2019-2020学年山东省泰安市高三上学期期末考试数学试卷及答案

2019-2020学年山东省泰安市高三上学期期末考试数学试卷及答案一、单选题1．若全集U =R ，集合2{|16}A x Z x =∈<，{|10}B x x =-≤，则()U A B ⋂=ð（）A ．{|14}x x <B ．{|14}x x <<C ．{1,2,3}D ．{2,3}2．已知复数z 满足11ii z+=-，则z =（）A ．B ．2C D ．13．已知向量(3,4)OA =- ，(6,3)OB =- ，(2,1)OC m m =+ ．若AB OC∥，则实数m 的值为（）A ．15B ．35-C ．3-D ．17-4．函数()3ln xf x x=的部分图象是（）A ．B ．C ．D ．5．“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．若()3log 21a b +=+，则2+a b 的最小值为（）A ．6B ．83C ．3D ．1637．已知圆22:10210C x y y +-+=与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A ．B ．53C ．52D8．已知正三棱锥S ABC -的侧棱长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A ．16πB ．20πC ．32πD ．64π二、多选题9．已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（）A ．若,a b c d >>，则ac bd >B ．若0,0ab bc ad >->，则0c d a b->C ．若,,a b c d >>则a d b c ->-D ．若,0,a b c d >>>则a b d c>10．已知,αβ是两个不重合的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A ．若//m n m α⊥，，则n α⊥B ．若//,m n ααβ⋂=，则//m nC ．若m α⊥，m β⊥，则//αβD ．若,//,m m n n αβ⊥⊥，则//αβ11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥AD ，AB =2AD =2DC ，E 为BC 边上一点，且3BC EC =，F 为AE 的中点，则（）A ．12BC AB AD=-+B ．1133AF AB AD=+ C ．2133BF AB AD=-+D ．1263CF AB AD=- 12．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（）A ．当0x >时，()()1xf x e x -=--B ．函数()f x 有3个零点C ．()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D ．12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<三、填空题13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______．14．我国古代的天文学和数学著作《周碑算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同（暑是按照日影测定时刻的仪器，暑长即为所测量影子的长度），夏至、小署、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列，经记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，则夏至的日影子长为________尺.15．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛物线于M ，N 两点，则p =_______，49NF MF-的最小值为______．16．设函数()f x 在定义域(0，+∞)上是单调函数，()()0,,xx f f x e x e ⎡⎤∀∈+∞-+=⎣⎦，若不等式()()f x f x ax '+≥对()0,x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是______．17．在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭ ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π．（1）若02πθ<<且2sin 2θ=，求()f θ的值；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．四、解答题18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为254,12,16n S a a S +==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足141n n n b T S =-为数列{}n b 的前n 项和，是否存在正整数m ，()1k m k <<，使得23k m T T =?若存在，求出m ，k 的值；若不存在，请说明理由．19．如图，在三棱锥P —ABC 中，△PAC 为等腰直角三角形，90,APC ABC ∠=∆ 为正三角形，D 为A 的中点，AC =2．(1)证明：PB ⊥AC ；(2)若三棱锥P ABC -的体积为3，求二面角A —PC —B 的余弦值20．如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠= ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．21．已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率e 满足2220e -+=，右顶点为A ，上顶点为B ，点C (0，－2)，过点C 作一条与y 轴不重合的直线l ，直线l 交椭圆E 于P ，Q 两点，直线BP ，BQ 分别交x 轴于点M ，N ；当直线l 经过点A 时，l．(1)求椭圆E 的方程；(2)证明：BOM BCN S S ∆∆⋅为定值．22．已知函数()xf x e ax =-．(1)当0a >时，设函数()f x 的最小值为()g a ，证明：()1g a ≤；(2)若函数()()212h x f x x =-有两个极值点()1212,x x x x <，证明：()()122h x h x +>．数学试题参考答案1-8DDCAA CCD 9-12BC ACD ABC BCD13.4；14．1.5；15．8p =13；16．(],21e -∞-；17．选条件①275,,,6363ππππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．18．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由2541216a a S +=⎧⎨=⎩得112512238a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，()*12121,n a n n n N ∴=+-=-∈；（2）()2122n n n S n n -=+⨯=，211114122121n b n n n ⎛⎫∴==- ⎪--+⎝⎭，1211111111111123352321212122121n n nT b b b n n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥---+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若23k m T T =，则()2232121k m k m =++，整理得223412m k m m=+-，又1k m >>，2234121m m m m m ⎧>⎪∴+-⎨⎪>⎩，整理得222104121m m m m m ⎧-->⎪+-⎨⎪>⎩，解得6112m <<+，又*m N ∈，2m ∴=，12k ∴=，∴存在2,12m k ==满足题意．19．（1）证：PAC ∆Q 为等腰直角三角形，D 为中点，PD AC ∴⊥，又ABC ∆为正三角形，D 为中点，BD AC ∴⊥，又PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，PB AC ∴⊥（2）解：设三棱锥P ABC -的高为h，sin 60BD BC == ，1132P ABC V AC BD h -∴=⨯⨯⨯⨯33h=3=，1h ∴=，又11,2PD AC ==PD ∴⊥平面ABC ，如图，以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系D xyz -，则()1,0,0A，()B ，()1,0,0C -，()0,0,1P，()DB ∴= ，()1,0,1CP =，()CB = ，设(),,n x y z = 为平面PBC 的一个法向量，则00CP n CB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即00x z x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，令1x =，得331y z ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴1,,13n ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，又DB 是平面PAC的一个法向量，∴cos ,7DB n DB DB n n⋅<>==-⋅，由图可知二面角A PC B --的平面角为锐角，∴二面角A PC B --的余弦值为77．20．解：在△BDE 中，∠BED =34πα-，由正弦定理得13sin sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴sin 3sin 4BE απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，在△DCF 中，3,4FDC DFC παα∠=-∠=，由正弦定理得13sin sin 4CF παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，∴3sin 4sin CF παα⎛⎫- ⎪⎝⎭=，11sin sin2424BDE DCF S S BE BD CF CD ππ∆∆∴+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯()24BF CF =+3sin sin 434sin sin 4πααπαα⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪=+⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33sin cos cos sin 2sin 44334sin sin cos cos sin 44ππαααππααα⎛⎫- ⎪=+ ⎪⎪-⎝⎭22sin 4cos sin ααα⎛⎫=++⎝2==1sin 2cos 222sin 2cos 21αααα-+=-+1112sin 2cos 21αα⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭112224πα=+⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，()()ABC BDE DCF S S S S α∆∆∆∴=-+112224πα=-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴AEDF 为四边形区域，,42ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，32,444πππα⎛⎫∴-∈ ⎪⎝⎭，2sin 2,142πα⎛⎤⎛⎫∴-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，()12142S α∴<≤-，∴花卉种植面积()S α取值范围是1,142⎛- ⎝⎦．21．解：（1）由2220e -+=解得2e =或e =（舍去），∴a =，又222a b c =+，a ∴=，又()020AC k a --==-a ∴=，1b ∴=，∴椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）由题知，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y ，由22212y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2221860k x kx +-+=，∴12122286,2121k x x x x k k +==++，()()22=84621k k --⨯⨯+ =216240k ->232k ∴>，∴()121224421y y k x x k -+=+-=+，()()121222y y kx kx =--()21212=24k x x k x x -++=224221k k -+，直线BP 的方程为1111y y x x -=+，令0y =解得111x x y =-，则11,01x M y ⎛⎫⎪-⎝⎭，同理可得22,01x N y ⎛⎫⎪-⎝⎭，12123411BOM BCN x x S S y y ∴=-- =()()()12121212123341141x x x x y y y y y y =---++=22226321444212121k k k k +-++++=12，BOM BON S S ∆∴ 为定值12．22．解：（1）()()0xf x e a a '=->，令()0f x '=，解得ln x a =，当ln x a >时，()0f x '>，当ln x a <时，()0f x '<，()()min ln ln f x f a a a a ∴==-，()()ln 0g a a a a a ∴=->，令()()ln 0g x x x x x =->，则()ln g x x '=-，令()0g x '=，解得1x =，∴当()0,1x ∈时，()0g x '>，当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()()max 11g x g ∴==，()1g x ∴≤，∴当0a >时，()1g a ≤；（2）()212xh x e ax x =--，()x h x e a x '=--，令()x x e a x ϕ=--，则()1xx e ϕ'=-，令()0x ϕ'=，解得0x =，当0x >时，()0x ϕ'>，当0x <时，()0x ϕ'<，()()min 01x a ϕϕ∴==-，又函数()h x 有两个极值点，则10a -<，1a ∴>，且120x x <<，∴当()1x x ∈-∞，时，()h x 单调递增，当()10x x ∈，时，()h x 单调递减，∴当()0x ∈-∞，时，()()1h x h x ≤，又()2,0x -∈-∞，()()21h x h x ∴-≤，()()()()22212222x x h x h x h x h x e e x -∴+≥-+=+-，令()()20x x m x e e x x -=+-≥，则()12x xm x e x e '=--，令()()n x m x '=，则()120x x n x e e '=+-≥，()n x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()()00m x n x n '∴=≥=，()m x ∴在[)0,+∞上单调递增，()()02m x m ∴≥=，20x > ，()222222x x m x e e x -∴=+->，即()()222h x h x -+>，()()122h x h x ∴+>．。

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2019-2020学年山东省泰安市高三(上)期中数学试卷

2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期中数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|log2(x−1)<0}，B={x|x≤3}，则(∁R A)∩B=()A.(−∞, 1]B.(2, 3)C.(2, 3]D.(−∞, 1]∪[2, 3]【答案】D【考点】对数函数的定义域交、并、补集的混合运算【解析】可以求出集合A，然后进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∵A={x|0<x−1<1}={x|1<x<2}，B={x|x≤3}，∴∁R A={x|x≤1或x≥2}，∴(∁R A)∩B=(−∞, 1]∪[2, 3]．故选D.2. 下列函数中，在(0, +∞)是增函数的是()−x D.y=x2−4xA.y=x2+e2B.y=cos x−e xC.y=1x【答案】A【考点】函数的单调性及单调区间【解析】结合二次函数的性质可判断A正确．【解答】解：A，由二次函数的性质可知，y=x2+e2在(0, +∞)是增函数，故A符合题意；B，y′=−sin x−e x，在(0,+∞)上，−e x<−1，−sin x∈[−1,1]，故y′<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故B不符合题意；C，y′=−1−1<0，函数在(0, +∞)上是减函数，故C不符合题意；x2D，y′=2x−4，当x∈(0,2)时，y′<0，故D不符合题意.故选A.3. 命题“∀x>0，x(x+1)>(x−1)2”的否定是()A.∀x>0，x(x+1)≤(x−1)2B.∀x≤0，x(x+1)≤(x−1)2C.∃x>0，x(x+1)≤(x−1)2D.∃x≤0，x(x+1)≤(x−1)2【答案】C命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】解：命题为全称命题，则命题“∀x>0，x(x+1)>(x−1)2”的否定是：∃x>0，x(x+1)≤(x−1)2.故选C.4. 已知sin(x+π6)=m，则cos(2x−2π3)=()A.1−2m2B.2m2−1C.mD.2m−1【答案】B【考点】二倍角的三角函数二倍角的余弦公式诱导公式【解析】直接利用三角函数的诱导公式的运用和倍角公式的应用求出结果．【解答】解：已知sin(x+π6)=m，所以cos(π2−x−π6)=cos(x−π3)=m，则cos(2x−2π3)=2cos2(x−π3)−1=2m2−1．故选B.5. “a3>b3”是“log7a>log7b”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断对数函数的单调性与特殊点【解析】根据a3>b3推出a>b，但是a，b未必是正数，因此log7a>log7b未必有意义；反之，log7a>log7b推出a>b>0，则必有a3>b3．根据充分必要条件的判定，即可得出结果．【解答】解：若a3>b3，则a>b，当b<a≤0时，或a>0≥b时，由“a>b”推不出“log7a>log7b”；所以，”a 3>b 3”是”log 7a >log 7b ”的必要不充分条件．故选B .6. 已知向量m →=(λ+1, 1)，n →=(λ+2, 2)，若(2m →+n →) // (m →−2n →)，则λ=( ) A.−1 B.0 C.1 D.2【答案】 B【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示【解析】可以求出2m →+n →=(3λ+4,4),m →−2n →=(−λ−3,−3)，根据(2m →+n →)∥(m →−2n →)即可得出−3(3λ+4)+4(λ+3)＝0，解出λ即可．【解答】解：2m →+n →=(3λ+4,4),m →−2n →=(−λ−3,−3)， ∵ (2m →+n →)//(m →−2n →)，∴ −3(3λ+4)+4(λ+3)=0，解得λ=0．故选B .7. 函数f(x)=3sin x−x x 2+1在[−π, π]的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质【解析】先研究函数的性质，可以发现它是一个奇函数，再研究函数在原点附近的函数值的符号，从而即可得出正确选项．【解答】解：f(−x)=3sin (−x)+x x 2+1=−3sin x−x x 2+1=−f(x)，∴ f(x)为奇函数，故排除A ，B ，当x =π6时，f(π6)=32−π6π236+1>0，故排除D .故选C .8. 将函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列结论正确的个数是( ) ①g(5π12)=1；②g(x)在[5π12,3π4]单调递减；③x =−π12是g(x)图象的一条对称轴； ④(π8,0)是g(x)图象的一个对称中心.A.1B.2C.3D.4 【答案】 C【考点】命题的真假判断与应用函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换正弦函数的对称性正弦函数的单调性【解析】根据图象平移得出函数g(x)的解析式，再对题目中的命题分析、判断，从而得出正确命题的序号．【解答】解：函数f(x)=sin (2x −π6)的图象向右平移π12个单位长度，得f(x −π12)=sin [2(x −π12)−π6]=sin (2x −π3)的图象，所以函数g(x)=sin (2x −π3)；对于①，g(5π12)=sin (2×5π12−π3)=sin π2=1，所以①正确；对于②，x ∈[5π12, 3π4]时，2x −π3∈[π2, 7π6]，所以g(x)在[5π12,3π4]上单调递减，②正确；对于③，x =−π12时，g(−π12)=sin (−π6−π3)=−1，所以x =−π12是g(x)图象的一条对称轴，③正确；对于④，x =π8时，g(π8)=sin (π4−π3)≠0，综上知，正确的命题序号是①②③，共3个．故选C.9. 已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1=1，2S n=a n+1a n，则S10=()A.100B.110C.50D.55【答案】D【考点】数列递推式等差数列的前n项和【解析】本题先根据题干中的关系式得到a2＝2，然后代入n+1有2S n+1＝a n+2a n+1．两式相减可发现奇数项和偶数项分别成等差数列，再综合可得数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列，即可得到结果．【解答】解：由题意，可知：当n=1时，2a1=2S1=a2a1，可得a2=2．∵2S n=a n+1a n，∴2S n+1=a n+2a n+1．两式相减，可得2(S n+1−S n)=a n+1(a n+2−a n)．即2a n+1=a n+1(a n+2−a n)．∴a n+2−a n=2．∴数列{a n}的奇数项和偶数项都是以2为公差的等差数列．又∵a1=1，a2=2．∴数列{a n}是以1为首项，1为公差的等差数列．S10=10×1+10×92×1=55．故选D.10. 已知函数f(x)=a sin x−√3cos x图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=a sin x−√3cos x=2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x= 5π∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sin x−√3cos x=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D.11. 己知函数f(x)={e(x+1)2,x≤0,x+4x−3,x>0,函数y=f(x)−a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则−x1x2+x3+x4的取值范围为()A.(3, 3+e]B.[3, 3+e)C.(3, +∞)D.[3, 3+e)【答案】A【考点】函数的零点与方程根的关系【解析】画出f(x)的图象和直线y＝a，考虑四个交点的情况，把−x1x2与x3+x4用含有a的代数式表示，再由函数的单调性求解．【解答】解：函数y=f(x)−a有四个不同的零点，即两函数y=f(x)与y=a图象有四个不同的交点，如图所示，由图象可知，1<a≤e，x1，x2是方程e(x+1)2=a的两根，即x2+2x+1−ln a=0的两根，∴x1x2=1−ln a，x3，x4是方程x+4x−3=a的两根，即x2−(3+a)x+4=0的两个根，∴x3+x4=3+a，∴−x1x2+x3+x4=2+a+ln a．∵g(a)=2+a+ln a在(1, e]上为单调增函数，∴g(a)∈(3, e+3]．故选A.12. 对任意实数a，b定义运算“⊙”，a⊙b={b,a≥b,a,a<b，设f(x)=(|2−x2|)⊙(4−|x|)，有下列四个结论：①f(x)最大值为2；②f(x)有3个单调递减区间；③f(x)在[−32,−1]是减函数；④f(x)图象与直线y=m有四个交点，则0≤m<2，其中正确结论有()A.4个B.3个C.2个D.1个【答案】C【考点】命题的真假判断与应用根的存在性及根的个数判断函数的单调性及单调区间【解析】分别作出y＝4−|x|，y＝|2−x2|的图象，可得f(x)＝(|2−x2|)⊙(4−|x|)的图象，结合图象可得f(x)的最大值，可判断①；以及f(x)的减区间，可判断②；f(x)在(−32, −√2)递减，(−√2, −1)递增，可判断③；由图象可得若f(x)图象与直线y＝m有四个交点，可得m＝0，而0<m<2时，f(x)图象与直线y＝m有六个交点，可判断④．【解答】解：分别作出y=4−|x|，y=|2−x2|的图象，可得f(x)=(|2−x2|)⊙(4−|x|)的图象，如图：由图象可得f(x)的最大值为2；f(x)的减区间为(−2, −√2)，(0, √2)，(2, +∞)，即f(x)有3个单调递减区间；f(x)在(−32, −√2)递减，(−√2, −1)递增；若f(x)图象与直线y=m有四个交点，可得m=0，而0<m<2时，f(x)图象与直线y=m有六个交点．综上可得①②正确；③④错误．故选C.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.函数f(x)=x cos x+sin x在点(0, 0)处的切线方程为________．【答案】2x−y=0利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】求出原函数的导函数，得到f′(0)，再由直线方程的点斜式得答案．【解答】解：由f(x)=x cos x+sin x，得f′(x)=cos x−x sin x+cos x，∴f′(0)=cos0−0×sin0+cos0=2．∴函数f(x)=x cos x+sin x在点(0, 0)处的切线方程为：y=2x，即2x−y=0．故答案为：2x−y=0.设为数列{a n}的前n项和，若S n=12a n+1,n∈N∗，则a5=________．【答案】2【考点】数列递推式【解析】当n≥2时，{2S n=a n+22S n−1=a n−1+2，可得a n＝−a n−1⇒⇒a n+2＝a n．故数列{a n}是周期为2的周期数列．即可求解．【解答】解：当n≥2时，{2S n=a n+2，2S n−1=a n−1+2，∴a n=−a n−1⇒a n+1=−a n⇒a n+2=a n，故数列{a n}是周期为2的周期数列．∵S1=12a1+1，∴a1=2．∴a5=2．故答案为：2.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为√34(a2+c2−b2)，且∠C为钝角，则ca的取值范围是________．【答案】(2, +∞)【考点】解三角形余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号由已知结合余弦定理及三角形的面积公式可得s=12ac sin B=√34(a2+c2−b2)=√3 4×2ac cos B，可求tan B，进而可求B，然后由正弦定理可ca=sin Csin A=sin Csin(2π3−C)，展开后利用正切函数的性质可求范围．【解答】解：∵由余弦定理可得，cos B=a 2+c2−b22ac，∴a2+c2−b2=2ac cos B，∵S=12ac sin B=√34(a2+c2−b2)=√34×2ac cos B，∴tan B=√3，∵0<B<π，∴B=π3，∴由正弦定理可得：c a =sin Csin A=sin Csin(2π3−C)=12sin C+√32cos=1+√3tan C，∵C∈(π2, 2π3)，∴tan C<−√3，∴2+√3tan C >2，可得ca∈(2, +∞)．故答案为：(2,+∞).已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π8)=√2，且当x∈(0,π2)时，f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0．则不等式f(x)sin2x<1的解集为________．【答案】(−π8, π8)【考点】利用导数研究函数的单调性函数单调性的性质【解析】构造新函数令F(x)=f(x)sin2x(0<x<π2)，由已知条件判断函数单调性，利用函数的单调性判断函数自变量的范围可得答案．【解答】解：已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，其导函数为f′(x)，f(π8)=√2，令F(x)=f(x)sin2x(0<x<π2)，则F′(x)=f′(x)sin2x+2f(x)cos2x>0(0<x<π2)，所以F(x)=f(x)sin2x在(0,π2)上为单调递增，且F(π8)=f(π8)sin(2×π8)=1，所以F(x)=f(x)sin2x<F(π8)，解得0<x<π8，由f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数得，F(x)=f(x)sin2x在(−π2,π2)为偶函数，所以不等式f(x)sin2x<1的解集为：(−π8,π8 ).故答案为：(−π8,π8 ).三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.已知函数f(x)=4sin(x−π6)cos x+2．(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[−π4,π4]上的最值．【答案】解：(1)由已知得，f(x)=4(sin x cosπ6−cos x sinπ6)cos x+2=2√3sin x cos x−2cos2x+2=√3sin2x−cos2x+1=2sin(2x−π6)+1．∴T=2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)∵x∈[−π4,π4]，∴2x−π6∈[−23π,π3]，∴当2x−π6=π3，即x=π4时，f(x)取得最大值，最大值为f(π4)=√3+1；当2x−π6=−π2，即x=−π6时，f(x)取得最小值，最小值为f(−π6)=−1．∴函数f(x)[−π4,π4]上的最大值为√3+1，最小值为−1．【考点】正弦函数的周期性三角函数的最值【解析】（1）展开两角差的正弦，再由倍角公式降幂，然后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期；（2）由x 的范围求得相位的范围，则函数f(x)在区间[−π4,π4]上的最值可求．【解答】解：(1)由已知得，f(x)=4(sin x cos π6−cos x sin π6)cos x +2 =2√3sin x cos x −2cos 2x +2=√3sin 2x −cos 2x +1=2sin (2x −π6)+1． ∴ T =2π2=π，即f(x)的最小正周期为π；(2)∵ x ∈[−π4,π4]，∴ 2x −π6∈[−23π,π3]，∴ 当2x −π6=π3，即x =π4时，f(x)取得最大值，最大值为f(π4)=√3+1；当2x −π6=−π2，即x =−π6时，f(x)取得最小值，最小值为f(−π6)=−1． ∴ 函数f(x)[−π4,π4]上的最大值为√3+1，最小值为−1．如图，在△ABC 中，∠A =60∘，AB =2，AC =1，BD →=2DC →，AE →=λAC →−AB →(λ∈R )．(1)若AD →⋅AE →=−4，求λ的值；(2)若非零向量m =xAB →+yAC →(x,y ∈R )，求|m||y|的最小值．【答案】解：(1)AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →， ∵ |AB|→=2,|AC|→=1,AB →⋅AC →=1， ∴ AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)=λ3AB →⋅AC →−13AB →2+23λAC →2−23AC →⋅AB →=λ−2=−4，∴ λ=−2；(2)|m|2=(xAB →+yAC →)2 =x 2AB →2+2xyAB →⋅AC →+y 2AC →2 =4x 2+2xy +y 2， ∴|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2=√4(xy )2+2xy +1=√4(xy +14)2+34， ∴ 当xy=−14即y =−4x 时，|m||y|取得最小值，最小值为√32．【考点】两向量的和或差的模的最值平面向量数量积的性质及其运算律向量加减混合运算及其几何意义【解析】（1）由图表示出AD →，则AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)，再结合条件即可求出λ； (2)|m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2，配方，利用二次函数最值求解即可．【解答】解：(1)AD →=AB →+BD →=AB →+23BC →=AB →+23(AC →−AB →)=13AB →+23AC →，∵ |AB|→=2,|AC|→=1,AB →⋅AC →=1， ∴ AD →⋅AE →=(13AB →+23AC →)⋅(λAC →−AB →)=λ3AB →⋅AC →−13AB →2+23λAC →2−23AC →⋅AB →=λ−2=−4，∴ λ=−2；(2)|m|2=(xAB →+yAC →)2 =x 2AB →2+2xyAB →⋅AC →+y 2AC →2 =4x 2+2xy +y 2， ∴ |m||y|=√4x 2+2xy+y 2y 2=√4(x y )2+2xy +1=√4(xy +14)2+34，∴ 当xy =−14即y =−4x 时，|m||y|取得最小值，最小值为√32．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a +b)(sin A −sin B)=(c −b)sin C ．(1)求A；(2)若2c=(1+2√3)b，求sin B．【答案】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，∴b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由题知：2sin C=(1+2√3)sin B，∴2sin(23π−B)=(1+2√3)sin B，∴2sin23πcos B−2cos23πsin B=(1+2√3)sin B，∴cos B=2sin B，又sin2B+cos2B=1，∴sin B=√55．【考点】两角和与差的正弦公式余弦定理正弦定理同角三角函数间的基本关系三角函数值的符号【解析】（1）由正弦定理化简已知等式可得b2+c2−a2＝bc，利用余弦定理可求cos A，结合范围A∈(0, π)，可求A的值；（2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得cos B＝2sin B，利用同角三角函数基本关系式可求sin B的值．【解答】解：(1)由题意，利用正弦定理可得：(a+b)(a−b)=(c−b)c，∴b2+c2−a2=bc，∴cos A=b2+c2−a22bc =12，∵A∈(0, π)，∴A=π3．(2)由题知：2sin C=(1+2√3)sin B，∴2sin(23π−B)=(1+2√3)sin B，∴2sin23πcos B−2cos23πsin B=(1+2√3)sin B，∴cos B=2sin B，又sin2B+cos2B=1，∴sin B=√55．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2a2+a3=a4，S4+2=a5；数列{b n}满足b1=1，1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)．(1)求a n和b n；(2)求数列{1(b n+2)log2a n}的前n项和T n．【答案】解：(1)设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，由2a2+a3=a4，可得q2−q−2=0，解得q=2或q=−1（舍），又S4+2=a5，∴a1(1−24)1−2+2=a1⋅24，解得a1=2，∴a n=2n,n∈N∗；∵1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)，∴当n≥2时，1b1+2b2+⋯+n−1b n−1=(n−1)2b n−1，相减可得nb n =n2b n−(n−1)2b n−1，整理得nb n =n−1b n−1(n≥2)，又b1=1，则数列{nb n}是首项为1的常数列，∴nb n=1，∴b n=n,n∈N∗；(2)设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，∴T n=c1+c2+...+c n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．【考点】数列的求和数列递推式等比数列的通项公式【解析】（1）设等比数列{a n}的公比为q(q>0)，运用等比数列的通项公式和求和公式，解方程可得公比和首项，进而得到所求a n；由b1＝1，1b1+2b2+⋯+nb n=n2b n(n∈N∗)．将n换为n−1，相减可得b n；（2）设c n=1(b n+2)log2a n =1(n+2)n=12(1n−1n+2)，运用数列的裂项相消求和，化简可得所求和．【解答】解：(1)设等比数列{a n }的公比为q(q >0)，由2a 2+a 3=a 4，可得q 2−q −2=0，解得q =2或q =−1（舍），又S 4+2=a 5， ∴a 1(1−24)1−2+2=a 1⋅24，解得 a 1=2，∴ a n =2n ,n ∈N ∗；∵ 1b 1+2b 2+⋯+nb n=n 2b n(n ∈N ∗)，∴ 当n ≥2时，1b 1+2b 2+⋯+n−1bn−1=(n−1)2b n−1，相减可得nb n=n 2b n−(n−1)2b n−1，整理得n b n=n−1bn−1(n ≥2)，又b 1=1，则数列{nb n}是首项为1的常数列，∴nb n=1，∴ b n =n,n ∈N ∗；(2)设c n =1(b n +2)log 2a n=1(n+2)n=12(1n−1n+2)，∴ T n =c 1+c 2+...+c n=12[(1−13)+(12−14)+(13−15)+⋯+(1n −1−1n +1)+(1n −1n +2)] =12(1+12−1n+1−1n+2)=34−2n+32(n+1)(n+2)．水库的蓄水量随时间而变化，现用t 表示时间，以月为单位，年初为起点（用t 表示第t 月份，t ∈N ∗），根据历年数据，某水库的蓄水量V （单位：亿立方米）与时间t 的近似函数关系为：当0<t ≤10时，V(t)=(−t 2+14t −40)e at +60；当10<t ≤12时，V(t)=12t 2−284t +1700；若2月份该水库的蓄水量为33.6亿立方米． (1)求实数a 的值；(2)求一年内该水库的最大蓄水量．参考数据：e 2=7.39,e =2.72,√e =1.65,√e 3=1.40．【答案】解：(1)V(2)=(−22+14×2−40)e 2a +60 =−16e 2a +60=33.6， ∴ e 2a =26.416=1.65，又 √e =1.65，∴ 2a =12，即a =14．(2)当0<t ≤10,V(t)=(−t 2+14t −40)e 14t +60，V′(t)=(−2t +14)e 14t +1(−t 2+14t −40)e 14t=−14e 14t (t +2)(t −8)，当t ∈(0, 8]时，V ′(t)>0，当t ∈(8, 10]时，V ′(t)<0， ∴ 当t =8时，V(t)max =V(8)=119.12．又V(11)=28，V(12)=20， ∴ V(t)的最大值为119.12．故一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米．【考点】利用导数研究函数的最值根据实际问题选择函数类型对数函数图象与性质的综合应用【解析】（1）根据V(2)＝33.6计算a ；（2）利用导数求出V(t)在(0, 10]上的单调性，再结合V(11)，V(12)的值得出V(t)的最大值．【解答】解：(1)V(2)=(−22+14×2−40)e 2a +60 =−16e 2a +60=33.6， ∴ e 2a =26.416=1.65，又 √e =1.65，∴ 2a =12，即a =14．(2)当0<t ≤10,V(t)=(−t 2+14t −40)e 14t +60， V′(t)=(−2t +14)e 14t+14(−t 2+14t −40)e 14t =−14e 14t (t +2)(t −8)，当t ∈(0, 8]时，V ′(t)>0，当t ∈(8, 10]时，V ′(t)<0， ∴ 当t =8时，V(t)max =V(8)=119.12．又V(11)=28，V(12)=20， ∴ V(t)的最大值为119.12．故一年内该水库的最大蓄水量为119.12亿立方米．已知函数f(x)=e 2x −me x −m 2(3x −12),g(x)=(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若对于任意的m ∈R ，x >0，都有f(x)>g(x)成立，求正整数k 的最大值．【答案】解：(1)f ′(x)=2e 2x −me x −3m 2=(2e x −3m)(e x +m)， ①m =0时，f ′(x)=2e 2x >0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增；②当m <0时，2e x −3m >0，令f ′(x)=0，解得x =ln (−m)，当x >ln (−m)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln (−m)，+∞)上单调递增，当x <ln (−m)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞, ln (−m))上单调递减；当x <ln3m 2时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln 3m 2)上单调递减.(2)对任意的m ∈R ，x >0，f(x)>g(x)成立，即 e 2x −me x −m 2(3x −12)>(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22(x >0)成立，即 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立， ∴ Δ=4(e x +ln x)2−4(2e 2x +2ln 2x −k 2)<0，即 (e x −ln x)2>k 2，令ℎ(x)=e x −ln x,ℎ′(x)=e x −1x ，令φ(x)=ℎ′(x),φ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上单调递增，又ℎ′(12)=√e −2<0，ℎ′(23)=e 23−32=(e 2)13−(278)13>0，∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈(12,23),e x 0=1x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数，当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0+x 0，∴ ℎ(x 0)∈(136,52)，∴ e x −ln x >0，∴ e x −ln x >k 恒成立，∴ k <ℎ(x 0)，且k 是正整数， ∴ k =1或k =2， ∴ k 的最大值为2．【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】（1）求导后分类讨论判断其单调性；（2）转化可得 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立，利用导数研究即可．【解答】解：(1)f ′(x)=2e 2x −me x −3m 2=(2e x −3m)(e x +m)， ①m =0时，f ′(x)=2e 2x >0恒成立， ∴ f(x)在R 上单调递增；②当m <0时，2e x −3m >0，令f ′(x)=0，解得x =ln (−m)，当x >ln (−m)时，f ′(x)>0，函数f(x)在(ln (−m)，+∞)上单调递增，当x <ln (−m)时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞, ln (−m))上单调递减；当x <ln3m 2时，f ′(x)<0，函数f(x)在(−∞,ln 3m 2)上单调递减.(2)对任意的m ∈R ，x >0，f(x)>g(x)成立，即 e 2x −me x −m 2(3x −12)>(m −ln x)ln x −3m 2x +k 22(x >0)成立，即 m 2−2(e x +ln x)m +2e 2x +2ln 2x −k 2>0(x >0)恒成立， ∴ Δ=4(e x +ln x)2−4(2e 2x +2ln 2x −k 2)<0，即 (e x −ln x)2>k 2，令ℎ(x)=e x −ln x,ℎ′(x)=e x −1x ，令φ(x)=ℎ′(x),φ′(x)=e x +1x 2>0， ∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上单调递增，又ℎ′(12)=√e −2<0，ℎ′(23)=e 23−32=(e 2)13−(278)13>0，∴ ℎ′(x)在(0, +∞)上有唯一零点x 0，且x 0∈(12,23),e x 0=1x 0，当x ∈(0, x 0)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)为减函数，当x ∈(x 0, +∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)为增函数， ∴ ℎ(x)min =ℎ(x 0)=e x 0−ln x 0=1x 0+x 0，∴ ℎ(x 0)∈(136,52)，∴ e x −ln x >0，∴ e x −ln x >k 恒成立，∴ k <ℎ(x 0)，且k 是正整数， ∴ k =1或k =2， ∴ k 的最大值为2．。

山东省泰安市2019-2020学年高一上学期期末数学试题(解析版)

高一年级考试数学试题一、单项选择题1.已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B A I A. {}1,6 B. {}1,7C. {}6,7D. {}1,6,7【答案】C 【解析】【分析】先求U A ð，再求U B A I ð．【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ．【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案． 2.设p：x >q ：22x >，则p 是q 的（）A. 充要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】解出不等式22x >，根据集合的包含关系，可得到答案. 【详解】解：因为q ：22x >，所以q ：x >x <因为p ：x >所以p 是q 的充分不必要条件. 故选：B【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，两个命题均是范围形式，解决问题常见的方法是判断出集合之间包含关系.3.已知正实数a ，b 满足41a b +=，则1b a+的最小值为（）A. 4B. 6C. 9D. 10【答案】C 【解析】分析】变换141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭展开利用均值不等式得到答案. 【详解】∵0a >，0b >，41a b +=，∴141b a b a b a ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭4559ab ab =+++=…，当且仅当4,41ab aba b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩时，即1,36a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩时取“=”. 故答案选C【点睛】本题考查了均值不等式，1的代换是解题的关键.4.函数()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+的两个零点分别位于区间（） A. ()1,0-和()0,1内 B. (),1-∞-和()1,0-内 C. ()0,1和()1,+∞内 D. (),1-∞-和()1,+∞内【答案】A 【解析】【分析】将()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+进行整理化简，可得()y f x =为二次函数，求出零点即可. 【详解】解：()()()()()1111f x x x x x x x =++-+-+231x =-，令()0f x =，解得：3x =±，因为(1,0)-(0,1) 【故选：A.【点睛】本题考查了函数零点问题，判断函数零点所在范围，可以将零点求出判断，也可以利用函数零点存在定理解决.5.已知2ln 3a =，22log 32b =，0.245c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（）A. a b c <<B. b a c <<C. b c a <<D. a c b <<【答案】A 【解析】【分析】先将数据进行化简，然后利用中间值进行求解.【详解】解：由题得，22log 3223b ==，因为213<，所以2ln 03a =<，因为0.20-<，所以0.24()15->，所以，0.22401()35a c -<<<<=，即abc << 故选：A【点睛】本题考查了比较大小的问题，比较大小常见的方法是作差求解，单调性求解，中间值法求解等等. 6.函数422y x x =-的大致图象是（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，再使用特殊值进行判断. 【详解】解：42()2f x x x =-的定义域为R ，4242()()2()2()f x x x x x f x -=---=-=，所以函数为偶函数，故正确答案在A 、B 中，当1x =时，(1)121f =-=-，故选：B【点睛】判断函数的大致形状可以从函数的对称性、函数值、单调性角度进行筛选. 7.已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数,满足(1)(1)f x f x -=+.若(1)2f =，则(1)(2)(3)(50)f f f f ++++=L （）A. 50-B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】分析：先根据奇函数性质以及对称性确定函数周期，再根据周期以及对应函数值求结果. 详解：因为()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，且(1)(1)f x f x -=+，所以(1)(1)(3)(1)(1)4f x f x f x f x f x T +=--∴+=-+=-∴=,因此(1)(2)(3)(50)12[(1)(2)(3)(4)](1)(2)f f f f f f f f f f ++++=+++++L ，因为(3)(1)(4)(2)f f f f =-=-，，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，(2)(2)(2)(2)0f f f f =-=-∴=Q ，从而(1)(2)(3)(50)(1)2f f f f f ++++==L ，选C.点睛：函数的奇偶性与周期性相结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．8.若函数()()222,1log 1,1xx f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩在(],a -∞上的最大值为4，则a 的取值范围为（） A. []0,17 B. (],17-∞ C. []1,17 D. [)1,+∞ 【答案】C 【解析】【分析】要求函数()f x 的最大值，可先分别探究函数()122,1xf x x =+≤与()()22log 1,1f x x x =->的单调性，从而得到()f x 的最大值．【详解】易知()122,1xf x x =+≤在(],1-∞上单调递增，()()22log 1,1f x x x =->()1,+∞上单调递增.因为()14f =，()174f =，所以a 的取值范围为[]1,17.【点睛】本题考查分段函数的单调性，考查运算求解能力与数形结合的数学方法.二、多项选择题9.已知2sin 3θ=-，且cos 0θ>，则（） A. tan 0θ< B. 24tan 9θ>C. 22sin cos θθ>D. sin20θ>【答案】AB 【解析】【分析】求解出cos θ、tan θ，对选项逐一判断. 【详解】解：因为2sin 3θ=-，且cos 0θ>，所以cos 3θ==，tan θ=A 正确； 244tan 59θ=>，B 正确； 24sin 9θ=，25cos 9θ=，22sin cos θθ<，C 不正确；sin 22sin cos 0θθθ==<，D 不正确；故选：AB【点睛】本题考查了同角三角函数关系、二倍角公式的运用，熟练运用公式是解决问题的关键. 10.已知01a b <<<，则下列不等式成立的是（）A. 1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. ln ln a b >C.11a b> D.11ln ln a b> 【答案】ACD 【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的单调性进行判断.【详解】解：因为01a b <<<，1()2xy =为减函数，所以1122a b⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为01a b <<<，ln y x =为增函数，所以ln ln 0a b <<，又因为1y x=在区间(),0-∞上为减函数，在区间()0,∞+上也为减函数，所以11ln ln a b >，同理可得，11a b>，故选：ACD【点睛】本题考查了比较大小的问题，主要考查运用初等函数的单调性判断大小的问题，熟记初等函数的单调性是关键.11.若定义域为[]0,1的函数()f x 同时满足以下三条：（ⅰ）对任意的[0,1],x ∈总有()0;f x ≥（ⅱ）(1)1;f =（ⅲ）若12120,0,1,x x x x ≥≥+≤则有1212()()().f x x f x f x +≥+就称()f x 为“A 函数”，下列定义在[]0,1的函数中为“A 函数”的有_______________①()f x x =；②()21;xf x =-③12()log (1);f x x =+④2()log (1).f x x =+ 【答案】①② 【解析】【分析】根据具体的函数解析式判断是否满足三个条件即可.【详解】①显然()f x x =在[0，1]满足条件①()f x x =≥0；也满足条件②f （1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f (x 1+x 2)−[f (x 1)+ f (x 2)]＝(x 1+x 2)− (x 1+ x 2)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．②显然()f x =2x -1在[0，1]满足条件①g（x ）≥0；也满足条件②g（1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则g(x 1+x 2)−[g(x 1)+g(x 2)]＝2x 1+x 2−1−[(2x 1−1)+(2x 2−1)]=2x 1+x 2−2x 1−2x 2+1＝(2x 2−1)(2x 1−1)≥0，即满足条件③，故f （x ）为A 函数．③显然()()12log 1f x x =+在[0，1]不满足条件①f （x ）≥0,()()12log 1f x x =+不为A 函数．④显然()()2log 1.f x x =+在[0，1]满足条件①f （x ）≥0；也满足条件②f （1）=1．若x 1≥0，x 2≥0，x 1+x 2≤1，则f(x 1+x 2)−[f(x 1)+f(x 2)]＝()()121222212121211log log log 10111x x x x x x x x x x ++++==≤=+⋅+⋅+++不满足条件③，故f （x ）不为A 函数．【点睛】本题是考查新定义的题目，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的条件，注意性质的灵活运用． 12.已知集合()(){},M x y y f x ==，若对于任意实数对()11,x y M ∈，存在()22,x y M ∈，使12120x x y y +=成立，则称集合M 是“垂直对点集”；下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（）A. ()21,M x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭B. (){},sin 1M x y y x ==+ C. (){},22xM x y y ==-D. (){}2,log M x y y x ==【答案】ABC 【解析】【分析】根据题意给出的定义，从代数、几何、反例等角度对每一个选项进行判断. 【详解】选项A ：任取()11,x y M ∈，则1211y x =，取211x x =-，故212121112221121111111()?()?0x x y y x x x x x x x x +=-+=-+=，所以存在这样的211x x =-使得12120x x y y +=成立，选项A 正确；选项B ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点，如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线sin 1y x =+均有交点，选项B 是正确的；选项C ：任取点()11,A x y M ∈，取点()22,B x y M ∈，12120x x y y +=表示的几何意义是OA OB ⊥，即对曲线每一个点与原点构成的直线OA ，与之垂直的直线OB 与曲线都存在交点，如图，当点A 运动时，直线OB 与曲线22xy =-均有交点，选项C 是正确的；选项D ：在函数2log y x =上取点(1,0)时，若存在22(,)x y 使得12120x x y y +=成立，则221?0?0x y +=，则一定有20x =，不满足函数的定义域，故不能满足题意中的任意一点这一条件，选项D 不正确；故选：ABC【点睛】本题考查了新定义的问题，新定义问题首先需要有很强的阅读理解能力，其次题目考查的本质问题还是函数的图象、性质等等，解决问题的关键是要有将新定义问题转化为常规问题的能力.三、填空题13.计算：7lg142lg lg 7lg183-+-=__________，【答案】0 【解析】法一：7lg142lglg 7lg183-+- 2lg(27)2(lg 7lg3)lg 7lg(32)=⨯--+-⨯ lg 2lg72lg7237232lg lg lg lg =+-++--0=．法二： 7lg142lglg 7lg183-+- 27lg14lg lg 7lg183⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭2147lg7183⨯=⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭lg1=0=．故答案为014.命题：x R ∃∈，210x x -+=的否定是______．【答案】2,10x R x x ∀∈-+≠ 【解析】试题分析：根据特称命题的否定为全称命题，可知命题“2,10x R x x ∃∈-+=”的否定是“”.考点：全称命题与特称命题.15.已知幂函数()y f x =的图象过点((),9f =则______．【答案】3 【解析】【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式，进而得出答案．【详解】设幂函数()(f x x αα=为常数)，Q 幂函数()y f x =的图象过点(，3α=，解得12α=． ()f x ∴= ()93f ∴==．故答案为3．【点睛】本题考查幂函数的定义，正确理解幂函数的定义是解题的关键．16.已知函数()cos3f x x a x a =-+，且239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则实数a =______，函数()f x 的单调递增区间为______.【答案】 (1). 1 (2). ()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ 【解析】【分析】（1）由等式239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭求解，（2）将（1）结果代入化简得()2sin(3)16f x x π=-+，然后根据复合函数的单调性求解单调区间.【详解】（1）因为239f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以222()cos 3933f a a πππ=-+=，解得：1a =；（2）将1a =代入，得()cos31f x x x =-+，化简得()2sin(3)16f x x π=-+，故232262k x k πππππ-+≤-≤+，k Z ∈解得：2229393k k x ππππ-+≤≤+，k Z ∈，的故函数()f x 的增区间为：()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1；()222,3939k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了两角和差公式的逆运用，即辅助角公式，同时也考查了三角函数的单调区间问题.四、解答题17.已知集合{}{}225120,31(0)xA x x xB y y x =--≥==+>.（1）求集合A B I ,()R C A B ⋃；（2）若集合{}22C x m x m =-≤≤且()R C A C C =I ,求m 的取值范围.【答案】（1）{}|4x x ≥,32x x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭；（2）()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃ ⎪⎝⎭. 【解析】试题分析：（1）利用一元二次不等式解法化简集合A ，利用指数函数的性质化简集合B ，从而可求出R C A ，再利用集合交集与并集的定义求解即可；（2）()R C A C C ⋂=等价于()R C C A ⊆，结合（1）的结论，利用集合的包含关系，分两种情况讨论，分别列不等式组求解即可求得m 的取值范围. 试题解析：（1）()()2325120234042x x x x x x --≥⇒+-≥⇒≥≤-或, ∴342A x x x ⎧⎫=≥≤-⎨⎬⎩⎭或，{}2B y y =>,∴{}()34,2R A B x x C A B x x ⎧⎫⋂=≥⋃=>-⎨⎬⎩⎭.（2）∴()R C A C C ⋂=，()R C C A ⊆，342R C A x x ⎧⎫=-<<⎨⎬⎩⎭, 当C =∅时，22,2m m m -><-即时满足()R C C A ⊆∴2m <-;的当C ≠∅时，要使()R C C A ⊆，则22231122222242m m m m m m m m -≤≥-⎧⎧⎪⎪⎪⎪->-⇒>⇒<<⎨⎨⎪⎪<<⎪⎪⎩⎩综上所述，()1,2,22m ⎛⎫∈-∞-⋃⎪⎝⎭. 18.在①函数3f x π⎛⎫-⎪⎝⎭为奇函数；②当3x π=时，()f x =；③23π是函数()f x 的一个零点这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答，已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭，()f x 的图象相邻两条对称轴间的距离为π，______. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间.【答案】（1）选条件①②③任一个，均有()2sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭；（2）选条件①②③任一个，函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间均为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】【分析】（1）由相邻两条对称轴间的距离为π，得到ω；再选择一个条件求解出ϕ；（2）由（1）解得的函数，根据复合函数的单调性得到单调区间. 【详解】解： Q 函数()f x 的图象相邻对称轴间的距离为π，22T ππω∴==，1ω∴=，()()2sin f x x ϕ∴=+.方案一：选条件①2sin 33f x x ππϕ⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q 为奇函数，2sin 033fππϕ⎛⎫⎛⎫∴-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：3k πϕπ=+，k Z ∈.（1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭；（2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；方案二：选条件②2sin 33f ππϕ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 3πϕ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭， 2k ϕπ∴=，k Z ∈或23k πϕπ=+，k Z ∈，（1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭；（2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈，∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤， ∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦；方案三：选条件③23πQ 是函数()f x 的一个零点，222sin 033f ππϕ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 23k πϕπ∴=-，k Z ∈. （1）02πϕ<<Q ，3πϕ∴=，()2sin 3f x x π⎛⎫∴=+⎪⎝⎭；（2）由22232k x k πππππ-+≤+≤+，k Z ∈，得52266k x k ππππ-+≤≤+，k Z ∈∴令0k =，得566x ππ-≤≤，令1k =，得71366x ππ≤≤.∴函数()f x 在[]0,2π上的单调递增区间为06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，7,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题以一个相对开放的形式考查三角函数的性质，要求解ω的值，即要找出周期，求ϕ常见方法是代入一个点即可.19.已知函数f (x )＝sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭·sin 4x π⎛⎫-⎪⎝⎭sin x cos x (x ∈R)． (1)求f 6π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在△ABC 中，若f 2A ⎛⎫⎪⎝⎭＝1，求sin B ＋sin C 的最大值．【答案】（1）1（2【解析】【详解】（1）∵()sin sin cos 44f x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1cos2sin2sin 2226x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭.∴16f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. （2）由sin 126A f A π⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而0A π<<可得：62A ππ+=，即3A π=.∴23sin sin sin sin sin 326B C B B B B B ππ⎛⎫⎛⎫+=+-=+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵203B π<<，∴51,sin 166626B B ππππ⎛⎫<+<<+≤ ⎪⎝⎭，∴sin sin B C +. 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则（1）一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；（2）而看“函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有“切化弦”；（3）三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式通分”等.20.已知函数()221xx f x m =+-，m R ∈.（1）判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性，并证明你的结论；（2）是否存在m ，使得()f x 为奇函数？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）单调递减，证明见解析；（2）存在，12m =- 【解析】分析】（1）利用作差法证明函数的单调性；（2）利用奇偶性的定义求解m 的值. 【详解】解：（1）()f x (),0-∞上单调递减，证明：()12,,0x x ∀∈-∞，且12x x <则()()()()()()12211212121212122212212222212121212121x x x x x x x x x x x x x x f x f x m m ---⎛⎫⎛⎫-=+-+=-= ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭()()2112222121x x xx -=--，120x x <<Q ，120221x x ∴<<<，21220x x ∴->，1210x -<，2210x -<，()()120f x f x ∴->，()()12f x f x ∴> ()f x ∴在(),0-∞上单调递减；（2）函数()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，若()f x 为奇函数，则()()f x f x -=-恒成立，即222121x x x x m m --+=----恒成立， 221212212121122121x x x x x x xx x m ---=--=--==------，解得：12m =-，∴存在12m =-，使得()f x 为奇函数. 【【点睛】本题考查了函数的两大性质：单调性与奇偶性，刚学性质时，解决性质问题常见的方法是定义法. 21.某企业开发生产了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2500万元，每生产x 百件，需另投入成本()c x （单位：万元），当年产量不足30百件时，()210100c x x x =+；当年产量不小于30百件时，()100005014500c x x x=+-；若每件电子产品的售价为5万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完.（1）求年利润y （万元）关于年产量x （百件）的函数关系式；（2）年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？【答案】（1）2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）100百件【解析】【分析】（1）根据收益=总收入-成本，进行分情况讨论，构建出分段函数；（2）对分段函数每一段进行研究最大值，然后再求出整个函数的最大值.【详解】解：（1）当030x <<时，22500101002500104002500y x x x x x =---=-+-；当30x ≥时，1000010000500501450025002000y x x x x x ⎛⎫=--+-=-+ ⎪⎝⎭； 2104002500,030100002000,30x x x y x x x ⎧-+-<<⎪∴=⎨⎛⎫-+≥ ⎪⎪⎝⎭⎩；（2）当030x <<时，()210201500y x =--+，∴当20x =时，max 1500y =；当30x ≥时，100002000200020002001800y x x ⎛⎫=-+≤-=-= ⎪⎝⎭，当且仅当10000x x=，即100x =时，max 18001500y =>. ∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1800万元.【点睛】本题考查了数学建模问题、分段函数最值问题，数学建模要能准确地从题意中抽象出函数模型，分段函数是一个函数，分段不分家，一般需要分情况讨论。

2019-2020学年山东省泰安市高三上期末数学测试卷(理)(含答案)

山东省泰安市高三（上）期末测试数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（） A ．75 B ．90 C ．105 D ．1203．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题错误的是（）A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC ．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l ，那么l ⊥平面γD ．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β 5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（）A ．B ．C ．D ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（）A． B．C．D．8．已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f（x）=a x+x﹣b的零点所在的区间是（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c ，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a 的最小值．17．如图，多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，EF ∥AD ，FA ⊥面ABCD ，AB=AF=EF=1，AD=2，AC 交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF ∥面ECD ；（Ⅱ）求二面角B ﹣EC ﹣A 的大小．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值． 21．已知函数f （x ）=lnx+ax 在点（t ，f （t ））处切线方程为y=2x ﹣1 （Ⅰ）求a 的值（Ⅱ）若，证明：当x ＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，是否存在正数x 0，使得：．2019-2020学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，则图中的阴影部分表示的集合为（）A ．{2}B ．{4，6}C ．{1，3，5}D ．{4，6，7，8}【考点】Venn 图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ，根据集合的运算求解即可．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，2，3，5}，B={2，4，6}，由韦恩图可知阴影部分表示的集合为（C U A ）∩B ， ∵C U A={4，6，7，8}， ∴（C U A ）∩B={4，6}．故选B ．2．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1+a 3=10，且a 1a 3=16，则a 11+a 12+a 13等于（） A ．75 B ．90 C ．105 D ．120 【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知得a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8，由此求出公差，从而能求出a 11+a 12+a 13的值．【解答】解：∵{a n }是公差为正数的等差数列，a 1+a 3=10，且a 1a 3=16， ∴a 1＜a 3，且a 1，a 3是方程x 2﹣10x+16=0的两个根，解方程x 2﹣10x+16=0，得a 1=2，a 3=8， ∴2+2d=8，解得d=3，∴a 11+a 12+a 13=3a 1+33d=3×2+33×3=105．故选：C ．3．已知p ：0＜a ＜4，q ：函数y=x 2﹣ax+a 的值恒为正，则p 是q 的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据函数的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若函数y=x2﹣ax+a的值恒为正，即x2﹣ax+a＞0恒成立，则判别式△=a2﹣4a＜0，则0＜a＜4，则p是q的充要条件，故选：C4．下列命题错误的是（）A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面βB．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β【考点】平面与平面之间的位置关系．【分析】命题A，B可以通过作图说明；命题C可以直接进行证明；命题D可以运用反证法的思维方式说明是正确的．【解答】解：A、如图，平面α⊥平面β，α∩β=l，l⊂α，l不垂直于平面β，所以不正确；B、如A中的图，平面α⊥平面β，α∩β=l，a⊂α，若a∥l，则a∥β，所以正确；C、如图，设α∩γ=a，β∩γ=b，在γ内直线a、b外任取一点O，作OA⊥a，交点为A，因为平面α⊥平面γ，所以OA⊥α，所以OA⊥l，作OB⊥b，交点为B，因为平面β⊥平面γ，所以OB⊥β，所以OB⊥l，又OA∩OB=O，所以l⊥γ．所以正确．D 、若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定，则有平面α垂直于平面β，与平面α不垂直于平面β矛盾，所以，如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β，正确；故选：A ．5．不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（） A ．（﹣∞，2） B ．（﹣2，6） C ．（6，+∞）D ．（﹣1，5）【考点】绝对值不等式的解法．【分析】由条件利用绝对值的意义，求得绝对值不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集．【解答】解：由于|x ﹣5|+|x+1|表示数轴上的x 对应点到5、﹣1对应点的距离之和，而数轴上的﹣2和6对应点到5、﹣1对应点的距离之和正好等于8，故不等式|x ﹣5|+|x+1|＜8的解集为（﹣2，6），故选：B ．6．已知点F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于 M 、N 两点，若△M NF 2为等腰直角三角形，则该椭圆的离心率e 为（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】把x=﹣c 代入椭圆，解得y=±．由于△MNF 2为等腰直角三角形，可得=2c ，由离心率公式化简整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c 代入椭圆方程，解得y=±，∵△MNF 2为等腰直角三角形，∴=2c ，即a 2﹣c 2=2ac ，由e=，化为e 2+2e ﹣1=0，0＜e ＜1．解得e=﹣1+．故选C ．7．设f （x ）在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数f ′（x ）的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】由f （x ）的图象可得在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减，y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，即有y 轴左侧导数小于0，右侧导数先小于0，再大于0，最后小于0，对照选项，即可判断．【解答】解：由f （x ）的图象可得，在y 轴的左侧，图象下降，f （x ）递减，即有导数小于0，可排除C ，D ；再由y 轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降，函数f （x ）递减，再递增，后递减，即有导数先小于0，再大于0，最后小于0，可排除A ；则B 正确．故选：B ．8．已知实数a ，b 满足2a =3，3b =2，则函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间是（） A ．（﹣2，﹣1） B ．（﹣1，0）C ．（0，1）D ．（1，2）【考点】函数的零点；指数函数的图象与性质．【分析】根据对数，指数的转化得出f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f （0）=1﹣log 32＞0，f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，判定即可．【解答】解：∵实数a ，b 满足2a =3，3b =2， ∴a=log 23＞1，0＜b=log 32＜1， ∵函数f （x ）=a x +x ﹣b ，∴f （x ）=（log 23）x +x ﹣log 32单调递增， ∵f （0）=1﹣log 32＞0f （﹣1）=log 32﹣1﹣log 32=﹣1＜0，∴根据函数的零点判定定理得出函数f （x ）=a x +x ﹣b 的零点所在的区间（﹣1，0），故选：B ．9．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π．若f（x）＞1对任意x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（）A．[，] B．[，] C．[，] D．（，]【考点】正弦函数的图象．【分析】由题意求得sin（ωx+φ）=﹣1，函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，根据周期性求得ω的值，可得f（x）的解析式．再根据当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，可得sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，由此求得φ的取值范围．【解答】解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤）的图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，令2sin（ωx+φ）+1=﹣1，即sin（ωx+φ）=﹣1，即函数y=sin（ωx+φ）的图象和直线y=﹣1邻两个交点的距离为π，故 T==π，求得ω=2，∴f（x）=2sin（2x+φ）+1．由题意可得，当x∈（﹣，）时，f（x）＞1，即 sin（2x+φ）＞0，故有﹣+φ≥2kπ，且+φ≤2kπ+π，求得φ≥2kπ+，且φ≤2kπ+，k∈Z，故φ的取值范围是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，结合所给的选项，故选：B．10．已知函数f（x）=，若a＜b，f（a）=f（b），则实数a﹣2b的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】函数的值．【分析】由已知得a≤﹣1，a﹣2b=a﹣e a﹣1，再由函数y=﹣e x+a﹣1，（x≤﹣1）单调递减，能求出实数a﹣2b的范围．【解答】解：∵函数f（x）=，a＜b，f（a）=f（b），∴a≤﹣1，∵f（a）=e a，f（b）=2b﹣1，且f（a）=f（b），∴e a=2b﹣1，得b=，∴a﹣2b=a﹣e a﹣1，又∵函数y=﹣e x+a﹣1（x≤﹣1）为单调递减函数，∴a﹣2b＜f（﹣1）=﹣e﹣1=﹣，∴实数a﹣2b的范围是（﹣∞，﹣）．故选：B．二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分，请把答案填写在答题卡相应位置.11．若α∈（0，）且cos2α+cos（+2α）=，则tanα= ．【考点】三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用．【分析】首先根据诱导公式和同角三角函数的关系式进行恒等变换，整理成正切函数的关系式，进一步求出正切的函数值．【解答】解：cos2α+cos（+2α）=，则：，则：，整理得：3tan2α+20tanα﹣7=0，所以：（3tanα﹣1）（tanα+7）=0解得：tan或tanα=﹣7，由于：α∈（0，），所以：．故答案为：12．直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，则实数a的值是﹣2 ．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由圆的方程，得到圆心与半径，再求得圆心到直线的距离，利用勾股定理解．【解答】解：圆x2+y2﹣2ax+a=0可化为（x﹣a）2+y2=a2﹣a∴圆心为：（a，0），半径为：圆心到直线的距离为：d==．∵直线ax+y+1=0被圆x2+y2﹣2ax+a=0截得的弦长为2，∴a2+1+1=a2﹣a，∴a=﹣2．故答案为：﹣2．13．如果实数x，y满足条件，则z=x+y的最小值为．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为．故答案为：．14．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图判断几何体是圆锥的一部分，再根据俯视图与左视图的数据可求得底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，把数据代入圆锥的体积公式计算．【解答】解：由三视图知几何体是圆锥的一部分，由正视图可得：底面扇形的圆心角为120°，又由侧视图知几何体的高为4，底面圆的半径为2，∴几何体的体积V=××π×22×4=．故答案为：15．规定记号“*”表示一种运算，a*b=a 2+ab ，设函数f （x ）=x*2，且关于x 的方程f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）恰有4个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1+x 2+x 3+x 4= ﹣4 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】由题意可得f （x ）=x 2+2x ，可得图象关于x=﹣1对称，由函数图象的变换可得函数y=ln|x+1|（x ≠﹣1）的图象关于直线x=﹣1对称，进而可得四个根关于直线x=﹣1对称，由此可得其和．【解答】解：由题意可得f （x ）=x*2=x 2+2x ，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为x=﹣1，函数y=ln|x+1|可由y=ln|x|向左平移1个单位得到，而函数函数y=ln|x|为偶函数，图象关于y 轴对称，故函数y=ln|x+1|的图象关于直线x=﹣1对称，故方程为f （x ）=ln|x+1|（x ≠﹣1）四个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，也关于直线x=﹣1对称，不妨设x 1与x 2对称，x 3与x 4对称，必有x 1+x 2=﹣2，x 3+x 4=﹣2，故x1+x2+x3+x4=﹣4，故答案为：﹣4．三、解答题：本大题共有6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c，且（Ⅰ）求角A（Ⅱ）若，求a的最小值．【考点】正弦定理．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而可求tanA，由于0＜A ＜π，即可解得A的值．（Ⅱ）利用平面向量数量积的运算和余弦定理化简已知等式可得bc=8，利用余弦定理及基本不等式即可求得a的最小值．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）因为，由正弦定理，得sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，从而tanA=，由于0＜A＜π，所以A=．…4分（Ⅱ）由题意可得：=+•（﹣）﹣=+﹣•﹣=c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA=bc=4，∵bc=8，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8，∴a≥2，∴a的最小值为．…12分17．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，EF∥AD，FA⊥面ABCD，AB=AF=EF=1，AD=2，AC交BD 于点P（Ⅰ）证明：PF∥面ECD；（Ⅱ）求二面角B﹣EC﹣A的大小．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，推导出四边形EFPG是平行四边形，由此能证明FP∥平面ECD．（Ⅱ）以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣EC﹣A的大小．【解答】证明：（Ⅰ）取CD中点G，连结EG、PG，∵点P为矩形ABCD对角线交点，∴在△ACD中，PG AD，又EF=1，AD=2，EF∥AD，∴EF PG，∴四边形EFPG是平行四边形，∴FP∥EG，又FP⊄平面ECD，EG⊂平面ECD，∴FP∥平面ECD．解：（Ⅱ）由题意，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则F（0，0，1），B（1，0，0），C（1，2，0），E（0，1，1），∴=（0，2，0），=（1，1，﹣1），=（1，2，0），取FB中点H，连结AH，则=（），∵=0， =0，∴AH⊥平面EBC，故取平面AEC法向量为=（），设平面AEC 的法向量=（x ，y ，1），则，∴=（2，﹣1，1），cos ＜＞===，∴二面角B ﹣EC ﹣A 的大小为．18．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2=6，S 4=30，n ∈N *，数列{b n }满足b n •b n+1=a n ，b 1=1 （I ）求a n ，b n ；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和为T n ．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比均为2，可得a n =a 1q n ﹣1=2n ；再由n 换为n+1，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，运用等比数列的通项公式，即可得到所求b n ；（Ⅱ）讨论n 为奇数和偶数，运用分组求和和等比数列的求和公式，化简整理即可得到所求和．【解答】解：（I ）设正项等比数列{a n }的公比为q （q ＞0），由题意可得a 1+a 1q=6，a 1+a 1q+a 1q 2+a 1q 3=30，解得a 1=q=2（负的舍去），可得a n =a 1q n ﹣1=2n ；由b n •b n+1=a n =2n ，b 1=1，可得b 2=2，即有b n+1•b n+2=a n =2n+1，可得=2，可得数列{b n }中奇数项，偶数项均为公比为2的等比数列，即有b n =；（Ⅱ）当n 为偶数时，前n 项和为T n =（1+2+..+）+（2+4+..+）=+=3•（）n ﹣3；当n 为奇数时，前n 项和为T n =T n ﹣1+=3•（）n ﹣1﹣3+=（）n+3﹣3．综上可得，T n =．19．如图，是一曲边三角形地块，其中曲边AB 是以A 为顶点，AC 为对称轴的抛物线的一部分，点B 到边AC 的距离为2km ，另外两边AC ，BC 的长度分别为8km ，2km ．现欲在此地块内建一形状为直角梯形DECF的科技园区．（Ⅰ）求此曲边三角形地块的面积；（Ⅱ）求科技园区面积的最大值．【考点】扇形面积公式；弧度制的应用．【分析】（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点建立平面直角坐标系，求出曲边AB 所在的抛物线方程，利用积分计算曲边三角形ABC 地块的面积；（Ⅱ）设出点D 为（x ，x 2），表示出|DF|、|DE|与|CF|的长，求出直角梯形CEDF 的面积表达式，利用导数求出它的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）以AC 所在的直线为y 轴，A 为坐标原点，建立平面直角坐标系xOy ，如图所示；则A（0，0），C（0，8），设曲边AB所在的抛物线方程为y=ax2（a＞0），则点B（2，4a），又|BC|==2，解得a=1或a=3（此时4a=12＞8，不合题意，舍去）；∴抛物线方程为y=x2，x∈[0，2]；又x2=x3=，∴此曲边三角形ABC地块的面积为﹣x2=×（8+4）×2﹣=；S梯形ACBM（Ⅱ）设点D（x，x2），则F（0，x2），直线BC的方程为：2x+y﹣8=0，∴E（x，8﹣2x），|DF|=x，|DE|=8﹣2x﹣x2，|CF|=8﹣x2，直角梯形CEDF的面积为S（x）=x[（8﹣2x﹣x2）+（8﹣x2）]=﹣x3﹣x2+8x，x∈（0，2），求导得S′（x）=﹣3x2﹣2x+8，令S′（x）=0，解得x=或x=﹣2（不合题意，舍去）；当x∈（0，）时，S（x）单调递增，x∈（，2）时，S（x）单调递减，∴x=时，S（x）取得最大值是S （）=﹣﹣+8×=；∴科技园区面积S 的最大值为．20．已知椭圆C ：的右顶点A （2，0），且过点（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点B （1，0）且斜率为k 1（k 1≠0）的直线l 于椭圆C 相交于E ，F 两点，直线AE ，AF 分别交直线x=3于M ，N 两点，线段MN 的中点为P ，记直线PB 的斜率为k 2，求证：k 1•k 2为定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意可得a=2，代入点，解方程可得椭圆方程；（Ⅱ）设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k （x ﹣1），由，可得（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，由已知条件利用韦达定理推导出直线PB 的斜率k 2=﹣，由此能证明k •k ′为定值﹣．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得a=2， +=1，a 2﹣b 2=c 2，解得b=1，即有椭圆方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：设过点B （1，0）的直线l 方程为：y=k 1（x ﹣1），由，可得：（4k 12+1）x 2﹣8k 12x+4k 12﹣4=0，因为点B （1，0）在椭圆内，所以直线l 和椭圆都相交，即△＞0恒成立．设点E （x 1，y 1），F （x 2，y 2），则x 1+x 2=，x 1x 2=．因为直线AE 的方程为：y=（x ﹣2），直线AF的方程为：y=（x﹣2），令x=3，得M（3，），N（3，），所以点P的坐标（3，（+））．直线PB的斜率为k2==（+）=•=•=•=﹣．所以k1•k2为定值﹣．21．已知函数f（x）=lnx+ax在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1（Ⅰ）求a的值（Ⅱ）若，证明：当x＞1时，（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，是否存在正数x，使得：．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得a的值；（Ⅱ）求出f（x）=lnx+x，要证原不等式成立，即证xlnx+x﹣k（x﹣3）＞0，可令g（x）=xlnx+x﹣k（x ﹣3），求出导数，判断符号，可得单调性，即可得证；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b，假设存在正数x，使得：．运用转化思想可令H（x）=（x+1）•e﹣x+x2﹣1，求出导数判断单调性，可得最小值，即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+ax的导数为f′（x）=+a，在点（t，f（t））处切线方程为y=2x﹣1，可得f′（t）=+a=2，f（t）=2t﹣1=lnt+at，解得a=t=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得f （x ）=lnx+x ，要证当x ＞1时，，即证lnx ＞k （1﹣）﹣1（x ＞1），即为xlnx+x ﹣k （x ﹣3）＞0，可令g （x ）=xlnx+x ﹣k （x ﹣3），g ′（x ）=2+lnx ﹣k ，由，x ＞1，可得lnx ＞0，2﹣k ≥0，即有g ′（x ）＞0，g （x ）在（1，+∞）递增，可得g （x ）＞g （1）=1+2k ≥0，故当x ＞1时，恒成立；（Ⅲ）对于在（0，1）中的任意一个常数b ，假设存在正数x 0，使得：．由e f （x0+1）﹣2x0﹣1+x 02=e ln （x0+1）﹣x0+x 02=（x 0+1）•e ﹣x0+x 02．即对于b ∈（0，1），存在正数x 0，使得（x 0+1）•e ﹣x0+x 02﹣1＜0，从而存在正数x 0，使得上式成立，只需上式的最小值小于0即可．令H （x ）=（x+1）•e ﹣x +x 2﹣1，H ′（x ）=e ﹣x ﹣（x+1）•e ﹣x +bx=x （b ﹣e ﹣x ），令H ′（x ）＞0，解得x ＞﹣lnb ，令H ′（x ）＜0，解得0＜x ＜﹣lnb ，则x=﹣lnb 为函数H （x ）的极小值点，即为最小值点．故H （x ）的最小值为H （﹣lnb ）=（﹣lnb+1）e lnb +ln 2b ﹣1=ln 2b ﹣blnb+b ﹣1，再令G （x ）=ln 2x ﹣xlnx+x ﹣1，（0＜x ＜1），G ′（x ）=（ln 2x+2lnx ）﹣（1+lnx ）+1=ln 2x ＞0，则G （x ）在（0，1）递增，可得G （x ）＜G （1）=0，则H （﹣lnb ）＜0．故存在正数x 0=﹣lnb ，使得．。

山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1 (含答案解析)

山东省泰安市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={0,1}，N={−1,0}，则M∩N=()A. {−1,0，1}B. {−1,1}C. {0}D. φ2.下列函数中是偶函数且在(0,1)上单调递减的是()A. y=−x13B. y=x4C. y=x12D. y=x−23.“a>1”是“lna>0”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知角α的终边经过点(−3,4)，则sin(α+π4)的值()A. √25B. √210C. −√25D. −√2105.已知正项等比数列{a n}的公比为q，a7=2q2，则a2⋅a8=()A. 1B. 2C. 3D. 46.已知函数f(x)=sin(x−π2)(x∈R)，下面结论错误的是()A. 函数f(x)的最小正周期为2πB. 函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数C. 函数f(x)的图象关于直线x=0对称D. 函数f(x)是奇函数7.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−1,x)，若a⃗//b⃗ ，则|b⃗ |=()A. √52B. 52C. √5D. 58.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则()A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定9. 如图是函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,m =0,|φ|<π2)在一个周期内的图象，则其解析式是( )．A. f (x )=3sin (x +π3) B. f (x )=3sin (2x +π3) C. f (x )=3sin (2x −π3)D. f (x )=3sin (2x +π6)10. 函数f(x)=sinx2+cosx (−π≤x ≤π)的图象大致为( )A.B.C.D.11. 在四边形ABCD 中，AD//BC ，BC =2AD ，点E 是BC 中点，F 是AE 中点，则BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −14AB ⃗⃗⃗⃗⃗+34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −34AB ⃗⃗⃗⃗⃗+14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ D. −12AB ⃗⃗⃗⃗⃗+32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 12. 已知f(x −1)=2x ，则f(3)=( )A. 2B. 4C. 6D. 8二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 扇形的周长是20，当扇形的圆心角为______ 弧度时扇形的面积最大． 14. 命题p ：∀x ∈R ，2x >x 2的否定是______． 15. 已知数列{a n }中，a 1=3，a n+1=1an −1+1，则a 2014= ______ ．16. 已知函数f (x )={|ln (x −1)|,x >12x−1+1,x ≤1，若函数g (x )=f (x )−a 有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是_________．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知向量a⃗=(−2,3)，b⃗ =(3,4)，c⃗=a⃗−2b⃗ ．(1)求b⃗ ⋅c⃗(2)若a⃗−λb⃗ 与3a⃗−b⃗ 垂直，求实数λ的值．18.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=π6.求cosA+sinC取值范围．19.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求最小正实数m，使得f(x)图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数．20.已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，等差数列{b n}满足b2=0，b6+b8=10．(Ⅰ)求数列{a n}，{b n}的通项公式；(Ⅱ)求数列{a n⋅b n}的前n项和S n．21.如图，A、B是一矩形OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°，OE=1，EF=√3，设∠AOE=α．(1)写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α)；(2)写出函数f(α)的取值范围．22.已知函数其中a>0．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2，证明：−3<f(x1)+f(x2)<−2．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵M={0,1}，N={−1,0}，∴M∩N={0}，故选：C．根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，根据题意逐项进行判断即可得到结果．解：A.函数是奇函数，错误；B.在(0,1)上y′=4x3>0，所以函数y=x4在(0,1)上是增函数，错误；C.y=x12是非奇非偶函数，错误；D.该函数是偶函数，x∈(0,1)时，y′=−2x−3<0，所以该函数在(0,1)上是减函数，正确．故选D．3.答案：C解析：本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．根据充要条件判断即可．解：若a>1推出“lna>0”，若lna>0，由对数函数得性质得a>1，所以，“a>1”是“lna>0”的充要条件，故选C．解析：由条件利用任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，求得sin(α+π4)的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正弦公式，属于基础题．解：∵角α的终边经过点(−3,4)，则sinα=45，cosα=−35，∴sin(α+π4)=sinαcosπ4+cosαsinπ4=45×√22−35×√22=√210，故选B．5.答案：D解析：本题考查了等比数列的通项公式和等比数列的性质，根据等比数列的通项公式和性质求解即可.属于基础题．由a2·a8=a52，只需求a5即可．解：a7=a1q6=2q2⇒a1q4=2⇒a5=2，所以a2·a8=a52=4，故选D．6.答案：D解析：解：∵y=sin(x−π2)=−cosx，∴T=2π，A正确；y=cosx在[0,π2]上是减函数，y=−cosx在[0,π2]上是增函数，B正确；由图象知y=−cosx关于直线x=0对称，C正确．y=−cosx是偶函数，D错误．故选D先利用三角函数的诱导公式化简f(x)，利用三角函数的周期公式判断出A对；利用余弦函数图象判断出B；利用三角函数的奇偶性判断出C，D．本题考查三角函数的诱导公式；三角函数的周期公式；三角函数的奇偶性．解析：本题考查向量的坐标运算、向量平行的性质及向量的模，属于基础题．根据题意利用向量平行的性质可得x的值，然后可得b⃗ 的模即可．解：因为向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(−1,x)，a⃗//b⃗ ，则1×x−2×(−1)=0，解得x=−2，所以b⃗ =(−1,−2)，所以|b⃗ |=√(−1)2+(−2)2=√5．故选C．8.答案：B解析：构造函数g(x)=f(x)e12x，则g′(x)=f′(x)e12x−12f(x)e12x(e12x)2=2f′(x)−f(x)2e12x>0，函数g(x)在R上单调递增，所以g(2ln2)<g(2ln3)，即f(2ln2)e ln2<f(2ln3)e ln3，即f(2ln2)2<f(2ln3)3，即3f(2ln2)<2f(2ln3)．9.答案：B解析：本题主要考查了根据已知图像求解析式的问题，属于基础题；根据已知可得A=3，且周期T=π即得ω=2，再根据(−π6,0)为第一点即可得φ．解：已知可得A=3，且周期T=56π−(−π6)=π即得ω=2，再根据(−π6,0)为第一点得−π6×2+φ=0，所以φ=π3，所以函数，故选B．10.答案：A解析：解：f(−x)=−sinx2+cosx=−f(x)则函数f(x)是奇函数，排除C，分母2+cosx>0，则当0<x<π时，sinx>0，则f(x)>0，排除D，f(π4)=√222+√22=√24+√2<f(π2)=12，则B不满足条件．故选：A．。

人教A版2019-2020学年山东省泰安市高三上学期期末数学试卷含解析

2019-2020学年高三上学期期末数学试卷一、选择题1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4} B．{x|1＜x＜4} C．{1，2，3} D．{2，3}2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2 C．i D．13．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3 D．﹣4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．若，则a+2b的最小值为（）A．6 B．C．3 D．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，则夏至的晷长为尺．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝，的最小值为．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①函数f（x）＝sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，g（x）图象关于原点对称；②向量＝（sinωx，cos2ωx），＝（cosωx，），ω＞0，f（x）＝•；③函数（ω＞0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知，函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）若0＜θ＜，求f（θ）的值；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5＝12，S4＝16．（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T k＝3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为等腰直角三角形，∠APC＝90°，△ABC为正三角形，D为A的中点，AC＝2．（1）证明：PB⊥AC；（2）若三棱锥P﹣ABC的体积为，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．20．如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，∠A＝90°，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE＝α，试求花卉种植面积S（α）的取值范围．21．已知椭圆E：的离心率e满足2e2﹣3e+2＝0，右顶点为A，上顶点为B，点C（0，﹣2），过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．（1）求椭圆E的方程；（2）证明：S△BOM•S△BCN为定值．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax．（1）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）≤1；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣．有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：h（x1）+h（x2）＞2．参考答案一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4} B．{x|1＜x＜4} C．{1，2，3} D．{2，3}【分析】可以求出集合A，B，然后进行补集和交集的运算即可．解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．故选：D．2．复数z满足，则|z|＝（）A．2i B．2 C．i D．1【分析】根据已知条件，先求出复数z的代数形式，代入模长公式即可．解：依题意，因为复数z满足，所以z＝＝＝i，所以|z|＝1，故选：D．3．已知向量＝（3，﹣4），＝（6，﹣3），＝（2m，m+1）．若，则实数m的值为（）A．B．C．﹣3 D．﹣【分析】先求得得＝＝（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值，可得结论．解：由题意可得＝＝（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m＝﹣3，故选：C．4．函数f（x）＝的部分图象是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由排除法分析：分析可得f（x）为奇函数，排除B，结合函数的解析式可得当0＜x＜1时，f（x）＜0，排除C，当x＞1时，f（x）＞0，排除D；据此即可得答案．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，又由f（﹣x）＝＝﹣f（x），即函数f（x）为奇函数，排除B，当0＜x＜1时，ln|x|＝lnx＜0，x3＞0，则有f（x）＜0，排除C，当x＞1时，ln|x|＝lnx＞0，x3＞0，则有f（x）＞0，排除D，故选：A．5．“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】设f（x）＝a sin x+1，分类求得函数的值域，由∃x0∈R，a sin x0+1＜0求得a 的范围，可知“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的不必要条件；取，当a ＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立，说明“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分条件．解：必要性：设f（x）＝a sin x+1，当a＞0时，f（x）∈[1﹣a，1+a]，∴1﹣a＜0，即a＞1；当a＜0时，f（x）∈[1+a，1﹣a]，∴1+a＜0，即a＜﹣1．故a＞1或a＜﹣1；充分性：取，当a＜﹣1时，a sin x0+1＜0成立．∴“a＜﹣1”是“∃x0∈R，a sin x0+1＜0”的充分不必要条件．故选：A．6．若，则a+2b的最小值为（）A．6 B．C．3 D．【分析】，变形log3（2a+b）＝1+log3ab，可得a，b＞0，+＝3，可得a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++），利用基本不等式的性质即可得出．解：，∴log3（2a+b）＝1+log3ab，∴2a+b＝3ab，a，b＞0．化为：+＝3．则a+2b＝（a+2b）（+）＝（5++）≥（5+2×2）＝3，当且仅当a＝b＝1时取等号．故选：C．7．已知圆C：x2+y2﹣10y+21＝0与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（）A．B．C．D．【分析】由双曲线的标准方程写出渐近线方程，利用圆心到切线的距离d＝r，列方程求出离心率e＝的值．解：双曲线﹣＝1的渐近线方程为bx±ay＝0，圆C：x2+y2﹣10y+21＝0化为标准方程是：x2+（y﹣5）2＝4，则圆心C（0，5）到直线bx﹣ay＝0的距离为d＝r；即＝＝2，解得＝，即双曲线的离心率是e＝．故选：C．8．已知正三棱锥S﹣ABC的侧棱长为4，底面边长为6，则该正三棱锥外接球的表面积是（）A．16πB．20πC．32πD．64π【分析】正棱锥的外接球的球心在顶点向底面做投影所在的直线上，先求底面外接圆的半径，再由勾股定理求锥的高，由勾股定理求出外接球的半径，由球的表面积公式求出表面积．解：如图所示：由正棱锥得，顶点在底面的投影是三角形ABC的外接圆的圆心O'，接圆的半径r，正三棱锥的外接球的球心在高SO'所在的直线上，设为O，连接OA得，：r＝，∴r＝2，即O'A＝2，所以三棱锥的高h＝＝＝6，由勾股定理得，R2＝r2+（R﹣h）2，解得：R＝4，所以外接球的表面积S＝4πR2＝64π．故选：D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（）A．若a＞b，c＞d，则ac＞bdB．若ab＞0，bc﹣ad＞0，则C．若a＞b，c＞d，则a﹣d＞b﹣cD．若a＞b，c＞d＞0，则【分析】利用不等式的基本性质，或者反例判断选项的正误即可．解：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd，所以A不正确；若ab＞0，bc﹣ad＞0，可得，即﹣＞0，所以B正确；若a＞b，c＞d，则a+c＞b+d，即a﹣d＞b﹣c，所以C正确；若a＞b，c＞d＞0，则．不正确，反例a＝1，b＝﹣1，c＝﹣2，d＝﹣3，显然，，所以D不正确．故选：BC．10．已知α，β是两个不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若m∥n，m⊥α，则n⊥αB．若m∥α，α∩β＝n，则m∥nC．若m⊥α，m⊥β，则α∥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α∥β【分析】利用空间线面、面面位置关系的判定即可得出结论．解：A．由m∥n，m⊥α，则n⊥α，正确；B．由m∥α，α∩β＝n，则m与n的位置关系不确定；C．由m⊥α，m⊥β，则α∥β正确D．由m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β，因此不正确．故选：AC．11．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（）A．B．C．D．【分析】利用向量的加法法则，先用，进而表示出．解：由AB＝2AD＝2DC知：∵，∴＝＝，故A选项正确．又∵，∴＝＝＝，故B选项正确．∵，∴＝，故C正确．∵＝＝，D不正确．故选：ABC．12．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），则下列命题正确的是（）A．当x＞0时，f（x）＝﹣e﹣x（x﹣1）B．函数f（x）有3个零点C．f（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|＜2【分析】函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，可得f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，进而判断出结论．解：函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），设x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）＝e﹣x（﹣x+1），∴f（x）＝﹣f（﹣x）＝e﹣x（x﹣1），x＝0时，f（0）＝0．因此函数f（x）有三个零点：0，±1．当x＜0时，f（x）＝e x（x+1），f′（x）＝）＝e x（x+2），可得x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，f（﹣2）＝．可得其图象：f（x）＜0时的解集为：（﹣∞，﹣1）∪（0，1）．∀x1，x2∈R，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤|f（0+）﹣f（0﹣）|＜2．因此BCD都正确．故选：BCD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b2+c2﹣a2＝bc，则tan B＝ 4 ．【分析】先由余弦定理求出cos A的值，结合正弦定理进行化简即可．解：由b2+c2﹣a2＝bc得cos A＝＝＝，则sin A＝，若，则+＝＝1，即+＝1，得＝，得tan B＝4，故答案为：4．14．我国古代的天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（guǐ）长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，则夏至的晷长为 1.5 尺．【分析】利用等差数列的前n项和公式和通项公式列出方程组，能求出夏至的晷长．解：∵夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续的十二个节气，其晷长依次成等差数列{a n}，经记录测算，这十二节气的所有晷长之和为84尺，夏至、处暑、霜降三个节气晷长之和为16.5尺，∴，解得d＝1，a1＝1.5．∴夏至的晷长为1.5尺．故答案为：1.5．15．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（4，0），过F作直线l交抛物线于M，N两点，则p＝8 ，的最小值为．【分析】先有焦点坐标求出p，再讨论当直线l的斜率不存在时，求出答案，当直线l 的斜率存在时，根据韦达定理和抛物线的定义即可求出+＝，代入，根据基本不等式即可求最小值解：抛物线y2＝2px的焦点F，因为F（4，0），∴＝4⇒p＝8⇒y2＝16x；当直线l的斜率不存在时，直线l为x＝4，由，可得M（4，8），N（4，﹣8），∴|MF|＝|NF|＝8，∴＝﹣＝；当直线l的斜率存在时，设过点F作直线l的方程为y＝k（x﹣4），不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），由，消y可得k2x﹣（16+8k2）x+16k2＝0，∴x1+x2＝8+，x1x2＝16，∴|MF|＝x1+＝x1+4，|NF|＝x2+＝x2+4，∴+＝+＝＝＝．∴＝﹣4（﹣）＝+﹣1≥2﹣1＝．（当且仅当|NF|＝时等号成立）．故答案为：8，．16．设函数f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，若不等式f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，则实数a的取值范围是{a|a≤2e﹣1} ．【分析】由已知可得f（x）＝e x﹣x+t，且f（t）＝e t，进而可求t及f（x），然后代入已知不等式，结合恒成立与最值求解的相互转化可求．解：令t＝f（x）﹣e x+x，所以f（x）＝e x﹣x+t，因为f（x）在定义域（0，+∞）上是单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣e x+x]＝e，故t为常数且f（t）＝e t＝e，所以，t＝1，f（x）＝e x﹣x+1，f′（x）＝e x﹣1因为f（x）+f'（x）≥ax对x∈（0，+∞）恒成立，所以2e x≥（a+1）x对x∈（0，+∞）恒成立，即a+1对x∈（0，+∞）恒成立，令g（x）＝，x＞0，则g′（x）＝，当x＞1时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当0＜x＜1时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x＝1时，函数取得最小值g（1）＝2e，故a+1≤2e即a≤2e﹣1．故答案为：{a|a≤2e﹣1}．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在①函数f（x）＝sin（2ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向右平移个单位长度得到g（x）的图象，g（x）图象关于原点对称；②向量＝（sinωx，cos2ωx），＝（cosωx，），ω＞0，f（x）＝•；③函数（ω＞0）这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知选条件①，函数f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距离为．（1）若0＜θ＜，求f（θ）的值；（2）求函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】首先利用对称轴之间的距离求出函数的周期，进一步利用函数的关系式的平移变换和伸缩变换的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的值和单调区间．解：方案一：选条件①由题意可知，，∴ω＝1，∴，∴．又函数g（x）图象关于原点对称，∴，∵，∴，∴．（1）∵，∴，∴＝＝．（2）由解得．令令，∴函数f（x）在[0，2π]上的单调递减区间为．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a2+a5＝12，S4＝16．（1）求{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足b n＝为数列{b n}的前n项和，是否存在正整数m，k（1＜m＜k），使得T k＝3T m2？若存在，求出m，k的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设等差数列{a n}的公差为d，利用已知条件列出方程求解首项与公差，得到通项公式．（2）求出，化简{b n}的通项公式，利用裂项消项法求和，通过，分析求解即可．解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，由，解得∴．（2），∴．∴T n＝b1+b2+…+b n＝＝＝．若，则整理得，又k＞m＞1∴整理得解得，又m∈N*∴m＝2，∴k＝12．∴存在m＝2，k＝12满足题意．19．如图，在三棱锥P﹣ABC中，△PAC为等腰直角三角形，∠APC＝90°，△ABC为正三角形，D为A的中点，AC＝2．（1）证明：PB⊥AC；（2）若三棱锥P﹣ABC的体积为，求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．【分析】（1）证明PD⊥AC．BD⊥AC．然后证明AC⊥平面PBD．即可证明PB⊥AC．（2）说明PD⊥平面ABC，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PBC的一个法向量，平面PAC的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：∵△PAC为等腰直角三角形，D为中点，∴PD⊥AC．又△ABC为正三角形，D为中点，∴BD⊥AC．又PD∩BD＝D，PD，BD平面PBD，∴AC⊥平面PBD．又PB平面PBD，∴PB⊥AC．（2）解：设三棱锥P﹣ABC的高为h，，∴＝＝，∴h＝1．又，∴PD⊥平面ABC，如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系D﹣xyz，则∴，设＝（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，则令，∴，又是平面PAC的一个法向量，∴，∴二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．20．如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC，∠A＝90°，BC长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC的中点D引出两条成45°的线段DE和DF，与AB和AC围成四边形区域AEDF，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设∠BDE＝α，试求花卉种植面积S（α）的取值范围．【分析】由题意在△BDE中由正弦定理得，在△DCF中由正弦定理得，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BDE+S△DCF＝，进而可求S（α）＝，结合题意可求范围，利用正弦函数的性质即可求解花卉种植面积S （α）取值范围．解：在△BDE中，∠BED＝，由正弦定理得，∴，在△DCF中，，由顶线定理得，∴，∴＝＝＝＝＝＝＝＝＝，∴S（α）＝S△ABC﹣（S△BDE+S△DCF）＝，∴AEDF为四边形区域，∴，∴，∴，∴，∴花卉种植面积S（α）取值范围是．21．已知椭圆E：的离心率e满足2e2﹣3e+2＝0，右顶点为A，上顶点为B，点C（0，﹣2），过点C作一条与y轴不重合的直线l，直线l交椭圆E于P，Q两点，直线BP，BQ分别交x轴于点M，N；当直线l经过点A时，l的斜率为．（1）求椭圆E的方程；（2）证明：S△BOM•S△BCN为定值．【分析】（1）由求出离心率，结合AC的斜率，转化求解a，b，即可得到椭圆方程．（2）设直线l的方程为y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（2k2+1）x2﹣8kx+6＝0，利用韦达定理以及弦长公式，结合三角形的面积，转化求解即可．解：（1）由解得，∴，又，∴，∴b＝1，∴椭圆E的方程为．（2）由题知，直线l的斜率比存在，设直线l的方程为y＝kx﹣2，P（x1，y1），Q（x2，y2）由得（2k2+1）x2﹣8kx+6＝0，△＝（﹣8k）2﹣4×6×（2k2+1）＝16k2﹣24＞0，∴，直线BP的方程为，令y＝0解得∴，同理可得，，y1y2＝（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝k2x1x2﹣2k（x1+x2）+4＝，∴＝＝＝，∴S△BOM•S△BON为定值．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax．（1）当a＞0时，设函数f（x）的最小值为g（a），证明：g（a）≤1；（2）若函数h（x）＝f（x）﹣．有两个极值点x1，x2（x1＜x2），证明：h（x1）+h（x2）＞2．【分析】（1）先求得g（a），再利用导数研究函数g（a）的最值即可；（2）先得到a＞1，且x1＜0＜x2，再转化得到，构造新函数m（x）＝e x+e﹣x﹣x2（x≥0），即可得证．【解答】证明：（1）f'（x）＝e x﹣a（a＞0），令f'（x）＝0，解得x＝lna，当x＞lna时，f'（x）＞0，当x＜lna时，f'（x）＜0，∴f（x）min＝f（lna）＝a﹣alna，∴g（a）＝a﹣alna（a＞0），令g（x）＝x﹣xlnx（x＞0），g'（x）＝﹣lnx，令g'（x）＝0，解得x＝1，∴当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，∴g（x）max＝g（1）＝1，∴g（x）≤1，∴当a＞0时，g（a）≤1；（2），h'（x）＝e x﹣a﹣x，令φ（x）＝e x﹣a﹣x，φ'（x）＝e x﹣1，令φ'（x）＝0，解得x＝0，当x＞0时，φ'（x）＞0，当x＜0时，φ'（x）＜0，∴φ（x）min＝φ（0）＝1﹣a，又函数h（x）有两个极值点，∴1﹣a＜0，∴a＞1，且x1＜0＜x2，当x∈（﹣∞，x1）时，h（x）单调递增，当x∈（x1，0）时，h（x）单调递减，∴当x∈（﹣∞，0）时，h（x）≤h（x1）又﹣x2∈（﹣∞，0），∴h（﹣x2）≤h（x1），∴，令m（x）＝e x+e﹣x﹣x2（x≥0），令n（x）＝m'（x），，∴n（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m'（x）＝n（x）≥n（0）＝0，∴m（x）在[0，+∞）上单调递增，∴m（x）≥m（0）＝2，∵x2＞0，∴即h（﹣x2）+h（x2）＞2，∴h（x1）+h（x2）＞2．。

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题含答案

2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为（结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分）又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩　. 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分）在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分）（2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分）（2）由，且当时，，当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即，即在区间上恒成立，（11分）令，∵ ，∴ ，在上单调递增，∴ ，解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ，推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分）（3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分）由于右边大于，则，即，考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分）当时，，代入（**）式得，解得；当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。

山东省泰安市2019届高三上学期期末考试数学(文)试题含答案

2018-2019学年山东省泰安市高三（上）期末数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则∁U（M∩N）＝（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}2．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，x02+4x0+6≥0B．∃x0∈R，x02+4x0+6＞0C．∀x∈R，x02+4x0+6＞0D．∃x0∈R，x02+4x0+6≥03．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2，则y＝f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，3）4．（5分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）的值为（）A．B．C．D．5．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1（n∈N*），S n为其前n项和，则S5的值为（）A．57B．61C．62D．636．（5分）设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则（）A．＝﹣B．＝﹣C．＝﹣D．＝﹣7．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．8．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象只将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．当x∈[﹣]时，函数f（x）的最小值为D．函数f（x）在[]上单调递增11．（5分）设F1、F2是双曲线x2﹣＝1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•＝0（O为坐标原点）且且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（）A．2B．C．3D．12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）＞1，f（2）＝，则关于x的不等式f（x）＜3﹣的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（0，1）D．（0，2）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝lnx+1在点（1，1）处的切线方程为．14．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的渐近线的距离是．15．（5分）若实数x，y满足，则z＝﹣x+y的最小值为．16．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若＝x，＝y，其中x，y∈R，则x+4y的最小值是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2a sin（C+）＝．（1）求角A的值．（2）若b＝3，c＝4，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝3，S4＝16，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝n．（1）求{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．19．（12分）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点E是AB的中点，点F是CD 的中点，分别沿DE．BF将△ADE和△CBF折起，使得平面ADE∥平面CBF（点A、C在平面EFDE 的同侧），连接AC、CE，如图2所示．（1）求证：CE⊥BF；（2）当AD＝2，且平面CBF⊥平面BFDE时，求三棱锥C﹣BEF的体积．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的离心率为，抛物线C2：y2＝﹣4x的准线被椭圆C1截得的线段长为．（1）求椭圆C1的方程；（2）如图，点A、F分别是椭圆C1的左顶点、左焦点直线l与椭圆C1交于不同的两点M、N（M、N都在x轴上方）．且∠AFM＝∠OFN．证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝alnx﹣x．（1）若f（x）无零点，求实数a的取值范围．（2）若a＝1，证明：xf′（x）＜e x﹣2x2．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（β为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为＝．（1）求曲线C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于M，N两点，与x轴交于点P，求|PM|•|PN|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣m|，m∈R．（1）当m＝3时，解不等式f（x）≥3．（2）若存在x0满足f（x0）＜2﹣|x0﹣1|，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）设集合U＝{1，2，3，4}，M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，则∁U（M∩N）＝（）A．{1，2}B．{2，3}C．{2，4}D．{1，4}【解答】解：∵M＝{1，2，3}，N＝{2，3，4}，∴M∩N＝{2，3}，则∁U（M∩N）＝{1，4}，故选：D．2．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为（）A．∀x∈R，x02+4x0+6≥0B．∃x0∈R，x02+4x0+6＞0C．∀x∈R，x02+4x0+6＞0D．∃x0∈R，x02+4x0+6≥0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：∃x0∈R，x02+4x0+6＜0，则￢p为∀x∈R，x02+4x0+6≥0．故选：A．3．（5分）已知函数f（x）＝lnx+x2﹣2，则y＝f（x）的零点所在的区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（2，3）【解答】解：函数f（x）＝lnx+x2﹣2，是定义域内的连续函数，f（1）＝ln1+1﹣2＝﹣1＜0，f（2）＝ln2+4﹣2＝2+ln2＞0，所以根据根的存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B．4．（5分）已知tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）的值为（）A．B．C．D．【解答】解：tan（α+β）＝，tan（β﹣）＝，则tan（α+）＝tan（（α+β）﹣（β﹣））＝＝＝．故选：C．5．（5分）已知数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝2a n+1（n∈N*），S n为其前n项和，则S5的值为（）A．57B．61C．62D．63【解答】解：由a n+1＝2a n+1∴a n+1+1＝2（a n+1），∵a1＝1，∴所以{a n+1}是以2为公比，2为首项的等比数列，所以a n+1＝2•2n﹣1＝2n，∴a n＝2n﹣1，∴S n＝（2﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n﹣1）＝（2+22+23+…+2n）﹣n，＝﹣n，S n＝2n+1﹣n﹣2．＝2n+1﹣n﹣2．∴当n＝5时，S5＝64﹣5﹣2＝57，故选：A．6．（5分）设D是△ABC所在平面内一点，＝2，则（）A．＝﹣B．＝﹣C．＝﹣D．＝﹣【解答】解：，，∴＝＝．故选：D．7．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）＝＝﹣＝﹣f（x），∴f（x）是奇函数，故f（x）的图象关于原点对称，当x＞0时，f（x）＝，∴当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，故选：A．8．（5分）若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若m⊂β，α⊥β，则m⊥αB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m⊂β，α⊥β，则m与α相交、平行或m⊂α，故A错误；在B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥β，m∥α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故C正确；在D中，若α⊥γ，α⊥β，则β与γ相交或平行，故D错误．故选：C．9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由左右两部分组成的，左边是半圆锥，右边是一个圆柱．∴该几何体的表面积＝++π×12+2π×1×2+＝+1．故选：C．10．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数f（x）的图象只将y＝cos2x的图象向右平移个单位B．函数f（x）的图象关于直线x＝对称C．当x∈[﹣]时，函数f（x）的最小值为D．函数f（x）在[]上单调递增【解答】解：函数f（x）＝A sin（ωx+φ）中，A＝，＝，∴T＝π，ω＝＝2，又f（x）的图象关于点（﹣，0）对称，∴ωx+φ＝2×（﹣）+φ＝kπ，解得φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝；∴f（x）＝sin（2x+）；对于A，y＝cos2x向右平移个单位，得y＝cos2（x﹣）＝cos（2x﹣）的图象，且y＝cos（2x﹣）＝cos（﹣2x）＝sin（2x+），∴A正确；对于B，x＝时，f（）＝sin（2×+）＝0，f（x）的图象不关于x＝对称，B 错误；对于C，x∈[﹣，]时，2x+∈[﹣，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，f（x）的最小值为﹣，C错误；对于D，x∈[，]时，2x+∈[，]，f（x）是单调递减函数，D错误．故选：A．11．（5分）设F1、F2是双曲线x2﹣＝1的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点P，使（+）•＝0（O为坐标原点）且且|PF1|＝λ|PF2|，则λ的值为（）A．2B．C．3D．【解答】解：由题意得a＝1，b＝2，∴c＝，F1（﹣，0），F2（，0），e＝．设点P（，m），∵＝（+，m）•（﹣，m）＝1+﹣5+m2＝0，m2＝，m＝±．由双曲线的第二定义得e＝＝，∴|PF2|＝2，∴|PF1|＝2a+|PF2|＝4，∴λ＝＝＝2，故选：A．12．（5分）定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足x2f′（x）＞1，f（2）＝，则关于x的不等式f（x）＜3﹣的解集为（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，2）C．（0，1）D．（0，2）【解答】解：根据题意，令g（x）＝f（x）+，（x＞0）其导数g′（x）＝f′（x）﹣＝，若函数f（x）满足x2f′（x）＞1，则有g′（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上为增函数，又由f（2）＝，则g（2）＝f（2）+＝3，f（x）＜3﹣⇒f（x）+＜3⇒g（x）＜g（2），又由g（x）在（0，+∞）上为增函数，则有0＜x＜2；即不等式的解集为（0，2）；故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝lnx+1在点（1，1）处的切线方程为y＝x．【解答】解：函数f（x）＝lnx+1，可得f′（x）＝，故f（1）＝1，f′（1）＝1．函数f（x）＝lnx+1在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1＝x﹣1，即y＝x．故切线方程是y＝x；故答案为：y＝x．14．（5分）抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2﹣＝1的渐近线的距离是．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点在x轴上，且p＝2，∴抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），由题得：双曲线x2﹣＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴F到其渐近线的距离d＝＝．故答案为：．15．（5分）若实数x，y满足，则z＝﹣x+y的最小值为﹣1．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z＝﹣x+y得y＝x+z，平移直线y＝x+z，由图象知，当直线y＝x+z经过点A时，直线的距离最小，此时z最小，由得，即A（，﹣），此时z＝﹣×﹣＝﹣﹣＝﹣1，故答案为：﹣116．（5分）在△ABC中，D是BC的中点，H是AD的中点，过点H作一直线MN分别与边AB，AC交于M，N，若＝x，＝y，其中x，y∈R，则x+4y的最小值是．【解答】解：解：如图所示，△ABC中，D为BC边的中点，H为AD的中点，∵＝x，＝y，∴＝＝x＝，∴＝，同理，＝+（﹣y），∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ（λ＜0），即（﹣x）+＝λ[+（﹣y）]，∴，解得x＝，y＝，∴x+4y＝（1﹣λ）+（1﹣）＝+（﹣λ﹣）≥，当且仅当λ＝﹣即λ＝﹣2时，“＝”成立；∴x+4y的最小值是，故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第23题为选考题，考生根据要求作答．17．（12分）已知a，b，c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2a sin（C+）＝．（1）求角A的值．（2）若b＝3，c＝4，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．【解答】解：（1）△ABC中，2a sin（C+）＝b，∴2sin A sin（C+）＝sin（A+C），∴sin A sin C+sin A cos C＝sin A cos C+cos A sin C，∴sin A sin C＝cos A sin C，∴tan A＝，∴A＝60°；（2）如图所示，设AD＝x，BC2＝32+42﹣2×3×4cos60°＝13，∴BC＝，CD＝﹣x；由余弦定理得16＝x2+x2﹣2x•x•cos∠ADB，…①9＝x2+﹣2x（﹣x）cos（π﹣∠ADB），…②由①②解得x＝，即AD的长为．18．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝3，S4＝16，数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n＝n．（1）求{b n}的通项公式；（2）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（1）设首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝3，S4＝16，所以：，解得：a1＝1，d＝2，所以：a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，由于a1b1+a2b2+…+a n b n＝n．故：1•b1+3•b2+…+（2n﹣1）b n＝n①，所以：当n≥2时，1•b1+3•b2+…+（2n﹣3）b n＝n﹣1②，①﹣②得：（2n﹣1）b n＝1，所以：，当n＝1时b1＝1（首项符合通项），故：，（2）由于，所以：＝，故：，＝，＝．19．（12分）如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点E是AB的中点，点F是CD 的中点，分别沿DE．BF将△ADE和△CBF折起，使得平面ADE∥平面CBF（点A、C在平面EFDE 的同侧），连接AC、CE，如图2所示．（1）求证：CE⊥BF；（2）当AD＝2，且平面CBF⊥平面BFDE时，求三棱锥C﹣BEF的体积．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝2AD，∠DAB＝60°，点F是CD的中点，∴CF＝CB，又∠FCB＝60°，∴△CBF为等边三角形，连接EF，由BF＝CB＝BE，∠EBF＝∠CFB＝60°，得△BEF为等边三角形．取BF的中点O，连接OC，OE，则CO⊥BF，EO⊥BF．∴BF⊥平面COE，则BF⊥CE；（2）解：由（1）知，CO⊥BF，又平面CBF⊥平面BFDE，则CO⊥平面BFDE，又OE⊥BF，∵AD＝2，AB＝2AD＝4，∠DAB＝60°，∴CO＝，S．∴三棱锥C﹣BEF的体积V＝．20．（12分）已知椭圆C1：＝1（a＞b＞0）的离心率为，抛物线C2：y2＝﹣4x的准线被椭圆C1截得的线段长为．（1）求椭圆C1的方程；（2）如图，点A、F分别是椭圆C1的左顶点、左焦点直线l与椭圆C1交于不同的两点M、N（M、N都在x轴上方）．且∠AFM＝∠OFN．证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线C2的准线方程为x＝1，又椭圆C1被准线截得弦长为，∴点（1，）在椭圆上，∴+＝1，①又e＝＝，∴e2＝＝，∴a2＝2b2，②，由①②联立，解得a2＝2，b2＝1，∴椭圆C1的标准方程为：+y2＝1，（2）设直线l：y＝kx+m，设M（x1，y1），N（x2，y2），把直线l代入椭圆方程，整理可得（2k2+1）x2+4km+2m2﹣2＝0，△＝16k2m2﹣4（2k2+1）（2m2﹣2）＝16k2﹣8m2+8＞0，即2k2﹣m2+1＞0，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∵k FM＝，k FN＝，∵M、N都在x轴上方）．且∠AFM＝∠OFN，∴k FM＝﹣k FN，∴＝﹣，即（kx1+m）（x2+1）＝﹣（kx2+m）（x1+1），整理可得2kx1x2+（k+m）（x1+x2）+2m＝0，∴2k•+（k+m）（﹣）+2m＝0，即4km2﹣4k﹣4k2m﹣4km2+4k2m+2m＝0，整理可得m＝2k，∴直线l为y＝kx+2＝k（x+2），∴直线l过定点（2，0）21．（12分）设a∈R，函数f（x）＝alnx﹣x．（1）若f（x）无零点，求实数a的取值范围．（2）若a＝1，证明：xf′（x）＜e x﹣2x2．【解答】解：（1）∵f（x）＝alnx﹣x，∴f（x）定义域是（0，+∞）又f′（x）＝﹣1＝，①当a＝0时，无零点；②当a＜0时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上为减函数，又f（1）＝﹣1当x→0时，f（x）→+∞，所以f（x）有唯一的零点；③当a＞0时，∴f（x）在（0，a）递增，在（a，+∞）递减，∴f（a）＝alna﹣a＜0，则只要lna﹣1＜0，即lna＜1，∴a＜e而a＞0，∴0＜a＜e，综上所述：所求a的范围是[0，e）．（2）a＝1时，f（x）＝lnx﹣x，f′（x）＝﹣1，要证xf′（x）＜e x﹣2x2，问题转化为证明1﹣x＜e x﹣2x2，整理得：e x﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）恒成立，令g（x）＝e x﹣2x2+x﹣1＞0，（x＞0），g′（x）＝e x﹣4x+1，g″（x）＝e x﹣4，故g′（x）在（0，2ln2）递减，在（2ln2，+∞）递增，故g′（x）min＝g′（2ln2）＝5﹣8ln2＜0，g′（0）＝2＞0，g′（2）＞0，故存在a∈（0，2ln2]，b∈（2ln2，2），使得g′（a）＝g′（b）＝0，故当0＜x＜a或x＞b时，g′（x）＞0，g（x）递增，当a＜x＜b时，g′（x）＜0，g（x）递减，故g（x）的最小值是g（0）＝0或g（b），由g′（b）＝0，得e b＝4b﹣1，g（b）＝e b﹣2b2+b﹣1＝﹣2b2+5b﹣2＝﹣（b﹣2）（2b﹣1），∵b∈（2ln2，2），故g（b）＞0，故x＞0时，g（x）＞0，原不等式成立．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（β为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线l的极坐标方程为＝．（1）求曲线C的极坐标方程与直线l的直角坐标方程；（2）已知直线l与曲线C交于M，N两点，与x轴交于点P，求|PM|•|PN|．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为（β为参数），∴曲线C的普通方程为x2+（y﹣1）2＝4，即x2+y2﹣2y﹣3＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣2ρsinθ﹣3＝0．∵直线l的极坐标方程为＝．∴＝，即ρcosα+ρsinα＝2，∴直线l的直角坐标方程为x+y﹣2＝0．（2）联立，得或，∴可设M（，），N（，），在直线l：x+y﹣2＝0中，令y＝0，得P（2，0），∴|PM|＝＝，|PN|＝＝，∴|PM|•|PN|＝＝1．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|+|2x﹣m|，m∈R．（1）当m＝3时，解不等式f（x）≥3．（2）若存在x0满足f（x0）＜2﹣|x0﹣1|，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）m＝3时，f（x）≥3⇔或或，解得x或x，∴f（x）≥3的解集为{x|x或x}；（2）若存在x0满足f（x0）＜2﹣|x0﹣1|等价于|2x﹣2|+|2x﹣m|＜2有解，∵|2x﹣2|+|2x﹣m|≥|m﹣2|，∴|m﹣2|＜2，解得0＜m＜4，实数m的取值范围是（0，4）．。

2019届山东省泰安市高三上学期期末考试数学(文)试题(解析版)

2019届山东省泰安市高三上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．设集合U={}1,2,3,4,{}1,2,3,M ={}2,3,4,N =则U =M N ⋂（）ðA ．{}12，B ．{}23，C ．{}24，D ．{}14，【答案】D【解析】{}(){}2,3,1,4U M N M N ⋂=∴⋂= ð2．已知命题，则为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】依据存在性命题的否定形式必是全称性命题，由此可知答案A 是正确的，应选答案A 。

3．已知函数，则的零点所在的区间为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用零点存在性定理进行判断区间端点处的值的正负，即可得到选项．【详解】函数，是定义域内的连续函数，，，所以根据零点存在性定理可知在区间（1，2）内函数存在零点．故选：B．【点睛】本题主要考查函数零点的判断，利用零点存在性定理是解决本题的关键．4．已知，则的值为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：，，,故选C.【考点】1、两角差的正切公式；2、特殊角的三角函数.5．已知数列中，，为其前项和，则的值为（）A．57B．61C．62D．63【答案】A【解析】试题分析：由条件可得，所以，故选A.【考点】1.数列的递推公式；2.数列求和.6．设是所在平面内一点，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】试题分析：，故选D．【考点】平面向量的线性运算．7．函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】判断f（x）的奇偶性，及f（x）的函数值的符号即可得出答案．【详解】∵f（﹣x）f（x），∴f（x）是奇函数，故f（x）的图象关于原点对称，当x＞0时，f（x），∴当0＜x＜1时，f（x）＜0，当x＞1时，f（x）＞0，故选：A．【点睛】本题考查了函数的图象判断，一般从奇偶性、单调性、零点和函数值等方面判断，属于中档题．8．若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】试题分析：对于选项A,当且仅当平面的交线的时，命题才成立，即原命题不成立；对于选项B，若，则直线可能异面，可能平行还可能相交，所以原命题为假命题；对于选项C，由，可得平面内一定存在直线与直线平行，进而得出该直线垂直于平面，所以原命题为真命题；对于选项D，若，则平面与平面相交或垂直，所以原命题为假命题，故应选．【考点】1、空间直线与直线的位置关系；2、空间直线与平面的位置关系．9．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个圆柱和半个圆锥的组合体，故其表面积为π＋1＋2π×2＋π＝＋1.故答案为;C.10．已知函数的最大值为，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且的图象关于点对称，则下列判断正确的是（）A．要得到函数的图象只将的图象向右平移个单位B．函数的图象关于直线对称C．当时，函数的最小值为D．函数在上单调递增【答案】A【解析】利用题设中的图像特征求出函数的解析式后可判断出A是正确的.【详解】因为的最大值为，故，又图象相邻两条对称轴之间的距离为，故即，所以，令，则即，因，故，.，故向右平移个单位后可以得到，故A正确；，故函数图像的对称中心为，故B错；当时，，故，故C错；当时，，在为减函数，故D错.综上，选A.【点睛】已知的图像，求其解析式时可遵循“两看一算”，“两看”指从图像上看出振幅和周期，“一算”指利用最高点或最低点的坐标计算.而性质的讨论，则需要利用复合函数的讨论方法把性质归结为的相应的性质来处理（把看成一个整体）.11．设是双曲线的左、右两个焦点，若双曲线右支上存在一点，使（为坐标原点）且，则的值为（）A．2B．C．3D．【答案】A【解析】由已知中，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得是以直角的直角三角形，进而根据是双曲线右支上的点，及双曲线的性质结合勾股定理构造方程可得的值，进而求出的值.【详解】由双曲线方程，可得，，又，，，，故是以直角的直角三角形，又是双曲线右支上的点，，由勾股定理可得，解得，故，故选B.【点睛】本题主要平面向量的几何运算，考查双曲线的标准方程，双曲线的定义与简单性质，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.12．定义在上的函数满足，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意，令g（x）＝f（x），（x＞0），对其求导分析可得g（x）在（0，+∞）上为增函数，原不等式可以转化为g（x）＜g（2），结合函数g（x）的单调性分析可得答案．【详解】根据题意，令其导数，若函数满足，则有，即在上为增函数，又由，则，，又由在上为增函数，则有；即不等式的解集为（0，2）；故选：D．【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，构造函数g（x）是解题的关键．二、填空题13．函数在点（1，1）处的切线方程为_____．【答案】【解析】求出函数的导数，计算f′（1），求出切线方程即可；【详解】函数，可得，故，．函数在点（1，1）处的切线方程为：，即．所以切线方程是；故答案为：．【点睛】本题考查导数的应用以及切线方程问题，是基本知识的考查．14．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离是_____．【答案】【解析】双曲线的焦点到渐近线距离为的焦点到渐近线距离为.15．若实数满足，则的最小值为_____．【答案】【解析】试题分析：由题意，得，作出不等式组对应的平面区域如图，由得，平移直线,由图象知,当直线经过点时，直线的距离最小，此时最小，由和,即，此时，故答案为：.【考点】简单线性规划.16．在中，是的中点，是的中点，过点作一直线分别与边，交于，若，其中，则的最小值是_____．【答案】【解析】根据题意，画出图形，结合图形，利用与共线，求出与的表达式再利用基本不等式求出的最小值即可.【详解】中，为边的中点，为的中点，且，，，同理，，又与共线，存在实数，使，即，，解得，，当且仅当时，“=”成立，故答案为.【点睛】本题主要考查向量的几何运算及基本不等式的应用，属于难题．向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．三、解答题17．已知分别是三个内角的对边，且．（1）求角的值．（2）若，点在边上，，求的长．【答案】（1）；（2）【解析】（1）利用正弦定理化简2a sin（C）b，再利用三角恒等变换求出A的值；（2）根据题意画出图形，结合图形利用余弦定理建立方程组求得AD的长．【详解】（1）中，，∴，∴，∴，∴，∴；（2）如图所示，设，∴；由余弦定理得，…①，…②由①②解得，即的长为．【点睛】本题考查了三角恒等变换以及解三角形的应用问题，是中档题．18．已知等差数列的前项和为，且，数列满足．（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和．【答案】（1）；（2）【解析】（1）首先利用已知条件建立的首项与公差的方程组，求解，再由递推关系式写出时的等式，作差求出数列的通项公式．（2）利用（1）的结论，求出通项，利用裂项相消法求出数列的和．【详解】（1）设首项为，公差为的等差数列的前项和为，且，所以：，解得：，所以：，由于．故：①，所以：当时，②，①﹣②得：，所以：，当时（首项符合通项），故：，（2）由于，所以：，故：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查了运算能力，属于基础题型．19．如图1，在平行四边形中，，，点是的中点，点是的中点，分别沿．将和折起，使得平面平面（点在平面的同侧），连接，如图2所示．（1）求证：；（2）当，且平面平面时，求三棱锥的体积．【答案】（1）见解析；（2）1【解析】（1）由已知可得△CBF为等边三角形，连接EF，由已知可得△BEF为等边三角形．取BF的中点O，连接OC，OE，可得CO⊥BF，EO⊥BF．从而得到BF⊥平面COE，则BF⊥CE；（2）由（1）知，CO⊥BF，结合条件可证OE⊥BF，求得，利用锥体体积公式求解即可.【详解】（1）∵四边形为平行四边形，，点是的中点，∴，又，∴为等边三角形，连接，由，，得为等边三角形．取的中点，连接，则．∴平面，则；（2）由（1）知，，又平面平面，则平面，又，∵，∴．∴三棱锥的体积．【点睛】本题考查空间中直线与直线的位置关系，几何体体积求解，考查空间想象能力与思维能力，是中档题．20．已知椭圆的离心率为，抛物线的准线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆的方程；（2）如图，点分别是椭圆的左顶点、左焦点直线与椭圆交于不同的两点（都在轴上方）．且．证明：直线过定点，并求出该定点的坐标．【答案】（1）；（2）直线过定点【解析】（1）根据题意可得1，a2＝2b2，求解即可.（2）设直线l的方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及直线的斜率公式将条件转化，即可求k，m的关系式，代入直线方程即可求出定点.【详解】（1）由题意可知，抛物线的准线方程为，又椭圆被准线截得弦长为，∴点在椭圆上，∴，①又，∴，∴，②，由①②联立，解得，∴椭圆的标准方程为：，（2）设直线，设，把直线代入椭圆方程，整理可得，，即，∴，，∵，∵都在轴上方．且，∴，∴，即，整理可得，∴，即，整理可得，∴直线为，∴直线过定点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式的应用，考查计算能力，属于中档题．21．设，函数．（1）若无零点，求实数的取值范围．（2）若，证明：．【答案】（1）；（2）见解析【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围求出函数的单调性及值域，确定a的范围即可；（2）问题转化为证明e x﹣2x2+x﹣1＞0（x＞0）恒成立，令g（x）＝e x﹣2x2+x﹣1＞0，（x＞0），求导分析函数的单调性及最值，证明即可．【详解】（1）∵，∴定义域是又，①当时，无零点；②当时，，故在上为减函数，又当时，，所以有唯一的零点；③当时，∴在递增，在递减，∴，则只要，即，∴而，∴，综上所述：所求的范围是．（2）时，，，要证，问题转化为证明，整理得：恒成立，令，，故在递减，在递增，故，故存在，使得，故当或时，递增，当时，递减，故的最小值是或，由，得，，∵，故，故时，，原不等式成立．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及最值问题，考查分类讨论思想及转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；（2）已知直线与曲线交于两点，与轴交于点，求．【答案】（1）：，直线：；（2）1【解析】（1）由曲线C的参数方程，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；直线l的极坐标方程转化为ρcosα+ρsinα＝2，由此能求出直线l的直角坐标方程．（2）联立，求出M，N的坐标，在直线l：x+y﹣2＝0中，令y＝0，得P（2，0），由此能求出|PM|•|PN|．【详解】（1）∵曲线的参数方程为（为参数），∴曲线的普通方程为，即，∴曲线的极坐标方程为．∵直线的极坐标方程为．∴，即，∴直线的直角坐标方程为．（2）联立，得或，∴可设，在直线中，令，得，∴，，∴．【点睛】本题考查曲线的极坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．23．已知函数．（1）当时，解不等式．（2）若存在满足，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）（0，4）【解析】（1）分3种情况去绝对值解不等式，再相并；（2）等价于|2x﹣2|+|2x﹣m|＜2有解，等价于左边的最小值小于2，用绝对值不等式的性质可求得最小值．【详解】（1）时，或或，解得或，∴的解集为；（2）若存在满足等价于有解，∵，∴，解得，实数的取值范围是（0，4）．【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式的应用，属于中档题．。

2019-2020学年山东省泰安市七年级(上)期末数学试卷(五四学制)

2019-2020学年山东省泰安市七年级（上）期末数学试卷（五四学制）一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列图形不是轴对称图形的是()A ．B ．C ．D ．2．（4分）在实数227-，π，0.1010010001中，是无理数的是()A ．227-BC ．πD ．0.10100100013．（4分）如图，//B C E F，//A C D F，添加下列一个条件后，仍无法判断A B CD E F∆≅∆的是()A ．B CE F= B ．A CD F= C ．A DB E= D ．CF∠=∠4．（4分）如图，在C D 上求一点P ，使它到O A 、O B 的距离相等，则P 点是( )A ．线段C D 的中点B ．O A 与CD B ∠的平分线的交点 C ．O B 与D C A ∠的平分线的交点D ．C D 与A O B ∠的平分线的交点5．（4分）已知点(,1)A a 与点(4,)B b -关于原点对称，则ab+的值为()A ．5B ．5-C ．3D ．3-6．（4的算术平方根是()A ．4B ．4±C ．2D ．2±7．（4分）如图，一个底面圆周长为24m ，高为5m 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 所经过的最短路线长为()A ．12mB ．15mC ．13mD ．9.13m8．（4分）正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数y x k=-的图象大致是()A ．B ．C ．D ．9．（4分）下列运算中：5112=；2==-；3=；8=，错误的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A B C ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把A B C ∆向右平移4个单位长度得到△111A B C ，再作与△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ，则点A 的对应点2A 的坐标是()A．(3,2)--D．(1,2)-C．(1,2)-B．(2,3)11．（4分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6B C c m=，现将直角边A C=，8A C c m沿直线A D折叠，使它落在斜边A B上，且与A E重合，则C D等于()A．3c m B．4c m C．5c m D．6c m12．（4分）如图，A B C=，D是B C的中点，A C的垂直平分线分别交A C、∆中，A B A CA D、A B于点E、O、F，则图中全等三角形的对数是()A．1对B．2对C．3对D．4对二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，将答案填在答题纸上）13．（4分）一个等边三角形的对称轴有条．14．（4分）若2425x=，则x=．15．（4分）点(3,1)++在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为．P m m16．（4分）如图，在A B C∠∠=︒，B D平分A B C∠交A C于点D，则A D BA=．36∆中，A B A C的度数是．17．（4分）已知一次函数y k x b=+的图象经过点(0,3)A -和(1,1)B -，则此函数的表达式为．18．（4分）在A B C ∆中，50A∠=︒，30B∠=︒，点D 在A B 边上，连接C D ，若A C D ∆为直角三角形，则B C D ∠的度数为度． 19．（4分）如图，A B C ∆与A E F ∆中，A B A E=，B CE F=，BE∠=∠，A B 交E F 于D ．给出下列结论：①A F CA F E∠=∠；②B FD E=：③B F EB A E∠=∠；④B F D C A F∠=∠．其中正确的结论是．（填写所正确结论的序号）．20．（4分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“112233445O A A A A A A A A A →→→→⋯”的路线运动，设第n 秒运动到点(n P n 为正整数），则点2020P 的坐标是．三、解答题：本大题共7个小题，满分70分．.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（15分）（1+-（2）|2||1||--+（3）已知2(21)90x--=，求x 的值．22．（7分）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形A B C D 是一个筝形，其中A BC B=，A DC D=．请说明：（1）A B DC B D∆≅∆；（2）B D 垂直平分线段A C ．23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A B C ∆的三个顶点坐标分别是(1,1)A ，(4,1)B ，(3,3)C ．（1）画出A B C ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）A B C ∆的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以1-，得到对应的点2A ，2B ，2C ．请画出△222A B C ．24．（8分）如图所示，已知A B C ∆中，8A Bc m=，6A Cc m=，10B Cc m=．分别以三边A B ，A C及B C 为直径向外作半圆，求阴影部分的面积．25．（10分）如图，在A B C ∆中．A BA C=，120A∠=︒，6B C=，A B 的垂直平分线交B C于M ，交A B 于E ，A C 的垂直平分线交B C 于N ，交A C 于F ．请说明：B MM N N C==．26．（10分）如图，在A B C=，过B C上一点D作B C的垂线，交B A的延长线∆中，A B A C于点P．交A C于点Q．试判断A P Q∆的形状，并证明你的结论．27．（12分）某校为表彰在“创文明城，点赞泰城”书画比赛中表现优秀的同学，决定购买水彩盒或钢笔作为奖品．已知1个水彩盒28元、1支钢笔30元．（1）恰逢“十一”商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：水彩盒”九折”优惠：钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x个水彩盒需要y元，买x支钢笔需要2y元，求1y，2y关于x的函数关系式．1（2）当购买数量为多少时，购买两种奖品的费用相同；（3）当购买数量为80时，购买两种奖品的费用差距是多少？2019-2020学年山东省泰安市七年级（上）期末数学试卷（五四学制）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）下列图形不是轴对称图形的是()A．B．C．D．【解答】解：A不是轴对称图形；B是轴对称图形；C是轴对称图形；D是轴对称图形；故选：A．2．（4分）在实数22-，π，0.1010010001中，是无理数的是()7A．22-B C．πD．0.1010010001 7【解答】解：22A-是分数，属于有理数；.7B=，是整数，属于有理数；3C．π是无理数；D是有限小数，属于有理数．.0.1010010001故选：C．3．（4分）如图，//∆≅∆A C D F，添加下列一个条件后，仍无法判断ABCDE FB C E F，//的是()A ．B CE F=B ．ACD F= C ．A DB E= D ．CF∠=∠【解答】解：//B C E F，A B C E ∴∠=∠，//A C D F， A E D F ∴∠=∠， ∴添加B CE F=，A CD F=可以根据()A A S 证得全等；添加A DB E=（推知)A BD E =可以根据()A S A 证得全等．添加CF∠=∠时，没有边的参与，无法证得全等．故选：D ．4．（4分）如图，在C D 上求一点P ，使它到O A 、O B 的距离相等，则P 点是()A ．线段C D 的中点B ．O A 与CD B ∠的平分线的交点 C ．O B 与D C A ∠的平分线的交点D ．C D 与A O B ∠的平分线的交点【解答】解：点P 到O A 、O B 的距离相等，∴点P 在A O B ∠平分线上，∴点P 是C D 与A O B ∠平分线的交点，故选：D ．5．（4分）已知点(,1)A a 与点(4,)B b -关于原点对称，则ab+的值为()A ．5B ．5-C ．3D ．3-【解答】解：由(,1)A a 关于原点的对称点为(4,)B b -，得4a =，1b=-，3a b +=，故选：C ．6．（4的算术平方根是()A ．4B ．4±C ．2D ．2±【解答】解：4=，4的算术平方根2，∴的算术平方根是2，故选：C ．7．（4分）如图，一个底面圆周长为24m ，高为5m 的圆柱体，一只蚂蚁沿侧表面从点A 到点B 所经过的最短路线长为()A ．12mB ．15mC ．13mD ．9.13m【解答】解：将圆柱体的侧面展开，连接A B ．如图所示：由于圆柱体的底面周长为24m ，则124122A Dm=⨯=．又因为5A C m=，所以13A Bm==．即蚂蚁沿表面从点A 到点B 所经过的最短路线长为13m ．故选：C ．8．（4分）正比例函数(0)y kx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，则一次函数yx k=-的图象大致是()A ．B ．C ．D ．【解答】解：正比例函数(0)ykx k =≠的函数值y 随x 的增大而减小，k ∴<，一次函数yx k =-的一次项系数大于0，常数项大于0，∴一次函数yx k=-的图象经过第一、三象限，且与y 轴的正半轴相交．故选：A ．9．（4分）下列运算中：5112=；2==-；3=；8=，错误的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：1312==，原计算错误；=，这个式子没有意义，原计算错误；3=-，原计算错误；4=，原计算错误，错误的个数有4个，故选：D ．10．（4分）如图，在平面直角坐标系中，A B C ∆位于第二象限，点A 的坐标是(2,3)-，先把A B C ∆向右平移4个单位长度得到△111A B C ，再作与△111A B C 关于x 轴对称的△222A B C ，则点A 的对应点2A 的坐标是()A ．(3,2)-B ．(2,3)-C ．(1,2)-D ．(1,2)-【解答】解：如图所示：点A 的对应点2A 的坐标是：(2,3)-．故选：B ．11．（4分）如图，有一个直角三角形纸片，两直角边6A Cc m=，8B Cc m=，现将直角边A C沿直线A D 折叠，使它落在斜边A B 上，且与A E 重合，则C D 等于( )A ．3c mB ．4c mC ．5c mD ．6c m【解答】解：在R t A B C ∆中，由勾股定理可知：10A B ===，由折叠的性质可知：D CD E=，6A CA E ==，90D E AC ∠=∠=︒，1064B E A B A E ∴=-=-=，90D E B∠=︒，设D Cx=，则8B Dx=-，D E x=，在R t B E D ∆中，由勾股定理得：222B E D EB D+=，即2224(8)xx +=-，解得：3x=，3C D ∴=．故选：A ．12．（4分）如图，A B C ∆中，A BA C=，D 是B C 的中点，A C 的垂直平分线分别交A C 、A D、A B 于点E 、O 、F ，则图中全等三角形的对数是( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【解答】解：A B A C=，D 为B C 中点，C D B D∴=，90B D OC D O ∠=∠=︒，在A B D ∆和A C D ∆中，A B A C A D A D B D C D=⎧⎪=⎨⎪=⎩，A B D A C D∴∆≅∆；E F垂直平分A C ，O A O C∴=，A EC E=，在A O E ∆和C O E ∆中，O A O C O E O E A E C E=⎧⎪=⎨⎪=⎩，A O E C O E∴∆≅∆；在B O D ∆和C O D ∆中，B DCD B D O C D O O D O D =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，B O DC O D∴∆≅∆；在A O C ∆和A O B ∆中，A C AB O A O A OC O B=⎧⎪=⎨⎪=⎩，A O C A O B∴∆≅∆；故选：D ．二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，将答案填在答题纸上）13．（4分）一个等边三角形的对称轴有3条．【解答】解：如图：一个等边三角形的对称轴有3条，故答案为：3．14．（4分）若2425x=，则x=52±．【解答】解：2425x=，可得：52x=±，故答案为：52±15．（4分）点(3,1)P m m++在直角坐标系的y轴上，则点P的坐标为(0,2)-．【解答】解：点(3,1)P m m++在直角坐标系的y轴上，30m∴+=，解得：3m=-，故12m+=-，则点P的坐标为：(0,2)-．故答案为：(0,2)-．16．（4分）如图，在A B C∆中，A B A C=．36A∠=︒，B D平分A B C∠交A C于点D，则A D B∠的度数是108︒．【解答】解：A B A C=，36A∠=︒，1(18036)722A B C C ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒，B D平分A B C ∠，36A B D D B C ∴∠=∠=︒，180()180236108A D B A A D B ∴∠=︒-∠+∠=︒-⨯︒=︒，故答案为：108︒． 17．（4分）已知一次函数yk x b=+的图象经过点(0,3)A -和(1,1)B -，则此函数的表达式为23y x =- ．【解答】解：由题意可得方程组31b k b =-⎧⎨+=-⎩，解得23k b =⎧⎨=-⎩，则此函数的解析式为：23y x =-，故答案为23yx =-．18．（4分）在A B C ∆中，50A ∠=︒，30B∠=︒，点D 在A B 边上，连接C D ，若A C D ∆为直角三角形，则B C D ∠的度数为 60或10 度．【解答】解：分两种情况： ①如图1，当90A D C∠=︒时，30B ∠=︒，903060B C D ∴∠=︒-︒=︒； ②如图2，当90A C D∠=︒时，50A ∠=︒，30B∠=︒，1803050100A C B ∴∠=︒-︒-︒=︒，1009010B C D ∴∠=︒-︒=︒，综上，则B C D ∠的度数为60︒或10︒；故答案为：60或10；19．（4分）如图，A B C ∆与A E F ∆中，A B A E=，B CE F=，BE∠=∠，A B 交E F 于D ．给出下列结论：①A F CA F E∠=∠；②B FD E=：③B F EB A E∠=∠；④B F D C A F∠=∠．其中正确的结论是 ①③④ ．（填写所正确结论的序号）．【解答】解：A B A E=，B CE F=，BE∠=∠，()A B C A E F S A S ∴∆≅∆，C A F E ∴∠=∠，E A F B A C∠=∠，A FA C=，A F C C∴∠=∠，A F C A F E∴∠=∠，故①符合题意，A FBC F A C A F E B F E ∠=∠+∠=∠+∠，B F E F AC ∴∠=∠，故④符合题意， E A F B A C ∠=∠， E A B F A C∴∠=∠，E A B BF E∴∠=∠，故③符合题意，由题意无法证明B F D E=，故②不合题意，故答案为：①③④．20．（4分）在平面直角坐标系中，若干个边长为1个单位长度的等边三角形，按如图中的规律摆放．点P从原点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着等边三角形的边“112233445O A A A A A A A A A →→→→⋯”的路线运动，设第n 秒运动到点(n P n 为正整数），则点2020P 的坐标是(1010,0)．【解答】解：每6202，0，2-0，202063364÷=⋯，∴点2020P 的纵坐标为0，点的横坐标规律：12，1，32，2，52，3，⋯，2n ，∴点2020P 的横坐标为1010， ∴点2020P 的坐标(1010,0)，故答案为(1010,0)．三、解答题：本大题共7个小题，满分70分．.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.21．（15分）（1+-（2）|2||1||--+（3）已知2(21)90x--=，求x 的值．【解答】解：（1-16322=-+-32=（2）|2||1||--+21=--+-3=-（3）2(21)9x -=，213x ∴-=±，解得：2x=或1x=-．22．（7分）我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形A B C D 是一个筝形，其中A BC B=，A DC D=．请说明：（1）A B DC B D∆≅∆；（2）B D 垂直平分线段A C ．【解答】解：（1）在A B D ∆和C B D ∆中，A B C B A D C D D B D B=⎧⎪=⎨⎪=⎩()A B D C B D S S S ∴∆≅∆（2）由（1）知，A B DC BD ∆≅∆A DBCD B∴∠=∠，且A D C D=B D∴垂直平分线段A C23．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知A B C ∆的三个顶点坐标分别是(1,1)A ，(4,1)B ，(3,3)C ．（1）画出A B C ∆关于y 轴对称的△111A B C ；（2）A B C ∆的三个顶点的横坐标与纵坐标同时乘以1-，得到对应的点2A ，2B ，2C ．请画出△222A B C ．【解答】解：（1）如图所示，△111A B C 即为所求；（2）如图所示，△222A B C 即为所求．24．（8分）如图所示，已知A B C ∆中，8A Bc m=，6A Cc m=，10B Cc m=．分别以三边A B ，A C及B C 为直径向外作半圆，求阴影部分的面积．【解答】解：2228610+=，222A BA CB C∴+=90B A C ∴∠=︒∴以A B 为直径的半圆的面积2211()8()22A B S c m ππ==以A C 为直径的半圆的面积22219()()222A C S c m ππ==以B C 为直径的半圆的面积223125()()222B C S c m π==2118624()22A B C S A B A C c m ∆==⨯⨯=∴()212324A B C S S S S S c m∆=++-=阴影25．（10分）如图，在A B C ∆中．A B A C=，120A∠=︒，6B C=，A B 的垂直平分线交B C于M ，交A B 于E ，A C 的垂直平分线交B C 于N ，交A C 于F ．请说明：B M M N N C==．【解答】解：连接A M ，A NA B A C=，120B A C∠=︒，30B C ∴∠=∠=︒E M垂直平分A BB M A M∴=，30M A B B ∴∠=∠=︒120A M B ∴∠=︒，60A M N ∴∠=︒同理：C NA N=，6060A N MA M N M A N A N M ∠=︒∠=∠=∠=︒A N M∴∆是等边三角形B M M NC N∴==．26．（10分）如图，在A B C ∆中，A BA C=，过B C 上一点D 作B C 的垂线，交B A 的延长线于点P ．交A C 于点Q ．试判断A P Q ∆的形状，并证明你的结论．【解答】解：A P Q ∆是等腰三角形．证明：Q D B D Q C C∠=∠+∠，P D CB P∠=∠+∠，又A B A C=，B C∴∠=∠，P D Q C A Q P∴∠=∠=∠，A P A Q ∴=，A P Q∴∆是等腰三角形．27．（12分）某校为表彰在“创文明城，点赞泰城”书画比赛中表现优秀的同学，决定购买水彩盒或钢笔作为奖品．已知1个水彩盒28元、1支钢笔30元．（1）恰逢“十一”商店举行“优惠促销”活动，具体办法如下：水彩盒”九折”优惠：钢笔10支以上超出部分“八折”优惠．若买x 个水彩盒需要1y 元，买x 支钢笔需要2y 元，求1y ，2y 关于x 的函数关系式．（2）当购买数量为多少时，购买两种奖品的费用相同；（3）当购买数量为80时，购买两种奖品的费用差距是多少？【解答】解：（1）根据题意得：1280.925.2y x x=⨯=，230(010)2460(10)x x y x x ⎧=⎨+>⎩剟；（2）根据题意得：25.22460x x =+，解得50x=，即当购买数量为50时，购买两种奖品的费用相同；（3）购买数量为80时，购买水彩盒需要花费为：25.2802016⨯=（元)；购买钢笔需要花费为：2480601980⨯+=（元)；2016198036-=（元)，答：当购买数量为80时，购买两种奖品的费用差距是36元．。

2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析-专题03-函数及其应用(解析版)

专题3 函数及其应用1.关于函数图象的考查：（1）函数图象的辨识与变换；（2）函数图象的应用问题，运用函数图象理解和研究函数的性质，数形结合思想分析与解决问题的能力； 2.关于函数性质的考查：以考查能力为主，往往以常见函数（二次函数、指数函数、对数函数）为基本考察对象，以绝对值或分段函数的呈现方式，与不等式相结合，考查函数的基本性质，如奇偶性、单调性与最值、函数与方程（零点）、不等式的解法等，考查数学式子变形的能力、运算求解能力、等价转化思想和数形结合思想.其中函数与方程考查频率较高.涉及函数性质的考查；3.常见题型，除将函数与导数相结合考查外，对函数独立考查的题目，不少于两道，近几年趋向于稳定在选择题、填空题，易、中、难的题目均有可能出现.，预测2020年将保持对数形结合思想的考查，主要体现在对函数图象、函数性质及其应用的考查，客观题应特别关注分段函数相关问题，以及与数列、平面解析几何、平面向量、立体几何的结合问题.主观题依然注意与导数的结合.一、单选题1．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,2【答案】C 【解析】311(1)(1)()302f --=--=-<，301(0)0(102f =-=-<，@13211112()()()02228f =-=-<，31111(1)1()10222f =-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C2．（2020届山东省泰安市高三上期末）函数()3ln xf x x=的部分图象是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】:()()()33ln ln ,x xf x f x f x x x=-==--， ()f x 为奇函数，排除B 当1x >时，()3ln 0xf x x=>恒成立，排除CD 故答案选A3．（2020·河南高三月考（理））已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（）A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，，【答案】D 【解析】》因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称；因此，由(0)0f =得(4)0f =；又()f x 在(]2-∞，上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增；所以，当232x -≥即0x ≤时，由(23)0f x ->得(23)(4)f x f ->，所以234x ->，解得23x <-；当232x -<即0x >时，由(23)0f x ->得(23)(0)f x f ->，所以230x -<，解得23x >；因此，(23)0f x ->的解集是22()()33-∞-+∞，，. 》4．（2020·全国高三专题练习（文））函数()()22log ,1,1,1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩，若方程()2f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（） A ．(),4-∞ B ．(],4-∞C ．()2,4-D ．(]2,4-【答案】A 【解析】令()2g x x m =-+,画出()f x 与()g x 的图象,平移直线,当直线经过()1,2时只有一个交点,此时4m =,向右平移,不再符合条件,故4m < 故选：A$5．（2020届山东省烟台市高三上期末）设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A 【解析】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=；因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<,—故选：A6．（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数ln ()xf x x x=-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】函数的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，||||()()()ln x ln x f x x x f x x x--=--=--=--，则函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B ，D ，"当0x >且0x →，()f x →+∞，排除C . 故选：A.7．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知3log 2a =，143b =，2ln 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】因为3log 2(0,1)a =∈，1431b =>，203c ln =<，则a ，b ，c 的大小关系：b a c >>．|故选：B.8．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（）A ．6B ．83C ．3D ．163【答案】C 【解析】∵()3log 21a b +=+∴()33log 21log a b ab +=+()3log 3ab =， ∴23a b ab +=，且0a >，0b >，《∴123a b+=， ∴()112223a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭122143b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭5233b a a b ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭5233≥+⋅3=，当且仅当b aa b =且123a b+=即1a b ==时，等号成立；故选：C ．9．（2020届山东省日照市高三上期末联考）三个数0.87，70.8，0.8log 7的大小顺序是（）A ．70.80.8log 70.87<< B ．0.870.8log 770.8<<C ．70.80.80.87log 7<<D ．0.870.870.8log 7<<,【答案】A 【解析】0.871>，700.81<<，0.8log 70<，故70.80.8log 70.87<<.故选A.10．（2020届山东省济宁市高三上期末）若0.1212,ln 2,log 5a b c ===,则( ) A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．a b c >>【答案】D 【解析】,0.10221a =>=；0ln1ln 2ln 1b e =<=<=；221log log 105c =<=，即a b c >> 故选：D11．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“0x <”是“ln(1)0x +<”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由题意得，ln(1)001110x x x +<⇔<+<⇔-<<，故是必要不充分条件，故选B ．）12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若a ，b ，c ，满足2log 3a =，25b =，3log 2c =，则（）A ．b c a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】2221log log 3log 242=<<=，故12a <<；又22542b =>=，故2b >； 33log 2log 31c =<=，c a b ∴<<，）故选：B.13．（2020届山东省九校高三上学期联考）若函数()y f x =的大致图像如图所示，则()f x 的解析式可以为（）A ．()22x xxf x -=+B ．()22x xxf x -=-C ．()22x xf x x-+=D ．()22x xf x x--=【答案】C 【解析】对四个选项解析式分析发现B ，D 两个均为偶函数，图象关于y 轴对称，与题不符，故排除；(极限思想分析，0,222,022xxx x xx +--→+→→+，A 错误；220,222,x xx xx x-+-+→+→→+∞，C 符合题意.故选：C14．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数()y f x =是R 上的奇函数，当0x <时，()2xf x =，则当0x >时，()f x =（） A ．2x - B ．2x - C ．2x -- D ．2x【答案】C 【解析】`0x <时，()2xf x =.当0x >时，0x -<，()2xf x --=，由于函数()y f x =是奇函数，()()2xf x f x -∴=--=-，因此，当0x >时，()2xf x -=-，故选C.15．（2020届山东省德州市高三上期末）已知1232a b -=⋅，()212log 23c b x x -=++，则实数a ，b ，c 的大小关系是（） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a c b >>【答案】A 【解析】…1232a b -=⋅，1232a b -+∴=>，11a b ∴-+>，则a b >.()2223122x x x ++=++≥，()21122log 23log 21c b x x ∴-=++≤=-，b c ∴>.因此，a b c >>. 故选：A.16．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在[]5,12m m --上的奇函数()f x ，满足0x >时，()21x f x =-，则()f m 的值为（）A ．-15B ．-7C ．3D ．15【答案】A 【解析】？因为奇函数的定义域关于原点中心对称则5120m m -+-=,解得4m =-因为奇函数()f x 当0x >时,()21xf x =-则()()()4442115f f -=-=--=-故选:A17．（2020届山东省临沂市高三上期末）函数()22xf x =-（0x <）的值域是（）A ．1,2B ．(),2-∞C ．()0,2D ．1,【答案】A$【解析】0x <，021x ∴<<， 120x ∴-<-<1222x ∴<-<. 即()()2221,xf x =-∈故选：A18．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（）)A ．22a b >B ．1b a<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】D 【解析】a 、b 是任意实数，且a b >，如果0a =，2b =-，显然A 不正确；如果0a =，2b =-，显然B 无意义，不正确；如果0a =，12b =-，显然C ，102lg <，不正确；因为指数函数12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在定义域上单调递减，且a b >，1122ab⎛⎫⎛⎫∴< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足条件，正确．故选：D ．~19．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】由121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝解得0x <，所以由“21x -<<-”能推出“0x <”，反之，不能推出；因此“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的必要不充分条件. 故选：B.~20．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．18【答案】A 【解析】奇函数()f x 在R 上单调，()()490f a f b +-=，则()()()499f a f b f b =--=- 故49a b =-即49a b +=()()11111141452451999b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当4b a a b =即3,32a b ==时等号成立 ~故选：A21．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知ln ,1()(2),1x x f x f x k x ≥⎧=⎨-+<⎩若函数()1y f x =-恰有一个零点，则实数k 的取值范围是（） A ．(1,)+∞ B ．[1,)+∞C ．(,1)-∞D ．(,1]-∞【答案】B 【解析】1x ≥时，()ln 1f x x ==，x e =，所以函数()1y f x =-在1x ≥时有一个零点，从而在1x <时无零点，即()1f x =无解．而当1x <时，21x ->，()(2)f x f x k =-+ln(2)x k =-+，它是减函数，值域为(,)k +∞，要使()1f x =无解．则1k．|故选：B.22．（2020届山东省潍坊市高三上期末）函数()y f x =与()y g x =的图象如图所示，则()()y f x g x =⋅的部分图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】由图象可知()y f x =的图象关于y 轴对称，是偶函数，()y g x =的图象关于原点对称，是奇函数，并且定义域{}0x x ≠，$()()y f x g x ∴=⋅的定义域是{}0x x ≠，并且是奇函数，排除B ，又0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x >，()0g x <，()()0f x g x ∴⋅<，排除C,D.满足条件的只有A. 故选：A23．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知31log 3aa ⎛⎫= ⎪⎝⎭，133log bb =，131log 3cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c b a << B ．a b c << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】C 【解析】/在同一直角坐标系内，作出函数13x y⎛⎫= ⎪⎝⎭，3logy x=，3xy=，13logy x=的图像如下：因为31log3aa⎛⎫=⎪⎝⎭，133logb b=，131log3cc⎛⎫=⎪⎝⎭，所以a是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与3logy x=交点的横坐标；b是3xy=与13logy x=交点的横坐标；c是13xy⎛⎫= ⎪⎝⎭与13logy x=交点的横坐标；由图像可得：b c a<<.故选：C.24．（2020届山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（）A．()1,0-B．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C．1,12⎛⎫⎪⎝⎭D．()1,2(【答案】C【解析】311(1)(1)()302f--=--=-<，301(0)0()102f=-=-<，13211112()()()022282f=-=-<，31111(1)1()10222f=-=-=>，321115(2)2()80222f =-=-=>，由()1102f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭. 故选：C25．（2020届山东省德州市高三上期末）已知()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，有()()1f x f x +=-，且当[)0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，下列命题正确的是（）A ．()()201920200f f +-=B ．函数()f x 在定义域上是周期为2的函数{C ．直线y x =与函数()f x 的图象有2个交点D ．函数()f x 的值域为[]1,1-【答案】A 【解析】函数()y f x =是R 上的奇函数，()00f ∴=，由题意可得()()100f f =-=，当0x ≥时，()()()21f x f x f x +=-+=，()()()()()()2019202020192020100f f f f f f ∴+-=-=-=，A 选项正确；当0x ≥时，()()1f x f x +=-，则2616log 555f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2449log 555f f ⎛⎫⎛⎫-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，4462555f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-≠-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则函数()y f x =不是R 上周期为2的函数，B 选项错误；若x 为奇数时，()()10f x f ==，%若x 为偶数，则()()00f x f ==，即当x ∈Z 时，()0f x =，当0x ≥时，()()2f x f x +=，若n N ∈，且当()2,21x n n ∈+时，()20,1x n -∈，()()()20,1f x f x n =-∈，当()1,2x ∈时，则()10,1x -∈，()()()11,0f x f x ∴=--∈-，当()21,22x n n ∈++时，()21,2x n -∈，则()()()21,0f x f x n =-∈-，所以，函数()y f x =在[)0,+∞上的值域为()1,1-，由奇函数的性质可知，函数()y f x =在(),0-∞上的值域为()1,1-，由此可知，函数()y f x =在R 上的值域为()1,1-，D 选项错误；|如下图所示：由图象可知，当11x -<<时，函数y x =与函数()y f x =的图象只有一个交点，当1x ≤-或1x ≥时，()()1,1f x ∈-，此时，函数y x =与函数()y f x =没有交点，则函数y x =与函数()y f x =有且只有一个交点，C 选项错误. 故选：A.26．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()()221,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a =有四个不同的解12341234,,,,x x x x x x x x <<<且，则()3122341x x x x x ⋅++⋅的取值范围是（） A ．(]1,1-B ．[]1,1-C ．[)1,1- D ．()1,1-'【答案】A 【解析】先作()f x 图象，由图象可得12343121,1.2x x x x x ⎡⎫+=-=∈⎪⎢⎣⎭，，因此()31232343112x x x x x x x ⋅++=-+⋅为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减函数，从而()(] 31223411,1x x xx x⋅++∈-⋅，选A.二、多选题27．（2020届山东省临沂市高三上期末）若104a=，1025b=，则（）…A．2a b+=B．1b a-=C．281g2ab>D．lg6b a->【答案】ACD【解析】由104a=，1025b=，得lg4a=，lg25b=，则lg4lg25lg1002a b∴+=+==，25lg25lg4lg4b a∴-=-=，25lg101lg lg64=>>lg6b a∴->)24lg2lg54lg2lg48lg2ab∴=>=，故正确的有：ACD故选：ACD.28．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在R上的函数()y f x=满足条件()()2f x f x+=-，且函数()1y f x=-为奇函数，则（）A．函数()y f x=是周期函数B．函数()y f x=的图象关于点()1,0-对称C ．函数()y f x =为R 上的偶函数D ．函数()y f x =为R 上的单调函数【答案】ABC 【解析】、因为()()2f x f x +=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，即4T=，故A 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以函数()1y f x =-图像关于原点成中心对称，所以B 正确；又函数()1y f x =-为奇函数，所以()()11f x f x --=--，根据()()2f x f x +=-，令1x -代x 有()()11f x f x +=--，所以()()11f x f x +=--，令1x -代x 有()()f x f x -=，即函数()f x 为R 上的偶函数，C 正确；因为函数()1y f x =-为奇函数，所以()10f -=，又函数()f x 为R 上的偶函数，()10f =，所以函数不单调，D 不正确. 故选：ABC.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数22,0()(2),0x x x f x f x x ⎧--<=⎨-≥⎩，以下结论正确的是（）A ．(3)(2019)3f f -+=-B ．()f x 在区间[]4,5上是增函数》C ．若方程() 1f x k x =+恰有3个实根，则11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭D ．若函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则()61iii x f x =∑的取值范围是()0,6【答案】BCD 【解析】函数()f x 的图象如图所示：对A ，(3)963f -=-+=-，(2019)(1)(1)1f f f ==-=，所以(3)(2019)2f f -+=-，故A 错误；对B ，由图象可知()f x 在区间[]4,5上是增函数，故B 正确；对C ，由图象可知11,24k ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，直线() 1f x k x =+与函数图象恰有3个交点，故C 正确； ]对D ，由图象可得，当函数()y f x b =-在(,4)-∞上有6个零点(1,2,3,4,5,6)i x i =，则01b <<，所以当0b →时，()610i i i x f x =→∑；当1b →时，()616i i i x f x =→∑，所以()61i i i x f x =∑的取值范围是()0,6，故D 正确. 故选：BCD.30．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h?【答案】AC 【解析】A.∵,u x =v x =,22u v u vx +-==，由题意4uv =，4v u=在(0,)+∞上是减函数，A 正确．B.125x t -=+126510u v u v+-=+-，整理得15436t u v =++，B 错误；C.由A 、B 得1615363644t u u =++≥=，16u u =即4u =时取等号，4x =，解得31.52x ==，C 正确；D.4x =时，85t =+，7305t -===>，3t >，D 错． :故选：AC.31．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（） A ．2xy = B ．23y x-=C ．1y x x=- D ．()2ln 1y x =+【答案】AD 【解析】对于A 选项，2xy =为偶函数，且当0x <时，122xx y -==为减函数，符合题意. 对于B 选项，23y x -=为偶函数，根据幂函数单调性可知23y x -=在(),0-∞上递增，不符合题意. 对于C 选项，1y x x=-为奇函数，不符合题意. {对于D 选项，()2ln 1y x =+为偶函数，根据复合函数单调性同增异减可知，()2ln 1y x =+在区间(),0-∞上单调递减，符合题意. 故选：AD.32．（2020届山东省潍坊市高三上期末）把方程1169x x y y+=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（）A ．()y f x =的图象不经过第一象限B ．()f x 在R 上单调递增C ．()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为3D ．函数()()43g x f x x =+不存在零点【答案】ACD;【解析】当0,0x y >>，方程是221169x y +=-不表示任何曲线，故A 正确；当0,0x y ≥≤ ，方程是221169x y -=-，即221916y x -= ，当0,0x y ≤≥ ，方程是221169x y -+=- ，即221169x y -=，当0,0x y ≤≤ ，方程是221169x y --=-，即221169x y+= ，如图画出图象由图判断函数在R 上单调递减，故B 不正确；、由图判断()y f x =图象上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y ≤≤的图象上，即满足221169x y += ，设图象上的点(),P x y2222279191616x PO x y x x ⎛⎫=+=+-=+ ⎪⎝⎭当0x =时取得最小值3，故C 正确；当()430f x x += ，即()34f x x =-，函数()()43g x f x x =+的零点，就是函数()y f x = 和34y x =-的交点，而34y x =-是曲线221916y x -=，0,0x y ≥≤和221169x y -=0,0x y ≤≥的渐近线，所以没有交点，由图象可知34y x =-和221169x y +=，0,0x y ≤≤没有交点，所以函数()()43g x f x x =+不存在零点，故D 正确.<故选：ACD33．（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，如图放置的边长为2的正方形ABCD 沿x 轴滚动（无滑动滚动），点D 恰好经过坐标原点，设顶点(),B x y 的轨迹方程是()y f x =，则对函数()y f x =的判断正确的是( )A ．函数()y f x =是奇函数B ．对任意的x ∈R ，都有()()44f x f x +=-C ．函数()y f x =的值域为0,22⎡⎣D ．函数()y f x =在区间[]6,8上单调递增【答案】BCD 【解析】由题意，当42x -≤<-时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)A -为圆心，以2为半径的14圆； ,当22x -≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(0,0)D 为圆心，以214圆；当24x ≤<时，顶点(),B x y 的轨迹是以点(2,0)C 为圆心，以2为半径的14圆；当46x ≤<，顶点(),B x y 的轨迹是以点(4,0)A 为圆心，以2为半径的14圆，与42x -≤<-的形状相同，因此函数()y f x =在[]4,4-恰好为一个周期的图像；所以函数()y f x =的周期是8；其图像如下：A 选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A 错；B 选项，因为函数的周期为8，所以(8)()f x f x +=，因此(4)(4)f x f x +=-；故B 正确；·C 选项，由图像可得，该函数的值域为0,22⎡⎣；故C 正确；D 选项，因为该函数是以8为周期的函数，因此函数()y f x =在区间[]6,8的图像与在区间[]2,0-图像形状相同，因此，单调递增；故D 正确；故选：BCD.34．（2020届山东师范大学附中高三月考）下列函数中，既是偶函数，又在(0,)+∞上单调递增的是（） A ．3y x = B ．2yxC ．xy e =D ．2lg y x =【答案】CD 【解析】本题主要考查函数的单调性和函数的奇偶性.|A 项，对于函数3y x =，因为()33()()f x x x f x -=-=-≠，所以函数3y x =不是偶函数.故A 项不符合题意.B 项，对于函数2yx ，因为当1x =时，1y =，当2x =，14y =，所以函数2y x 在区间(0,)+∞上不是单调递增的.故B 项不符合题意.C 项，对于函数x y e =，因为定义域为R ，()()x x g x g x e e --===，所以函数xy e =为偶函数，因为函数xy e =，当0x >时，xx y e e ==，而1e >，函数x y e =在R 上单调递增，所以函数xy e =在区间(0,)+∞上为增函数.故C 项符合题意.D 项，对于函数2lg y x =，因为函数()22lg )(l ()g h x x x h x -=-==，所以函数2lg y x =是偶函数.而2yx 在(0,)+∞上单调递增，lg y x =在(0,)+∞上单调递增，所以函数2lg y x =在(0,)+∞上单调递增.故D 项符合题意. 故选：CD.35．（2020届山东实验中学高三上期中）设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（）A ．12B ．2C ．2e D【答案】BCD—【解析】令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x 时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-，/∴得00()(1)T x T x -，001x x -，即012x ，()x g x e a =-；1()2x， 0x 为函数()y g x =的一个零点；当12x时，()0x g x e '=-， ∴函数()g x 在12x 时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g ee ⎛-=> ⎝，∴要使()g x 在12x时有一个零点，.只需使102g a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得e a， a ∴的取值范围为⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭，故选：BCD ．三、填空题36．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）若()3,0{1,0x x f x x x≤=>,则()()2f f -=__________．【答案】9 【解析】《因为21(2)309f --==>，所以1((2))()99f f f -==，应填答案9. 37．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上是减函数，10,3f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则不等式18log 0f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭的解集为__________．【答案】1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[0,)+∞上是减函数，1()03f -=，11()()033f f ∴=-=，则不等式18(log )0f x >等价为不等式181(|log |)()3f x f >，即181|log |3x <⇒1811log 33x -<<⇒122x <<，{即不等式的解集为1(,2)2，故答案为：1(,2)2.38．（2020届山东省九校高三上学期联考）已知[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]33=，[]1.51=，[]1.72-=-.令()2x f x x =⋅，[]()()g x f x x =-，则下列说法正确的是__________.①()g x 是偶函数 ②()g x 是周期函数③方程()0g x -=有4个根④()g x 的值域为[]0,2 【答案】②③|【解析】1111()([])()33333g f f =-==，1112()([])()33333g f f -=---== 显然11()()33g g -≠，所以()g x 不是偶函数，所以①错误；[][](1)(11)()()g x f x x f x x g x +=+-+=-=，所以()g x 是周期为1的周期函数，所以②正确；作出函数y x =的图象和()g x 的图象：根据已推导()g x 是周期为1的周期函数，只需作出()g x 在[0,1)x ∈的图象即可，当[0,1)x ∈时[]()()()2x g x f x x f x x =-==⋅，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：》可得()g x 值域为[0,2)，函数y x =()g x 的图象一共4个交点，即方程()0g x x =有4个根，所以③正确，④错误；故答案为：②③39．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在R 上的函数满足(3)(3)f x f x -=-+，且()f x 图像关于1x =对称，当(1,2]x ∈时，2()log (21)f x x =+，则8252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭________. 【答案】-2 【解析】因为()f x 图像关于1x =对称，则()(2)f x f x =-，()(2)(31)(31)(4)(8)f x f x f x f x f x f x =-=--=-++=-+=+，）故()f x 是以8为周期的周期函数，82511113851443131222222f f f f ff⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯++=+=++=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭23log (21)22=-⨯+=-故答案为：2-.40．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，若(31)(2)0f x f ++>，则x 的取值范围是________．【答案】(,1)-∞- 【解析】根据已知条件：当12x x ≠时，有1212[()()]()0f x f x x x --<恒成立，得函数()f x 是定义在R 上的减函数，…又因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(2)(2)f f -=-，故(31)(2)0f x f ++>等价于(31)(2)(2)f x f f +>-=-，所以312x +<-，即1x <-. 故答案为：(),1-∞-.41．（2020届山东省济宁市高三上期末）2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002tN N -=⋅（0N 表示碳14原有的质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的12至35，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈）【答案】124011 【解析】当5730t =时，100122N N N -=⋅=∴经过5730年后，碳14的质量变为原来的12令035N N =，则5730325t-= 2223log log 3log 50.757305t ∴-==-≈- 。

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