导数的乘法与除法法则
导数的乘除法法则
′ f ( x) f ′( x)g( x) − f ( x)g′( x) g( x) = 2 g ( x)
可得
′ sin x cos x ⋅ x − sin x ⋅ 1 x cos x − sin x = = 2 x x x2
（2）由导数的除法运算法则可得： ）由导数的除法运算法则可得：
x +1 (2) y = 2 x −1 ex + 1 − 2ex (3) y = x y′ = x e −1 (e −1)2 x π 2. 求曲线 y = 处的切线方程。 在 x = 处的切线方程。 sin x 3
− 3x2 − 4x x −1 y′ = 2 x( x2 −1)2
2 3 π k = y′ = − 3 6
′ 2 x ⋅ ln x − x 2 ⋅ 1 x2 x = x( 2 ln x − 1) = 2 2 ln x (ln x ) ln x
练习
分析： 分析： 无论题目中所给的式子多么复杂， 无论题目中所给的式子多么复杂，但是求导的实 质不会改变，求函数积（ 质不会改变，求函数积（商）的导数时，都满足运算 的导数时， 法则： 法则：
x
2x =− + 2 x ln 2 ln x + 2 x x (1 + x )
7 可求得 f ′(1) = ， 4
则曲线 f ( x ) = 方程为： 方程为：
1− x 1+ x
+ 2 x ln x 过点 (1,0) 的切线
7 y = ( x − 1) 4
即： 7 x − 4 y − 7 = 0 练习
(1) y = ( 2 x + 3)( 3 x − 1)
2
导数基本运算法则
导数基本运算法则导数是微积分中的重要概念，用来描述函数在某一点的变化率。
导数的计算可以根据导数的基本运算法则进行简化和推导。
本文将介绍导数基本运算法则，并通过几个例子来说明其应用。
一、常数函数的导数我们来看一个简单的情况，即常数函数的导数。
对于一个常数函数f(x)=C，其中C为常数，其导数为0。
这是因为常数函数在任意一点的变化率都为0，即导数为常数0。
二、幂函数的导数接下来，我们来考虑幂函数的导数。
对于幂函数f(x)=x^n，其中n 为正整数，其导数为f'(x)=nx^(n-1)。
这是因为幂函数的导数可以通过指数法则和常数函数的导数来推导得到。
三、和差法则导数的和差法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，则它们的和（差）函数在该点的导数等于f(x)和g(x)在该点的导数之和（差）。
即(f(x)±g(x))' = f'(x) ± g'(x)。
四、乘法法则导数的乘法法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，则它们的乘积函数在该点的导数等于f(x)在该点的导数乘以g(x)加上g(x)在该点的导数乘以f(x)。
即(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
五、除法法则导数的除法法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，并且g(x)在该点不为0，则它们的商函数在该点的导数等于f(x)在该点的导数乘以g(x)减去g(x)在该点的导数乘以f(x)，再除以g(x)的平方。
即(f(x)/g(x))' = (f'(x)g(x) - f(x)g'(x))/[g(x)]^2。
六、复合函数的导数导数的复合函数法则指出，若函数f(x)和g(x)在某一点都有导数，并且g(x)在该点的导数不为0，则复合函数h(x) = f(g(x))在该点的导数等于f'(g(x))乘以g'(x)。
导数的运算法则
导数的运算法则在微积分中，导数是一个十分重要的概念。
它是描述函数变化率的工具，可以帮助我们研究函数的性质和求解最优化问题。
当我们想要计算一个函数的导数时，往往需要使用到一些特定的运算法则。
本文将介绍几个常用的导数运算法则，包括常数法则、幂函数法则、乘法法则、除法法则和链式法则。
1. 常数法则：常数法则指的是对于一个常数c，它的导数始终为0。
也就是说，如果f(x) = c，那么f'(x) = 0。
这是因为对于常数函数来说，它的斜率始终为0，没有变化。
2. 幂函数法则：幂函数法则适用于多项式函数，即f(x) = x^n，其中n为实数。
根据幂函数法则，如果f(x) = x^n，则f'(x) = nx^(n-1)。
换句话说，导数的幂函数等于该函数的指数乘以该函数的系数。
例如，对于函数f(x) = x^2，根据幂函数法则，f'(x) = 2x^(2-1) = 2x。
同样地，对于函数g(x) = x^3，g'(x) = 3x^(3-1) = 3x^2。
3. 乘法法则：乘法法则适用于两个函数之积的导数。
如果f(x) = g(x) * h(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x)。
简单来说，乘法法则可以表达为“保持第一个函数，对第二个函数求导再乘以第二个函数，再保持第二个函数，对第一个函数求导再乘以第一个函数，最后将两部分相加”。
例如，对于函数f(x) = x^2 * sin(x)，可以通过乘法法则求导。
令g(x) = x^2，h(x) = sin(x)，则f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x) = 2x * sin(x) + x^2 * cos(x)。
4. 除法法则：除法法则用于两个函数相除的情况。
如果f(x) = g(x) / h(x)，其中h(x) ≠ 0，则f'(x) = (g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)) / (h(x))^2。
《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单
《4.2导数的乘法与除法法则》知识清单一、学习这部分知识的目的咱们为啥要学习导数的乘法与除法法则呢？就好比你要计算一些复杂的变化关系的时候，光靠之前的知识可不够。
比如说，你在研究一个物理问题，物体的速度和它受到的力之间有某种乘积关系，或者是在经济领域，成本和产量之间有除法关系，而且它们都是在不断变化的，这时候导数的乘法和除法法则就能派上大用场啦。
就像我上次去超市，发现商品的总价和单价、数量之间的关系，当单价和数量都随着促销活动等因素变化时，就类似这种复杂的关系需要用特殊的法则来处理。
二、导数乘法法则（一）法则内容1、如果我们有两个函数，设为\（u(x)＼）和\（v(x)＼），那么它们乘积的导数\（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＼）。
这里的\（u'（x)＼）就是\（u(x)＼）的导数，＼（v'（x)＼）就是\（v(x)＼）的导数。
这个法则看起来有点复杂，不过咱们可以把它想象成是一种分配工作的方式。
比如说，＼（u(x)＼）和\（v(x)＼）是两个小伙伴一起完成一项任务，它们的乘积的变化率（也就是导数）就等于\（u(x)＼）自己的变化率乘以\（v(x)＼）（这就好像\（u(x)＼）变化的时候拉着\（v(x)＼）一起），再加上\（u(x)＼）乘以\（v(x)＼）自己的变化率（就像\（v(x)＼）变化的时候也影响着整体）。
例如，设\（u(x)＝x^2\），＼（v(x)＝＼sin x\）。
首先我们求\（u'（x)＼），根据求导公式\（（x^n)＇＝ nx^｛n 1}＼），＼（u'（x)＝2x\）；＼（v'（x)＝＼cos x\）。
那么\（（u(x)v(x)）＇＝（x^2\sin x)＇＝u'（x)v(x)＋u(x)v'（x)＝2x\sin x ＋ x^2\cos x\）。
（二）推导过程1、从导数的定义出发，＼（（u(x)v(x)）＇＼）等于\（＼lim\limits_{＼Delta x\rightarrow0}＼frac{u(x ＋＼Delta x)v(x+＼Deltax)u(x)v(x)｝｛＼Delta x}＼）。
高中数学导数的乘法与除法法则课件
是f(fx()x和)gg(x(gf)x(()xx,我)) f们(x有)gfg:(((xxx))). f (x)g(x),
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
g
(
x)
g 2(x)
.
特别地,当g(x) k时,有: kf (x) kf (x).
g(x) x之商,根据导数公式表分别得出:
f (x) cosx, g(x) 1,
由求导的除法法则得:
sin x
x
cosx x sin x2
x 1
x cosx sin x2
x.
(2)函数y x2 是函数f (x) x2和函数 ln x
g(x) ln x之商,根据导数公式表分别得出:
x
x 2x ln x 2x sin x x2 cosx.
(2)函数y cosx x 是函数f (x) cosx x与 x2
g(x) x2的商.由导数公式表及差函数的求
导法则可得: f (x) sin x 1, g(x) 2x,
用求导的除法法则可得:
f (x) 1, g(x) 1 , x
根据两函数之积的求导法则,可得 : (x ln x) 1 ln x x 1 ln x 1.
x
例4求下列函数的导数:
sin x
x2
(1) y , (2) y .
x
ln x
解 : (1)函数y sin x 是函数f (x) sin x和函数 x
解 : (1)函数y x2 (ln x sin x)是函数f (x) x2与
导数的运算法则及复合函数的导数
导数的运算法则及复合函数的导数导数是微积分中非常重要的概念，它描述了一个函数在其中一点的变化率。
在实际应用中，我们常常需要对函数进行一系列运算，包括加减乘除和复合函数等，了解导数的运算法则以及复合函数的导数可以帮助我们更好地进行运算和解决实际问题。
1.导数的运算法则：(1)和差法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的和、差的函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在区间I上仍然可导，并且有如下的导数公式：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(2)乘法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的乘积函数f(x)g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3)除法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，并且g(x)≠0，则它们的商函数f(x)/g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]²(4)常数法则：设c为常数，函数f(x)在区间I上可导，则常数函数cf(x)在区间I 上可导，并且有如下的导数公式：(cf(x))' = cf'(x)(5)幂函数法则：设函数f(x)=x^n在区间(x>0)上可导，则幂函数f(x)=x^k在区间(x>0)上可导，并且有如下的导数公式：(x^k)' = kx^(k-1)2.复合函数的导数：复合函数是指一个函数内部存在另一个函数，即一个函数的输入是另一个函数的输出。
在实际运算中，我们还需要计算复合函数的导数，可以利用链式法则来求解。
(1)链式法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由两个函数构成的复合函数，在函数f和g 满足一定的条件下dy/dx = dy/du * du/dx具体地，对于复合函数y=f(g(x))，先计算出f对u的导数df/du，再计算出g对x的导数dg/dx，最后将两个结果相乘即可得到复合函数对x的导数。
【数学】2.4.2 导数的乘法与除法法则 课件(北师大版选修2-2)
因此, x 2 f ( x)的导数为x 2 f ( x) ( x 2 ) f ( x).
一般地, 若两个函数f( x)和g ( x)的导数分别 f(( x)我们有 f ( x) g ( x), g ( x) 是f ( x)和g x), :
如果有函数y f ( x) g ( x) x f ( x),
2
如何来求它的导数呢?
分析推导 按照求函数导数的步骤:
首先给定自变量x0的一个改变量x, 可以得到函数值的改变量
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ),
相应的平均变化率可以写成
x2 ( 2)函数y 是函数f ( x ) x 2和函数 ln x g ( x ) ln x之商, 根据导数公式表分别得出 : 1 f ( x ) 2 x, g ( x ) , x 由求导的除法法则得 : 2 x ln x x 2 1 x2 x x ( 2 ln x 1) . ln x (ln x ) 2 ln 2 x
2 y ( x0 x) 2 f ( x0 x) x0 f ( x0 ) x x 2 ( x0 x) 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 f ( x0 ) x 2 f ( x0 x) f ( x0 ) ( x0 x) 2 x0 ( x0 x) 2 f ( x0 ), x x
2 令x 0,由于 lim ( x0 x) 2 x0 , x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) lim f ( x0 ), x 0 x 2 ( x0 x) 2 x0 lim 2 x0 , x 0 x 知f ( x) g ( x) x 2 f ( x)在x0处的导数值为
导数的乘除法法则
所以 f (x)g(x) x2 f (x) 在 x0 处的导数值是： x02 f (x0 ) 2x0 f (x0 ) g(x0 ) f (x0 ) g(x0 ) f (x0 )
因此，x2 f (x) 的导数是： x2 f (x) (x2 ) f (x)
由此可以得到：
f (x)g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
方程为：
1 x
y 7 (x 1) 4
即： 7x 4y 7 0
练习
g
(
x)
f (x)g(x) f (x)g(x) g 2 ( x)
思考：下列式子是否成立？？试举例说明。
× f (x)g(x) f (x)g(x)
× f (x)
g
(
x)
f (x) g ( x)
例如，f (x) x3 , g(x) x2，通过计算可知
(1) y (2x2 3)(3x 1) (2)y ( x 2)2
y 1
2 x
(3) y x sin x cos x 22
y 1 1 cos x 2
本题也可以用公式变形再用导数的加减法法则计算。
2. 求曲线 y x(2 x3 )2在 (1,9) 处的切线方程。
y (x0 x)2 f (x0 x) x02 f ( x0 )
平均变化率：
y (x0 x)2 f (x0 x) x02 f (x0 )
x
x
如何得
到 f (x) 、g( x)？
即出现：f (x) f (x0 x) f (x0 )
x
x
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探究点3 应用导数运算法则求曲线的切线 例4 求曲线 f ( x) x 2 x ln x 在点（1,1）处的切 线方程.
f (x) x (2 x ) ln x 2 x (ln x) 解：首先求函数的导函数 2x 1 (2 x ln 2) ln x . x
将x=1代入f′(x),得所求切线的斜率
f (x) f (x)g(x) f (x)g(x) [ ] . 2 g(x) g (x)
特别地，当 g ( x ) k 时，有 kf ( x ) kf ( x ) .
思考交流：下列式子是否成立？试举例说明. 设
f ( x ) x , g ( x ) x ，试说明：
【变式练习】 求下列函数的导数：
2x (1)y 4x(x 2).(2)y 2 . x 1 解：(1)y 4(x 2) 4x 8x 8.
2(x 2 1) 2x 2x (2)y (x 2 1)2 2 2x 2 2 . 2 (x 1)
2 2
A. 3x 6
5 A. 3 4x 3
C. 0
5(4x 3) B. 4 2 (x 3x 8)
3
5(4x 3 3) D. 4 (x 3x 8)2
3. 函数
y x 2 cos x 的导数为( A )
2
A. y 2x cos x x sin x B. y 2x cos x x sin x
解：（1）函数y=x2ex是函数f（x）=x2与g（x） =ex之积，由导数公式表分别得出
f (x) 2x,g(x) e x
根据两函数之积的求导法则，可得
2xe x x 2ex (2x x 2 )e x . (x e )
2 x
（2）函数 y x sin x是函数 f ( x ) 之积，由导数公式表分别得出
4.2 导数的乘法与除法法则
前面学习了导数的加法与减法法则，下面进行
复习回顾：
[ f ( x) g ( x)] f ( x ) g ( x )
对于导数的乘法与除法法则，我们能否给出这
样的结论呢？
f ( x) f ( x) f ( x) g ( x) f ( x) g ( x), g ( x) g ( x)
之商，根据导数公式表分别得出
1 f ( x) 2 x, g ( x) . x
由求导的除法法则得
2x ln x x 2 1 x2 x x(2ln x 1) . ln x 2 2 (ln x) ln x
【变式练习】 求下列函数的导数：
x 1 (1)y x sin x.(2)y . x 1
=x之商，由导数公式表分别得出
f ( x ) cos x, g ( x ) 1.
由求导的除法法则得
sin x cos x x sin x 1 x cos x sin x . 2 2 x x x
x2 （2）函数 y 是函数 f（x）=x2与g（x）=ln x ln x
2
C. y x cos x 2x sin x
2
D. y x cos x x sin x
2
4.下列求导数运算正确的是 ( B )
1 1 A. x 1 2 x x C. 3
x
1 B. log 2 x x ln 2 x 2x cos x x 2 sin x D. 2 cos x cos x
例3
求下列函数的导数：
2
cos x x (1)y x (ln x sin x). (2)y . 2 x 解：（1）函数y=x2(ln x+sin x)是函数f（x）=x2与
g（x）=ln x+sin x的积，由导数公式表及和函数的 求导法则分别得出 1 f (x) 2x,g(x) cos x. x 由求导的乘法法则得
【提升总结】利用导数公式及导数运算法则求导的方法
观察 分析 观察函数的结构特征，紧扣导数运算法 则，联系基本初等函数的导数公式，分 析函数能否直接应用导数公式求导.
变形 化简
对不易于直接应用求导公式的函数， 适当运用代数、三角恒等变换，对函 数进行化简，优化解题过程. 求导时应尽量避免使用积或商的 求导法则，可在求导前先化简， 然后求导，以简化运算.
提示： 计算导数的步骤 求y
y 求 x
y 求 lim x 0 x
解析：给定自变量x0的一个改变量△x，则函数值y的 改变量为
2 y x 0 x f (x 0 x) x 0f (x 0 ), 2
相应的平均变化率可写成
2 y (x 0 x) 2 f (x 0 x) x 0f (x 0 ) x x
解析： 由函数 f(x)的图像在点 M(－1，f(－1))处的切线方 程为 x＋2y＋5＝0，知－1＋2f(－1)＋5＝0， 即 f(－1)＝－2， 1 由切点为 M 点得 f′(－1)＝－ . 2 2 ax ＋b－2xax－6 因为 f′(x)＝ ， x2＋b2
所以 a1＋b－2a＋6 1 1＋b ＝－2，
显然 同理
f ( x ) g ( x )
f ( x ) g ( x ) .
f ( x) f ( x ) g ( x ) g ( x ) .
例1 求下列函数的导数：
x2 ex . (1) y
( 2) y x sin x . ( 3) y x lnx.
1 x ln x sin x 2x ln x sin x x 2 cos x x
2
x 2x ln x 2x sin x x 2 cos x.
（2）函数 y cos x x 可以看成是函数f（x）=cosx-x 2 x 2的商，由导数公式表及差函数的求导法则分 与g(x)=x 别得出
2
3x log 3 e
5.(2012·新课标全国卷)曲线y=x(3ln x+1)在点
4x y 3 0 （1,1）处的切线方程为_____________.
【分析】通过求导得切线斜率，一点一斜率可确定
切线方程，最后将方程化为一般式.
解析：由曲线方程得 y 3ln x 4 ，所以曲线y=
2 f (1) 1 2 ln 2ln1 3. 1 x f ( x) x 2 ln x在点（1,1）处的切线方程为
1
1
y 1 3(x 1),即y 3x 2.
【变式练习】
ax－6 已知函数 f(x)＝ 2 的图像在点 M(－1， x ＋b f(－1))处的切线方程为 x＋2y＋5＝0，求函数 y＝ f(x)的解析式．
3
解析：(1)y 3x2 sin x x3 cos x.
(x 1) (x 1) (2)y (x 1)2 2 . 2 (x 1)
探究点2
导数四则运算法则的灵活运用
较为复杂的求导运算，一般综合了和、差、积、
商的几种运算，要注意：(1)先将函数式化简，化 为基本初等函数的和、差、积、商.(2)根据导数的 四则运算法则和公式求导，注意公式法则的层次 性．
f ( x ) sin x 1, g ( x) 2 x.
由求导的除法法则得
sin x 1 x 2 cos x x 2x cos x x 2 x (x 2 ) 2 (1 sin x)x 2cos x 2x x sin x 2cos x x . 3 3 x x
x(3ln x+1)在点（1,1）处切线的斜率k=3×0+4=4,
. 所以曲线在点（1,1）处的切线方程为4x-y-3=0.
6.求曲线y=f(x)=x3+3x－8在x=2处的切线的方程.
解： 因为f (x) (x 3 3x 8) 3x 2 3,
(2) 3 2 2 3 15, 所以k f 又因为f (2) 23 3 2 8 6, 切线过点(2,6), 所以代入点斜式 得切线方程为y 6 15(x 2), 即15x y 24 0.
2 令x 0,由于 lim (x 0 x) 2 x 0 , x 0
f (x 0 x) f (x 0 ) lim f (x 0 ), x 0 x
2 (x 0 x) 2 x 0 lim 2x 0 , x 0 x
知 f ( x) g ( x) x 2 f ( x) 在x0处的导数值为
3 2
( x ) g ( x ) ， f ( x ) f ( x ) . f ( x ) g ( x ) f g ( x) g ( x )
解析：
f (x)g(x)
x x (x 5 ) 5x 4 , )(x 2 ) 3x 2 2x 6x 3 ,
2 (x 0 x) 2 f (x 0 x) f (x 0 ) (x 0 x) 2 x 0 f (x 0 )
x
2 f (x 0 x) f (x 0 ) (x 0 x) 2 x 0 (x 0 x) 2 f (x 0 ). x x
2 x 0f (x 0 ) 2x 0f (x 0 ). 因此，x 2 f ( x) 的导数为
x f (x) (x )f (x).
2 2
抽象概括
别是 f ( x)和g ( x) ，我们有
比较与加减 法则的不同
一般地，若两个函数f(x)和g(x)的导数分