北京市海淀区2017届高三上学期期末考试数学理试题
海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科） 2017.1本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．32．在极坐标系中，点π(1,)4与点3π(1,)4的距离为A ．1 BCD3．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．94．已知向量,a b 满足2+=0a b ，()2+⋅=a b a ，则⋅=a bA ．12-B ．12C ．2-D ．25．已知直线l 经过双曲线2214x y -=的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l 的方程可能是A．12y x =-+B．12y x =C．2y x =D．2y x =-6．设,x y 满足0,20,2,x y x y x -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩则22(1)x y ++的最小值为A ．1B ．92C ．5D ．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不．都．涂成红色．．．．，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为 A ．14B ．16C ．18D ．208．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱AD ，B 1C 1上的动点，设1,AE x B F y ==．若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知复数z 满足(1i)2z +=，则z =________．10．在261()x x+的展开式中，常数项为________．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为________．12．已知圆C :2220x x y -+=，则圆心坐标为_____；若直线l 过点(1,0)-且与圆C 相切，则直线l 的方程为____________．13．已知函数2sin()y x ωϕ=+π(0,||)2ωϕ><.① 若(0)1f =，则ϕ=________；② 若x ∃∈R ，使(2)()4f x f x +-=成立，则ω的最小值是________．14．已知函数||()e cos πx f x x -=+，给出下列命题：①()f x 的最大值为2；②()f x 在(10,10)-内的零点之和为0； ③()f x 的任何一个极大值都大于1. 其中所有正确命题的序号是________．俯视图主视图ABCD1D 1A 1B 1C E F三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）在∆ABC 中，2c a =，120B = ，且∆ABC（Ⅰ）求b 的值； （Ⅱ）求tan A 的值．16．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基.某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一周期．．．．．．，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信度数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （Ⅰ）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数x ；（Ⅱ）分别从上表每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X 表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X 的分布列和期望； （Ⅲ）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动．根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（本小题满分14分）如图1，在梯形ABCD 中，//AB CD ，90ABC ∠= ，224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点．将三角形AOD 绕边OD 所在直线旋转到1A OD 位置，使得1120AOB ∠= ，如图2．设m 为平面1A DC 与平面1A OB 的交线．（Ⅰ）判断直线DC 与直线m 的位置关系并证明； （Ⅱ）若直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，求出1A G 的长； （Ⅲ）求直线1A O 与平面1A BD 所成角的正弦值．ABCD1图ODCB2图1A18．（本小题满分13分）已知(0,2),(3,1)A B 是椭圆G ：22221(0)x y a b a b+=>>上的两点．（Ⅰ）求椭圆G 的离心率；（Ⅱ）已知直线l 过点B ，且与椭圆G 交于另一点C （不同于点A ），若以BC 为直径的圆经过点A ，求直线l 的方程．19. （本小题满分14分）已知函数()ln 1af x x x=--． （Ⅰ）若曲线()y f x =存在斜率为1-的切线，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）求()f x 的单调区间；（Ⅲ）设函数()ln x ag x x+=，求证：当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值．20．（本小题满分13分）对于无穷数列{}n a ,{}n b ，若1212max{,,,}min{,,,}(1,2,3,)k k k b a a a a a a k =-= ，则称{}n b 是{}n a 的“收缩数列”．其中，12max{,,,}k a a a ,12min{,,,}k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大数和最小数．已知{}n a 为无穷数列，其前n 项和为n S ，数列{}n b 是{}n a 的“收缩数列”． (Ⅰ)若21n a n =+，求{}n b 的前n 项和； (Ⅱ)证明：{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ； (Ⅲ)若121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = ，求所有满足该条件的{}n a ．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（理科）答案及评分标准2017.1一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）1.B2.B3. C4.C5.A6. B7.D8.C 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分，9. 1i -10.15 11.16312.（1,0）；1)y x =+和1)y x =+13.π6，π214.①②③三、解答题（共6小题，共80分） 15.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由∆ABC 面积公式及题设得1sin 2S ac B ==122a a ⨯=，解得1,2,a c ==由余弦定理及题设可得2222cos b a c ac B =+-114212()72=+-⨯⨯⨯-=，又0,b b >∴. (不写b>0不扣分)（Ⅱ）在∆ABC 中，由正弦定理sin sin a bA B =得：sin sin a A B b ===， 又120B = ，所以A 是锐角（或：因为12,a c =<=）所以cos A ==所以sin tan cos A A A == 16. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）十二周“水站诚信度”的平均数为x =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96=91%12100⨯（Ⅱ）随机变量X 的可能取值为0，1，2，3三个周期“水站诚信度”超过91%分别有3次，2次，3次1212(0)44464P X ==⨯⨯=32112112314(1)44444444464P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32132132330(2)44444444464P X==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=32318(3)44464P X==⨯⨯=随机变量X的分布列为X0 1 2 3P1327321532932 171590123232323232EX=⨯+⨯+⨯+⨯=.（Ⅲ）本题为开放问题，答案不唯一，在此给出评价标准，并给出可能出现的答案情况，阅卷时按照标准酌情给分.给出明确结论，1分，结合已有数据，能够运用以下三个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由，2分.标准1:会用主题活动前后的百分比变化进行阐述标准2：会用三个周期的诚信度平均数变化进行阐述标准3：会用主题活动前后诚信度变化趋势进行阐述可能出现的作答情况举例，及对应评分标准如下：情况一：结论：两次主题活动效果均好.（1分）理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%→85%看出，后继一周都有提升.（2分）情况二：结论：两次主题活动效果都不好.（1分）理由：三个周期的“水站诚信度”平均数分别为93.25%，87.75%，92%(平均数的计算近似即可)，活动进行后，后继计算周期的“水站诚信度”平均数和第一周期比较均有下降.（2分）情况三：结论：第一次主题活动效果好于第二次主题活动.（1分）理由：第一次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（94%-88%=6%）高于第二次主题活动举办的后继一周“水站诚信度”提升百分点（85%-80%=5%）.（2分）情况四：结论：第二次主题活动效果好于第一次主题活动.（1分）理由：第一次活动后“水站诚信度”虽有上升，但两周后又有下滑，第二次活动后，“水站诚信度”数据连续四周呈上升趋势. （2分）（答出变化）情况五：结论：两次主题活动累加效果好.（1分）理由：两次主题活动“水站诚信度”均有提高，且第二次主题活动后数据提升状态持续周期好.（2分）情况六：以“‘两次主题活动无法比较’作答，只有给出如下理由才给3分：“12个数据的标准差较大，尽管平均数差别不大，但比较仍无意义”.给出其他理由，则结论和理由均不得分（0分）.说明：①情况一和情况二用极差或者方差作为得出结论的理由，只给结论分1分，不给理由分2分.②以下情况不得分. 情况七： 结论及理由“只涉及一次主题活动，理由中无法辩析是否为两次活动后数据比较之结果”的. 例：结论：第二次主题活动效果好.理由：第二次主题活动后诚信度有提高.③其他答案情况，比照以上情况酌情给分，赋分原则是：遵循三个标准，能使用表中数据解释所得结论.17. （本小题满分14分）解：（Ⅰ）直线DC //m .证明：由题设可得//,CD OB 1CD AOB ⊄平面，1OB AOB ⊂平面， 所以//CD 平面1A OB .又因为CD ⊂平面1A DC ，平面1A DC 平面1A OB m = 所以//CD m .法1：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 在平面AOB 内作OM 垂直OB 于M ，则DO OM ⊥. 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则11,0),(0,2,0),(0,0,2)A B D -，所以1(,2)A D =.设,0)G m ，则由1OG A D ⊥可得10A D OG ⋅= ，即(,2),0)30m m ⋅=-+=解得3m =.所以14AG =. （Ⅲ）设平面1A BD 的法向量(,,)x y z =n ，则 110,0,A D A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即20,30,y z y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩令1y =，则1x z ==，所以=n ，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,A O n A O n A O n⋅<>==⋅ 法2：（Ⅱ）由已知224AB CD BC ===，O 是边AB 的中点，//AB CD ，所以//CD OB ，因为90ABC ∠= ，所以四边形CDOB 是正方形， 所以在图1中DO AB ⊥，所以结合题设可得，在图2中有1DO OA ⊥，DO OB ⊥， 又因为1OA OB O = ， 所以1DO AOB ⊥平面. 又因为1OG AOB ⊂平面，所以DO OG ⊥. 若在直线m 上的点G 满足1OG A D ⊥，又1OD A D D = ， 所以1OG AOD ⊥平面， 所以1OG OA ⊥，因为11120,//AOB OB AG ∠= ，所以160OAG ∠= ， 因为12OA =，所以14A G =.（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分） （Ⅲ）由（II ）可知1OD OA OG 、、两两垂直，如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则10,0,0),(2,0,0),((0,0,2)O A B D -（，所以11(2,0,2),(A D A B =-=-设平面1A BD 的法向量(,,)n x y z =，则110,0,n A D n A B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即220,30,x z x -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩令1x =，则1y z =，所以n =，设直线1A O 与平面1A BD 所成角为θ，则sin θ=111cos ,AO n AO n AO n ⋅<>==⋅18. （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知2,b =由点(3,1)B 在椭圆G 上可得29114a +=，解得212,a a ==.所以2228,c a b c =-==所以椭圆G 的离心率是c e a == （Ⅱ）法1：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设直线AC 的方程为32y x =+. 由2232,1124y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2790x x +=，由题设条件可得90,7A C x x ==-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法2：因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，由斜率公式和(0,2),(3,1)A B 可得13AB k =-，所以3Ac k =，设C C C x y （，） ,则23C Ac Cy k x -==，即32C C y x =+① 由点C 在椭圆上可得221124C C x y +=② 将①代入②得2790C C x x +=，因为点C 不同于点A ，所以97C x =-，所以913()77C -,-，所以直线BC 的方程为213y x =-. 法3：当直线l 过点B 且斜率不存在时，可得点(3,1)C -，不满足条件.设直线BC 的方程为1(3)y k x -=-，点C C C x y （，）由2213,1124y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩可得222(31)6(13)3(13)120k x k k x k ++-+--=，显然0∆>，此方程两个根是点B C 和点的横坐标，所以223(13)12331C k x k --=+，即22(13)4,31C k x k --=+所以22361,31C k k y k --+=+ 因为以BC 为直径的圆经过点A ，所以AB AC ⊥，即0AB AC ⋅=. （此处用1AB AC k k ⋅=-亦可）2222963961(3,1)(,)3131k k k k AB AC k k -----⋅=-⋅=++ 2236128031k k k --=+， 即(32)(31)0k k -+=，1221,,33k k ==-当213k =-时，即直线AB ,与已知点C 不同于点A 矛盾，所以12,3BC k k ==所以直线BC 的方程为213y x =-.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由()ln 1af x x x =--得221'()(0)a x af x x x x x+=+=>.由已知曲线()y f x =存在斜率为1-的切线， 所以'()1f x =-存在大于零的实数根， 即20x x a ++=存在大于零的实数根，因为2y x x a =++在0x >时单调递增， 所以实数a 的取值范围0∞（-，）.（Ⅱ）由2'()x af x x+=，0x >，a ∈R 可得 当0a ≥时，'()0f x >，所以函数()f x 的增区间为(0,)+∞； 当0a <时，若(,)x a ∈-+∞，'()0f x >，若(0,)x a ∈-，'()0f x <， 所以此时函数()f x 的增区间为(,)a -+∞，减区间为(0,)a -.（Ⅲ）由()ln x a g x x+=及题设得22ln 1('()(ln )(ln )a x f x x g x x x --==）， 由10a -<<可得01a <-<，由(Ⅱ)可知函数()f x 在(,)a -+∞上递增， 所以(1)10f a =--<，取e x =，显然e 1>，(e)lne 10e a af e=--=->， 所以存在0(1,e)x ∈满足0()0f x =，即 存在0(1,e)x ∈满足0'()0g x =，所以(),'()g x g x 在区间(1,)+∞上的情况如下：x0(1,)x 0x0(,)x +∞'()g x-0 +()g x极小所以当10a -<<时，()g x 在(1,)+∞上存在极小值. （本题所取的特殊值不唯一，注意到0(1)ax x->>），因此只需要0ln 1x ≥即可）20. （本小题满分13分）解：（Ⅰ）由21n a n =+可得{}n a 为递增数列，所以12121max{,,,}min{,,,}21322n n n n b a a a a a a a a n n =-=-=+-=- ， 故{}n b 的前n 项和为22(1)2n n n n -⨯=-.- （Ⅱ）因为12121max{,,,}max{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≤= ，12121min{,,,}min{,,,}(1,2,3,)n n a a a a a a n +≥= ，所以1211211212max{,,,}min{,,,}max{,,,}min{,,,}n n n n a a a a a a a a a a a a ++-≥-所以1(1,2,3,)n n b b n +≥= . 又因为1110b a a =-=，所以12121max{,,,}min{,,,}n n n n b b b b b b b b b -=-= ， 所以{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b .（Ⅲ）由121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 可得 当1n =时，11a a =；当2n =时，121223a a a b +=+，即221b a a =-，所以21a a ≥；当3n =时，123133263a a a a b ++=+，即3213132()()b a a a a =-+-（*）， 若132a a a ≤<，则321b a a =-，所以由（*）可得32a a =，与32a a <矛盾；若312a a a <≤，则323b a a =-，所以由（*）可得32133()a a a a -=-， 所以3213a a a a --与同号，这与312a a a <≤矛盾； 若32a a ≥，则331b a a =-，由（*）可得32a a =. 猜想：满足121(1)(1)22n n n n n n S S S a b +-+++=+ (1,2,3,)n = 的数列{}n a 是： 1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.经验证，左式=121212(1)[12(1)]2n n n S S S na n a na a -+++=++++-=+， 右式=112112(1)(1)(1)(1)(1)()22222n n n n n n n n n n n a b a a a na a +-+--+=+-=+.下面证明其它数列都不满足（Ⅲ）的题设条件.法1：由上述3n ≤时的情况可知，3n ≤时，1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩是成立的.假设k a 是首次不符合1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的项，则1231k k a a a a a -≤===≠ ，由题设条件可得2212(1)(1)222k k k k k k k k a a a b ----+=+（*）， 若12k a a a ≤<，则由（*）式化简可得2k a a =与2k a a <矛盾；若12k a a a <≤，则2k k b a a =-，所以由（*）可得21(1)()2k k k k a a a a --=- 所以21k k a a a a --与同号，这与12k a a a <≤矛盾； 所以2k a a ≥，则1k k b a a =-，所以由（*）化简可得2k a a =.这与假设2k a a ≠矛盾.所以不存在数列不满足1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩的{}n a 符合题设条件.法2：当i n ≤时，11212max{,,,}min{,,,}i i i i a a a a a a a a b -≤-= ，所以1121()ki k i a a b b b =-≤+++∑ ，(1,2,3,,)k n =即112()k k S ka b b b ≤++++ ，(1,2,3,,)k n = 由1(1,2,3,)n n b b n +≥= 可得(1,2,3,,)k n b b k n ≤= 又10b =，所以可得1(1)k n S ka k b ≤+-(1,2,3,)k = ，所以12111(2)[02(1)]n n n n n S S S a a na b b b n b +++≤++++⨯++++- ，即121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 所以121(1)(1)22n n n n n nS S S a b +-+++≤+ 等号成立的条件是1(1,2,3,,)i i n a a b b i n -=== ，所以，所有满足该条件的数列{}n a 为1212,1,,1,n a n a a a a n =⎧=≥⎨>⎩.（说明：各题的其他做法，可对着参考答案的评分标准相应给分）。
2017-2018年北京市海淀区高三上学期期末数学试卷(理科)和答案
14． （5 分）对任意实数 k，定义集合
．
①若集合 Dk 表示的平面区域是一个三角形，则实数 k 的取值范围是
；
②当 k=0 时，若对任意的（x，y）∈Dk，有 y≥a（x+3）﹣1 恒成立，且存在（x， y）∈Dk，使得 x﹣y≤a 成立，则实数 a 的取值范围为 ．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15 ． （ 13 分 ） 如 图 ， 在 △ ABC 中 ， 点 D 在 AC 边 上 ， 且 AD=3BC ， AB= （Ⅰ）求 DC 的值； （Ⅱ）求 tan∠ABC 的值． ．
18． （13 分）已知椭圆 C：x2+2y2=9，点 P（2，0） （Ⅰ）求椭圆 C 的短轴长和离心率； （Ⅱ）过（1，0）的直线 l 与椭圆 C 相交于两点 M，N，设 MN 的中点为 T，判 断|TP|与|TM|的大小，并证明你的结论． 19． （14 分）已知函数 f（x）=2ex﹣ax2﹣2x﹣2． （Ⅰ）求曲线 y=f（x）在点（0，f（0） ）处的切线方程； （Ⅱ）当 a≤0 时，求证：函数 f（x）有且仅有一个零点；
7． （5 分）某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中： ①三棱锥的体积为 ②三棱锥的四个面全是直角三角形 ③三棱锥的四个面的面积最大的是 所有正确的说法是（ ）
A．① B．①②
C．②③
D．①③
8． （5 分）已知点 F 为抛物线 C：y2=2px（p＞0）的焦点，点 K 为点 F 关于原点 的对称点，点 M 在抛物线 C 上，则下列说法错误的是（ A．使得△MFK 为等腰三角形的点 M 有且仅有 4 个 B．使得△MFK 为直角三角形的点 M 有且仅有 4 个 C．使得 D．使得 的点 M 有且仅有 4 个 的点 M 有且仅有 4 个 ）
高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用 Word版含答案
北京市部分区届高三上学期考试数学理试题分类汇编导数及其应用、（昌平区届高三上学期期末）设函数，.（Ⅰ）若，求函数的单调区间；（Ⅱ）若曲线在点处的切线与直线平行.() 求的值；()求实数的取值范围，使得对恒成立.、（朝阳区届高三上学期期末）设函数，，．（Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围；（Ⅲ）证明．、（朝阳区届高三上学期期中）已知函数，．（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若函数在上单调递减，试求的取值范围；（Ⅲ）若函数的最小值为，试求的值．、（东城区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）若为的极小值，求的值；（Ⅱ）若对恒成立，求的最大值．、（丰台区届高三上学期期末）已知函数与函数的图象在点处有相同的切线.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，求函数在上的最小值.、（海淀区届高三上学期期末）已知函数．（Ⅰ）若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围；（Ⅱ）求的单调区间；（Ⅲ）设函数，求证：当时，在上存在极小值．、（海淀区届高三上学期期中）已知函数，函数.（Ⅰ）已知直线是曲线在点处的切线，且与曲线相切，求的值；（Ⅱ）若方程有三个不同实数解，求实数的取值范围.、（石景山区届高三上学期期末）已知函数，．（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）若对任意，恒成立，求的取值范围．、（通州区届高三上学期期末）设函数．（Ⅰ）当＝时，求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）设函数，证明：当∈时，＞.、（西城区届高三上学期期末）已知函数，其中．（Ⅰ）如果曲线在处的切线的斜率是，求的值；（Ⅱ）如果在区间上为增函数，求的取值范围．。
2017届北京市海淀区高三上学期期末考试数学文试题(word版)
2017届北京市海淀区高三上学期期末考试数学文试题（word 版）2017.1本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．复数i(2i)-在复平面内对应的点的坐标为A ．(2,1)-B ．(2,1)-C ．(1,2)D ．(1,2)-2．抛物线22y x =的焦点到准线的距离为A ．12B ．1C ．2D ．33．下列函数中，既是偶函数又在区间(0+)∞，上单调递增的是 A ．1()2x y = B ．2y x =- C ．2log y x =D ．||1y x =+4．已知向量a,b 满足2-0a b =，()2-⋅=a b b ，则=|b |A ．12B ．1CD ．25．右侧程序框图所示的算法来自于《九章算术》.若输入a 的值为16，b 的值为24，则执行该程序框图输出的结果为A ．6B ．7C ．8D ．96．在ABC ∆中，“30A <︒”是“1sin 2A <”的 A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为A主视图BC ．2D8．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱11,AD B C 上的动点，设1,AE x B F y ==． 若棱．1DD 与平面BEF 有公共点，则x y +的取值范围是 A ．[0,1] B ．13[,]22 C ．[1,2]D ．3[,2]2二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．已知双曲线C :2214yx -=，则双曲线C 的一条渐近线的方程为________．10．已知数列{}n a 满足12,,n n a a n +-=∈*N 且33a =，则1a =____，其前n 项和n S =____． 11．已知圆C :2220x y x +-=，则圆心C 的坐标为_____，圆C 截直线y x =的弦长为____． 12．已知,x y 满足04,03,28,x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≤⎩则目标函数2z x y =+的最大值为________．13．如图所示，点D 在线段AB 上，30CAD ∠=，50CDB ∠=．给出下列三组条件（给出线段的长度）： ①,AD DB ； ②,AC DB ； ③,CD DB ．其中，能使ABC ∆唯一确定的条件的序号为____．（写出所有所和要求的条件的序号）14．已知A 、B 两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A 大学的各专业的男女生比例均高于B 大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）． 据此， 甲同学说：“A 大学的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”； 乙同学说：“A 大学的男女生比例不一定高于B 大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B 大学的男女生比例”． 其中，说法正确的同学是________．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，且21a =，346a a +=．AD BCABCD1D 1A 1B 1C E F（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n a n -的前n 项和为n S ，比较4S 和5S 的大小，并说明理由．16．（本小题满分13分）已知函数2sin 22cos ()cos x xf x x +=．（Ⅰ）求()f x 的定义域及π()4f 的值；（Ⅱ）求()f x 在π(0,)2上的单调递增区间．17．（本小题满分13分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：表1第一周 第二周 第三周 第四周第一个周期95% 98% 92% 88% 第二个周期94% 94% 83% 80% （Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数x ；（Ⅱ）从表1诚信度超过91%的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率； （Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：表2第一周 第二周 第三周 第四周第三个周期85% 92% 95% 96% 请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，AB //DC , CD =2AB , AD ⊥CD ，E 为棱PD 的中点． （Ⅰ）求证：CD ⊥AE ；（Ⅱ）求证：平面PAB ⊥平面PAD ；（Ⅲ）试判断PB 与平面AEC 是否平行？并说明理由．PABCD E19．（本小题满分13分）已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>，直线l 过椭圆G 的右顶点(2,0)A ，且交椭圆G 于另一点C ．（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B ，求直线l 的方程．20．（本小题满分14分）已知函数ln 1()x f x x+=． （Ⅰ）求曲线()y f x =在函数()f x 零点处的切线方程； （Ⅱ）求函数()y f x =的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程()f x a =恰有两个不同的实根12,x x ，且12x x <，求证：2111x x a->-．海淀区高三年级第一学期期末练习数学（文科）答案及评分标准2017.1一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
北京市海淀区2017届高三上学期期末考试物理试题Word版含答案
海淀区高三年级第一学期末练习物理2017.1说明：本试卷共 8页，共 100分。
考试时长 90分钟。
考生务势必答案写在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
一、此题共 10 小题，每题3分，共 30 分。
在每题给出的四个选项中，有的小题只有一个选项是正确的，有的小题有多个选项是正确的。
所有选对的得 3 分，选不全的得2分，有选错或不答的得0 分。
把你以为正确答案填涂在答题纸上。
1．真空中两相同的带等量异号电荷的金属小球 A 和 B (均可看做点电荷) ，分别固定在两处，它们之间的距离远远大于小球的直径，两球间静电力大小为F。
现用一个不带电的相同的绝缘金属小球 C 与 A 接触，而后移开C，此时 A、B 球间的静电力大小为A．2FB．F2F F C．D．322．用绝缘柱支撑着贴有小金属箔的导体 A 和 B，使它们相互接触，开初它们不带电，贴在它们下部的并列平行双金属箔是闭合的。
现将带正电荷的物体 C 移近导体 A，发现金属箔都张开必定的角度，如图 1 所示，则A．导体 B 下部的金属箔感觉出负电荷B．导体 B 下部的金属箔感觉出正电荷图1C．导体 A 和 B 下部的金属箔都感觉出负电荷D．导体 A 感觉出负电荷，导体 B 感觉出等量的正电荷3．如图 2 所示， M 、 N 为两个带有等量异号电荷的点电荷，O 点是它们之间连线的中点， A、 B 是 M、 N 连线中垂线上的两点， A 点距 O 点较近。
用E O、 E A、E B和φO、φA、φB 分别表示 O、 A、B 三点的电场强度的大小和电势，以下说法中正确的选项是BA．E O等于 0MA N OB． E A必定大于 E B图 2C．φA 必定大于φBD．将一电子从 O 点沿中垂线挪动到 A 点，电场力必定不做功4．在电子技术中，从某一装置输出的沟通信号经常既含有高频成份，又含有低频成份。
为了在后边一级装置中获得高频成份或低频成份，我们能够在前方一级装置和后边一级装置之间设计如图 3 所示的电路。
2017年北京市海淀区高三文科上学期数学期末试卷
2017年北京市海淀区高三文科上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知是虚数单位，若，则实数的值为A. B. C. D.2. 已知，若，则A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的值为A. B. C. D.4. 下面的茎叶图记录的是甲、乙两个班级各名同学在一次数学测试中的选择题的成绩（单位：分，每道题分，共道题）：已知两组数据的平均数相等，则，的值分别为A. ，B. ，C. ，D. ，5. 已知直线与圆相交于，两点，且为正三角形，则实数的值为A. B. C. 或 D. 或6. 设，则“”是“直线与直线平行”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 在中，，是边的中点，则的取值范围是A. B. C. D.8. 已知正方体的棱长为，，分别是棱，的中点，点在平面内，点在线段上．若，则长度的最小值为A. B. C. D.二、填空题（共6小题；共30分）9. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则实数的值为．10. 若实数，满足约束条件则的最大值为．11. 在中，，，且的面积为，则．12. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥四个面的面积中最大的值是．13. 函数的最大值为；若函数的图象与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围是．14. 某次高三英语听力考试中有道选择题，每题分，每道题在A，B，C三个选项中只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙三名同学每道题填涂的答案和这道题的得分：得分甲乙丙则甲同学答错的题目的题号是；此题正确的选项是．三、解答题（共6小题；共78分）15. 已知等差数列的前项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．16. 已知函数．（1）求函数的定义域；（2）求函数的值域．17. 据中国日报网报道，年月日，发布了最新一期全球超级计算机强榜单，中国超算在前五名中占据两席．其中，超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是）测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试测试品牌品牌设，分别表示第次测试中品牌A和品牌B的测试结果，记．（1）求数据，，，，的众数；（2）从满足的测试中随机抽取两次，求品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果的概率；（3）经过了解，前次测试是打开含有文字与表格的文件，后次测试是打开含有文字与图片的文件．请你根据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．18. 如图，在三棱柱中，侧面底面，，，，，分别为棱，的中点．（1）求证：；（2）求三棱柱的体积；（3）在直线上是否存在一点，使得 平面．若存在，求出的长；若不存在，说明理由．19. 已知椭圆：，直线：与椭圆相交于，两点，与轴交于点，点，与点不重合．（1）求椭圆的离心率；（2）当时，求椭圆的方程；（3）过原点作直线的垂线，垂足为．若，求的值．20. 已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：“”是“函数有且只有一个零点”的充分不必要条件．答案第一部分1. A2. D3. D 【解析】，当时，，当时，，则，输出．4. B5. D6. C7. A8. C第二部分9.10.11. 或12.13. ，14. ，A第三部分15. （1）设等差数列的首项为，公差为．解得，，由，则，因此，通项公式为．（2）由（Ⅰ）可知：，则，，因为，所以是首项为，公比为的等比数列．记的前项和为，则16. （1），，解得：，，所以，函数的定义域为．（2）因为，，所以，，所以，所以，函数的值域为．17. （1）所以有次，有次，有次，有次，有次，则数据，，，，的众数为．（2）设事件“品牌A的测试结果恰有一次大于品牌B的测试结果”，满足的测试共有次，其中品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果有次即测试和测试，不妨用，表示．品牌A的测试结果小于品牌B的测试结果有次即测试和测试，不妨用，表示．从中随机抽取两次，共有，，，，，六种情况，其中事件发生，指的是，，，四种情况．故．（3）标准：分别比较两种不同测试的结果，根据数据进行阐述．标准：会用测试结果的平均数进行阐述．【解析】标准：会用前次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值与后次测试品牌A、品牌B的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）．标准：会用前次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件的速度的波动）．标准：会用品牌A前次测试结果的平均值、后次测试结果的平均值与品牌B前次测试结果的平均值、后次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前次测试结果的平均值大于品牌B前次测试结果的平均值，品牌A后次测试结果的平均值小于品牌B后次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）．标准：会用品牌A前次测试结果的方差、后次测试结果的方差与品牌B前次测试结果的方差、后次测试结果的方差进行阐述（品牌A前次测试结果的方差大于品牌B前次测试结果的方差，品牌A后次测试结果的方差小于品牌B后次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度的波动大于品牌B，品牌A打开含有文字和图形的文件的速度的波动小于品牌B）．标准：会用品牌A这次测试结果的平均值与品牌B这次测试结果的平均值进行阐述（品牌A 这次测试结果的平均值小于品牌B这次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于品牌B）．标准：会用品牌A这次测试结果的方差与品牌B这次测试结果的方差进行阐述（品牌A这次测试结果的方差小于品牌B这次测试结果的方差，品牌A打开文件的速度的波动小于品牌B）．标准：会用前次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌 B测试结果的次数进行阐述（前次测试结果中，品牌A小于品牌B的有次，占．后次测试中，品牌A小于品牌B的有次，占．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于品牌B）．标准：会用这次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这次测试结果中，品牌A小于品牌B的有次，占．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）．参考数据：期望前次后次次品牌品牌品牌与品牌方差前次后次次品牌品牌品牌与品牌18. （1）在三棱柱中，侧面底面，，因为侧面底面，底面，所以平面，又因为平面，所以；（2）连接，在三棱柱中，．因为，所以．又因为，所以是边长为的正三角形．因为是棱的中点，所以，．又因为，，所以．因为，底面，所以底面．所以三棱柱的体积为；（3）在直线上存在点，使得 平面．证明如下：连接并延长，与的延长线相交，设交点为，连接．因为，故，由于为棱的中点，所以，故有，又为棱的中点，连接，故为的中位线，所以．又平面，平面，所以 平面．故在直线上存在点，使得 平面．此时，．19. （1），，，，故．（2）设，，得到，依题意，由得，且有原点到直线的距离，所以，解得，故椭圆方程为．（3）直线的垂线为：，由解得交点，因为，又，所以，故的值为．20. （1）依题意，，，所以切线的斜率，又因为，所以切线方程为．（2）先证不必要性．当时，，令，解得．此时，有且只有一个零点，故“有且只有一个零点则”不成立．再证充分性．方法一：当时，．令，解得，．（i）当，即时，，所以在上单调递增．又因为，，所以有且只有一个零点．（ii）当，即时，，随的变化情况如下：极大值极小值当时，，，所以，又，所以有且只有一个零点．（iii）当，即时，，随的变化情况如下：极大值极小值因为，所以时，，令，则．下面证明当时，．设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得极大值．所以当时，，即．所以．由零点存在定理，有且只有一个零点．综上，是函数有且只有一个零点的充分不必要条件．方法二：当时，注意到时，，，所以，因此只需要考察上的函数零点．（i）当，即时，时，，所以单调递增．又，，所以有且只有一个零点．（ii）当，即时，以下同方法一．方法三：令，显然不是该方程的根，所以．设，则．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增．又，时，，时，．令，则．下面证明当时，．设，则．当时，，在上单调递增；当时，，在上单调递减．所以当时，取得极大值．所以当时，，即．所以．所以当时，直线与函数的图象有且只有一个交点，即当时，函数有且只有一个零点．第11页（共11 页）。
2017北京市海淀区高三(上)期末数学(理)
2017北京市海淀区高三（上）期末数学（理）一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．32．在极坐标系中，点（1，）与点（1，）的距离为（）A．1 B．C．D．3．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．94．已知向量，满足，（）=2，则=（）A．﹣ B．C．﹣2 D．25．已知直线l经过双曲线的一个焦点且与其一条渐近线平行，则直线l的方程可以是（）A．y=﹣B．y=C．y=2x﹣D．y=﹣2x+6．设x，y满足，则（x+1）2+y2的最小值为（）A．1 B．C．5 D．97．在手绘涂色本的某页上画有排成一列的6条未涂色的鱼，小明用红、蓝两种颜色给这些鱼涂色，每条鱼只能涂一种颜色，两条相邻的鱼不都涂成红色，涂色后，既有红色鱼又有蓝色鱼的涂色方法种数为（）A．14 B．16 C．18 D．208．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A．[0，1] B．[，] C．[1，2] D．[，2]二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．已知复数z满足（1+i）z=2，则z= ．10．6的展开式中常数项是．（用数字作答）11．若一个几何体由正方体挖去一部分得到，其三视图如图所示，则该几何体的体积为．12．已知圆C：x2﹣2x+y2=0，则圆心坐标为；若直线l过点（﹣1，0）且与圆C相切，则直线l的方程为．13．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）．①若f（0）=1，则φ=；②若∃x∈R，使f（x+2）﹣f（x）=4成立，则ω的最小值是．14．已知函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，给出下列命题：①f（x）的最大值为2；②f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0；③f（x）的任何一个极大值都大于1．其中，所有正确命题的序号是．三、解答题（共6小题，满分80分）15．（13分）在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为．（1）求b的值；（2）求tanA的值．16．（13分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期 95% 98% 92% 88%第二个周期 94% 94% 83% 80%第三个周期 85% 92% 95% 96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数；（2）分别从表中每个周期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数据中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由．17．（14分）如图1，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC=2BC=4，O是边AB的中点，将三角形AOD饶边OD所在直线旋转到A，OD位置，使得∠A，OB=120°，如图2，设m为平面A1DC与平面A1OB的交线．（1）判断直线DC与直线m的位置关系并证明；（2）若在直线m上的点G满足OG⊥A1D，求出A1G的长；（3）求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．18．（13分）已知A（0，2），B（3，1）是椭圆G：上的两点．（1）求椭圆G的离心率；（2）已知直线l过点B，且与椭圆G交于另一点C（不同于点A），若以BC为直线的圆经过点A，求直线l的方程．19．（14分）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．20．（13分）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．数学试题答案一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．2．【考点】极坐标刻画点的位置．【分析】极坐标化为直角坐标，即可得出结论．【解答】解：点（1，）与点（1，）的距离，即点（，）与点（﹣，）的距离为，故选B．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，比较基础．3．【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a 的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．4．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据平面向量的线性运算与数量积运算，即可求出的值．【解答】解：向量，满足+2=，即++=，∴+=﹣，又（）=2，∴﹣•=2，∴=﹣2．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的线性运算和数量积运算的问题，是基础题．5．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的渐近线方程，以及双曲线的焦点坐标，然后求解即可．【解答】解：直线l经过双曲线的焦点（，0），渐近线方程为：y=，选项C、D错误；焦点坐标代入选项A正确，选项B错误．故选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据两点间的距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（x+1）2+y2的几何意义是区域内的点到定点A（﹣1，0）的距离的平方，由图象知A到直线x+y﹣2=0的距离最小，此时距离d==，则距离的平方d2=（）2=，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据两点间的距离公式是解决本题的关键．7．【考点】排列、组合的实际应用．【分析】分类讨论，利用加法原理，可得结论．【解答】解：红色用1次，有6种方法，红色用2次，有2+3+4=9种方法，红色用3次，有3种方法，共18种，故选C．【点评】本题考查计数原理的运用，考查学生的计算能力，比较基础．8．【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，即可得出结论．【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选C．【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由（1+i）z=2，得，故答案为：1﹣i．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．10．【考点】二项式定理的应用．【分析】本题可通过通项公式T r+1=C n r a n﹣r b r来确定常数项，从而根据常数相中x的指数幂为0即可确定C6r（x2）6﹣r中r的值，然后即可求出常数项是15【解答】解：设通项公式为，整理得C6r x12﹣3r，因为是常数项，所以12﹣3r=0，所以r=4，故常数项是c64=15故答案为15．【点评】本题主要考查二项式定理中通项公式的应用，属于基础题型．难度系数0.9．一般的通项公式的主要应用是求常数项，求有理项或者求某一项的系数，二项式系数等．所以在今后遇到这样的试题时首先都可以尝试用通项来加以解决．11．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，分别计算他们的体积，相减可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个正方体挖去一个同底同高的四棱锥得到的组合体，正方体的体积为：2×2×2=8，四棱锥的体积为：×2×2×2=，故组合体的体积V=8﹣=，故答案为：【点评】本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，棱锥的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档．12．【考点】圆的一般方程．【分析】圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标；圆心到直线的距离d==1，可得直线方程．【解答】解：圆C：x2﹣2x+y2=0，可化为（x﹣1）2+y2=1，圆心坐标为（1，0），设直线l的方程为y﹣0=k（x+1），即kx﹣y+k=0，圆心到直线的距离d==1，∴k=±，∴直线l的方程为y=±（x+1），故答案为（1，0），y=±（x+1）【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．13．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．【分析】①由已知可得sinφ=，利用正弦函数的图象及特殊角的三角函数值，结合范围|φ|＜，即可得解φ的值．②化简已知等式可得sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k1﹣k2）π﹣，k1，k2∈Z，结合范围ω＞0，即可得解ω的最小值．【解答】解：①∵由已知可得2sinφ=1，可得：sinφ=，∴可得：φ=2kπ+，或φ=2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴当k=0时，φ=．②∵∃x∈R，使2sin[ω（x+2）+φ]﹣2sin（ωx+φ）=4成立，即：sin（ωx+2ω+φ）﹣sin（ωx+φ）=2，∴∃x∈R，使ωx+2ω+φ=2k1π+，ωx+φ=2k2π+，k∈Z，∴解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1，k2∈Z，又∵ω＞0，|∴ω的最小值是．故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，特殊角的三角函数值的综合应用，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．14．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】根据已知中函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，分析函数的最值，对称性，极值，进而可得答案．【解答】解：由→0，故当x=0时，f（x）的最大值为2，故①正确；函数f（x）=e﹣|x|+cosπx，满足f（﹣x）=f（x），故函数为偶函数；其零点关于原点对称，故f（x）在（﹣10，10）内的零点之和为0，故②正确；当cosπx取极大值1时，函数f（x）=e﹣|x|+cosπx取极大值，但均大于1，故③正确；故答案为：①②③【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了函数的最值，函数的极值，函数的零点，函数的奇偶性等知识点，难度中档．三、解答题（共6小题，满分80分）15．【考点】正弦定理．【分析】（1）由已知利用三角形面积公式可求a，c的值，进而利用余弦定理可求b的值．（2）由余弦定理可求cosA的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanA=的值．【解答】（本题满分为13分）解：（1）∵c=2a，B=120°，△ABC面积为=acsinB=．∴解得：a=1，c=2，∴由余弦定理可得：b===．（2）∵a=1，c=2，b=，∴cosA==，∴tanA==．【点评】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．【考点】离散型随机变量的期望与方差；众数、中位数、平均数；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望．（3）两次活动效果均好，活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．【解答】解：（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：=×=91%．（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）=，P（X=3）=，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==2．（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%→94%和80%到85%看出，后继一周都有提升．【点评】本题考查平均数的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型之一．17．【考点】直线与平面所成的角；点、线、面间的距离计算．【分析】（1）利用线面平行的性质判断并证明直线DC与直线m的位置关系；（2）A1D在平面A1OB中的射影为A1O，OG⊥A1O，即可求出A1G的长；（3）求出O到平面A1DB的距离，即可求直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值．【解答】解：（1）∵DC∥OB，DC⊄平面A1OB，OB⊂平面A1OB∴DC∥平面A1OB，∵m为平面A1DC与平面A1OB的交线，∴DC∥m；（2）由题意，A1D在平面A1OB中的射影为A1O，∴OG⊥A1O，∴A1G=2A1O=4；（3）△A1OB中，A1B==2，∵A1D=DB=2，∴ ==，设O到平面A1DB的距离为h，则，∴h=，∵A1O=2，∴直线A1O与平面A1BD所成角的正弦值=．【点评】本题考查线面平行的判定与性质，考查线面垂直的证明，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（1）将A和B点的坐标代入椭圆G的方程，列出方程组求出a和b的值，再求出c和离心率；（2）由（1）求出椭圆G的方程，对直线l的斜率进行讨论，不妨设直线l的方程，与椭圆G的方程联立后，利用韦达定理写出式子，将条件转化为，由向量数量积的坐标运算列出式子，代入化简后求出k的值，即得直线l的方程．【解答】解：（1）∵椭圆G过A（0，2），B（3，1），∴，解得，则=，∴椭圆G的离心率e==；（2）由（1）得，椭圆G的方程是，①当直线的斜率不存在时，则直线BC的方程是x=3，代入椭圆G的方程得，C（3，﹣1），不符合题意；②当直线的斜率存在时，设斜率为k，C（x1，y1），则直线BC的方程为y=k（x﹣3）+1，由得，（3k2+1）x2﹣6k（3k﹣1）x+27k2﹣18k﹣3=0，∴3+x1=，3x1=，则x1=，∵以BC为直径圆经过点A，∴AB⊥AC，则，即（3，﹣1）•（x1，y1﹣2）=0，∴3x1﹣y1+2=0，即3x1﹣[k（x1﹣3）+1]=0，∴（3﹣k）x1+3k+1=0，（3﹣k）•+3k+1=0，化简得，18k2﹣7k﹣1=0，解得k=或k=，∴直线BC的方程为y=（x﹣3）+1或y=（x﹣3）+1，即直线BC的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0，综上得，直线l的方程是x+2y﹣5=0或x﹣9y+6=0．【点评】本题考查了待定系数法求椭圆标准方程，直线与椭圆位置关系，向量数量积的坐标运算，以及“设而不求”的解题思想方法，考查转化思想，化简、变形、计算能力．19．（14分）（2016秋•海淀区期末）已知函数f（x）=lnx﹣．（1）若曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，求实数a的取值范围；（2）求f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=，求证：当﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）上存在极小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为x2+x+a=0存在大于0的实数根，根据y=x2+x+a在x＞0时递增，求出a 的范围即可；（2）求出函数f（x）的导数，通过讨论a的范围，判断导函数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数g（x）的导数，根据f（e）=﹣＞0，得到存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，从而得到函数的单调区间，求出函数的极小值，证出结论即可．【解答】解：（1）由f（x）=lnx﹣﹣1得：f′（x）=，（x＞0），由已知曲线y=f（x）存在斜率为﹣1的切线，∴f′（x）=﹣1存在大于0的实数根，即x2+x+a=0存在大于0的实数根，∵y=x2+x+a在x＞0时递增，∴a的范围是（﹣∞，0）；（2）由f′（x）=，（x＞0），得：a≥0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）递增；a＜0时，若x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，若x∈（0，﹣a），则f′（x）＜0，故f（x）在（﹣a，+∞）递增，在（0，﹣a）递减；（3）由g（x）=及题设得：g′（x）==，由﹣1＜a＜0，得：0＜﹣a＜1，由（2）得：f（x）在（﹣a，+∞）递增，∴f（1）=﹣a﹣1＜0，取x=e，显然e＞1，f（e）=﹣＞0，∴存在x0∈（1，e）满足f（x0）=0，即存在x0∈（1，e）满足g′（x0）=0，令g′（x）＞0，解得：x＞x0，令g′（x）＜0，解得：1＜x＜x0，故g（x）在（1，x0）递减，在（x0，+∞）递增，∴﹣1＜a＜0时，g（x）在（1，+∞）存在极小值．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、是一道综合题．20．（13分）（2016秋•海淀区期末）对于无穷数列{a n}，{b n}，若b i=max{a1，a2，…，a i}﹣min{a1，a2，…，a k}（k=1，2，3，…），则称{b n}是{a n}的“收缩数列”，其中max{a1，a2，…，a k}，min{a1，a2，…，a k}分别表示a1，a2，…，a k中的最大数和最小数．已知{a n}为无穷数列，其前n项和为S n，数列{b n}是{a n}的“收缩数列”．（1）若a n=2n+1，求{b n}的前n项和；（2）证明：{b n}的“收缩数列”仍是{b n}；（3）若S1+S2+…+S n=（n=1，2，3，…），求所有满足该条件的{a n}．【考点】数列的求和．【分析】（1）由新定义可得b n=2n﹣2，即可求出前n项和，（2）根据“收缩数列”的定义证明即可，（3）猜想：满足S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1的数列{ a n}是，a n=，a2≥a1，并证明即可．【解答】解：（1）由a n=2n+1可得{ a n}为递增数列，所以b n=max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}=a n﹣a1=2n+1﹣3=2n﹣2，故{ b n}的前n项和为（2n﹣2）n=n（n﹣1）（2）因为max{ a1，a2，…，a n}≤max{ a1，a2，…，a n+1}，因为min{ a1，a2，…，a n}≥min{ a1，a2，…，a n+1}，所以max{ a1，a2，…，a n+1}﹣min{ a1，a2，…，a n+1}≥max{ a1，a2，…，a n}﹣min{ a1，a2，…，a n}，所以b n+1≥b n，又因为b n=a1﹣a1=0，所以max{ b1，b2，…，b n}﹣min{ b1，b2，…，b n}=b n﹣b1=b n，所以{ b n}的“收缩数列”仍是{ b n}，（3）由S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1，当n=1时，a1=a1，当n=2时，3a1+2a2+a3=6a3+3b3，即3b3=2（a2﹣a1）+（a3﹣a1），（*），若a1＜a3＜a2，则b3=a2﹣a1，所以由（*）可得a3=a2与a3＜a2矛盾，若a3＜a1≤a2，则b3=a2﹣a3，所以由（*）可得a3﹣a2=3（a1﹣a3），所以a3﹣a2与a1﹣a3同号，这与a3＜a1≤a2矛盾；若a3≥a2，则b3=a3﹣a2，由（*）可得a3=a2，猜想：满足S1+S2+…+S n=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1的数列{ a n}是，a n=，a2≥a1，经验证：左式=S1+S2+…+S n=na1+[1+2+…+（n﹣1）]=na1+n（n﹣1）a2，右式=n（n+1）a1+n（n﹣1）b1=n（n+1）a1+n（n﹣1）（a2﹣na1）=na1+n（n﹣1）a2下面证明其它数列都不满足（3）的题设条件由上述n≤3的情况可知，n≤3，a n=，a2≥a1是成立的，假设a k=是首次不符合a n=，a2≥a1的项，则a1≤a2=a3=…=a k﹣1≠a k由题设条件可得（k2﹣k﹣2）a2+a k=k（k﹣1）a1+k（k﹣1）b k（*），若a1＜a k＜a2，则由（*）可得a k=a2与a k＜a2矛盾，若a k＜a1≤a2，则b k=a2﹣a k，所以由（*）可得a k﹣a2=k（k﹣1）（a1﹣a k），所以a k﹣a2与a1﹣a k同号，这与a k＜a1≤a2矛盾；所以a k≥a2，则b k=a k﹣a1，所以由（*）化简可得a k=a2，这与假设a k≠a2相矛盾，所以不存在数列不满足a n=，a2≥a1的{a n}符合题设条件【点评】本题考查了新定义和应用，考查了数列的求和和分类讨论的思想，以及反证法，属于难题．word下载地址。
2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期末试卷
2017年北京市海淀区高三理科上学期数学期末试卷一、选择题（共8小题；共40分）1. 已知i为虚数单位，则5i1−2i= A. 2+iB. −2+iC. 2−iD. −2−i2. 在极坐标系Ox中，方程ρ=2sinθ表示的圆为 A. B.C. D.3. 执行如图所示的程序框图，输出的k值为 A. 4B. 5C. 6D. 74. 设m是不为零的实数，则“m>0”是“方程x2m −y2m=1表示双曲线”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知直线x−y+m=0与圆O:x2+y2=1相交于A，B两点，且△OAB为正三角形，则实数m的值为 A. 32B. 62C. 32或−32D. 62或−626. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号相邻的概率为 A. 15B. 25C. 35D. 457. 某三棱锥的三视图如图所示，则下列说法中：①三棱锥的体积为16；②三棱锥的四个面全是直角三角形；③三棱锥四个面的面积中最大的值是32．所有正确的说法是 A. ①B. ①②C. ②③D. ①③8. 已知点F为抛物线C:y2=2px p>0的焦点，点K为点F关于原点的对称点，点M在抛物线C上，则下列说法错误的是 A. 使得△MFK为等腰三角形的点M有且仅有4个B. 使得△MFK为直角三角形的点M有且仅有4个C. 使得∠MKF=π4的点M有且仅有4个D. 使得∠MKF=π6的点M有且仅有4个二、填空题（共6小题；共30分）9. 点2,0到双曲线x24−y2=1的渐近线的距离是．10. 已知公差为1的等差数列a n中，a1，a2，a4成等比数列，则a n的前100项的和为．11. 设抛物线C:y2=4x的顶点为O，经过抛物线C的焦点且垂直于x轴的直线和抛物线C交于A，B两点，则OA+OB=．12. 已知5x−1n的展开式中，各项系数的和与各项二项式系数的和之比为64:1，则n=．13. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，M是棱BC的中点，点P在底面ABCD内，点Q在线段A1C1上．若PM=1，则PQ长度的最小值为．14. 对任意实数k，定义集合D k=x,y x−y+2≥0,x+y−2≤0,x,y∈R kx−y≤0．①若集合D k表示的平面区域是一个三角形，则实数k的取值范围是；②当k=0时，若对任意的x,y∈D0，有y≥a x+3−1恒成立，且存在x,y∈D0，使得x−y≤a成立，则实数a的取值范围为．三、解答题（共6小题；共78分）15. 如图，在△ABC中，点D在AC边上，且AD=3DC，AB=，∠ADB=π3，∠C=π6．（1）求DC的值；（2）求tan∠ABC的值．16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据两席．其中超算全球第一“神威·太湖之光”完全使用了国产处理器．为了了解国产品牌处理器打开文件的速度，某调查公司对两种国产品牌处理器进行了12次测试，结果如下：（数值越小，速度越快，单位是MIPS）测试1测试2测试3测试4测试5测试6测试7测试8测试9测试10测试11测试品牌A3691041121746614品牌B2854258155121021（1）从品牌A的12次测试结果中，随机抽取一次，求测试结果小于7的概率；（2）在12次测试中，随机抽取三次，记X为品牌A的测试结果大于品牌B的测试结果的次数，求X的分布列和数学期望E X；（3）经过了解，前6次测试是打开含有文字与表格的文件，后6次测试是打开含有文字与图片的文件．请你依据表中数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．17. 如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=CD=1，AD=2，E为AD中点．将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位置，使A1E=A1D如图2．（1）求证：平面A1ED⊥平面BCDE；（2）求A1B与平面A1CD所成角的正弦值；（3）设M，N分别为A1E和BC的中点，试比较三棱锥M−A1CD和三棱锥N−A1CD（图中未画出）的体积大小，并说明理由．18. 已知椭圆C:x2+2y2=9，点P2,0．（1）求椭圆C的短轴长与离心率；（2）过1,0的直线l与椭圆C相交于M，N两点，设MN的中点为T，判断TP与TM 的大小，并证明你的结论．19. 已知函数f x=2e x−ax2−2x−2．（1）求曲线y=f x在点0,f0处的切线方程；（2）当a≤0时，求证：函数f x有且只有一个零点；（3）当a>0时，写出函数f x的零点的个数．（只需写出结论）20. 无穷数列a n满足：a1为正整数，且对任意正整数n，a n+1为前n项a1，a2，⋯，a n中等于a n的项的个数．（1）若a1=2，请写出数列a n的前7项；（2）求证：对于任意正整数M，必存在k∈N∗，使得a k>M；（3）求证：“a1=1”是“存在m∈N∗，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．答案第一部分 1. B 2. D 3. D 【解析】s =20+21+22+⋯+2k=1−2k +11−2=2k +1−1，当 k =5 时，26−1<100，当 k =6 时，27−1>100，则 k =k +1=7，输出 k =7．4. A5. D6. C7. D8. C第二部分9. 25 5 10. 5050 11. 2 12.6 13. 14. −1,1 ， −2,15 第三部分15. （1） 由题意得，∠DBC=∠ADB −∠C =π3−π6=π6, 故 ∠DBC =∠C ，DB =DC ， 设 DC =x ，则 DB =x ，DA =3x ． 在 △ADB 中，由余弦定理得，AB 2=DA 2+DB 2−2DA ⋅DB ⋅cos ∠ADB ， 即 7= 3x 2+x 2−2⋅3x ⋅x ⋅12=7x 2， 解得 x =1，即 DC =1．（2） 方法一．在 △ADB 中，由 AD >AB ，得 ∠ABD >∠ADB =60∘，故∠ABC =∠ABD +∠DBC>π3+π6=π2, 在 △ABC 中，由正弦定理得，AC sin ∠ABC =ABsin ∠ACB ， 即 4sin ∠ABC =712，故 sin ∠ABC =7，由 ∠ABC ∈ π2,π ，得 cos ∠ABC = 37，tan ∠ABC = 3=−23 3．方法二．在 △ADB 中，由余弦定理得，cos ∠ABD =AB 2+BD 2−AD 2=2⋅ 7⋅1=2 7由 ∠ABD ∈ 0,π ，故 sin ∠ABD = 32 7，故 tan ∠ABD =−3 3， 故tan ∠ABC=tan ∠ABD +π=tan ∠ABD +tan π61−tan ∠ABD ⋅tanπ6=−3 3+33 3 33=−2 3.方法三：BC 2=BD 2+CD 2−2BD ⋅CD ⋅cos ∠BDC =3，BC = 3，cos ∠ABC =BA 2+BC 2−AC 22BA⋅BC= 3 7， 因为 ∠ABC ∈ 0,π ， 所以 sin ∠ABC =7，所以 tan ∠ABC = 3=−23 3．16. （1） 从品牌A 的 12 次测试中，测试结果打开速度小于 7 的测试有：测试 1，2，5，6，9，10，11，共 7 次，设“该测试结果打开速度小于 7”为事件A ，因此 P A =712．（2） 12 次测试中，品牌A 的测试结果大于品牌B 的测试结果的测试有：测试 1，3，4，5，7，8，共 6 次，随机变量 X 所有可能的取值为：0，1，2，3， P X =0 =C 63C 6C 123=111， P X =1 =C 62C 61C 123=922， P X =2 =C 61C 62C 123=922，P X =3 =C 60C 63C 123=111，随机变量 X 的分布列为：X 0123P 1991E X =111×0+922×1+922×2+111×3=32．（3） 标准 1：会用前 6 次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌A 、品牌B 的测试结果的平均值进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的平均值；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开含有文字和图片的文件的平均速度）．【解析】标准2：会用前6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差与后6次测试品牌A、品牌B的测试结果的方差进行阐述（这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和图片的文件的测试结果的方差；这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的速度的波动均小于打开含有文字和图片的文件的速度的波动）．标准3：会用品牌A前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值与品牌B前6次测试结果的平均值、后6次测试结果的平均值进行阐述（品牌A前6次测试结果的平均值大于品牌B前6次测试结果的平均值，品牌A后6次测试结果的平均值小于品牌B后6次测试结果的平均值，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A，打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌B）．标准4：会用品牌A前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差与品牌B前6次测试结果的方差、后6次测试结果的方差进行阐述（品牌A前6次测试结果的方差大于品牌B前6次测试结果的方差，品牌A 后6次测试结果的方差小于品牌B后6次测试结果的方差，品牌A打开含有文字和表格的文件的速度的波动大于品牌B，品牌A，打开含有文字和图形的文件的速度的波动小于品牌B）．标准5：会用品牌A这12次测试结果的平均值与品牌B这12次测试结果的平均值进行阐述（品牌A这12次测试结果的平均值小于品牌B这12次测试结果的平均值，品牌A打开文件的平均速度快于品牌B）．标准6：会用品牌A这12次测试结果的方差与品牌B这12次测试结果的方差进行阐述（品牌A这12次测试结果的方差小于品牌B这12次测试结果的方差，品牌A打开文件的平均速度的波动小于品牌B）．标准7：会用前6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数、后6次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（前6次测试结果中，品牌A小于品牌B的有2次，占1/3，后6次测试中，品牌A小于品牌B的有4次，占2/3．故品牌A打开含有文字和表格的文件的速度慢于品牌B，品牌A打开含有文字和图片的文件的速度快于品牌B）．标准8：会用这12次测试中，品牌A测试结果大于（小于）品牌B测试结果的次数进行阐述（这12次测试结果中，品牌A小于品牌B的有6次，占1/2．故品牌A和品牌B打开文件的速度相当）．参考数据：期望前6次后6次12次品牌A 5.509.837.67品牌B 4.3311.838.08品牌A与品牌B 4.9210.83方差前6次后6次12次品牌A12.3027.3723.15品牌B 5.0731.7732.08品牌A与品牌B8.2727.9717. （1）由图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，CD⊥BC，BC=1，AD=2，E为AD中点，BE⊥AD，故图2，BE⊥A1E，BE⊥DE，因为A1E∩DE=E，A1E,DE⊂平面A1DE，所以BE⊥平面A1DE，因为BE⊂平面BCDE，所以平面A1DE⊥平面BCDE．（2）解一：取DE中点O，连接OA1，ON．因为在△A1DE中，A1E=A1D=DE=1，O为DE中点，所以A1O⊥DE，因为平面A1DE⊥平面BCDE，平面A1DE∩平面BCDE=DE，A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCDE，因为在正方形BCDE中，O，N分别为DE，BC的中点，所以ON⊥DE，建系如图．则A10,0,32，B1,−12,0，C1,12,0，D0,12,0，E0,−12,0，A1B=1,−12,−32，A1D=0,12,−32，DC=1,0,0，设平面A1CD的法向量为n=x,y,z，则n⋅A1D=0,n⋅DC=0,即12y−32z=0,x=0,令z=1得，y=3，所以n=0,3,1是平面A1CD的一个法向量．cos A1B,n=A1B⋅nA1B⋅ n =32⋅2=−64，所以A1B与平面A1CD所成角的正弦值为64．解二：在平面A1DE内作Ez⊥ED．由BE⊥平面A1DE，建系如图．则A10,12,32，B1,0,0，C1,1,0，D0,1,0，E0,0,0．A1B=1,−12,−32，A1D=0,12,−32，DC=1,0,0，设平面A1CD的法向量为n=x,y,z，则n⋅A1D=0,n⋅DC=0,即12y−32z=0,x=0,令z=1得，y=3，所以n=0,3,1是平面A1CD的一个法向量．cos A1B,n=A1B⋅nA1B⋅ n =32⋅2=−64，所以A1B与平面A1CD所成角的正弦值为64．（3）三棱锥M−A1CD和三棱锥N−A1CD的体积相等．理由如下：方法一：连接MN，由M0,14,34，N1,12,0，知MN=1,14,−34，则MN⋅n=0，因为MN⊄平面A1CD，所以MN∥平面A1CD．故点M，N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M−A1CD和N−A1CD同底等高，所以体积相等．方法二：如图，取DE中点P，连接MP，NP，MN．因为在△A1DE中，M，P分别是A1E，DE的中点，所以MP∥A1D，因为在正方形BCDE中，N，P分别是BC，DE的中点，所以NP∥CD，因为MP∩NP=P，MP,NP⊂平面MNP，A1D,CD⊂平面A1CD，所以平面MNP∥平面A1CD，因为MN⊂平面MNP，所以MN∥平面A1CD，故点M，N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M−A1CD和N−A1CD同底等高，所以体积相等．方法三：如图，取A1D中点Q，连接MN，MQ，CQ．因为在△A1DE中，M，Q分别是A1E，A1D的中点，所以MQ∥ED且MQ=12ED，因为在正方形BCDE中，N是BC的中点，所以NC∥ED且NC=12ED，所以MQ∥NC且MQ=NC，故四边形MNCQ是平行四边形，故MN∥CQ，因为CQ⊂平面A1CD，MN⊄平面A1CD，所以MN∥平面A1CD．故点M，N到平面A1CD的距离相等，有三棱锥M−A1CD和N−A1CD同底等高，所以体积相等．18. （1）C:x29+y292=1，故a2=9，b2=92，c2=92，有a=3，b=c=322．椭圆C的短轴长为2b=3e=ca =22．（2）方法1：结论是：TP<TM．当直线l斜率不存在时，l:x=1，TP=0<TM=2，当直线l斜率存在时，设直线l:y=k x−1，M x1,y1，N x2,y2，x2+2y2=9,y=k x−1,整理得：2k2+1x2−4k2x+2k2−9=0，Δ=4k22−42k2+12k2−9=64k2+36>0，故x1+x2=4k22k2+1，x1x2=2k2−92k2+1，PM⋅PN=x1−2x2−2+y1y2=x1−2x2−2+k2x1−1x2−1=k2+1x1x2−k2+2x1+x2+k2+4=k2+1⋅2k2−92k2+1−k2+2⋅4k22k2+1+k2+4 =−6k2+52k2+1<0.故∠MPN>90∘，即点P在以MN为直径的圆内，故TP<TM．方法2：结论是：TP<TM．当直线l斜率不存在时，l:x=1，TP=0<TM=2，当直线l斜率存在时，设直线l:y=k x−1，M x1,y1，N x2,y2，T x T,y T，x2+2y2=9,y=k x−1,整理得：2k2+1x2−4k2x+2k2−9=0，Δ=4k22−42k2+12k2−9=64k2+36>0，故x1+x2=4k22k+1，x1x2=2k2−92k+1，x T=12x1+x2=2k22k2+1，y T=k x T−1=−k2k2+1，TP2=x T−22+y T2=2k22−22+ −k22=2k2+22+k22k2+12=4k4+9k2+42k2+12.TM2=12MN2=14k2+1x1−x22=14k2+1x1+x22−4x1x2=14k2+14k22k2+12−4⋅2k2−92k2+1=k2+116k2+9=16k4+25k2+92k2+12.此时，TM2− TP2=16k4+25k2+92k2+12−4k4+9k2+42k2+12=12k4+16k2+522>0.故TM>TP．19. （1）因为函数f x=2e x−ax2−2x−2，所以fʹx=2e x−2ax−2，故f0=0，fʹ0=0，则曲线y=f x在x=0处的切线方程为y=0．（2）当a≤0时，令g x=fʹx=2e x−2ax−2，则gʹx=2e x−2a>0，故g x是R上的增函数，由g0=0，故当x<0时，g x<0，当x>0时，g x>0，即当x<0时，fʹx<0，当x>0时，fʹx>0，故f x在−∞,0上单调递减，在0,+∞上单调递增，函数f x的最小值为f0．由f0=0，故f x有且仅有一个零点．（3）当0<a<1时，f x有两个零点，当a=1时，f x有一个零点；当a>1时，f x有两个零点．20. （1）若a1=2，则数列a n的前7项为2，1，1，2，2，3，1．（2）证法一：假设存在正整数M，使得对任意的k∈N∗，a k≤M，由题意，a k∈1,2,3,⋯,M，故数列a n至多有M个不同的取值，考虑数列a n的前M2+1项：a1，a2，a3，⋯，a M2+1，其中至少有M+1项的取值相同，不妨设a i1=a i2=⋯=a iM+1，此时有：a iM+1+1=M+1>M，矛盾．故对于任意的正整数M，必存在k∈N∗，使得a k>M．证法二：假设存在正整数M，使得对任意的k∈N∗，a k≤M，由题意，a k∈1,2,3,⋯,M，故数列a n至多有M个不同的取值，对任意的正整数m，数列a n中至多有M项的值为m，事实上若数列a n中至少有M+1项的值为m，其M+1项为a i1，a i2，a i3，⋯，a iM−1，a iM，a iM+1，此时有：a iM+1+1=M+1>M，矛盾．故数列a n至多有M2项，这与数列a n有无穷多项矛盾．故对于任意的正整数M，必存在k∈N∗，使得a k>M．（3）充分性：若a1=1，则数列a n的项依次为1，1，2，1，3，1，4，1，⋯，k−2，1，k−1，1，k，1，⋯特别地，数列a n的通项公式为a n=k,n=2k−11,n=2k，即a n=n+12,n=2k−11,n=2k，故对任意的n∈N∗，（1）若n为偶数，则a n+2=a n=1，（2）若n为奇数，则a n+2=n+32>n+12=a n，综上，a n+2≥a n恒成立，特别地，取m=1有当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立．必要性：方法一：假设存在a1=k k>1，使得“存在m∈N∗，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”，则数列a n的前k2+1项为k，1,1,2,1,3,1,4,⋯,1,k−2,1,k−1,1,k⏟2k−1项，2,2,3,2,4,2,5,⋯,2,k−2,2,k−1,2,k⏟2k−3项，3,3,4,3,5,3,6,⋯,3,k−2,3,k−1,3,k⏟2k−5项，⋯，k−2,k−2,k−1,k−2,k⏟5项，k−1,k−1,k⏟3项，k后面的项顺次为k+1,1,k+1,2,k+1,3,⋯,k+1,k−2,k+1,k−1,k+1,k⏟2k项，k+2,1,k+2,2,k+2,3,⋯,k+2,k−2,k+2,k−1,k+2,k⏟2k项，k+3,1,k+3,2,k+3,3,⋯,k+3,k−2,k+3,k−1,k+3,k⏟2k项，⋯k+t,1,k+t,2,k+t,3,⋯,k+t,k−2,k+t,k−1,k+t,k⏟2k项，⋯故对任意的s=1,2,3,⋯,k−2,k−1,k，t∈N∗，a k2+1+2t−1k+2s−1=k+t,a k2+1+2t−1k+2s=s,对任意的m，取t=m2k+1，其中x表示不超过x的最大整数，则2kt>m，令n=k2+1+2kt，则n>m，此时a n=k，a n+2=1，有a n>a n+2，这与a n≤a n+2矛盾，故若存在m∈N∗，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立，必有a1=1．方法二：若存在m∈N∗，当n≥m时，a n+2≥a n恒成立，记max a1,a2,⋯,a m=s，由第Ⅱ问的结论可知：存在k∈N∗，使得a k>s（由s的定义知k≥m+1），不妨设a k是数列a n中第一个大于等于s+1的项，即a1，a2，⋯，a k−1均小于等于s，则a k+1=1，因为k−1≥m，所以a k+1≥a k−1，即1≥a k−1且a k−1为正整数，所以a k−1=1，记a k=t≥s+1，由数列a n的定义可知，在a1，a2，⋯，a k−1中恰有t项等于1，假设a1≠1，则可设a i1=a i2=⋯=a it=1，其中1<i1<i2<⋯<i t=k−1，考虑这t个1的前一项，即a i1−1，a i2−1，⋯，a it−1，因为它们均为不超过s的正整数，且t≥s+1，所以a i1−1，a i2−1，⋯，a it−1中一定存在两项相等，将其记为a，则数列a n中相邻两项恰好为a,1的情况至少出现2次，但根据数列a n的定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！故假设a1≠1不成立，所以a1=1，即必要性得证！综上，“a1=1”是“存在m∈N∗，当n≥m时，恒有a n+2≥a n成立”的充要条件．。
北京市海淀区2017届高三上学期期中考试数学理试题(附答案)$723838
海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科）本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{2}A x x =>，{(1)(3)0}B x x x =--<，则A B =A. {1}x x >B. {23}x x <<C. {13}x x <<D. {2x x >或1}x < 2. 已知向量(1,2),(2,4)=-=-a b ，则a 与b A. 垂直B. 不垂直也不平行C. 平行且同向D. 平行且反向3. 函数222x xy =+的最小值为A. 1B. 2C. D. 44. 已知命题:p 0c ∃>，方程20x x c -+= 有解，则p ⌝为 A. 0c ∀>，方程20x x c -+=无解 B. c ∀≤0，方程20x x c -+=有解 C. 0c ∃>，方程20x x c -+=无解 D. c ∃≤0，方程20x x c -+=有解5. 已知函数,,log x b c y a y x y x ===的图象如图所示，则A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >> 6. 设,a b 是两个向量，则“+>-a b a b ”是“0⋅>a b ”的 A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 已知函数42()cos sin f x x x =+，下列结论中错误．．的是 A. ()f x 是偶函数 B. 函数()f x 最小值为34C.π2是函数()f x 的一个周期 D. 函数()f x 在π0,2（）内是减函数 8．如图所示，A 是函数()2x f x =的图象上的动点，过点A 作直线平行于x 轴，交函数2()2x g x +=的图象于点B ，若函数()2x f x =的图象上存在点C 使得ABC ∆为等边三角形，则称A 为函数()2x f x =上的好位置点. 函数()2x f x =上的好位置点的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 大于2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2017-2018学年北京市海淀区高三上学期理科期末数学试卷
15.
如图，在△ABC 中，点D在AC 边上，且AD = ， 3DC AB = ， √7 ∠ADB =
， π ∠C
=
π．
3
6
（1） 求DC 的值． （2） 求tan ∠ABC的值．
康 智 16. 据中国日报网报道：2017年11月13日，TOP500发布的最新一期全球超级计算机500强榜单显示，中国超算在前五名中占据
数据，运用所学的统计知识，对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价．
17.
如图 ，梯形 中， ， ， 1
ABC D
AD//BC C D⊥BC BC
=
CD
=
， 1 AD
=
2，E为AD中点．将△ABE沿BE翻折到△A1BE的位
置，使A1E = A1D如图2．
（1） 求证：平面A1ED⊥平面BC ． DE （2） 求A1B与平面A1CD所成角的正弦值． （3） 设M 、N分别为A 和 1E BC 的中点，试比较三棱锥M − A1CD和三棱锥N − A1CD（图中未画出）的体积大小，
并说明理由．
18.
已知椭圆C
：2 x
+
2 2y
=
，点 ． 9
P (2, 0)
（1） 求椭圆C的短轴长与离心率．
康 （2） 过(1, 0)的直线l与椭圆C相交于M 、N两点，设MN的中点为T ，判断|T P 与 | |T M|的大小，并证明你的结论．
智
爱 19. 已知函数 ． x
2
f (x) = 2e − ax − 2x − 2
品牌A
3
6
9
10
4
1
12
17
4
6
6
北京市海淀区2017届高三上学期期末数学试卷(文科)
2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2） D．（﹣1，2）2．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．33．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=log2x D．y=|x|+14．已知向量，满足=0，（）•=2，则||=（）A．B．1 C．D．25．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．96．在△ABC中，“A＜30°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A． B．[，] C． D．[，2]二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线C：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为．10．已知数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，则a1= ，其前n 项和S n= ．11．已知圆C：x2+y2﹣2x=0，则圆心C 的坐标为，圆C截直线y=x 的弦长为．12．已知x，y满足，则2x+y的最大值为．13．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD=30°，∠CDB=50°．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①AD，DB②AC，DB③CD，DB其中，能使△ABC 唯一确定的条件的序号为．（写出所有所和要求的条件的序号）14．已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）已知数列{a n} 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n﹣n} 的前n 项和为S n，比较S4和S5的大小，并说明理由．16．（13分）已知函数（Ⅰ）求f（x）的定义域及的值；（Ⅱ）求f（x）在上的单调递增区间．17．（13分）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数（Ⅱ）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．18．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．19．（13分）已知椭圆的离心率为，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程．20．（14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在函数f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a 恰有两个不同的实根x1，x2，且x1＜x2，求证：．2016-2017学年北京市海淀区高三（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．复数i（2﹣i）在复平面内对应的点的坐标为（）A．（﹣2，1）B．（2，﹣1）C．（1，2） D．（﹣1，2）【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数i（2﹣i）=2i+1在复平面内对应的点的坐标为（1，2），故选：C．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．3【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用抛物线的方程求出p即可得到结果．【解答】解：抛物线y2=2x的焦点到准线的距离为：p=1．故选：B．【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题．3．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（）A．B．y=﹣x2C．y=log2x D．y=|x|+1【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．【解答】解：A.是减函数，为非奇非偶函数，不满足条件．B．y=﹣x2是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件．C．y=log2x在区间（0，+∞）上单调递增，为非奇非偶函数，不满足条件．D．y=|x|+1是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．故选：D【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．4．已知向量，满足=0，（）•=2，则||=（）A．B．1 C．D．2【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得=2，可得||的值．【解答】解：∵向量，满足=0，（）•=﹣=2﹣==2，则||=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．5．如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入a的值为16，b的值为24，则执行该程序框图的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】模拟程序的运行，根据程序流程，依次判断写出a，b的值，可得当a=b=8时，不满足条件a≠b，输出a的值为8，即可得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得a=16，b=24满足条件a≠b，不满足条件a＞b，b=24﹣16=8，满足条件a≠b，满足条件a＞b，a=16﹣8=8，不满足条件a≠b，输出a的值为8．故选：C．【点评】本题考查的知识点是循环结构，当循环次数不多时，多采用模拟循环的方法，本题属于基础题．6．在△ABC中，“A＜30°”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：由，则0°＜A＜30°或150°＜A＜180°，则A＜30°”是“”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据三角函数值的关系是解决本题的关键．7．已知某四棱锥的三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A．B．C．2 D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，即可求出体积．【解答】解：由三视图可知，几何体是以俯视图为底面，高为2的四棱锥，体积为=，故选B．【点评】本题考查几何体体积的计算，考查三视图与直观图的转化，确定直观图的形状是关键．8．如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱AD，B1C1上的动点，设AE=x，B1F=y，若棱DD1与平面BEF有公共点，则x+y的取值范围是（）A． B．[，] C． D．[，2]【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF 交于线段DD1，即可得出结论．【解答】解：由题意，若x=y=1，则棱DD1与平面BEF交于点D，符合题意；若x=1，y=0，则棱DD1与平面BEF交于线段DD1，符合题意．故选C．【点评】本题考查线面位置关系，考查特殊法的运用，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．已知双曲线C：，则双曲线C 的一条渐近线的方程为y=2x或（y=﹣2x）．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出a和b 的值，再根据焦点在x轴上，求出渐近线方程．【解答】解：由双曲线C：得到a=1，b=2，则双曲线C 的渐近线方程为y=±2x，故答案为：y=2x或（y=﹣2x）．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．10．已知数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，则a1= ﹣1 ，其前n 项和S n= n2﹣2n ．【考点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．【分析】推导出数列{a n} 是公差d=2的等差数列，由此能求出首项和前n项和．【解答】解：∵数列{a n} 满足a n+1﹣a n=2，n∈N*，且a3=3，∴数列{a n} 是公差d=2的等差数列，∴a3=a1+2d=a1+4=3，解得a1=﹣1，∴S n==﹣1+=n2﹣2n．故答案为：﹣1，n2﹣2n．【点评】本题考查数列的首项和前n项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．已知圆C：x2+y2﹣2x=0，则圆心C 的坐标为（1，0），圆C截直线y=x 的弦长为．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】将圆C方程化为标准形式，找出圆C的半径及圆心坐标即可；利用点到直线的距离公式，求直线l与圆心C的距离，即可求出圆C截直线y=x 的弦长．【解答】解：圆C方程x2+y2﹣2x=0化为标准方程得：（x﹣1）2+y2=1，则圆C的半径为1，圆心C坐标为（1，0）；圆心C（1，0）到直线l：x﹣y=0的距离d=，∴圆C截直线y=x 的弦长为2=，故答案为（1，0），．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，圆的标准方程与一般方程的转化，考查计算能力．12．已知x，y满足，则2x+y的最大值为10 ．【考点】简单线性规划．【分析】根据目标函数的解析式形式，分析目标函数的几何意义，然后判断目标函数取得最优解的点的坐标，即可求解【解答】解：令z=2x+y，则y=﹣2x+z，则z表示直线y=﹣2x+z在y轴上的截距，截距越大，z越大作出不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分做直线2x+y=0，然后把直线2x+y=0向上平移，结合图形可知，当直线平移到B时，z最大由可得B（4，2），此时z=10故答案为：10【点评】本题考查线性规划知识的运用，考查学生的计算能力，考查数形结合的数学思想13．如图所示，点D 在线段AB 上，∠CAD=30°，∠CDB=50°．给出下列三组条件（给出线段的长度）：①AD，DB②AC，DB③CD，DB其中，能使△ABC 唯一确定的条件的序号为①②③．（写出所有所和要求的条件的序号）【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可得，结合余弦定理即可得解．【解答】解：∵∠CAD=30°，∠CDB=50°．∴可得：∠ACD=20°，∴在△ACD中，可得，即给一边，可求另外两边，进而利用正弦定理，余弦定理可求△ABC的各边及角．故答案为：①②③．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．14．已知A、B两所大学的专业设置都相同（专业数均不小于2），数据显示，A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比）．据此，甲同学说：“A大学的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”；乙同学说：“A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例”；丙同学说：“两所大学的全体学生的男女生比例一定高于B大学的男女生比例”．其中，说法正确的同学是乙．【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，即可得出结论．【解答】解：根据A大学的各专业的男女生比例均高于B大学的相应专业的男女生比例（男女生比例是指男生人数与女生人数的比），可知甲、丙不一定正确，A大学的男女生比例有可能等于B大学的男女生比例，即A大学的男女生比例不一定高于B大学的男女生比例故答案为乙【点评】本小题情境通俗易懂，主要考查逻辑思维和推理能力，难度不大．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知数列{a n} 是各项均为正数的等比数列，且a2=1，a3+a4=6（Ⅰ）求数列{a n} 的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n﹣n} 的前n 项和为S n，比较S4和S5的大小，并说明理由．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出．（Ⅱ）由数列{a n﹣n} 的前n 项和S n的意义可得S5﹣S4=a5﹣5，进而得出．【解答】解：（Ⅰ）设数列{a n} 的公比为q，由a3+a4=6，可得又a2=1，所以q+q2=6，解得q=2 或q=﹣3，因为a n＞0 （n=1，2，3，…），所以．所以q=2，解得，所以，数列{a n} 的通项．．（Ⅱ）由数列{a n﹣n} 的前n 项和S n的意义可得S5﹣S4=a5﹣5，所以，所以S5＞S4．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知函数（Ⅰ）求f（x）的定义域及的值；（Ⅱ）求f（x）在上的单调递增区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）根据函数成立的条件，结合三角函数的性质进行求解即可．（Ⅱ）将函数进行化简，利用三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由cosx≠0，可得x≠kπ+，k∈Z，所以f（x）的定义域为，.．（Ⅱ）==2sinx+2cosx=，因为，所以．因为函数y=sinx 在上单调递增，所以时，单调递增，此时，所以，函数f（x）在上的单调递增区间为．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用条件将函数进行化简是解决本题的关键．17．（13分）（2016秋•海淀区期末）诚信是立身之本，道德之基．某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“”表示每周“水站诚信度”．为了便于数据分析，以四周为一个周期，下表为该水站连续八周（共两个周期）的诚信度数据统计，如表1：（Ⅰ）计算表1中八周水站诚信度的平均数（Ⅱ）从表1诚信度超过91% 的数据中，随机抽取2个，求至少有1个数据出现在第二个周期的概率；（Ⅲ）学生会认为水站诚信度在第二个周期中的后两周出现了滑落，为此学生会举行了“以诚信为本”主题教育活动，并得到活动之后一个周期的水站诚信度数据，如表2：请根据提供的数据，判断该主题教育活动是否有效，并根据已有数据说明理由．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（Ⅰ）由数据统计表能求出八周诚信水站诚信度的平均数．（Ⅱ）表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，由此利用列举法能求出设至少有1个数据出现在第二个周期的概率．（Ⅲ）根据提供的数据，判断该主题教育活动有效．【解答】（本小题满分13分）解：（Ⅰ）八周诚信水站诚信度的平均数为=．（Ⅱ）表1中超过91% 的数据共有5个，其中第一个周期有3个，分别记为a1、a2、a3，第二个周期有2个，分别记为b1、b2，从这5个数据中任取2个共有10种情况：a1a2，a1a3，a1b1，a1b2，a2a3，a2b1，a2b2，a3b1，a3b2，b1b2．其中至少有1个数据出现在第二个周期有7种情况．设至少有1个数据出现在第二个周期为事件A 则．（Ⅲ）有效阐述理由含如下之一理由陈述的可能情况：①第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第二个周期的诚信度平均数87.75%；②第三个周期的四周的水站诚信度相对于第二个周期的第四周诚信度而言，呈逐步上升趋势；③第三个周期水站诚信度的平均数92% 高于第一、二个周期的诚信度平均数90.5%；④12周的整体诚信度平均数为91%，高于前两个周期的诚信度的平均数90.5%；【点评】本题考查数据统计表的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．18．（14分）（2016秋•海淀区期末）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，CD=2AB，AD⊥CD，E为棱PD的中点．（Ⅰ）求证：CD⊥AE；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅲ）试判断PB与平面AEC是否平行？并说明理由．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD⇒PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，得CD⊥AE．（Ⅱ）由AB∥DC，CD⊥平面PAD，⇒AB⊥平面PAD．又由AB⊂平面PAB，得平面PAB⊥平面PAD．（Ⅲ）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，由已知得到，这与OB=OD 矛盾．【解答】解：（Ⅰ）因为PD⊥底面ABCD，DC⊂底面ABCD，所以PD⊥DC．又AD⊥DC，AD∩PD=D故CD⊥平面PAD．又AE⊂平面PAD，所以CD⊥AE．（Ⅱ）因为AB∥DC，CD⊥平面PAD，所以AB⊥平面PAD．又因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（Ⅲ）PB与平面AEC不平行．假设PB∥平面AEC，设BD∩AC=O，连结OE，则平面EAC∩平面PDB=OE，又PB⊂平面PDB﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）所以PB∥OE．所以，在△PDB 中有=，由E是PD中点可得，即OB=OD．因为AB∥DC，所以，这与OB=OD 矛盾，所以假设错误，PB与平面AEC不平行．（注：答案中标灰部分，实际上在前面表达的符号中已经显现出该条件，故没写不扣分）【点评】本题考查了线线垂直、线面垂直、线面平行的判定，属于基础题．19．（13分）（2016秋•海淀区期末）已知椭圆的离心率为，直线l 过椭圆G 的右顶点A（2，0），且交椭圆G于另一点C（Ⅰ）求椭圆G 的标准方程；（Ⅱ）若以AC 为直径的圆经过椭圆G 的上顶点B，求直线l 的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题设可得，及其a2=b2+c2，解出即可得出．（Ⅱ）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于．由题设可得B（0，1），利用数量积运算性质可得：．又C（x C，y C）在椭圆G 上，可得，解出即可得出．法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为y=k（x﹣2），与椭圆方程联立可得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．利用根与系数的关系可得：由题设可得以AC为直径的圆经过点B（0，1）等价于．解出即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题设可得，解得，因为a2=b2+c2，所以，所以椭圆G 的标准方程为．．（Ⅱ）法1：以AC为直径的圆经过点B等价于．由题设可得B（0，1），所以，，所以．又C（x C，y C）在椭圆G 上，所以，由，可得，解得x C=0 或，所以C（0，1）或，所以，直线l 方程为x+2y﹣2=0或3x﹣10y﹣6=0．法2：由题意，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 为y=k（x﹣2），由，可得（1+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣4=0．△＞0，，又因为x A=2，所以．由题设可得以AC为直径的圆经过点B（0，1）等价于．所以，即．解得或．所以，直线l 方程为x+2y﹣2=0 或3x﹣10y﹣6=0．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20．（14分）（2016秋•海淀区期末）已知函数．（Ⅰ）求曲线y=f（x）在函数f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调区间；（Ⅲ）若关于x 的方程f（x）=a 恰有两个不同的实根x1，x2，且x1＜x2，求证：．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算切线的斜率，从而求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，解关于导函数的方程，求出函数的单调区间即可；（Ⅲ）根据函数的单调性得到方程f（x）=a 有两个不同的实根x1，x2时，必有0＜a＜1，且e﹣1＜x1＜1＜x2，从而证出结论．【解答】解：（Ⅰ）令f（x）=0，得，所以，函数f（x）零点为，由得，所以，所以曲线y=f（x）在零点处的切线方程为，即y=e2x﹣e．（Ⅱ）由函数得定义域为（0，+∞）．令f'（x）=0，得x=1．所以，在区间（0，1）上，f'（x）＞0；在区间（1，+∞）上，f'（x）＜0．故函数f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）；（Ⅲ）由（Ⅰ）可知f（x）在（0，e﹣1）上f（x）＜0，在（e﹣1，+∞）上f（x）＞0．由（Ⅱ）结论可知，函数f（x）在x=1 处取得极大值f（1）=1，所以，方程f（x）=a 有两个不同的实根x1，x2时，必有0＜a＜1，且e﹣1＜x1＜1＜x2，法1：所以，由f（x）在（1，+∞）上单调递减可知，所以；法2：由f（x）=a，可得lnx+1=ax，两个方程同解．设g（x）=lnx+1﹣ax，则，当0＜a＜1 时，由g'（x）=0，得，所以g（x），g'（x）在区间（0，+∞）上的情况如下：所以，，所以．【点评】本题考查了切线方程问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．- 21 -。