解二元一次方程组-加减消元法
6x+5y=27 ①
⑵
3x -4y=20 ②
(3) 6s+2t=4s+7 =34
3 x 1 4 y 4 4 5 y 1 3 x 5
例3：解方程组
m n 13 2 3 m n 3 3 4
练一练
⑴
0.6x-0.5y=0.4 2X-3y=4
x 2 y 1 3x 2 y 5
例1：解方程组 解： ①+ ② ，得 解这个方程得
x+2y=1 ① 3X-2y=5 ②
4x=6
3 将x= 代入①，得 3 2 +2y=1
解这个方程得
3 x= 2
1 y= 4 3 x= 2 y= 1
2
所以原方程组的解是
4
-3x+2y=23① ｛ -5x+2y=33②
2X+3y=2a
5. 已知，关于x，y的方程组 x-2y=4-m 2y+3x=5m 的解也是关于x,y的方程x+y=m的解， 求m的值.
2012 x 2013 y 2011 6. 若 ， 2013 x 2012 y 2014 2 3 求( x y ) ( x y ) 的值。
解： ②－ ①,得 2x=10 x=5 把x=5代入①,得 -3×5+2y=23 解这个方程得 y=19 x=5 所以原方程组的解是 ｛ y=19
解下列方程组:
1.
2x+y=32
①
2X-y=0
② ①
②
7x+3y=11 2. 2X - 3y=7
例2：解方程组 解： ①×3, 得 ②×2，得
5x-2y=4 ① 2X-3y=-5 ② 15x-6y=12 ③ 4x-6y=-10 ④
x y 2 (2) 3 4
3X-4y=-7
x 2 y 1 3 4 3 3x 2 y 1
ax y 3 1．甲、乙二人同时解方程组 ， 2 x by 1 x 1 甲看错了a，解得 ；乙看错了b，
相信你能行
2．已知代数式 x mx n ，当 x 3 时， 该代数式的值是5；当 x 4 时，该代数 式的值是-9．（1）求m、n的值；
1、 本节课我们知道了用加减消元法解二 元一次方程组的基本思路是“消元”。即 把“二元”化为“一元”，化二元一次方 程组为一元一次方程。 2、用加减消元法解二元一次方程组的一般 步骤. 3、把求出的解代入原方程组，可以检验解 是否正确。
解二元一次方程组(2)
回顾与思考
问题1:解方程组的基本思路是什么？ 把“二元”变为“一元” 问题2：代入消元法解二元一次方程组
的一般步骤是什么?
（1）除了用代入消元法求解以外，观察方程组的 特点，还能有其他方法求解吗？ （2）方程组的系数有什么特殊的地方吗？ y的系数互为相反数
（3）你能想办法消去未知数y吗？ 将两个方程相加，直接消去y
③-④，得
解这个方程得 将x=2 代入①，得 解这个方程得
11 x=22
x=2 5×2-2y=4 y=3
所以原方程组的解是 x=2 ｛ y=3
动手试一试
5x-2y=4 ①
2X-3y=-5 ②
本题能否通过消去x解这个方 程组？
同学们：你从上面的学习中体会到解方程组 的基本思路是什么吗？主要步骤有哪些吗？
x 1 ．求a、b的值． 解得 y 3 2
y 1
（2）求当 x 1 时，该代数式的值．
3. 已知关于x,y的方程组
x-y=3
ax+2by=4Biblioteka 与X+y=1
bX+(a-1)y=3
的解相同,求a,b的值.
3x+2y=a+2
4. 已知关于x,y的方程组的解
满足x+y=4,求a的值.
上面解方程组的基本思路还是“消 元”------把“二元”变为“一元”。主要步 骤是：把方程组的两个方程（或先作适当 变形）相加或相减，消去其中一个未知数， 把解二元一次方程组转化为解一元一次方 程.这种解方程组的方法叫做加减消元法， 简称加减法．
做一做
1、解二元一次方程组
⑴
-3x+2y=-5 ① X+3y=9 ②
7．小明买了两份水果，一份是3 kg苹果、 2 kg香蕉，共用去13.2元；另一份是2 kg 苹果、5 kg香蕉，共用去19.8元． 问：苹果和香蕉的价格各是多少？ 8．买5本笔记本和6枝圆珠笔共花去15元， 买同样的4本笔记本和3枝圆珠笔共花去 9.3元，每本笔记本和每枝圆珠笔各多少 元？
小结与回顾
二元一次方程组的解法之加减消元法
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
消元法来解方程组了.
樂
见
2x 3y 11 ①
2x 3 (3) 11
解得 x 1 写解
3x 45 8
解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
2x 3y 11 ①
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
解：①×5得10x 15y 55③ 解：①×4得 12x 16y 32 ③
小结：如果两个方程中有一个未知数的系数相 等（或互为相反数），那么把这两个方程直接 相减（或相加）；否则，就把方程乘以适当的 数进行变形，再将所得方程相减（或相加）. 樂
见
1997m 1999n 3995 （5）1999m 1997n 3997
选择消
,将方程
①+②得
3996m3996n 39962
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 17 ②
樂 见
巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5.2-加减消元法解二元一次方程组
6 7y 9 7y 96 7y 3 3 y 7
联系上面的解法，想一想怎样解方程组
3x 5 y 21 2 x 5 y 11
① + ②
① ②
异加
4x 5 y 3 2 x 5 y 1
① － ②
①
② 同减
3x 5 y 21 2 x 5 y -11
6x-5y=17②
1. 用加减法解方程组
应用（B ）
A.①-②消去y B.①-②消去x C. ②- ①消去常数项 D. 以上都不对
3x+2y=13
2.方程组
3x-2y=5
消去y后所得的方程是（B ）
A.6x=8 B.6x=18 C.6x=5 D.x=18
三、指出下列方程组求解过程中有错误步骤， 并给予订正： 7x－4y＝4 ①
加减法
(4)
9x-5y=1 6x-7y=2
加减法
⑴ 如果方程组的两个方程中某一未知数的系数相等或者 互为相反数时，把两个方程的两边分别 相减或相加 ， 消去一个未知数，得到一元一次方程，解这个方程得一 个未知数的值。将求得的未知数代入其中一个方程得另 一个未知数的值，从而解得方程组的解。同减异加 ⑵如果方程组中某一未知数系数绝对值均不相等时，把 一个或两个方程两边 乘以一个适当的数 ， 使两个方程 中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为上述类型方 程组求解。 特别的，当一个方程中某未知数的系数是另一个方程同 一未知数的系数 的倍数时 ，加减消元法比较合适。
(口算或在草稿纸上进行笔算),即把求得的解代入 每一个方程看是否成立.
1、根据等式性质填空: <1>若a=b,那么a±c= b±c ( .等式性质1) 思考:若a=b,c=d,那么a+c=b+d吗? <2>若a=b,那么ac= bc . (等式性质2)
用加减消元法解二元一次方程组
用加减消元法解二元一次方程组
加减消元法是一种同时解决多个方程的技术，是乘法消元法的一种，通过加减来解决方程的系数使之变为0，是解决线性方程组的一种简单有效的方法。
一、定义：
加减消元法是指用一组线性方程组，利用加减法，将系数相同的项加减消去，形成新的方程，以求出未知数的值。
二、步骤：
（1）首先把给定的二元一次方程组先写出来，格式要明确；
（2）把所有未知数自然地从小到大排列，写成一个矩阵形式；
（3）开始消元，从矩阵左下角（也可以从右上角）开始，将每行的首项的系数都变为1，同时将原有的等式的右边也作适当的系数改变；
（4）之后将相同系数的相邻项进行加减，消去其中一项；
（5）一直重复上述步骤，最终形成有关未知数的线性矩阵形式，然后
就可以求出未知数的值。
三、原理：
加减消元法的原理可以表述为：使用加减操作、乘除操作，将所有未知数归约至一行，从而解得一组方程组的解。
也就是将，原矩阵中，有关某个未知数的项的系数变为0，从而消除掉它，最终形成只有最后一个未知数的矩阵，再将这个未知数带入原等式中即可求得最后的未知数的值。
四、简单例题：
求解下列方程组：
3x+2y=7
x-y=1
解：
设方程组的右边如下：
（7）（1）
将左边也写出来：
（3 2）（1 -1）
将未知数y的系数项由+2变为-2，即多一步变换3x-2y=7，右边为：（7）（-1）
由此将右边的-1和1相加消去，即得到：
d）（7）
（3 0）
联立上下两个方程可解出：x=2, y=1
从而得 2x+2y=7 的解为：x=2, y=1。
3.3.4 二元一次方程组的解法——加减消元法
知2－讲
化简，得x＋y＝3 ③，①－②，
得－x＋y＝－1④，联立③和④，得 x+y 3,
③＋④，得2y＝2，解得y＝1. ③－④，得2x＝4，解得x＝2.
x+y 1,
所以原方程组的解是
x 2,
y
1.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
解轮换对称方程组的步骤： ①两式相加； ②两式相减； ③把新得的两个方程联立，解这个方程组．
知2－讲
x 6,
y
6.
（来自《点拨》）
例4
解方程组
x
2
y
x
3
y
6,
知2－讲
导引：先将方程组2化 x简 y， 再3x用加3 y减 2法4.解方程组．
解：将原方程组化简，得 5x+y 36,①
①×5，得25x＋5y＝180x.③ 5,
解法一:（消去x) 将①×2,得8x+2y=28.③ ②-③，得y= 2. 把y =2代入①，得4x + 2 = 14. x = 3.
知1－讲
所以
解法二: （消去y)x请 同3, 学们自己完成.
y
2.
（来自教材）
例3
解方程组：4x+2y 5, ① 5x 3y 9. ②
y
24.②
③－②，得26x＝156，解得x＝6.
把x＝6代入①，得y＝6.
所以原方程组的解是知2－讲源自x 6, y
6.
(来自《点拨》)
总结
知2－讲
每个二元一次方程组均可采用代入法或加减法求解，但是 在解题中我们应根据方程组的特点灵活选用最恰当的方法， 使计算过程简单，一般地，当化简后的方程组存在一个方 程的某个未知数的绝对值是1或有一个方程的常数项是0时， 用代入法；当两个方程中的某一个未知数系数的绝对值相 等或成倍数关系时，用加减法．
二元一次方程组的解法之加减消元法
3x 45 8
解得 y 3 写解 解得 x 4
x 1
因此原方程组的解是
y
3
x 4
因此原方程组的解是
y
5樂见
牛刀小试
解下列方程组：
3x 2 y 8 ① （1）6x 5y 47 ②
2x 3y 12 ① （2） 3x 4 y 1Βιβλιοθήκη ②樂 见巩固练习
用加减法解下列方程时，你认为先消哪个未知数 比较简单，填写消元的过程.
2m 3n 1 ① 选择消 n
（1） 5m 3n 4 ② 将方程 ②－① 进行消元
5m 3n 2 ① 选择消 m
（2） 5m 3n 4 ② 将方程 ①+② 进行消元
樂 见
5x 4 y 23 ① 选择消 y
（3） 3x 2 y 15 ② 将方程②×2－① 进行消元
7m 3n 1 ① 选择消 n
（1）6x 5y 9
②
3x 4y 8 ① （2）4x 3y 1 ②
方程①×4 方程②×3
归纳
6x 9y 33 ③
6x 5y 9
②
12x 16y 32 ③ 12x 9y 3 ④
当程的方的方程两程组边的的都系两乘数（能x（个以相或不方一 同或互能程个或y为）使不适互相的两能当为反直的相系个接数反数数方用（数）相程加不，呢等中减为那？消零么元）就时， 可，使以可变用将形加方后减
七年级下册
二元一次方程组的解 法
——加减消元法
樂 见
回顾思考
代入法解二元一次方程组一般步骤：
<1>变 ——用含有一个未知数的代数式表示另 一个未知数,写成y=ax+b或x=ay+b；
<2>代——把变形后的方程代入到另一个方程
初中数学【二元一次方程组的解法——加减消元法】课件
知数的数值。
3.把解得的一个未知数的 值代入原方程中的任意一个方程，
解得另一个未知数的值。
4.把解得的两个未知数的，并列写在花括号，得到原方程
组的解。
拓展提升
解方程组
+ −
+ =6
2
3
①
2(x+y)-3x+3y=24
②
引导：将较为复杂的方程组先化简转化为一般形式，然后用代入法或
③ - ④， 得 26v=13
解这个一元一次方程，得v=
1
2
1
2
将v= 代入方程①，得5u+1=-9
解得
u=-2∴Βιβλιοθήκη 程组的解为u=-2v=
1
2
课堂总结
用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤：
1.在一个或两个方程的两边分别乘以一个适当的数，使两
个方程中某一个未知数的系数绝对值相等。
2.绝对值相等的未知数的系数符号相反时，将两个方程相
二元一次方程组的解法——加减消元法
知识回顾
解二元一次方程组的根本方法—— “消元”
消元本质： 通过消掉一个未知数，将二元转化为
一元。
情景导航
x+y=7300 ①
解方程组
y-x=6100
②
“加减消元法”
“化归思想”
观察这个方程组的系数特点，你还能想出其它办法来消元吗？
整体思路：
法1：①式与②式x前面的系数互为相反数，利用等式的基本性质，将两式相加，就能消
的这种解法叫做加减消元法，简称加减法。
典例分析
5u+2v=-9 ①
解方程组
二元一次方程组加减消元法
小结
上面这些方程组的特点是什么? 解这类方程组基本思路是什么？ 主要步骤有哪些？ 同一个未知数的系数相同或互为相反数 特点: 或成整数倍 使得同一个未知数的系 数相同或互为相反数 消去一个元
一元
基本思路: 加减消元: 二元
主要步骤： 变形 加减 求解 写解
分别求出两个未知数的值 写出原方程组的解
例:用加减法解方程组:
①
2x+3y=-1 ②
由 ②－①得:8y＝－8
由①+②得: 5x=20
当同一个未知数的系数互为相反数时，用 加法；
当同一个未知数的系数相同时，用减法。
一.填空题：
2x+7y=17
1.已知方程组 两个方程 4x-7y=6 分别相加 就可以消去未知数 y 只要两边 23x-9y=18
2.已知方程组
两个方程
2
知识的升华
a+2b=8 1、已知a、b满足方程组 2a+b=7 则a+b= 5
2、选做题：当m为何值时,关于x、y的
方程组{
2x+3y=m
3x+5y=m+2
得的解的和为12?
练一练
用适当方法解下列方程组.
4s+3t=5
5x-6y=9 7x-4y=-5
2s-t=-5
二元一次方程组解法有 代入法、加减法 .
③+④得 19x=114 x=6
把x=6代入① 得: y＝－
所以原方程组的解是
1 2
2
把y =
1 2
代入① 得: x＝６
x 6 y
1 2
所以这个方程组的解是
x6 y1 2
二元一次方程组的解法加减消元法
二元一次方程组的解法加减消元法
二元一次方程组是指由两个含有两个未知数的线性方程组成的方程组。
其中，每个方程都可以写成以下形式：ax + by = c。
加减消元法是一种解二元一次方程组的常用方法。
它的基本思想是通过加减方程来消去一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程，然后通过解这个方程来求解出另一个未知数。
具体步骤如下：
1. 将方程组写成标准形式。
确保每个方程都按照ax + by = c 的形式排列。
2. 选取合适的方程，通过加减操作消去其中一个未知数。
这通常需要使得其中一个系数相加或相减后为零。
3. 解得一元一次方程，求解出已经消去的未知数的值。
4. 将求得的未知数的值代入消去后的方程中，解得另一个未知数。
5. 检验解的正确性，将求得的未知数代入原方程组中，验证等号两边是否相等。
通过反复使用加减消元法，直到得到最终的解。
需要注意的是，加减消元法在解决二元一次方程组时可能会遇到以下情况：无解、唯一解和无穷解。
无解表示方程组无解；唯一解表示方程组存在且只有一个解；无穷解表示方程组存在且有无限个解。
使用加减消元法可以有效地解决二元一次方程组，但要注意运算的准确性和规范性，以确保得到正确的解答。
二元一次方程组的解法(2) 加减消元法1课件2022-2023学年人教版七年级数学下册
是同类项，则
x y
1
= ___________.
深探·自学
如何得结论呢！
y
已知 x ，
x 2
已知
y 1
2 x y 4
满足方程组
x 2 y 5
mx y 3
是方程组
x ny 6
，则
x y
3
=___________.
4
的解，则 mn = ___________.
x 1
y 2
∴这个方程组的解为
x 1
y 2
总结：①某个未知数的系数互为
相反数，用加法消元.
初探·自学
习惯指标 ★积极参与课堂合作
学科指标 ★解二元一次方程组
联系上面的解法，想一想怎么解方程组
2 x y 4
x y 1
解：由①-②得， = 5 .
且 (2b a)
关于， 的二元一次方程组为
2a 6b 4
6a 2b 8
2022
(2 1) 2022 1 .
2.
Ax＋By＝2，
甲、乙两人同解方程组
甲正确解得
Cx－3y＝－2.
x＝1，
乙因抄错
y＝－1.
x＝2，
C，解得
求
y＝－6.
习 惯 指 标 ★做好课前准备
第2课时
二元一次方程组的解法（2）
——加减消元法1
万物皆有裂痕，那是光进来的地方.
习惯指标 ★积极参与课堂合作
初探·自学
解二元一次方程组：
2 x y 4
x y 1
二元一次方程组的加减消元法
二元一次方程组的加减消元法加减消元法是指当二元一次方程组的两个方程中同一个未知数的系数互为相反数或者相等时，把这两个方程的的两边分别进行相加或相减运算，就能消去这个未知数，从而得到一个一元一次方程。
加减消元法解二元一次方程组的解题步骤：
一、变形：根据绝对值较小的未知数（相同未知数）的系数的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数，使两个方程的某一个未知数的系数相等或互为相反数，然后通过加减法消去这个未知数。
特别提醒：选择消元对象时最好选择未知数的系数互为相反数、相等、倍数关系或者是互为质数的未知数作为消元对象。
二、加减：两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程直接相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减，从而消去一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程。
特别注意：两个方程相加减时，一定要把两个方程等号两边分别相加减，且要注意各项符号的变化。
三、求解：解消元后的一元一次方程，求出另外一个未知数的值。
四、回代：把求得未知数的值，回代到方程组中较简单的一个方程，从而求出另外一个未知数的值。
五、写解：把两个未知数的值用大括号联立起来。