二轮复习：解析几何5
高考数学(文)二轮复习专题五 解析几何 后 记 答题模板 Word版含答案
后记答题模板【范例赏析】后记答题模板(本讲对应学生用书第48~49页) 范例赏析典例如图，已知A，B分别为曲线C：22xa+y2=1(y≥0，a>0)与x轴的左、右两个交点，直线l过点B，且与x轴垂直，S为l上异于点B的一点，连接AS交曲线C 于点T.(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧AB的三等分点，试求出点S的坐标.(2)如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在a，使得O，M，S三点共线?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由.(典例)【规范解答】(1)当曲线C为半圆时，a=1，由点T为圆弧AB的三等分点，得∠BOT=60°或120°.2分①当∠BOT=60°时，∠SAB=30°.又AB=2，故在△SAB中，有SB=AB·tan 30°=23，所以S231⎛⎝⎭，. 4分②当∠BOT=120°时，同理可求得点S 的坐标为(1，).综上，点S 的坐标为S1⎛ ⎝⎭或S (1，2). 6分(2)切入点一：从点“T ”入手设点T (a cos θ，sin θ)(sin θ≥0)，则直线AT 的方程为y=sin cos a a θθ+(x+a )， 8分令x=a ，得点S 2sin cos 1a θθ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，所以k OS =2sin (cos 1)a θθ+.又B (a ，0)，所以k TB =sin cos -a a θθ. 10分假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线，由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.所以k OS ·k TB =sin cos -a a θθ·2sin (cos 1)a θθ+=-1，解得a 2=2.又因为a>0，所以. 15分经检验，当时，O ，M ，S 三点共线.故存在，使得O ，M ，S 三点共线. 16分切入点二：从点“S ”入手设点S (a ，m )，则直线SA 的方程为y=2m a (x+a )，联立方程组2221()2x y a m y x a a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，化简得(m 2+4)x 2+2m 2ax+m 2a 2-4a 2=0.8分设点T (x T ，y T )，因为A (-a ，0)，所以x T ·(-a )=2222-44m a a m +，得x T =224-4a m am +，y T =244m m +，所以k TB =-2ma . 10分假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线，由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.12分又因为k OS =m a ，所以k OS ·k TB =m a ·2-ma ⎛⎫⎪⎝⎭=-1，解得a 2=2.又因为a>0，所以a=2.15分经检验，当a=2时，O ，M ，S 三点共线.故存在a=2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分切入点三：从直线AS 的斜率入手 假设存在a (a>0)，使得O ，M ，S 三点共线. 由于点M 在以SB 为直径的圆上，故BT ⊥OS.8分显然，直线AS 的斜率k 存在且k>0，可设直线AS 的方程为y=k (x+a ).由2221()x y a y k x a ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得(1+a 2k 2)x 2+2a 3k 2x+a 4k 2-a 2=0. 10分设点T (x T ，y T )，所以x T ·(-a )=42222-1a k a a k +.故x T =3222-1a a k a k +，从而y T =k (x T +a )=2221ak a k +，亦即T 322222-211a a k ak a k a k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，. 12分方法一：因为B (a ，0)，所以BT u u u r =322222-2211a k aka k a k ⎛⎫⎪++⎝⎭，.由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，，得S (a ，2ak )，所以OS u u u r =(a ，2ak ).由BT ⊥OS ，可得BT u u u r ·OS u uu r =422222-241a k a k a k ++=0，即-2a 4k 2+4a 2k 2=0. 因为k>0，a>0，所以2. 15分经检验，当2时，O ，M ，S 三点共线.故存在2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分方法二：因为B (a ，0)，所以k BT =-TT y x a =-21a k ，故k SM =a 2k.由()x a y k x a =⎧⎨=+⎩，，得S (a ，2ak )，所以直线SM 的方程为y-2ak=a 2k (x-a ).O ，M ，S 三点共线当且仅当O 在直线SM 上，即-2ak=a 2k (-a ).因为k>0，a>0，所以2. 15分经检验，当2时，O ，M ，S 三点共线.故存在2，使得O ，M ，S 三点共线. 16分【总结提升】解题几何中的多动点问题，一直是学生难以逾越的障碍，究其原因：“多且动”，大有牵一发而动全身的感觉，各个点都丝丝相连，环环相扣.而恰恰正是点多且动，反而给我们一个启发，多且动的点中肯定有一个“核心点”，正是这个点牵动了其他点，使其他点始终围绕这个“核心点”运动.例题正是这类问题，其中点M 即为“核心点”，只要把握好这个“核心点”在圆上具有的性质，以其他的点或线为切入点，就可从多途径入手，让每个动点都可“一显身手”，以达到多解的目的.【拓展训练】拓 展 训 练变式 (2015·盐城二模)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22x a+22y b =1(a>b>0)的离心率为2，直线l ：y=12x 与椭圆E 相交于A ，B 两点，AB=25，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N.(1)求a ，b 的值；(2)求证：直线MN 的斜率为定值.(变式)【解答】(1)因为e=c a =2，所以c 2=12a 2，即a 2-b 2=12a 2，所以a 2=2b 2，故椭圆E 的方程为222x b +22y b =1.由题意，不妨设点A 在第一象限，点B 在第三象限.由22221212y x x y b b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得A233⎫⎪⎪⎝⎭，. 又AB=5，所以5，即43b 2+13b 2=5，解得b 2=3.故a=6，3.(2)由(1)知椭圆E 的方程为26x +23y =1，从而A (2，1)，B (-2，-1).①当CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在时，设直线CA ，DA 的斜率分别为k 1，k 2，C (x 0，y 0)，显然k 1≠k 2.从而k 1·k CB =00-1-2y x ·0012y x ++=2020-1-4y x =202031--16-4x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭=20202-2-4x x =-12，所以k CB =-112k .同理k DB =-212k .于是直线AD 的方程为y-1=k 2(x-2)，直线BC 的方程为y+1=-112k (x+2).由1211-(2)2-1(-2)y x k y k x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩，，解得12112122124-4-221-2-41.21k k k x k k k k k y k k ⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩，从而点N 的坐标为12112212124-4-2-2-412121k k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭，. 用k 2代k 1，k 1代k 2得点M 的坐标为12212112124-4-2-2-412121k k k k k k k k k k +++，.所以k MN =12212112121211221212-2-41-2-41-21214-4-24-4-2-2121k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++=12214(-)4(-)k k k k =-1.即直线MN 的斜率为定值-1.②当CA ，CB ，DA ，DB 中，有直线的斜率不存在时，根据题设要求，至多有一条直线斜率不存在，故不妨设直线CA 的斜率不存在，从而C (2，-1).仍然设DA 的斜率为k 2，由①知k DB =-212k .此时CA ：x=2，DB ：y+1=-212k (x+2)，它们的交点坐标为M 222-1-k ⎛⎫⎪⎝⎭，.由BC ：y=-1，AD ：y-1=k 2(x-2)，它们交点N 222--1k ⎛⎫⎪⎝⎭，，从而k MN =-1也成立. 由①②可知，直线MN 的斜率为定值-1.。
培优提能课(五) 解析几何 2023高考数学二轮复习课件
由题意，Δ＝0，即[4k(y0－kx0)]2－4(1＋2k2)[2(y0－kx0)2－4]＝0 且 x02＋2y20
＝4， 整理得(x20－4)k2－2x0y0k＋y20－2＝0.
3.
因为点 B，B′关于 x 轴对称，所以 B′－38＋34kk2，4
3k2－3 3＋4k2
3，
所以直线 PB′的方程为 y＝
3－4
3k2－3 3＋4k2
8 3k
3 x＋
3＝43kx＋
3，
3＋4k2
令
y＝0，得
x＝－4
33k，所以
M－4
33k，0.
令 y＝kx＋
3＝0，得
x＝－
k3，所以
N－
k3，0.
目录
02
提能2 隐圆问题
目录
隐圆问题在近几年各地模考和高考的填空题和解答题中都出现过，难 度为中、高档题．在题设中没有明确给出圆的相关信息，而是隐含在题目 中，要通过分析、转化，发现圆(或圆的方程)，从而最终利用圆的知识来 求解，我们称这类问题为“隐圆”问题．
目录
角度一 利用圆的定义(垂直)确定隐圆
所以|BM|＝
1＋2xy002x0（x204＋－42yy2020）＋x0
＝ x20＋8 4y20，
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|AM|＝
1＋－2xy002x0（x204＋－42yy2002）－x0
＝ 2x|02x＋0y40|y20，
即 S△ABM＝12|AM||BM|＝x820|＋x0y40y|02≤2， 当且仅当xx0202＝ ＋42yy2200， ＝4，即 x02＝38，y02＝23时取等号． 故△ABM面积的最大值为2.
高三数学第二轮复习教案第5讲解析几何问题
高三数学第二轮复习教案第 5 讲 解析几何问题的题型与方法（二）五、注意事项1．（ 1） 直线的斜率是一个非常重要的概念，斜率k 反映了直线相对于 x 轴的倾斜程度。
当斜率k 存在时，直线方程通常用点斜式或斜截式表示，当斜率不存在时，直线方程为x=a （ a ∈R ）。
因此，利用直线的点斜式或斜截式方程解 题时，斜率k 存在与否，要分别考虑。
（ 2） 直线的截距式是两点式的特例，a 、b 分别是直线在x 轴、 y 轴上的截距，因为a ≠0，b ≠ 0，所以当直线平行于 x 轴、平行于 y 轴或直线经过原点，不能用截距式求出它的方程，而应选择其它形式求解。
（ 3）求解直线方程的最后结果，如无特别强调，都应写成一般式。
（ 4）当直线l 1或l 2的斜率不存在时，可以通过画图容易判定两条直线是否平行与垂直（ 5）在处理有关圆的问题，除了合理选择圆的方程，还要注意圆的对称性等几何性质的运用，这样可以简化计算。
2．（ 1）用待定系数法求椭圆的标准方程时，要分清焦点在 x 轴上还是 y 轴上，还是两种都存在。
（ 2）注意椭圆定义、性质的运用，熟练地进行 a 、 b 、 c 、 e 间的互求，并能根据所给的方程画出椭圆。
（ 3）求双曲线的标准方程应注意两个问题： （ 1） 正确判断焦点的位置； （ 2） 设出标准方程后，运用待定系数法求解。
（ 4 ）双曲线x 2 y 21 的渐近线方程为ybx 或表示为x 2 y 2 0 。
若已知双曲线的渐近线方程是a 2b 2aa 2b 2ymx ，即 mx ny0 ，那么双曲线的方程具有以下形式：nm 2 x 2 n 2 y 2k ，其中k 是一个不为零的常数。
（ 5）双曲线的标准方程有两个x 2 y 2 1和 y 2x 2 1（a ＞0，b ＞0）。
这里 b 2 c 2 a 2，其中|F 1F 2|=2c 。
a 2b 2a 2b 2要注意这里的 a 、 b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同。
高考数学二轮复习 专题五 解析几何考点整合 理
【创新设计】（江苏专用）2016高考数学二轮复习 专题五 解析几何考点整合 理第1讲 直线与圆高考定位 高考对本内容的考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题．直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识．多为B 级或C 级要求．真 题 感 悟1．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．解析 直线mx －y －2m －1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r ＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2. 答案 (x －1)2＋y 2＝22．(2013·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2)若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．解 (1)由题设，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C (3，2)，于是切线的斜率必存在．设过A (0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3，由题意，得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0. (2)因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以圆C 的方程为(x －a )2＋[y －2(a －2)]2＝1.设点M (x ，y )，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2 x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D (0，－1)为圆心，2为半径的圆上．由题意，点M (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则|2－1|≤CD ≤2＋1， 即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理得－8≤5a 2－12a ≤0.由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125.所以点C 的横坐标a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，125.考 点 整 合1．两直线平行或垂直(1)两条直线平行：对于两条不重合的直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2.特别地，当直线l 1，l 2的斜率都不存在且l 1与l 2不重合时，l 1∥l 2.(2)两条直线垂直：对于两条直线l 1，l 2，其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.特别地，当l 1，l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零时，l 1⊥l 2. 2．圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，圆心为(a ，b )，半径为r .(2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2，半径为r ＝D 2＋E 2－4F2；对于二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧B ＝0，A ＝C ≠0，D 2＋E 2－4AF ＞0.3．直线方程的5种形式中只有一般式可以表示所有的直线．在利用直线方程的其他形式解题时，一定要注意它们表示直线的局限性．比如，根据“在两坐标轴上的截距相等”这个条件设方程时一定不要忽略过原点的特殊情况．而题中给出直线方程的一般式，我们通常先把它转化为斜截式再进行处理．4．处理有关圆的问题，要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用，如弦心距、半径、弦长的一半构成直角三角形经常用到，利用圆的一些特殊几何性质解题，往往使问题简化． 5．直线与圆中常见的最值问题(1)圆外一点与圆上任一点的距离的最值．(2)直线与圆相离，圆上任一点到直线的距离的最值． (3)过圆内一定点的直线被圆截得弦长的最值．(4)直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值问题．(5)两圆相离，两圆上点的距离的最值.热点一直线与圆有关问题[微题型1] 求圆的方程【例1－1】(2015·广州模拟)若圆C经过(1，0)，(3，0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为________．解析因为圆C经过(1，0)，(3，0)两点，所以圆心在直线x＝2上，又圆与y轴相切，所以半径为2，设圆心坐标为(2，b)，则(2－1)2＋b2＝4，∴b2＝3，b＝± 3.答案(x－2)2＋(y±3)2＝4探究提高圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式．[微题型2] 圆的切线问题【例1－2】(2015·重庆卷改编)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y ＋1＝0的对称轴，过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则AB＝________．解析圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心为C(2，1)，半径为r＝2，因此2＋a×1－1＝0，a＝－1，即A(－4，－1)，AB＝AC2－r2＝（－4－2）2＋（－1－1）2－4＝6.答案 6探究提高(1)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．(2)过圆外一点求解切线长转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理．[微题型3] 与圆有关的弦长问题【例1－3】(2015·泰州调研)若圆上一点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，且圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，则圆的方程是________．解析设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，点A(2，3)关于直线x＋2y＝0的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圆与直线x－y＋1＝0相交的弦长为22，故r2－22＝2，依据上述方程，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，b ＝－3，r 2＝52或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝14，b ＝－7，r 2＝244.所以，所求圆的方程为(x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244. 答案 (x －6)2＋(y ＋3)2＝52或(x －14)2＋(y ＋7)2＝244探究提高 涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径r ，弦心距d ，弦长l 的一半构成直角三角形，结合勾股定理d 2＋22l ⎛⎫⎪⎝⎭＝r 2求解；二是若斜率为k 的直线l 与圆C 交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则AB ＝1＋k 2|x 1－x 2|.【训练1】 (2015·全国Ⅰ卷改编)过三点A (1，3)，B (4，2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |＝________．解析 由已知，得AB →＝(3，－1)，BC →＝(－3，－9)，则AB →·BC →＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以AB →⊥BC →，即AB ⊥BC ，故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径，得其方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝25，令x ＝0得(y ＋2)2＝24，解得y 1＝－2－26，y 2＝－2＋26，所以|MN |＝|y 1－y 2|＝4 6. 答案 4 6热点二 直线与圆、圆与圆的位置关系【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)已知过点A (0，1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求MN . 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1， 因为直线l 与圆C 交于两点， 所以|2k －3＋1|1＋k 2<1. 解得4－73<k <4＋73.所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入圆C 的方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0. 所以x 1＋x 2＝4（1＋k ）1＋k 2，x 1x 2＝71＋k2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝4k （1＋k ）1＋k2＋8. 由题设可得4k （1＋k ）1＋k 2＋8＝12， 解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1. 故圆C 的圆心(2，3)在l 上， 所以MN ＝2.探究提高 根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系，判定直线与圆的位置关系． 【训练2】 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝4，圆C 2：(x ＋m )2＋(y ＋m ＋5)2＝2m 2＋8m ＋10(m ∈R ，且m ≠－3)．(1)设P 为坐标轴上的点，满足：过点P 分别作圆C 1与圆C 2的一条切线，切点分别为T 1、T 2，使得PT 1＝PT 2，试求出所有满足条件的点P 的坐标；(2)若斜率为正数的直线l 平分圆C 1，求证：直线l 与圆C 2总相交． (1)解 设点P 的坐标为(x 0，y 0)，圆C 1与圆C 2的半径分别为r 1、r 2， 由题意得PC 21－r 21＝PC 22－r 22，即[(x 0－3)2＋(y 0＋2)2]－4＝[(x 0＋m )2＋(y 0＋m ＋5)2]－(2m 2＋8m ＋10)， 化简得x 0＋y 0＋1＝0，因为P 为坐标轴上的点， 所以点P 的坐标为(0，－1)或(－1，0)．(2)证明 依题意可设直线l 的方程为：y ＋2＝k (x －3)，k ＞0，化简得kx －y －3k －2＝0， 则圆心C 2(－m ，－m －5)到直线l 的距离为|k －1|·|m ＋3|k 2＋1，又圆C 2的半径为2m 2＋8m ＋10，所以“直线l 与圆C 2总相交”等价于“∀m ≠－3， |k －1|·|m ＋3|k 2＋1＜2m 2＋8m ＋10”， 即|k －1|k 2＋1＜2m 2＋8m ＋10（m ＋3）2，①记y ＝2m 2＋8m ＋10（m ＋3）2，整理得(y －2)m 2＋2(3y －4)m ＋9y －10＝0，当y ＝2时，m ＝－2；当y ≠2时，判别式Δ＝[2(3y －4)]2－4(y －2)(9y －10)≥0，解得y ≥1；综上得y ＝2m 2＋8m ＋10（m ＋3）2，m ≠－3的最小值为1，所以①式⇔|k －1|k 2＋1＜1⇔k ＞0，即证．热点三 直线、圆与其他知识的交汇【例3】 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为椭圆x 29＋2y 29＝1的右顶点，点D (1，0)，点P ，B 在椭圆上，BP →＝DA →.(1)求直线BD 的方程；(2)求直线BD 被过P ，A ，B 三点的圆C 截得的弦长；(3)是否存在分别以PB ，PA 为弦的两个相外切的等圆？若存在，求出这两个圆的方程；若不存在，请说明理由．解 (1)因为BP →＝DA →且A (3，0)，所以BP ＝DA ＝2，而B ，P 关于y 轴对称，所以点P 的横坐标为1，从而得P (1，2)，B (－1，2)， 所以直线BD 的方程为x ＋y －1＝0.(2)线段BP 的垂直平分线方程为x ＝0，线段AP 的垂直平分线方程为y ＝x －1，所以圆C 的圆心为(0，－1)，且圆C 的半径为r ＝10，又圆心(0，－1)到直线BD 的距离为d ＝2，所以直线BD 被圆C 截得的弦长为2r 2－d 2＝4 2.(3)假设存在这样的两个圆M 与圆N ，其中PB 是圆M 的弦，PA 是圆N 的弦，则点M 一定在y 轴上，点N 一定在线段PA 的垂直平分线y ＝x －1上，当圆M 和圆N 是两个相外切的等圆时，一定有P ，M ，N 在一条直线上，且PM ＝PN . 设M (0，b )，则N (2，4－b )， 根据N (2，4－b )在直线y ＝x －1上，解得b ＝3.所以M (0，3)，N (2，1)，PM ＝PN ＝2，故存在这样的两个圆，且方程分别为x 2＋(y －3)2＝2，(x －2)2＋(y －1)2＝2.探究提高 求圆中弦长问题，多用垂径定理，先计算圆心到直线的距离，再利用弦长公式AB ＝2r 2－d 2；求圆的方程问题常见于找出圆心和半径，对于两圆的位置关系则多借助于几何关系进行判定．【训练3】 (2013·四川卷)已知圆C 的方程为x 2＋(y －4)2＝4，点O 是坐标原点．直线l ：y ＝kx 与圆C 交于M ，N 两点．(1)求k 的取值范围；(2)设Q (m ，n )是线段MN 上的点，且2OQ2＝1OM2＋1ON 2.请将n 表示为m 的函数．解 (1)将y ＝kx 代入x 2＋(y －4)2＝4中，得(1＋k 2)x 2－8kx ＋12＝0.(*) 由Δ＝(－8k )2－4(1＋k 2)×12＞0，得k 2＞3. 所以，k 的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞)．(2)因为M ，N 在直线l 上，可设点M ，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x 2，kx 2)，则OM 2＝(1＋k 2)x 21，ON 2＝(1＋k 2)x 22.又OQ 2＝m 2＋n 2＝(1＋k 2)m 2. 由2OQ2＝1OM2＋1ON2，得2（1＋k 2）m 2＝1（1＋k 2）x 21＋1（1＋k 2）x 22，即2m 2＝1x 21＋1x 22＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 21x 22. 由(*)式可知，x 1＋x 2＝8k 1＋k 2， x 1x 2＝121＋k 2，所以m 2＝365k 2－3.因为点Q 在直线y ＝kx 上，所以k ＝nm，代入m 2＝365k 2－3中并化简，得5n 2－3m 2＝36. 由m 2＝365k 2－3及k 2＞3，可知0＜m 2＜3，即m ∈(－3，0)∪(0，3)．根据题意，点Q 在圆C 内，则n ＞0，所以n ＝36＋3m 25＝15m 2＋1805. 于是，n 与m 的函数关系为n ＝15m 2＋1805(m ∈(－3，0)∪(0，3))．1．由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况．2．确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)； (2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称． 3．直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．4．两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程即为两圆公共弦所在的直线方程.一、填空题1．(2015·广东卷改编)平行于直线2x ＋y ＋1＝0且与圆x 2＋y 2＝5相切的直线的方程是________．解析 设所求切线方程为2x ＋y ＋c ＝0，依题有|0＋0＋c |22＋12＝5，解得c ＝±5，所以所求切线的直线方程为2x ＋y ＋5＝0或2x ＋y －5＝0. 答案 2x ＋y ±5＝02．(2015·北京卷改编)圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是________．解析 因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2. 答案 (x －1)2＋(y －1)2＝23．(2014·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________．解析 圆心为(2，－1)，半径r ＝2.圆心到直线的距离d ＝|2＋2×（－1）－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝ ⎛⎭⎪⎫3552＝2555.答案25554．已知圆的方程为x 2＋y 2－6x －8y ＝0，设该圆中过点(3，5)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是________．解析 配方可得(x －3)2＋(y －4)2＝25，其圆心为(3，4)，半径为r ＝5，则过点(3，5)的最长弦AC ＝2r ＝10，最短弦BD ＝2r 2－12＝46，且有AC ⊥BD ，则四边形ABCD 的面积为S ＝12AC ×BD ＝20 6. 答案 20 65．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a ＞0)的公共弦的长为23，则a ＝________．解析 x 2＋y 2＋2ax －6＝0(a >0)可知圆心为(－a ，0)，半径为6＋a 2，两圆公共弦所在方程为(x 2＋y 2＋2ax －6)－(x 2＋y 2)＝－4，即x ＝1a，所以有()6＋a 22－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋a 2＝()32，解得a ＝1或－1(舍去)． 答案 16．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是________．解析 圆C 的标准方程为(x －4)2＋y 2＝1，设圆心C (4，0)到直线y ＝kx －2的距离为d ，则d ＝|4k －2|k 2＋1，由题意知问题转化为d ≤2，即d ＝|4k －2|k 2＋1≤2，得0≤k ≤43，所以k max＝43. 答案 437．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设点M (x 0，1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析 由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0，1)．当x 0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1，1]．答案 [－1，1]8．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最小值为________．解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又OA ＝OB ＝1，根据勾股定理得AB ＝2， ∴OC ＝12AB ＝22.∴圆心到直线的距离为12a 2＋b2＝22， 即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2. 设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数为对称轴为x ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数．∵f (2)＝3－22，∴d 的最小值为3－22＝（2－1）2＝2－1.答案2－1二、解答题9．(2013·新课标全国Ⅱ卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆P 在x 轴上截得线段长为22，在y 轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P 的轨迹方程； (2)若P 点到直线y ＝x 的距离为22，求圆P 的方程． 解 (1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题意可得y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3.故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1.(2)设P (x 0，y 0)，由已知得|x 0－y 0|2＝22.又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧|x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 由⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y －1)2＝3或x 2＋(y ＋1)2＝3. 10.已知双曲线x 2－y 23＝1.(1)若一椭圆与该双曲线共焦点，且有一交点P (2，3)，求椭圆方程．(2)设(1)中椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，右焦点为F ，直线l 为椭圆的右准线，N 为l 上的一动点，且在x 轴上方，直线AN 与椭圆交于点M .若AM ＝MN ，求∠AMB 的余弦值； (3)设过A 、F 、N 三点的圆与y 轴交于P 、Q 两点，当线段PQ 的中点为(0，9)时，求这个圆的方程．解 (1)∵双曲线焦点为(±2，0)，设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝4，4a 2＋9b2＝1.∴a 2＝16，b 2＝12.故椭圆方程为x 216＋y 212＝1.(2)由已知，A (－4，0)，B (4，0)，F (2，0)，直线l 的方程为x ＝8.设N (8，t )(t ＞0)． ∵AM ＝MN ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t 2.由点M 在椭圆上，得t ＝6. 故所求的点M 的坐标为M (2，3)．所以MA →＝(－6，－3)，MB →＝(2，－3)，MA →·MB →＝－12＋9＝－3.cos∠AMB ＝MA →·MB→|MA→|·|MB →|＝－336＋9·4＋9＝－6565.(3)设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，将A 、F 、N 三点坐标代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧16－4D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，64＋t 2＋8D ＋Et ＋F ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝2，E ＝－t －72t，F ＝－8.圆的方程为x 2＋y 2＋2x －⎝⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0，令x ＝0，得y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t y －8＝0.设P (0，y 1)，Q (0，y 2)，则y 1，2＝t ＋72t±⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋72t 2＋322.由线段PQ 的中点为(0，9)，得y 1＋y 2＝18，t ＋72t＝18，此时，所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x －18y －8＝0.11.如图所示，已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 解 (1)设圆A 的半径为R .∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.连接AQ ，则AQ ⊥MN . ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34.∴直线l 的方程为3x －4y ＋6＝0.∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP →＝0， ∴BQ →·BP →＝(BA →＋AQ →)·BP → ＝BA →·BP →＋AQ →·BP → ＝BA →·BP →.当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52. 则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1，2)，∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－5.当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0， 解得P ⎝⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k .∴BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k . ∴BQ →·BP →＝BA →·BP →＝－51＋2k －10k 1＋2k ＝－5.综上所述，BQ →·BP →是定值，且BQ →·BP →＝－5.第2讲 圆锥曲线的基本问题高考定位 圆锥曲线中的基本问题一般以椭圆、双曲线的定义、标准方程、几何性质等作为考查的重点，多为填空题．椭圆有关知识为B 级要求，双曲线的有关知识为A 级要求．真 题 感 悟1．(2013·江苏卷)双曲线x 216－y 29＝1的两条渐近线的方程为________．解析 由双曲线方程可知a ＝4，b ＝3，所以两条渐近线方程为y ＝±34x .答案 y ＝±34x2．(2012·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m的值为________．解析 建立关于m 的方程求解．∵c 2＝m ＋m 2＋4，∴e 2＝c 2a 2＝m ＋m 2＋4m＝5，∴m 2－4m ＋4＝0，∴m ＝2.答案 23．(2010·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标是3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析 法一 x ＝3代入x 24－y 212＝1，y ＝±15，不妨设M (3，15)，右焦点F (4，0)．∴MF ＝1＋15＝4.法二 由双曲线第二定义知，M 到右焦点F 的距离与M 到右准线x ＝a 2c ＝1的距离比为离心率e ＝ca＝2， ∴MF3－1＝2，MF ＝4. 答案 44．(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点．若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________．解析 双曲线x 2－y 2＝1的渐近线为x ±y ＝0，直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0平行，故两平行线的距离d ＝|1－0|12＋12＝22.由点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，得c ≤22，故c 的最大值为22. 答案22考 点 整 合1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：MF 1＋MF 2＝2a (2a >F 1F 2)； (2)双曲线：|MF 1－MF 2|＝2a (2a <F 1F 2)． 2．圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)(焦点在y 轴上)．3．圆锥曲线的几何性质(1)椭圆：e ＝ca ＝1－b 2a2；(2)双曲线：①e ＝ca＝1＋b 2a2.②渐近线方程：y ＝±b ax 或y ＝±a bx .4．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k 的直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则所得弦长P 1P 2＝ 1＋k 2|x 2－x 1|或P 1P 2＝1＋1k2|y 2－y 1|.(2)弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”、“设而不求法”来简化运算.热点一 圆锥曲线的定义和标准方程【例1】 (1)(2015·福建卷改编)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P在双曲线E 上，且PF 1＝3，则PF 2等于________．(2)(2015·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线过点(2，3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝47x 的准线上，则双曲线的方程为________．解析 (1)由双曲线定义|PF 2－PF 1|＝2a ，∵PF 1＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴PF 2－PF 1＝6，∴PF 2＝9.(2)由题意可得b a ＝32，c ＝7，又c 2＝7＝a 2＋b 2，解得a 2＝4，b 2＝3.故双曲线方程为x 24－y 23＝1.答案 (1)9 (2)x 24－y 23＝1 探究提高 (1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟悉记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义要求PF 1＋PF 2＞F 1F 2，双曲线的定义中要求|PF 1－PF 2|＜F 1F 2，抛物线上的点到焦点的距离与准线的距离相等的转化．(2)注意数形结合，画出合理草图．【训练1】 (1)(2015·广东卷改编)已知椭圆x 225＋y 2m2＝1(m ＞0)的左焦点为F 1(－4，0)，则m＝________．(2)(2014·安徽卷)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2＋y 2b2＝1(0<b <1)的左、右焦点，过点F 1的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AF 1＝3F 1B ，AF 2⊥x 轴，则椭圆E 的方程为________． 解析 (1)由4＝25－m 2(m ＞0)⇒m ＝3.(2)设点A 在点B 上方，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，其中c ＝1－b 2， 则可设A (c ，b 2)，B (x 0，y 0)， 由AF 1＝3F 1B ， 可得AF 1→＝3F 1B →，故⎩⎪⎨⎪⎧－2c ＝3（x 0＋c ），－b 2＝3y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－53c ，y 0＝－13b 2，代入椭圆方程可得25（1－b 2）9＋19b 2＝1，得b 2＝23，故椭圆方程为x 2＋3y22＝1.答案 (1)3 (2)x 2＋32y 2＝1热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2015·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy 中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为x ＝12，且它的一个顶点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为________．(2)平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________．解析 (1)抛物线y 2＝－4x 的焦点坐标是(－1，0)，即双曲线的一个顶点坐标是(－1，0)，设双曲线方程是x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则a ＝1，又a 2c ＝12，因此c ＝2，b ＝c 2－a 2＝3，故其渐近线方程是y ＝±3x .(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝ba x ，直线OB 的方程为y ＝－b ax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b a x ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴k AF ＝2pb2a 2－p22pba.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，∴2pb2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.答案 (1)y ＝±3x (2)32探究提高 解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．【训练2】 (1)(2015·临沂模拟)已知对称中心为坐标原点的椭圆与双曲线有共同的焦点，其左、右焦点都在x 轴上，分别设为F 1，F 2，它们在第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 2为底边的等腰三角形，若PF 2＝3，且椭圆的离心率为23，则双曲线的离心率为________．(2)(2015·镇江期末)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，若F 关于直线3x ＋y ＝0的对称点A 是椭圆C 上的点，则椭圆C 的离心率为________．解析 (1)如图，设椭圆的长轴长为2a 1，双曲线的实轴长为2a 2，F 1F 2＝2c ，则PF 1＝F 1F 2＝2c.在椭圆中，由离心率的定义可知，e1＝2c2a1＝2cPF1＋PF2＝2c3＋2c＝23，解得c＝3，即PF1＝F1F2＝6.在双曲线中，2a2＝|PF1－PF2|＝6－3＝3，故其离心率e2＝2c2a2＝63＝2.(2)设左焦点F(－c，0)，A点坐标为(x0，y0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y0x0＋c×（－3）＝－1，3×x0－c2＋y02＝0，解得：x0＝c2，y0＝32c，又点A在椭圆C上．∴222ca⎛⎫⎪⎝⎭＋223cb⎛⎫⎪⎝⎭＝1，又b2＝a2－c2，整理得：c4－8a2c2＋4a4＝0，∴e4－8e2＋4＝0，解得：e2＝4±23，∴e＝3－1(e＝3＋1舍去)．答案(1)2 (2)3－1热点三有关圆锥曲线的弦长问题【例3】 (2015·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC＝2AB，求直线AB的方程．解 (1)由题意，得c a ＝22且c ＋a 2c＝3，解得a ＝2，c ＝1，则b ＝1， 所以椭圆的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)当AB ⊥x 轴时，AB ＝2，又CP ＝3，不合题意．当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 将AB 的方程代入椭圆方程， 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0，则x 1，2＝2k 2±2（1＋k 2）1＋2k 2，C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 21＋2k 2，－k 1＋2k 2，且AB ＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2＝（1＋k 2）（x 2－x 1）2＝22（1＋k 2）1＋2k2. 若k ＝0，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意． 从而k ≠0，故直线PC 的方程为 y ＋k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2k 21＋2k 2， 则P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，5k 2＋2k （1＋2k 2），从而PC ＝2（3k 2＋1）1＋k2|k |（1＋2k 2）. 因为PC ＝2AB ，所以2（3k 2＋1）1＋k 2|k |（1＋2k 2）＝42（1＋k 2）1＋2k 2， 解得k ＝±1.此时直线AB 的方程为y ＝x －1或y ＝－x ＋1.探究提高 (1)涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．(2)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ≥0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．【训练3】 设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，过点F 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，AF →＝2FB →.(1)求椭圆C 的离心率；(2)如果AB ＝154，求椭圆C 的方程．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知y 1＜0，y 2＞0. (1)直线l 的方程为y ＝3(x －c )，其中c ＝a 2－b 2.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3（x －c ），x 2a 2＋y 2b2＝1，得(3a 2＋b 2)y 2＋23b 2cy －3b 4＝0.解得y 1＝－3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2（c －2a ）3a 2＋b 2. 因为AF →＝2FB →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2（c ＋2a ）3a 2＋b 2＝2·－3b 2（c －2a ）3a 2＋b2， 得离心率e ＝c a ＝23.(2)因为AB ＝1＋13|y 2－y 1|， 所以23·43ab 23a 2＋b 2＝154，由c a ＝23， 得b ＝53a ， 所以54a ＝154，得a ＝3，b ＝5，故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.1．椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线．2．对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础．3．在椭圆焦点三角形PF 1F 2，∠F 1PF 2＝α，则12PF F S V ＝c |y 0|＝b 2·tan α2. 4．求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝c a；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a.5．通径：过双曲线、椭圆的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径长为2b 2a，过椭圆焦点的弦中通径最短.一、填空题1．(2015·南通·泰州调研)双曲线x 216－y 2m ＝1(m >0)的离心率为54，则m 等于________．解析 由题意得c ＝16＋m ，所以16＋m 4＝54，解得m ＝9. 答案 92．(2015·安徽卷改编)双曲线y 24－x 2＝1的渐近线方程为________． 解析 焦点在y 轴上的渐近线方程为y ＝±abx ＝±2x . 答案 y ＝±2x3．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，且双曲线的离心率等于5，则该双曲线的方程为________．解析 由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，即c ＝1，又e ＝c a ＝5，可得a ＝55，结合条件有a 2＋b 2＝c 2＝1，可得b 2＝45，又焦点在x 轴上，则所求的双曲线的方程为5x 2－54y 2＝1.答案 5x 2－54y 2＝14．(2015·湖南卷)设F 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．解析 不妨设F (c ，0)，则由条件知P (－c ，±2b )，代入x 2a 2－y 2b 2＝1得c 2a2＝5，∴e ＝ 5.答案55．(2015·江苏五市模拟)已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0＜m ＜9)，左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆与A ，B 两点，若AF 2＋BF 2的最大值为10，则m 的值为________．解析 已知椭圆x 29＋y 2m＝1(0＜m ＜9)中，a 2＝9，b 2＝m .AF 2＋BF 2＝4a －AB ≤10，∴AB ≥2，AB min＝2b 2a ＝2m3＝2，解得m ＝3. 答案 36．(2013·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3，0)，过点F 的直线交椭圆于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．解析 直线AB 的斜率k ＝0＋13－1＝12，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y 22b 2＝1， ②①－②得y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，所以k ＝－b 2a 2×2－2，所以b 2a 2＝12，③又a 2－b 2＝c 2＝9，④由③④得a 2＝18，b 2＝9.故椭圆E 的方程为x 218＋y 29＝1.答案x 218＋y 29＝1 7．(2013·天津卷改编)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________．解析 因为双曲线的离心率e ＝c a ＝2，所以b ＝3a ，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax＝±3x ，与抛物线的准线x ＝－p 2相交于A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，32p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，－32p ，所以△AOB 的面积为12×p2×3p ＝3，又p >0，所以p ＝2.答案 28．(2015·青岛模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线均和圆C ：x 2＋y 2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为________．解析 ∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，圆C 的标准方程为(x －3)2＋y 2＝4，∴圆心为C (3，0)．又渐近线方程与圆C 相切， 即直线bx －ay ＝0与圆C 相切， ∴3ba 2＋b2＝2，∴5b 2＝4a 2.①又∵x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F 2(a 2＋b 2，0)为圆心C (3，0)，∴a 2＋b 2＝9.②由①②得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为x 25－y 24＝1.答案x 25－y 24＝1 二、解答题9．已知曲线C 上的动点P (x ，y )满足到定点A (－1，0)的距离与到定点B (1，0)的距离之比为 2.(1)求曲线C 的方程；(2)过点M (1，2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若MN ＝4，求直线l 的方程． 解 (1)由题意得PA ＝2PB ， 故（x ＋1）2＋y 2＝2（x －1）2＋y 2化简得：x 2＋y 2－6x ＋1＝0(或(x －3)2＋y 2＝8)即为所求． (2)当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1. 将x ＝1代入方程x 2＋y 2－6x ＋1＝0得y ＝±2， 所以MN ＝4，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx －k ＋2， 由圆心到直线的距离d ＝2＝|3k －k ＋2|1＋k2， 解得k ＝0，此时直线l 的方程为y ＝2.综上所述，满足题意的直线l 的方程为x ＝1或y ＝2.10．(2015·安徽卷)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a ，0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510， 进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x5b＋yb＝1，点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1. 11．(2014·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，顶点B 的坐标为(0，b )，连接BF 2并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接F 1C .(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13，且BF 2＝2，求椭圆的方程； (2)若F 1C ⊥AB ，求椭圆离心率e 的值．解 设椭圆的焦距为2c ，则F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)． (1)因为B (0，b )，所以BF 2＝b 2＋c 2＝a . 又BF 2＝2，故a ＝ 2.因为点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，13在椭圆上，所以169a 2＋19b 2＝1. 解得b 2＝1.故所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1.(2)因为B (0，b )，F 2(c ，0)在直线AB 上， 所以直线AB 的方程为x c ＋y b＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x c ＋yb ＝1，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2a 2c a 2＋c2，y 1＝b （c 2－a 2）a 2＋c 2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝0，y 2＝b . 所以点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （c2－a 2）a 2＋c 2. 又AC 垂直于x 轴，由椭圆的对称性，可得点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2c a 2＋c 2，b （a2－c 2）a 2＋c 2. 因为直线F 1C 的斜率为b （a 2－c 2）a 2＋c 2－02a 2c a 2＋c 2－（－c ）＝b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3，直线AB 的斜率为－bc ，且F 1C ⊥AB ，所以b （a 2－c 2）3a 2c ＋c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b c ＝－1.又b 2＝a 2－c 2，整理得a 2＝5c 2.故e 2＝15.因此e ＝55.第3讲 圆锥曲线的综合问题高考定位 圆锥曲线的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大．这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求．真 题 感 悟(2012·江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)．已知点(1，e )和⎝ ⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P . (ⅰ)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ⅱ)求证：PF 1＋PF 2是定值．解 (1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝c a，由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1， 又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－1，0)，F 2(1，0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my . 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1＞0，y 2＞0.。
专题五 解析几何
时斜率不存在.
在涉
及 求直线方 程的题 型时，一 般可以用 待定系 数法，但
一定要弄清楚直线方程的各自适用范围. 同时注意灵
活 适用（如例 2，待 定系 数设 直线 方程 计算 量就 会很
大些）.
热点二 圆及直线与圆的位置关系
理 解直线 与圆的 位置关 系、两圆 的位置 关系，会
用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 掌握圆的标
4
A. 相切
B. 相离
C. 相交
D. 不能确定
解析 圆心到直线的距离为
| | d = sin αcos β+ cos αsin β+ 1 = sin(α+ β) + 1 ，
∵向量
a
与
b 的夹角为
2π 3
，
35
高三二轮复习专题·数学（理）
∴
-
1 2
=
cos 23π =
a
|a
b
|||b
| |
=
3
s
in
知 识. 例 1 平 面 上 有 相 异 的 两 点 A(cos θ, sin2θ) 和
B（0, 1），求经 过 A , B 两 点的 直线的 斜率及 倾斜角
的取值范围.
解析 ∵ A , B 是相异两点，
∴cos θ≠0, sin2θ≠1 .
设直线 AB 的倾斜角为 α，斜率为 k ，
则 k = tan α=
解 析 设 直 线 l 与 直 线 l1 ，l2 的 交 点 分 别 为 A, B , 点 A( x0, 2 - 3x0) ，
因为点 D(2, - 3) 是线段 AB 的中点，
所以点 B 的坐标为 (4 - x0, 3x0 - 8) . 又因为点 B 在直线 l2 上， 所以，(4 - x0) + 5(3x0 - 8) + 10 = 0 ，
高考数学二轮复习解析几何
=1(a>b>0)(焦点在 y 轴上);
2
b
x2
y2
y2
(2)双曲线:a 2 − b 2 =1(a>0,b>0)(焦点在 x 轴上)或a 2
x2
− b 2 =1
(a>0,b>0)(焦点在 y 轴上);
先确定类型,再计算未知量,即“先定型,再定量”
(3)抛物线:y2=2px(p>0),y2=-2px(p>0),x2=2py(p>0),x2=-2py
2 + 2 -4
r=
2
的圆;当 D +E -4F=0
2
2
时,表示一个点(- 2 ,- 2 );当
D2+E2-4F<0 时,不
表示任何图形.
2.已知 A(x1,y1),B(x2,y2),以 AB 为直径的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
3.圆锥曲线
知识点
直线与圆锥曲线交于 A(x1,y1),B(x2,y2)时,|AB|= 1 + k 2 ·
如果消去的是 x,可以利用公式|AB|= 1 +
弦长
问题
1
|y1-y2|(k≠0)类似转
2
k
化
|x1-x2|,x1,x2 是直线与圆锥曲线联立所得方程 ax2+bx+c=0 的两
根,|x1-x2|= (x1 + x2 )
对称或存在性问题,都应在“Δ>0”的条件下进行.
4.圆锥曲线中的几个重要结论
(1)圆锥曲线的中点弦斜率公式
2
是椭圆 2
2
①若 M
新高考数学二轮复习课件：解答题精讲5 解析几何
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Δ＝4m2t2－4(m2＋4)(t2－4)＞0 ⇒m2－t2＋4＞0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， y1＋y2＝m－22＋m4t，y1y2＝mt22－＋44， x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2t＝m28＋t 4.
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①
∴Pm24＋t 4，m－2＋mt4. ∵k1k2＝－14，∴yx11yx22＝－14， 即 4y1y2＋x1x2＝0， ∴(4＋m2)y1y2＋mt(y1＋y2)＋t2＝0， ∴t2－4＋－4＋2mm22t2＋t2＝0，
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∴2t2＝m2＋4，则 t2≥2， 由①②可得 t2≥2 恒成立， |OP|2＝16mt22＋＋m422t2＝16t22＋t2m2 2t2 ＝164＋t2m2＝16＋42tt22－4
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第 5 步：求解
故直线CD的方程为x＝my＋32，即直线CD过定点32，0. 10分
解等量关系得出 待求结果，注意结
←若t＝0，则直线CD的方程为y＝0，也过点32，0.
11分
果的完备性.
综上所述，直线CD过定点32，0.
12分
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第(1)问得分点及说明： 1.求出 a 的值得 1 分. 2.写出 E 的方程得 1 分.
的斜率分别为 k1，k2(O 为坐标原点)，且 k1k2＝－14，求|OP|的取值范
围．
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[解] (1)由题知，△MF1F2 的周长为 2a＋2c＝4＋2 3，且12·2c·b ＝ 3，
XXXX高考数学(理)二轮复习专题五解析几何(带解析)
XXXX高考数学(理)二轮复习专题五解析几何(带解析)解析几何主要包括两大知识模块——直线和圆模块以及圆锥曲线模块。
回顾这一部分内容，我们应该把握“两个基本，一个结合”:一个基本方法——坐标法，一个基本思想——方程的思想，以及一个完美的结合——数与形的结合。
这三个方面是平面解析几何核心内容的体现，也贯穿了这一部分知识综述的主线。
坐标法贯穿了这一部分的第一条主线——方程式(1)直线的点斜方程是各种形式直线方程推导的来源。
应该注意各种形式的直线方程之间的关系。
这些形式的方程都有自己的约束条件，如截距方程不能表示平行于两个坐标轴的直线，通过坐标原点的直线等。
(2)圆的标准方程直接表示圆心和半径，而圆的一般方程表示曲线和二元二次方程之间的关系。
当求解圆的方程时，中心和半径通常是通过结合圆的性质直接确定的。
(3)圆锥曲线的定义是推导方程的基础。
我们应该熟练掌握椭圆、双曲线和抛物线的定义，并灵活运用这些定义来解决运动点的轨迹问题。
椭圆和双曲线有两种形式的标准方程。
应注意这两条曲线中A、B和C的几何意义以及它们之间的区别和联系。
我们应该准确掌握抛物型标准方程的焦点坐标和准线方程。
数字和形状的结合贯穿了本节中讨论的第二条主线——圆锥曲线的几何性质(1)为了确定直线和圆之间的位置关系，圆和圆可以通过几何图形来确定，特别是求圆的弦长的问题。
要充分利用由半径、弦长和半弦长组成的直角三角形，这是考试的重点；x2y2(2)几何性质中的范围、对称性和顶点是二次曲线特征的完美体现，如椭圆+= 1 (a > b > 0)在a2b2中，|x|≤a，|y|≤b由下式定义x2y2≤1，≤1求解；圆锥曲线的范围反映了曲线a2b2上各点的水平和垂直位置。
目标值的范围，注意其在解决相关最大值问题时的局限性；准确把握偏心率的定义并求解方程是命题的重点。
方程的思想贯穿了本节中回顾的第三条主线——直线和直线、直线和圆、直线和圆锥之间的位置关系(1)两条直线之间有三种位置关系:相交、平行和重合。
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2 x－x 02 －2=0. x0
设 Q ( x1 , y1 ), M ( x, y).
x0 x1 1 x , 2 x0 ∴ 2 x 1 1 1 1 2 0 y ( x ) x 1. 0 0 2 x0 x0 2 2 x0 1 消去 x 0，得 y=x 2+ 2 1 (x≠0)就是所求的轨迹方程. 2x
二轮复习：解析几何 1、解析法； 2、平面几何辅助法、联立法，坐标法； 3、轨迹方程的求法； 4、曲线的性质（与函数的性质对比） 5、直线和圆 6、圆锥曲线的最值问题
1、 抛物线关于 x 轴对称，它的顶点在坐标 原点，点 P（1 ，2） ，A（ x1 , y1 ） ，B（ x2 , y2 ） 均在抛物线上。 （ I ）写出该抛物线的方程及其准线方程; （ II ）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互 补时，求 y1 y 2 的值及直线 AB 的斜率
2 2 由 x ≠0 知 x 0, y x
1 1 2 1 2 x 1 2 1. 2 2 2x 2x
2 上式等号仅当 x
1 1 4 , 即 x 时成立，所以点 M 到 x 轴的最短距离是 2 1. 2 2 2x
y1 4 x1
2
,（1）
y2 4 x2 ,
2
（2）
y1 2
1 2 1 2 y1 1 y2 1 4 4 y1 2 ( y 2 2), y1 y 2 4.
y2 2
,
由（1）－（2）得直线 AB 的斜率
k AB
y2 y1 4 4 1( x1 x2 ) x2 x1 y1 y2 4
解： （Ⅰ）把 x=2 代入 y 由
y 1 2 x ， 2
1 2 x ，得 y=2， ∴点 P 坐标为（2，2）. 2
①
得 y x ，
∴过点 P 的切线的斜率 k 切=2，
直线 l 的斜率 k l=－ 即 x +2y－6=0.
1 1 = , 2 k切
1 ∴直线 l 的方程为 y －2=－ (x－2)， 2
2、如图，P 是抛物线 C：y= 1 x2 上一点，直线 l 过点
2
P 并与抛物线 C 在点 P 的切线垂直，l 与抛物线 C 相 交于另一点 Q. （Ⅰ） 当点 P 的横坐标为 2 时， 求直线 l 的方程； （Ⅱ）当点 P 在抛物线 C 上移动时，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程，并求点 M 到 x 轴的最短距离.
1 2 x0 . 2 ∵ 过点 P 的切线斜率 k 初=x0，当 x0=0 时不合题意，
（Ⅱ）设 P( x0 , y 0 ), 则y 0
x0 0.
∴ 直线 l 的斜率 kl=－
1 1 = ， k切 x0
②
直线 l 的方程为
y
1 2 1 x0 ( x x0 ). 2 x0
联立①②消去 y，得 x2 + ∵ M 是 PQ 的中点，
Байду номын сангаас
设直线 PA 的斜率为 k PA ，直线 PB 的斜率为 k PB , 则 k PA
y1 2 y 2 ( x1 1) ， k PB 2 ( x 2 1) . x1 2 x2 1
k PA k PB .
PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补,
由 A（ x1 , y1 ） ，B（ x2 , y2 ）在抛物线上，得