浙江省杭州外国语学校高考数学模拟试卷(5月份)解析版
高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={1，2，3}，B={x|（x+1）（x-3）＜0，x∈}，则A∩B=（）A. {1}B. {1，2}C. {0，1，2，3}D. {-1，0，1，2，3}2.设复数（i是虚数单位），则z的虚部为（）A. iB. -iC. -1D. 13.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A. 2B. 2C. 2D. 44.如图所示的程序的输出结果为S=132，则判断框中应填（）A. i≥10？B. i≥11？C. i≤11？D. i≥12？5.已知，则（）A. 1＜2a-b＜2B. 2＜2a-b＜4C. 4＜2a-b＜5D. 5＜2a-b＜66. 已知O 是坐标原点，点A （-1，1），若点M （x ，y ）为平面区域上的一个动点，则•的取值范围是（ ）A. [-2，0]B. [-2，0）C. [0，2]D. （0，2]7. 有红、蓝、黄三种颜色的球各7个，每种颜色的7个球分别标有数字1、2、3、4、5、6、7，从中任取3个标号不同的球，这3个颜色互不相同且所标数字互不相邻的取法种数为（） A. 42 B. 48 C. 54 D. 60 8. 已知正三棱锥S -ABC 的底面是面积为的正三角形，高为2，则其内切球的表面积为（ ）A.B. C.D.9. 已知椭圆+=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是椭圆上一点，△PF 1F 2是以F 2P 为底边的等腰三角形，且60°＜∠PF 1F 2＜120°，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）A. （，1）B. （，）C. （，1）D. （0，）10. 函数f （x ）的导函数f ˈ（x ）满足f ˈ（x ）＞f （x ）在R 上恒成立，且f （1）=e ，则下列判断一定正确的是（）A.B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共42.0分） 11. 计算：lg25+2lg2+8=______． 12. 若实数x ，y 满足则z =-x +5y 的最小值为______．13. 已知sinα-3cosα=0，则=______．14. 设函数f （x ）=x 2，若函数g （x ）=f 2（x ）+mf （x ）+m +3有四个零点，则实数m 的取值范围为______．15. 已知等差数列{a n }的通项公式为a n =n ，前n 项和为S n ，若不等式恒成立，则M 的最小值为______．16. 在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =1，且（bc -2）cos A +ac cos B =1-b 2，则△ABC 面积的最大值为______．17. 已知函数y =（e m ）x 的图象与函数y =x 3的图象在（0，27]内有两个公共点，则m 的取值范围是______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，C=2B．（1）求证：b cos A=（2b-a）cos B；（2）若b=5，c=6，求△ABC的面积．19.已知正项数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b1=1，b n+1-b n=a n+1，求数列的前n项和T n．20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB∥DC，∠ABC=90°，BC=CD=AB，平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：PD⊥BD；（2）若AD=PD，∠PDA=120°，且S△PAB=，求四棱锥P-ABCD的体积．21.已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，若圆x2+y2=a2被直线x-y-=0截得的弦长为2（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）已知点A、B为动直线y=k（x-1），k≠0与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在定点M，使得•为定值？若存在，试求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由．22.已知函数f（x）=e kx（k-x）（k≠0）．（1）当k=2时，求y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）对任意x∈R，f（x）≤恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵集合A={1，2，3}，B={x|-1＜x＜3，x∈}={0，1，2}，∴A∩B={1，2}．故选：B．2.【答案】C【解析】解：依题意，==1-i，所以z的虚部为-1．故选：C．分子分母同乘以分母的共轭复数-1-i，将z化成代数形式，即可得到虚部．本题考查了复数的代数形式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由三视图可知原几何体为三棱锥，其中底面△ABC为俯视图中的钝角三角形，∠BCA为钝角，其中BC=2，BC边上的高为2，PC⊥底面ABC，且PC=2，由以上条件可知，∠PCA为直角，最长的棱为PA或AB，在直角三角形PAC中，由勾股定理得，PA===2，又在钝角三角形ABC中，AB==．故选：C．本题只要画出原几何体，理清位置及数量关系，由勾股定理可得答案．本题为几何体的还原，与垂直关系的确定，属基础题．4.【答案】B【解析】解：由题意，S表示从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由于12×11=132，故此循环体需要执行两次所以每次执行后i的值依次为11，10由于i的值为10时，就应该退出循环，再考察四个选项，B符合题意故选：B．由框图可以得出，循环体中的运算是每执行一次s就变成了s乘以i，i的值变为i-2，故S的值是从12开始的逐渐减小的若干个整数的乘积，由此规律解题计算出循环体执行几次，再求出退出循环的条件，对比四个选项得出正确答案．本题考查循环结构，解答本题，关键是根据框图得出算法，计算出循环次数，再由i的变化规律得出退出循环的条件．本题是框图考查常见的形式，较多见，题后作好总结．5.【答案】B【解析】解：由，得a=log0.30.2∈（1，），则2a∈（2，3），（）b=log0.30.2∈（1，2），∴1＜2-b＜2，得0＜-b＜1，则2＜2a-b＜4，故选：B．根据对数和指数幂的运算性质先求出a，b的大体范围，结合不等式的性质进行判断即可．本题主要考查不等式的判断，结合指数函数，对数函数的性质对a，b进行估算是解决本题的关键．6.【答案】B【解析】解：不等式组等价为，作出不等式组对应的平面区域如图：设z=•，∵A（-1，1），M（x，y），∴z=•=x-y，即y=x-z，平移直线y=x-z，由图象可知当y=x-z，经过点D（0，2）时，直线截距最大，此时z最小为z=0-2=-2．当直线y=x-z，经过点B（1，1）时，直线截距最小，此时z最大为z=1-1=0．故-2≤z＜0，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，设z=•，求出z的表达式，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，根据向量数量积的坐标公式求出z的表达式，利用数形结合是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了排列组合，以及两个基本原理的应用，属于中档题．所标数字互不相邻的方法有10种，这3种颜色互不相同有A33种，根据分步计数原理，颜色互不相同且所标数字互不相邻的有10×A33种．【解答】解：所标数字互不相邻的方法有：135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种方法．这3种颜色互不相同有A33=3×2×1=6种，∴这3种颜色互不相同且所标数字互不相邻的有10×6=60种．故选D．8.【答案】D【解析】【分析】本题考查棱锥的内切球半径的求法，注意合理地进行等价转化，是中档题．由已知求得正三棱锥的底面边长及斜高，再由等体积法求得半径，代入球的表面积公式得答案．【解答】解：过顶点S作SO⊥平面ABC，则SO=，设正三棱锥S-ABC的底面边长为a，则底面积为，即a=2．连接AO并延长，交BC于D，连接SD，则SD为斜高，∴SD==．设正三棱锥S-ABC的内切球的半径为r，则，解得r=．∴内切球的表面积S=4πr2=．故选D.9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了椭圆的对于标准方程及其性质、余弦定理、不等式的解法、等腰三角形，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，可得|PF1|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得：|PF2|=2a-2c．设∠PF1F2=θ，根据60°＜∠PF1F2＜120°，可得cosθ取值范围．在△PF1F2中，由余弦定理即可得出．【解答】解：△PF1F2是以F2P为底边的等腰三角形，∴|PF1|=|F1F2|=2c，由椭圆的定义可得：|PF2|=2a-2c．设∠PF1F2=θ，∵60°＜∠PF1F2＜120°，∴cosθ∈．在△PF1F2中，由余弦定理可得：cosθ==∈．解得e∈．故选B．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于中档题.令g（x）=，结合已知及函数的导数可确定g（x）在R上单调性，即可判断．【解答】解：令g（x）=，∵f'（x）＞f（x），则＞0，∵f（1）=e，则g（1）=1，∴g（x）在R上单调递增，∴g（0）＜g（1）即f（0）＜=1，故选A．11.【答案】6【解析】解：原式=lg（25×22）+=2+4=6．故答案为：6．利用指数与对数运算性质即可得出．本题考查了指数与对数运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12.【答案】12【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=-x+5y得y=x+，平移直线y=x+，由图象知当直线y=x+，经过A点时，直线截距最小此时z最小，由得，得A（3，3），则z的最小值为-3+5×3=12，故答案为：12．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用直线平移法进行求解即可．本题主要考查线性规划的应用，作出不等式组对应的平面区域利用目标函数的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．13.【答案】【解析】解：∵sinα-3cosα=0，∴sinα=3cosα，∵sin2α+cos2α=1，∴cos2α=，sin2α=，可得：sinαcosα===，∴=-sin2α=-2sinαcosα=-2×=-．故答案为：-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2α=，sin2α=，可得sinαcosα==，利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．14.【答案】（-3，-2）【解析】解：根据题意，函数f（x）=x2，若函数g（x）=f2（x）+mf（x）+m+3有四个零点，则二次函数y=x2+mx+m+3有2个零点，且这两个两点均为正实数，即二次方程x2+mx+m+3=0必有2个不等正实数根，必有，解可得：-3＜m＜-2，即m的取值范围是（-3，-2）；故答案为：（-3，-2）．根据题意，分析可得二次函数y=x2+mx+m+3有2个零点，且这两个两点均为正实数，结合二次函数的性质分析可得，解可得m的取值范围，即可得答案．本题考查函数零点的判断，涉及方程的根与函数零点的关系，注意结合二次函数的性质分析．15.【答案】【解析】解：等差数列{a n}的通项公式为a n=n，前n项和为S n=n（n+1），不等式，即为（n+2）（n+1）≤M（n+32）（n+2）2，即为M≥=，由n+1=t（t≥2，t为自然数），可得t+≥2，当且仅当t=∈（5，6），当t=5时，t+=；当t=6时，t+=＜，可得t+的最小值为，则的最大值为，即有M≥，可得M的最小值为，故答案为：．运用等差数列的通项公式和求和公式，不等式化为M≥=，再由基本不等式和等号成立的条件，计算可得所求最小值．本题考查等差数列的求和公式和通项公式，考查不等式恒成立问题解法，注意运用基本不等式和等号成立条件，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：∵a=1，且（bc-2）cos A+ac cos B=1-b2，∴（bc-2）•+ac•=1-b2，即-+=1-b2，即-+c2=1-b2，即-+c2+b2-1=0，-+c2+b2-a2=0，即（c2+b2-a2）（1-）=0，∵△ABC是锐角三角形形，∴cos A=＞0，即c2+b2-a2＞0，则1-=0，即bc=1，由余弦定理得a2=b2+c2-2bc cos A≥2bc-2bc cos A，即1≥2-2cos A，得2cos A≥1，得cos A≥，即0°＜a≤60°，则三角形的面积S=bc sin A≤×=，即三角形面积的最大值为，故答案为：根据余弦定理，结合三角形的面积公式以及基本不等式的性质进行转化求解即可．本题主要考查解三角形的应用，结合余弦定理，三角形的面积公式以及基本不等式的性质是解决本题的关键．17.【答案】【解析】解：由题意得，（e m）x=x3，两边取自然对数，解得；x在（0，27]内m′==0解得x=e，故当x=e时m取得最大値m=，当x=27时m取得最小値m=．故m的取值范围是[，）．故答案为：[，）．由（e m）x=x3求得m，求导判断单调性，通过x的取值范围，解得m的取值范围．本题考查了函数与方程的综合运用，属于难题．18.【答案】解（1）证明在△ABC中，C=π-A-B，C=2B，所以π-A-B=2B，sin（π-A-B）=sin 2B，sin A cos B+cos A sin B=2sin B cos B，由正弦定理=，得a cos B+b cos A=2b cos B，即b cos A=（2b-a）cos B．（2）解由正弦定理=，得=，所以cos B=，由余弦定理b2=a2+c2-2ac cos B，得25=a2+36-a，即5a2-36a+55=0，所以a=5或a=．当a=5时，又b=5，所以A=B，又C=2B，A+B+C=π，所以A=B=，C=，明显不符合题意，所以a=，又sin B==，所以△ABC的面积S=ac sin B=××6×=．【解析】（1）利用正弦定理角化边可证；（2）利用正余弦定理和面积公式可得．本题考查了余弦定理，属中档题．19.【答案】解：（1）因为a1=1，且，所以，所以t=5．（2分）所以…①，当n≥2时，有…②，①、②两式作差得，（3分）所以（a n+a n-1）（a n-a n-1-3）=0，因为a n＞0，所以a n-a n-1=3，又因为a1=1，所以a n=3n-2．（6分）（2）因为b n+1-b n=a n+1，b1=1，所以b n-b n-1=a n，（n≥2，n∈N*），所以当n≥2时，b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，=a n+a n-1+…+a2+b1=．（8分）又b1=1也适合上式，所以．（9分）所以==，（10分）所以T n==，=．（12分）【解析】（1）由a1=1，且，可得，解得t=5．可得，当n≥2时，利用a n=S n-S n-1可得：（a n+a n-1）•（a n-a n-1-3）=0，由a n＞0，可得a n-a n-1=3，再利用等差数列的通项公式即可得出．（2）由b n+1-b n=a n+1，b1=1，可得b n-b n-1=a n，（n≥2，n∈N*），当n≥2时，b n=（b n-b n-1）+（b n-1-b n-2）+…+（b2-b1）+b1，利用累加求和、裂项求和方法与等差数列的求和公式即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、累加求和与裂项求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20.【答案】证明：（1）如图，在直角梯形ABCD中，取AB的中点M，连接DM，由条件知四边形BCDM为正方形，∴DM=AM=BM，∴BD⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴BD⊥平面PAD．∵PD⊂平面PAD，∴PD⊥BD．解：（2）过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵平面PAD⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，平面PAD∩平面ABCD=AD，∴PE⊥平面ABCD．设BC=CD=a，则AB=2a，AD=PD=BD=a，∴PB==2a．∵∠PDA=120°，∴PE=a，PA=2PD sin 60°=a，∴S△PAB=PA•=a2=，∴a=1，∴V P-ABCD=PE•S梯形ABCD=×××（1+2）×1=．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．（1）取AB的中点M，连接DM，推出DM=AM=BM，BD⊥AD．BD⊥平面PAD．由此能证明PD⊥BD．（2）过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，则PE⊥平面ABCD．设BC=CD=a，则AB=2a，AD=PD=BD=a，从而PB==2a．PE=a，PA=2PD sin 60°=a，从而V P-ABCD=PE•S梯形ABCD．21.【答案】解：（I）圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x-y-=0的距离d==1，∴2=2，解得a2=2，又=，a2=b2+c2，联立解得：a2=2，c=1=b．∴椭圆C的标准方程为：+y2=1．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，化为：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，则x1+x2=，x1•x2=．•=（x1-m，y1）•（x2-m，y2）=（x1-m）（x2-m）+y1y2=（x1-m）（x2-m）+k2（x1-1）（x2-1）=（1+k2）x1•x2-（m+k2）（x1+x2）+m2+k2=（1+k2）•-（m+k2）+m2+k2=，令2m2-4m+1=2（m2-2），解得m=．因此在x轴上存在定点M（，0），使得•为定值．【解析】（I）求出圆x2+y2=a2的圆心（0，0）到直线x-y-=0的距离d，利用2=2，解得a2，又=，a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）假设在x轴上存在定点M（m，0），使得•为定值．设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（1+2k2）x2-4k2x+2k2-2=0，利用根与系数的关系及其数量积运算性质可得•=，令2m2-4m+1=2（m2-2），解得m即可得出．本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量数量积运算性质、定值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.【答案】解（1）当k=2时，f（x）=e2x（2-x）．∵f′（x）=2e2x（2-x）-e2x=e2x（3-2x），∴f′（1）=e2，又∵f（1）=e2，∴所求的切线方程为y-e2=e2（x-1）．即y=e2x．（2）∵e kx（k-x）≤，∴当x=k时，0≤，即k＞0，∴对任意x∈R，k（k-x）≤e-kx恒成立，设g（x）=e-kx+kx-k2，g′（x）=-ke-kx+k=k（1-e-kx），当x＜0时，g′（x）＜0，当x＞0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（-∞，0）上是减函数，在（0，+∞）上是增函数，∴g（x）min=g（0）=1-k2≥0，又k＞0，∴0＜k≤1．综上所述，实数k的取值范围是（0，1]．【解析】（1）利用导数求得切线斜率，即可得到切线方程；（2）首先可得k＞0，再设g（x）=e-kx+kx-k2，利用导数求解．本题考查了导数的几何意义，函数的单调性，属于中档题．。
2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷(5月份) (含答案解析)
2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷(5月份)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知a 为实数，若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 为纯虚数，则复数a −ai 在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 如图，设P 为△ABC 内一点，且AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为( )A. 15B. 25C. 14D. 133. 已知sin(π6−α)=cos(π6+α)，则tanα=( )A. −1B. 0C. 12D. 14. 已知z 1=(m 2+m +2)+(m 2+m −5)i ，m ∈R ，z 2=4−3i ，则“m =1”是“z 1=z 2”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 设a ⃗ 、b ⃗ 都是非零向量，下列四个条件中，使a⃗ |a ⃗ |=b⃗ |b⃗ |成立的充要条件是( ) A. a ⃗ =−b ⃗ B. a ⃗ //b ⃗ 且方向相同 C. a ⃗ =2b ⃗D. a ⃗ //b ⃗ 且|a ⃗ |=|b ⃗ |6. 在△ABC 中，已知sin 2B −sin 2C −sin 2A =√3sin Asin C ，则角B 的大小为( )A. 150°B. 30°C. 120°D. 60°7. 已知A(1,0)，B(3,2)，向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −22B. 22C. 6D. −68. 函数y =sinx 1−x的部分图象大致为( )A.B.C.D.9. 边长为2的正方形ABCD ，M,N 分别为边BC 和边CD 的中点，则AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. √3B. √5C. 4D. 510. 若α,β为锐角，且满足，则的值为( )A. −1665B. 3365C. 5665D. 636511. 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. −3B. 2C. 3D. 412. 在中，点D 满足BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，点E 是线段AD 上的一个动点(不含端点)， 若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+1μ= ( )A. 12B. 13C. 1D. 2二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设复数z 1=2+2i ，z 2=2−2i ，则z1z 2= ______ ．14. 在△ABC 中，E 为边AC 上一点，且AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 为BE 上一点，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC⃗⃗⃗⃗⃗ (m >0,n >0)，则m+n+mnmn 的最小值为______ ．15. 计算：cos2°sin47∘+cos88°sin133∘= ______ ．16. 一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60∘方向，另一灯塔在船的南偏西75∘方向，则这只船的速度是每小时__________.三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数z满足|z|−i=z+2+3i(其中i为虚数单位)．(1)求z；(2)若a+2i为纯虚数，求实数a的值．z18.已知α是第二象限角，且．(1)求的值；(2)求的值．19.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=4，b=2，cos2A−3cos(B+C)−1=0．(I)求sinB的值；(II)设▵ABC的面积．20.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量p⃗=(bcosC+ccosB,1)，q⃗=(3,−5asinA)，且p⃗⋅q⃗=0．(Ⅰ)求sin A的值；(Ⅱ)若b=2，△ABC的面积为3，求a的值．21.已知等式：sin25°+cos235°+sin5°cos35°=34；sin215°+cos245°+sin15°cos45°=34；sin230°+cos260°+sin30°cos60°=34；由此可归纳出对任意角度θ都成立的一个等式，并予以证明．22.如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，过点A的切线与CB的延长线交于点P，且PA=8√2，PB=8．(1)若∠APB=45°求∠D的大小；(2)若⊙O的半径为5，求圆心O到直线BC的距离．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：本题考查复数的定义，考查纯虚数的概念以及复数的几何意义，属于基础题，由纯虚数的定义得到，{a 2−3a −4=0,a −4≠0,，从而解得a =−1，得到复数对应的坐标为(−1,1)，得到象限． 解：若复数z =(a 2−3a −4)+(a −4)i 是纯虚数， 则{a 2−3a −4=0,a −4≠0, 得{a =4或a =−1,a ≠4, 得a =−1，则复数a −ai =−1+i 对应的坐标为(−1,1)，位于第二象限， 故选B ．2.答案：A解析：解：设∠CAB =α，所以C 到AB 的距离为：|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα； 因为AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 到AB 的距离为：15|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα； 所以△ABC 的面积与△ABP 的面积之比为：12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅ |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | ⋅15|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |sinα=5．即△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为：15． 故选A ．设出∠CAB ，求出C 到AB 的距离，P 到AB 的距离，即可得到△ABP 的面积与△ABC 的面积之比． 本题是中档题，考查向量的几何中的应用，考查计算能力，转化思想．3.答案：A解析：解：∵sin(π6−α)=cos(π6+α)， ∴12cosα−√32sinα=√32cosα−12sinα，∴1−√32cosα=√3−12sinα，∴tanα=sinαcosα=1−√32√3−12=−1．故选：A．利用两角和与差的正弦函数，余弦函数公式，特殊角的三角函数值化简已知可得1−√32cosα=√3−12sinα，利用同角三角函数基本关系式即可计算求值tanα．本题主要考查了两角和与差的正弦函数，余弦函数公式，特殊角的三角函数值，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4.答案：A解析：本题主要考查复数相等的条件及充分条件、必要条件的判断，属于基础题．复数z1=(m2+m+2)+(m2+m−5)i，m∈R，z2=4−3i相等，推出m的值．然后判断即可．解：由z1=z2，得{m 2+m+2=4m2+m−5=−3，解得m=1或m=−2，所以“m=1”是“z1=z2”的充分不必要条件.故选A．5.答案：B解析：本题考查了向量共线定理、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．非零向量a⃗、b⃗ 使a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立⇔a⃗=|a⃗ ||b⃗|b⃗ ，利用向量共线定理即可判断出．解：若非零向量a⃗、b⃗ 使a⃗|a⃗ |=b⃗|b⃗|成立⇔a⃗=|a⃗ ||b⃗|b⃗ ⇔a⃗与b⃗ 共线且方向相同，故选：B．6.答案：A解析：本题考查解三角形的正弦定理和余弦定理的应用，先根据正弦定理将角化为边，再由余弦定理计算cos B可得结果．解：因为sin2B−sin2C−sin2A=√3sinAsinC，所以b 2−c 2−a 2=√3ac ，即−√32=a 2+c 2−b 22ac=cosB ，所以B =150°． 故选A ．7.答案：A解析：本题考查的是平面向量的坐标表示和向量的数量积，属于基础题．求出C(−2,−4)，知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,−6)，再利用向量数量积的运算可得答案． 解：A(1,0)，B(3,2)，向量AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−4)，则C(−2,−4)， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−5,−6)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2×(−5)+2×(−6)=−22． 故选A ．8.答案：B解析：本题考查函数的图象的判断，函数的奇偶性以及特殊点的位置是判断函数的图象的常用方法． 利用函数的奇偶性排除选项，利用特殊点的位置排除选项即可． 解：因为函数y =sinx1−x是非奇非偶函数，排除选项D ，当x ∈(1,π)时，函数y =sinx 1−x<0，x ∈(0,1)时，函数y =sinx 1−x>0，排除选项A ，C ，故选B ．9.答案：C解析：本题考查了向量的三角形法则以及向量的数量积运算，属于基础题． 解：边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为BC 和DC 的中点，∴AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+2+2+0=4； 故选C ．10.答案：B解析：本题考查同角三角函数的基本关系及两角和差的正弦公式，属于中档题．由条件利用同角三角函数的基本关系求得sinα、sin(α+β)的值，再利用两角差的正弦公式求得sinβ=sin[(α+β)−α]的值．解：∵α，β为锐角，且满足，，，则sinα=√1−cos 2α=35，sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=1213，∴sinβ=sin[(α+β)−α] =sin(α+β)cosα−cos(α+β)sinα=1213×45−513×35=3365．故选B ．11.答案：C解析：本题考查平面向量的数量积的运算，向量加减的坐标运算，考查计算能力，属基础题． 利用已知条件表示所求数量积的两个向量，然后利用数量积的运算法则求解即可． 在平行四边形ABCD 中，AB//CD ，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2),AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)， AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(4,−1)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−3)， 则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =4×0+(−1)(−3)=3． 故选：C ．12.答案：A解析：本题考查平面向量的基本定理及其应用，考查了向量的加法、减法、数乘运算，属于中档题． 通过利用向量的三角形法则，以及向量共线、向量减法，代入化简即可得出． 解：设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗=m(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗=m AB⃗⃗⃗⃗⃗ +m (23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(13m −1)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23m AC⃗⃗⃗⃗⃗ ， 由题意λ=13m −1, μ=23m ， ∴λ+1μ=13m 23m =12，故选A ．13.答案：i解析：解：因为复数z 1=2+2i ，z 2=2−2i ，所以z 1z 2=2+2i 2−2i =1+i 1−i =(1+i)(1+i)(1−i)(1+i)=2i 2=i ．故答案为：i ．把复数代入表达式，复数的分母、分子同乘分母的共轭复数，化简复数即可． 本题考查复数代数形式的混合运算，复数的分母实数化，是解题的关键，是基础题．14.答案：5+2√3解析：解：∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +n AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3n AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 又∵P 为BE 上一点，不妨设BP⃗⃗⃗⃗⃗ =λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ (0<λ<1)， ∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴m AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +3n AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λAE ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线， ∴{m =1−λ3n =λ，则m +3n =1−λ+λ=1，∴m +n +mn mn =m +n mn +1=1m +1n +1=(1m +1n)×(m +3n)+1=5+3n m +m n ≥5+2√3n m ⋅m n =5+2√3，(m >0,n >0)． 当且仅当3n m =m n 即m =√3n 时等号成立，即m+n+mn mn 的最小值为5+2√3，故答案为：5+2√3．根据平面向量基本定理求出m ，n 关系，利用基本不等式的性质进行求解即可．本题考查平面向量基本定理和基本不等式求最值，难点在于利用向量求m ，n 的关系和求m +3n =1．15.答案：√2解析：解：cos20sin470+cos880sin1330=cos2°sin47∘+sin2°sin47∘=cos2°+sin2°sin47∘=√2(√22cos2°+√22sin2°)sin47°=√2⋅sin(45°+2°)sin47°=√2， 故答案为：√2．由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式，求得所给式子的值．本题主要考查诱导公式、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．16.答案：10海里解析：如图，依题意有∠BAC =60∘，∠BAD =75∘，所以∠CAD =∠CDA =15∘，从而CD =CA =10，在RtΔABC 中，可得AB =5，于是这只船的速度是=10(海里/小时).17.答案：解：(1)设z =x +yi(x,y ∈R)，由于|z|−i =z +2+3i ，得√x 2+y 2−i =x −yi +2+3i ，∴√x 2+y 2−x −2+(y −4)i =0，∴{√x 2+y 2−x −2=0y −4=0, 解得：{x =3y =4, ∴z =3+4i ；(2)由(1)知a+2i z =a+2i 3+4i =(a+2i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=3a+8+(6−4a)i 25， 又a+2i z 为纯虚数，∴{3a +8=06−4a ≠0, 解得：a =−83．解析：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数相等的条件，是基础题．(1)设z=x+yi(x,y∈R)，代入|z|−i=z+2+3i，整理后利用复数相等的条件列式求得x，y值，则答案可求；(2)利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0列式求解．18.答案：解：(1)因为α是第二象限角，且，所以，所以；==−2+1−2−1=1．3解析：本题考查三角函数的化简求值，同角三角函数的基本关系式以及诱导公式，考查运算求解能力，属于基础题．(1)利用同角三角函数关系式以及角的范围求出结果．(2)利用诱导公式化简，然后代入求出结果．19.答案：解：(I)由正弦定理得，所以2sinB=sinA，由cos2A−3cos(B+C)−1=0，得2cos2A+3cosA−2=0，所以或cosA=−2(舍)，因为0<A<π，所以sinA =√32，sinB =√34; (II)因为b <a ，所以B 为锐角，所以cosB =√134， sinC =sin(A +B)=sinAcosB +cosAsinB =√3(√13+1)8， 所以S △ABC =12×4×2×√3(√13+1)8=√3(√13+1)2．解析：【试题解析】本题考查正弦定理及三角形面积公式，涉及两角和与差及二倍角公式，属于中档题目． (I)利用正弦定理及两角和与差的三角函数公式与二倍角公式得出关系式求出sin B 即可； (II)求出sin C ，利用三角形面积公式得出即可．20.答案：解：(Ⅰ)向量p⃗ =(bcosC +ccosB,1)，q ⃗ =(3,−5asinA)，且p ⃗ ⋅q ⃗ =0， 则3(bcosC +ccosB)−5asinA =0，∴3(sinBcosC +sinCcosB)−5sinAsinA =0，∴3sin(B +C)−5sin 2A =0，又△ABC 中，sin(B +C)=sin(π−A)=sinA ≠0，∴sinA =35； (Ⅱ)若b =2，且△ABC 的面积为3，∴12bcsinA =12×2×c ×35=3， 解得c =5，∴cosA =±√1−sin 2A =±45，∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =4+25−2×2×5cosA =29−20cosA ，当cosA =45时，a 2=13，a =√13；当cosA =−45时，a 2=45，a =3√5；综上，a 的值为√13或3√5．解析：(Ⅰ)根据平面向量的数量积运算与三角恒等变换求得sin A的值；(Ⅱ)根据△ABC的面积公式和余弦定理，即可求得a的值．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形面积公式和余弦定理的应用问题，是基础题．21.答案：解：根据各式的共同特点可得：等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数34，则具有一般规律的等式：sin2θ+cos2(θ+30°)+sinθcos(θ+30°)=34，证明：等式的左边=sin2θ+cos(θ+30°)[cos(θ+30°)+sinθ]=sin2θ+(√32cosθ−12sinθ)(√32cosθ−12sinθ+sinθ)=sin2θ+(34cos2θ−14sin2θ)=34cos2θ+34sin2θ=34=右边，∴等式成立．解析：根据所给的等式归纳：等式左边余弦均为正弦度数加30°，右边是常数，按照此规律写出一般性的结论，利用两角和的余弦公式等进行证明等式成立．本题考查了归纳推理，两角和的余弦公式等，归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．22.答案：解：(1)在△PAB中，有PA=8√2，PB=8，∠APB=45°．由余弦定理得：AB2=82+(8√2)2−2×8×8√2cos45°=64，解得AB=8．∴AB=PB，∠BAP=45°，∴∠ABP=Rt∠．所以△PAB为Rt△，即AB⊥PC．所以∠ABC=90°，又因为四边形ABCD是⊙O的内接四边形，所以∠D=90°．(2)连接OC，作OM⊥BC于M，由垂径定理可知：M为BC的中点，由切割线定理得：PA2=PB⋅PC，又PA=8√2，PB=8，所以PC=16，BC=8，MC=4．因为⊙O的半径为5，所以在Rt△OMT中有，OM=3，所求圆心O到直线BC的距离为3．解析：(1)利用余弦定理可得AB，可得∠ABC=90°，再利用圆的内接四边形的性质即可得出；(2)连接OC，作OM⊥BC于M，由垂径定理可知：M为BC的中点，利用切割线定理与勾股定理即可得出．本题考查了余弦定理、圆的内接四边形的性质、垂径定理、切割线定理与勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
浙江省杭州市高考数学仿真试卷(5月份)解析版
高考数学仿真试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合A={1，2，5}，B={2，4}，C={x∈R|-1≤x＜5}，则（A∪B）∩C=（）A. [1，2，4，6}B. {x∈R|-1≤x≤5}C. {2}D. {1，2，4}2.双曲线的焦点坐标是（）A. （-1，0），（1，0）B. ，C. ，D. （0，-1），（0，1）3.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A. B. C. 8 D. 44.设{a n}是公差为d的等差数列，S n为其前n项和，则“d＞0”是“{S n}为递增数列”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5.现有四个函数：①y=x|sin x|，②y=x cos|x|，③，④y=x ln|x|的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是（）A. ①④②③B. ①④③②C. ③②④①D. ③④②①A. B. C. 或 D. 或7.已知函数，若实数m∈（0，1），则函数g（x）=f（x）-m的零点个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 38.已知甲盒中有2个红球，1个黄球，乙盒中有1个红球，2个黄球．从甲乙两个盒中各取1球放入原来为空的丙盒中．现从甲、乙、丙三个盒子中分别取1个球，记红球的个数为X i（i=1，2，3）（甲、乙、丙三个盒子取出的分别对应i=1，2，3），则（）A. E（X1）＜E（X3）＜E（X2），D（X1）=D（X2）＞D（X3）B. E（X1）＞E（X3）＞E（X2），D（X1）=D（X2）＜D（X3）C. E（X1）＞E（X2）＞E（X3），D（X1）=D（X3）＜D（X2）D. E（X1）＜E（X2）＜E（X3），D（X1）=D（X3）＞D（X2）9.设，为单位向量，向量满足，则的最大值为（）A. 2B. 1C.D.10.如图，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=，Q为PA中点，下列说法中，正确说法的个数为（）（1）∠PBA+∠PCA+∠BPC=π；（2）记二面角P-BC-A，Q-BC-A的平面角分别为θ1，θ2，则θ1＞2θ2；（3）记△ABC，△QBC，△PBC的面积分别为S0，S1，S2，则S02+S22≤4S12；（4）cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC．A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.欧拉公式e ix=cos x+i sin x（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，对表示的复数z，则|z|=______．12.的展开式共有11项，则n的值为______，其中常数项为______．13.设x，y满足约束条件，则的最小值是______，最大值是______．14.在三角形ABC中，，，AC=5，AB=3．则sin A的值为______，BC的长为______．15.10次投篮中，投中5次，其中恰有1个2连中和1个3连中的情形有______种（用16.存在第一象限的点M（x0，y0）在椭圆=1（a＞b＞0）上，使得过点M且与椭圆在此点的切线=1垂直的直线经过点（，0）（c为椭圆半焦距），则椭圆离心率的取值范围是______．17.函数f（x）=x3-|ax2-b|-1在（0，2）上有2个零点，则的范围是______三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.设函数，且以为最小正周期．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）的对称轴方程及单调递增区间．19.如图，矩形ADFE和梯形ABCD所在平面互相垂直，AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，CD=1，BC=2．（1）求证：BE∥平面DCF；（2）当AE的长为何值时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．20.已知数列{a n}为等比数列，数列{b n}满足b n=log2a n，且a4=b5=1．设S n为数列{b n}的前n项和．（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式及S n；（2）若数列{c n}满足，求{c n}的前n项和T n．21.如图，过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于A、B两点，过AB中点M且与AB垂直的直线与x轴交于点N．（1）求的值；（2）若p=2，求的取值范围．22.已知．（1）若函数y=f（x）有三个零点，求实数a的取值范围；（2）若a=2，设，其中b≤2，c＞0f（x）=g（x）的两根为x1，x2（x1＜x2），求证：x2f（x1）-x1f（x2）＜0．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={1，2，5}，B={2，4}，C={x∈R|-1≤x＜5}，则A∪B={1，2，4，5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故选：D．根据并集与交集的定义，写出运算结果．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：双曲线，可得a=，b=2，则c=，所以双曲线的焦点坐标是：，．故选：B．直接利用双曲线方程求解双曲线的焦点坐标即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，焦点坐标的求法，是基本知识的考查．3.【答案】A【解析】解：由已知中的三视图可得该几何体的直观图如下图所示：该几何体是一个四棱锥A-CDEF和一个三棱锥组F-ABC成的组合体，四棱锥A-CDEF的底面面积为4，高为4，故体积为：，三棱锥组F-ABC的底面面积为2，高为2，故体积为：，故这个几何体的体积V=+=，故选：A．由已知中的三视图可得：该几何体是一个四棱锥和一个三棱锥组成的组合体，画出几何体的直观图，求出两个棱锥的体积，相加可得答案．根据三视图判断空间几何体的形状，进而求几何的表（侧/底）面积或体积，是高考必考内容，处理的关键是准确判断空间几何体的形状，一般规律是这样的：如果三视图均为三角形，则该几何体必为三棱锥；如果三视图中有两个三角形和一个多边形，则该几何体为N棱锥（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为矩形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个为梯形和一个多边形，则该几何体为N棱柱（N值由另外一个视图的边数确定）；如果三视图中有两个三角形和一个圆，则几何体为圆锥．如果三视图中有两个矩形和一个圆，则几何体为圆柱．如果三视图中有两个梯形和一个圆，则几何体为圆台．4.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合等差数列的前n项和公式是解决本题的关键，属于较易题.根据等差数列的前n项和公式以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由S n+1＞S n⇔（n+1）a1+d＞na1+ d⇔dn+a1＞0⇔d≥0且d+a1＞0．即数列{S n}为递增数列的充要条件是d≥0且d+a1＞0，则“d＞0”是“{S n}为递增数列”的既不充分也不必要条件.故选：D．5.【答案】C【解析】解：根据题意，依次分析四个函数的图象：①y=x|sin x|是奇函数，图象关于原点对称，当x＞0时，y≥0，对应第4个图象，②y=x cos|x|是奇函数，f（1）=cos1＞0，对应第2个图象，③＞≥0恒成立，对应第1个图象，④y=x ln|x|的定义域是{x|x≠0}，函数为奇函数，由y=x ln|x|=0，得ln|x|=0，得|x|=1，即x=±1，即函数只有两个零点，对应第3个图象，则按照图象从左到右的顺序对应的应该为③②④①；故选：C．根据题意，依次分析四个函数对应的图象，据此分析可得答案．本题考查函数图象的判定分析，注意分析函数的奇偶性．单调性以及值域，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：∵α为锐角，cosα=＜，∴sinα===，∵sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=（2cosβ+sinβ）=，且＜＜，∴2cosβ+sinβ=①，且＜α+β＜π，∴cos（α+β）=-=-，则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×+×=．故选：B．由α为锐角，根据cosα的值，求出sinα的值，利用两角和与差的正弦函数公式化简sin简，将各自的值代入计算即可求出值．此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．7.【答案】D【解析】解：画出函数f（x）=的图象，如图所示；由函数g（x）=f（x）-m=0，得出m=f（x）；又m∈（0，1），则y=m与y=f（x）由3个交点，所以函数g（x）有3个零点．故选：D．画出函数f（x）的图象，结合图象令g（x）=f（x）-m=0，得m=f（x）；看m∈（0，1）时，函数y=m与y=f（x）交点个数即可．本题主要考查了函数零点的判断问题，也考查了分段函数图象的画法与应用问题，是基础题．8.【答案】B【解析】解：依题意，X1的所有取值为0，1．其中P（X1=0）==，P（X1=1）=+=，所以随机变量X的分布列为：X1服从两点分布，所以E（X1）=，D（X1）==，同理，X2的所有取值为0，1．P（X2=1）==，P（X2=0）=×+=，所以随机变量X的分布列为：X2服从两点分布，所以E（X2）=，D（X2）==．X3的所以取值为0，1．P（X3=0）=（+）×+=，P（X3=1）=（）×+=，X3服从两点分布，所以E（X3）=，D（X3）==，所以：E（X1）＞E（X3）＞E（X2），D（X1）=D（X2）＜D（X3）．故选：B．根据题意分别列出X1，X2，X3的分布列，求出它们的期望与方差比较大小即可．本题考查了离散型随机变量的分布列，期望与方差的求法，考查运算能力和逻辑思维能力．属于中档题．9.【答案】A【解析】解：由|2+|=|•|得|-（-）|=|•|，说明的终点的轨迹是以-的终点为圆心，|•|为半径的圆，|-|的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|-（-）|+|•|，∵|+|+|•|=+|•|=+|•=+cos≤+=2，（当且精当cos，）=0时取等）．故选：A．由|2+|=|•|得|-（-）|=|•|，说明的终点的轨迹是以-的终点为圆心，|•|为半径的圆，|-|的最大值是圆心与的终点之间的距离加上半径，即为|-（-）|+|•|，再将其化成，的模和夹角可解得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属难题．10.【答案】B【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABC，根据最小角定理可得∠PBA＜∠PBC，∠PCA＜PCB，∴∠PBA+∠PCA+∠BPC＜∠PBC+∠PCB+∠BPC=π，故错；（2）如图1，过A作AM⊥BC于M，则θ1=∠PMA，θ2=∠QMA，过M作∠PMA的角平分线交PA于点E，则∴则θ1，＜2θ2故错；（3）如图1，S0=，S1=，S2=，∴，．∵，＞MA2+MP2，∴，故错误；cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC（4）过Q作QN⊥平面QBC，交PM于N，所以cos∠PBC＜cos∠NBC=cos∠NBQ•cos∠QBC＜cos∠PBC•cos∠PBQ，所以cos∠PBC＜cos∠PBQ•cos∠QBC．故选：B．利用直线与平面所成角以及二面角转化求解判断选项的正误；三角形的面积的求法判断选项的正误即可．本题考查直线与平面所成角以及二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11.【答案】1【解析】解：由题意，=cos+i sin=cos+i sin=，∴|z|=．故答案为：1．由题意结合三角函数的诱导公式化简z，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数模的求法，考查利用诱导公式求三角函数的值，是基础题．12.【答案】10【解析】解：∵的展开式共有n+1项，依题意得：n+1=11，∴n=10；设的展开式的通项为T r+1，则T r+1=••x3（10-r）-2r=••x30-5r，由30-5r=0得r=6，∴的展开式中的常数项为T7=•=．故答案为：10，．利用二项式的性质可求得n，利用其通项公式即可求得的展开式中的常数项．本题考查二项式定理的应用，着重考二项式的性质与通项公式，属于中档题．13.【答案】 2【解析】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=-x+y为y=x+z，由解得A（2，3）；由解得B（，）；由图可知，当直线y=x+z过A（2，3）时直线在y轴上的截距最大，z最大，为-×2+3=2．当直线y=x+z过B（，）时直线在y轴上的截距最小，z最小，为．z=-x+y的最小值，最大值：2，故答案为：-；2．由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.【答案】【解析】解：三角形ABC中，，，∴A+∈（0，），cos（A+）==，∴sin A=sin（A+-）=sin（A+）cos-cos（A+）sin=-=，∴cos A==．∵AC=5，AB=3，∴BC===，故答案为：；．由题意利用同角三角函数的基本关系求得cos（A+）的值，再利用两角和差的三角公式求得sin A=sin（A+-）的值，再利用余弦定理求得BC的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的三角公式、余弦定理的应用，属于基础题．15.【答案】30【解析】解：将恰有1个2连中和1个3连中的分别看作2个复合元素，插入到没有投中所排列后所成6个空中，故有A62=30，故答案为：30．利抽空法，将恰有1个2连中和1个3连中的分别看作2个复合元素，插入到没有投中所排列后所成6个空中，问题得以解决．本题考查排列数的应用，解题时要注意插空法的合理运用．16.【答案】（，1）【解析】解：∵过点M且与椭圆在此点的切线=1垂直的直线经过点（，0），∴-=-1⇒⇒x0=，∵点M（x0，y0）在第一象限，∴0＜x0＜a．∴，∴a＜2c，e=．故答案为：（可得=-1⇒⇒x0=，由点M（x0，y0）在第一象限即可求解．本题考查了椭圆的性质，属于中档题．17.【答案】[1，4）【解析】解：设t=x2，t∈（0，4），则问题可转化为在（0，2）上有2个零点，由题意，函数与函数有两个交点，只需考虑函数的零点在每一个变化值，是否存在对应的a，使得两函数图象有两个交点，由图象可知，当或时，显然不存在a使得两个函数有两个交点；当时，显然存在a使得两个函数有两个交点；故答案为：[1，4）．设t=x2，t∈（0，4），则问题可转化为，由题意，函数与函数有两个交点，而绝对值函数的零点恰为，且其图象关于对称，故只需函数的零点在任意一个变化值，存在对应的a使得两函数图象有两个交点即可．本题考查由函数零点个数求参数的取值范围，考查函数图象的运用，培养了学生“化曲为直”的解题思想，锻炼了学生的数形结合能力，本题是难题．18.【答案】解：（1）由于函数，且以为最小正周期，∴=，∴ω=3，f（x）=3sin（3x+）．（2）令3x+=kπ+，求得x=+，故函数的图象的对称轴方程为x=+，k∈Z．令2kπ-≤3x+≤2kπ+，求得-≤x≤+，可得函数的增区间为[-，+]，k∈Z．【解析】（1）由题意利用正弦函数的周期性，求得ω的值，可得函数的解析式．（2）由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得它的对称轴方程；再利用正弦函数单调性求得它的单调递增区间．本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数单调性以及它的图象的对称性，属于基础题．19.【答案】解：（1）由已知可得⇒面ABE∥面DEC，∵BE⊂面ABE，∴BE∥平面DCF；（2）如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，∵AB∥CD，∠ABC=∠ADB=90°，则△ADB∽△BCD，⇒∴CD=1，BC=2．BD=，∴，AB=5．则D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，，0），C（-，，0），E（2，0，m）．，，设面BCE的法向量为，⇒=（2，-1，-）∵直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．∴||=，⇒m=．∴AE的长为时，直线AD与平面BCE所成角的大小为45°．【解析】（1）由已知可得面ABE∥面DEC，由面面平行的性质可得BE∥平面DCF；（2）以D为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解．本题考查了空间线面平行，线面角，属于中档题．20.【答案】解：（1）数列{a n}为公比为q的等比数列，数列{b n}满足b n=log2a n，且a4=b5=1．可得a5=2，q==2，a n=a4q n-4=2n-4；b n=log2a n=log22n-4=n-4；（2）S n=n（-3+n-4）=n（n-7），=|n-7|•2n-5，n≤7时，T n=++…+（7-n）•2n-5，2T n=++…+（7-n）•2n-4，相减可得-T n=--…-2n-5-（7-n）•2n-4=--（7-n）•2n-4，化简可得T n=（8-n）•2n-4-；n≥8，前n项和T n=+++++2+0+1•23+2•24+…+（n-7）•2n-5=+1•23+2•24+…+（n-7）•2n-5，2T n=15+1•24+2•25+…+（n-7）•2n-4，相减可得-T n=+24+…+2n-5-（n-7）•2n-4=+-（n-7）•2n-4，化简可得T n=+（n-8）•2n-4，则T n=．【解析】（1）数列{a n}为公比为q的等比数列，运用等比数列的通项公式和对数的运算性质，可得所求；（2）讨论n≤7，n≥8，结合错位相减法求和，以及等比数列的求和公式，化简可得所求和．本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：（1）设直线AB的方程为：x=my+．设A（x1，y1），B（x2，y2），⇒y2-2pmy-p2=0，，x1+x2=2pm2+p，x1x2=，∴|AB|=x1+x2+p=2pm2+2p又M（，pm）直线MN方程：y-pm=-m（x-）令y=0，则x=即N（，0）∴|FN|==pm2+p∴的值为；（2）p=2时，N（2m2+3，0），=（x1-2m2-3）（x2-2m2-3）+y1y2=x1x2-（2m2+3）（x1+x2）+（2m2+3）2+y1y2=-4m4-4m2∵m≠0，令t=m2＞0-4m4-4m2=-4（t2+t）＜0∴的取值范围为（-∞，0）．【解析】（1）设直线AB的方程为：x=my+．A（x1，y1），B（x2，y2），求得|AB|=x1+x2+p=2pm2+2p，直线MN方程：y-pm=-m（x-），令y=0，则x=，可得|FN|==pm2+p，即可求解．（2）=（x1-2m2-3）（x2-2m2-3）+y1y2=x1x2-（2m2+3）（x1+x2）+（2m2+3）2+y1y2=-4m4-4m2即可求解．本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．22.【答案】解：（1），当a≥-2时，f′（x）≥0，则函数f（x）单调，不可能有三个零点；当a＜-2时，，设f′（x）=0的两个根为m，n（m＜0＜n），则f（x）在（-1，m），（n，+∞）上单调递增，在（m，n）上单调递减，且f（0）=0，则f（m）＞0＞f（n），，因此根据零点存在性定理可知，函数f（x）有三个零点，即实数a的取值范围为（-∞，-2）；（2）证明：设h（x）=-f（-x），构造F（x）=h（x）-f（x）=-f（-x）-f（x）=-x2-ln（1-x2）≥-x2+x2=0，，则，∴函数G（x）单调递减，∴G（x3）=g（x3）-f（x3）=h（x3）-f（x3）＞0=G（x2），∴x3＜x2，单调递减，∴，∴x2f（x1）-x1f（x2）＜0．【解析】（1）分a≥-2及a＜-2时，验证即可；（2）解题的关键是构造函数，并结合数形结合得证．本题考查导数的综合运用，同时也涉及了零点存在性定理等基础知识点，考查推理论证能力及数形结合思想的运用，属于难题．。
杭州外国语学校高三(文)数学月考试卷(5月).docx
（第3题图）高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作杭州外国语学校2014学年高三（文）数学月考试卷（5月）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 已知角α的终边经过点(4,-3)，则cos α等于( A ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－452.已知函数()y f x x =+是偶函数，且(2)1f =，则(2)f -=（ D ） A. 1- B. 1 C. 5- D. 53.若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是（ A ）A ．2B ．32C ．3D ．52 4. 已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( C ) A ．重心、外心、垂心B ．重心、外心、内心 C ．外心、重心、垂心D ．外心、重心、内心5.已知实数,x y 满足140x x y ax by c ≥⎧⎪+≤⎨⎪++≤⎩，且目标函数2z x y =+的最大值为6，最小值为1，其中0,cb b≠则的值为 （ A ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．16.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则||||PA PB ⋅的最大值为 （ B ）A ．4B ．5C ．234D ．67. 已知P 点是以F 1，F 2为焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1上的一点，且PF 1→·PF 2→＝0，tan ∠PF 1F 2＝2，则此双曲线的离心率等于( A )A.5 B ．5 C ．25 D ．38．已知函数f (x )＝x (1＋a |x |)．设关于x 的不等式f (x ＋a )<f (x )的解集为A .若⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，则实数a 的取值范围是( A )A.⎝⎛⎭⎪⎫1－52，0 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋32 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 解析∵⎣⎡⎦⎤－12，12⊆A ，∴f (a )<f (0)，∴a (1＋a |a |)<0，解得－1<a <0，可排除C. ∵f ⎝⎛⎭⎫－12＋a <f ⎝⎛⎭⎫－12，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎝⎛⎭⎫1＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－12⎝⎛⎭⎫1＋a 2，∴a ⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a <－54a . ∵－1<a <0，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a ⎪⎪⎪⎪－12＋a >－54，∴－⎝⎛⎭⎫－12＋a 2>－54，∴⎝⎛⎭⎫－12＋a 2<54， ∴1－52<a <0.排除B ，D.应选A.二、填空题：9.已知全集为R ，集合{}{}221,680xA xB x x x =≥=-+≤，则[0,2)(4,)R A C B =⋃+∞.()(,2)(4,)R C A B =-∞⋃+∞..10.如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1, P 为BC 的中点,Q 为线段1CC 上的动点,过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S . 则当1(0,]{1}2CQ ∈⋃.时,S 为四边形;当CQ =12时S 为等腰梯形; 当1CQ =时, S 的面积为62..11.已知等差数列{}n a 中，21920,28a a a =-+=-.数列{}n b 满足 2log n n a b =，则224n a n =-，若设12n n T b b b =，且1n T =，则n 的值是 23 .12. 将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则函数的最大值是 2 ，m 的最小值6π. 13. .已知圆C ：x 2＋y 2＋bx ＋ay －3＝0 (a ，b 为正实数)上任意一点关于直线l ：x ＋y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则1a ＋3b 的最小值为 312+ .14. 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为32.双曲线x 2－y 2＝1的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为221205x y += 15. 设,a b R ∈，函数2()(1)f x ax b x =++．若对任意实数b ，函数()()2g x f x x =--有两不同的零点，求实数a 的取值范围 (0,1) .三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）16. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，已知c ＝2，C ＝π3.(1)若△ABC 的面积等于3，求a ，b ；(2)若sin C ＋sin(B －A )＝2sin2A ，求△ABC 的面积．解 (1)由余弦定理及已知条件得，a 2＋b 2－ab ＝4，又△ABC 的面积等于3，所以12ab sin C ＝3，得ab ＝4，联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，ab ＝4，解得a ＝2，b ＝2.(2)由题意得sin(B ＋A )＋sin(B －A )＝4sin A cos A ，即sin B cos A ＝2sin A cos A .当cos A ＝0时，A ＝π2，B ＝π6，a ＝433，b ＝233，则△ABC 的面积S ＝12bc ＝233；当cos A ≠0时，得sin B ＝2sin A ，由正弦定理得b ＝2a ，联立方程⎩⎨⎧a 2＋b 2－ab ＝4，b ＝2a ，解得a ＝233，b ＝433.则△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝233，综上，△ABC 的面积为23317. 设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1＝1，设数列{b n }满足b n ＝a n ＋2n .(1)求证数列{b n }为等比数列，并求出数列{a n }的通项公式；(2)若数列c n ＝6n －3b n，T n 是数列{c n }的前n 项和，证明T n <3.(1)解 当n ≥2时，由⎩⎨⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋12S n －1＝a n －2n＋1⇒2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，所以a n ＋1＝3a n ＋2n ， 从而b n ＋1＝a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n )＝3b n ，故{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列， b n ＝a n ＋2n ＝3×3n －1＝3n ，a n ＝3n －2n (n ≥2)，因为a 1＝1也满足，于是a n ＝3n －2n .(2)证明 c n ＝6n －3b n ＝2n －13n －1，则T n ＝130＋331＋532＋…＋2n －33n －2＋2n －13n －1，①13T n ＝131＋332＋533＋…＋2n －33n －1＋2n －13n ，② ①－②得，23T n ＝130＋231＋232＋…＋23n －1－2n －13n ＝1＋23·1－13n －11－13－2n －13n ＝2－13n －1－2n －13n ＝2－2(n ＋1)3n ，故T n ＝3－n ＋13n －1<3.18. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，PD ⊥底面ABCD ，点E 在棱PB 上．(1)求证：平面AEC ⊥平面PDB ；(2)当PD ＝2AB ，且E 为PB 的中点时，求AE 与平面PDB 所成的角的大小．(1)证明 ∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD . ∵PD ⊥底面ABCD ， ∴PD ⊥AC . 又PD ∩BD ＝D ，∴AC ⊥平面PDB . 又AC ⊂平面AEC ，∴平面AEC ⊥平面PDB . (2)解 设AC ∩BD ＝O ，连接OE .由(1)知，AC ⊥平面PDB 于点O ，∴∠AEO 为AE 与平面PDB 所成的角．∵点O 、E 分别为DB 、PB 的中点，∴OE ∥PD ，且OE ＝12PD ，又∵PD ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥底面ABCD ，∴OE ⊥AO .在Rt △AOE 中，OE ＝12PD ＝22AB ＝AO ，∴∠AEO ＝45°.即AE 与平面PDB 所成的角为45°.19. 在直角坐标系xOy 中，点M (2，－12)，若F 为抛物线C ：y ＝mx 2(m >0)的焦点，线段MF恰被抛物线C 平分． (1)求m 的值；(2)过点M 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点，设直线F A 、FM 、FB 的斜率分别为k 1、k 2、k 3，问k 1、k 2、k 3能否成公差不为零的等差数列？若能，求直线l 的方程；若不能，请说明理由．解 (1)由题意得抛物线C 的焦点F 的坐标为(0，14m )，线段MF 的中点N (1，18m －14)在抛物线C 上，∴18m －14＝m,8m 2＋2m －1＝0，∴m ＝14(m ＝－12舍)． (2)由(1)知抛物线C ：x 2＝4y ，F (0,1)．设l 的方程为y ＋12＝k (x －2)，A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)，则由⎩⎨⎧y ＋12＝k (x －2)x 2＝4y，得x 2－4kx ＋8k ＋2＝0，又Δ＝16k 2－4(8k ＋2)>0，∴k <2－62或k >2＋62.⎩⎨⎧x 1＋x 2＝4k x 1x 2＝8k ＋2， 假设k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，则k 1＋k 3＝2k 2.而k 1＋k 3＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝x 2y 1＋x 1y 2－x 2－x 1x 1x 2＝x 221x 4＋x 122x 4－x 2－x 1x 1x 2＝(x 1x 24－1)(x 1＋x 2)x 1x 2＝(8k ＋24－1)·4k 8k ＋2＝4k 2－k 4k ＋1，k 2＝－34，∴4k 2－k 4k ＋1＝－32，8k 2＋10k ＋3＝0，解得k ＝－12<2－62(符合题意)，或k ＝－34(此时直线l 经过焦点F ，k 1＝k 2＝k 3，不合题意，舍去)．∴直线l 的方程为y ＋12＝－12(x －2)，即x ＋2y －1＝0.故k 1、k 2、k 3能成公差不为零的等差数列，此时直线l 的方程为x ＋2y －1＝0. 20. 定义函数φ(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0，f (x )＝x 2－2x (x 2－a )·φ(x 2－a )．(1)解关于a 的不等式f (1)≤f (0)；(2)在0<a ≤1的条件下，若()(1)f x f ≥在x ∈[0,1]恒成立，求实数a 的最大值．解 (1)f (1)≤f (0)，即1－2(1－a )φ(1－a )≤0.当a >1时，φ(1－a )＝－1，所以1＋2(1－a )≤0，解得a ≥32.当a ≤1时，φ(1－a )＝1，所以1－2(1－a )≤0，解得a ≤12.综上，a 的解集为{a |a ≤12或a ≥32}．(2)由题意，∀x ∈[0,1]，f (x )≥f (1)恒成立．当0<a ≤1时，由f (x )≥f (1)， 得x 2－2x (x 2－a )φ(x 2－a )≥2a －1.(i)当a ≤x ≤1时， x 2－2x (x 2－a )≥2a －1，即2a (x －1)≥2x 3－x 2－1.②当x ＝1时，②式成立,当x ∈[a ，1)，②式即2a ≤2x 3－x 2－1x －1，即2a ≤2x 2＋x ＋1，所以对一切x ∈[a ，1]恒成立，所以2a ≤2a ＋a ＋1.此式恒成立． (ii)当0≤x ≤a 时， x 2＋2x (x 2－a )≥2a －1，即2a (x ＋1)≤2x 3＋x 2＋1.③因为x ∈[0，a ]，③式即2a ≤2x 3＋x 2＋1x ＋1，即2a ≤2x 2－x ＋1.1)当a ≤14，即0<a ≤116时，2a ≤2(a )2－a ＋1，所以a ≤1.结合条件得0<a ≤116.2)当a >14，即116<a ≤1时， 2a ≤1－18，所以a ≤716.结合条件得116<a ≤716，716.即a的取值范围为{a|0<a≤716}．a 的最大值是716由1)，2)得0<a≤。
2023-2024学年浙江省杭州市高级中学高考数学五模试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．执行如图所示的程序框图，输出的结果为（ ）A ．193B ．4C ．254D ．1322．若a ＞b ＞0，0＜c ＜1，则 A ．log a c ＜log b cB ．log c a ＜log c bC ．a c ＜b cD ．c a ＞c b3．在菱形ABCD 中，4AC =，2BD =，E ，F 分别为AB ，BC 的中点，则DE DF ⋅=（ ） A ．134-B ．54C ．5D ．1544．已知集合{}2|320M x x x =-+≤，{}|N x y x a ==-若M N M ⋂=，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．[1,)+∞5．已知点P 不在直线l 、m 上，则“过点P 可以作无数个平面，使得直线l 、m 都与这些平面平行”是“直线l 、m 互相平行”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知20,()1(0),{|()},{|(())()}a f x ax x x A x f x x B x f f x f x x >=-+>=≤=≤≤，若A B φ=≠则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,1]B ．3(0,]4C ．3[,1]4D ．[1,)+∞7．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若//m n ，m β⊥，则n β⊥；②若//m α，//m β，则//αβ；③若m α⊥，//n α，则m n ⊥；④若//m α，m β⊥，则αβ⊥；其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．48．关于函数22tan ()cos 21tan xf x x x=++，下列说法正确的是（ ） A ．函数()f x 的定义域为R B ．函数()f x 一个递增区间为3,88ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．函数()f x 的图像关于直线8x π=对称D ．将函数2sin 2y x =图像向左平移8π个单位可得函数()y f x =的图像 9．函数3222x xx y -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ． C ．D ．10．函数()5sin 20312f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（ ）A ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]0,1D ．1,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，262,21a S ==，则5a = A ．3B ．4C ．5D ．612．已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足1()(2)2f x f x =+，且当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为n a （*n N ∈），且数列{}n a 的前n 项的和为n S .若对于任意正整数n 不等式()129n k S n +≥-恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．[)0,+∞B ．1,32⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．3,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．7,64⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届浙江省杭州高中高三下学期5月高考质检数学试题(解析版)
2020届浙江省杭州高中高三下学期5月高考质检数学试题一、单选题1．已知集合{}|11x R x P ∈-<<=，{}|02R x Q x =∈≤<那么()R P C Q =（ ）A ．（-1，2）B ．（0，1）C ．（-1，0）D ．（1，2）【答案】C【解析】先求出集合Q 的补集，然后求()R P C Q 即可.【详解】解：因为{}|02R x Q x =∈≤<，所以{0R C Q x x =<或x ≥}2， 所以(){}10R P C Q x x ⋂=-<<， 故选：C 【点睛】此题考查了集合的交集、补集运算，属于基础题.2．双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为（ ）A ．2B ．95C ．125D ．3【答案】C【解析】先求左顶点坐标以及渐近线方程，再根据点到直线距离公式求结果. 【详解】因为双曲线221916x y -=的左顶点为(3,0)-，渐近线方程为220,430916x y x y -=±=所以双曲线221916x y -=的左顶点到其渐近线的距离为|4(3)30|1255⨯-±⨯= 故选：C 【点睛】本题考查双曲线渐近线以及点到直线的距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．已知一个四棱锥的正视图和俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由正视图和俯视图可知，则该几何体P -ABCD 的底面ABCD 2的正方形，P A ⊥面ABCD ，其直观图如图所示，由三视图知识知，其侧视图如A 所示，故选A ．4．若x ､y 满足约束条件93020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的取值范围是（ ）A ．[]0,6B ．[]0,4C ．[)6,+∞D ．[)4,+∞【答案】D【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可. 【详解】x ､y 满足约束条件93020x x y x y ≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，表示的可行域如图：目标函数2z x y =+经过C 点时，函数取得最小值， 由3020x y x y +-=⎧⎨-=⎩解得()2,1A ，目标函数的最小值为：4， 目标函数的范围是[)4,+∞. 故选：D. 【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键，属于基础题.5．若函数()()24mxf x n =-的大致图象如图所示，则（ ）A ．0m >，01n <<B ．0m >，1n >C ．0m <，01n <<D ．0m <，1n >【答案】B【解析】通过函数值为0，求出x 的表达式，判断m ，n 的范围，排除选项A ，D ，通过0m <，利用函数的单调性，结合x 与y 的关系，判断排除选项C 即可.【详解】 令()0f x =，即4mx n =， 则4log mx n =， 即41log x n m=， 由题意41log 0n m>， 故0m >时1n >，0m <时01n <<，排除A ､D ； 当0m <时，易知4mx y =是减函数，且当x →+∞时，0y →则()2f x n →，C 明显不合题意，排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查了函数与方程的应用，函数的最值以及函数的单调性的应用，属于中档题. 6．对于任意实数,x x 表示不小于x 的最小整数，例如1.12,1,11=-=-,那么“||1x y -<”是“x y =”（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】通过给x y ，取特值得到前者推不出后者，通过推导判断出后者可以推出前者，根据必要不充分条件的定义判断出结论 【详解】由已知可得令 1.80.9x y ==，，满足1x y -<， 但1.82=，0.91=x y ≠，而x y =时，必有1x y -<∴“1x y -<”是“x y =” 必要不充分条件故选B 【点睛】本题主要考查了充要条件的判断，说明一个命题不成立常用举反例的方法，考查利用充要条件的定义判断一个命题是另一个命题的什么条件． 7．已知随机变量ξ的分布列如下：则当a 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭内増大吋（ ） A ．D ξ増大 B ．D ξ減小C ．D ξ先増大后減小 D ．D ξ先減小后増大 【答案】C【解析】由随机变量ξ的分布列得：0101011b a b a b a b a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪-++=⎩，解得0.5b =，00.5a ，可得E ξ．D ξ，利用二次函数的单调性即可得出． 【详解】解：由随机变量ξ的分布列得：0101011b a b a b a b a -⎧⎪⎪⎨⎪⎪-++=⎩，解得0.5b =，00.5a ， 0.52E a ξ∴=+，00.5a ．22222111(20.5)(0.5)(0.52)0.5(1.52)424442D a a a a a a a a ξ⎛⎫=---+-⨯+-=-++=--+⎪⎝⎭， 所以10,4a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时D ξ单调递增，11,42a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时D ξ单调递减，故选：C ． 【点睛】本题考查了随机变量的分布列期望与方差、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．已知1e ，2e ，3e 是空间单位向量，且满足12233112e e e e e e ⋅=⋅=⋅=，若向量()1231,b e e λλλ=+-∈R .则3e 在b 方向上的投影的最大值为（ ）A．2B．3C．2D．3【答案】D【解析】根据投影的计算公式，将投影化为关于的函数，然后再求函数的最大值即可. 【详解】因为12233112e e e e e e ⋅=⋅=⋅=， ∴()()331231323113131222e b e e e e e e e λλλλλλλ-⎡⎤⋅=⋅+-=⋅+-⋅=+=+⎣⎦， (2237b e λλ==， ∴3217e bbλλ+⋅=因为要求最大值，故不妨取102λ+>， 令12t λ=+，则12t λ=-， ==②， 令2296914733443y t t t ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，=. 故选： D. 【点睛】本题主要考查了平面向量的综合应用，以及投影的概念和计算方法.属于中档题.9．已知k ∈R ，设函数2322,1()(1),1x x kx k x f x x k e e x ⎧-+=⎨--+>⎩，若关于x 的不等式()0f x 在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为( )A ．[0，2]eB ．[2，2]eC ．[0，4]D ．[0，3]【答案】D【解析】当1x 时，2()22f x x kx k =-+，分1k <、1k 两类讨论，可求得0k ；当1x >时，3()(1)x f x x k e e =--+，分1k 、1k >两类讨论，可求得3k ；取其公共部分即可得到答案． 【详解】解：（1）当1x 时，2()22f x x kx k =-+，()f x ∴的对称轴为x k =，开口向上．当1k <时，()f x 在(,)k -∞递减，(,1)k 递增，∴当x k =时，()f x 有最小值，即()0f k ，01k ∴<；当1k 时，()f x 在(,1)-∞上递减，∴当1x =时，()f x 有最小值，即f （1）1=，10∴显然成立，此时1k ．综上得，0k ；（2）当1x >时，3()(1)x f x x k e e =--+，()()x f x x k e '∴=-，当1k 时，()f x 在(1,)+∞上递增，()f x f ∴>（1）30ke e =-+，2k e ∴，∴此时1k ；当1k >时，()f x 在(1,)k 递减，(,)k +∞递增，3()()0k f x f k e e ∴=-+，3k ∴，∴此时13k <．综上：03k ，关于x 的不等式()0f x 在x ∈R 上恒成立，则k 的取值范围为03k ， 故选：D ． 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查不等式恒成立问题，着重考查分类讨论思想和等价转化思想，考查导数的运用，考查运算求解能力和推理能力，属于难题．10．已知数列{}n a 满足：0n a >，且()22*1132n n n a a a n ++=-∈N ，下列说法正确的是（）A ．若112a =，则1n n a a +>B ．若12a =，则1317n n a -⎛⎫≥+ ⎪⎝⎭C ．1532a a a +≤D ．21133n n n n a a a a +++-≥- 【答案】B【解析】由已知条件0n a >，且()22*1132n n n a a a n ++=-∈N 分析可得()()1110n n a a +-->，然后构造函数232y x x =-，利用函数图象分析，再逐个判断即可. 【详解】∵()22*1132n n n a a a n ++=-∈N，∴22111321n n n a a a ++-=--，∴()()()()1111311n n n n a a a a +++-=+-. ∵0n a >，故10n a +>且1310n a ++>， 于是()1n a -与()11n a +-同号， ∴()()1110n n a a +-->. 对于A ，若112a =，则11102a -=-<，则10n a -<， ∴()22111210n n n n a a a a +++-=-<，所以1n n a a +<，故A 错误；对于C ，考虑函数232y x x =-，如图所示由图可知当0n a >时，数列{}1n n a a +-递减，所以1335a a a a ->-，即1532a a a +>，所以C 不正确；对于D ，设1n a x +=，则n a =2n a +=由上图可知，211n n n n a a a +++-≥-，x ≥-，等价于)231x +≥-， 化简得：2210x x -+≤，而2210x x -+≤显然不成立，所以D 不正确； 由排除法可知B 正确. 故选：B . 【点睛】本题考查了数列递推关系､利用函数思想解决数列问题，考查了推理能力与计算能力，属于难题.二、填空题11．某地为提高社区居民身体素质和保健意识，从5名医生和2名护士共7名医务工作者中选出队长1人、副队长1人普通医务工作者2人组成4人医疗服务队轮流到社区为居民进行医疗保健服务，要求医疗服务队中至少有1名护士，则共有______种不同的选法（用数字作答） 【答案】360【解析】由于7名医务工作者中护士只有2名，而要从7名医务工作者中选4人至少有1名护士有两种情况，一是只有1名护士，另一个是有2名护士，然后由分类加法原理可得结果. 【详解】 解：分两类：①只有1名护士，共有：132254240C C A =种选法； ②有2名护士，共有：2254120C A =种；故共有240+120=360种选法. 故答案为：360 【点睛】此题考查排列组合的应用，分类讨论方法，考查了推理能力和计算能力，属于基础题. 12．已知0a >，若集合{}22222220A x Z x x a x x a a =∈---+-+--=中的元素有且仅有2个，则实数a 的取值范围为________． 【答案】[)1,2【解析】由绝对值三角不等式知2222222x x a x x a a ---+-+-≥，进而得到集合A 中有且仅有两个元素等价于222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解，构造函数，并通过图象，即可得解. 【详解】222222x x a x x a ---+-+-≥()()2222222x x a x x a a -----+-=，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴22222220x x a x x a a ---+-+--≥，当且仅当222a x x a -≤--≤时等号成立，∴集合A 中有且仅有两个元素等价于不等式222a x x a -≤--≤有且仅有两个整数解，函数2()22f x x x =--=2117248x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的图象关于直线14x =对称，又(2)8f -=，()11f -=，(0)2f =-，(1)1f =-，(2)4f =，作出函数()y f x =的图象，如图所示，由图知，要使222a x x a -≤--≤有两个整数解，则12a ≤<.故答案为：[)1,2. 【点睛】本题考查了绝对值三角不等式、集合问题及函数图象的应用，考查转化与化归的思想，合理运用绝对值三角不等式是本题的解题关键，属于中档题.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>2，若以()0,2N 为圆心且与椭圆C 26，此时椭圆C 的方程是______________.【答案】221189x y +=【解析】由题意离心率可得a 与b 的关系，设(),P x y 是椭圆上任一点，依题意，PN 26由两点间的距离公式写出2PN ，分类讨论求解b 值，则椭圆方程即可得出结果. 【详解】 解：由2c e a ==， 得22212a b a -=， 即222a b =，得椭圆C 的方程为222212x y b b+=.设(),P x y 是椭圆上任一点， 依题意，PN 26则()()()2222222222PNx y b y y =+-=-+-()()22228y b b y b =-+++-≤≤.若2b ≥，则2y =-时，max PN ==，∴3b =，此时椭圆方程为221189x y +=；若02b <<，则y b =-时，max2PN b =+=∴22b =>，不成立.综上可得椭圆方程为221189x y +=.故答案为：221189x y +=.【点睛】本题主要考查了椭圆标准方程的求法，考查圆与椭圆位置关系的应用，体现了分类讨论的数学思想方法，属于中档题.三、双空题 14．设121iz i-=++（i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =______，z =______【答案】2i +【解析】先化简得2z i =-，再求共轭复数和模长即可. 【详解】∵()()()211222221112i ii z i i i i ---=+=+=+=-++-∴2+z i =，z ==故答案为：2i +【点睛】本题主要考查复数的基本概念和四则运算，属于基础题.15．在二项式61x ⎫⎪⎭的展开式中，常数项是______，有理项的个数是______. 【答案】15 4【解析】先求出通项公式，再令x 的指数为0求出常数项，令x 的指数为整数，求出r 的值，判断出展开式中有理项的个数． 【详解】因为二项式61)x的展开式的通项公式为：33621661()(1)r r rr r rr T C C x x--+=⋅⋅-=-⋅；其中0r =，1，2，3，4，5，6．令3302r -=可得2r ；故其常数项为：226(1)15C -=； 有理项需要x 的指数为整数r ∴是2的倍数0r ∴=，2，4，6．故展开式中有理项的个数是4； 故答案为：15；4． 【点睛】本题主要考查二项式定理的运用，解决二项展开式的特定项问题，应该利用的工具是二项展开式的通项公式．16．已知方程为2220x y x ay a ++-+=的圆关于直线40x y +=对称，则圆的半径r =______.若过点()1,0M 作该圆的切线，切点为A ，则线段MA 长度为______.【答案】3【解析】将圆方程整理成标准形式得到圆心与半径,由圆关于直线对称,得到直线过圆心,从而解出a ,求出半径,再根据MA AC ⊥,利用勾股定理求解即可. 【详解】圆的标准方程为:222(1)()124a a x y a ++-=+-,因为圆关于直线40x y +=对称,所以圆心(1,)2a -在直线40x y +=上,所以8a =,圆半径2134ar a =+-=,设圆心为C ,则(1,4)C -,所以25MC =, 所以2220911MA MC AC =-=-=,故答案为:3;11. 【点睛】本题考查圆的标准方程,利用其求半径,切线长等,属于基础题.此类题一般会利用圆的一些基本性质,例如:过圆心的直线平分圆,切点与圆心的连线与该切点处的切线垂直等,要求学生对圆的知识掌握熟练.17．在ABC 中，4BC =，45B ∠=︒，点D 在线段AC 上，满足BD BC ⊥，且2BD =，则cos A =______________，AD =______________. 【答案】31025. 【解析】根据题意画出图形，结合图形求出sin C 和cos C 的值，再求cos A 的值；利用正弦定理求出AC 和AD 的值. 【详解】如图所示，ABC 中，4BC =，135B ∠=︒，BD BC ⊥，且2BD =，则2241625CD BD BC =+=+=所以5sin 25C ==，25cos 25C ==； ()cos cos 135cos135sin135sin A C C =-︒+=-︒+︒25225310252510⎛=--⨯+= ⎝⎭；2231010sin1cos110A A⎛⎫=-=-=⎪⎪⎝⎭，sin sin135BC ACA=︒，1022=，45AC=，452525AD AC CD=-=-=.故答案为：310；25.【点睛】本题考查了解三角形的应用问题，考查了运算求解能力，属于中档题.四、解答题18．已知函数()()sin,0,0,02f x A x x Aπωϕωϕ⎛⎫=+∈>><<⎪⎝⎭R的部分图象如图所示.（1）求函数()f x的解析式；（2）求函数()1212g x f x f xππ⎛⎫⎛⎫=--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）()2sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）[]1,2.【解析】（1）由图可知，115212122Tπππ=-=，所以Tπ=，22Tπω==，再把点()0,1和5,012π⎛⎫⎪⎝⎭均代入函数()f x中，结合0A>，02πϕ<<，可求得函数解析式为()2sin26f x xπ⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）先根据（1）中函数()f x 的解析式分别求得2sin 212f x x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求出12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式，再结合正弦的两角和公式与辅助角公式可将函数()g x 化简为()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，最后结合正弦函数的图象即可求出其值域.【详解】 （1）由图可知，115212122T πππ=-=， ∴T π=，22T πω==，∵函数的图象经过点()0,1和5,012π⎛⎫⎪⎝⎭， ∴sin 15sin 2012A A ϕπϕ=⎧⎪⎨⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎝⎭⎩， ∴sin 15,6A k k ϕπϕπ=⎧⎪⎨+=∈⎪⎩Z ，∵0A >，02πϕ<<，∴2A =，6π=ϕ. ∴函数的解析式为()2sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （2）由（1）可知，2sin 22sin 212126f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 2sin 22sin 2121263f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，∴()2sin 2sin 212123g x f x f x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵13,424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴32,364x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦， 1sin 2,132x π⎛⎫⎡⎤-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴函数()g x 的值域为[]1,2. 【点睛】本题主要考查了利用图象求函数的解析式､正弦函数的值域和三角恒等变换公式，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题.19．如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，1CC ⊥底面ABCD ，且BAD ∠=60°，1114CD CC C D ===，E 是棱1BB 的中点.（1）求证：1AA BD ⊥；（2）求直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）6735. 【解析】（1）由1C C ⊥底面ABCD ，得1C C BD ⊥，再由底面ABCD 是菱形，得BD AC ⊥，利用直线与平面垂直的判定可得BD ⊥平面1AC C ，进一步得到1BD AA ⊥；（2）设AC 交BD 于点O ，依题意，11//AC OC 且11AC OC =，得到1A O ⊥底面ABCD ．以O 为原点，OA 、OB 、1OA 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．求出平面11EA C 的一个法向量与1AA 的坐标，再由两向量所成角的余弦值求解直线1AA 与平面11A EC 所成线面角的正弦值． 【详解】（1）因为1CC⊥底面ABCD，所以1CC BD⊥因为底面ABCD是菱形，所以BD AC⊥又1AC CC C=，所以BD⊥平面1AC C又由四棱台1111ABCD A B C D-知，1A，A，1C，C四点共面所以1BD AA⊥（2）如图，设AC交BD于点O，依题意，11//AC OC且11AC OC=，11//AO CC∴，且11AO CC=，又由已知1CC⊥底面ABCD，得1A O⊥底面ABCD．以O为原点，OA、OB、1OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图设AC交BD于点O，依题意，11//AC OC且11=AC OC，所以11=AO CC则()23,0,0A=，()10,0,4A=，()123,0,4C=-，()0,2,0B=，由1112A B AB=，得()13,1,4B-因为E是棱1BB中点，所以33,22E⎛⎫⎪⎪⎝⎭所以133,22EA⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭，()1123,0,0AC=-，()123,0,4AA=-设(),,n x y z=为平面11EA C的法向量则111230332022n AC xn EA x y z⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3z=，得()0,4,3n=设直线1AA 与平面11A EC 所成线面角为θ，则1167sin AA n AA nθ⋅==⋅所以直线1AA 与平面11A EC 【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及其应用，考查空间想象能力与思维能力，考查利用空间向量求解空间角，是中档题． 20．已知公差非零的等差数列{}n a 的前n 项和为()*n S n ∈N，且1a ，2a ，4a 成等比数列，且410S =，数列{}n b 满足12b =，()1*122,n n n b b n n ---=≥∈N . （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设数列{}n c 满足()*ln ,nn na c nb =∈N ，求证：()*21131ln ,,224n n c c n n -⎛⎫-⋅≤++<∈≥ ⎪⎝⎭N .【答案】（1）*,n a n n =∈N ，*2,n n b n =∈N ；（2）证明见解析.【解析】（1）先设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，然后根据题干中已知条件列出关于首项1a 与公差d 的方程组，解出1a 与d 的值，即可得到数列{}n a 和的通项公式，对于数列{}n b ，根据给出的递推公式的特点可运用累加法计算出数列{}n b 的通项公式； （2）先根据第（1）题的结果计算出数列{}n c 的通项公式，在证明不等式左边部分时，可运用放缩法将数列{}n c 的通项公式放缩成一个等比数列的形式，即ln ln 222n n n n c =≥，然后根据放缩后的形式进行求和，即可证明不等式左边部分成立；在证明不等式右边部分时，可先计算出()()*1ln 12,2ln n n n c n n c n ++=≥∈N ，然后代入2n =时+1n n c c 的值并与34比较大小，并证明3n ≥时+1n n c c 的值并与34比较大小，经过转化计算可发现当3n ≥时，+134n n c c <恒成立，然后根据此递推不等式运用累乘法可计算出3334n n c c -⎛⎫<⋅ ⎪⎝⎭，由此也将数列{}n c 放缩成一个等比数列的形式，然后根据放缩后的形式进行求和，进一步转化､计算即可证明不等式右边部分成立；最终证明不等式成立. 【详解】（1）解：由题意，设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，则2214410a a a S ⎧=⎨=⎩，即()()211113434102a d a a d a d ⎧+=+⎪⎨⨯+=⎪⎩， 整理，得()110235a d d a d ⎧-=⎨+=⎩，解得111a d =⎧⎨=⎩，∴()*111,n a n n n =+-⨯=∈N .对于数列{}n b ：∵()1*122,n n n b b n n ---=≥∈N ，∴()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-++-1212222n -=++++222212nn -=+=-，故*2,nn b n =∈N .（2）证明：由（1）知，*ln ln ,2n n n n a nc n b ==∈N .先证明不等式左边，即：231112n n c c c -⎛⎫+++≥-⋅ ⎪⎝⎭.∵2n ≥，*n ∈N ， ∴ln ln 222n n n n c =≥， 则2323ln 2ln 2ln 2222n nc c c +++≥+++23111ln 2222n⎛⎫=+++⋅ ⎪⎝⎭211122ln 2112n +-=⋅- 1111ln 222n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭1112n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭∴23111ln 2n n c c c -⎛⎫+++≥-⋅ ⎪⎝⎭. 再证明不等式右边，即：2334n c c c +++<. ∵()()()1*1ln 1ln 122,ln 2ln 2n n n n n n c n n n c n++++==≥∈N ， ∴当2n =时，32ln 32ln 3ln 9ln 832ln 24ln 24ln 24ln 24c c ===>=， 下证一个结论：当3n ≥时，有()231n n >+恒成立. ∵当3n ≥时，29n ≥，212233721112n n n n n +-+==+≤---， ∴2211n n n +>-，即()2121n n n ->+， 化简整理，得()231n n >+，结论成立.∴当3n ≥时，()()()231ln 12ln 1ln 1ln 32ln 4ln 4ln 4ln 4n n n n n c n c n n n n ++++===<=， ∴35433334133334444n n n n c c c c c c c c c c --⎛⎫=⋅⋅<⋅⋅=⋅ ⎪⎝⎭， 232323333333444n n c c c c c c c c -⎛⎫⎛⎫+++<++⋅+⋅++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 233ln 233314444n c -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅++++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2331ln 243414n c -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⋅-2ln 2ln 3341484n -⎡⎤⎛⎫=+⋅-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦ln 2ln 342<+ ln184= 34<， ∴2334n c c c +++<. 综上，可得不等式()*21131ln 2,,224n n c c n n -⎛⎫-⋅≤++<∈≥ ⎪⎝⎭N 恒成立，故得证. 【点睛】本题主要考查等差数列和等比数列的基本量的计算，运用累加法求数列通项公式，以及数列通项公式放缩成等比数列，数列求和不等式的证明问题.考查了转化与化归思想，累加法，累乘法，放缩法的运用，数列与不等式的综合运用，以及逻辑推理能力，数学运算能力，不等式的运算能力等综合能力.本题属偏难题.21．已知O 是坐标系的原点，F 是抛物线2:4C x y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，弦AB 的中点为M ，OAB 的重心为G .（1）求动点G 的轨迹方程；（2）设（1）中的轨迹与y 轴的交点为D ，当直线AB 与x 轴相交时，令交点为E ，求四边形DEMG 的面积最小时直线AB 的方程.【答案】（1）23243y x =+；（2）301y x =+.【解析】（1）求得焦点()0,1F ，显然直线AB 的斜率存在，设:1AB y kx =+，代入抛物线的方程，运用韦达定理和三角形的重心坐标，运用代入法消去k ，即可得到所求轨迹方程；（2）求得D ，E 和G 的坐标，DG 和ME 的长，以及D 点到直线AB 的距离，运用四边形的面积公式，结合基本不等式可得最小值，由等号成立的条件，可得直线AB 的方程.【详解】（1）焦点()0,1F ，显然直线AB 的斜率存在，设:1AB y kx =+，联立24x y =，消去y 得， 2440x kx --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，(),G x y ，则124x x k +=，124x x =-，所以212121142y y kx kx k +=+++=+， 所以243423k x k y ⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩， 消去k ，得重心G 的轨迹方程为23243y x =+； （2）由已知及（1）知，20,3D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1,0E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 0k ≠，2M x k =，43G k x =， 因为23OD OG OF OM==， 所以//DG ME ，(注：也可根据斜率相等得到)，DG =，22111212ME k k k k k k ⎛⎫⎛⎫=+--=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎭， D 点到直线AB 的距离2213131d k k ==++ 所以四边形DEMG 的面积22141110112236331k S k k k k k k⎛⎫⎛⎫=+⋅++⋅=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭ 11030263≥⋅=， 当且仅当1013k k =，即30k =±时取等号， 此时四边形DEMG 的面积最小，所求的直线AB 的方程为301y x =±+.【点睛】本题主要考查了轨迹方程的求法，注意运用代入法，考查四边形面积的最值的求法，注意运用弦长公式和点到直线的距离和基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题.22．已知函数()()()x f x x a ea =-∈R .（1）讨论()f x 的单调性；（2）当2a =时，设函数()()ln ,g x f x x x b b =+--∈Z ，若()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，求b 的最小值. 【答案】（1）单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞；（2）3-.【解析】（1）对函数()f x 求导，可得()()1x f x x a e '=-+，解导数不等式可得出单调性；（2）由()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，变量分离得()2ln x b x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，构造函数()()2ln x h x x e x x =-+-，对函数()h x 求导，求单调性，得到函数的最大值，进而可得b 的最小值.【详解】（1）因为()()x f x x a e =-，所以()()1xf x x a e '=-+， 当(),1x a ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,x a ∈-+∞时，()0f x '>，故()f x 的单调递减区间为(),1a -∞-，单调递增区间为()1,a -+∞.（2）由()()2ln xg x x e x x b =-+--， 因为()0g x ≤对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立， ()2ln x b x e x x ≥-+-对任意的1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭恒成立，构造函数()()2ln x h x x e x x =-+-， ()()()11111x x h x x e x e x x ⎛⎫'=-+-=-- ⎪⎝⎭. ∵1,13x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴10x -<，且()1x t x e x=-单调递增， ∵121202t e ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()110t e =->， ∴一定存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00t x =. 即001x e x =，00ln x x =-. ∴()h x 在01,3x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在()0,1x 上单调递减.∴()()()0000000max 022ln =2x x h x h x x e x x x x -==-+-- ()001124,3x x ⎛⎫=-+∈-- ⎪⎝⎭. ∵b ∈Z ，∴b 的最小值为3-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性､方程与不等式的解法､函数零点､等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.。
2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷(5月份)(含答案解析)
2020年浙江省杭州市高考数学训练试卷（5月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若复数是纯虚数，则实数a的值为A. 1B. 2C. 1或2D.2.已知点P为内一点，且，则，，的面积之比等于A. 9：4：1B. 1：4：9C. 3：2：1D. 1：2：33.已知，，则A. B. C. D.4.已知，，其中m为实数，i为虚数单位，若，则m的值为A. 4B.C. 6D. 05.设与都是非零向量，则“”是“向量与夹角为锐角”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6.在中，已知，且，则的形状是A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形7.已知点，，，，则向量在方向上的投影为A. B. C. D.8.函数的部分图象大致为A. B.C. D.9.已知正方形ABCD的面积为2，点P在边AB上，则的最小值为A. B. C. 2 D.10.若均，为锐角，A. B. C. D.11.如图，在梯形ABCD中，，，，，，，则A. B. C. D.12.在中，点D满足，点E是线段AD上的一个动点，若，则的最小值是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设复数，，则______．14.如图，在中，，P是BN上的一点，若，则实数m的值为______．15.计算：______．16.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西，另一灯塔在船的南偏西，则这艘船是每小时航行______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17.已知复数其中i是虚数单位，．若复数z是纯虚数，求m的值；求的取值范围．18.已知角为第一象限角，且．求，的值；求的值．19.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，已知Ⅰ证明：Ⅱ若的面积，求角A的大小．20.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，且的值为．求的大小；若，求的面积．21.观察以下各等式：分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并对等式的正确性作出证明．22.某单位有A、B、C三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点0，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为，，假定A、B、C、O四点在同一平面内．求的大小；求点O到直线BC的距离．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：由得或2，且得．故选：B．注意到复数，a，为纯虚数的充要条件是本题是对基本概念的考查，属于基础题．2.答案：C解析：解：，，如图：，，、P、G三点共线，且，GF为三角形ABC的中位线而，，的面积之比等于3：2：1故选C先将已知向量式化为两个向量共线的形式，再利用平行四边形法则及向量数乘运算的几何意义，三角形面积公式确定面积之比本题考查了向量式的化简，向量加法的平行四边形法则，向量数乘运算的几何意义等向量知识，充分利用向量共线是解决本题的关键3.答案：B解析：解：由，，得，，则，，．联立，解得，，．．故选：B．把已知等式两边平方，求得，进一步得到的值，联立求得，，得到，代入得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．4.答案：B解析：解：由题意可得，即，根据两个复数相等的充要条件可得，解得，故选B．由题意可得，根据两个复数相等的充要条件可得，解方程组求得m的值．本题考查两个复数相等的充要条件，得到，是解题的关键．5.答案：B解析：解：与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”“”，反之不成立，可能同向共线．因此“”是“向量与夹角为锐角”的必要不充分条件．故选：B．与都是非零向量，则“向量与夹角为锐角”“”，反之不成立，即可判断出结论．本题考查了向量夹角公式、向量共线定理、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6.答案：D解析：解：在中，，，故为直角三角形．再由，可得，即，，，故为等腰三角形．综上，为等腰直角三角形．故选：D．由，可得为直角三角形．再由，可得，，由此可得为等腰三角形．本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式的应用，属于中档题．7.答案：A解析：【分析】先求出向量、，根据投影定义即可求得答案．本题考查平面向量数量积运算，考查向量投影定义，属基础题，正确理解相关概念是解决问题的关键．【解答】解：，，则向量方向上的投影为：，故选：A．8.答案：C解析：解：函数的定义域为，且，即为奇函数，可排除选项B，D；又，故可排除选项A；故选：C．利用函数的奇偶性及特殊点的函数值，运用排除法得解．本题考查函数图象的运用，考查利用函数性质确定函数图象，属于基础题．9.答案：B解析：解：如图，，；正方形的面积为2，则边长为；；设，则；；的最小值为．故选B．可画出图形，根据正方形的面积为2可求出边长，结合图形，可得出，进行数量积的运算得出，可设，从而得出，配方便可求出最小值．考查向量减法的几何意义，向量数量积的运算及计算公式，配方法求最值．10.答案：B解析：【分析】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力；由题意求出，，利用，通过两角差的余弦函数求出，即可．【解答】解：，为锐角，则．，，则，．故选B．11.答案：B解析：解：在梯形ABCD中，，，，，，，，则；故选：B．直接利用向量的三角形法则，把已知都用，表示出来即可求解结论．本题考查向量的数量积的应用，考查向量的表示以及计算，考查计算能力．12.答案：C解析：解：如图，E在线段AD上，所以存在实数k使得；；；；；时，t取最小值．故选：C．根据共线向量基本定理可得到存在实数k，，，然后根据已知条件及向量的加法、减法的几何意义即可得到，从而得到代入t，进行配方即可求出t的最小值．考查共线向量基本定理，向量的加法、减法的几何意义，以及平面向量基本定理，配方法求二次函数最值．13.答案：解析：解：，，．故答案为：．把，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．14.答案：解析：解：是BN上的一点，设，由，则，解得，故答案为：由已知中中，，P是BN上的一点，设后，我们易将表示为的形式，根据平面向量的基本定理我们易构造关于，m的方程组，解方程组后即可得到m的值本题考查的知识点是面向量的基本定理及其意义，解答本题的关键是根据面向量的基本定理构造关于，m的方程组．属于基础题．15.答案：解析：解：，．故答案为：．利用，利用两角和的正弦公式展开，合并即可．本题考查三角函数的化简求值，难点在于“”的思考与转化，属于中档题．16.答案：10海里解析：解：如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，于是这艘船的速度是海里小时．故答案为：10海里．如图，依题意有，，所以，从而，在直角三角形ABC中，得，由此能求出这艘船的速度．本题考查三角形知识的实际运用，解题时要注意数形结合思想的灵活运用．17.答案：解：．复数z是纯虚数，，即；，，的取值范围是．解析：利用复数代数形式的乘除运算化简z．由实部为0且虚部不为0列式求得m值；求出，利用配方法求范围．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数模的求法，是基础题．18.答案：解：角为第一象限角，且，，．．解析：由已知利用同角三角函数基本关系式即可求解；利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.答案：Ⅰ证明：，，，，，，B是三角形中的内角，，，或，不合实际或，即原题得证．Ⅱ解：的面积，，，，又，，或，当时，当时，．综上，或．解析：本题考查了正弦定理，解三角形，考查三角形面积的计算，考查二倍角公式的运用，属于中档题．Ⅰ利用正弦定理，结合两角和的正弦公式，即可证明；Ⅱ若的面积，则，结合正弦定理、二倍角公式，即可求角A的大小．20.答案：解：向量，且的值为，，，，可得；，，由得，，，．解析：运用向量的数量积的坐标表示和两角和的正弦公式，化简整理可得A；运用正弦定理和三角形的面积公式，以及两角和的正弦公式，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的坐标表示和三角函数的恒等变换，以及正弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．21.答案：解：观察以下各式：，，，，于是根据各式的共同特点，则具有一般规律的等式可得出．证明：左边右边．解析：我们可以发现等式左边余弦均为正弦度数加，右边是常数，由此不难得到结论本题主要考查了归纳推理，通过观察个别情况发现某些相同性质，从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想，属基础题．22.答案：解：中，由于，，，由余弦定理可得，故有，即．过点O作，D为垂足，则O到直线BC的距离即为OD．由于点O到、AB、C三点的距离相等，故O为的外心．由可得，故，且D为BC的中点，．中，，解得．即O到直线BC的距离解析：中，由余弦定理求得cos A的值，即可求得A的值．过点O作，D为垂足，则OD即为所求．由O为的外心，可得，故，且D为BC的中点，在中，根据，求得OD的值．本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，直角三角形中的边角关系，属于中档题．。
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷(5月份)(有答案解析)
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.设集合，，则A. B. C. D.2.设M为不等式所表示的平面区域，则位于M内的点是A. B. C. D.3.某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.B.C.D.4.“”是”函数的最小值等于2”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 既不充分也不必要条件D. 充要条件5.在我国古代数学著作详解九章算法中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：则这个表格中第8行第6个数是A. 21B. 28C. 35D. 566.函数其中e为自然对数的底数的图象可能是A. B. C. D.7.抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，若，，则A. ，B. ，C. ，D. ，8.已知函数是偶函数，则a，b的值可能是A. ，B. ，C. ，D. ，9.设，，为非零不共线向量，若，则A. B.C. D.10.数列满足若存在实数使不等式，对任意恒成立，当时，A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共36.0分）11.复数且i为虚数单位，则______；______．12.的展开式的所有二项式系数和为______，常数项为______．13.设双曲线的左、右焦点为，，P为该双曲线上一点且，若，则该双曲线的离心率为______，渐近线方程为______．14.在中，若，，则______，______．15.已知是等差数列的前n项和，若，，则的最大值是______ ．16.安排A、B、C、D、E、F共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A安排照顾老人甲，志愿者B不安排照顾老人乙，则安排方法共有______种．17.已知函数当，的最大值为，则的最小值为______．三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）18.已知函数，．若，求的单调递增区间；若，求的最小正周期T的最大值．19.如图，在四棱锥中，底面ABCD，四边形ABCD是直角梯形，，，，E是PB的中点．Ⅰ求证：平面平面PBC；Ⅱ若二面角的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.已知数列的各项均为正数，，，是等差数列，其前n项和为，．求数列的通项公式；，，若对任意的正整数n，都有恒成立，求实数a的取值范围．21.如图，已知为抛物线C：上一点，过点的直线与抛物线C交于A，B两点B两点异于，记直线AM，BM的料率分别为，．求的值；记，的面积分别为，，当，求的取值范围．22.已知函数，，其中．若，求证：．若不等式对恒成立，试求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：，，．故选：C．可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．本题考查了描述法、区间的定义，对数函数的定义域，交集的运算，考查了计算能力，属于基础题．2.答案：C解析：解：把代入不等式，得，成立，点A不在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，成立但不成立，点B不在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，成立且，点C在不等式组表示的平面区域内；把代入不等式，得，不成立，点D不在不等式组表示的平面区域内．故选：C．分别把A，B，C，D四个点的坐标代入不等式组进行判断，即能够求出答案．本题考查二元一次不等式组表示的平面区域的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．3.答案：A解析：解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为三棱柱切去一个底面为矩形，高为四棱锥体．如图所示：所以该几何体的体积为：．故选：A．首先把三视图转换为直观图，进一步利用割补法的应用求出几何体的体积．本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，割补法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．4.答案：A解析：解：函数，令，解得，或3．“”是”函数的最小值等于2”的充分不必要条件．故选：A．函数，令，解得a，进而判断出关系．本题考查了绝对值不等式、函数的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5.答案：A解析：解：表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：．则第7行的数据为：1，6，15，20，15，6，1，第8行的数据：1，7，21，35，35，21，7，1，则这个表格中第8行第6个数是21，故选：A．通过表格可归纳推理得到第7和第8行的数据从而得到答案，归纳推理的一般步骤是：通过观察个别情况发现某些相同性质；从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题猜想，属于基础题．6.答案：D解析：解：由，故可排除选项A，B；又时，且，故可排除选项C．故选：D．利用特殊点的函数值及函数的趋近性，得出答案．本题考查函数图象的运用，考查由函数解析式确定函数图象，属于基础题．7.答案：A解析：解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，，，的分布列为：1 2 3P，．1 2 3 4 5P，，，故选：A．由，求出的分布列，从而求出，；由，求出的分布列，从而求出，进而得到，本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法及应用，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8.答案：C解析：解：根据题意，设，则，则，，又由为偶函数，则，即，变形可得：对于任意x恒成立，则有，分析选项：C满足，故选：C．根据题意，设，则，由函数的解析式可得，，由函数奇偶性的定义可得，变形分析可得，分析选项即可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及三角函数诱导公式的应用，属于基础题．9.答案：D解析：解：设，，为非零不共线向量，若，则，，化简得，，即，，，故选：D．因为对任意的实数，不等式恒成立，所以把不等式整理成关于t一元二次不等式．本题主要考察了平面向量的数量积以及一元二次不等式的知识．10.答案：B解析：解：，当时，可得：，解得，同理可得：，．若存在实数使不等式，对任意恒成立，则，经过验证只有满足上述不等式．故选：B．，当时，可得：，解得，同理可得：，若存在实数使不等式，对任意恒成立，经过验证即可得出．本题考查了数列递推关系、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.答案：解析：解：由，得，则，解得．；，．故答案为：；．把代入，利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合复数相等的条件即可求出a，b的值，再由复数模的公式计算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件，考查复数模的求法，是基础题．12.答案：64 20解析：解：由题设知：展开式的所有二次项系数和为；又其通项公式为，令，解得：，．故答案为：64；20．先求出二次项系数和，再利用二项式定理中的通项公式求出常数项．本题主要考查二项式定理的内容，属于基础题．13.答案：解析：解：由题意可设P为第一象限内的点，且设，，由双曲线的定义可得，又，可得，，在中，由余弦定理可得，则，即，由，即，则渐近线方程为，故答案为：，由题意可设P为第一象限内的点，且设，，运用双曲线的定义和已知条件求得m，n，三角形的余弦定理可得a，c的关系，再结合a，b，c的关系可得a，b的关系，进而得到心率公式和渐近线方程．本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查三角形的余弦定理的运用，同时考查方程思想和运算能力，属于基础题．14.答案： 1解析：解：，，，又，，，，，，，即，又，C均为锐角，，由正弦定理得：，故答案为：，1．先利用二倍角公式化简得，再结合A的范围即可得到A的值，利用两角和与差的三角函数公式化简得，所以，再利用由正弦定理即可算出结果．本题主要考查了利用三角函数公式化简求值，熟练掌握三角函数公式是解题关键，是中档题．15.答案：9解析：解：，，，即，即所以，得到，所以，即的最大值为9．故答案为：9．由，，知，，所以，得到，由此能求出的最大值．本题考查等差数列的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答，注意等差数列前n项和公式的合理运用．16.答案：18解析：解：先安排照顾老人乙，有种方法；再考虑照顾老人甲，有种方法；其余去照顾老人丙即可，共有种安排方法．故填：18．利用乘法原理，计算出结果．本题主要考查排列、组合中的乘法原理的应用．17.答案：7解析：解：依题意，，则，，当且仅当且时取等号．取，，则，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，；取，，则显然函数在上递减，在上递增，；综上所述，的最小值为7．故答案为：7．先根据绝对值值不等式的性质可得，即必要性成立，再取值验证，证明其充分性成立即可得解．本题考查了含绝对值函数的最值求法，涉及了利用绝对值不等式的性质，利用导数研究函数的最值等知识点，考查了推理能力与计算能力，属于较难题目．18.答案：解：当时，函数，令，；解得，；所以的单调递增区间是，；由，若，则，所以，；解得，；又因为函数的最小正周期，且，所以当时，T取得最大值为．解析：化简时函数的解析式，利用正弦函数的单调性求出的单调递增区间；化为正弦型函数，根据求出，再计算函数最小正周期T的最大值．本题考查了三角函数的化简与运算问题，也考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．19.答案：Ⅰ证明：平面ABCD，平面ABCD，，，，，，，又，，，平面PBC，平面EAC，平面PBC，平面平面PBC．Ⅱ如图，以C为原点，取AB中点F，、、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则0，，1，，，设0，，则，1，，0，，，取，则，为面PAC的法向量．设y，为面EAC的法向量，则，即，取，，，则，依题意，，，则，于是，1，．设直线PA与平面EAC所成角为，则，，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为．解析：本题考查面面垂直，考查线面角，解题的关键是掌握面面垂直的判定，利用向量的方法研究线面角，属于中档题．Ⅰ证明平面平面PBC，只需证明平面PBC，即证，；Ⅱ根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面PAC的法向量，面EAC的法向量，利用二面角的余弦值为，可求a的值，从而可求，1，，即可求得直线PA与平面EAC所成角的正弦值．20.答案：解：设等差数列的公差为，由得，解得：，，，，；，，，对任意的正整数n恒成立恒成立．又在时单调递减，其范围为．故．解析：先设等差数列的公差为，由题设条件求出d，进而求出，；先求，再求出，从而求出，解出a的取值范围．本题主要考查数列通项公式的求法及裂项相消法求数列的和，还有利用数列的单调性求范围，属于中档题．21.答案：解：由题意将M的坐标代入抛物线的方程可得，解得，所以抛物线的方程为；由题意可得直线AB的斜率不为0，所以设直线AB的方程为：，设，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得：，则，，由题意可得，所以．由可得，所以，，又，所以．所以的取值范围．解析：由题意将M的坐标代入抛物线的方程可得p的值，进而求出抛物线的方程，设直线AB的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出直线AM，BM的斜率之积可得为定值，；由可得的表达式，由其服务求出A的纵坐标的范围，两个，的面积以M 为顶点，以AD，BD为为底边，所以面积之比等于AD，BD的长度之比，由可得其取值范围．本题考查求抛物线的方程及直线与抛物线的综合及面积之比与边长之比的关系，属于中档题．22.答案：解：证明：，，．函数在上单调递增，，．存在，使得，当时，；时，．．由，即，则．．即；由题意可得：对恒成立．必要性：把代入可得：，即，令，可得在上单调递增，且．．下面证明当时．对恒成立．即证明：对恒成立．，．令．．可得：在上单调递减，且．时，函数取得最大值，．．，对恒成立．由可知：．解析：，，函数在上单调递增，，．存在，使得可得即可证明．由题意可得：对恒成立．必要性：把代入可得：，即，令，利用单调性可得．下面证明当时．对恒成立．即证明：对恒成立．由，可得令利用导数研究其单调性即可证明结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
浙江省杭州市名校2024届高考数学五模试卷含解析
2024年高考数学模拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC 、直角边AB AC 、，已知以直角边AC AB 、为直径的半圆的面积之比为14，记ABC α∠=，则2cos sin 2αα+=（ ）A ．35B ．45C ．1D ．852．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α，β，下列命题正确的是（ ） A ．若m α且n α，则m n B ．若m β⊥且m n ⊥，则n βC ．若m α⊥且m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n ⊂α，则m 不垂直于n3．设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1-D ．()()1,00,1-4．设i 是虚数单位，若复数103m i++（m R ∈）是纯虚数，则m 的值为（ ） A ．3-B ．1-C ．1D ．35．已知函数()22018tan 1xx m f x x x m =+++()0,1m m >≠，若()13f =，则()1f -等于（ ）A ．-3B ．-1C ．3D ．06．已知集合{}1,3,A m =，{}1,B m =，若A B A ⋃=，则m =（ ） A ．0或3B ．0或3C ．1或3D ．1或37．函数f (x )＝21xx e-的图象大致为() A ． B ．C ．D ．8．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（ ）A ．12个月的PMI 值不低于50%的频率为13B ．12个月的PMI 值的平均值低于50%C ．12个月的PMI 值的众数为49.4%D ．12个月的PMI 值的中位数为50.3%9．偶函数()f x 关于点()1,0对称，当10x -≤≤时，()21f x x =-+，求()2020f =（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．110．已知复数21z i =+ ，其中i 为虚数单位，则z =（ ） A 5B 3C ．2D 211．设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“UA B =∅”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件12．集合{2,1,1},{4,6,8},{|,,}A B M x x a b b B x B =--===+∈∈,则集合M 的真子集的个数是 A ．1个B ．3个C ．4个D ．7个二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
20190530杭州外国语学校高三月考数学试卷及答案
x0
(
1 4
x02
1)
x02
2( 1 4
x02
1)
x0 2
根据导数的几何意义得
y
1 4
x02
在
A( x0 ,
y0
)
的切线斜率为
x0 2
∴直线 AB 与抛物线相切．
（2）由（Ⅰ）知
A( x0 ,
y0 ) ，直线 MN
的方程为
y
x0 1 y0
x
1，
x2 4y
由
y
x0 1 y0
x 1
，消去 y 整理得 x2 4x0 1 y0
三、解答题（本大题 74 分=14+15+15+15+15 分）
18、在 ABC 中，内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ， a2 c2 b2 bc cosC c2 cos B.
（1）求 B 的大小；
（2）若 ABC 的面积 25 3 ，且 b 5 ，求 sin A sin C . 4
C．充分不必要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
x y 2 5、若变量 x, y 满足 2x 3y 9 ，则 x2 y2 的最大值是（ ）
x 0
A． 10
B．10
C． 3
D． 9
6、将函数 f (x) 3 sin 2x cos 2x(x R) 的图象向左平移 m(m 0) 个单位长度后得到函 数 y g(x) 的图象，若 g(x) 的图象关于 y 轴对称，则 m 的最小正值是（ ）
上，设直线 CM 与 BF 所成的角为 ，则 的取值范围为（ ）
A．
0,
3
B．
0,
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷(5月份)
2020年浙江省杭州市高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题1．（4分）设集合2{|4}A x y x ==-，{|(1)}B x y ln x ==+，则(A B =I ) A ．(2,2)-B ．[2-，2]C ．(1-，2]D ．[1-，2]2．（4分）设M 为不等式1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩所表示的平面区域，则位于M 内的点是( )A ．(0,2)B ．(2,0)-C ．(0,2)-D ．(2,0)3．（4分）某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．76B ．54C ．43 D ．534．（4分）“3a =”是”函数()|1|||()f x x x a x R =-+-∈的最小值等于2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件5．（4分）在我国古代数学著作《详解九章算法》中，记载着如图所示的一张数表，表中除1以外的每一个数都等于它肩上两个数之和，如：633=+．则这个表格中第8行第6个数是( )A ．21B ．28C ．35D ．566．（4分）函数141xy e x =--（其中e 为自然对数的底数）的图象可能是( )A ．B ．C ．D ．7．（4分）抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷i n 次，设抛掷次数为随机变量i ξ，1i =，2．若13n =，25n =，则( ) A ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ< B ．12()()E E ξξ<，12()()D D ξξ> C ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ<D ．12()()E E ξξ>，12()()D D ξξ>8．（4分）已知函数sin()(0)()cos(),(0)x a x f x x b x +⎧=⎨+>⎩„是偶函数，则a ，b 的值可能是( )A ．3a π=，3b π=B ．23a π=，6b π=C ．3a π=，6b π=D ．23a π=，56b π= 9．（4分）设a r ，b r ，c r为非零不共线向量，若|(1)|||()a tc t b a c t R -+--∈r r r r r …，则( ) A ．()()a b a c +⊥-r r r r B ．()()a b b c +⊥+rr r r C ．()()a c a b -⊥+r r r r D ．()()a c b c -⊥+r r rr10．（4分）数列{}n a 满足113(*)44n n a n N a +=-∈．若存在实数c ．使不等式221n n a c a -<<，对任意*n N ∈恒成立，当11a =时，(c = ) A ．16B ．14 C ．13D ．12二、填空题11．（6分）复数z a i =-且1(1zbi a i=++，b R ∈，i 为虚数单位），则ab = ；||z = ． 12．（6分）61()x x+的展开式的所有二项式系数和为 ，常数项为 ．13．（6分）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，P 为该双曲线上一点且122||3||PF PF =，若1260F PF ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ，渐近线方程为 ． 14．（6分）在ABC ∆中，若22sin 3sin 2AA ，sin()2cos sinBC B C +=，则A = ，ACAB= ． 15．（4分）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若24S …，416S „，则5a 的最大值是 ． 16．（4分）安排A 、B 、C 、D 、E 、F 共6名志愿者照顾甲、乙、丙三位老人，每两位志愿者照顾一位老人，考虑到志愿者与老人住址距离问题，志愿者A 安排照顾老人甲，志愿者B 不安排照顾老人乙，则安排方法共有 种．17．（4分）已知函数3()|||3|(,)f x x a x b a b R =-+-∈．当[0x ∈，2]，()f x 的最大值为(,)M a b ，则(,)M a b 的最小值为 ． 三、解答题18．（14分）已知函数213()sin 322x f x x cos ωω=+-，0ω>． （1）若1ω=，求()f x 的单调递增区间；（2）若()13f π=，求()f x 的最小正周期T 的最大值．19．（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PC ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB AD ⊥，//AB CD ，222AB AD CD ===，E 是PB 上的点．（1）求证：平面EAC PBC ⊥；（2）若E 是PB 的中点，且二面角P AC E --的余弦值为6，求直线PA 与平面EAC 所成角的正弦值．20．（15分）已知数列{}n a 的各项均为正数，114a =，n nb a {}n b 是等差数列，其前n 项和为n S ，2681b S =g ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）12(1)(1)(1)n nc a a a =--⋯-，312123n n na a a a T c c c c =++⋯+，若对任意的正整数n ，都有。