从张量的角度推导流体力学三大基本方程
(完整版)流体力学NS方程推导过程
流体力学NS方程简易推导过程小菜鸟0引言流体力学的NS方程对于整个流体力学以及空气动力学等领域的作用非常显著，不过其公式繁琐，推导思路不容易理顺，最近重新整理了一下NS方程的推导，记录一下整个推导过程，供自己学习，也可以供大家交流和学习。
1基本假设空气是由大量分子组成，分子做着无规则热运动，我们可以想象，随着观察尺度的逐渐降低，微观情况下流体的速度密度和温度等物理量不可能与宏观情况相同，其物理量存在间断的现象，例如我们在空间中取出一块控制体，当控制体中存在分子时，该控制体的密度等量较大，不存在时就会为0，这在微观尺度下是常见。
不过随着观察尺度增加，在宏观情况下，控制体积内包含大量分子，控制体积的压力密度温度速度等物理量存在统计平均结果，这个结果是稳定的，例如流场变量的压力密度和温度满足理想气体状态方程。
自然界中宏观情况的流体运动毕竟占据大多数，NS方程限定了自己的适用条件为宏观运动，采用稍微专业一点难度术语是流体满足连续介质假设。
连续介质假设的意思就是说，我们在流场中随意取出流体微团，这个流体微团在宏观上是无穷小的，因此整个流场的物理量可以进行数学上的极限微分积分等运算；同时，这个流体微团在微观上是无穷大的，微团中包含了大量分子，以至于可以进行分子层面的统计平均，获得我们通常见到的流场变量。
连续介质假设成立需要满足：所研究流体问题的最小空间尺度远远大于分子平均运动自由程（标准状况下空气的平均分子自由程在十分之一微米的量级，具体值可以参考分子运动理论），这在大多数宏观情况下都是成立的，也是NS方程能够广泛采用的基础，即使在湍流中，也是成立的，因此才保证NS方程也适用于描述湍流。
有些情况下连续介质假设不成立，存在哪些情况？第一种是空间尺度特别小，例如热线风速仪的金属丝，直径通常在1~5微米量级，最小流体微团已经接近分子平均运动自由程，连续介质假设不能直接使用，类似情况还包括激波，激波面受到压缩，其尺度也较小，为几个分子平均自由程量级，不过采用连续介质假设进行激波内流场计算时，计算结果仍然可以得到比较合理，并且与实际情况相符，这也给激波问题的研究和解决带来了基础性的保证；第二种是分子平均运动自由程特别大，分子平均运动自由程是指两个分子之间碰撞距离的平均值，这个结果与分子有效直径，分子运动速度等相关，宏观上来讲，温度越高、压力越大，分子平均运动自由程越大，而在高空情况下，压力非常低，自由程可能很大，并且大到与飞行器尺度相近，于是连续介质假设失效，此时必须考虑稀薄气体效应。
流体力学基本方程的推导和应用
流体力学基本方程的推导和应用流体力学是研究流体运动规律的学科，它的基础是一组基本方程。
这些方程描述了流体的质量守恒、动量守恒和能量守恒。
在本文中，我们将推导这些基本方程，并探讨它们在实际应用中的作用。
首先，我们来推导流体力学的质量守恒方程。
根据质量守恒定律，单位时间内通过某一截面的质量应该等于流入该截面的质量减去流出该截面的质量。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体通过截面的面积为A，则单位时间内通过该截面的质量为ρuA。
假设流体在该截面上的流入速度为u，流出速度为u+Δu，则单位时间内流入该截面的质量为ρuA，单位时间内流出该截面的质量为ρ(Δu)A。
根据质量守恒定律，我们可以得到以下方程：ρuA - ρ(Δu)A = 0通过简化和除以Δt，我们可以得到质量守恒方程的微分形式：∂(ρuA)/∂t + ∂(ρu^2A)/∂x = 0接下来，我们来推导流体力学的动量守恒方程。
根据牛顿第二定律，流体的动量变化率等于作用在流体上的力。
设流体的密度为ρ，流体在x方向上的速度为u，流体在y方向上的速度为v，流体在z方向上的速度为w，则单位体积内的动量为ρu，ρv和ρw。
假设流体受到的力为Fx，Fy和Fz，则根据动量守恒定律，我们可以得到以下方程组：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz通过简化和除以Δt，我们可以得到动量守恒方程的微分形式：∂(ρu)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρuw)/∂y + ∂(ρu^2)/∂x + ∂(ρuv)/∂y + ∂(ρuw)/∂z = Fx∂(ρv)/∂t + ∂(ρuv)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρv^2)/∂y + ∂(ρvw)/∂z = Fy∂(ρw)/∂t + ∂(ρuw)/∂x + ∂(ρvw)/∂y + ∂(ρw^2)/∂z + ∂(ρvw)/∂z = Fz最后，我们来推导流体力学的能量守恒方程。
流体力学能量方程
流体力学能量方程
流体力学能量方程由三部分组成：动能守恒方程、速度场方程和
热平衡方程。
它经常被应用于流体力学和流变学中。
它描述了重要的
物理原理，如物质的积分凝聚和热力学性质的积分能量，以及流体力
学的传输效应，包括粘性力学和热传输效应，这些效应都影响着流体
的性质。
这些方程式将这些影响融合为一个统一的方程：
首先，对于流体力学而言，动能守恒方程是最基本的物理原理，
它表示物质的运动不会受到任何外力的改变。
动能守恒方程的积分表
达式如下所示。
Dt/ρ+(V.∇)V=−∇P+F+σ
其中Dt/ρ表示物质的凝聚积分，V.∇V表示流体受到的粘性力学
作用，-∇P表示流体的压强偏差，F表示流体受到的外部力，而σ表
示流体受到的热传输效应。
其次，速度场方程包括流体的流量和热量传输，其积分形式如下
所示。
∇·u=0
此方程式表示流体的流量不变，即流体受到的外力和热量传输没
有改变，也可以表示为空间平衡方程。
最后，热平衡方程描述了流体力学中的热量传输，它的积分形式
如下所示。
ρc∇T+q'=0
此方程式表示流体受到的热量传输量等于流体的温度偏差乘以流
体的比容积，从而控制流体的温度变化。
因此，流体力学能量方程是一种统一的方程，由动能守恒方程、
速度场方程和热平衡方程组成，描述了流体的传输效应和热力学性质，它们结合起来形成了流体力学能量方程。
流体力学中的三大基本方程
dx
dt
p x
fx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
16
同理可得y,z方向上的：
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
1
p x
fx
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
1
p y
fy
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
1
p z
fz
17
向量形式：
dr
r f
1
gradp
dt
——理想流体欧拉运动微分方程
式中：
2x
z 2
)
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
fy
1
p y
( 2 y
x2
2 y
y 2
2 y )
z 2
19
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
fz
1
p z
( 2z
x 2
2z
y 2
2z )
z 2
1.
含有四个未知量（
，
x
y，完 z整, P的）方程组。
2. 描述了各种量间的依赖关系。
3. 通解、单值条件（几何条件、物理条件、边界条件、初始 条件）→特解。
流体力学基本方程组总结
流体力学基本方程组总结流体力学基本方程组包括连续性方程、运动方程、组分质量守恒方程、能量方程、本构方程、状态方程及通用形式守恒方程。
虽各相关文献都有介绍这些基本方程组，但多采用作者熟悉的方式表示，往往同一方程具有多种形式，而难于直观对比。
以下内容是对文献报道的各种形式的总结和对比，并分析了它们之间的转化关系，以期彻底理解（切实掌握微分方程中每一项的物理意义）流体力学基本方程组的数学物理意义，为离散计算该方程组打下基础。
1 连续性方程根据文献[1]连续性方程可由四种方法得到，分别为拉格朗日法下对有限体积和体积元应用质量守恒定律、在欧拉法下对有限体积应用质量守恒定律及在直角坐标系中直接应用质量守恒定律。
1.1 L 法有限体积分析取体积为τ，质量为m 的一定流体质点团，则有：00Dm D D D Dm d d d d d Dt Dt Dt Dt Dtτττττρρτρτρττρτ=⇒==⇒=+=⎰⎰⎰⎰⎰ （1） 因为速度散度的物理意义是相对体积膨胀率及密度随体导数，即：1div Dv d d Dtττ=（2） D u v w v Dt t x y z tρρρρρρρ∂∂∂∂∂=+++=+⋅∇∂∂∂∂∂ （3） 代入式（1）得(()div )(div())0D D d d v v d v d Dt Dt tt ττττρρρτρτρρτρτ∂∂+=+⋅∇+=+=∂∂⎰⎰⎰⎰ （4）运用奥高定理()(cos cos cos )S S n SSu v wd udydz vdzdx wdxdyx y zu v w dS v ndS v dSτταβγ∂∂∂++=++∂∂∂=++=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ （5）得(div())0n S v d d v dS t tττρρρττρ∂∂+=+=∂∂⎰⎰⎰ （6）上式即是连续性方程的积分形式。
假定被积函数连续，而且体积τ是任意选取的，由此可知被积函数必须等于零，即：div 00i iv D D v Dt Dt x ρρρρ∂+=⇔+=∂ （7） 或()div()00i iv v t t x ρρρρ∂∂∂+=⇔+=∂∂∂（8） 在直角坐标系中连续性方程为：（9） 或()D u v wDt x y zρρ∂∂∂=-++∂∂∂ （10） 连续性方程（10）表明，密度变化（随时间和位置）等于密度和体积变形的乘积[2]。
流体力学的运动方程
流体力学的运动方程流体力学是研究流体的运动以及与周围环境的相互作用的科学领域。
在流体力学中，运动方程是描述流体运动的基本方程。
它们可以基于质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定律来推导。
1. 质量守恒方程质量守恒方程也称为连续性方程，它描述了流体质量在空间和时间上的守恒。
质量守恒方程的数学表达式如下：∂ρ/∂t + ∇·(ρv) = 0其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符。
这个方程说明流体质量在空间和时间上保持不变，即流体在任何给定的区域内的质量是恒定的。
方程右边的项表示流体质量的流入和流出。
2. 动量守恒方程动量守恒方程描述了流体运动的动力学行为，它说明流体受外力作用下的加速度以及在流体中传递的动量。
动量守恒方程的数学表达式如下：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇p + ∇·τ + ρg其中，ρ是流体的密度，t是时间，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符，p是流体的压力，τ是应力张量，g是重力加速度。
这个方程表示了流体受外力作用下的动力学变化。
方程右边的第一项是压力梯度产生的力，第二项是应力产生的力，第三项是重力产生的力。
方程左边的第一项是流体速度的变化率，第二项是流体动量的传递率。
3. 能量守恒方程能量守恒方程描述了流体能量的守恒情况，它说明了流体在运动过程中能量的变化与能量转化。
能量守恒方程的数学表达式如下：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρve) = -p∇·v + ∇·(k∇T) + ρv·g + τ:∇v其中，ρ是流体的密度，t是时间，e是单位质量的内能，v是流体的速度矢量，∇·是散度操作符，p是流体的压力，k是热传导系数，T是温度，g是重力加速度，τ是应力张量。
这个方程描述了流体能量随时间的变化。
方程右边的第一项是压力和速度梯度之积产生的功，第二项是热传导产生的能量变化，第三项是重力势能的转化，第四项是应力张量和速度梯度之积产生的功。
工程流体力学公式
工程流体力学公式1.流体静力学公式：(1) 压强公式：P = ρgh，其中P为压强，ρ为流体密度，g为重力加速度，h为液面高度。
(2)压力公式：P=F/A，其中P为压力，F为作用力，A为受力面积。
2.流体力学基本方程：(1)质量守恒方程：∂(ρ)/∂t+∇·(ρv)=0，其中ρ为密度，t为时间，v为速度矢量。
(2) 动量守恒方程：∂(ρv)/∂t + ∇·(ρvv) = -∇P + ∇·τ +ρg，其中P为压力，τ为应力张量，g为重力加速度。
(3) 能量守恒方程：∂(ρe)/∂t + ∇·(ρev) = -P∇·v +∇·(k∇T) + ρg·v，其中e为单位质量的总能量，T为温度，k为热传导系数。
3.流体动力学方程：(1)欧拉方程：∂v/∂t+(v·∇)v=-∇(P/ρ)+g，其中v为速度矢量，P为压力，ρ为密度，g为重力加速度。
(2)再循环方程：∂v/∂t+(v·∇)v=-∇(P/ρ)+g+F/M，其中F为体积力，M为质量。
4.流体阻力公式：(1) 粘性流体的阻力公式：F = 6πμrv，其中F为阻力，μ为粘度，r为流体直径，v为速度。
(2)粘性流体在管道中的流量公式：Q=(π/8)ΔP(R^4)/(Lμ)，其中Q为流量，ΔP为压差，R为半径，L为管道长度，μ为粘度。
5.流体力学定律：(1) Pascal定律：在封闭的液体容器中，施加在液体上的外力将均匀传递到液体的每一个点。
(2) Bernoulli定律：沿着流体流动方向，速度增大则压力减小，速度减小则压力增大。
除了上述公式之外，还有许多与特定问题相关的公式，如雷诺数、流体阻力系数、泵和液力传动公式等。
这些公式是工程流体力学研究和设计的基础，可以帮助工程师分析和解决与流体运动和相互作用有关的问题。
3 流体力学基本方程
3.3.2 牛顿流体的本构方程
牛顿提出了关于粘性流体作直线层状运动时， 两流体层间的切应力的假设。认为切应力与层间 速度梯度成正比，即
yx
du dy
y
u+du u
μ 为动力粘性系数， dy 其值取决于流体的 物理性质。通常称 上式为牛顿内摩擦 定律。 z
3.1.1 系统
如果我们使用系统来研究连续介质的流 动，那就意味着采用拉格朗日观点，即以确 定的流体质点所组成的流体团作为研究的对 象。但是对大多数实际的流体力学问题来说， 采用欧拉观点更为方便，与此相应，必须引 进控制体的概念。
3.1 系统和控制体的概念
3.1.2 控制体 被流体所流过的相对于某个坐标系来说 是固定不变的任何体积称之为控制体。控制 体的边界面，称之为控制面。它总是封闭表 面。占据控制体的诸流体质点是随着时间而 改变的。
zx
zy
zz
3.3.1 流体的表面应力张量
下标规定：第一个下标代表应力所在平面的外法线方 向，第二个下标代表应力的方向。例如，τxy表示作用在与x 轴垂直的平面上沿y方向的切应力。 由上述分析可见，要完全描述微元体上的应力，则需 要九个分量，这九个分量就组成了应力张量，应力张量可 表示成
高等流体力学
3 流体力学基本方程
3 流体力学基本方程
流体的运动规律遵循物理学三大守恒定律， 即：质量守恒定律、动量守恒定律和能量守恒定 律。流体动力学基本方程组就是这三大定律对流 体运动的数学描述。但是，流体力学基本方程组 是不封闭的，要使其封闭还需增加辅助的物性关 系，如：密度、比热、粘性系数和热传导系数随 温度、压强的变化关系等。目前尚不能求得这一 方程组的解析解，但研究这一方程组的性质却具 有极其重要的意义，因为实际流体的流动过程遵 循这一基本方程组。
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从张量的角度推导流体力学三大基本方程
首先要讲一点，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就
是物理学家们在最初探讨介质流动的基本思路，也就是物理四大基本
方程组的应用。
因此，我们可以借助张量的思维，来解释它们之间的
联系和关系。
物理学家莱布尼茨首次提出物理的四大基本方程，有基于的物质
的物理过程，包括动能守恒定律、牛顿第二定律、热力学定理和电磁
学方程，这四个定理被称为"物理四大基本方程"。
运用张量计算，物
理四大基本方程组可以表示为扩散方程（物体总动能守恒）、质量守
恒方程（物体质量守恒）、动量守恒方程（物体总动量守恒）和能量
守恒方程（物体总能量守恒）。
因此，从张量的角度来看，流体力学的三大基本方程就可以被推
导出来了，它们分别是物质及能量流量守恒方程（散度定律）、恒定
流体能量方程（动量守恒方程）和变量流体压力方程（勒莱塔方程）。
物质及能量流量守恒方程，就是基于张量计算的变量物质流动的
物理过程，它表示物体总本量的流动的等离子体及其能量的守恒，其
正视图扩散方程可以表示为：∇•∇*T=0，T表示物质总本量的流动及其能量；
恒定流体能量方程，主要对物体动量而言，基于张量表示，比如
动量方程：。
∇•(Y×Y )=0， Y表示动量；
最后是变量流体压力方程，这是在勒莱塔方程的基础上的进一步
发展，它结合了物质及能量流浪的特性，表示为：Φ=Φ(F/L-q*h)，
其中F表示动量、L表示动量流浪速度、q表示物质流浪的密度以及h
表示压力的空间变化。
总之，流体力学三大基本方程实质上都是应用物理四大基本方程
和张量思维，在有限时间和空间范围内对物体总本量和其能量变化和
动力学过程进行守恒性分析的方法。
鉴于其复杂性，可以用来研究复
杂物理过程，比如流体动力学。