学案10：2.2.1 椭圆及其标准方程

2.2.1 椭圆及其标准方程学习目标1.掌握椭圆的定义，标准方程的两种形式及推导过程.2.会根据条件确定椭圆的标准方程，掌握用待定系数法求椭圆的标准方程．学习重点：椭圆定义的应用及求椭圆的标准方程．学习难点：椭圆标准方程的推导．要点整合知识点一椭圆的定义[填一填]平面内与两个定点F1，F2的的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的，叫做椭圆的焦距．[答一答]1．定义中，将“大于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”或“小于|F1F2|”的常数，其他条件不变，点的轨迹是什么？知识点二椭圆的标准方程[填一填][答一答]2．如何理解“标准方程”中的“标准”的意义？3．在椭圆标准方程的推导过程中，为什么令b2＝a2－c2，b>0?4．对于一个椭圆的标准方程，怎样判断其焦点所在的坐标轴呢？特别关注1．对椭圆定义的理解(1)椭圆的定义揭示了椭圆的本质，是判断动点轨迹是否为椭圆的重要依据．(2)设集合P ＝{M ||MF 1|＋|MF 2|＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 均为大于0的常数．当2a >2c 时，集合P 为椭圆；当2a ＝2c 时，集合P 为线段F 1F 2；当2a <2c 时，集合P 为空集，即动点M 的轨迹不存在． 2．对椭圆的标准方程的理解(1)椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴．(2)椭圆的标准方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方和，并且分母不相等．椭圆的焦点在x 轴上时，标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在y 轴上时，标准方程中y 2项的分母较大．(3)椭圆的标准方程有两种形式．若已知焦点在x 轴或y 轴上，则标准方程唯一；若无法确定焦点的位置，则需要考虑两种形式．其中a ，b ，c 三个量满足a 2＝b 2＋c 2. 典例讲解类型一 椭圆的定义及其应用例1 (1)已知命题甲：动点P 到两定点A ，B 的距离之和|P A |＋|PB |＝2a ，其中a 为大于0的常数；命题乙：点P 的轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分且必要条件 D ．既不充分也不必要条件(2)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1，F 2是它的焦点．AB 是过F 1的直线与椭圆交于A 、B 两点，则△ABF 2的周长是________． 通法提炼1一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题.针对训练1椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为( A )A ．5B ．6C ．4D ．10类型二 椭圆标准方程的识别例2当3<k<9时，指出方程x29－k＋y2k－3＝1表示的曲线．通法提炼根据椭圆标准方程的两种形式可知，焦点在哪一坐标轴上，哪一变量对应的分母大，即x2对应的分母大，焦点就在x轴上；y2对应的分母大，焦点就在y轴上.针对训练2已知曲线C：x2k－5＋y23－k＝－1，则“4≤k<5”是“曲线C表示焦点在y轴上的椭圆”的条件．类型三求椭圆的标准方程例3写出适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)a＝4，c＝3，焦点在y轴上；(2)a＋b＝8，c＝4；(3)经过点A(3，－2)和点B(－23，1)．通法提炼确定椭圆的方程包括“定位”和“定量”两个方面1.“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在中心为原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；2.“定量”是指确定a2，b2的具体数值，常根据条件列方程求解.针对训练3求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)经过两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142； (2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 29＝1有相同的焦点．类型四 素养提升椭圆中的焦点三角形问题例4 如图所示，已知椭圆的方程为x 24＋y 23＝1，若点P 在第二象限，且∠PF 1F 2＝120°，求△PF 1F 2的面积．【解后反思】 椭圆上一点P 与椭圆的两焦点F 1、F 2构成的△F 1PF 2称为焦点三角形，解关于椭圆中的焦点三角形问题时要充分利用椭圆的定义、三角形中的正弦定理、余弦定理等知识．对于求焦点三角形的面积，若已知∠F 1PF 2，可利用S ＝12ab sin C 把|PF 1|·|PF 2|看成一个整体，利用定义|PF 1|＋|PF 2|＝2a 及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，这样可以减少运算量． 针对训练4设M 是椭圆x 225＋y 216＝1上一点，F 1、F 2为焦点，∠F 1MF 2＝π6，则S △MF 1F 2＝( )A ．1633B ．16(2＋3)C ．16(2－3)D ．16课堂达标1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1、F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．102．若方程x 24＋y 28sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则锐角α的取值范围是( )A ．(π3，π2)B ．[π3，π2)C ．(π6，π2)D ．[π6，π2)3．椭圆的两焦点坐标分别为(－2,0)和(2,0)，且椭圆过点(52，－32)，则椭圆方程是( )A.y 28＋x 24＝1 B.y 210＋x 26＝1 C.y 24＋x 28＝1 D.x 210＋y 26＝1 4．若方程x 2a 2＋y 2a ＋6＝1表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数a 的取值范围是 ．5．已知B 、C 是两个定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形的顶点A 的轨迹方程．参考答案要点整合知识点一 椭圆的定义[填一填]距离之和等于常数(大于|F1F2|) 焦点两焦点间的距离[答一答]1．提示：当距离之和等于|F1F2|时，动点的轨迹就是线段F1F2；当距离之和小于|F1F2|时，动点的轨迹不存在．知识点二椭圆的标准方程[答一答]2．提示：(1)两个焦点F1，F2在坐标轴上；(2)线段F1F2的中点是坐标原点．只有同时满足这两个条件时，所得到的方程才是标准方程．3．提示：令b2＝a2－c2可以使方程变得简单整齐．今后讨论椭圆的几何性质时，b还有明确的几何意义，因此设b>0.4．提示：依据椭圆的标准方程判断椭圆的焦点在哪条坐标轴上，只需看标准方程中的分母的大小，即椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中y2项的分母较大．典例讲解类型一椭圆的定义及其应用例1【答案】(1)B(2)4a【解析】(1)若点P的轨迹是椭圆，则一定有|P A|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)．所以甲是乙的必要条件．反过来，若|P A|＋|PB|＝2a(a>0，为常数)，当2a>|AB|时，点P的轨迹是椭圆；当2a＝|AB|时，点P的轨迹是线段AB；当2a<|AB|时，点P的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件．(2)如图，∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△ABF 2的周长＝|AB |＋|BF 2|＋|AF 2| ＝|AF 1|＋|BF 1|＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ， ∴△ABF 2的周长为4a . 通法提炼1一般地，关于椭圆的一些问题我们经常考虑利用其定义，这时候就要关注它的两个焦点，把问题转化为研究椭圆上的点到两个焦点的距离之和的问题. 针对训练1 【答案】A【解析】点P 到椭圆的两个焦点的距离之和为2a ＝10,10－5＝5. 类型二 椭圆标准方程的识别 例2 解：∵3<k <9，∴9－k >0，k －3>0.(1)当9－k >k －3，即3<k <6时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆； (2)当9－k ＝k －3，即k ＝6时， 方程表示圆x 2＋y 2＝3；(3)当9－k <k －3，即6<k <9时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆． 针对训练2【答案】必要不充分【解析】将曲线C 的方程化为：x 25－k ＋y 2k －3＝1，若曲线C 是焦点在y 轴上的椭圆，则k －3>5－k >0，即4<k <5，故“4≤k <5”是“曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆”的必要不充分条件． 类型三 求椭圆的标准方程例3 解：(1)焦点在y 轴上，设标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，则a 2＝16，b 2＝a 2－c 2＝16－9＝7.∴椭圆的标准方程为y 216＋x 27＝1.(2)⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，a 2－b 2＝16，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝8，(a ＋b )(a －b )＝16， ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝8，a －b ＝2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝3.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1或y 225＋x 29＝1.(3)解法一：①当焦点在x 轴上时，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(3)2a 2＋(－2)2b2＝1，(－23)2a2＋1b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，b 2＝5.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.②当焦点在y 轴上时，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2a 2＋(3)2b2＝1，1a 2＋(－23)2b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5，b 2＝15.(舍去)．故所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.解法二：设所求椭圆的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，且m ≠n )．依题意有⎩⎪⎨⎪⎧3m ＋4n ＝1，12m ＋n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝115，n ＝15.所以所求椭圆的方程为x 215＋y 25＝1.针对训练3解：(1)解法一：若焦点在x 轴上，设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4a 2＋2b 2＝1，1a 2＋144b 2＝1，解得⎩⎨⎧ 1a 2＝18，1b 2＝14.所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．由已知条件得⎩⎨⎧4b 2＋2a 2＝1，1b 2＋144a 2＝1，解得⎩⎨⎧1b 2＝18，1a 2＝14.即a 2＝4，b 2＝8，则a 2<b 2，与题设中a >b >0矛盾，舍去． 综上，所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.解法二：设椭圆的一般方程为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )．将两点(2，－2)，⎝⎛⎭⎫－1，142代入，得⎩⎪⎨⎪⎧4A ＋2B ＝1，A ＋144B ＝1，解得⎩⎨⎧A ＝18，B ＝14，所以所求椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.(2)因为所求椭圆与椭圆y 225＋x 29＝1的焦点相同，所以其焦点在y 轴上，且c 2＝25－9＝16.设它的标准方程为y 2a 2＋x 2b2＝1(a >b >0)．因为c 2＝16，且c 2＝a 2－b 2，故a 2－b 2＝16.① 又点(3，－5)在椭圆上，所以－52a 2＋32b 2＝1，即5a 2＋3b 2＝1.② 由①②得b 2＝4，a 2＝20，所以所求椭圆的标准方程为y 220＋x 24＝1. 类型四 素养提升椭圆中的焦点三角形问题例4 解：由已知a ＝2，b ＝3， 得c ＝a 2－b 2＝4－3＝1，|F 1F 2|＝2c ＝2， 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|PF 2|2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－2|PF 1||F 1F 2|·cos120°， 即|PF 2|2＝|PF 1|2＋4＋2|PF 1|.① 由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF 2|＝4， 即|PF 2|＝4－|PF 1|.② ②代入①解得|PF 1|＝65.所以S △PF 1F 2＝12|PF 1||F 1F 2|·sin120°＝12×65×2×32＝335， 即△PF 1F 2的面积是35 3.针对训练4 【答案】C【解析】设|MF 1|＝r 1，|MF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧r 1＋r 2＝10r 21＋r 22－3r 1r 2＝36，∴r 1r 2＝64(2－3)， ∴S △MF 1F 2＝12r 1r 2sin π6＝16(2－3).课堂达标 1．【答案】D【解析】|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 2．【答案】C【解析】∵方程x 24＋y 28sin α＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，∴8sin α>4，sin α>12.∵α为锐角，∴π6<α<π2.3．【答案】D【解析】由题可知c ＝2，即a 2－b 2＝4， 故可设椭圆的标准方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1，将(52，－32)代入可求得b 2＝6， 再将b 2＝6代入a 2＝b 2＋4得a 2＝10，故应选D. 4．【答案】(－6，－2)∪(3，＋∞) 【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2>0a ＋6>0a 2>a ＋6，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0a >－6a <－2或a >3， ∴－6<a <－2或a >3.5．解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy .如图所示，由|BC |＝8，可知点B (－4,0)，C (4,0)．由|AB |＋|AC |＋|BC |＝18，得|AB |＋|AC |＝10>8，因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，但点A 不在x 轴上．设顶点A 的轨迹方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)． 由题意知这个椭圆上的点与两焦点的距离之和2a ＝10， ∴a ＝5，又c ＝4，∴b 2＝a 2－c 2＝9.所以点A 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．。