三个因果稳定系统的零点极点分布分别如图所示

三个因果稳定系统123(),(),()H z H z H z 的零点、极点分布分别如图所示。

三个系统的极点相同，120.9,0.9p p =-=。由图可见，1()H z 为最小相位系统，2()H z 为混合相位系统，3()H z 为最大相位系统。设图中0.5,/3r ?π==。试分别写出系统函数

123(),(),()H z H z H z 的数学表达式，并绘制其幅频特性、相频特性曲线、单位脉冲响应

123(),(),()h n h n h n 的波形图以及相应的累计能量曲线。由此验证最小相位系统的性质

%program

%compute freqz

z1=[0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((-pi/3)*j),0.5*exp((-pi /3)*j)]';

p1=[0.9,-0.9];

k1=1;

[b1,a1]=zp2tf(z1,p1,k1);

[H1,w1]=freqz(b1,a1,256,1);

mag1=abs(H1);

phs1=angle(H1);

z2=[0.5*exp((pi/3)*j),0.5*exp((-pi/3)*j),2*exp((pi/3)*j),2*exp((-pi/3)* j)]';

p2=[0.9,-0.9];

k2=0.5^2;

[b2,a2]=zp2tf(z2,p2,k2);

[H2,w2]=freqz(b2,a2,256,1);

mag2=abs(H2);

phs2=angle(H2);

for n=1:255

if (phs2(n+1)-phs2(n))>=6

for m=n+1:256

phs2(m)=-2*pi+phs2(m);

end

end

end

z3=[2*exp((pi/3)*j),2*exp((pi/3)*j),2*exp((-pi/3)*j),2*exp((-pi/3)*j)]' ;

p3=[0.9,-0.9];

k3=0.5^4;

[b3,a3]=zp2tf(z3,p3,k3);

[H3,w3]=freqz(b3,a3,256,1);

mag3=abs(H3);

phs3=angle(H3);

for n=1:255

if (phs3(n+1)-phs3(n))>=6

for m=n+1:256

phs3(m)=-2*pi+phs3(m);

end

end

end

%plot h1(n),h2(n),h3(n):

subplot(231);

impz(b1,a1,20);ylabel('h1(n)');xlabel('n');

subplot(232);

impz(b2,a2,20);ylabel('h2(n)');xlabel('n');

subplot(233);

impz(b3,a3,20);ylabel('h3(n)');xlabel('n');

%plot H(ejw):

subplot(234);

plot(w1,mag1);hold on;

plot(w2,mag2);hold on;

plot(w3,mag3);

ylabel('|H(ejw)|');xlabel('w/2pi');

%plot phase

subplot(235);

plot(w1,phs1);hold on;

plot(w2,phs2);hold on;

plot(w3,phs3);

ylabel('phase');xlabel('w/2pi');

% compute E(M):

h1=impz(b1,a1,20);

for n=1:20

E1(n)=h1(1:n)'*h1(1:n); end

h2=impz(b2,a2,20);

for n=1:20

E2(n)=h2(1:n)'*h2(1:n); end

h3=impz(b3,a3,20);

for n=1:20

E3(n)=h3(1:n)'*h3(1:n); end

%plot E1,E2,E3:

subplot(236);

plot(E1);hold on;

plot(E2);hold on;

plot(E3);

ylabel('E(M)');xlabel('M');