简单的三角恒等变换 教学设计 说课稿 教案
简单地三角恒等变换说课稿子
接下来是教学过程：
（一）比旧悟新，探求新知，首先给出学生熟悉的三个问题，并要求学生在稿纸上写下公式，相互检查，评价，为后面的三角变换做铺垫.
紧接着开始推导半角公式，给出例1，并提出问题：α与 有什么关系?学生可以发现：α是 的二倍角，这是为了引导学生从α与 之间的关系出发思考cosα与sin2 之间的关系。通过对这种关系的思考而建立这两个三角式之间的联系。
（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α= ，β= ,代入(1)式即得(2)式.这是具体的解答过程：
以小组为单位每个小组完成两个公式的推导.
下面是本课小结：以问题的形式引发学生再次思考，达到自主完成的目的.
总的来说，对于三角恒等变换，总结如下：
以下是本课的作业：第1题关于半角公式的应用引申，第3题是三角变换的应用.
最后一项是我的设计说明：板书设计如下：
本课的教学特色是：
关于教学设计作以下说明：
我的说课完毕，谢谢！
简单的三角恒等变换说课稿
我将从教材分析、教学方法、教学过程以及设计说明等四个方面来陈述我对本节课的设计方案，恳请在座的各位专家评委批评指正。
首先说一下教材：
根据教学大纲的要求、本节教材的特点和高（一）学生的认知规律，结合我校学生的学情，我制定了如下教学目标：
俗话说得好：“教必有法而教无定法”，只有方法得当才会有效.本节课我准备引发现法,结合问题式教学,将教材还原成生动活泼的思维创造活动，启发学生积极思考，勇于探索，从而使学生产生浓厚的学习兴趣，体现学生的主体地位.采用教学结构是：复习旧知---提出问题---推导公式---归纳总结---学以致用.
教学设计1：3.2 简单的三角恒等变换
必修四第3章 三角恒等变形3.2 简单的三角恒等变换教学目的：知识目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式能用所学知识解决有关综合问题情感目标：创设问题情境，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求.教学重点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学难点：二倍角的正弦、余弦、正切公式教学过程：导入新课思路1.(复习导入)请学生回忆上两节共同探讨的和角公式、差角公式，并回忆这组公式的来龙去脉，然后让学生默写这六个公式.教师引导学生：和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时,两角之和便为此角的二倍,那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢?今天,我们进一步探讨一下二倍角的问题，请同学们思考一下，应解决哪些问题呢？由此展开新课.思路2.(问题导入)出示问题，让学生计算，若sin α=53,α∈(2π,π),求sin2α，cos2α的值.学生会很容易看出：()22sin sin sin cos cos sin sin cos ααααααααα=+=+=的，以此展开新课，并由此展开联想推出其他公式.提出问题①还记得和角的正弦、余弦、正切公式吗？(请学生默写出来，并由一名学生到黑板默写) ②你写的这三个公式中角α、β会有特殊关系α=β吗？此时公式变成什么形式？ ③在得到的C 2α公式中，还有其他表示形式吗？④细心观察二倍角公式结构，有什么特征呢？⑤能看出公式中角的含义吗？思考过公式成立的条件吗？⑥让学生填空：老师随机给出等号一边括号内的角，学生回答等号另一边括号内的角，稍后两人为一组，做填数游戏：sin( )=2sin( )cos( )，cos( )=cos 2( )-sin 2( ). ⑦思考过公式的逆用吗？想一想C 2α还有哪些变形？⑧请思考以下问题：sin2α=2sin α吗？cos2α=2cos α吗？tan2α=2tan α？活动：问题①,学生默写完后，教师打出课件，然后引导学生观察正弦、余弦的和角公式，提醒学生注意公式中的α,β，既然可以是任意角，怎么任意的？你会有些什么样的奇妙想法呢？并鼓励学生大胆试一试.如果学生想到α,β会有相等这个特殊情况，教师就此进入下一个问题，如果学生没想到这种特殊情况，教师适当点拨进入问题②，然后找一名学生到黑板进行简化，其他学生在自己的座位上简化、教师再与学生一起集体订正黑板的书写，最后学生都不难得出以下式子，鼓励学生尝试一下，对得出的结论给出解释.这个过程教师要舍得花时间，充分地让学生去思考、去探究，并初步地感受二倍角的意义.同时开拓学生的思维空间，为学生将来遇到的3α或3β等角的探究附设类比联想的源泉.sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin βsin2α=2sin αcos α（S 2α）;cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin βcos2α=cos 2α-sin 2α(C 2α); tan(α+β)=)(tan 1tan 22tan tan tan 1tan tan 22ααααβαβαT -=⇒-+ 这时教师适时地向学生指出，我们把这三个公式分别叫做二倍角的正弦，余弦，正切公式，并指导学生阅读教科书，确切明了二倍角的含义，以后的“倍角”专指“二倍角”、教师适时提出问题③，点拨学生结合sin 2α+cos 2α=1思考,因此二倍角的余弦公式又可表示为以下右表中的公式.这时教师点出，这些公式都叫做倍角公式（用多媒体演示）.倍角公式给出了α的三角函数与2α的三角函数之间的关系.问题④,教师指导学生，这组公式用途很广，并与学生一起观察公式的特征与记忆，首先公式左边角是右边角的2倍；左边是2α的三角函数的一次式，右边是α的三角函数的二次式，即左到右→升幂缩角，右到左→降幂扩角、二倍角的正弦是单项式，余弦是多项式，正切是分式.问题⑤,因为还没有应用，对公式中的含义学生可能还理解不到位，教师要引导学生观察思考并初步感性认识到：(Ⅰ)这里的“倍角”专指“二倍角”,遇到“三倍角”等名词时,“三”字等不可省去；(Ⅱ)通过二倍角公式,可以用单角的三角函数表示二倍角的三角函数；(Ⅲ)二倍角公式是两角和的三角函数公式的特殊情况；(Ⅳ)公式(S 2α),(C 2α)中的角α没有限制，都是α∈R .但公式(T 2α)需在α≠21kπ+4π和α≠kπ+2π(k ∈Z )时才成立，这一条件限制要引起学生的注意.但是当α=kπ+2π,k ∈Z 时,虽然tan α不存在,此时不能用此公式，但tan2α是存在的,故可改用诱导公式.问题⑥,填空是为了让学生明了二倍角的相对性，即二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式,其他如4α是2α的二倍,2a 是4a 的二倍,3α是23a 的二倍,3a 是6a 的二倍，2π-α是4π-2a 的二倍等,所有这些都可以应用二倍角公式.例如:sin 2a =2sin 4a cos 4a ,cos 3a =cos 26a -sin 26a 等等. 问题⑦,本组公式的灵活运用还在于它的逆用以及它的变形用，这点教师更要提醒学生引起足够的注意.如:sin3αcos3α=21sin6α，4sin 4a cos 4a =2(2sin 4a cos 4a )=2sin 2a ,40tan 140tan 22-=tan80°，cos 22α-sin 22α=cos4α，tan2α=2tanα(1-tan 2α)等等. 问题⑧,一般情况下:sin2α≠2sinα,cos2α≠2cosα,tan2α≠2tanα.若sin2α=2sin α,则2sin αcos α=2sin α,即sin α=0或cos α=1,此时α=kπ(k ∈Z ).若cos2α=2cos α,则2cos 2α-2cos α-1=0,即cos α=231-(cos α=231+舍去). 若tan2α=2tan α,则aa 2tan 1tan 2-=2tan α,∴tan α=0,即α=kπ(k ∈Z ). 解答：①—⑧（略）二、例题讲解例1 已知2sin 3α=，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值．解 由2sin 3α=，(,)2παπ∈，得cosα又由3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈，得sinβ＝－45，∴sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+＝234()()355-+-=． 点拨 本例主要介绍正弦和角公式的“正用”．让学生从条件、求解结果等方面展开讨论，自己改编习题，并予以解答.预设三：条件不变，求sin()αβ-的值．预设四：改变角的范围，仍然求sin()αβ+的值.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，对于预设四要请学生对改变条件的合理性进行探讨，如学生改变了角的取值范围，可能会出现矛盾等．教师再予以点拨.期望学生出现改编后，角度范围与三角函数值不配套，如已知2sin 3α=-，(,)2παπ∈，3cos 5β=-，3(,)2πβπ∈．求sin()αβ+的值． 预设五：把角度限制去掉，即已知2sin 3α=-，3cos 5β=-，求sin()αβ+的值．让学生讨论解的情况，通过以上讨论使学生能从正面熟练应用公式．例2 化简（1）sin14°cos16°＋sin16°cos14°＝ 12； （2）sin()cos cos()sin αββαββ-+-＝ sinα ；（3）cos （70°＋α）sin （170°－α）－sin （70°＋α）cos （10°＋α）＝2． 点拨 本例目的在于让学生能熟悉两角和与差的正弦公式的逆用． 预设六：怎样求 3 sin15°＋cos15°的值？引导学生利用特殊角的三角函数构造两角和的三角函数公式，为后面学习辅助角公式打下伏笔．例3 已知,,.()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈，4cos 5β=，α，β均为锐角，求sinα．帮助学生分析条件，寻找解题的突破口.即让学生发现α＝（α＋β）－β，这样问题就可以得到解决.解 ∵α，β均为锐角，则0°<α＋β<180°，∴sinβ>0，sin （α+β）>0， 由5cos()13αβ+=得12sin()13αβ+=，由4cos 5β=得3sin 5β=． ∴sin[()]sin()cos cos()sin αββαββαββ+-=+-+124533313513565=⨯-⨯=． 点拨 本例主要介绍利用“变角”，创造应用和角公式的条件，使问题获得解决．常见变角有β＝（α＋β）－α，2α＋β＝（α＋β）＋α，2α＝（α＋β）＋（α－β），2β＝（α＋β）－（α－β）……预设七：让学生讨论问题：“已知15cos(30),(30,90)17αα-︒=∈︒︒，求sinα的值”.请同学们提出解题方案． 可能性解决方案一：将15cos(30)17α-︒=展开，得到115sin 2217αα+=，由α∈（30°，90°）知sinα>0，cosα>0，再结合22sin cos 1αα+=，可求得sinα的值.必须指出此方案运算量大，不易求解．可能性解决方二：变角α＝（α－30°）＋30°，由α∈（30°，90°）知sin(30)0α-︒>，利用正弦的和角公式可以较快地解决此问题.必须指出通过变角，构造应用公式的条件，这是一种创造性的学习，有利于培养学生的创新精神．例4 求证： sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=． 预设八：由学生自主完成对本题的分析，找出解决本题的突破口，即将等式中的角统一用A ＋B 及A 来表示，以消除角的差异．证 左边＝sin[()]2cos()sin sin A B A A B A A++-+ sin()cos cos()sin 2cos()sin sin A B A A B A A B A A+++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A +-+=sin[()]sin sin sin A B A B A A+-==＝右边. ∴等式成立.点拨 本题是通过变角达到灵活运用公式的一个典范，通过角的变换消除角的差异，这是三角变换的重要思路之一.例5 求2cos10sin 20cos 20︒-︒︒的值. 预设九：学生讨论，寻找角度之间的关系，使非特殊角与特殊角挂上钩.让学生发现解决本题的关键在于统一角度，不难得到10°＝30°－20°.解 原式＝2cos(3020)sin 202(cos30cos 20sin 30sin 20)sin 20cos 20cos 20︒-︒-︒︒︒+︒︒-︒=︒︒＝12(cos 20sin 20)sin 2022cos 20︒+︒-︒=︒点拨 非特殊角的三角函数求值问题，通常要挖掘题目中的隐含条件，以达到创造使用公式的条件.课堂小结：二倍角的正弦、余弦、正切公式222cos cos sin ααα=-22sin sin cos ααα=22tan tan 21tan ααα=- 板书设计：。
321简单的三角恒等变换教学设计
根据角度在直角三角形中的对边、邻边和斜边的比值，定义了正弦、余弦和正 切等三角函数。
三角函数的性质
包括周期性、奇偶性、增减性、最值等。例如，正弦函数和余弦函数具有周期 性，周期为2π；正切函数具有周期性，周期为π，并且在每一个周期内是增函 数。
三角函数图像与变换
三角函数图像
正弦函数、余弦函数和正切函数的图像分别是正弦曲线、余 弦曲线和正切曲线。这些图像具有特定的形状和性质，如振 幅、周期、相位等。
三角函数问题具有重要意义。
通过本课程的学习，学生将掌握 三角恒等变换的基本方法和技巧 ，提高数学素养和解决问题的能
力。
教学目标与要求
知识目标
掌握基本的三角恒等变换公式， 如和差化积、积化和差、倍角公
式等。
能力目标
能够运用三角恒等变换解决简单的 三角函数问题，如求值、化简、证 明等。
情感目标
培养学生对数学的兴趣和热爱，提 高学生的数学素养和审美能力。
角的变换法
通过角的变换，将所求角用已知角表示，然后代 入公式计算。
3
公式变形法
将公式进行变形，使得所求值能够直接代入计算 。
证明类问题解决方法
分析法
从结论出发，逆向思维， 寻找使结论成立的条件， 逐步推导至已知条件。
综合法
从已知条件出发，通过逐 步推导，得出结论。
比较法
通过比较两个表达式之间 的差异，寻找联系，从而 证明结论。
题目二
化简 $sin^2alpha cos^2beta + cos^2alpha sin^2beta$。
题目三
求 $sin 2alpha cos 2beta + cos 2alpha sin 2beta$ 的值。
三角恒等变换说课稿 教案 教学设计
三角恒等变换一、教学目标进一步掌握三角恒等变换的方法，如何利用正、余弦、正切的和差公式与二倍角公式，对三角函数式进行化简、求值和证明：二、知识与方法：1. 11个三角恒等变换公式中，余弦的差角公式是其它公式的基础，由它出发，用-β代替β、2π±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
你能根据下图回顾推导过程吗？2．化简，要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的求出值来；3．求值，要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响，较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围。
4．证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边，或右边变同于，或都将左右进行变换使其左右相等。
5. 三角恒等变换过程与方法，实际上是对三角函数式中的角、名、形的变换，即（1）找差异：角、名、形的差别；（2）建立联系：角的和差关系、倍半关系等，名、形之间可以用哪个公式联系起来；（3）变公式：在实际变换过程中，往往需要将公式加以变形后运用或逆用公式，如升、降幂公式， cos α= cos βcos （α-β）- sin βsin （α-β），1= sin 2α+cos 2α，0030tan 130tan 1-+=000030tan 45tan 130tan 45tan -+=tan （450+300）等。
例题例1 已知sin （α+β）=32，sin （α-β）=51，求βαtan tan 的值。
例2求值：cos24°﹣sin6°﹣cos72°例3 化简（1）0070sin 120sin 3-；（2）sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-21cos2αcos2β。
例4 设为锐角，且3sin 2α+2sin 2β=1，3sin2α-2sin2β=0，求证：α+2β=2π。
简单的三角恒等变换教学设计
简单的三角恒等变换教学设计（第1课时）一、教学内容与学情分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书·数学（4）》（人教A版）中第三章的第二节“简单三角恒等变换”（第一课时）．本节课主要研究如何让利用已有的三角函数公式进行简单的恒等变换，以及三角恒等变换在数学中的应用，引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何让选择共识，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力。
二、教学目标1．知识和技能目标（1）掌握运用和（差）角公式、倍角公式进行三角变换的方法和思路；（2）弄清代数变换与三角变换的不同点2．过程和方法目标（1）能够利用换元、逆用公式等方法对三角函数式进行恒等变换，化简三角函数式，提高学生的推理能力；（2）弄清代数变换与三角变换的不同点，认真体会三角变换的特点，提高推理、运算能力；（3）由特殊到一般，由具体到抽象，不断提升学生的探究能力和数学思维能力，培养学生学数学地思考问题、解决问题。
3．情感和价值目标（1）认识事物之间的的区别和联系，体会事物的变化是有规律的唯物主义思想．（2）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神．三、教学重难点1．教学重点：（1）半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练（2）三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中体会三角变换的特点2．教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力四、教法选择1．观察学习是重要的学习方法．这节课采用的第一个方法就是“观察、比较法”；2．根据新课标的教学理念，教学中要培养学生合作共事的团队精神，这节课还采用了“合作、讨论法”，让学生共同探讨、合作学习、取长补短、形成共识．五、学法指导对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用．六、教学过程设计本节课的教学，大致按照“创设情境，铺垫导入——合作学习，探索新知——指导应用，鼓励创新——归纳小结，反馈建构”四个环节进行组织．（一）、创设情境，铺垫导入1、复习回顾（1）三角函数的和（差）角公式（2）三角函数的倍角公式2、问题引入问题1：α与2α有什么关系？ 问题2：化简：（1） = _______ （2）1 -= _________（3）= _________（二）合作学习，探索新知例题1.试cos 表示、、教师活动：引导学生联想关于余弦的二倍角公式，将公式中的 替换成 。
简单的三角恒等变换教案
06
三角恒等变换在实际问题中的 应用
在几何问题中的应用
角度和长度的计算
利用三角恒等变换，可以解决几何图 形中角度和长度的计算问题，如求三 角形的内角和、外角和、边长等。
几何图形的证明
在几何证明题中，三角恒等变换可以 作为证明工具，通过变换公式将复杂 的几何问题转化为简单的三角问题， 从而简化证明过程。
sin^2α + cos^2α = 1， 1 + tan^2α = sec^2α， 1 + cot^2α = csc^2α。
商数关系
tanα = sinα / cosα， cotα = cosα / sinα。
互余角关系
sin(90° - α) = cosα， cos(90° - α) = sinα， tan(90° - α) = cotα。
查表或使用计算器得出结果。
两角和与差的正弦公式
01
公式表述
$sin(alpha pm beta) = sin alpha cos beta pm cos alpha sin beta$
02
公式理解
该公式表达了两个角的和或差的正弦值可以通过这两个角的正弦值和余
弦值计算得出。
03
应用举例
计算 $sin(30^circ - 15^circ)$，可以使用该公式将表达式转换为 $sin
过程与方法
通过推导和证明三角恒等 变换公式，培养学生的逻 辑思维能力和数学推理能 力。
情感态度与价值观
让学生感受到数学公式的 对称美和简洁美，激发学 生学习数学的兴趣和热情 。
教学内容
三角恒等变换的基本公式
包括正弦、余弦、正切的加法公式、 减法公式、倍角公式、半角公式等。
简单的三角恒等变换说课
电磁学
在电磁学中，电场和磁场的方向 可以用三角恒等式表示，从而简
化问题的分析和计算。
三角恒等变换在三角函数极值问题中的应用
最大值和最小值问题
通过三角恒等式将函数表达式进行变换，求出函数的最大值和最 小值。
极值点判断
利用三角恒等式判断函数的极值点，确定函数增减性的变化。
优化问题
通过三角恒等式将优化问题转化为易于解决的形式，如利用三角恒 等式求解最短路径问题。
利用三角函数的性质，将一种三角函 数名称替换为另一种三角函数名称， 以简化表达式。
辅助角公式
三角函数的和差化积公式
利用三角函数的和差化积公式，将复 杂的三角函数和差表达式化简为简单 的积表达式。
利用辅助角公式，将一种三角函数表 示为另一种易于计算的三角函数形式。
参数的变换技巧
参数的有理化
利用三角函数的性质，将 参数有理化从而消除分 母中的根号。综合素质和职业发展都具有重要意义。
未来三角恒等变换的发展方向和趋势
随着科学技术的不断发展，三角恒等变换的应用领域也在不断扩大。未来，三角恒等变换将 会更加深入地应用到各个领域中，尤其是在大数据分析、人工智能、机器学习等领域，三角 恒等变换将会发挥更加重要的作用。
未来三角恒等变换的发展方向也将更加多元化，包括算法优化、数值稳定性、应用拓展等方 面。同时，随着计算机技术的不断发展，三角恒等变换的计算效率也将会得到进一步提高， 从而更好地服务于实际问题。
半角公式用于将一个角的一 半的正弦和余弦函数转化为
原角的函数。
三角恒等变换的应用
三角恒等变换在解决数学问题中有着 广泛的应用，如代数、几何、物理等 领域。
在几何中，三角恒等变换可以用于证 明几何定理和解决几何问题。
简单的三角恒等变换 教学设计 说课稿 教案
第2课时（一）导入新课思路1.(问题导入)三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余等关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决，如：α=(α+β)-β，2α=(α+β)+(α-β)=(4π+α)-(4π-α)，4π+α=2π-(4π-α)等，你能总结出三角变换的哪些策略？由此探讨展开.思路 2.(复习导入)前面已经学过如何把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数，本节主要研究函数y=asinx+bcosx 的周期、最值等性质.三角函数和代数、几何知识联系密切，它是研究其他各类知识的重要工具.高考题中与三角函数有关的问题，大都以恒等变形为研究手段.三角变换是运算、化简、求值、证明过程中不可缺少的解题技巧，要学会创设条件灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能.（二）推进新课、新知探究、提出问题①三角函数y=sinx ，y=cosx 的周期,最大值和最小值是多少？ ②函数y=asinx+bcosx 的变形与应用是怎样的？ ③三角变换在几何问题中有什么应用？活动：教师引导学生对前面已学习过的三角函数的图象与性质进行复习与回顾，我们知道正弦函数，余弦函数的图象都具有周期性、对称性、单调性等性质.而且正弦函数，余弦函数的周期都是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π.三角函数的定义与变化时，会对其周期性产生一定的影响，例如，函数y=sinx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是2π，函数y=sin2x 的周期是kπ（k∈Z 且k≠0），且最小正周期是π.正弦函数，余弦函数的最大值是1，最小值是-1，所以这两个函数的值域都是[-1，1].函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin ba b x ba a +++cosx ）,∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++ba b ba aba b ba a ϕ从而可令φ,则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ）=22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tanφ=ab.在以后的学习中可以用此结论进行求几何中的最值问题或者角度问题.我们知道角的概念起源于几何图形，从而使得三角函数与平面几何有着密切的内在联系.几何中的角度、长度、面积等几何问题，常需借助三角函数的变换来解决，通过三角变换来解决几何中的有关问题，是一种重要的数学方法.讨论结果：①y=sin x ，y=cosx 的周期是2kπ（k∈Z 且k≠0），最小正周期都是2π；最大值都是1，最小值都是-1.②—③(略)见活动.（三）应用示例思路1例1 如图1,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠C OP =α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积. 活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值.找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到： S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα-33-sin 2α. 求这种y=asin 2x+bsinxcosx+ccos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函数求最值.教师引导学生思考：要求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积S 最大,可分两步进行:图1(1)找出S 与α之间的函数关系; (2)由得出的函数关系,求S 的最大值.解:在Rt△OBC 中,BC =cosα,BC=sinα,在Rt△OAD 中,OADA=tan60°=3, 所以OA=33DA=33BC=33sinα. 所以AB=OB-OA =cosα33-sinα. 设矩形ABCD 的面积为S,则 S=AB ·BC=(cosα33-sinα)sinα=sinαcosα33-sin 2α =21sin2α+63cos2α-63=31(23sin2α+21cos2α)-63=31sin(2α+6π)-63. 由于0<α<3π,所以当2α+6π=2π,即α=6π时,S 最大=31-63=63.因此,当α=6π时,矩形ABCD 的面积最大,最大面积为63. 点评：可以看到,通过三角变换,我们把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而使问题得到简化.这个过程中蕴涵了化归思想.此题可引申即可以去掉“记∠C OP =α”,结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD=x,S=x(x x 3312--),尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.变式训练(2007年高考辽宁卷,19) 已知函数f(x)=sin(ωx+6π)+sin(ωx -6π)-2cos 22xω,x∈R(其中ω>0).(1)求函数f(x)的值域;(2)若函数y=f(x)的图象与直线y=-1的两个相邻交点间的距离为2π,求函数y=f(x)的单调增区间.解:(1)f(x)=23sinωx+21cosωx+23sinωx -21cosωx -(cosωx+1) =2(23sinωx -21cosωx)-1=2sin(ωx -6π)-1. 由-1≤sin(ωx -6π)≤1,得-3≤2sin(ωx -6π)-1≤1,可知函数f(x)的值域为［-3,1］.(2)由题设条件及三角函数图象和性质,可知y=f(x)的周期为π,又由ω>0,得ωπ2=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x-6π)-1,再由2kπ-2π≤2x -6π≤2kπ+2π(k∈Z),解得kπ-6π≤x≤kπ+3π(k∈Z).所以y=f(x)的单调增区间为［kπ-6π,kπ+3π］(k∈Z).点评:本题主要考查三角函数公式,三角函数图象和性质等基础知识,考查综合运用三角函数有关知识的能力.例1 求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值;并写出该函数在[0,π]上的单调递增区间.活动：教师引导学生利用公式解题，本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.先用二倍角公式把函数化成最简形式,然后再解决与此相关的问题. 解:y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2sin(2x-6π).故该函数的最小正周期是π;最小值是-2;在[0,π]上单调增区间是[0,3π],[65π,π]. 点评：本题主要考查二倍角公式以及三角函数的单调性和周期性等基础知识.变式训练已知函数f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x,(1)求f(x)的最小正周期; (2)若x∈[0,2π],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos 4x-2sinxcosx-sin 4x=(cos 2x+sin 2x)(cos 2x-sin 2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2cos(2x+4π),所以，f(x)的最小正周期T=22π=π. (2)因为x∈[0,2π]，所以2x+4π∈[4π，45π].当2x+4π=4π时，cos(2x+4π)取得最大值22, 当2x+4π=π时，cos(2x+4π)取得最小值-1.所以，在[0,2π]上的最大值为1，最小值为-2.和即sin(-ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以-cosφsinωx=cosφsinωx 对任意x 都成立. 又ω>0,所以,得cosφ=0. 依题设0≤φ≤π,所以,解得φ=2π.由f(x)的图象关于点M 对称,得f(43π-x)=-f(43π+x).取x=0,得f(43π)=-f(43π),所以f(43π)=0.∵f(43π)=sin(43ωπ+2π)=cos 43ωπ,∴cos 43ωπ=0.又ω>0,得43ωπ=2π+kπ,k=0,1,2,….∴ω=32(2k+1),k=0,1,2,…. 当k=0时,ω=32,f(x)=sin(32x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k=1时,ω=2,f(x)=sin(2x+2π)在[0,2π]上是减函数;当k≥2时,ω≥310,f(x)=sin(ωx+2π)在[0,2π]上不是单调函数. 所以,综合得ω=32或ω=2.点评：本题是利用函数思想进行解题，结合三角函数的图象与性质，对函数进行变换然后进而解决此题.点评:对于不确定的开放式问题,通常称之为存在性问题.处理这类问题的一般思路是先21又∵tanα=tan［(α-β)+β］=ββαββαtan )tan(1tan )tan(--+-=31<1.且0<α<π，∴0<α<4π.∴0<2α<2π.又tanβ=71-<0，且β∈(0,π)， ∴2π<β<π，-π<-β<2π-.∴-π<2α-β<0.∴2α-β=43π-. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角.另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0,π)，则求cosα;若α∈(2π-,2π)，则求sinα等.（四）课堂小结本节课主要研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.（五）作业。
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简单的三角恒等变换整体设计一、教学分析本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换，后者往往着眼于式子结构形式的变换，变换内容比较单一.而对于三角变换，不仅要考虑三角函数是结构方面的差异，还要考虑三角函数式所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，它是一种立体的综合性变换.从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行转化变形，是三角恒等变换的重要特点.二、三维目标1．知识与技能：通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力.2．过程与方法：理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3．情感态度与价值观：通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力.三、重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点.教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力. 四、课时安排2课时 五、教学设想第1课时（一）导入新课思路 1.我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换，本节将综合运用和（差）角公式、倍角公式进行更加丰富的三角恒等变换.思路2.三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式恒等变换的重要特点.（二）推进新课、新知探究、提出问题①α与2a有什么关系? ②如何建立cosα与sin 22a之间的关系？ ③sin 22a =2cos 1a -，cos 22a =2cos 1a +，tan 22a =aa cos 1cos 1+-这三个式子有什么共同特点？④通过上面的三个问题，你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗? ⑤证明(1)sinαcosβ=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sinθ+sinφ=2sin 2cos2ϕθϕθ-+.并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同？活动：教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式cosα=1-2sin22a ,将公式中的α用2a 代替,解出sin 22a 即可.教师对学生的讨论进行提问，学生可以发现：α是2a 的二倍角.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cosα=1-2sin 22a , 所以sin 22a =2cos 1a -. ① 在倍角公式cos2α=2cos 2α-1中,以α代替2α,以2a 代替α,即得cosα=2cos 22a -1,(不要求记忆),符号由2所在象限决定. 教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出：对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异.因此，三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系，并以此为依据，选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换.对于问题⑤：（1）如果从右边出发，仅利用和（差）的正弦公式作展开合并，就会得出左式.但为了更好地发挥本例的训练功能，把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出发点，引导学生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.从方程角度看这个等式，sinαcosβ，cosαsinβ分别看成两个未知数.二元方程要求得确定解，必须有2个方程，这就促使学生考虑还有没有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ后，解相应的以sinαcosβ，cosαsinβ为未知数的二元一次方程组，就容易得到所需要的结果.（2）由（1）得到以和的形式表示的积的形式后，解决它的反问题，即用积的形式表示和的形式，在思路和方法上都与（1）没有什么区别.只需做个变换，令α+β=θ，α-β=φ，则α=2ϕθ+，β=2ϕθ-,代入 (1)式即得(2)式.证明:(1)因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ, sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ, 将以上两式的左右两边分别相加,得讨论结果：①α是2a的二倍角. ②sin 22a =1-cos 2cos 1a -.③④⑤略(见活动）.（三）应用示例思路1例1 化简:.cos sin 1cos sin 1xx xx ++-+.活动：此题考查公式的应用，利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式和倍角公式的区别，它们的功能各异，本质相同，具有对立统一的关系.解:原式=)2sin 2(cos 2cos 2)2cos 2(sin 2sin 22cos 2sin 22cos 22cos 2sin 22sin 222x x x x x x x x x x x x ++=++=tan 2x . 点评：本题是对基本知识的考查，重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系. 变式训练化简:sin50°(1+3tan10°).解:原式=sin50°10cos )10sin 2310cos 21(250sin 10cos 10sin 31+•=+ =2sin50°·10cos 10sin 30cos 10cos 30sin +=2cos40°·10cos 10cos 10cos 80sin 10cos 40sin ===1.例2 已知sinx-cosx=21,求sin 3x-cos 3x 的值. 活动：教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简，然后再求解.由于(a-b)3=a 3-3a 2b+3ab2-b 3=a 3-b 3-3ab(a-b),∴a -b 3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学生深挖本例的思想方法,由于sinx·cosx 与sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简能力及整体代换思想.本题可直接应用上述公式求之,即sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)=1611.此方法往往适用于sin 3x±cos 3x 的化简问题之中.解:由sinx-cosx=21,得(sinx-cosx)2=41, 即1-2sinxcosx=41,∴sinxco sx=83.∴sin 3x-cos 3x=(sinx-cosx)(sin 2x+sinxcosx+cos 2x) =21(1+83)=1611. 点评：本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.变式训练(2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=51,且2π≤θ≤43π,则cos2θ的值是______________.答案:257-例1 已知1sin sin cos cos :1sin sin cos cos 24242424=+=+ABA B B A B A 求证. 活动：此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致,只是将A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有A,B 角的正、余弦,可利用平方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是a 2+b 2=1的形式,可利用三角代换.+B. 2B)cos 2B, 4B. 2A=sin 2B.则cos 2A=cosBcosα,sin 2A=sinBsinα.两式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(B-α)=1. ∴B -α=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z). ∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos 2A=cosBcosα=cos 2B,sin 2A=sinBsinα=sin 2B.∴BB B B A B A B 24242424sin sin cos cos sin sin cos cos +=+=cos 2B+sin 2B=1. 点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用平方关系进行了合理消元.变式训练在锐角三角形ABC 中,ABC 是它的三个内角,记S=BA tan 11tan 11+++,求证:S<1. 证明:∵S=BA B A BA B A B A tan tan tan tan 1tan tan 1)tan 1)(tan 1(tan 1tan 1+++++=+++++ 又A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°. ∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0, ∴tanA·tanB>1.∴S<1.思路2例1 证明x x cos sin 1+=tan(4π+2x).2222方法二：从左边入手，分子分母运用二倍角公式的变形，降倍升幂，得2sin2cos 2sin2cos )2sin 2)(cos 2sin 2(cos )2sin 2(cos cos sin 12x x xx x x x x x x xx -+=-++=+ 由两边三角函数的种类差异，想到弦化切，即分子分母同除以cos2x,得 2tan4tan 12tan 4tan 2tan 12tan1x xx x ππ-+=-+=tan(4π+2x ).点评：本题考查的是半角公式的灵活运用，以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.变式训练 已知α,β∈(0,2π)且满足:3sin 2α+2sin 2β=1,3sin2α-2sin2β=0,求α+2β的值.解法一:3sin 2α+2sin 2β=1⇒3sin 2α=1-2sin 2β,即3sin 2α=cos2β,①3sin2α-2sin2β=0⇒3sinαcosα=sin2β,②①2+②2:9sin 4α+9sin 2αcos 2α=1,即9sin 2α(sin 2α+cos 2α)=1, ∴sin 2α=91.∵α∈(0,2π),∴sinα=31.2).两式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(2π-2β).∵α∈(0,2π),∴tanα>0.∴tan(2π-2β)>0. 又∵β∈(0,2π),∴2π-<2π-2β<2π. 结合tan(2π-2β)>0,得0<2π-2β<2π.∴由tanα=tan(2π-2β),得α=2π-2β,即α+2β=2π.例2 求证:αββαβαβ2222tan tan 1cos sin )sin()sin(-=-+a活动：证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法. 证明:证法一:左边=βαβαβαβαβ22cos sin )sin cos cos )(sin sin cos cos (sin -+==-=-=-aa a a 222222222222tan tan 1cos sin sin cos 1cos sin sin cos cos sin ββββββ=右边.∴原式成立.证法二:右边=1-βββββ2222222222cos sin sin cos cos sin cos sin sin cos a a -=证明:原等式等价于θθ2tan 4cos 4sin 1=++.而上式左边θθθθθθθθθθ2cos 22cos 2sin 22sin 22cos 2sin 2)4cos 1(4sin )4cos 1(4sin 22++=++-+=)2cos 2(sin 2cos 2)2sin 2(cos 2sin 2θθθθθθ++==tan 2θ右边.∴上式成立,即原等式得证.2.已知sinβ=m·sin(2α+β),求证:tan(α+β)=mm-+11tanα. 分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的2α+β可化为结论式中的α+β与α的和,不妨将α+β作为一整体来处理. 证明:由sinβ=msin(2α+β)⇒sin[(α+β)-α]=msin[(α+β)+α]⇒sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=m 0[sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα]⇒(1-m)·sin(α+β)cosα=(1+m)·cos(α+β)sinα⇒tan(α+β)=mm-+11tanα.。