计算方法-第一章
计算方法-刘师少版第一章课后习题完整答案
9000 m=1
9000.00
解 （1）∵ 2.0004＝0.20004×10 ,
x − x ∗ = x − 0.20004 ≤ 0.000049 ≤ 0.5 × 10 −4
m-n=-4,m=1 则 n=5,故 x=2.0004 有 5 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
1 1 × 10 −( n −1) = × 101−5 = 0.000025 2 × x1 2× 2
-2
（2）∵ －0.00200= -0.2×10 ,
m=-2
x − x ∗ = x − (−0.00200) ≤ 0.0000049 ≤ 0.5 × 10 −5
m-n=-5, m=-2 则 n=3,故 x=-0.00200 有 3 位有效数字
x1 =2，相对误差限 ε r =
4
1 × 101−3 =0.0025 2× 2
4 3 4 πR − π ( R * ) 3 3 ε r* (V ) = 3 4 3 πR 3 R 3 − (R* )3 ( R − R * )( R 2 + RR * + R * ) = = R3 R3 R − R * R 2 + RR * + R * R − R * R 2 + RR * + RR * = ⋅ ≈ ⋅ R R R2 R2
可以得到计算积分的递推公式：
I n = 1 − nI n −1
1 0
n = 1,2, L
1 0
I 0 = ∫ e x −1 dx = e x −1
则准确的理论递推式 实际运算的递推式 两式相减有
* *
= 1 − e −1
I n = 1 − nI n −1
* * In = 1 − nI n −1 * * * In − In = −n( I n −1 − I n −1 ) = − ne( I n −1 ) *
计算方法_课后习题答案
(4.5)(0.01172)
0.00879
（2）采用 Newton 插值多项式 y x N2(x) 根据题意作差商表：
i
xi
0
4
1
6.25
f (xi ) 2 2.5
一阶差商 2 9
2
9
3
2 11
二阶差商 4 495
N2 (7) 2 29 (7 4) ( 4 495) (7 4) (7 6.25) 2.6484848
1
e2
则根据二次Lagrange插值公式得：
L2 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )
y0
(x ( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
y1
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
y2
2(x 1)(x 0.5) 2x(x 0.5)e1 4x(x 1)e0.5
8. 求作 f x xn1 关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值多项式，并利用
插值余项定理证明
n
n
xin1li 0 1n xi
i0
i0
式中 li x 为关于节点 xi i 0,1, , n 的 Lagrange 插值基函数。
2 02 12 4 23 4 04 14 2 3
1 x2 3x 2 x 4 3x x2 6x 8 23 x x2 5x 4 1 x x2 3x 2
8
4
8
计算方法
计算方法第一章绪论1.1计算方法的任务与特点计算方法（又称数值计算方法，数值方法）定义：研究数学问题数值解法及其理论的一门学科1.2误差知识误差来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差绝对误差：|e（x*）|=|x－x*|相对误差：e r=e（x*）/x*x*=±10m（a1×10－1＋a2×10－2+…+an×10-n）n为有效数字|x-x*|≤（1/2）×10m-n1.3选用算法时应遵循的原则要尽量简化计算步骤以减少运算次数、要防止大数“吃掉”小数、尽量避免相近的数相减、除法运算中应尽量避免除数的绝对值远远小于被除数的绝对值选用数值稳定性好的公式，以控制舍入误差的传播第二章方程的近似解法方程f（x）=a0+a1x+…+a m-1x m-1+a m的根的模小于u+1大于1/|1+v| （u=max｛|a m-1|,…,|a1|,|a0|｝v=1/|a0|max｛1,||a m-1|,…,|a1|｝）2.1二分法解法步骤：第一步利用（b-a）/2n+1≤1/2×10-m解得n+1≥~得最小对分次数2.2迭代法解法步骤：第一步画图求的隔根区间第二步建立迭代公示并判别收敛性第三步令初始值计算2.3牛顿迭代法迭代公式：x n+1= x n -f（x n）/f’（x n）解法步骤：第一步列出迭代公式第二步判断收敛性3.1解线性方程组的直接法高斯消去法、列主元素消去法、总体选主元素消去法暂不介绍矩阵三角分解法Ly=b Ux=y以三行三列为例介绍u11=a11u12=a12u13=a13l21=a21/u11l31=a31/u11u22=a22-l21×u12u23=a23-l21×u13l32=(a32-l31u12)/u22u33=a33-l31×u13-l32×u233.2解线性方程组的迭代法简单迭代法（雅可比迭代法）x=Bx+g收敛性判断|E入-B T B|=0 max入＜1赛德尔迭代法x(k+1)=B1x(k+1)+B2x(k)+g收敛性判断|E入-C T C|=0 max入＜1 C=(E-B1)-1B2第五章插值法余项R n（x）=f（n+1）（~）∏（x-x i）5.1拉格朗日插值法l k（x）=[（x-x0）…（x-x k-1）（x-x k+1）…（x-x n）]/[（x k-x0）…（x k-x k-1）（x k-x k+1）…（x k-x n）] L n(x)=∑l k(x)y k第六章最小二乘法与曲线拟合A T Ax=A T b第七章数值积分与数值微分梯形公式∫f（x）dx=(b-a)/2[f(a)+f(b)]Rn=-(b-a)3/12f’’(m) (m∈(a,b))复化梯形公式Rn=-(b-a)h2/12f’’(m) (m∈(a,b))辛浦生公式∫f（x）dx=(b-a)/6[f(a)+f((a+b)/2)+f(b)]Rn=- (b-a)5/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))Rn=- (b-a)h4/2880f’(4)(m) (m∈(a,b))柯特斯公式∫f（x）dx=(b-a)/90[7f(x0)+32f(x1)+12f(x2)+32f(x3)+7f(x4)]Rn=-8(b-a)/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))Rn=-2(b-a)（h/4）6/945((b-a)/4)7f(6)(m) (m∈(a,b))龙贝格求积公式S N=(4T2N-T N)/(4-1)C N=(42S2N-S N)/(42-1)R N=(43C2N-C N)/(43-1)T梯形S辛浦生C柯特斯第八章常微分方程初值问题的数值解法欧拉法y n+1=y n+hf(x n,y n)梯形法y n+1=y n+h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1)]欧拉预估-校正公式y n(0)=y n+hf(x n,y n) y n+1=h/2[f(x n,y n)+f(x n+1,y n+1(0))]。
计算方法 第1章 预备知识与误差分析
1． 误差的来源及误差类型 一般使用计算机解决实际问题须经过如下几个过程： 实际问题 数学模型 数值算法 程序设计 计算结果
根据实际问题建立数学模型的过程中通常会忽略某些次要因素而对问题进行简化， 由此 产生的误差称为模型误差； 很多数学模型都含有若干个参数， 而有些参数往往又是观测得到 的近似值， 如此取得的近似参数与真实参数值之间的误差称为参数误差或观测误差。 例如自 由落体运动规律的公式
nn
(1.2)
其矩阵形式可以表示为 Ax b, A R
, x, b R n ，由线性代数知识我们知道，当其系数
授课对象：北京工业大学计算机学院本科生
杨中华
2
编者：杨中华
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
矩阵对应的行列式不等于零时，即 D 法则，有：
A 0 ，该线性方程组有唯一一组解，根据克莱姆
这个耗时数还不包括求解过程中的加减运算以及更耗时的读写内存数据操作所需要的时间。 但是如果用 Gauss 消去法求解此规模的线性方程组，其乘除法次数约仅为：
n3 n n 2 3060 3 3
(1.4)
从(1.3)与(1.4)式的巨大差距可以看出求解线性方程组用 Gauss 消去法非常有效， 因此对于稍 微大一点规模的线性方程组没有任何理由选择克莱姆法则解决此类问题。 对程序员的忠告：千万不要以为计算机的速度不是问题，选择数学方法不当可能让你 永远等不到最后的计算结果！ 我们再看一个实例， 从中可以发现， 有时直接使用高等数学中给出的很简单明了的数学 表达式进行计算并不一定能够得到我们预期的结果。 例1.2 考虑导数的近似计算问题，根据导数的定义
计算方法讲稿
第一章 预备知识与误差分析
计算方法(1)-数值计算中的误差
* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2
1 1
24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2
b
b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25
当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2
1 1
3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6
2 6
0.0040960
5
6
0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1
5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性
南航《计算方法》第1章-绪论
南京航空航天大学数学系
内容提要
1. 科学计算的地位与应用 2. 科学计算在美国 3. 科学计算的基本内容 4. 科学计算主要进展 5. 相容性与稳定性
一. 科学计算的地位与应用
科学计算的地位
科学研究/工程技术
理论 研究
科学 计算
科学 实验
科学工程计算
建模 计算
应用 问题
数学 计算 模型 方法
二. 科学计算在美国
2
美国从1942年8月13日开始曼哈顿 计划，到1945年制造出三颗原子 弹：代号为：“三一”，用于试 验（7月16日），“瘦子”投于广 岛(8月6日)，“胖子”投于长崎(8 月9日)。历时三年，涉及到理论 物理、爆轰物理、中子物理、金
属物理、弹体弹道等大量的数值 计算。
1983年一个由美国著名数学家拉 克斯(P. Lax)为首的不同学科的专 家委员会向美国政府提出的报告 之中，强调“科学计算是关系到 国家安全、经济发展和科技进步 的关键性环节，是事关国家命脉 的大事。”
有限差分法的基本思想是用离散的、 只含有限个未知数的差分方程去代 替连续变量的微分方程和定解条件。 求出差分方程的解作为求偏微分方 程的近似解。
3.5 微分方程(组)数值解
有限元法是近代才发展起来的， 它是以变分原理和剖分差值作为 基础的方法。在解决椭圆形方程 边值问题上得到了广泛的应用。 有许多人正在研究用有限元素法 来解双曲形和抛物形的方程。
1 en1 n en
故得 | en
|
1 n1
1 n
2
1 N
| eN
| (n
N)
计算稳定。
x * ---数学模型精确解 x ---计算格式理论解 x ---计算格式近似解
西安交通大学《计算方法》课件-第一章
浮点运算原则
(1)避免产生大结果的运算，尤其是避免小数作为除数 参加运算 (2)避免“大”“小”数相加减 (3)避免相近数相减，防止大量有效数字损失 (4)尽可能简化运算步骤，减少运算次数
第1章 绪论
定义 数据相对小的变化引起解的相对大的变化的问题 称为病态问题,否则称为良态问题。
问题的性态就是指问题的解对原始数据扰动的敏感性
第1章 绪论
浮点数系运算误差
(2)计算结果的尾数多于t位数字
在F (2,3,1,2)中
(0.100 20 ) (0.111 20 ) 0.1101 21 (0.100 22 ) (0.111 21 ) 0.1000111 22
需要对结果进行舍入处理,产生的差称为舍入误差
记为F ( , t , L,U )
l
将计算机中所能表示的全体数的集合称为计算机的浮点数系
浮点数系中的数的个数是有限的,其个数为
2( 1) t 1 (U L 1) 1
第1章 绪论
浮点数系的误差
在计算机的浮点数系中,四则运算是非封闭的 为使经过算术运算产生的结果仍然要用浮点数系中的数 表示,因此必须用一个比较接近的数来代替 因此产生误差 称此误差称为舍入误差
第1章 绪论
第1章 绪论
什么是计算方法
《计算方法》介绍基本的数学问题中的主要数值方法, 介绍方法的思想、结构、条件、对输入数据的要求、生成 数据的意义、应注意的事项等 介绍数值计算中的一些最基本的概念 设计常见应用问题的数值处理方法 对数值方法的数值特性进行研究 分析方法的可靠性 分析方法的效率
第1章 绪论
问题的性态
已知问题f ( x)的输入数据只有一个 ,用x来表示 若有两个输入数据x和~ x , 则可以得到两个不同的结果f ( x)和f ( ~ x)
计算方法第一章绪论(32学时)-2014.2
教材聂玉峰、王振海等《数值方法简明教程》，高等教育出版社，2011作业计算方法作业集（A、B）参考书¾封建湖，车刚明计算方法典型题分析解集（第三版）西北工业大学出版社，2001¾封建湖，聂玉峰，王振海数值分析导教导学导考（第二版）西北工业大学出版社，2006¾车刚明，聂玉峰，封建湖，欧阳洁数值分析典型题解析及自测试题（第二版）西北工业大学出版社，2003西北工业大学理学院欧阳洁2第一章绪论§1 引言§2 误差的度量与传播§3 选用算法时应遵循的原则西北工业大学理学院欧阳洁3§1 引言科学与工程领域中运用计算机求解问题的一般过程：1 实际问题的提出2 建立数学模型3 设计可靠、高效的数值方法4 程序设计5 上机实践计算结果6 数据处理及结果分析西北工业大学理学院欧阳洁4学习算法的意义科学计算（数值模拟）已经被公认为与理论分析、实验分析并列的科学研究三大基本手段之一。
计算方法课程的研究对象具有广泛的适用性，著名流行软件如Maple、Matlab、Mathematica 等已将其绝大多数内容设计成函数，简单调用之后便可以得到运行结果。
但由于实际问题的具体特征、复杂性, 以及算法自身的适用范围决定了应用中必须选择、设计适合于自己特定问题的算法，因而掌握数值方法的思想和内容至关重要。
西北工业大学理学院欧阳洁5鉴于实际问题的复杂性，通常将其具体地分解为一系列子问题进行研究，本课程主要涉及如下几个方面问题的求解算法：¾非线性方程求根¾线性代数方程组求解¾函数插值¾曲线拟合¾数值积分与数值微分¾常微分方程初值问题的数值解法¾矩阵特征值与特征向量计算西北工业大学理学院欧阳洁6§2 误差的度量与传播一误差的来源与分类模型误差：数学模型与实际问题的误差观测误差：观测结果与实际问题的误差截断误差：数学模型的理论解与数值计算问题的精确解之间的误差舍入误差：对超过某有限位数的数据进行舍入所产生的误差西北工业大学理学院欧阳洁75 使用数值稳定性好的公式一个算法，如果初始数据微小的误差仅使最终结果产生微小的误差，或在运算过程中舍入误差在一定条件下能够得到控制，则称该算法（数值）稳定，否则称其为（数值）不稳定．西北工业大学理学院欧阳洁26总结1.数值运算的误差估计2.绝对误差、相对误差与有效数字3.数值运算中应遵循的若干原则西北工业大学理学院欧阳洁30。
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张晓平
数值计算方法
20 / 50ຫໍສະໝຸດ 误差来源与分类舍入误差
由于计算机的字长有限，进行数值计算的过程中，对计算得到的中间结果数据 要使用“四舍五入”或其他规则取近似值，因而使计算过程有误差。 1990年2月25日，海湾战争期间，在沙特阿拉伯宰赫兰的爱国者导弹防御系统 因浮点数舍入错误而失效，该系统的计算机精度仅有24位，存在0.0001%的计 时误差，所以有效时间阙值是20个小时。当系统运行100个小时以后，已经积 累了0.3422秒的误差。这个错误导致导弹系统不断地自我循环，而不能正确地 瞄准目标。结果未能拦截一枚伊拉克飞毛腿导弹，飞毛腿导弹在军营中爆炸， 造成28名美国陆军死亡。
9 / 50
研究数值方法的必要性
在一台百亿次的计算机上求解一个25阶线性方程组，则至少需要 26! 4.0329 × 1028 ≈ ≈ 13亿年 1010 × 3600 × 24 × 365 3.1526 × 1017
而用下章介绍的消去法求解，则需要不到一秒钟。
张晓平
数值计算方法
9 / 50
1
1.1 数值计算的对象、任务和特点 研究数值方法的必要性 科学计算的流程 研究对象 研究任务 1.2 1.3 误差 选用和设计算法应遵循的原则
张晓平
数值计算方法
21 / 50
误差来源与分类
舍入误差
由于计算机的字长有限，进行数值计算的过程中，对计算得到的中间结果数据 要使用“四舍五入”或其他规则取近似值，因而使计算过程有误差。 1990年2月25日，海湾战争期间，在沙特阿拉伯宰赫兰的爱国者导弹防御系统 因浮点数舍入错误而失效，该系统的计算机精度仅有24位，存在0.0001%的计 时误差，所以有效时间阙值是20个小时。当系统运行100个小时以后，已经积 累了0.3422秒的误差。这个错误导致导弹系统不断地自我循环，而不能正确地 瞄准目标。结果未能拦截一枚伊拉克飞毛腿导弹，飞毛腿导弹在军营中爆炸， 造成28名美国陆军死亡。
研究数值方法的必要性
对于行列式的计算
定理 (Laplace展开定理)
|A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain , Ai j 是ai j 的代数余子式 该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计算。
张晓平
数值计算方法
7 / 50
研究数值方法的必要性
设k阶行列式所需乘法运算的次数为mk ，则 mk = k + kmk−1 , 于是有 mn = n + nmn−1 = n + n[(n − 1) + (n − 1)mn−2 ] = ··· = n + n(n − 1) + n(n − 1)(n − 2) + · · · + n(n − 1) · · · 3 · 2 > n! 故用Crammer法则和Laplace展开定理求解一个n阶线性方程组，所需乘法运算 的次数就大于 (n + 1)n! = (n + 1)!.
数 学 模 型 应用数学
计 算 方 法
程 序 设 计 计算数学
上 机 求 解
张晓平
数值计算方法
11 / 50
科学计算的流程
实 际 问 题
数 学 模 型 应用数学
计 算 方 法
程 序 设 计 计算数学
上 机 求 解
张晓平
数值计算方法
11 / 50
科学计算的流程
实 际 问 题
数 学 模 型 应用数学
张晓平
数值计算方法
8 / 50
研究数值方法的必要性
在一台百亿次的计算机上求解一个25阶线性方程组，则至少需要 26! 4.0329 × 1028 ≈ ≈ 13亿年 1010 × 3600 × 24 × 365 3.1526 × 1017
而用下章介绍的消去法求解，则需要不到一秒钟。
张晓平
数值计算方法
张晓平
数值计算方法
27 / 50
相对误差与相对误差限
例
测量100m和10m的两个长度，若它们的绝对误差均为1cm，显然前者的测量更 为精确。 由此可见，决定一个量的近似值的精确度，除了绝对误差外，还必须考虑该量 本身的大小，为此引入相对误差的概念。
张晓平
数值计算方法
27 / 50
相对误差与相对误差限
张晓平 数值计算方法 24 / 50
绝对误差与绝对误差限
例
用毫米刻度的直尺量一长度为 x的物体，测得其近似值为 x = 84mm。 因直尺以mm为刻度，其误差不超过0.5mm，即有 | x − 84| ≤ 0.5(mm) 或 x = 84 ± 0.5(mm)
张晓平
数值计算方法
25 / 50
绝对误差与绝对误差限
张晓平
数值计算方法
6 / 50
研究数值方法的必要性
对于线性方程组
Ax = b,
定理 (Crammer法则)
若A非奇异，则此方程组有唯一解，且 xi = | Ai | , i = 1, 2, · · · , n. |A|
m 该结论非常漂亮， 求解n阶线性方程组 =⇒ 计算n + 1个n阶行列式的计算问题
张晓平
数值计算方法
21 / 50
1
1.1
数值计算的对象、任务和特点
2
1.2 误差 误差来源与分类 误差与有效数字
绝对误差与绝对误差限 相对误差与相对误差限 有效数字 有效数字与绝对误差、相对误差
3
1.3
选用和设计算法应遵循的原则
张晓平
数值计算方法
22 / 50
1
1.1
数值计算的对象、任务和特点
2
绝对误差与绝对误差限 相对误差与相对误差限 有效数字 有效数字与绝对误差、相对误差
3
1.3
选用和设计算法应遵循的原则
张晓平
数值计算方法
26 / 50
相对误差与相对误差限
例
测量100m和10m的两个长度，若它们的绝对误差均为1cm，显然前者的测量更 为精确。 由此可见，决定一个量的近似值的精确度，除了绝对误差外，还必须考虑该量 本身的大小，为此引入相对误差的概念。
2
3
张晓平
数值计算方法
10 / 50
科学计算的流程
实 际 问 题
数 学 模 型 应用数学
计 算 方 法
程 序 设 计 计算数学
上 机 求 解
张晓平
数值计算方法
11 / 50
科学计算的流程
实 际 问 题
数 学 模 型 应用数学
计 算 方 法
程 序 设 计 计算数学
上 机 求 解
张晓平
数值计算方法
11 / 50
张晓平
数值计算方法
6 / 50
研究数值方法的必要性
对于行列式的计算
定理 (Laplace展开定理)
|A| = ai1 Ai1 + ai2 Ai2 + · · · + ain Ain , Ai j 是ai j 的代数余子式 该方法的运算量大的惊人，以至于完全不能用于实际计算。
张晓平
数值计算方法
7 / 50
2
3
张晓平
数值计算方法
5 / 50
研究数值方法的必要性
对于线性方程组
Ax = b,
定理 (Crammer法则)
若A非奇异，则此方程组有唯一解，且 xi = | Ai | , i = 1, 2, · · · , n. |A|
m 该结论非常漂亮， 求解n阶线性方程组 =⇒ 计算n + 1个n阶行列式的计算问题
张晓平
数值计算方法
19 / 50
误差来源与分类
模型误差
数学模型只是复杂客观现象的一种近似，它与实际问题总会存在一定误差
观测误差
由于测量精度和手段的限制，观测或实验得来的物理量总会与实际量之间存在 误差
张晓平
数值计算方法
19 / 50
误差来源与分类
截断误差
数学模型的精确解与由数值方法求出的近似解之间的误差. ex ≈ 1 + x + R10 ( x) = ξ11 11! x2 x10 + ··· + 2! 10!
2
3
张晓平
数值计算方法
12 / 50
研究对象
线性代数 曲线拟合 插值逼近 微积分 微分方程 积分方程 ···
张晓平
数值计算方法
13 / 50
1
1.1 数值计算的对象、任务和特点 研究数值方法的必要性 科学计算的流程 研究对象 研究任务 1.2 1.3 误差 选用和设计算法应遵循的原则
2
3
张晓平
数值计算方法
研究任务
算法设计 快速、可靠 理论分析 算法的收敛性、稳定性以及误差分析 复杂度分析 计算时间最短、所需内存最少
张晓平
数值计算方法
15 / 50
1
1.1 1.2 1.3
数值计算的对象、任务和特点 误差 选用和设计算法应遵循的原则
2
3
张晓平
数值计算方法
16 / 50
1
1.1
数值计算的对象、任务和特点
相对误差与相对误差限
近似值 x 的相对误差是绝对误差与精确值之比，即 E r ( x) = E ( x) x − x = . x x
张晓平 数值计算方法 24 / 50
绝对误差与绝对误差限
定义 (绝对误差与绝对误差限)
设某个量的精确值为 x，其近似值为 x ，则称 E ( x) = x − x 为近似值 x 的绝对误差，简称误差。 若存在η > 0，使得 | E ( x) = | x − x | ≤ η 则称η为近似值 x 的绝对误差限，简称误差限或精度。 η越小，表示近似值 x 的精度越高。 x −η≤ x≤ x +η 或 x= x ±η