第三章 电路的基本分析方法

哥尼斯堡七桥(Königsberg Bridges)问题
欧拉(Euler)解决了这个问题！ 1736年，将问题用图表示 四快被分开的区域作为点 连结它们的桥作为边。 一笔画问题。
1707年欧拉生于瑞士巴塞尔 1720年（13岁）入读巴塞尔大学，师从微积分权威约翰·伯努利 1722年（15岁）大学毕业，获得学士学位 1723年（16岁）获得巴赛尔大学的哲学硕士学位 1726年（19岁）受聘于圣彼得堡科学院（工作14年） 1738年积劳成疾，右眼失明 1741年受聘于柏林科学院 1766年携家人回到阔别25年的俄国 1771年双目失明，住所发生火灾，财产、手稿付之一炬 1773年前妻去世 1783年逝于俄国 莱昂哈德·欧拉 (Leonhard Euler)
4 8 3 2
网孔是肯定基本回路！
如何保证求解 时列出的方程 为独立方程？
3.2 KCL和KVL的独立方程数
1.KCL的独立方程数
2 1 1 6 4 4 3 5
1
是否为独立方程？
2
2 3
3
i1 − i4 − i6 = 0 i2 + i5 + i6 = 0
− i1 − i2 + i3 = 0 − i3 + i4 − i5 = 0
bt = n −1
bl = b − bt = b − (n − 1)
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基本回路(单连支回路)
对于图G的任何一个树，加入一 条连支，就会形成一个回路。
6 4 2 1 3 5 1 2
5
6 2
3
1
3
Q:基本回路的个数为？
图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。
例
4 3 8 5 6 7 2 1 8 5 6 7 4 8 3 6
如何保证求解时列出的方程为独立方程？
+ US5 _ b + R2 _ US1
R5 R4
c
R6 R3
US6 d
_ +
R1
树(Tree)
树T必须满足下列条件： a. 连通 b. 包含所有结点 c. 不含闭合路径
树 不 是 树 树支：构成树的支路 连支：图G的其他支路
明确 ①对应一个图有很多的树
②树支的数目是一定的 连支数：
●将以上2b=12个方程联立，即可。
3.3支路电流法 (branch current method )
出发点：以支路电流为电路变量。 支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电 路的方法。 举例说明：
R3 i3
1
R1
+
i5 R5 i1
Ⅰ
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ R2
+
i4 R4
4
对于有b条支路的电路，要求 解支路电流，未知量共有b个。只 要列出b个独立的电路方程，便可 3 i 以求解这b个变量。
旅行商问题 （TSP－traveling salesman problem） 一名推销员准备前往若干城市推销产品。 如何为他（她）设计一条最短的旅行路线（从 驻地出发，经过每个城市恰好一次，最后返回 驻地）？这一问题的 研究历史十分悠久 ， 通常 称之为旅行商问题。
3.1 电路的图的形成
i R1 R2 + R5 R4 uS _ R 6
R1
d
US6
网孔（Mesh)
2kΩ
2mA
Mesh 3 1kΩ
12V
+ –
2kΩ Mesh 1 I0 Mesh 2 4mA
第3章
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6
电阻电路的一般分析
电路的图 KCL和KVL的独立方程数 支路电流法 网孔电流法 回路电流法 节点电压法
目的：掌握求解任何电路的普遍方法！ 电路求解的核心部分！
控制量用支路电流未知量表示：U1 = R1I1，
I1 = 4A I 2 = 6A I 3 = 10A
例. a
US1=5V, R1=500Ω, R2=1000Ω, R3=1000Ω ,α=50. 求各支路电流。
(1) n–1=1个KCL方程： 节点a：–I1 - I2+I3=0 (2) b–( n–1)=2个KVL方程： 回路1: 500I1+U-I2×1000=5 回路2: 1000I3+I2 ×1000 -U=0
1 5 2 6 有向图 4 3
n=5
抛开元 件性质
1 5 2 7
b =8
3 4 6 一个元件作 为一条支路 8
R3
元件的串联及并联 组合作为一条支路
n=4 b=6
结论
一个图G是具有连接关系的结点和支路的集合。 电路的图是用以表示电路几何结构的图形。 ⑴图的定义(Graph) G={支路，结点}
1 5 2 7 4 6 3 8
身残志坚，不折不挠， 人类有史以来最多产的数学家！
Six Degrees of Separation
中国邮递员问题 （CPP－Chinese postman problem） 一名邮递员负责投递某个街区的邮件。如 何为他（她）设计一条最短的投递路线（从邮 局出发，经过投递区内每条街道至少一次，最 后返回邮局）？由于这一问题是我国管梅谷教 授 1960 年首先提出的，所以国际上称之为中国 邮递员问题。
l电路的一• 系统性：计算方法有规律可循,可以用计算机实现。
l方法的基础
• 欧姆定律，KCL，KVL定律。
复杂电路的求解----2b法
未知量:b条支路的电流和电压
R3 i3 R5
Ⅰ
Ⅲ
•方程数目从2b法有没 有可能降为1b法，或 者降到更少？
1
R1
+
i5 i1 uS1
2 i6 R6
Ⅱ
i4 R4 4
R2
3 i2
+
−
−
uS2
本章目的：简化方程的个数，方法可以 用计算机实现（也就是，有规律性）， 满足工程要求！
IEEE-9节点测试系统
2 7 8 9 3
G
G
5
6
4 1
G
IEEE-118节点测试系统
Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE)
注 意 变 换 前 后 的 电 源 参 考 方 向 。
电压源模型
I ＋ R1 U + US － － Is
电流源模型
I
＋ R2 U －
US Is = R 1 R2= R1
电流源模型
I
电压源模型
I ＋ R2 U + US － －
＋ Is R1 U －
US = Is · R1 R2= R1
箭头指向正号!
回顾： 输入电阻 输入电阻是一个无源二端网络的端口电压与端口电 流的比值，用Rin来表示,可以用来等效替代一个无源二 端网络.
U S1 = 140V U S2 = 90V I1 R1
Ⅰ
R1 =20Ω R2 =5Ω R3 =6Ω
a
R2
Ⅱ
I2
+
I1 + I 2 = I 3
U S1
+
−
R3 I3
b
−
U S2
R1 I1 + R3 I 3 = U S1 − R2 I 2 − R3 I 3 = −U S2
代入已知条件，解得
I1 = 4A I2 = 6A I3 = 10A
【例】求所示电路的各支路电流。已知
U S1 = 140V U S2 = 90V R1 =20Ω R2 =5Ω I1 R1
+U − 1
a
R2
+
0.75U 1
I2
+
将受控源视为独立电源列方程
I1 + I 2 = I 3
U S1
+
−
I3
b
−
−
U S2
R1 I1 = U S1 − 0.75U1 − R2 I 2 = −U S2 + 0.75U1
− R1i1 + R4i4 + R5i5 = uS1 − R2i2 − R4i4 + R6i6 = −uS2 R3i3 − R5i5 − R6i6 = 0
1
R1
+
i5 R5 i1
Ⅰ
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ
i4 R4
4
R2
−
uS1
+
−
uS2
联立以上方程，进行求解！ 思考：方程组有没有规律性？
【例】求所示电路的各支路电流。已知
4
结论
1 ＋ 2 ＋ 3 ＋ 4 ＝0
n个结点的电路, 独立的KCL方程为n-1个。
一般情况： 对有 n个节点的电路，就有 n个 KCL 方程。每 条支路对应于两个节点,支路电流一个流进,一个流 出。 如果将 n个节点电流方程式相加必得0=0，所 以独立节点数最多为(n–1)。可以证明：此数目恰为 (n–1)个。即 n个方程中的任何一个方程都可以从其 余(n–1)个方程推出 来。 独立节点：与独立方程对应的节点。 任选(n–1)个节点即为独立节点。
2
−
uS1
−
uS2
左图
b=6
独立方程数应为b=6个。
(1) 标定各支路电流的参考方向，电压参考方向如果 没有标明，默认为关联参考方向 (2) 对节点，根据KCL列独立方程
R3 i3 3 i2 i5 i1
Ⅰ
1
R1
+
R5
Ⅲ
2 i6 R6
Ⅱ
i1 + i3 + i5 = 0 i4 − i5 + i6 = 0 −i2 − i3 − i6 = 0