九年级数学下册 26 二次函数 课题 利用函数图象求方程和方程组的解课件 (新版)华东师大版
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冀教版九年级下册数学《二次函数》PPT教学课件
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3 一个二次函数 y (k 1)xk23k4 2x 1 . （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？ 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该 增种多少棵橙子树？
(100+x)(600-5x)=60320 解得， x1 4, x2 16
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B．y 2
x
D．y
1 x2
1
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿1＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿0＿时，y是关于x的反比例函数；
第三十章 二次函数
二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
情境引入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？
知识要点
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3 一个二次函数 y (k 1)xk23k4 2x 1 . （1）求k的值. （2）当x=0.5时，y的值是多少？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树？ 这时平均每棵树结多少个橙子？ 果园共有(100+x)棵树,平均每棵树结(600-5x)个橙子
(3)如果要使得果园橙子的总产量为60320个,那么应该 增种多少棵橙子树？
(100+x)(600-5x)=60320 解得， x1 4, x2 16
A . m,n是常数,且m≠0 B . m,n是常数,且n≠0
C. m,n是常数,且m≠n D . m,n为任何实数
3．下列函数是二次函数的是 ( C )
A．y＝2x＋1 C．y＝3x2＋1
B．y 2
x
D．y
1 x2
1
4. 已知函数 y=3x2m-1－5
① 当m=＿1＿时，y是关于x的一次函数； ② 当m=＿0＿时，y是关于x的反比例函数；
第三十章 二次函数
二次函数
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
1.理解掌握二次函数的概念和一般形式.（重点） 2.会利用二次函数的概念解决问题. 3.会列二次函数表达式解决实际问题.（难点）
导入新课
情境引入
雨后天空的彩虹，公园里的喷泉，跳绳等 都会形成一条曲线.这些曲线能否用函数关系 式表示？
知识要点
一般地,如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有 两个交点(x1,0)、(x2,0 )那么一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根x=x1、x=x2.
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
a-b＋c＝-5， 依题意得 c＝－4，
a＋b＋c＝1，
解得
a＝2， b＝3， c＝－4，
∴这个二次函数的关系式为y＝2x2＋3x－4.
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且 过点M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， 所以设二次函数的关系式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1.
26.3 求二次函数的关系式
2个
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要 已知几个点的坐标求出它的表达式？
2个
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤
是什么？
(1)设：（表达式）
待定系数法
(2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
顶点法求二次函数的方法
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的关系式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
{ { ∴ 3=4a+c，
a=2，
解得
－3=a+c，
c=－5.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个
《二次函数与一元二次方程》教学PPT课件 初中数学九年级数学下册公开课
个交点，它们的横坐标是 -2或. 者1
（2）当x=1时，y= 0
当x= 0 时， y=-2.
3. 抛物线 y x2 + 2x - 4 的对称轴是__x_=__-_1_, 开口方向是_向__上___,顶点坐标是_（__-_1_,_-_5_）___.
4. 抛物线y=2(x-2)(x-3)与x轴的交点为_(_2__,_0_)和, (3 ,0) 与y轴的交点为__(_0__,_1_2_)___.
4、归纳小结
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象和x轴交点的坐标与
一元二 次方程ax2 + bx + c = 0 的根关系表
二次函数的图象 一元二次方程 一元二次方程根的 和x轴的交点 ax2 + bx + c = 0的根 判别式 Δ = b2 - 4ac
有两个交点
有两个相异的 实数根
北师大版九年级数学下册第二章《二次函数》
一、复习旧知
1、二次函数式 y = ax2 + bx + c (a,b,c是常数，a≠0)，y
叫做x的__二__次__函__数__.它的图象是一条抛物线.它的对称
轴是直线
x
b 2a
,
顶点坐标是（
b 2a
，4ac b2
4a
）
2、观察下列函数的图象， （1）抛物线与x轴有 两
b2 - 4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实 数根
b2 - 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 - 4ac < 0
当二次函数 y = ax2 + bx + c的图象和x轴有交点时,交
26.3 利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解(课件)2024-25九年数学下(华东师大版)
例1 如图，抛物线 y=ax2与直线y= bx+c的两个交点坐 标分别为A(-2,4)，B(1,1)，则关于x 的方程ax2-bxc=0的解为_______.
分析 由关于x 的方程ax2-bx-c=0可化为ax2=bx+c,根 据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程 的解。 解:∵抛物线y= ax2与直线y= bx+c的两个交点坐标
4k n n 2
0
，
解得：
k
1 2
，
n 2
即直线解析式为
y1
1 2
x
2
；
将
4,
0
与
0,
2
分别代入抛物线解析式得
16 c 2
4b
c
0
，
解得：
b c
3.5 2
，
即抛物线解析式为 y2 x2 3.5x 2 ；
解：（2）根据两函数交点坐标为0,2 ，4,0 ，
由图象得：当 y1 y2 时， x 的取值范围为 x＜ 0 或 x＞4 ；
分别为A(-2,4),B(1,1)，
∴联立二次函数及一次函数解析式可得ax2=bx+c，
即ax2-bx-c=0，
∴关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1 =-2，x2=1.
变式 如图，抛物线 y=ax2与直线y= bx+c的两个交点 坐标分别为A(-3,9)，B(1,1)，则关于x的方程ax2-bxc=0的解为_x1____3_, x_2. 1
解：（3）设 C 的坐标为 x, x2 3.5x 2 ，则 0＜x＜4 ．
SABC 6 ，SAOC SBOC SAOB 6 ，
1 4 x2 3.5x 2 1 2x 1 4 2 6 ，
分析 由关于x 的方程ax2-bx-c=0可化为ax2=bx+c,根 据二次函数与一次函数的交点坐标可直接求解方程 的解。 解:∵抛物线y= ax2与直线y= bx+c的两个交点坐标
4k n n 2
0
，
解得：
k
1 2
，
n 2
即直线解析式为
y1
1 2
x
2
；
将
4,
0
与
0,
2
分别代入抛物线解析式得
16 c 2
4b
c
0
，
解得：
b c
3.5 2
，
即抛物线解析式为 y2 x2 3.5x 2 ；
解：（2）根据两函数交点坐标为0,2 ，4,0 ，
由图象得：当 y1 y2 时， x 的取值范围为 x＜ 0 或 x＞4 ；
分别为A(-2,4),B(1,1)，
∴联立二次函数及一次函数解析式可得ax2=bx+c，
即ax2-bx-c=0，
∴关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1 =-2，x2=1.
变式 如图，抛物线 y=ax2与直线y= bx+c的两个交点 坐标分别为A(-3,9)，B(1,1)，则关于x的方程ax2-bxc=0的解为_x1____3_, x_2. 1
解：（3）设 C 的坐标为 x, x2 3.5x 2 ，则 0＜x＜4 ．
SABC 6 ，SAOC SBOC SAOB 6 ，
1 4 x2 3.5x 2 1 2x 1 4 2 6 ，
华师版九年级下册数学精品课件 第26章二次函数 第3课时 利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解
y C
关于 x 的一元一次不等式 ax + b≤kx + c 的解集 为__x_≤__2____.
1
O
A
B 12 x
y
y
1
2
3.已知二次函数 y = x2 + 5x - 6，该函数图象与 y 轴的
交点坐标为_(0_，__-_6_)_，与 x 轴的交点坐标为
_(_-_6_，__0_)_，__(1_，__0_)___；根据图象可知当_x_＜__-_6_或___x_＞__1标； 由图象可知，它们有两
2
y=3
x
个交点，其横坐标一个在 -4
-4-3 O 1 2
与 -3 之间，另一个在 1 与 2
-2
之间，分别约为 -3.2 和 1.2.
④ 由此可知，一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为
x1≈3.2，x2≈1.2.
方法三：
的解集为__x_≤__2____.
y
1O A B 12 x
2. 已知一次函数 y1 = ax + b 的图象经过 A(2，0)，
B (0，-1) 两点，y2 = kx + c 的图象经过 A(2，0)，C(0，2)
两点，则关于 x、y 的二元一次方程组
y ax b
y
kx
c
x 2
的解为___y___0_；
思考：点 A 的坐标有几种表示方式？ A
B yh
A (x1，ax2 + bx+ c) 或 (x1，h)
x1 O x2 x
问题2 如图，二次函数 y = ax2 的图象与一次函数 y bx c
的图象交于两点，观察以下图象，你能得到哪些信息？
新华东师大版九年级数学下册《26章 二次函数 26.2 二次函数的图象与性质 求二次函数的关系式》课件_11
二、探究新知
1．探究： (1)二次函数y=ax2+bx+c的表达式中有几个待定系数？ 需要图像上的几个点才能求出来？ (2)如果知道抛物线y=ax2+bx+c经过(1，0)，(3，-2)， (-1，3)三点，能求出这个二次函数的表达式吗？如果 能，求出这个二次函数的表达式． ⑶二次函数y=a(x-h)2+k表达式中有几个待定系数？需 要知道图像上的几个点才能求出来？如果知道图像上
2 ．已知二次函数 y ax2 bx ca 0的图象与x轴
交于A、B两点(点A在点B的左边),与y轴交于点C， 其顶点的横坐标为-1，且过点(-2，-3)和(1，4)， 求此二次函数的表达式．
四、课堂小结
(1)通过本节课的学习，你有哪些收获？ (2)你对本节课有什么疑惑？说给老师或同学听 听．
(2) 根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式
为顶点式 y a x h2 k 再根据抛物线过另一点可
求出a值；
(3) 根据抛物线与x轴的两个交点坐标，可设函数关
系式为交点式：y ax x1x x2 ,再根据抛物线与
y轴的交点可求出a值
三、巩固练习
1．求图象为下列抛物线的二次函数的表达式： （1）抛物线经过点（0，-4）、（-2，3）、 （1,6）； （2）抛物线顶点坐标为（-1,-3），且抛物线经 过点（2,3）； （3）抛物线与x轴交于点（-2,0）、（6,0），且 与y轴交于（0，-1）．
的方程组，求出待定系数a，b，c的值，就可以写
出二次函数的表达式；求抛物线y=a(x-h)2+k的表达
式，只要知道顶点坐标和图像上的异于顶点的另一
点坐标即可；求二次函数
的表达式，
[初中++数学]求二次函数的表达式++课件+华东师大版数学九年级下册
![[初中++数学]求二次函数的表达式++课件+华东师大版数学九年级下册](https://img.taocdn.com/s3/m/da873d4ca31614791711cc7931b765ce04087a46.png)
2
将 yD ＝－3代入 y ＝－ x2＝ ＋1，
故点 D 的坐标为 − + , − 或
+ , − .
当 x ＝0时， y ＝－ ×4＋3＝ ≈2.7＞2.44，
∴球不能射进球门.
典例导思
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大
高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点 O 正上方2.25 m处？
（第4题）
（第4题）
典例导思
解：（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后
∴抛物线的解析式为
y＝－（x－ ） 2＋4＝－x 2＋2 x＋1.
典例导思
（2）在抛物线的对称轴上取一点 Q ，同时在抛物线上
取一点 R ，使以 AC 为一边且以点 A 、 C 、 Q 、 R 为顶点
的四边形为平行四边形，求点 Q 和点 R 的坐标.
典例导思
解：（2）设点Q（ ，m）.
（第4题）
典例导思
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门
（忽略其他因素）；
解：（1）∵8－6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）.
设抛物线为 y ＝ a （ x －2）2＋3，
（第4题）
把点 A （8，0）代入，得36 a ＋3＝0，解得 a ＝－ ，
∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ （ x －2）2＋3.
= ，
+ ＋ = ，
得 + ＋＝ − ， 解得 ＝ − ，
＝ − .
＝ − ，
∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
典例导思
将 yD ＝－3代入 y ＝－ x2＝ ＋1，
故点 D 的坐标为 − + , − 或
+ , − .
当 x ＝0时， y ＝－ ×4＋3＝ ≈2.7＞2.44，
∴球不能射进球门.
典例导思
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大
高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点 O 正上方2.25 m处？
（第4题）
（第4题）
典例导思
解：（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后
∴抛物线的解析式为
y＝－（x－ ） 2＋4＝－x 2＋2 x＋1.
典例导思
（2）在抛物线的对称轴上取一点 Q ，同时在抛物线上
取一点 R ，使以 AC 为一边且以点 A 、 C 、 Q 、 R 为顶点
的四边形为平行四边形，求点 Q 和点 R 的坐标.
典例导思
解：（2）设点Q（ ，m）.
（第4题）
典例导思
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门
（忽略其他因素）；
解：（1）∵8－6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）.
设抛物线为 y ＝ a （ x －2）2＋3，
（第4题）
把点 A （8，0）代入，得36 a ＋3＝0，解得 a ＝－ ，
∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ （ x －2）2＋3.
= ，
+ ＋ = ，
得 + ＋＝ − ， 解得 ＝ − ，
＝ − .
＝ − ，
∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
典例导思
初中数学九年级下册课件：5.6 二次函数的图象与一元二次方程
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时,12×1×
−
������ 4
=12×1×|am2+am|,
所以m=-12或m=−1−2 2或m=−1+2 2.
二次函数与一元二次方程有什么关系？如何应 用二次函数的图象解一元二次方程或不等式问 题？
5.6 二次函数的图象与一元二次 方程
学习目标
1.探索抛物线与x轴的交点横坐标和一元 二次方程的根的关系，体会方程与函数的 密切关系; 2.学会用图象法求一元二次方程近似根。
观察抛物线y=x2-2x-3，思考下面的问 题：
（1）抛物线与x轴有几个公共点？
..
公共点的坐标分别是什么？
抛物线与x轴有两个公共点（-。1,0)，（3。,0）。
y=ax2+bx+c与x轴的交点的坐标为
.
3.已知二次函数y=kx2-7x-7的图象与x轴有交点,则k的取值范围
是
.
4.二次函数y=-x2+4x-6的图象与x轴的交点的情况是
.
1.(1)✕ (2)✕ (3)√ 2.(-1,0),(6,0) 3.k≥-74且k≠0 4.没有交点
已知一元二次方程7x2-(k+13)x-k+2=0的两实根x1,x2满足0<x1<1<x2<2, 求k的取值范围.
������−
2������+1 2
2-���4���,所以点C的坐标为
2������+1 2
,−
������ 4
.
当y=0时,a(x-m)2-a(x-m)=0,解得x1=m,x2=m+1.所以AB=1.
当△ABC的面积等于1时,有12×1×