02-1若干数学问题中的数学文化

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2）数轴
① 古代观点：数轴↔有理数
② 现代观点：数轴↔实数
0
1
2
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3）数系的扩张——危机的解决
① 自然数系 ② 有理数系 ③ 实数系
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实数系具有连续性。有理数系具有稠密
性,却不具有连续性。数系的连续性和稠密性是
两个不同的概念。数系的稠密性，通俗说成
“到处都有”、“密密麻麻”；数系的连续
p
2
分解成素数的数目是偶数，2 q 分解成素数的数目是奇
2
数，这违反了算术基本定理。这个矛盾证明了不存在平方是 2 的有理数。（“ 2 是有理数”导致了矛盾。）
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3. 定理：设 m是大于1的自然数，m 写成不同素数方幂的乘积为m p p ， 则 m是有理数 n1 nr 全是偶数。
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相传“哲学”（希腊原词 意为 “智力爱好”）和“数学”（希腊原 词 ,意为“可学到的知识”） 这两个词是毕达哥拉斯本人所创。
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2. 毕达哥拉斯学派在数学上的贡献
1）数学证明的起始 泰勒斯毕达哥拉斯欧几里得
证明是要有假设的: 公设、公理及定义。
列的加法定义为
0+ 0= 0 ; 0+ 1= 1 ; 1+ 0= 1 ; 1+ 1= 0
这就是模2加法。（只要是2的倍数，就记为0）
关于模2加法，可以推广；比如推广为 模7加法： 例1：1号是星期一，问 27号是星期几？
解答：27号与1号相差26天，因为 26 7 3 5，说明过去3个7天之后，
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2. “两个量的比相等”的新定义 ——部分地消除了危机
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两个量的比相等，即
约公元前370年，希腊数学家欧多克索斯和阿契塔 的定义：“称四个量的第一个和第二个之比与第三
。 b d
a
c
个和第四个之比相等，如果取第一个和第三个量的
任何相同的倍数，第二个和第四个量的任何其他的
相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于
a m t 且 d nt 。 于是，a 与 d 就是不可公度线段。
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3）危机产生，封锁消息
希帕索斯泄露秘密，被抛进大海。 一个正方形的对角线与其 一边的长度是不可公度的
希帕索斯 (Hippasus)
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4）无理数
像 c 2 2 这样的数 c ，和其它一些不能表成
整数比的数，称为无理数。
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例1：设原始状态（2，3，4），则先抓者胜。
例2：设原始状态（5，8，13），则后抓者胜。
例3：设原始状态（5，12，13），则先抓者胜。
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推
广
改为 “规定谁抓到最后一把谁输” ？ 改为“抓四堆” ？ 改为“抓五堆”、 “抓六堆”，以至“抓n
堆”？
改为用“三进制”？
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本节结束
但是，对“万物皆数”理论产生冲击的， 却正是毕达哥拉斯学派自己的一个发现，用 现在的符号，这就是 。
2
21
1. 2 的发现和危机的产生 1）一个不能表成整数比的数
根据毕达哥拉斯定理，边长为1的正方形，其对
角线长度若记为 c ,如图:
C
1
1
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2）不可公度的线段
设正方形的边长为 a，对角线长为 d ，如图：
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3）哈代对反证法的评论
“反证法是远比任何弃子术更为高超的一种策
略。棋手可以牺牲的是只是几个棋子，而数学家可
以牺牲整个一盘棋。”
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2. “
2
是无理数”的另一个反证法证
明。
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算术基本定理：
设 a 1 是任一正整数，则
a p1 p 2 p s
其中 p
j
(1 j s )是素数，在不计次序的意义下，表示
d
a
a
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根据毕达哥拉斯定理， 2 2 a 2 。 d 如果存在第三个线段长为 t ，使得 a 和 d 都是 t 的整数倍，例如
d nt ,这里 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ ，n 是整数.
a
d
a , m t
t
a mt
d nt
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由
d
2
2a
2
得
n t 2m t
2 2
2 2
，从
而，又可以类似于上一个证明导出矛盾。 所以，不可能存在长度为 t 的线段，使得
式是唯一的。
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p 证明：设 2 q （ p , q 为正整数） ，则 是 p 2 2q 2 。
p
2q
，于
设 p 表示为
q
d
个素因数的乘积：
p p1 p 2 p d
表示为 e 个素因数的乘积：
2
q q1 q 2 q e
2
2 p 于是， 是 2 d 个素数的乘积，q 2是 2 e 个素数的乘积。这样，q 是 2 e 1个素数的乘积，因为它有额外的素因数 2 。
例。卷上另一处叙述周公后人荣方与陈子（约公
元前6、7世纪）的对话中，则包含了勾股定理的 一般形式 “……以日下为勾，日高为股，勾股各自乘， 并而开方除之，得邪至日。”
7
8
中国数学史上最先完成勾股定理证明的，
是公元3世纪三国时期的赵爽。赵爽注《周
髀算经》，作“勾股圆方图”，其中的弦
图，相当于运用面积的“出入相补”方法，
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称两个整数之比为有理数，而把 2 一类数叫做 无理数，即没有道理的数，原来是翻译出了问题。
rational number 是有理数的英文名称，而rational是
一个多义词，含有“比的”，“有理的”意思。而 词根ratio来自希腊文，完全是“比”的意思。对 “rational number”正确的翻译应该是“比数”。 这名称正确反应了这类数是两个整数之比的内涵。
度；当三根弦的长度之比为3︰4︰6时，就得
到谐音。
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ⅱ同名正多边形复盖平面的情形（即铺
正多边形地砖的情形）
只有三种情况：环绕平面上一个点可以紧密地 放6个正三角形，或者4个正方形，或者3个正六边形， 如图：
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毕达哥拉斯学派确信：“宇宙的和 谐在于数”，神是以数的规律创造世界 的。
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二、 2 与第一次数学危机
许多人推测，欧几里得《几何原本》前两卷的
大部分材料，来源于毕达哥拉斯学派。
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2）数学抽象的提出
从实物的数与形，抽象到数学上的数与 形，本身就把数学推向了科学。
3）毕达哥拉斯定理
即“直角三角形两条直角边的平方和等 于斜边的平方”。在中国叫商高定理或勾股 定理。
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中国关于勾股定理的贡献
《周髀算经》卷上记载西周开国时期周公与大 夫商高讨论勾股测量的对话，商高答周公问时提 到“勾广三 股修四 经隅五”,这是勾股定理的特
证明了勾股定理。如图
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弦图
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西方文献中称此定理为毕达哥拉斯 定理。曾经有人编书，收集了勾股定理 的370种证法。
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3. 毕达哥拉斯学派的“万物皆数”学说
1）“万物皆数”学说
①数，是世界的法则 毕达哥拉斯说的“数”，是指自然数，即正整 数，同时还包含它们的比，即正分数 ②任意两条线段 a、d 都是可公度的
第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量 的倍数的相应关系”。
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这种定义，也被欧几里得在《几何原 本》中采用。
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3. 无理数与数系的扩张——危机的解决 1）有理数的稠密性
定义：“一个数集在数轴上是稠密的”是指，在
数轴上，每一个不管处于什么位臵，也不论是多么
小的区间（ a, ）中都存在着这个数集中的点。 b 定理：有理数集在数轴上是稠密的。
n1 nr 1 r
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抓三堆：
有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、 乙轮流抓，每次只能从一堆中抓，最少抓1粒，可 抓任意多粒；甲先抓，规定谁抓到最后 一把谁赢。问：甲应该如何抓？为什么？
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提示：
二进制
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“抓三堆”的二进制解法
用二进制表示这三堆谷粒数，写成三行，并上下对齐，各列相加，
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0 „ 10
0 1 0 2 1 0 3 2 1 0 „ 10 „
2）反证法的步骤
应用反证法证明的主要步骤有三步： 否定命题 → 推导出矛盾 → 命题成立。 实施证明的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证命题相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的 正确推理导出矛盾；
第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
则后抓者有必胜策略； 若和中出现1，则先抓
者有必胜策略。 和中出现1时，先抓者的具体策略是：先抓者 从最左边的1所在的列，寻找某堆的谷粒数中相
应的列也有1，就从该堆中抓走适当个数，使得
抓完后各列的和（模2）为0。
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“抓三堆”中的数学思想
1.
由于谷粒数越来越少，最后，先抓者可以使得后 抓者始终面临各列模2之和为（0，0，…，0）状
n m
。
“可公度的”，意即有公共的度量单位 t 。
a
d
t
a mt
d nt
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2）实例
① 形数 三边形数、四边形数、五边形数、 六边形数；如图
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三边形数
四边形数
五边形数
六边形数
3 6 10 15
4 9 16 25
5 12 22 35
6 15 28 45

1 2 n 2
态，这意味着先抓者获胜。
2.
后抓者只要抓，谷粒就将减少，因此该行中至少 有一个1变为0（如果1都不变为0，只会使谷粒数 增加或不变），从而该列模2之和将为1。于是先 抓者就不会面临（0，0， …， 0）状态。