｂ＜ 一 ａ— ｂ （ ａ＋ ｂ＜ ａ— ｂ ＜ 一 ａ＋ ｂ＜ ～ ａ— ｂ Ｂ） （ Ｃ）一 ａ— ｂ＜ ａ— ｂ＜ ～ ａ＋ ｂ＜ ｎ＋ ｂ （ Ｄ）一 ａ— ｂ＜ ａ＋ ｂ＜ ～ ａ＋ ｂ＜ ａ — ｂ
１ 一 般 与 特 殊 的 转化
分 析 直接 比较 四个 代 数 式 的 大小 ， 于 太 抽 由 象 ， 以 困 难 较 大 ， 因 ａ ｂ均在 一 定 范 围 内取 值 ， 所 但 和 故不 妨 赋予 ａ和 ｂ均 在 一 定 范 围 内 的特 殊 值 ．
因 口＜ ６＜ ０ 不 妨 设 ｎ一 一 ３ ６一一 ２ ， ， ，
种把 待解 决 或 解决 的问题 经 过某 种 转 化过 程 ， 结 归
数学转化思想
转化思想转化思想是解决数学问题的一种最基本的数学思想，在研究数学问题时，我们通常是将未知问题转化为已知的问题，将复杂的问题转化为简单的问题，将抽象的问题转化为具体的问题，将实际问题转化为数学问题，我们也常常在不同的数学问题之间互相转化，可以说在解决数学问题时转化思想几乎是无处不在的。
例题分析 例1 解方程组x x x y x x y ()()++=++=⎧⎨⎩13514445242分析：从表面上看此题属于二元三次方程组的求解问题，超过我们所掌握的知识范围，但仔细分析可将方程组变形为()()()()x x x y x x x y 22351443524++=+++=⎧⎨⎪⎩⎪，再利用换元法，问题就迎刃而解了。
解：设x x u x y v 235+=+=，原方程组可化为u v u v ⋅=+=⎧⎨⎩14424解之，得u v ==⎧⎨⎩1212即x x x y 2123512+=+=⎧⎨⎩解之，得x y 11448=-=⎧⎨⎩.x y 22306==⎧⎨⎩. 例2若m 、n 、p 同时满足下面二式：23572351111mnpm n p ++=++=-+，，求23511m n p +-++的取值范围。
分析：直接利用已知条件中的两个等式得到23511m n p +-++的取值范围不好下手，如果换个角度考虑2351111m np -+++=可变形为2235511mn p ++⋅=，令2m a =，3n b =，5p c =，则已知条件可转化为方程组a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪72511，进而找到a 、b 与c 的关系，可以确定所求式子的取值范围。
解：设235mn p a b c ===，，，则a b c ab c ++=++=⎧⎨⎪⎩⎪7125112()()由(1)、(2)可得a c =-+88 (3)bc =-159 (4)此时，23525365111m n p a b c c +-++=++=- (5) a >0，由(3)得c >1b >0，由(4)得c <53∴<<153c ∴由(5)得3152351111<++<+-m n p例3 如图，∆ABC 中，BC ＝4，AC ACB =∠=︒2360，，P 为BC 上一点，过点P 作PD//AB ，交AC 于D 。
中考数学二轮复习 专题研究一 数学思想方法类型四转化思想
中考数学二轮复习专题研究一数学思想方法类型四转化思想中考数学二轮复习-专题研究一--数学思想方法类型四转化思想高考数学复习专题中考数学复习_专题题型研究问题类型1数学思维方法类型4转化思维针对演练1.当我们解一元二次方程3x2-6x=0时，我们可以使用因式分解法将方程转化为3x （X-2）=0，从而得到两个一元二次方程：3x=0或X-2=0，然后得到原始方程的解为X1=0和X2=2。
这个解中体现的数学思想是（）a.转化思想b.函数思想c.数形结合思想d.公理化思想11a＋b2。
给定A-B=-，A-B=，的值为（）62a－b2二1123a、－b.c.－d.－23323.(2021温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3.现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0.它的解是()a、 x1＝1，x2＝3b。
x1＝1，x2＝3c。
x1＝1，x2＝3d。
x1＝1，x2＝34.如图，点e在正方形abcd的对角线ac上，且ec＝2ae，直角三角形feg的两直角边ef、eg分别交bc、dc于点m、n.若正方形abcd的边长为a，则重叠部分四边形emcn 的面积为()二千二百一十二a.ab.a345242c。
广告99中考数学复习_专题高考数学复习专题第4题图5.如图所示，将六个相同的小矩形放入大矩形ABCD中，图中阴影部分的面积（单位：cm2）为（）第5题图a、 16b。
44c。
96d。
一百四十6.设m2＋m－1＝0，则代数式m3＋2m2＋2021的值为()a.2021b.2021c.2021d.20217.如图所示，△ ABC被翻译成△ a'B'C'。
如果四边形ACDA'的面积为6cm2，则阴影部分的面积为__________________。
第7题图8.如图所示，有三个步骤。
每个台阶的长度、宽度和高度分别为55英寸、10英寸和6英寸。
A和B是台阶的两端。