观测井内水位方程的幂级数解答

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所求的观测井内水位方程是真实的解答。
4.2 地下水位随时间 t 的正弦函数变化
4.2.1 观测井内水位方程“真实解”
为简化计算，不妨将地下水位随时间 t 的正弦函数变化表示为
Wg = sint
将上式代入水位平衡微分方程式（5） ，可得
（14）
Wm = e
−
t tb
t ⎡ ⎤ 1 tb ⎢C + ∫ e sintdt ⎥ tb ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
（15）
对上式中的后一项运用分部积分，整理可得
sint − tb cost tb 1 tb e sintdt = e ∫ tb 1 + tb 2
将上式代入式（15） ，可得
t
t
（16）
Wm = Ce
−
t tb
+
sint − tb cost 1 + tb 2
ΔWg
为从直观上反映不同 n 值对多项式替代误差 ΔWg 的影响，下面分别就多项式次数
n = 2 、、、 4 6 8 时，给出地下水位原函数 Wg 和替代多项式 Wg 在区间 [0, 2π ] 上的关系曲线，
具体的分析结果如图 2 ∼ 5 所示。
图2
Wg 和 Wg 的对比曲线（ n = 2 ）
图3
Wg 和 Wg 的对比曲线（ n = 4 ）
ΔWm = max
t∈[ 0,2π ]
sint − cost n 1 ⎡t 2 i +1 − (2i + 1)t 2 i + − ∑ (−1)i ⎣ 2 (2 i 1)! + i =0
− (2i + 1)!]
（24）
根据上式分析不同 n 值对观测井内水位误差的影响，具体的计算结果如表 2 所示。 表2
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−
Wm = e
t tb
t ⎧ ⎫ 1 tb ∞ ⎪ ⎪ i ⎨C + ∫ e ∑ α i t dt ⎬ tb i =0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
（7）
对上式中的后一项运用分部积分有
n 1 tb ∞ i = e α t dt αi ⎡ t i − it i −1tb + i (i − 1)t i − 2tb 2 − ∑ ∑ i ∫ ⎣ tb i =0 i =0 t
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图4
Wg 和 Wg 的对比曲线（ n = 6 ）
图5
Wg 和 Wg 的对比曲线（ n = 8 ）
从表 1 和图 2 ∼ 5 的分析结果不难看出，取幂级数展开式的前 n 项替代地下水位原函数 所产生的误差，在总的趋势上随多项式次数 n 的增加而减小。可见，在实际的工程应用中， 只要选取合适的 n 值，即可保证近似多项式的替代精度。 2）观测井内水位的误差分析 比较式（17）和式（20）可知，由地下水位原函数的多项式替代所引起的观测井内水位 误差为
t=0
g0 sg
m0 sm Wm
t 时刻
Wg
图 1 观测井内外水位状态 任意时刻 t，在内外水位差的作用下，通过观测井的渗流流量为
q = kF (Wm − Wg )
（1）
式中，k为土体的渗透系数；F为观测井进水段的进水系数，又称形状系数，其物理意义为单 位渗透系数的土体当中在单位水头差作用下流入或流出观测井的水流量， 它取决于进水段的 形状、尺寸、结构和位置[5, 8 , 9 ]。 设观测井进水段的内横截面积为 A，则流量连续条件可表示为
dWm t = Wg − Wm tb
上式即为Hvorslev[5]推导的水位平衡微分方程形式。
（5）
3. 观测井内水位方程的幂级数解答
为建立观测井内水位方程的幂级数解答，不妨将幂级数展开后的地下水位方程表示成
Wg = ∑ α i t i
i =0
∞
（6）
式中， α i
地下水位方程幂级数展开后的系数。
将上式代入水位平衡微分方程式（5） ，可得
（21）
为 分 析 ΔWg 随 时 间 t 的 分 布 情 况 ， 以 ΔWg 表 示 ΔWg 在 函 数 sint 一 个 波 动 周 期 （ Tw = 2π ）上绝对值的最大值，则有
ΔWg = max ΔWg = max sint − ∑ (−1)i
t∈[ 0,2π ] t∈[0,2π ] i =0
Wg = ∑ (−1)i
i =0
n
1 t 2i +1 (2i + 1)!
i
（19）
比较上式和式（6）可知 α i = (−1) 内水位方程“近似解”
1 （i = 0 (2i + 1)!
n ），代入公式（9）可得观测井
Wm = Ce
4.2.3
−
t tb
+ ∑ (−1)i
i =0
n
1 ⎡ t 2i +1 − (2i + 1)t 2i tb + ⎣ (2 i + 1)!
+ (−1) i !tb ⎤ ⎦e
i i
t tb
（8）
将上式代入公式（7）可得
Wm = Ce
−
t tb
i i −1 i−2 2 + ∑α i ⎡ ⎣t − it tb + i(i − 1)t tb − i =0
∞
+ (−1)i i !tb i ⎤ ⎦
（9）
上式即为观测井内水位方程的幂级数解答通式。 今后对于任意函数形式的地下方程， 只 要将其幂级数展开后的 n 次替代多项式与式（6）相比较，将相应的系数依次代入公式（9） 即可得到观测井内水位方程， 无需再进行上述水位平衡微分方程的求解， 大大简化计算过程。 下面以地下水位随时间 t 的线性和正弦函数变化为例说明本文算法思想。
ΔWm 与 n 取值的关系表
3 12.352 4 4.263 5 1.020 6 0.180 7 0.024 8 0.002
n
ΔWm
0 52.449
结合表 1 和表 2 可知，对于相同的 n 值而言，观测井内水位误差值小于地下水位的多项
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观测井内水位方程的幂级数解答
葛国昌
河海大学岩土工程研究所，江苏南京（210098）
E-mail:ggc2021@
摘要：针对地下水位方程形式多样的特点，利用任意函数均可进行幂级数展开的性质，建立 了观测井内水位方程的幂级数解答通式。 为说明算法思想， 给出了该算法在地下水位的线性 和正弦函数变化中的应用算例。 分析结果表明， 本文算法用于观测井内水位方程的求解具有 适应性强、计算简单、精度高等优点。 关键词：观测井，水位方程，响应滞后，幂级数解答，近似多项式
4. 算例
4.1 地下水位随时间 t 线性变化
不妨假设地下水位随时间 t 的线性变化方程为
Wg = a + bt
式中， a 、 b 常系数，且 b ≠ 0 。
（10）
由于上式函数本身即为幂级数形式 （一次多项式） ， 将其直接与式 （6） 比较可知： i = 0..1 ，
α 0 = a ， α 1 = b ，代入公式（9）可得观测井内水位方程
2. 观测井水位平衡微分方程
考虑任意工况，设初始时刻，地下水位（高程）为g0，监测水位为m0；在任意时刻t， 地下水位为Wg，监测水位为Wm，如图 1 所示。为建立观测井内外水位平衡微分方程，假定： 土体均质、各向同性；渗流服从Darcy定律；土、水均不可压缩；忽略井壁的摩擦和井损。
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− (2i + 1)!tb 2i +1 ⎤ ⎦
（20）
误差分析
1）基于地下水位原函数的 n 次多项式替代误差
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根据式（14）和式（19）可知，由地下水位原函数的 n 次多项式替代所产生的误差为
ΔWg = sint − ∑ (−1)i
i =0
n
1 t 2 i +1 (2i + 1)!
式替代误差。 也就是说， 本文算法在某种程度上弱化了由地下水位原函数近似替代所产生的 误差， 使所求的观测井内水位更逼近于真实值， 这也为本文算法的推广应用提供了更为坚实 的依据。 以上只是针对地下水位的线性和正弦函数变化， 给出了观测井内水位幂级数解答的求解 过程，对于以指数、对数等函数形式变化的地下水位方程而言，其求解过程与此类同，限于 篇幅，不再赘述。
qdt = − AdWm
由式（1）和（2）可得
（2）
dWm kF = dt Wg − Wm A
Hvorslev[5]定义了
（3）
tb =
A kF
（4）
上式 tb 为观测井基本滞后时间，用于衡量土体的渗透性和不同监测装置进水段的透水 性，以评价监测装置感应所监测地下水位动态变化的敏感性。由此，式（3）可以改写为
Wm = Ce
− t tb
+ [ a + b(t − tb ) ]
（11）
在假设初始时刻观测井内外水位一致的条件下， 结合式 （10） 可知上式的初始条件 t = 0 ，
Wm (0) = Wg (0) = a ，代入上式可得
C = btb
将上式代入式（11）可得 （12）
Wm − bt = a − btb (1 − e
−
t tb
)
（13）
上式即为地下水位线性变化条件下所对应的观测井内水位方程。 从上面的求解过程中不难看出， 对于地下水位方程本身即为幂级数形式的情况， 无需再 进行函数的幂级数展开，只需将地下水位函数表达式的各系数相应代入式（9）即可得到观 测井内水位方程。此外，由于在求解过程中未进行地下水位方程的 n 次多项式替代，因此，
（17）
上式即为地下水位的 sint 变化所对应的观测井内水位方程“真实解” 。 4.2.2 观测井内水位方程“近似解”