2019八年级数学下册16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减导学案新人教版
典例精析
. 要点归纳：（1）判断几个二次根式是否可以合并（加减运算），一定都要化为最简二次根 式再判断.（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开
方数(式)不变.如： m a n a m n a
例 1 若最简根式 2n1 3m 2n 与 3 可以合并，求 mn 的值.
3.探究点 2 新知 讲授 （见幻灯片 11-19）
4.课堂小结（见 幻灯片 27）
典例精析
要点归纳：二次根式的加减法法则:一般地，二次根式加减时，可以先 将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合 并. 加减法的运算步骤：(1)化——将非最简二次根式的二次根式化简； (2)找——找出被开方数相同的二次根式； (3)并——把被开方数相同的二次根式合并.
明理由.
分析：(1)若几个非负数的和为零，则这几个非负数必须为零；(2)根据三角形的三边
关系来判断.
教学备注 配套 PPT 讲授
5.当堂检测 （见幻灯片 20-26）
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为 5 2, 2 6 ，求其周长.
二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式 的大小. 针对训练 1.下列计算正确的是（ ）
(1)由左图，易得 2a+3a=
；
(2)当 a= 2 时，分别代入左、右得 2 2 3 2 = ______ ；
(3)当 a= 3 时，分别代入左、右得 2 3 3 3= _____ ；......
(4)根据右图，你能否直接得出当 a= 2 ，b= 8 时，2a+3b 的值？结果能进行化简吗？
教学备注
配套 PPT 讲授 3.探究点 2 新 知讲授 （见幻灯片 11-19）
方法总结:确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数 相同，指数都为 2 列关于待定字母的方程求解即可.
教学备注 配套 PPT 讲授
【变式题】如果最简二次根式 3a 8 与 17 2a 可以合并，那么要
(4)
48 4
1 8
3
1楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为 763.02m2 和 150.72m2，求圆环的宽度 d（π 取 3.14）.
能力提升 7.已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b= a 3 b ，求(2*3)－(27*32)的值．
( 1 ) 5 2 18= ______；( 2 ) 4 18 -9 2 _________ ；
( 3 )10 2 (3 8-7 2)_______；( 4 ) 5 12 -(3 82 27)_______.
5.计算:
(1) 5 8- 2 27 18 ； ( 2 ) 2 18- 50 13 45.( 3 ) 44 - 3 1111 2 ；
使式子 4a 2x 有意义，求 x 的取值范围.
xa
针对训练
1.下列各式中，与 3 是同类二次根式的是（ ）
A. 2
B. 5
C. 8
D. 12
2. 8 与最简二次根式 m 1 能合并，则 m=_____.
3.下列二次根式，不能与 12 合并的是________(填序号）.
① 48;②- 125;③ 11;④ 3;⑤ 18. 32
当堂检测
1.二次根式： 12、 3、18、 27 中，与 3 能进行合并的是（
）
2
A. 12与 3 2
B. 3与 18 C. 12与 27 D. 18与 27
2
2.下列运算中错误的是
（）
A. 2 3 5 B. 2 3 6
C. 8 2 2
D.（ 3）2 3
3.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ，则这个三角形的周长为________. 4.计算:
例 2 (教材 P13 例 2 变式题)计算：
(1) 8 1 ; 50
(2)3 12 1 . 27
例 3
已知 a,b,c 满足 a
2
8
b5 c3 2 0.
(1)求 a,b,c 的值；
(2)以 a,b,c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说
一、知识回顾 1.满足什么条件的二次根式是最简二次根式?
2.化简下列两组二次根式，每组化简后有什么共同特点?
(1) 8 ，18 ，0.5;
(2) 80 ，45 ，20 .
配套 PPT 讲 授 1.情景引入 （见幻灯片 3-4） 2.探究点 1 新 知讲授 （见幻灯片 5-10）
课堂探究
一、要点探究 探究点 1：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式 类比探究 在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考：
探究点 2：二次根式的加减及其应用 思考 现有一块长 7.5dm、宽 5dm 的木板，能否采用如图的方式，在这 块木板上截出两个分别是 8dm2 和 18dm2 的正方形木板？ 问题 1 怎样列式求两个正方形边长的和? 问题 2 所列算式能直接进行加减运算吗?如果不 能,把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再 试一试(说出每步运算的依据）.
A. 2 2 2
B. 3 2 3 2
C. 12 3 3
D. 3 2 5
2.已知一个矩形的长为 48 ，宽为 12 ，则其周长为________.
二、课堂小结 二次根式的加减
内容
法则 注意
一般地，二次根式的加减时，可以先将二次根式化成最 简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并. (1)与实数的运算顺序一样； (2)实数的运算律仍然适用； (3)结果要化成最简形式.
教学备注
第十六章 二次根式
16.3 二次根式的加减 第 1 课时 二次根式的加减
学习目标：1.了解二次根式的加、减运算法则； 2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
重点：了解二次根式的加、减运算法则. 难点：会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.
学生在课前 完成自主学 习部分
自主学习
八年级数学下册16.3 二次根式的加减(第1课时)导学案(新版)新人教版
八年级数学下册16.3 二次根式的加减（第1课时）导学案（新版）新人教版16、3 二次根式的加减学习目标1、会进行二次根式的加减运算。
2、通过加减法运算解决生活实际问题。
教学重点:二次根式加减法运算。
教学难点：：能准确进行二次根式加减法运算。
【学前准备：】1、计算下列各式、（1）2x+3x= （2）2x2-3x2+5x2= （3）x+2x+3y= （4）3a2-2a2+a3 = 归纳：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的合并同类项、合并同类项就是不变，相加减、2、把下列二次根式化简（1）（2）（3）【导入：】【自主学习，合作交流】阅读课本12页问题问题：上述二次根式化简为最简二次根式，它们的被开数有什么特点？你能合并吗？3、小试牛刀：（1）观察下列各组式子，能进行合并的是（）A B C 与、（2）若最简二次根式与可以合并，则= （二）二次根式的加减法运算1、自学课本13页例1，仿例完成下列练习（1）；（2）；（3）2、自学课本13页例2，仿例完成下列练习：（1）；（2）【精讲点拔】【当堂检测】1、下列计算是否正确？为什么？（1）；（2）；（3）; （4）、2、计算：（1）+ 纠错栏（3）3、如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是12、56cm2和25、12cm2，求圆环的宽度d(π取3、14)、【课堂小结】XXXXX：二次根式加减法的步骤：（1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出被开方数相同的二次根式；（3）合并、（一化、二找、三合并、）【课后作业】必做题1、二次根式：①；②；③；④中，与能合并的二次根式的是（）、A、①和②B、②和③C、①和④D、③和④2、计算：（1）（2）(3)(4)选做题若最简二次根式与的被开方数相同，则、的值为（）A、 B 、C、或D、【评价】准确程度评价优良中差书写整洁程度评价优良中差【课后反思】。
人教版八年级数学下册第1课时 二次根式的加减(导学案)
16.3二次根式的加减第1课时二次根式的加减一、新课导入1.导入课题大家非常熟悉8+18是多少呢？怎么计算呢？今天我们一起来学习二次根式的加法.2.学习目标（1）知道怎样的二次根式能进行合并.（2）知道进行二次根式的加减法运算的步骤和方法.3.学习重、难点重点：会进行二次根式的加减法运算.难点：二次根式的加减法运算步骤.二、分层学习1.自学指导（1）自学内容：教材P12的内容.（2）自学时间：6分钟.（3）自学方法：体会列式、化简的过程，联想多项式相加时，合并同类项的方法来类比课文中二次根式的合并方法. （4）自学参考提纲：①下面每组中的二次根式能否合并？为什么？答案：能；能；不能.理由：前两个式子为同类二次根式，最后一个不是，不能合并.②合并二次根式的要点是什么？③二次根式的加减运算的一般步骤是什么？④下列计算是否正确？为什么？答案：×;×;√;×.理由：第1、2、4个式子不是同类二次根式，不能合并.第3个式子为同类二次根式，可以合并.2.自学：学生可参考自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否掌握怎样的二次根式能够合并，合并的方法是什么.②差异指导：对是不是被开方数不同就不能合并，合并前应做什么等问题进行指导.（2）生助生：学生相互研讨疑难之处.4.强化（1）归纳合并二次根式的方法和要点.（2）总结二次根式的加减运算的一般步骤.1.自学指导（1）自学内容：教材P13例1和例2.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：先独立运用刚才总结的二次根式加减法法则计算，然后对照课本步骤验证方法是否正确. （4）自学参考提纲：①计算.②二次根式的加减与整式的加减有哪些类似之处？③例题中(1)、(2)先做了什么？然后做什么？④计算：-;答案：42.自学：学生可结合自学参考提纲进行自学.3.助学（1）师助生：①明了学情：了解学生是否熟悉了例题介绍的计算步骤及方法，存在哪些疑点.②差异指导：不是最简二次根式的先化简；化简后找被开方数相同的二次根式.（2）生助生：相互交流，帮助矫正错误.4.强化（1）强化自学提纲中该重点强化的内容.（2）点学生板演自学参考提纲第④题，并点评.（3）回顾本节所学知识点和数学思想方法.三、评价1.学生的自我评价(围绕三维目标)：小组代表介绍小组成员怎样学习，有哪些收获和不足.2.教师对学生的评价：(1)表现性评价：点评学生的学习态度、方法、成果及存在的问题.(2)纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）.本课时通过创设情境，给出实例.由学生主动参与，经过思考、讨论、分析的过程，老师加以启发和引导，让学生明白二次根式的加减的实质是合并同类二次根式；师生共同总结出二次根式加减法运算的步骤：(1)化成最简二次根式；(2)找出被开方数相同的二次根式；(3)合并被开方数相同的二次根式，可简化为：化简→判断→合并.(时间：12分钟满分：100分)一、基础巩固（70分）1.(10分)合并的二次根式是(C )A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④2.(10分)下列计算正确的是(C )3.(10分)若最简二次根式x＝2.4.(40分)计算：二、综合运用(15分)三、拓展延伸(15分)。
人教版八年级数学下册教案-16.3二次根式的加减
-实验操作：指导学生进行简单的二次根式加减计算；
-分组讨论：学生分成小组，讨论解决实际问题时如何应用二次根式加减。
4.学生小组讨论（10分钟）
-主题：围绕“二次根式在实际生活中的应用”展开讨论；
-引导与启发：提出问题，引导学生思考，激发他们的想象力。
5.成果展示（5分钟）
-每个小组选派一名代表分享讨论成果；
二、核心素养目标
1.培养学生逻辑推理能力，通过对二次根式性质的探究，理解并掌握二次根式的加减法则；
2.培养学生数学运算能力，能够熟练运用二次根式加减法则进行混合运算；
3.培养学生数学抽象能力，从实际问题中抽象出二次根式加减的数学模型，提升解决实际问题的能力；
4.培养学生合作交流能力，通过小组讨论、问题探究等形式，提高学生团队协作和沟通表达能力。
(2)指导学生在混合运算中如何识别同类二次根式，如√18 + √50，化简后为3√2 + 5√2，进而合并为8√2；
(3)通过设计不同类型的实际应用题，帮助学生克服在具体问题中应用二次根式加减法则的困难，例如在几何图形面积计算中，如何将不同长度的边转化为同类二次根式进行计算。
直接输出：
三、教学流程
1.导入新课（5分钟）
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握二次根式的定义及性质，特别是二次根式乘除法的运算规律；
-熟练运用二次根式的加减法则进行计算，并能解决相关问题；
-能够将实际问题抽象为二次根式加减的数学模型。
举例解释：
(1)重点讲解二次根式乘除法的运算规律，如√a × √b = √(ab)等，并通过例题演示；
(2)强调二次根式加减法则，如√a + √b ≠ √(a+b)，通过具体计算题指导学生正确运用；
人教版数学八年级下册导学案：16.3-1二次根式的加减运算
1________=（________==_____________===_________________===_________(_________()_____()===化成最简二次根式应用分配率结果)___________(___________()_____()===化成最简二次根式应用分配率结果)1=________________________=2=________________________=（1=________________________________=（）2=_____________________________________+=（1=（ ）323=（）3－2 （ ）22=（）（ ）4315⨯=（）5 （ ）16.3二次根式的加减运算（1）一、学习目标1、了解哪些二次根式能进行加减运算。
2、能熟练进行二次根式的加减运算。
二、学习重点、难点重点：二次根式加减法的运算。
难点：把二次根式的化简成最简二次根式。
三、学习过程（一）知识准备1、什么是同类项？所含字母__________,且相同字母的指数也_________；2、计算（合并同类项）：（1）x x 32+； （2）222532x x x +-； （3）y x x 32++ =________ =_______ =__________ 3、整式的加减就是合并同类项，不是同类项不能合并，合并同类项的方法是：系数__________,字母和字母的指数___________； 4、化简：（二）自主学习1、按提示尝试计算：2、通过计算归纳：进行二次根式的加减法时，应先把二次根式化成_________________,再将___________________________________进行合并.3、注意:(1)二次根式的加减法就是合并被开方数相同的二次根式,不是被开方数相同的二次根式不能合并.(2)合并被开方数相同的二次根式方法是：系数___________,根号和被开方数__________.(3) 二次根式的加减法的步骤是: ①化成最简二次根式；②找出被开方数相同的二次根式；③合并被开方数相同的二次根式，被开方数不相同的二次根式的不能合并。
八年级数学《二次根式的加减》导学案
八年级数学《二次根式的加减》导学案学习目标：1.了解二次根式的加、减运算法则；2.会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.学习重点：了解二次根式的加、减运算法则.学习难点：会用二次根式的加、减运算法则进行简单的运算.一、阅读教材第12页至13页的部分，完成以下问题.探究：在二次根式的加减运算中可以合并的二次根式类比探究在七年级我们就已经学过单项式加单项式的法则.观察下图并思考：(1)由左图，易得2a+3a= ；___；(2)当a时，分别代入左、右得___+；......(3)当a时，分别代入左、右得_____(4)你能否直接得出当a，时，2a+3b的值？结果能进行化简吗？归纳：（1）判断几个二次根式是否可以合并（加减运算），一定都要化为最简二次根式再判断.（2）合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数(式)相加，根指数和被开方数(式)不变.例1 若最简根式2可以合并，求.展示反馈：1.是同类二次根式的是（）B.2.m=_____.3.________(填序号）. ②例2 (教材P13例2)计算：例3教材P13例3计算：【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为，求其周长.展示反馈：1.下列计算是否正确？为什么？2.计算:+)二、能力提升已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y-（x．23三、课堂小结达标检测1.能进行合并的是（）D.2.下列运算中错误的是（）（=A. B. = C. 2 D.233.则这个三角形的周长为________.4.计算:(2)；=(4)_______(3_______+=；.5.计算:；(3)a(1)(2)6.下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为763.02m2和150.72m2，求圆环的宽度d（π取3.14）.能力提升5.已知a，b都是有理数，现定义新运算：a(2*3)－(27*32)的值。
16.3 二次根式的加减(第1课时)(课件)八年级数学下册(人教版)
知识点一 同类二次根式
活动1 观察下列二次根式的被开数有什么共同特征：
（1） 2，3 2，-
2
5
1
2，
3
2 ···
2
（2） 3，17 3，- 5 3， ·
3··
13
每组的二次根式的被开方数相同
活动2 思考下列二次根式具有的被开数以上特征吗？你怎样发现的？：
9
（3） 2， 8， 18， 32， 0.5，2
2 10
8
2
3
5
3
2
ab
2
b
(1) 75 =____；(2) 8a b =_______；(3) =_____.
5
5
问题 现有一块长 7.5 dm、宽 5 dm 的木板，能否采用如图的方式，在这
块木板上截出两个分别是 8 dm2 和 18 dm2 的正方形木板？
5 dm
5 dm
8 18
8
18
2
2
2
5
2
1 4.
课堂总结
一般地，二次根式的
法
则
加减时，可以先将二次根
式化成最简二次根式，再
将被开方数相同的二次根
二次根
式加减
式进行合并.
注
运算原理
运算律仍然适用
运算顺序
与实数的运
算顺序一样
意
(乘法分配律逆用)
5 2
(有理数的加减)
归纳知识
2.二次根式的加减法法则
将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行合并.
简记：一化、二找、三合并
典例精析
【例3】计算:
(1) 80 45;
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新人教版数学初中八年级下册16.3《二次根式的加减》公开课优质课教学设计
1《16.3二次根式的加减》本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，本课在学习二次根式乘除运算及化简的基础上，从算术平方根的运算出发，从算术平方根的运算出发，研究二次根式的加减运算．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．二次根式的运算方法与数的运算方法本质上是一致的．实数的运算律对二次根式的运算仍实数的运算律对二次根式的运算仍然适用．结合二次根式的化简、乘除和加减运算，利用交换律、结合律、分配律及多项式乘法公式进行二次根式的混合运算．进行二次根式的混合运算．1. 1. 探索二次根式加减运算的方法和步骤；探索二次根式加减运算的方法和步骤；2.2. 会进行二次根式的加减运算．会进行二次根式的加减运算．3.3. 通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想通过探究二次根式的加减运算体会数学中的类比思想. .4.4. 类比有理数混合运算和整式混合运算，探索二次根式的加、减、乘、除混合运算顺序的步骤和方法方法. .5.5. 能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算能熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .6.6. 通过学习二次根式的加、减、乘、除混合运算的学习，培养学生的运算能力、推理能力．1.1. 在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．在化简二次根式的基础上，应用分配律进行二次根式的加减运算．2.2. 熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算熟练并准确地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算. .课件课件◆ 教材分析 ◆ 教学目标◆ 教学重难点 ◆◆ 课前准备◆◆ 教学过程第一课时一、复习引入：一、复习引入：问题1：什么叫最简二次根式？你能将18，8，23化为最简二次根式吗？化为最简二次根式吗？ 问题2：现有一块长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 的木板的木板,,能否采用如图的方式能否采用如图的方式,,在这块木板上截出两个面积分别是8dm 2和18dm 2的正方形木板的正方形木板? ? 提问提问::①大、小正方形木板的边长分别为18dm 和8dm,dm,木板是木板是否够宽否够宽??②木板是否够长呢②木板是否够长呢??③怎样计算818+的结果呢的结果呢? ?问题3：计算下列各式：（1）a+2a a+2a；；（2）3x-2x 3x-2x；；解：（1）a+2a=(1+2)a=3a a+2a=(1+2)a=3a；；（2）3x-2x=(3-2)x=x 3x-2x=(3-2)x=x；；【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备【设计意图】回顾整式的加减及合并同类项法则，为后续学习二次根式的合并做准备. .二、新课讲解：1.1.探究二次根式的加法探究二次根式的加法探究二次根式的加法. .问题4：请类比整式的加减，计算下列各式：：请类比整式的加减，计算下列各式：（1）323+；（2）52-53.解：（1）333)21(323=+=+；（2）55)23(52-53=-=.【点拨】最简二次根式中，被开方数相同的二次根式的加减，直接把系数相加减，根号和根号内的数不变内的数不变. .问题5：53+能合并吗？为什么？82+呢？呢？解：53+不能合并，因为它们被开方数不相同；不能合并，因为它们被开方数不相同；232)21(22282=+=+=+.【小结】（1）二次根式能够进行合并的条件：①首先将二次根式化成最简二次根式；②观察被开方数是否相同开方数是否相同. .（2）二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并式合并. .练习1：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（：下列各组二次根式中，能够合并的一组二次根式是（ ）A ．xy 与y x 2B ．22y x +与22y x - C ．mn 与n m + D．ab 2与ba 2 练习练习:2:2:2：：（教材P13练习）下列计算是否正确？为什么？练习）下列计算是否正确？为什么？（1）3838-=-；（2）9494+=+；（3）22223=-.解：（1）∵228=和3的被开方数不相同，的被开方数不相同，∴不能合并∴不能合并,,故错误故错误. .（2）∵53294=+=+，1394=+，故9494+¹+，故错误；，故错误；（3）∵22)23(2223=-=-，故正确故正确. .[点拨点拨]]化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并化为最简二次根式后，只有被开方数相同的二次根式才能合并. .2.2.二次根式加法的运用二次根式加法的运用二次根式加法的运用. .问题7：（教材例题）计算：（1）4580-；（2）a a 259+；（3）483316122+-；（4）)53()2012(-++.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a 853259=+=+；（3）3102831232-28483316122+=+=+-； （4）533535232)53()2012(+=-++=-++.练习3：（教材P13练习2）计算：（1）4580-；（2）a a 9194+； （3）52080+-；（4）)2798(18-+；（5）)681()5.024(--+.解：（1）553-544580==-； （2）a a a a a =+=+31329194； （3）535525452080=+-=+-；（4）33210332723)2798(18-=-+=-+；.42636422262)642()2262()681()5.024(5+=+-+=--+=--+）（问题6：前面问题2中，怎样计算818+的结果呢的结果呢??木板长7.5dm,7.5dm,宽宽5dm 5dm，是否够长？，是否够长？，是否够长？解：818+=2223+···化为最简二次根式·化为最简二次根式=2)23(+···乘法分配率·乘法分配率=25≈7.077.07＜＜7.5故木板够长故木板够长. .练习4：（教材P13练习3）如果两个圆的圆心相同，他们的面积分别是12.56和25.1225.12，求圆环的，求圆环的宽度d （π取3.143.14，结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位），结果保留小数点后两位）. .解：∵解：∵S S 圆=πr 2，∴d=r 大圆-r 小圆小圆=2224814.356.1214.312.25-=-=-=-ππ小圆大圆S S ≈0.83 答：圆环的宽度d 为0.83.三、课堂小结：三、课堂小结：1.1. 知识梳理：（1）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同）二次根式合并的前提：化成最简二次根式之后，被开方数相同. .（2）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式）二次根式加减的实质：合并被开方数相同的最简二次根式. .2.2.二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：二次根式加减的实质是二次根式的合并，计算过程中容易出现以下错误：①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；①化成最简二次根式后，如果被开方数不相同，则不能进行合并；②合并被开方数相同的最简二次根式时，②合并被开方数相同的最简二次根式时，只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数只合并根式外的因式，即系数相加减，被开方数和根指数不变不变. .3.3. 二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．二次根式加减运算的步骤：①去括号；②化简；③判断并合并．4.4.二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别运算运算二次根式的乘除法二次根式的乘除法 二次根式的加减法二次根式的加减法 系数系数系数相乘除系数相乘除 系数相加减系数相加减被开方数被开方数 被开方数相乘除被开方数相乘除 被开方数不变被开方数不变化简化简 结果化成最简二次根式结果化成最简二次根式先化成最简二次根式先化成最简二次根式,,再合并被开方数相同的二次根式的二次根式((同类二次根式同类二次根式) )四、随堂测试：四、随堂测试：1.1.下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是下列各式计算正确的是 ( () A.532=+ B.13334=- C.363332=´ D.3327=¸ 解析解析:A.:A.:A.不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；不是同类二次根式，不能合并，故错误；B.B.合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；合并同类二次根式时根号及根号下的被开方数不能丢掉，故错误；C.C.应为应为18363332=´=´´，故错误；，故错误；D.39327327==¸=¸，故正确，故正确. .故选D.2.2.以下二次根式以下二次根式以下二次根式::①12,②22,③32,④27中, 化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是化简后能合并成一项的是( ( ( )A.A.①和②①和②①和②B. B.②和③②和③②和③C. C.①和④①和④D.D.③和④③和④③和④解析：①3212=；②222=；③3632=；④3327=. 3.3. 计算：2-23的值是（的值是（） A.2 B.3 C.2 D.22 解析：解析：..222)13(2-23=-=.4.4. 一个等腰三角形的两边长分别为2332，, 则三角形的周长为则三角形的周长为则三角形的周长为. . 解析：分两种情况讨论：（1）当32为腰长，23为底边长时，周长为3423+；（2）当23为腰长，为32底边长时，周长为3226+.5.5. 若最简二次根式若最简二次根式14232+a 与16322-a 的被开方数相同的被开方数相同,,则a= a= . 解析：由题意得4a 2+1=6a 2-1-1，解得，解得a=a=±±1.6.6. 计算：（1）233-2332++； （2）101015-40+.第二课时一、复习引入：一、复习引入：1.1.计算：（1）728+；（2）68´；（3）324¸. 解：（1）282622728=+=+；（2）34486868==´=´；（3）228324324==¸=¸.【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备【设计意图】复习二次根式的加减、乘除法则，为下面研究四则混合运算做准备. .2.2. 计算：（1）(2x-y)(2x-y)··zx zx；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy xy；；（3）(2x+y)(x-3y) （3）(2x+3y)(2x-3y);(2x+3y)(2x-3y);（（4）(2x+1)2+(2x-1)2.解：（1）(2x-y)(2x-y)··zx=2x 2z-xyz z-xyz；；（2）(2x 2y+3xy 2)÷xy=2x 2y ÷xy+3xy 2÷xy=2x+2y xy=2x+2y；；（3）(2x+y)(x-3y)=2x 2-6xy+xy-3y 2=2x 2-5xy-3y 2;（4）(2x+3y)(2x-3y)=(2x)2-(3y)2=4x 2-9y 2;（5）(2x+1)2+(2x-1)2=4x 2+4x+1+4x 2-4x+1=8x 2+2.提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？提问：上面的运算用到了哪些法则和公式？学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式学生回顾：多项式乘单项式，多项式除以单项式、多项式乘多项式法则和平方差、完全平方公式. .【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算【设计意图】复习整式的四则运算和乘法公式，类比学习二次根式的混合运算. .二、新课讲解：二、新课讲解：问题1：如果把上面的x ，y ，z 改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？改成二次根式呢？以上的运算法则是否仍然成立？例1.1.（教材（教材P14例题3）计算：（1）6)38(´+；（2）226324¸-）（.解：（1）6)38(´+=6368´+´=1848+=2334+；（2）2263-24¸）（ =22632224¸-¸=3232-.【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率【点拨】类比多项式乘单项式和多项式除以单项式法则计算，这里运用了分配率. . 练习1：（教材P14练习1）计算：（1）)53(2+；（2）5)4080(¸+； 解：（1）)53(2+=5232´+´=106+；（2）5)4080(¸+=540580¸+¸=816+=224+.【小结】（1）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；）与有理数、实数运算一样，在混合运算中先乘除，后加减；（2）最终的结果一定要化为最简二次根式）最终的结果一定要化为最简二次根式. . .问题2.2.（教材（教材P14面例4）例2.2. 计算：（1）)52()32(-×+；（2）)35)(35(-+. 解：（1）)52()32(-×+=152523)2(2--+=15222--=2213--；（2）)35)(35(-+=22)3()5(-=5-3=2.提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？提问：你能说出上面两道题中每一步的依据是什么吗？【小结】乘法公式使计算准确、简便，因此能用运算公式的，尽可能用运算公式．因为二次根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．根式表示数，二次根式的运算也是实数的运算．练习2：计算：（1）)17(72--=；（2）)2332)(2332(+-=.答案为：7214+-；6.练习3：计算2)322215324(×+-的结果是（的结果是（ ） A. A. 303-3320 B.30-3320 C.332303- D.332302- 练习3 计算：（1）)2762)(6227(-+；（2）2)377(-；（3）22)632()632(-+--+解：（1）)2762)(6227(-+=222762）（）（-=24-98=-74=-74；；（2）2)377(-=22)37(3772)7(+´´-=2114154-；（3）22)632()632(++--+=)]632()632)][(632()632[(++--++++-+ =)62()3222(-×+=21238--.练习4：已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0-4x-6y+10=0，求下面式子的值，求下面式子的值，求下面式子的值. . )1()(2y x y x y x y y xx +-+解：由4x 2+y 2-4x-6y+10=0得到得到(2x-1)(2x-1)2+(y-3)2=0,∴2x-1=0,y-3=0.解得，解得，x=x=21，y=3. )1()(2yx y x y x y y xx +-+ =yx x y y x 12--+ =y y x x y y y x--+=x y -当x=21，y=3时，时， 原式原式==223213-=-. 三、课堂小结：三、课堂小结：师生共同回顾本节课所学主要内容师生共同回顾本节课所学主要内容: :关于二次根式的四则混合运算关于二次根式的四则混合运算,,实质上就是实数的混合运算.(1)(1)运算顺序与有理式的运算顺序相运算顺序与有理式的运算顺序相同;(2);(2)运算律仍然适用运算律仍然适用运算律仍然适用;(3);(3);(3)与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似与多项式的乘法和因式分解类似,,可以利用乘法公式与因式分解的方法来简化二次根式的有关运算.四、随堂检测：1. 下列二次根式中可以进行合并的是下列二次根式中可以进行合并的是( ) ( )A. ab 与2abB. 22n m + 与22n m -C. mn 与nm 11+ D. 438b a 与432b a 【知识点：同类二次根式】【知识点：同类二次根式】【参考答案】D【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同【思路点拨】先化简成最简二次根式，再看被开方数是否相同. .2.2.计算：计算：)12)(12(-+的结果是（的结果是（）. A.23+ B.23- C.1D.3 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】C C【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，【思路点拨】在整式运算中使用的公式在二次根式运算中照样适用，因此，本题利用平方差公式直本题利用平方差公式直接计算即可接计算即可. .3.3.若矩形相邻两边长分别是若矩形相邻两边长分别是cm 20和cm 125，则它们的周长是，则它们的周长是. .【知识点：二次根式混合运算】【知识点：二次根式混合运算】【参考答案】cm 514【思路点拨】矩形的周长【思路点拨】矩形的周长==（长（长++宽）×宽）×2 24. 计算：)4831375(12-+´的结果是（的结果是（） A.23 B.32 C. 6D. 12 【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】【参考答案】D D【思路点拨】123232)34335(12)4831375(12=´=-+´=-+´5. 计算：3)4841311527(¸+-【知识点：二次根式的混合运算】【知识点：二次根式的混合运算】【参考答案】1-【解析】原式=1333)33533(-=¸-=¸+-略。
人教版八年级数学下册16.3二次根式的加减导学案3.doc
【学习日标】（1）理解和常握二次根式加减的方法;（2）含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应用【重点难点】最简二次根式的判断，及二次根式的混合运算。
知识概览图同类二次根式二次根式的加减二次根式的加减二•次根式的混合运算新课导引如图所示，要在圆形的花坛的中心种花，外围栽草，并使得两个圆为同心圆，种花、草的面积分别为【问题探究】 由于种植花、草的面积分别为6.28 cm 2, 18.84 cm 2,所以花坛的大、小圆的面积分别为25.12 cm 2, 6.28 cm 2,求得它们的半径分别为J 竺呂和，当兀取3.14时，它们的值分別为旋和血, 兀71这实际上是求旋-血，那么如何计算旋-血呢?【解析】V8-V2=2V2-V2=(2-1)V2=V2.教材精华知识点1同类二次根式定义：儿个二次根式化成最简二次根式以后，如杲被开方数相同，这儿个二次根式叫做同类二次根式.I 可类二次退式与回类项类似.例如：3小2和百2是同类项，・2馆与3巧是同类二次根式，3 伍与也是同类二次根式•又如：-辰与历，需要化简后再判断，因为-V12=-2V3,V27= 3V3 ,所以16.3二次根式的加减0 0 6.28 cnr, 18.84 cnT,-屁与历是同类二次根式.对辰和何来说，因为= 2爲，応=3迥,它们的被开方数不同, 所以屁与屆不是同类的二次根式.拓展对同类二次根式的理解应注意以下几点（」）判断儿个二次根式是否是同类二次根式时，首先将二次根式化为最简二次根式，其次看被开方数是否相同.（2）几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数和根指数有关，与根号外的系数无关.全并同类二次根式.将同类二次根式的系数相加减，根指数耳被开方数保持不变.例如；朋-2的+扌岳3-2 +丄更合并同类二次根式的方法与整式加减中合并同类2)项类似，利用合并同类项的法则把二次根式的加减运算转化为系数（有理数）的加减运算.［來源:学科网ZXXK］拓展（1）二次根式的系数就是这个二次根式根号外的因式（或因数），它包含前面的符号.（2）当二次根式的系数为带分数时，必须将其化为假分数.（3）不是同类二次根式，千万不要合并.知识点2二次根式的加减二次根式的加减实质上就是合并同类二次根式.即先将各个二次根式都化成最简二次根式；再把其中的同类二次根式进行合并对于没有合并的二次根式，一定不要丢弃，要抄下来，它们也是结果的一部分.P二次根式的加减运算实质上是化成最简二次根式，再合并同类二次根式.在运算过程中，与整式的加减类似.交换律、结合律以及乘法分配律，去括号法则在二次根式的加减中仍然适用.7二次根式的加减步骤：（1）先将每一个二次根式都化为最简二次根式.（2）判断哪些根式为同类二次根式，把同类二次根式合并为一组.（3）合并同类二次根式.例如：（1） V50 + V32+V18-2V8=5V2+4V2+3V2-4V2= (5 + 4 + 3-4)V2 =8>/2.(2) V27-2V3+V45 =3^3-2>/3+3^5 =73+3^5.拓展二次根式的加减法与二次根式的乘除法的区别如下表所示:知识点3二次根式的混合运算二次根式的混合运算实质上是有理数与无理数的混合运算，是二次根式的加、减、乘、除、乘方法则的综合应用.在进行二次根式的混合运算时，应注意：(1)二次根式的混合运算顺序和实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号的，先算括号里面的(或者先去括号).(2)乘法运算的运算律以及乘法公式在二次根式中的运用.(3)二次根式运算的结果要最简，不能含有能合并的同类二次根式.拓展在进行二次根式的运算时，能用乘法公式的要尽量使用乘法公式，有时还需要灵活逆用公式，这样可以使计算过程大大简化.【规律方法小结】我们在学习同类二次根式的概念、二次根式的加减法吋就是采用类比的方法，类比整式小同类项的概念、整式的加减法来学习和掌握的.探究交流"73+375=475"是否正确？为什么？点拨不正确，因为与3厉不是同类二次根式，不能合并，这与合并同类项一样，不是同类的不能合并.课堂检测基本概念题基础知识应用题2、 下列二次根式中，能够与庞合并的是() A. V27 B. V18 C. V49 3、计算.(1) 780-720 + 75;(2) (724+ V0?5)-^J|-V6(3) 屮一鹉 + y[a^b - 3而(a >0,b >0);+ b综合应用题4、满足不等式V2(x-l)>V52-何的最小整数解是()探索创新题［來源:学科网］5、在化简怛1吋,有下列两种不同的方法: a + Qcib—y[ci — yfh.1、下列二次根式中，哪些是同类二次根式?A. 2B. 3 ・C.4D. 5［来源:学，科,网Z,X,X,K ］ 方法1： 原式= \[a(a-b) _ a-b _ (\Ja -\/b)(a-b) +V&) y/ci + yjb (yjci — yfh^yfci + \/h) (sfa - 4b)(a -b) a-b D.0呵_妁=丽_丽・V Cl(V Cl + y/b) \y/ci + y[b方法2：原式二土曾 =产呂」石+Cl yjb这两种方法都正确吗？若有错误，说明理由.体验中考1、如果（2+岛=u+b伍a方为有理数），那么G+b等于（）A.2B.3C.8D.102、下列计算正确的是（）A.2V3+3V3 =5^6C._（_Q）4子/ - a2学后反思B.(A/2+1) (1-孙二1 D.(xy)-11。
八年级数学下册 16 二次根式 16.3 二次根式的加减(第1课时)导学案(新版)新人教版
16.3.1 二次根式的加减（1）
学习目标：
1.知道什么样的二次根式可以进行加减.
2．理解和掌握二次根式加减的方法．
3．在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解，用它来指导二次根式的计算和化简．学习重点：二次根式化简为最简根式．
学习难点：会判定是否是最简二次根式．
一、预习内容
计算：（1）2x+3x；（2）2x2-3x2+5x2；（3）x+2x+3y；（4）3a2-2a2+a3
二、数学概念
1、计算下列各式．
（1）（2）
（3（4）3
归纳：二次根式加减时，可以先将二次根式化成，再将的二次根式进行合并．
三、例题讲解
计算
（1（2
（3）（4）+
四、总结反思
1.说说你的收获？
2.你还有什么问题？
五、反馈练习
1 ）． A ．①和② B ．②和③ C ．①和④ D ．③和④
2．下列各式：①；②
17，其中错误的有（ ）．
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
3．计算二次根式的最后结果是________．
六、能力提升
1、已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（
23+y -（x ）的值．
七、作业布置
1．下列各式：①1
7的有（ ）．A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个
2_______．
3．计算二次根式________．
4．计算：（1（2）+。
人教版数学八年级下册16
人教版数学八年级下册16.3二次根式的加减教案教学内容：二次根式的加减教学目标：知识与技能目标：学生理解和掌握二次根式加减的方法。
过程与方法目标：教师先提出问题，分析问题，渗透对二次根式进行加减的方法的理解。
然后总结经验，用它来指导根式的计算和化简。
情感与价值目标：通过本节的研究培养学生利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力。
重难点关键：1.重点：二次根式化简为最简根式。
2.难点关键：判定是否是最简二次根式。
教法：1.引导发现法：通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识。
这充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。
2.讲练结合法：在例题教学中，引导学生阅读，与同类项进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练，培养学生的阅读惯和规范的解题格式。
学法：1.类比的方法：通过观察、类比，使学生感悟二次根式加减的模型，形成有效的研究策略。
2.阅读的方法：让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。
3.分组讨论法：将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验研究活动中的交流与合作。
4.练法：采用不同的练法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT课件，展台。
课时安排：1课时。
教学过程：一、复引入学生活动：计算下列各式。
1）2x+3x；（2）2x-3x+5x；（3）x+2x+3y；（4）3a-2a+a教师点评：上面题目的结果，实际上是我们以前所学的同类项合并。
同类项合并就是字母不变，系数相加减。
二、探索新知学生活动：计算下列各式。
1）√2+√3；（2）√2-√3+√53）√7+2√7+3√7；（4）3√3-2√3+√2老师点评：1）如果我们把2看作x，不就转化为上面的问题吗？2+√3=(√2+√3)2+√3)(√2+√3)2+2√6+35+2√62）把8看作y；2-√3+√5=(√2-√3+√5)2-√3+√5)(√2-√3+√5)2-2√6+3+2√10-3√6-51-√6+2√103）把7看作z；7+2√7+3√7=（1+2+3）√76√74）3看作x，2看作y．3√3-2√3+√2=(3-2)√3+√23+√2因此，二次根式的被开方数相同是可以合并的，如√2和√8表面上看是不相同的，但它们可以合并。