en中n维单形二面角的角平分面的性质
二面角的定义专业知识讲座
∵AB1在平面ABC内的射影为AB，CAAB， ∴CAB1A，AB=BB1=1，得AB1= 2 。∵直线B1C与 平面ABC成300角，∴B1CB=300，B1C=2， Rt△B1AC中，由勾股定理得AC= 2 ，∴AQ=1。 在Rt△BAC中，AB=1，AC=，得AN= 6 。
3
sinAQN= 6
当之处，请联系本人或网站删除。
A
AB=AD， BC=CD
已知三个侧面的顶
角,求相邻两个侧
面所成的角
B
D注 意 一 些 全 等
三角形或相似
三角形
C
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3
O
C
2
在Rt△POE中， OE ， P2O
1
2
P
2
∴ tanPEO 2
2
∴所求的二面2角P-AB-C 的正切值为 2
2
E
O
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例5 已知：当R之t△处A，B请C联中系，本A人B或=网AC站=删a除，。AD是斜边BC上的
高，以AD为折痕使∠BDC成直角。
B1
C1
A1
Q
N
C
B
A
分析：易知，平面ABC与 平面BCC1B1垂直故可由面 面垂直的性质来寻找从一 个半平面到另一个半平面 的垂线。
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新高一数学二面角知识点
新高一数学二面角知识点一、二面角的定义二面角是指两个位于同一平面的射线，它们的起始点相同但是方向不同的角。
如图所示：（插入图片）在图中，OA和OB是位于同一平面的两个射线，它们的起始点O相同，但是方向不同，所以∠AOB是一个二面角。
二、二面角的度量二面角的度量可用度、分、秒或弧度表示。
常用的单位是度，用符号°表示。
（表格）其中，一周等于360°，一度等于60分，一分等于60秒。
三、二面角的分类根据二面角的大小和位置关系，二面角可以分为四类：锐角、直角、钝角和平角。
1. 锐角：度数大于0°且小于90°的二面角称为锐角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个锐角，它的度数大于0°且小于90°。
2. 直角：度数等于90°的二面角称为直角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个直角，它的度数等于90°。
3. 钝角：度数大于90°且小于180°的二面角称为钝角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个钝角，它的度数大于90°且小于180°。
4. 平角：度数等于180°的二面角称为平角。
如图所示：（插入图片）在图中，∠AOB是一个平角，它的度数等于180°。
四、二面角的性质1. 锐角的余角等于钝角。
2. 钝角的余角等于锐角。
3. 直角的余角等于直角。
4. 平角的余角等于平角。
5. 互补的二面角加起来等于平角。
6. 互补的二面角的余角相等。
7. 任意一锐角的余角是唯一的。
五、二面角的应用1. 几何中常用的二面角有直角、钝角和锐角，它们在三角函数等计算中具有重要的作用。
2. 二面角的概念也应用于立体几何及解析几何等领域。
六、总结二面角是高中数学中的重要概念，在几何和三角函数等计算中都有广泛的应用。
通过学习二面角的定义、度量和性质，我们能够更好地理解和应用数学知识。
2022-2023学年上海高二数学上学期同步知识点讲练第08讲二面角带讲解
第08讲二面角（核心考点讲与练）二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围：[0，π].找二面角的平面角的常用方法 （1）由定义做出二面角的平面角 （2）用三垂线定理找二面角的平面角 （3）找公垂面（4）划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角题型一：二面角的概念及辨析 一、单选题1．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）设α﹣l ﹣β是直二面角，直线a 在平面α内，直线b 在平面β内，且a ､b 与l 均不垂直，则（ ） A ．a 与b 可能垂直，但不可能平行 B ．a 与b 可能垂直也可能平行 C ．a 与b 不可能垂直，但可能平行 D ．a 与b 不可能垂直，也不可能平行 【答案】C【分析】利用空间中线面间的位置关系求解.【详解】∵α﹣l ﹣β是直二面角，直线a 在平面α内， 直线b 在平面β内，且a ､b 与l 均不垂直，∴当//a l ，且//b l 时，由平行公理得//a b ，即a ，b 可能平行，故A 与D 错误；当a ，b 垂直时，若二面角是直二面角，则a l ，与已知矛盾，能力拓展方法技巧考点考向∴a 与b 不可能垂直，也有可能平行. 故选：C.2．（2021·上海·复旦附中高二期中）在矩形ABCD 中，23AB =，3AD =，E 、F 分别为边AD 、BC 上的点，且2AE BF ==，现将ABE △沿直线BE 折成1A BE ，使得点1A 在平面BCDE 上的射影在四边形CDEF 内（不含边界），设二面角1A BE C --的大小为θ，直线1A B 与平面BCDE 所成的角为α，直线1A E 与直线BC 所成角为β，则（ ）A ．βαθ<<B ．βθα<<C ．αβθ<<D ．αθβ<<【答案】D【分析】根据题意作出相应的二面角，线面角，线线角，结合点1A 在平面BCDE 上的射影求解. 【详解】过A 作BE 的垂线，分别交EB ，EF ，DC 于M ，G ，N ，如图，显然A MN θ'∠=.因为//BC AD ，所以直线A E '与AD 所成角即为β.当A '在平面BCDE 上的射影为G 时，AE ⊥平面A EF '，此时2πβ=.于是当A '在平面BCDE 上的射影在线段GN 上时，2A ED π'∠<，所以A ED β'=∠.由于EA EA '=，MA MA '=，进而得2EAA β'∠=，2MAA θ'∠=.因为AM 是AA '在平面ABCD 上的射影，所以由线面角最小性知22EAA MAA βθ''∠=>∠=，即βθ>.再由二面角的最大性知θα>. 故选：D【点睛】关键点点睛：根据二面角平面角、线面角、异面直线所成的的角的定义，分别在图形中作出或找到,,βθα是解题的关键，再根据位置分析角的变化范围即可比较大小.3．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知两个平面,αβ和三条直线,,m a b ,若m αβ=,a α⊂且,a m b β⊥⊂,设α和β所成的一个二面角的大小为1θ,直线a 和平面β所成的角的大小为2θ,直线,a b 所成的角的大小为3θ,则（ ） A ．123θθθ=≥ B ．312θθθ≥= C ．1323,θθθθ≥≥ D ．1232,θθθθ≥≥【答案】D【分析】在一个平行六面体中,对三个角进行比较,即可选出正确答案. 【详解】如图,在平行六面体中,1190,90A AD A AB ∠=∠> 不妨设面11AA D D 为α,面ABCD 为β,BC b =.则AD m =,1AA a = 此时,由图可知,12390,90,90θθθ><=.只有C 选项符合. 故选:D.【点睛】本题考查了线面角,考查了面面角的概念.一般情况下,涉及到线面角和面面角问题时可借助空间向量进行求解.但在本题中,没有具体的几何体,因此,我们可以采取举实例的方法,在一个具体地几何体中探究角的大小关系. 二、填空题4．（2021·上海市七宝中学高二阶段练习）若两个相交平面α，β所成的锐二面角的大小为θ.则称平面α，β成θ角，已知平面α，β成70°角.则过空间一点V 且与α，β都成55°角的平面γ的个数为______个【答案】3【分析】过V 作平面,αβ的垂线,a b ，作平面γ的垂线l ，原问题等价于：相交于点V 的直线,a b 所成的角为70︒，过V 点能且只能作几条直线与,a b 所成的角都是55︒，然后通过,a b 夹角的平分线进行分析（绕V 点旋转运动）可得．【详解】过V 作平面,αβ的垂线,a b ，作平面γ的垂线l ，原问题等价于：相交于点V 的直线,a b 所成的角为70︒，过V 点能且只能作几条直线与,a b 所成的角都是55︒，设直线,a b 确定的平面为δ，则l 在平面δ上的射影必是,a b 所夹角（一个是70︒，另一个是110︒）的平分线，这样的直线有3条：一条是大小为110︒的那个角的平分线，另2条是大小为70︒的那个角的平分线绕V 点在δ的垂直平面内旋转所得．故答案为：3．5．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）若两个半平面所成二面角的大小为θ.则θ的取值范围是______ 【答案】[]0,π【分析】根据二面角的定义即可得出答案. 【详解】因为两个半平面所成二面角的大小为θ， 所以θ的取值范围是[]0,π. 故答案为：[]0,π.6．（2021·上海·高二专题练习）已知P 为锐二面角内一点，且P 到两个半平面及棱的距离之比为1:2:2，则此二面角的度数为________． 【答案】75︒【分析】画图，设锐二面角为l αβ--，作PA l ⊥，PB α⊥，PC β⊥，连接,AB AC ，再分别计算正弦值可得30PAB ∠=︒，45PAC ∠=︒，进而求得此二面角的度数.【详解】设锐二面角为l αβ--，作PA l ⊥，PB α⊥，PC β⊥，连接,AB AC . 易得BAC ∠为二面角l αβ--的平面角，又::1:2:2PB PC PA =，故1sin 2PAB ∠=,1sin 2PAC ∠=，且锐二面角l αβ--.故30PAB ∠=︒，45PAC ∠=︒.故75BAC ∠=︒，即此二面角的度数为75︒.故答案为：75︒【点睛】本题考查了三角函数的运用、二面角的计算等，需要根据题意作出对应的角度求解.属于基础题. 题型二：求二面角 一、填空题1．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如果二面角l αβ--的平面角是锐角，空间一点Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42，则二面角l αβ--的大小为_______________.【答案】75或15【分析】分点P 在二面角l αβ--的内部和外部，利用二面角的定义求解. 【详解】当点P 在二面角l αβ--的内部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥， A ，C ，B ，P 四点共面，ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为22、4和42， 所以22142sin ,sin 224242ACP BCP ∠==∠==，所以30,45ACP BCP ∠=∠=，则453075ACB BCP ACP ∠=∠+∠=+=；当点P 在二面角l αβ--的外部，如图所示：,,PA PB PC l αβ⊥⊥⊥， A ，C ，B ，P 四点共面， ACB ∠是二面角的平面角，因为Р到平面α、β和棱l 的距离分别为224和2 所以所以2212sin ,sin 24242ACP BCP ∠=∠所以30,45ACP BCP ∠=∠=，30,45ACP BCP ∠=∠=，则453015ACB BCP ACP ∠=∠-∠=-=. 故答案为：75或152．（2021·上海浦东新·高二期中）在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小是___________. 【答案】4π 【分析】利用正方体的几何性质以及二面角的定义找到对应的平面角，在三角形中求解即可． 【详解】正方体1111ABCD A B C D -中，BC ⊥平面11ABB A ， 又1A B ⊂平面11ABB A ， 所以1A B BC ⊥，又AB BC ⊥，所以1A BA ∠是平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的平面角， 在直角1ABA △中，14ABA π∠=，所以平面11A BCD 与平面ABCD 所成的锐二面角的大小是4π． 故答案为：4π．二、解答题3．（2021·上海南汇中学高二阶段练习）如图所示，正四棱锥P ABCD -中，O 为底面正方形的中心，侧棱PA 与底面ABCD 所成的角的正切值为62. (1)求侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角的大小；(2)若E 是PB 的中点，求异面直线PD 与AE 所成角的正切值；(3)在（2）的条件下，问在棱AD 上是否存在一点F ，使EF ⊥侧面PBC ，若存在，试确定点F 的位置；若不存在，说明理由.【答案】(1)60 (3)存在，F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置【分析】（1）取AD 中点M ，连接OM 、PM ，由正四棱锥的性质知PMO ∠为所求二面角P AD O --的平面角，PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，设AB a ，求出tan PMO ∠的值，即可得解；（2）依题意连接AE 、OE ，可知OEA ∠为异面直线PD 与AE 所成的角，证明出AO OE ⊥，计算出AO 、OE 的长，即可求得结果；（3）延长MO 交BC 于N ，取PN 的中点G ，连接EG 、MG ，易得BC ⊥平面PMN ，可得平面PMN ⊥平面PBC ，分析出PMN 为正三角形，易证MG ⊥平面PBC ，取AM 的中点F ，连接EF ，可得四边形EFMG 为平行四边形，从而//MG FE ，可得EF ⊥平面PBC ，即可得出结论.(1)解：取AD 的中点M ，连接OM 、PM ，由正四棱锥的性质可知PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，则AD PO ⊥，依条件可知AD MO ⊥，则PMO ∠为所求二面角P AD O --的平面角.PO ⊥面ABCD ，则PAO ∠为侧棱PA 与底面ABCD 所成的角，则tan PAO ∠=设AB a ，则AO ，所以，tan PO AO POA =⋅∠，则tan POPMO MO∠==，因为090PMO <∠<，故60PMO ∠=. (2)解：连接AE 、OE ，O 、E 分别为BD 、PB 的中点，则//OE PD ，所以，AEO ∠为异面直线PD 与AE 所成的角.PO ⊥平面ABCD ，AO ⊂平面ABCD ，则AO PO ⊥， AO BD ⊥，BD PO O =，AO ∴⊥平面PBD ，又OE ⊂平面PBD ，AO OE ∴⊥.12OE PD ==，所以，tan AO AEO EO ∠==(3)解：延长MO 交BC 于N ，则N 为BC 的中点，取PN 的中点G ，连接EG 、MG . 因为PB PC =，N 为BC 的中点，则BC PN ⊥，同理可得BC PM ⊥，PM PN P =，故BC ⊥平面PMN ，BC ⊂平面PBC ，∴平面PMN ⊥平面PBC ，又PM PN =，60PMN ∠=︒， 所以，PMN 为正三角形，G 为PN 的中点，则MG PN ⊥，又因为平面PMN 平面PBC PN =，平面PMN ⊥平面PBC ，MG ⊂平面PMN ，所以，MG ⊥平面PBC ，取AM 的中点F ，连接EF 、EG ，G 、E 分别为PN 、PB 的中点，则//EG BN 且12EG BN =， 因为//AD BC 且AD BC =，M 、N 分别为AD 、BC 的中点，则//AM BN 且AM BN =，F 为AM 的中点，则//FM BN 且12FM BN =，故//FM EG 且FM EG =， 所以，四边形EFMG 为平行四边形，则//EF MG ，故EF ⊥平面PBC . 因此，F 是AD 的4等分点，靠近A 点的位置. 题型三：由二面角大小求线段长度或距离 一、单选题1．（2021·上海市奉贤中学高二阶段练习）二面角l αβ--的大小是60°，在该二面角内有一点P 到α的距离是3，到β的距离是5，又动点A 和B ，A α∈，B β∈，则△P AB 的周长的最小值是（ ） A ．33B ．63C ．12D ．14【答案】D【分析】作出P 关于两个平面α，β对称点M 、N ，连接MN ，线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C ，D ，连接MP ，NP ，由已知条件推导出PAB △周长L PM PN MN AM MN BN =++=++，当A 与C 重合，B 与D 重合时，由两点之间线段最短可以得出MN ，即为PAB △周长的最小值．【详解】解：如图，作出P 关于两个平面α，β的对称点M 、N ，交平面α，β分别为E ，F ，过点E ，F 分别作EO ，FO 垂直直线l ，连接MN ，线段MN 与两个平面的交点坐标分别为C ，D ，连接MP ，NP ，CP ，DP ， 则PAB △的周长L PA PB AB AM AB BN =++=++，当A 与C 重合，B 与D 重合时， 由两点之间线段最短可以得出MN 即为PAB △周长的最小值， 根据题意可知：P 到二面角两个面的距离分别为3、5，6MP ∴=，10NP =，面角l αβ--的大小是60°，60EOF ∴∠=︒，120MPN ∴∠=︒，根据余弦定理有：2222212cos 6102610()1962MN MP NP MP NP MPN =+-∠=+-⨯⨯⨯-=，14MN ∴=，PAB ∴周长的最小值等于14．故选：D ．2．（2020·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）在直角坐标系中，设()3,2A ，()2,3B -沿着y 轴将直角坐标平面折成120︒的二面角后，AB 长为（ ） A ．211 B ．42C ．25D ．6【答案】C【分析】如图（1），设()()()0,3,0,2,2,2D E F -，则可证在图（2）中FEA ∠为二面角F OD A --的平面角，结合线面垂直的性质可得ABF 为直角三角形，从而可求AB 的长度. 【详解】如图（1），设()()()0,3,0,2,2,2D E F -，则,,BD OD EF OD AE OD ⊥⊥⊥，则在图（2）中，FEA ∠为二面角F OD A --的平面角，由题设可得120FEA ∠=︒，所以2194223192AF ⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，19AF =，因为EF AE E =，故OD ⊥平面EFA ，而//BF OD ，所以BF ⊥平面EFA ，又AF ⊂平面EFA ，故BF AF ⊥，故19125AB =+=. 故选：C. 二、填空题3．（2021·上海·复旦附中高二期中）二面角l αβ--是60︒，其内一点P 到,αβ的距离分别为1cm 和2cm ，则点P 到棱l 的距离为_________． 【答案】2213【分析】过P 分别作,PA PB αβ⊥⊥，设点P 到棱l 的垂足为C ，可得,,,P A B C 在以PC 为直径的圆上，利用余弦定理求出AB ，再由正弦定理即可求出.【详解】如图，过P 分别作,PA PB αβ⊥⊥，则1,2PA PB ==， 设点P 到棱l 的垂足为C ，则可得l ⊥平面PACB ，则,l AC l BC ⊥⊥， 所以60ACB ∠=︒，则120APB ∠=︒，在ABP △中由余弦定理可得22212cos1201421272AB AP BP AP BP ⎛⎫=+-⋅⋅︒=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以7AB =，由题意可得,,,P A B C 在以PC 为直径的圆上， 所以由正弦定理可得7221sin 332AB PC APB ===∠. 故答案为：2213. 4．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图，二面角l αβ--等于120︒，A ､B 是棱l 上两点，AC BD 、分别在半平面αβ、内，AC l ⊥，BD l ⊥，且3AB AC BD ===则CD 的长等于___________.【答案】23【分析】过D 作DE α⊥面于E ，连结CE .延长AC 到F ，使CF =BE ，连结BF .分别求出DE 和CE ，利用勾股定理即可求出CD .【详解】如图示，过D 作DE α⊥面于E ，连结CE .延长AC 到F ，使CF =BE ，连结BF .因为二面角l αβ--等于120︒，3BD =BD l ⊥，所以60DBE ∠=︒且BE l ⊥,所以33sin 60cos 602DE BD BE BD =︒==︒=，在平面α内，因为BE l ⊥，AC l ⊥， 所以//BE AC ,即//BE CF ，又BE CF =，所以BECF 为平形四边形， 所以()22223339324CE BF AB AF ⎛⎫==++= ⎪ ⎪⎝⎭所以22223392324CD DE CE ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故答案为：235．（2021·上海市市西中学高二期中）正方形ABCD 的边长是2，,E F 分别是AB 和CD 的中点，将正方形沿EF折成直面角（如图所示），M 为矩形AEFD 内的一点，如果MBE MBC ∠=∠，MB 和平面BCF 所成角的正切值为12，那么点M 到直线EF 的距离为_________．2【分析】过点M 作MO EF ⊥，交EF 于O ，过点O 作ON BC ⊥，交BC 于N ，证明Rt BEM △≌Rt BMN ，进而得ME MN =，设MO x =251x -21x =+2x =. 【详解】过点M 作MO EF ⊥，交EF 于O ，因为A EF C --是直二面角， 所以MO ⊥平面BCFE ，所以MO BC ⊥ 过点O 作ON BC ⊥，交BC 于N ，ONOM O =，所以BC ⊥平面MON ，所以BC MN ⊥，即BMN △为直角三角形， 因为BE EF ⊥，A EF C --是直二面角，所以BE ⊥平面AEFD ，所以BE ME ⊥，即BEM △为直角三角形， 因为MBE MBC ∠=∠， 所以Rt BEM △≌Rt BMN ， 所以ME MN =设MO x =，则MB 和平面BCF 所成角的正切值为12， 由于MBO ∠是MB 和平面BCF 所成角，即1tan 2MO MBO OB ∠==， 所以2OB x =所以在Rt MBO △中，225BM OM OB x =+= ， 在Rt BEM 中，22251EM BM EB x -=- 在Rt BMN 中，2221MN OM ON x +=+ 251x -21x +2x =所以点M 到直线EF 22.【点睛】本题考查直线与平面所成的角，考查空间想象能力，运算求解能力，逻辑推理能力，是中档题.本题解题的关键在于根据题意，构造辅助线将MBE MBC ∠=∠转化为ME MN =，进而根据几何关系列式求解.6．（2021·上海市进才中学高二期中）如图，一斜坡的倾斜度（坡面与水平面所成二面角的度数）是30，斜坡上有一直道，它和坡脚水平线成60︒角，沿这条直道向上行走100米后升高______米．【答案】253【分析】设直道AB 中A 在二面角的棱上，过B 作BC 与水平面垂直，垂足为C ，再作CD 与棱垂直，垂足为D ，连接BD ，可得BDC ∠为已知二面角的平面角．然后 在直角三角形中计算可得．【详解】如图，设直道AB 中A 在二面角的棱上，过B 作BC 与水平面垂直，垂足为C ，再作CD 与棱垂直，垂足为D ，连接BD ，BC 与水平面垂直，则BC 与水平线AD 垂直，也与水平面上的直线CD 垂直，而CD BC C ⋂=，,CD BC ⊂平面BCD ，所以AD ⊥平面BCD ，又BD ⊂平面BCD ，所以AD BD ⊥，BDC ∠为已知二面角的平面角． 由已知100AB =，60BAD ∠=︒，则sin 100sin 60503BD AB BAD =∠=︒=，30BDC ∠=︒，sin 503sin 30253BC BD BDC =∠=︒=．故答案为：253．三、解答题7．（2021··高二期中）如图1，平面四边形ABCD 关于直线AC 对称，60A ∠=︒，90C ∠=︒，2CD =．把ABD△沿BD 折起（如图2），使二面角A BD C --的余弦值等于33．对于图2，完成以下各小题： （1）求A 、C 两点间的距离；（2）证明：AC ⊥平面BCD ；（3）求直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值． 【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）33． 【分析】（1）根据题意取BD 的中点E ，容易证明AEC ∠是二面角A BD C --的平面角，进而求出结果； （2）通过勾股定理证明,AC BC AC CD ⊥⊥，进而通过线面垂直的判定定理得到结论； （3）先通过等体积法求出点C 到平面ABD 的距离，进而根据线面角的定义求出线面角的正弦值.【详解】（1）由题意，BCD △是以C 为直角，直角边边长为2的等腰三角形，ABD △是边长为22的正三角形.如图，取BD 的中点E ，连接,AE CE ，由,AB AD CB CD ==，得：,AE BD CE BD ⊥⊥ACE ∠就是二面角A BD C --的平面角，3cos AEC ∴∠=. 在ACE ∆中，易得62AE CE ==，222+-2cos 4AC AE CE AE CE AED =⋅⋅∠= 3cos ACE ∴∠=2AC ∴=.（2）由22AB AD BD ===，2AC CD BC ===,∴222+AC BC AB =，222+AC CD AD =,009090ACB ACD ∴∠=∠=，,,AC BC AC CD ∴⊥⊥,又BC CD C ⋂=AC ∴⊥平面BCD ．（3）设点C 到平面ABD 的距离为h ， ∵C ABD A BCD V V --=11112222sin 602223232h ∴⨯⨯⨯︒⋅=⨯⨯⨯⨯,233h ∴=. 于是AC 与平面ABD 所成角θ的正弦为3sin 3h AC θ==． 8．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，在棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1和CC 1的中点.（1）求异面直线EF 与AB 所成角的余弦值；（2）求异面直线EF 与AB 之间的距离（3）在棱BB 1上是否存在一点P ，使得二面角P-AC-B 的大小为30°?若存在，求出BP 的长，若不存在，请说明理由. 【答案】（16；（232（3）存在，6BP =. 【分析】（1）作出异面直线所成的角，解三角形求解；（2）转化异面直线间距离为线面距离，再转化为点面距离，计算即可； （3）假设存在，利用二面角P-AC-B 的大小为30求解即可. 【详解】（1）取B C ''中点G ，连结EG ，如图，又E 为A D ''中点，////EG A B AB ∴''，连结GF ，则FEG ∠或其补角即为异面直线EF 与AB 所成角，F 为CC '中点，正方体边长为2，2EG A B =''=，2221216EF ++6cos EG FEG EF ∴∠==∴异面直线EF 与AB 6（2）因为//EG AB ，所以异面直线EF 与AB 之间的距离即为直线AB 与平面EFG 间的距离， 即点B 与平面EFG 的距离， 连接BC '，交FG 于M , 因为//FG B C ',所以BM GF ⊥，又,EG BM EGFG G ⊥=,所以BM ⊥平面EFG ,即BM 为点B 到平面EFG 的距离. 因为22122222,2BC MC GF ''=+==所以32BM BC MC ''=-=即异面直线EF 与AB 之间的距离为322. （3）假设棱BB 1上存在一点P 满足题意， 连接,AC BD 交于O ，连接PO ,所以BOP ∠为二面角P AC B --的平面角，设BP x =，2BO =tan tan 30BPBOP BOο∠==32=，所以6x =故当存在BP 长为63时，二面角P AC B --的大小为30ο． 题型四：由二面角大小求异面直线所成的角 一、填空题1．（2021·上海·闵行中学高二阶段练习）已知二面角l αβ--的大小为140，直线,a b 分别在平面,αβ内且都垂直于棱l ，则a 与b 所成角的大小为__________. 【答案】40︒【分析】根据二面角的定义可得答案.【详解】因为二面角l αβ--的大小为140，直线,a b 分别在平面,αβ内且都垂直于棱l ， 所以a 与b 所成角的大小为40︒ 故答案为：40︒ 二、解答题2．（2021·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1OA =，母线3SA =.(1)求此圆锥的体积和侧面展开图扇形的面积；(2)如图，半平面SOA 与半平面SOP 所成二面角P SO A --大小为120，设线段SO 中点为M ，求异面直线AM 与PS 所成角的余弦值.【答案】(1)体积为223，侧面展开图扇形的面积为3π73【分析】（1）利用锥体的体积公式以及扇形的面积公式可求得结果；（2）取OP 的中点E ，连接AE 、ME ，分析可知异面直线PS 与AM 所成的角为AME ∠或其补角，计算出AME △三边边长，利用余弦定理可求得结果. (1)解：由题意可知，2222SO SA OA - 圆锥SO 的体积为21223V OA SO π=⨯⨯=，该圆锥的侧面展开图扇形的面积为3S OA SA ππ'=⨯⨯=.(2)解：在圆锥SO 中，SO ⊥平面AOP ，AO 、PO ⊂平面AOP ，SO AO ∴⊥，SO PO ⊥，所以，二面角P SO A --的平面角为120AOP ∠=， 取OP 的中点E ，连接AE 、ME ，E 、M 分别为PO 、SO 的中点，则//ME PS 且1322ME PS ==， 所以，异面直线PS 与AM 所成的角为AME ∠或其补角，3SA =，1OA =，则2222SO SA AO =-=，223AM AO OM ∴=+=，在AOE △中，12OE =，1OA =，120AOE ∠=， 由余弦定理可得2272cos1202AE AO OE AO OE =+-⋅=， 由余弦定理可得22273cos 218AM ME AE AME AM ME +-∠==⋅. 因此，异面直线AM 与PS 所成角的余弦值为7318. 一、单选题1．（2021·上海市进才中学高二期中）正三棱台侧面与底面所成角为4π，侧棱与底面所成角的余弦值为（ ）A ．55B ．255C ．33D ．63【答案】B【分析】延长侧棱交于一点P ,三棱锥P ABC -为正三棱锥，作PO ⊥底面ABC ，根据PMO ∠即为侧面与底面所成角，PAO ∠即为侧棱与底面所成角，利用边长计算即可. 【详解】巩固提升如图所示，三棱台为ABC DEF -,延长侧棱交于一点P ,则三棱锥P ABC -为正三棱锥，设底面边长为a ，作PO ⊥底面ABC ，则O 为底面中心， 所以36OM a =，易知PMO ∠即为侧面与底面所成角， 所以4PMO π∠=，所以36PO OM a ==， 由PO ⊥底面ABC ，可知PAO ∠即为侧棱与底面所成角，所以316tan 2233aPO PO PAO AO OM a ∠====， 所以225cos 55PAO ∠==. 故选：B.2．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二期中）已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则（ ） A ．θ1≤θ2≤θ3 B ．θ3≤θ2≤θ1 C ．θ1≤θ3≤θ2 D ．θ2≤θ3≤θ1【答案】D【分析】设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，由SO 垂直于底面ABCD ，得到123,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠=求解. 【详解】如图所示：设O 为正方形ABCD 的中心，M 为AB 中点，过E 作BC 的平行线EF ，交CD 于F ，过O 作ON 垂直EF 于N ，连接SO ，SN ，SE ，SM ，OM ，OE ， 则SO 垂直于底面ABCD ，OM 垂直于AB ， 因此123,,,SEN SEO SMO θθθ∠=∠=∠= 从而123tan ,tan ,tan ,SN SN SO SOEN OM EO OM====θθθ 因为SN SO EO OM ≥≥，，所以132tan tan tan ,≥≥θθθ即132θθθ≥≥，故选：D.3．（2021·上海市宝山中学高二期中）如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDD C 上有一个小孔E ，E 点到CD 的距离为3，若该正方体水槽绕CD 倾斜（CD 始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDD C 与桌面所成角的正切值为（ ）A ．55B ．12C ．255D ．2【答案】D【解析】根据题意，当水恰好流出时，即由水的等体积可求出正方体倾斜后，水面N 到底面B 的距离1BN =，再由边长关系可得四边形1NPC H 是平行四边形，从而侧面11CDD C 与桌面所转化成侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,进而在直角三角形中求出其正切值.【详解】由题意知，水的体积为44232⨯⨯=，如图所示，设正方体水槽绕CD 倾斜后，水面分别与棱1111,,,,AA BB CC DD 交于,,,,M N P Q由题意知3PC =，水的体积为32BCPN S CD ⋅=322BN PCBC CD +∴⋅⋅=，即344322BN +⨯⨯=， 1BN ∴=在平面11BCC B 内，过点1C 作1//C H NP 交1BB 于H ，则四边形1NPC H 是平行四边形，且11NH PC ==又侧面11CDD C 与桌面所成的角即侧面11CDD C 与水面MNPQ 所成的角，即侧面11CDD C 与平面11HC D 所成的角,其平面角为111HC C B HC ∠=∠, 在直角三角形11B HC 中，111114tan 22B C B HC B H ===. 故选：D.【点睛】本题考查了利用定义法求二面角，在棱上任取一点，过这点在两个平面内分别引棱的垂线，这两条垂线所成的角即为二面角的平面角.4．（2021·上海·高二专题练习）等腰直角ABC 斜边CB 上一点P 满足14CP CB ≤，将CAP 沿AP 翻折至C AP '，使二面角C AP B '--为60︒，记直线C A '、C B '、C P 'CP 与平面APB 所成角分别为α、β、γ，则（ ） A ．αβγ<< B ．αγβ<<C ．βαγ<<D ．γαβ<<【答案】C【分析】建立坐标系，找出'C 在平面ABC 上的射影N ，判断N 到A ，B ，P 三点的距离大小得出结论． 【详解】以A 为原点建立平面直角坐标系如图所示：过C 作CM AP ⊥，垂足为H ，使得CH MH =，设MH 的中点为N ，二面角'C AP B --为60︒，'C ∴在平面ABC 上的射影为.N 连接NP ，NA ，.NB 显然NP NA <．设1AC AB ==，则sin CH PAC =∠， 33sin 22CN CH PAC ∴==∠，N ∴到直线AC 的距离3sin sin 2d CN ACN PAC =⋅∠<∠，14CP CB ≤，sin PAC ∴∠≤12d ∴<<，即N 在直线12y =下方，NA NB ∴<．设'C 到平面ABC 的距离为h ，则h tan NA α=，h tan NB β=，htan NPγ=， NP NA NB <<，tan tan tan γαβ∴>>，即γαβ>>．故选：C ．【点睛】本题主要考查了空间角的大小比较，转化的思想，属于中档题． 二、填空题5．（2020·上海市金山中学高二期末）在北纬45°的线圈上有,A B 两地，它们的经度差为90°，若地球半径为R ，则,A B 两地的球面距离为______. 【答案】3Rπ 【分析】因为,A B 在北纬45°上且经度差为90°，所以AB R =，从而,A B 的球心角为:3π，再用弧长公式求解. 【详解】地球的半径为R ，在北纬45°，经度差为90° 所以AB R =，所以,A B 的球心角为:3π， 所以两点间的球面距离是:3Rπ；故答案为:3Rπ. 【点睛】本题主要考查了线线角，线面角以及弧长公式，还考查了空间想象的能力，属于基础题. 6．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）已知一个正四棱锥的底面边长为2，侧面与底面所成角的大小为3π，则该四棱锥的侧面积为______． 【答案】8【分析】过V 作平面ABC 的垂线VO ,交平面ABC 于O 点,过作OE ⊥AB ,交AB 于E .连结VE , 则∠VEO 是二面角V-AB-C 的平面角，在直角三角形VEO 中，利用余弦的定义，即可求出侧高，即可求出四棱锥的侧面积.【详解】如图,在正四棱锥V-ABCD 中,底面正方形ABCD 边长为2.侧面VAB 与底面ABCD 所成二面角的大小为60°, 过V 作平面ABC 的垂线VO ,交平面ABC 于O 点,过作OE ⊥AB ,交AB 于E .连结VE , 则∠VEO 是二面角V-AB-C 的平面角,∴∠VEO =60°,OE =AE =BE =1, ∴=2cos60OE VE =︒，∴cos ∠VEO =12EO VE =, ∴该四棱锥的侧面积422812S ⎛⎫⎪⎝=⨯⎭⨯⨯=.故答案为：87．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知二面角CD αβ--的大小为θ，A 为平面α上的一点，且ACD △的面积为2，过A 点的直线AB 交平面β于B 点，AB CD ⊥，且AB 与β成60︒角，当θ变化时，BCD △的面积最大为___________. 【答案】433【分析】当BA α⊥于点A 时，BCD △的面积取得最大值，然后把二面角的平面角转化为面积之比进行求解即可 【详解】过点A 作AO CD ⊥，连接BO,,AB CD AO CD AB AO A⊥⊥⋂=CD 平面,AOB CD OB ⊥AOB ∴∠是二面角CD αβ--的平面角，122,12ACD ACDBCDBCDDC OAS SOB OA OBSSOB OA OADC OA ⨯⨯==∴==⨯,CD OB AB CD ⊥⊥ABO ∴∠是AB 与β所成的角，60ABO ∴∠=︒设AOB θ∠=，在AOB 中有正弦定理可知： ()()()sin 120120,sin 60sin 120sin 603AO BO BO OA θθθ︒-︒-===︒︒-︒， 当()sin 1201θ︒-=，即12090,30θθ︒-=︒=︒时OB OA2ACDBCDSOB OB SOA OA⨯∴==的最大值为2=8．（2021·上海市控江中学高二期中）已知，矩形ABCD 中，2AB =，5BC =，E ，F 分别为边BC ，AD 上的定点，且45BAE ∠=︒，30DCF ∠=︒，分别将ABE ∆，CDF ∆沿着AE ，CF 向矩形所在平面的同一侧翻折至AB E '∆与CD F '∆处，且满足B D AB ''⊥，分别将锐二面角B AE D '--与锐二面角D FC B '--记为1θ与2θ，则21cos θ+22cos θ的最小值为______．【答案】15【解析】根据题意，作'D 在底面的射影G ，'B 在底面的射影H ，找到两个锐二面角的平面角，从而得到222212''cos (),cos ()NG HM D N B Mθθ==，由B D AB ''⊥，得到//B D AD ''，进一步得到//GH AD ，并设(01)NG x x =<<，并所求式子表示成关于x 的二次函数，求二次函数的最小值，即可得到答案.【详解】如图所示，作'D 在底面的射影G ，'B 在底面的射影H ， DN 垂直CF 于N ，BM 垂直AE 于M ，则222212''cos (),cos ()NG HM D N B Mθθ==， 因为B D AB ''⊥，所以//B D AD ''，则//GH AD ，因为30DCF ∠=︒，所以1DN=，同理45BAE ∠=︒，所以BM = 作'GG AD ⊥，'HH AD ⊥，则'30G DG ∠=︒设(01)NG x x =<<，则''12xGG HH +==，所以'12xMH -=，所以2222212151cos cos 424x x x x θθ-+=+=-+，当15x =时，21cos θ+22cos θ的最小值为15.故答案为：15.【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题、二面角的概念、函数的最值，考查转化与化归思想、函数与方程思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解的关键是利用平行条件进行问题的转化.9．（2021·上海市西南位育中学高二期中）已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，点E 是棱BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合，设二面角C AF E --的大小为θ，则tan θ的最小值为_________.6【分析】过E 作EN AC ⊥于N ，利用直棱柱性质知EN ⊥侧面1A C ， 连接AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连接ME ，根据三垂线定理得EM AF ⊥，且EMN θ∠=，设FAC α∠=，在直角CNE 中，求出NE ；在直角AMN 中，求出MN ，进而可得tan θ的最小值．【详解】（Ⅰ）过E 作EN AC ⊥于N ，连接EF ，由直棱柱的性质可知，底面ABC ⊥侧面1A C ，∴EN ⊥侧面1A C连接AF ，过N 作NM AF ⊥于M ，连接ME ，根据三垂线定理得EM AF ⊥ ∴EMN ∠是二面角C AF E --的平面角即EMN θ∠= 设FAC α∠=，则045α︒<≤︒，在直角CNE 中，3NE =AMN 中，3sin MN α=故3tan 3sin θα=，又045α︒<≤︒，∴20sin 2α<≤ 故当45α=︒时，tan θ达到最小值63，此时F 与1C 重合 故答案为：63【点睛】思路点睛：本题考查了空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，解题时要利用二面角的定义找到EMN ∠是二面角C AF E --的平面角，再构造tan θ的函数，进而求得最小值，考查学生的空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，属于较难题. 三、解答题10．（2021·上海市甘泉外国语中学高二期中）在四面体ABCD 中，AB ＝BD ＝CD ＝1，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥BD ，点M 为AD 上动点，连结BM ，CM ，如图.(1)求证：BM ⊥CD ；(2)若AM ＝2MD ，求二面角M ﹣BC ﹣D 的余弦值；(3)是否存在一个球，使得四面体ABCD 的顶点都在此球的球面上？若存在，确定球心的位置并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)见详解；6；(3)存在，球心为AC 中点，理由见详解. 【分析】（1）要证线线垂直，只要证线面垂直，利用线面垂直的性质即可得证； （2）利用几何法，先确定二面角的平面角，即可得解.（3）连接AC ，由棱,,AB BD CD 两两垂直，以,,AB BD CD 为棱可补全为如图正方体，由球心为体对角线AC 中点，即可得解.。
二元合金相图快速分析的几点思考_宋小威
* 收稿日期： 2017-04-09
基金项目： 安庆师范大学博士启动基金 （044-150002019） 和安徽省高等教育振兴计划重大教学改革研究项目 （2014zdjy088） 。 作者简介： 宋小威， 男， 安徽桐城人， 博士， 安庆师范大学化学化工学院讲师， 主要研究方向为物理化学。E-mail: songxw@
对如何分析相图作简要的论述， 以帮助相图初学者快速准确地分析相图。 关键词： 二元合金相图； 相律； 步冷曲线； 杠杆规则 中图分类号： O642.4+2
文献标识码： A
Some thoughts on the rapid analysis of binary alloy phase diagrams
其中 P S 是到子空间 S i 的正交投影算子。主角的
i
空间的 n - 1 子空间所成的第 n - 1 个主角的补角 的余弦值， 即单形 Ω 关于顶点 A 0 的顶点角可以 通过关于顶点 A 0 的 n 个侧面形成的 C 2 n 个非零主 角来构造和描述。
3
结束语
本文简要回顾了三角函数的历史， 介绍了基 于主角的三角函数的推广， 并给出了 4 种正弦曲 面及基于这 4 种正弦曲面的二元函数的一种二重 Fourier 展开。介绍了基于顶点角的三角函数的 另一种推广， 并讨论了这两种推广间的联系。 参考文献：
SONG Xiaowei, GUO Chang, ZHAO Yingguo, FANG Hui
(School of Chemistry and Chemical Engineering, Anqing Normal University, Anqing 246133, China) Abstract: This essay makes a brief discussion on how to analyze the phase diagram of the V-Zr binary alloy system from three aspects, including identifying each phase region, plotting the cooling curve towards a system point and confirming the amount of each phase during phase equilibrium. The aim is to improve the students' ability of analyzing binary alloy phase diagrams. Key words:binary alloy phase diagrams; phase rule; cooling curve; lever rule
高一数学知识重点：两个平面的位置关系之二面角知识点总结
高一数学知识重点：两个平面的位置关系之二面角知识点总结高中数学具有较强的学科化特点，难度有些高。
所以在学数学的时候要学会读书，把厚书读薄。
要想熟练灵活的运用知识，就需要掌握适合自己的学习方法，下文为同学们整理了高一数学知识重点，详情如下：两个平面的位置关系：(1)两个平面互相平行的定义：空间两平面没有公共点(2)两个平面的位置关系：两个平面平行-----没有公共点;两个平面相交-----有一条公共直线。
二面角(1)半平面：平面内的一条直线把这个平面分成两个部分，其中每一个部分叫做半平面。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
二面角的取值范围为[0°，180°](3)二面角的棱：这一条直线叫做二面角的棱。
(4)二面角的面：这两个半平面叫做二面角的面。
(5)二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(6)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
esp.两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记为⊥两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
Attention：二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)数学，在我们的日常生活中，尤其对于学生来说，学好它很重要。
有句俗话说得好，学好数理化，走遍天下都不怕，可见数学的重要性。
而且对于我们很多的学生来说，高考是我们的学生一个很重要的出路。
而学好数学，不仅对于我们考上好的大学，有很大的帮助。
而且对我们以后的事业和我们甚至是我们的智力的发展，都有很大的帮助。
那么我们该如何学好数学呢?要学好数学，首先最重要的一点，我们要及时的预习。
二面角的定义课件
目录
• 二面角的定义 • 二面角的性质 • 二面角的计算方法 • 二面角的应用
01
二面角的定义
平面角与二面角的区别
平面角
平面内两条射线或线段在平面内 相交所形成的角，其大小由两条 射线的夹角决定。
二面角
两个半平面在三维空间中相交所 形成的角，其大小由两个半平面 的夹角决定。
二面角的几何意义
时。
04
二面角的应用
立体几何中的二面角
总结词
描述二面角在立体几何中的具体应用， 如空间几何体的表面积和体积计算等。
VS
详细描述
在立体几何中，二面角是描述两个平面相 交的夹角大小的量，对于计算空间几何体 的表面积和体积等具有重要意义。例如， 在计算圆锥体的侧面积时，需要用到二面 角的大小来计算。
解析几何中的二面角
特殊情况
当两个半平面平行或重合时，二面角的大小为0或180度。当两个半平面垂直时 ，二面角的大小为90度。
02
二面角的性质
二面角的度量性质
定义
二面角是两个半平面之间的夹角，通常用θ表示。它是一个标量，其取值范围是 [0,π]。
性质
二面角的度量性质包括其大小和方向。大小可以通过测量或计算得出，方向可以 通过半平面的法向量来确定。
01
二面角的大小反映了两个半平面 的相对位置关系，是三维空间中 两个半平面相互旋转的角度。
02
二面角的度量可以通过测量两个 半平面的夹角来得出，也可以通 过测量与二面角相关的平面角来 得出。
二面角的度量
度量方法
通过测量与二面角相关的平面角来得出二面角的度量值。具体来说，可以在二 面角的棱上选择一点，分别在两个半平面上作垂直于棱的射线，这两条射线所 形成的平面角的大小就是二面角的度量值。
关于n维单形外角平分面面积计算公式与不等式
设 维欧 氏空 间 Ｅ”中 维 单形 Ｑ 一 ｛ Ｐ ， Ｐ ，
…
念 ， ｔ 表示 两侧 面 厂 与 ， 成 内二 面角 ０ 平分 用 所
面 （一 １ 维单 形 ） ｔ的面积 为 Ｔ （ ≤ ≤ ＋１ ， ０ ＜ ）
最近 文献 ［ ］ 立 了单形 内二 面 角平 分 面 面 积 的计 ３建 算 公 式 —— Ｓ ｅ ｒ 公 式 ， 同单 形 的 棱 长 表 示 内 ｔｗａｔ 即
（ ．合 肥 师 范 学 院 数 学 系 和教 师 教 育 研 究 中心 ， １ 安徽 合 肥 ２ ０ ６ ； ．安 徽 大 学 数 学 科 学 学 院 ，安徽 合 肥 ２０ ３ ） ３０１ ２ ３ ０ ９
摘 要 ： 用度 量 几 何 的 理 论 与 方 法 ， 究 了 ｎ维 欧 空 间 Ｅ 运 研 中 ｎ 维单 形 外二 面 角 平 分 面 面 积 的 计 算公 式 和 不等 式 问题 ， 立 了 ｎ维 单 形 外 二 面 角平 分 面 面积 的 一 个计 算 公 式 和 一 个 几 何 不 等 式 ． 建
ｓ ｌｘ ｏ ｒ ａ ｆＺ ｅｉｎ ｉｅ ｓｔ （ ｃｅ ｃ ｉｏ ） ０ １ ３ （ ） ６ ５—６ ７ ｉ ｅ ．Ｊ ｕ ｎ ｌ ｈ ｊ ｇ Ｕｎｖ ｒｉｙ Ｓ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ，２ １ ， ８ ６ ： ２ ｍｐ ｏ ａ ｉ ２
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｓｒ ｃ ：Ｕｓ ｎ ｈ ｈ ｏ ｙ ａ ｄ ｍ ｅ ｈ ｄ ｏ ｔ ｉ ｇ ｏ ｔｙ，ｔ ｅ ｃ ｍｐ ｔ ｔ ｎ ｌ ｏ ｍｕ ａ ａ ｄ ｉ ｅ ｕ ｌ ｉ ｓｆ ｒｔ ｅａ ｅ ｓ ｉ ｇ ｔ ｅｔ ｅ ｒ ｎ ｔ ｏ ｆｍｅ ｒｃ ｅ ｍｅ ｒ ｈ ｏ ｕ ａ ｉ ａ ｆ ｒ ｌ ｎ ｎ ｑ ａ ｉ ｅ ｏ ｈ ｒ ａ ｏ ｔ ｏ ｉｅ ｔ ｎ ｐ ａ ｅ ｆｏ ｔ ｒｄ ｈ ｄ ａ ｎ ｌ ｓｏ ｎ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌ ｉ ｌｘ ｉ ｈ — ｉ ｎ ｉ ｎ ｌ ｃｉ ｅ ｎ ｓ ａ ｅ Ｅ” ｒ ｆｂ ｓ ｃ ｉ ｌｎ ｓｏ ｕ ｅ ｉ ｅ ｒ ｌ ｇ ｅ ｆａ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｓｍｐ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｏ ａ Ｅｕ ｌ ａ ｐ ｃ ｗｅ ｅ ｄ ｓ ｕ ｉｄ ｔ ｄ ｅ ．Ａ ｏ ｕ ａ ｉ ｎ ｌ ｏ ｍ ｕ ａａ ｄ ａ ｇ ｏ ｔｉ ｅ ｕ ｌ ｙ ｆ ｒｔ ｅ ａ ｅ ｓ ｏ ｉ ｅ ｔｏ ｌｎ ｓｏ ｕ ｅ ｉ ｅ ｒ ｌ ｎ ｌ ｓ ｃ ｍｐ ｔ ｔ ａ ｆ ｒ ｌ ｎ ｅ ｍｅ ｒｃｉ ｑ ａ ｉ ｏ ｈ ｒ ａ ｆｂ ｓ ｃｉ ｎ ｐ ａ ｅ ｆ ｔ ｒｄ ｈ ｄ ａ ｇ ｅ ｏ ｎ ｔ ｏ ａ ｏ ｎ ｎ ｄ ｍｅ ｓｏ ａ ｉ ｌ ｘ ｗｅ ｅ ｅ ｔ ｂ ｉｈ ｄ ｆａ — ｉ ｎ ｉｎ １ｓｍｐ ｅ ｒ ｓ ａ ｌ ｅ ． ｓ
高二数学 9.6平面和平面垂直的判定和性质二面角课件
则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。
所以
A
∠ AOH 就
是EF它二-β就的面是一角个二α-
α
F
β 平面面角角的，平
∠A面OH角=！300，
H
OA=20cm.
EO
以上学了那些内容？
2、二面角：从 一条直线出发 的两个半平面 所组成的图形。
3、二面角的平面角： 以二面角的棱上的任 意一点为端点，在两 个面内分别作垂直于 棱的两条射线，这两
平面，且EC=BC=2BD，求平面ADE与平面ABC所 成二面角的大小。
解：延长ED交CB于F，连AF，则平面ABC∩平面ADE=AF，
EC ABC
E
BD EC
ABC 2BD
BC BF CB AB
AC与AF平就B面C是A平BABC面的 AB交FDE线，
上有一条直道CD，它与堤脚的水平线AB的夹角
是30 ，沿这条直道从提脚向上行走到10米时人
升高多少米？（精确到0.1米）
它就是这个二面 角的平面角
αD
β
30 60H
AC
G
B
解：如图所示，DH垂直于过AB的水平平面，垂 足为H，线段DH的长度就是所求的高度。
在平面ABH内，过点H作HG⊥BC，垂足是G， 连接GD。由三垂线定理GD⊥BC.
条射线所成的角
1、半平面：一个平 面内的一条直线， 把这个平面分成两 部分，其中的每一 部分都叫做半平面。
二面角的平面角的作法步骤：
α
A
β H
Oa
9.6二面角
基本概念：
1、半平面：一个平面内的一条直线，把 这个平面分成两部分，其中的每一部分 都叫做半平面。
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第39卷第1期2012年1月浙江大学学报(理学版)J our nal of Zhej i ang U ni ver si t y(S ci ence Edi t i on)ht t p：／／ww w．j our nal s．zj u．edu．c n／s ciV01．39N o．1Jan．2012En中n维单形二面角的角平分面的性质殷红彩1，张华民2(1．安徽财经大学管理科学与工程学院，安徽蚌埠233000；2．蚌埠学院数理系，安徽蚌埠233030)摘要：利用距离几何的理论与方法研究了EI I中n雏单形内二面角与外二面角的角平分面的性质，获得了n维单形内二面角与外二面角平分面的2个定理．关键词：二面角；角平分面；单形中图分类号：O184文献标志码：A文章编号：1008—9497(2012)01—018—02Y I N H ong—ca i，ZH A N G H ua—m i n(1．Sch ool of M anagem ent Sci ence and E n gi ne er i ng，A nhu i U ni ver s i t y of Fi—nanc e&E c onom i c s，B engbu233000，A nh ui Pr ov i nce，C h i na2．D epar t m ent of M a t hem at i c s a n d Physi cs，B en g—bu C ol l ege，B eng bu233030，A nhui Pr ovi nce，C h i na)Pr op e r t i es of bi se ct i on pl a nes of di he d r al angl es of a s i m p l ex i n t he一。
di m e ns i ona l E ucl i dean s pace．J our nal of．Z he j i ang U ni ver s i t y(Sci ence E di t i o n)，2012，39(1)：018—019A bs t r act：U s i ng t he t heor y and m e t hods of di s t a nce ge om et r y，w e r es e ar ch t he pr ope r t i es of i nn e r bi se ct i on pl a nes of di he dr al a ngl es and out e r bi s ec t i on pl a nes of di he dr al a ngl es of a s i m pl ex，and w e get t w o pr op er t y t heor em s about t he bi se ct i on pl a nes of di hedr al a ngl es of a s i m pl ex i n t he”一di m ensi onal E ucl i dean space．K eyW or ds：di hedr al angl es；bi s ect i on pl an es；s i m p l ex0引言在平面几何中有三角形内角平分线性质定理和三角形外角平分线性质定理，即在A A B C中，么A的内角平分线交对边Bc于D点，则筹一器，和在△A B C中若么A的外角平分线交对边B C的延长线于D点，D点外分线段B C为线段B D与C D，则等一等．此即为三角形内外角平分线定理．本文把该定理推广到行维欧氏空间．为方便叙述和证明结果，先给出单形的内、外二面角及相应的角平分面的定义和一个引理．定义1在r／维欧氏空间E”中，由点集{P。
，Pl，．”，P。
}为顶点的单形，记为Q，以点集{P。
，…，P。
一-，P。
+，，…，P。
)为顶点的以一1维单形记为厂，以点集{P。
，…，P，一-，P，+。
，…，P。
}为顶点的n一1维单形记为六，由2个恕～1维单形^，^所成的角叫做单形Q的一个内二面角，记为O,j(o≤i<j≤7／)；延长P，P。
(P。
可以取为除去Pi，Pi的任意一点而不影响结果)，在其延长线上取1点，记为R，由点集{P。
，…PH，P…，…，P『_1，P…，…，P。
，P^}构成的n～1维单形记为^。
称2个，z一1维单形^，^所成的角叫做单形Q的内二面角吼对应的外二面角，记为∥¨定义2在连接单形Q的2个顶点P，，P，的棱P，P，上存在一点P，，点集{P。
，…PH，P…，…，P川，Pj+l’．”，P。
，P，}构成的7"／一1维单形记为^，把2个行一1维单形^，^所成的内二面角，记为巩，同理2个n一1维单形^，^所成的内二面角记为0F，若0。
一岛，，则称挖一1维单形^为单形Q的内二面角臼，，的角平分面．在线段P i Pi的延长线上收稿日期：2010-04—12．基金项目：安徽省高校省级重点资助项目(K J2009A45)．作者简介：殷红彩(1981一)。
女，讲师，主要从事凸体几何与距离几何研究第1期殷红彩，等：P 中n 维单形二面角的角平分面的性质任取一点P 。
，点集{P 。
，…PH ，P …，…，P ，一。
，P ，+1，．．．，P 。
，P 。
}构成的疗一1维单形记为^，将2个押一1维单形，，^所成的内二面角。
记为0。
，同理2个n —l 维单形^，厶所成的内二面角记为口h 。
如一‰，则称"一1维单形厶为单形Q 的外二面角以的角平分面．文献[1—2]研究了单形内二面角平分面的性质，建立了单形内二面角面积的一类几何不等式；本文研究单形内、外二面角的平分面的性质，获得了2个定理，推广了三角形内角平分线和外角平分线的性质定理．1单形内二面角的角平分面定理先给出下面的引理．引理l [33在刀维欧氏空间E ”中以点集{P 。
，P1，．“，P 。
}为顶点的单形记为Q ，其体积记为V ，以点集{P 。
，…，P H ，P 川，…，P 。
)为顶点的，z 一1维单形记为，f ，以点集{P 。
，…，P 卜。
，P …，…，P 。
}为顶点的疗一1维单形记为工，它们的体积分别记为F ，，F ，(i ，J 一0，1，…，押；i ≠歹)，由它们所生成的单形的内二面角记为巩。
由点集{P 。
，…P 川，P 川，…，PH ，已+，，…，P 。
}所确定的挖一2维单形的体积记为F ¨则y ：!!二娶￡!￡z 。
i n 00．柠ru定理1在行维欧氏空间E “中以点集{P 。
，P 。
，…，P 。
}为顶点的单形记为Q ，以点集{P 。
，…，PH ，P 州，…，P 。
}为顶点的咒一1维单形记为厂l ，以点集{P 。
，…，P ，一，，P 川，…，P 。
}为顶点的行一1维单形记为^，它们的体积分别记为F ，，F ，(i ，J 一0，1，…，挖；i ≠．f )，由它们所生成的单形的内二面角记为0¨在单形Q 的棱Pi Pj 上存在一点P ，，使得由点集{Po ，…，P 卜1，P ，}l ，…，P ，一1，Pf +1，…，P 。
，Pf }所确定的行一l 维单形记为^，等分由厂、^所成的内二面角，若2点P ，，P 。
之间的距离记为IP ，Pil ，则F 。
一f P ，P ，l，1、F 一丌疆_丁’u ’证明条件如定理1中所述，记由点集{P 。
，…，P 卜1，P …，…，P 。
，P ，}构成的单形的体积为V ，，点集{P 。
，…，PH ，Pj +。
，…，P 。
，P ，}构成的单形的体积为V ，，角平分面为^，对应的体积为F ，，记由点集{P 。
，…，PH ，P 州，…，PJ-1，P …，…，P 。
)构成的挖一2维单形的体积记为F ¨由引理1得v ：生半盟si n 拿，(2)Ⅵ=警sin 譬．㈤另外由单形体积公式[43得K 2音F …h ，，。
，(4)船J4‘E2音F Ⅲh 。
，，．(5)。
竹‘‘。
f其中he ，，表示点P 』到行一1维单形^所在的n 一1维超平面的距离，肌。
，，也类似．注意到巩一O j ,=虿1钆，得号=芳，㈣v|F i ÷W 1由式(4)、(5)得谤=h 鲁P=俐．∽Ⅵi ，，PiP 。
I ‘…比较式(6)、(7)，定理得证．2单形外二面角的角平分面定理定理2行维欧氏空间E ”中以点集{P 。
，P 。
，…，P 。
}为顶点的单形记为Q ，以点集{P 。
，…，PH ，P ㈩，…，P 。
}为顶点的n 一1维单形记为^，以点集{P 。
，．．，P ，一l ，P ，+1，…，P 。
}为顶点的以一1维单形记为厂，，它们的体积分别记为F ，，E (i ，_『=0，1，…，行；i ≠J )，由它们所生成的单形的外二面角记为口7d ．若在单形Q 的棱P ，P ，的延长线上存在一点P 。
，使得由点集{Po ，…，PPl ，Pi +l ，…，P ，一1，PJ+1，…，P 。
，P 。
}所确定的以一1维单形记为^，等分由厂，^所成的外二面角07。
则F 乎=剐PP ．㈣，l 。
，i +…证明记号如定理中所述，记由点集{P 。
，…，P ，～。
，P 州，…，P 。
，P 。
}构成的单形的体积为V 。
，过点P ，作P ，P 。
的平行线交P ，P 。
的延长线于点R ，由点集{Po ，…，PH ，尸州，…，P 『|1，P ，+1，…，P 。
，P 。
，P 。
}所构成的单形的体积为V t ，角平分面记为厶，对应的体积记为F 。
，记由点集{P 。
，…，PH ，P ㈩，…，PH ，P …，…，P 。
，P 。
}构成的行一1维单形记为^，其体积记为R ，记由点集{Po ，…，Pi 一1，P …，…，P ，，，P …，…，P 。
}构成的姐一2维单形的体积记为F ¨由引理1得V ，=警sin 争，㈩”警sin 譬．㈣，(下转第59页)第1期孙青，等：香料紫罗兰酮的合成研究59ealI ndus t r y 。
2003，32(6)：12—14．L IR un-qi ng ，F A N Guo-l i ang ．Spect r aA n al ys i s of O r 。
[103刘瑞。
刘焕书。
藿艾能．相转移催化合成假性紫罗兰酮ga n i cSt r uct ur es [M ]．T i a nj i n ：T i anj i nU ni ve r s i t y的研究[刀．精细石油化工，2000，2：31—33．Pr es s ，2003：89—95．L I UR ui ，L I U H ua n —s hu ，D O N G A i —neng ．St u dyon[14]张能芳．梁桂芸．强碱性阴离子交换树脂催化合成假t he s ynt he s i s of I onone vi o l et i nt he pr esence of phas e性紫罗兰酮[J]．离子交换与吸附。