三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题
对顶三角形双内角平分线模型
对顶三角形双内角平分线模型1. 介绍对顶三角形是指一个三角形的两条边相等，而第三条边较短的特殊形状。
双内角平分线是指从一个顶点出发，将对顶角平分成两个相等的角的线段。
在本文中，我们将探讨对顶三角形双内角平分线的模型，包括其定义、性质和应用。
2. 定义对顶三角形双内角平分线模型是指在对顶三角形中，从两个对顶角的顶点出发，分别作出两条平分对顶角的线段。
这两条线段相交于三角形的内心，形成一个特殊的几何模型。
3. 性质对顶三角形双内角平分线模型具有以下性质：•两条双内角平分线相交于三角形的内心。
•两条双内角平分线与对顶边相交于三角形的对边中点。
•两条双内角平分线与对顶边的夹角相等，且每条双内角平分线与对边的夹角等于对顶角的一半。
4. 证明4.1 两条双内角平分线相交于三角形的内心设对顶三角形的顶点分别为A、B、C，双内角平分线分别为AD和BE。
我们需要证明AD和BE相交于三角形ABC的内心。
首先，我们可以证明AD和BE都与对顶边AC相交于对边AC的中点M。
因为AD是对∠BAC的角平分线，所以∠DAM = ∠DAC/2。
又因为∠DAC = ∠BAC，所以∠DAM = ∠BAM。
同理，∠EBM = ∠ABM。
所以AD和BE分别与AC相交于点M，即M为AC 的中点。
接下来，我们需要证明AD和BE相交于点M。
由于∠DAM = ∠BAM，且∠EAM =∠BAM，所以∠DAM = ∠EAM。
同理，∠EAM = ∠EBM。
因此，∠DAM = ∠EAM =∠EBM，即AD和BE相交于点M。
综上所述，AD和BE相交于三角形ABC的内心。
4.2 两条双内角平分线与对顶边相交于三角形的对边中点我们已经证明了AD和BE与对顶边AC相交于点M，即AC的中点。
同理，我们可以证明AD和BE与对顶边AB相交于点N，即AB的中点。
4.3 两条双内角平分线与对顶边的夹角相等由于AD是∠BAC的角平分线，所以∠DAM = ∠DAC/2。
又因为∠DAC = ∠BAC，所以∠DAM = ∠BAM。
七下第5讲三角形内外角平分线夹角模型归纳与内外角和计算方法总结
七下第5讲三⾓形内外⾓平分线夹⾓模型归纳与内外⾓和计算⽅法总结写在前⾯在前四讲中，我们对本章的重点内容作了归纳，剩下的知识点仅剩⼀个重要模型和内外⾓的相关题型变式，就以本讲作为本章的收尾，更多的难题，留⾄期中复习吧．⼀、三⾓形内外⾓平分线夹⾓模型模型呈现：如图，已知，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，CH平分∠ACI，BG平分∠EBC，CG平分∠BCF．试探究∠BDC，∠BHC，∠BGC与∠A的关系．分析：这是本章的最后⼀个重要模型，要结合整体思想，外⾓定理综合运⽤．解答：补充结论：其实这个模型中，还能有许多发现，⽐如，∠GBD＝90°，∠DCH＝90°，理由是邻补⾓的⾓平分线互相垂直．∠BGC和∠BHC互余，∠BGC和∠BDC互补，在△DCH中，∠BDC作为外⾓，∠BDC＝90°＋∠BHC．例1：如图，O是三⾓形三条⾓平分线的交点，∠1＝15°，则∠2＝_____°．分析：本题的关键是，发现∠2的作⽤，∠2可以作为△AOB的外⾓，即∠OAB和∠OBA的和，⼜是∠AOB的邻补⾓，∠AOB是三⾓形两内⾓平分线的夹⾓，因此本题既可以⽤⼀步⼀步完成，也可⽤结论模型⼝算．解答：例2：如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，M、N、Q分别在DB、DC、BC的延长线上，BE、CE分别平分∠MBC、∠BCN，BF、CF分别平分∠EBC、∠ECQ，则∠F＝_______．分析：本题是⼀道将三个模型结合在⼀起的题⽬，我们要关注哪些⾓可以求，∠BDC是两内⾓平分线的夹⾓，则知道∠A即可求，∠E是两外⾓，∠MBC，∠NCB的⾓平分线的夹⾓，则知道∠BDC即可求，∠F是△EBC的内⾓∠EBC和外⾓∠ECQ的⾓平分线夹⾓，则知道∠E即可求．解答：例3：分析：解答：综上所述，结论正确的是①②③⑤共4个．⼆、多边形内外⾓计算例1：⼀个学⽣计算多边形的内⾓和，少算了⼀个内⾓，得到答案是1400°，求少算的内⾓的度数及多边形边数．分析：显然，根据多边形内⾓和公式(n－2)·180°，可知内⾓和⼀定是180度的倍数，我们可以⽤1400除以180，算出其余数，那么⾃然可得，少算的那个内⾓与余数的和⼀定是180度的倍数，⽽根据多边形每个内⾓必然⼩于180°，则这个内⾓度数就是⽤180°减去这个余数即可．解答：1400°÷180°＝7······140°，180°–140°＝40°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400＋40，n＝10答：少算的内⾓度数为40°，边数为10．例2：⼀个学⽣计算多边形的内⾓和，多算了⼀个外⾓，得到答案是1400°，求多算的外⾓的度数及多边形边数．分析：显然，本题是上⼀题的变式，⽅法还是⽤1400除以180，算出其余数，那么多算的外⾓度数，就是这个余数．解答：1400°÷180°＝7······140°，设多边形边数为n，(n–2)·180＝1400－140，n＝9答：多算的外⾓度数为140°，边数为9．例3：⼀个多边形每个内⾓都等于150°，求这个多边形的边数．分析：本题不难，但我们要学会多种思路解题，可以从多边形内⾓和公式⼊⼿，也可以逆向思维，求出每个外⾓的度数，⽤外⾓和除以每个外⾓的度数．解答：法1：设多边形边数为n，(n–2)·180＝150n，n＝12法2：180°－150°＝30°，360°÷30°＝12答：多边形边数为12．三、作图探究例：在△ABC中，∠ACB＝90°，BD是△ABC的⾓平分线，P是射线AC上任意⼀点(不与A、D、C三点重合)，过点P作PQ⊥AB，垂⾜为Q，交直线BD于E．(1)探索∠PDE与∠PED的关系，画出图形并说明理由．(2)作∠CPQ的⾓平分线交直线AB于点F，则PF与BD有怎样的位置关系？画出图形并说明理由．分析：本题中，点P的位置不确定，在射线AC上，就有多种可能，线段AD上，线段DC上，线段DC延长线上，在延长线上时，⼜要考虑垂⾜Q的位置，可能在线段AB上，也可能在线段AB的延长线上．因此，分四种情况讨论．碍于篇幅，我们将两⼩题的图汇总在⼀起．解答：①点P在线段AD上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠CDB＝90°，∵∠PDE＝∠CDB，∴∠CBD＋∠PDE＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD②点P在线段DC上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠C＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)在四边形PQBC中，∠CPQ＋∠CBA＝360°－2×90°＝180°∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＋∠2＝90°∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＝∠3，PF∥BD③点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠BEQ＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠PED＝∠BEQ，∴∠PED ＋∠EBQ＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠EBQ，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD④点P在线段DC延长线上，点Q在线段AB延长线上(1)∵PQ⊥AB，∴∠EQB＝∠ACB＝90°，∴∠PED＋∠EBQ＝90°，∠CBD＋∠PDE＝90°，∵∠ABD＝∠EBQ，∴∠PED ＋∠ABD＝90°，∵BD为∠ABC的平分线，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠PDE＝∠PED；(2)∵∠CPQ＋∠A＝90°∠CBA＋∠A＝90°∴∠CPQ＝∠CBA∵PF平分∠CPQ，BD平分∠CBA∴∠1＝∠2∵∠1＋∠3＝90°∴∠2＋∠3＝90°，PF⊥BD上讲思考题答案。
(完整word版)巧借三角形的两条内外角平分线夹角的模型解决问题
B巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型解决问题新北实验中学 严云霞【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1)； 模型二:当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三:当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、 如图1,△ABC 中,BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。
（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
在△BCD 中：∠D ＝180°－(∠CBD ＋∠BCD)＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－21（180°－∠A ）＝180°－21×180°＋21∠A＝90°＋21∠A（方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点EE DCBA解:∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC, ∠BCD ＝21∠ACB 。
∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB 又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ）＝∠BAC+21（180°－∠BAC ）＝90°＋21∠BAC例２、如图,ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线， 试说明:∠D=90°－21∠A 。
解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE ∠BCD ＝21∠BCF又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180° 在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ） ＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF)＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ）＝180°－21(∠A ＋180°）DCBA＝90°－21∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
数学北师大版八年级上册三角形内外角平分线的夹角问题
三角形角平分线的夹角问题[教学目标]1. 能够熟练运用数学工具测量角度2. 能够利用三角形角平分线夹角结论快速地去解决实际问题3. 通过逻辑推理理解三角形角平分线的夹角与第三个内角之间的关系[教学重难点]重点：能够计算三角形角平分线夹角的度数难点：通过逻辑推理得到三角形两内角平分线夹角结论[教学过程]问题引入画一画（按要求用尺规作图）1. 图1，作∠AOB 的角平分线OC .2. 图2，在ABC ∆中，作ABC ∠和ACB ∠的角平分线相交于点O .合作探究问题1. 在ABC ∆中，点O 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点， （1） 如图3，60A ︒∠=，则BOC ∠=_______；（2） 如图4，100︒∠=A ，则BOC ∠=_______； （3） 如图5，140︒∠=A ，则BOC ∠=_______； （4） 如图6，已知A α∠=,求BOC ∠的度数.B O A 图1AC B 图2CABO图4ACBO图3A CBO图512BAOC图6问题2. 在ABC ∆中，延长BC 到D , 点O 是ABC ∠与ACD ∠的角平分线的交点，（1）如图7，68A ︒∠=， 则BOC ∠=_______；（2）如图8，90A ︒∠=， 则BOC ∠=_______；（3）如图9，120A ︒∠=， 则BOC ∠=问题3. 在ABC ∆中，延长AB 到E ,延长AC 到F ,点O 是BCF ∠与CBE ∠的角平分线的交点，（1）如图10，40A ︒∠=， 则BOC ∠=_______；（2）如图11，80A ︒∠=， 则BOC ∠=_______；（3）如图12，100A ︒∠=， 则BOC ∠=_______.小结说一说你有哪些收获？ 检测1. 如图13，在ABC ∆中，ABC ∠、∠ACB 的角平分线BE 、CD 相交于点F ，42ABC ︒∠=, 70A ︒∠=，则∠=BFC ______度.2. 如图14，在ABC ∆中，延长BC 到D , 点P 是ABC ∠与ACD ∠的角平分线的交点， 55︒∠=BPC , 则∠=A ______度.3. 如图15，BCF ∠和CBE ∠是ABC ∆的外角, 且BCF ∠与CBE ∠的角平分线相交于点D ，若62︒∠=A ,则BDC ∠=______度.DBAFCE 图13BADPC图14AB F ECD图15课外拓展1. 对问题2所得到的12BOC A ∠=∠给出证明. 2. 对问题3所得到的1902BOC A ︒∠=-∠给出证明.作业1. 如图16，在ABC ∆中，点O 是ABC ∠和ACB ∠的角平分线的交点，130︒∠=BOC ， 则∠=A ______度.2. 如图17，在ABC ∆中，延长AB 到E ,延长AC 到F ,点O 是BCF ∠与CBE ∠的角平分线的交点，56︒∠=A ,则∠=BOC ______度.3. 如图18，在ABC ∆中，延长BC 到D ,ABC ∠与ACD ∠的角平分线相交于1A ，1A BC ∠ 与2A CD ∠的平分线交于2A ，以此类推，…，若92A ︒∠=，则1A ∠=____ ,2A ∠= ____.BAOC图16B CAEF O图17BADA1C A2图18。
三角形中两角平分线夹角的计算方法
三角形中两角平分线夹角的计算方法在学习“三角形”这一章时，遇到了三角形中（内、外）角平分线的夹角计算问题，在解决这类问题时，我发现了三角形（内、外）角平分线的夹角的度数总与三角形的一个内角有关。
例：如图1，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC、∠ACB的平分线交于点D。
求∠BDC的度数。
解答本题时，利用三角形角平分线的定义及三角形内角和定理，经过推理，我发现了∠BDC与∠A之间存在一定的数量关系。
解答过程如下：由BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB可知，∠DBC=∠ABC,∠DCB= ∠ACB.又根据三角形内角和为180°可知∠BDC=180°-(∠DBC+∠DCB)=180°- (∠ABC+∠ACB)=180°- (180°-∠A)=90°+ ∠A=90°+ ×60°=120°通过以上问题的解答，我发现了这样一个结论：三角形的两内角平分线的夹角的度数等于90°加上第三个内角的度数的一半。
我把这个结论告诉了老师，老师笑着点点头说：“不错，你能发现这点太棒了！老师还想考考你，如果把两个内角的平分线变为两个外角的平分线，你还能有新的发现吗？”如图２,在△ABC中，外角∠EBC、∠BCF的平分线交于点D。
此时∠BDC 又与哪个角有关系呢？是否也与∠A有关呢？经过我的探索，我得出了这样的结论：∠BDC=90°- ∠A.推理过程如下：由BD、CD分别平分∠EBC、∠BCF可得,∠DBC= ∠EBC,∠DCB= ∠BCF,由三角形内角和定理及推论可知,∠DBC + ∠DCB=∠EBC+ ∠BCF,=(∠A+∠ACB)+(∠A+∠ABC),=(∠A+∠ACB+∠A+∠ABC),=(180°+∠A),=90°+ ∠A.所以∠BDC=180°-(∠DBC + ∠DCB),=180°-(90°+ ∠A)=90°- ∠A我兴奋地跑到老师的办公室，向老师说出了我的发现：三角形的两个外角的平分线的夹角的度数等于90°减去第三个内角的一半。
巧借三角形的两条内(外)角平分线夹角的模型
BBECB A巧借三角形的两条内（外）角平分线夹角的模型【基本模型】三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系 模型一：当这两个角为内角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的和（如图1）； 模型二：当这两个角为外角时：这个夹角等于90°与第三个角一半的差（如图2）； 模型三：当这两个角为一内角、一外角时：这个夹角等于第三个角一半（如图3）；【分析】三个结论的证明例1、 如图1，△ABC 中，BD 、CD 为两个内角平分线，试说明：∠D=90°+21∠A 。
（方法一）解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－21（∠ABC ＋∠ACB ）＝180°－21（180°－∠A ）＝180°－21×180°＋21∠A＝90°＋21∠A（方法二）解：连接AD 并延长交BC 于点E 解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD ＝21∠ABC ， ∠BCD ＝21∠ACB 。
∵∠BDE 是△ABD 的外角 ∴∠BDE ＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+21∠ABC同理可得∠CDE ＝∠CAD+21∠ACB又∵∠BDC ＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC ＝∠BAD+21∠ABC+∠CAD+21∠ACB＝∠BAC+21（∠ABC+∠ACB ）＝∠BAC+21（180°－∠BAC ）＝90°＋21∠BAC例２、如图，ＢＤ、ＣＤ为△ＡＢＣ的两条外角平分线，试说明：∠D=90°－21∠A 。
解：∵BD 、CD 为角平分线∴∠CBD=21∠CBE∠BCD ＝21∠BCF又∵∠CBE 、∠BCD 为△ABC 的外角 ∴∠CBE ＝∠A ＋∠ACB ∠BCF ＝∠A ＋∠ABC∴∠CBE ＋∠BCF ＝∠A ＋∠ACB ＋∠A ＋∠ABC ＝∠A ＋180°在△BCD 中：∠D ＝180°－（∠CBD ＋∠BCD ）＝180°－（21∠CBE ＋21∠BCF ）＝180°－21（∠CBE ＋∠BCF ）＝180°－21（∠A ＋180°）＝90°－21∠A【小结】通过对模型1、2的分析和证明，我们还能发现三角形两内角平分线的夹角和两外角平分线的夹角互补，即和为180°。
双角平分线模型题型巧记
双角平分线模型题型巧记
双角平分线三角形的两个内（外）角平分线所夹的角与第三个角之间的数量关系可以总结为三种模型：
模型一：当这两个角为内角时，这个夹角等于90°与第三个角一半的和。
模型二：当这两个角为外角时，这个夹角等于90°与第三个角一半的差。
模型三：当这两个角为一内角、一外角时，这个夹角等于第三个角一半。
为了方便记忆，可以总结为“内内90°加一半，外外90°减一半，内外就一半”。
以上信息仅供参考，如果您在学习数学过程中有任何疑问，建议咨询专业人士以获得更好的帮助。
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法
归纳几种三角形角平分线的夹角的计算方法在复习三角形时，发现由三角形的角平分线构成的角与已知角之间存在一定的等量关系，现归纳如下，与大家探讨。
一、三角形两内角平分线的夹角如图，△ABC中，∠ABC=50，∠ACB=75，点O是△ABC的内心，求∠BOC 的度数。
（人教版九年级上册100页练习1）解：O是内心即三角形三条内角平分线的交点∠CBO=∠ABC=25∠BCO=∠ACB=37.5∠CBO+∠BCO=62.5△BOCxx∠CBO+∠BCO+∠BOC=180∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-62.5=117.5思考：把已知条件∠ABC=50，∠ACB=75变为∠A=55时，按上面思路，虽然不能确定∠ABC和∠ACB的大小，但这两角和是确定的，那么这两角和的一半也是确定的，从而问题可解。
进一步思考，当∠A=M时，求∠BOC的度数。
解：在△ABCxx∵∠A=M∴∠ABC+∠ACB=180-M又∵O△ABC是内心∴BO、CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线∴∠CBO=∠ABC∠BCO=∠ACB∴∠CBO+∠BCO=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=（180-M）=90-M在△BOC中∠BOC=180-（∠CBO+∠BCO）=180-（90-M）=180-90+M=90+M即：∠BOC=90+M二、三角形内角与外角平分线的夹角如图，在△ABC中，∠A=M，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E，求∠的度数。
解：∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD∴∠ABC=2∠EBC∠ACD=2∠ECD∠ACD=∠ABC+∠A∠ECD=∠EBC+∠E∴2∠ECD=2∠EBC+2∠E∴∠A=2∠E即：∠E=M三、三角形两外角平分线的夹角如图：在△ABC中，∠B=M,三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线相交于点E，求∠E的度数。
解：∵AE平分∠DACCE平分∠ACF∴∠EAC=∠DAC∠ECA=∠ACF∠DAC=∠B+∠ACB∠ACF=∠B+∠BAC∠EAC+∠ECA=∠DAC+∠ACF=（∠DAC+∠ACF）=（∠B+∠ACB+∠B+∠BAC）=（180+∠B）=90+∠B∴∠E=180-（∠EAC+∠ECA）=180-（90+∠B）=90-∠B即：∠E=90-M我们在复习中，经历了大量的练习，像上面这些知识点的考查，更多是以分外角的形式呈现的，练习中做过去，也很难留下深刻印象，因为没有进行深入的探究，还没有意识到带求和已知之间可能存在定量的关系。
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1、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点O ，根据下列条件，求∠BOC 的度数。
(1)若∠ABC =80∘,∠ACB =40∘，则∠BOC =___；
(2)若∠ABC =∠ACB =80∘，则∠BOC =___；
(3)若∠A =90∘，则∠BOC =___；
(4)若∠A =x ∘，则∠BOC =___；
(5)探究：从以上四个小题中，你能得出∠BOC 与∠A 的数量关系吗?若能，写出∠BOC 与∠A 的关系，并说明理由。
3、如图，在△ABC 中，分别延长△ABC 的边AB ，AC 到D ，E ，∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点P ，爱动脑筋的小明在写作业时发现如下规律：
A)若∠A=50∘,则∠P=65∘=90∘−
2
50︒； B)若∠A=90∘,则∠P=45∘=90∘−2
90︒； C)若∠A=100∘,则∠P=40∘=90∘−2100︒；
(1)根据上述规律,若∠A=150∘，则∠P=_____________________；
(2)请你用数学表达式归纳出∠P与∠A的关系；
(3)请说明你的结论。
4、如图所示，∠ABC，∠ACB的内角平分线交于点O，∠ABC的内角平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠ABC 与∠ACB的相邻外角的角平分线交于点E，且∠A=60°，则∠BOC=_____，∠D=____，∠E=____.。