连续性方程能量方程
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是什么定律在流体力学中的应用
连续性方程是流体力学中的一个重要定律。
它表明物质的流动是连续的，即它是恒定的，不会失去或添加。
连续性方程定义了流体力学中影响流动的主要变量，即流体密度，速度
和压力。
它可以用一个公式来描述：ρ/ t + (ρv/ x ) + (ρvv/ y ) + (ρwz / z ) = 0。
这个方程描述了流体在时间和空间上的变化，即随着时间的推移，物质的流动越来越慢，可以用来研究气体和液体的流动。
可以用来评估各种变量，如流体密度、速度、压力和其
他变量的影响。
在应用连续性方程时，必须考虑在流体的混合阶段，如随着时间的推移，物质中必须有交换力存在，以使其不减少或增加。
在流体力学中，能量方程和动量方程也可以用来研究流体的运动。
当应用连续性方程时，可以考察不同变量对流体动力学的影响，比如不同密度和速度的流
体如何影响液体的压力，以及流体在某一时刻的运动行为等。
这可以帮助科学家们更好地
理解流体的运动。
总的来说，连续性方程是流体力学中重要的定律，可以用来描述和研究气体和液体的流动状态。
它考察的变量如浓度，速度和压力的影响可以帮助科学家们更好地理解流体的运动
特性。
连续性方程则是流体力学中重要的定律，也是在研究流体动力学时必不可少的方程。
工程热力学蒸汽的流动
c2 ' c2
h2
h2
/
2
2'
x=1
0
s
21
6-4 绝热节流及其应用
一、绝热节流的概念
流体流经阀门、孔板等装置时，由于局部阻力较 大，使流体压力明显下降，称为节流现象。如果节 流过程是绝热的，则为绝热节流，简称节流。
二、节流过程的特点
1 3 2
1、过程的基本特性： （1）节流过程是典型 的不可逆过程； （2）绝热节流前后焓 值相等。
第一篇
工程热力学
第六章 蒸汽的流动
新课引入
前面讨论的热力系中所实施的热力过程，一般都没有考 虑工质流动状况(如流速)的改变。但在有些热力设备中， 能量转换是在工质的流速和热力状态同时变化的热力过程 中实现的。如蒸汽在汽轮机中喷管内的流动过程；气体在 叶轮式压气机中扩压管内的流动过程等，其能量转换的规 律需专门研究，为以后汽轮机专业课的学习奠定一定的理 论基础知识。
h
节流前汽轮机按1-2进行：
p1
/
p1
t1
/
wt=h1-h2 wt′=h1′-h2′ 由于h1=h1′及h2′>h2， 则有 wt′<wt
h1Hale Waihona Puke h11t1/
1'
节流后汽轮机按1′-2′进行：
p2
h2
/
h2
2' 2
x=1
0
s
虽然蒸汽绝热节流后，焓不变，1kg蒸汽的总能量的数量 没变，但其作功能力降低了。
14
工程中常用的喷管型式为：渐缩喷管和缩放喷管
15
Ma<1
Ma<1
Ma>1
渐缩喷管
《化工原理》课件—01流体流动(连续性方程+能量衡算)
1 2
u12
p1
Ws
gz2
1 2
u22
p2
W f ,12
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
1、计算输送流体所需的功Ws或功率P； 2、计算流体流速、压强、所处位置高度； 3、分析机械能之间相互转化的规律等。
应用举例
1、确定输送设备的功率 P
用泵将碱液池的碱液输送至吸收塔顶，经喷 咀喷出，泵的进口管为108×4.5mm的钢管， 流速为1.5m/s, 出口管为76×2.5mm，储 液池碱液深度1.5m，池底至喷咀的垂直距 离20m,流动阻力损失30J/kg，喷咀处表压 0的.3效k率gf为/c6m52%，。碱液密度ρ=1100kg/m3,泵
p2v2
p2
p2
pdv d( pv) vdp ( pv) vdp
v1
p1v1
p1
p1
即：
Q
Ws
U
gZ
1 2
u2
( pv)
U Q W
p2
Q (( pv) vdp W f 12 )
p1
两式合并，有：
Q Ws Q (( pv)
p2
vdp
p1
W
f
12 )
gZ
1 2
u2
(
pv)
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
u22
p2
gz为单位质量流体所具有的位能； p/ρ为单位质量流体所具有的静压能；
u2/2为单位质量流体所具有的动能。
gz1
1 2
u12
p1
gz2
1 2
流体力学中三大基本方程
（ d t） d x d y d zd x d y d z d td x d y d z
t
t
单位时间内，微元体质量增量：
dtdxd/dyt dzdxdydz
t
t
（微团密度在单位时间内的变率及微团体积的乘积）
⑶根据连续性条件：
t x （ x ） y （ y） z （ z） 0
ax
dx
dt
x
t
x
x
x
y
x
y
z
x
z
ay
dy
dt
y
t
x
y
x
y
y
y
z
y
z
az
dz
dt
z
t
x
z
x
y
z
y
z
z
z
⑷代入牛顿第二定律求得运动方程：
得x方向上的运动微分方程：
d d txd x d y d z p xd x d y d z fx d x d y d z
单位体积流体的运动微分方程：
dx
dt
同理可得在单位时间内沿y，z方向流出 及 流入控制体的质
量差为
vy
d
x
d
yd和z
vz
dxdydz
y
z
故单位时间内流出及流入微元体流体质量总变化为：
x （ x） y （ y） z（ z） dxdydz
⑵控制体内质量变化：
因控制体是固定的，质量变化是因密度变化引起的，dt时间内：
pxfx
单位质量流体的运动微分方程：
dx
dt
1
p x
fx
同理可得y,z方向上的：
绝热稳定流动的基本方程
第一节 绝热稳定流动的基本方程 一、绝热稳定流动工程中气体和蒸汽在管道内的流动可以视为稳定流动，为了简化起见，可以认为垂直于管道轴向的任一截面上的各种热力参数、热力学参数都相同，气体参数只沿管道轴向（气流流动方向）发生变化，称为一维稳定流动。
此外，气体在喷管或扩压管内的流动时间较短，与外界几乎没有热量交换，可以认为是绝热流动。
因此，气体在喷管或扩压管内的流动为一维绝热稳定流动。
二、绝热稳定流动基本方程研究气体和蒸汽的一维稳定流动主要有三个基本方程。
即连续性方程、绝热稳定流动能量方程和定熵过程方程。
1、连续性方程在一维稳定流动的流道中，去截面1—1、2—2、〃〃〃〃〃〃根据质量守恒定律，可导出一个基本关系式。
在稳定流动通道内任一固定点上的参数不随时间的改变而改变，各截面处质量流量都相等。
即 定值==⋅⋅⋅====⋅⋅⋅==υυυff f m m m Acc A c A q q q 22211121 （7-1）式中 m m m q q q ,,,21⋅⋅⋅——各截面处的质量流量，kg/s ；A A A ,,,21⋅⋅⋅——各截面处的截面积，2m；ff f c c c ,,,21⋅⋅⋅——各截面处的气体流速，m/s ；υυυ,,,21⋅⋅⋅——各截面处的气体比体积，s m /3； 对于微元稳定流动过程，对上式微分可得0=-+υυd AdA c dc ff（7-2）式（7-1）、式（7-2）为稳定流动连续性方程。
它适用于任何工质的可逆与不可逆的稳定流动过程。
2、绝热稳定流动能量方程由能量守恒定律可知，气体和蒸汽的稳定流动过程必须符合稳定流动能量方程，即sf f w z zg c ch hq +-+-+-=)()(21)(12212212气体和蒸汽在管道内流动时，一般情况下，由,0,21≈≈s w z z 绝热流动时，0=q ，因此上式可简化为212122)(21h h c c f f -=-（7-3）对于微元绝热稳定流动过程，可写成dhdcc ff -= （7-4）式（7-3）、式（7-4）为绝热稳定流动能量方程。
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式
连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式能量守恒定律是物理学中一条至关重要的定律，它认为在一定物理空间内，物质的数量不变，系统的能量总量也不变。
然而，实际上，如果一个系统中有流动物质，那么能量守恒定律就不能完全与实际情况相一致。
这是因为流体可以在空间内转移，从而改变系统内物质的数量。
为了解决这个问题，流体力学中有一种表达形式就是“连续性方程”，也称为“质量守恒定律”，它与能量守恒定律相似，但在实际描述中有一些不同。
连续性方程通俗的说就是描述流体来源和流动过程中物质的守恒，即物质的流出等于物质的流入。
这一方程的推导基于质量守恒的原理，它可以用向量写成：$$frac{partialrho}{partial t}+ablacdotleft(rho {bf u}right)=0$$其中，ρ表示密度，t表示时间，u表示速度向量。
该方程可以用来描述流体动态特性，如流体速度，流体密度，流体压力等。
此外，连续性方程还可以用来推导流体动量守恒方程，这是因为流体动量守恒方程可以由连续性方程和物理守恒定律来推导而来。
例如，流体动量守恒方程可以描述流体受到外力作用的情况，它的数学表达式为：$$rho left(frac{partial {bf u}}{partial t}+{bf u}cdot abla {bf u}right)=-abla p+muabla^2 {bf u}+{bf f}$$其中，p表示压力，μ表示粘度，f表示外力。
该方程描述了流体受到外力作用时，其速度、压力和粘度等物理量的变化，为继而研究流体力学提供了基础。
从上述内容可以看出，连续性方程是能量守恒定律在流体力学中的一种表达形式，它既可以描述物质的守恒，也可以推导出流体动量守恒方程，用于研究流体的动力学特性。
另外，连续性方程的数学描述也很容易理解，它的应用非常广泛，例如气体动力学、热力学、蒸发等领域都有着重要的作用。
因此，连续性方程是物理学和流体力学中一种十分重要的方程，在许多领域都有着广泛的应用。
第3章-两相流的基本方程
适用于分层流、波动分层流、环状流等。
基本假设：
1. 两相完全分开流动；
A A A; A A; A A1
2. 两相流速不相等；
W W••S 1
dz A
dz
流体流动方向为正
3.2 单相流体一元流动的基本方程
三. 能量方程
单位时间内， 控制体内总能量的增量 等于加入控制体的热量 与外界对其所作功之和。
dQ dL dE
pg
流体流动方向为正
dp dF g sin W dW
dz dz
dz
3.2 单相流体一元流动的基本方程
g
sin dz
内能的增量
dU d (1 x)U xU
dq pdm dqo dF pdm
两相混合物的能量方程中，总压降梯度
dp dz
m
dF dz
mG2
2
d dz
(1 x)3
'2
(1
)2
x3
''2 2
mg sin
dp dz
m
dF dz
m g sin
mG2
2
dE2
dz
3.4 均相流模型的基本方程
一、均相流模型的基本思想和基本假设
基本思想：通过合理定义两相混合物的平均物性值， 把两相流当作具有这种平均特性，遵守单相流体基本方程的 均匀介质。
基本假设： （1）两相具有相等的速度，即
普林斯顿方程
普林斯顿方程引言普林斯顿方程，又称为普林斯顿方程组，是描述等离子体动态行为的一组非线性偏微分方程。
它由数学家M.G. 普林斯顿（M. G. Prandtl）于20世纪初提出，是等离子物理学中的重要理论工具。
本文将对普林斯顿方程进行全面、详细、完整且深入的探讨。
普林斯顿方程的概述普林斯顿方程组是描述等离子体中电离、扩散、湍流运输等现象的一组非线性偏微分方程。
它包括了等离子体的连续性方程、动量守恒方程、能量守恒方程和泊松方程。
连续性方程连续性方程描述了等离子体的质量守恒关系，用于描述等离子体中粒子的扩散和输运过程。
它可以写成以下形式：∂n∂t+∇⋅(nv)=S n其中，n是等离子体的粒子数密度，v是等离子体的速度场，S n是粒子源项。
动量守恒方程动量守恒方程描述了等离子体中动量的输运和转换过程，用于揭示等离子体中的湍流行为和推动力的产生机制。
它可以写成以下形式：∂v ∂t +(v⋅∇)v=−∇pm+qm(nE+v×B)+ν∇2v+F其中，v是等离子体的速度场，p是等离子体的压力，m是等离子体的质量，q是等离子体的电荷，E和B分别是电场和磁场，ν是等离子体的动力粘性系数，F是外力项。
能量守恒方程能量守恒方程描述了等离子体中能量的输运和转换过程，用于研究等离子体的加热、辐射和能量损失机制。
它可以写成以下形式：∂T ∂t +(v⋅∇)T=23n(∂q∂t+∇⋅q)+23n∇⋅(κ∇T)+Q其中，T是等离子体的温度，q是等离子体的热流密度，κ是等离子体的热导率，Q 是能量源项。
泊松方程泊松方程描述了等离子体中电势场的分布和电场的生成机制，用于研究等离子体中的电磁行为。
它可以写成以下形式：∇2ϕ=−ρϵ0其中，ϕ是电势场，ρ是等离子体的电荷密度，ϵ0是真空介电常数。
普林斯顿方程的应用普林斯顿方程在等离子体物理学的研究中具有广泛的应用。
以下是一些普林斯顿方程的典型应用领域：1.等离子体控制–利用普林斯顿方程可以研究等离子体在磁约束聚变装置中的控制方法，从而实现稳定的等离子体状态，为聚变实验提供可靠的等离子体环境。
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∴流量 Q = v2 A2
=7×π×0.052 / 4=0.0137m3/s
由连续方程 v2 = v A = v ( D )2 4v
A2
d
解得水平管段：v =1.75m/s
确定测压管高度Δh：
以2-2断面为基准，建立3－3和2－2断面 的能量方程
29
H 3 Δh
3
h
0 22 0
z3=h=1m
E1=E2 +hw ， 即E1 > E2
——单位重量液体的总机械能
伯努利方程式表示单位重液体体所具有的位能、 压能及动能之和即总机械能沿程减小。不同断面的单 位重液体体总机械能差就是能量损失，伯努利方程式 是能量守衡定律在水力学中的应用，又称为能量方程。
请判断下列说法哪一个是正确的， 并说明为什么？
6.能量方程的主要应用： (a) 求解：平均流速，动水压强，
作用水头，水头损失，流向等
(b) 毕托管（流速仪） (c) 文丘里流量计 (d) 孔口出流，水泵与虹吸管 计算等
例2：输水圆管全管路 hw =3.5m。已知
H =5m，h =1m，D =0.1m，d =0.05m, 求
管中流量？若测压管到出口间的水头损失 hw’=0.2m，求测压管高度△h。
h
H
b
A1
M A2
[例]
7.能量方程的推广：
34
1）沿程有流量输入或输出的能量方程
（１）沿程有分流的：
q 1
q 2
q 3
q1 1
对断面1-2，1-3分别列
1
出伯努利方程式：
2 q2 32
3 q3
z
1
p1
2
α1 v1 2g
z2
p2
2
α2 v2 2g
hf12
2
2
z1
p1
α1 v1 2g
α2 v2 2g
hf12
q
3
z
3
p3
2
α3 v3 2g
hf13
q q q （2）沿程有汇流的：
同理，可得汇流的伯努利方程式：
1
2
3
q1
z1
p1
2
α1 v1 2g
h
f
13
q
2
z
2
p2
2
α2 v2 2g
h f 2 3
q1
1
q
3
z3
p3
2
α3 v3 2g
3
1 2
q2
2
q3
3
2）沿程有能量输入或输出能量方程
水库水位
恒定
D
H Δh
h
d
26
1
1
H Δh
h 0 22 0
v1=0 p1=p2=0
27
解: 以2-2断面为基准，建立1-1和2-2断面
的能量方程
z1
p
γ
1
v2
11
2g
z2
p2
γ
2
2v g
2 2
hw
式中：hw=3.5m, z2=0, z1=5+1=6m
则：6 0 0
00
v2 2
3.5
2g
解得： v 2=7m/s
测压管水头线不一定是下降的曲线，需 要由位能与压能的相互转换情况来确定其 形状，即它可升可降。
对于均匀流，流速水头沿程不变，总水 头线与测压管水头是相互平行的直线。
15
2）物理意义
Z ：表示单位重量液体的位能。 p/γ ：表示单位重量液体的压能。 V2/2g：表示单位重量液体的动能。
E= Z+p/γ+v2/2g
4.应用注意事项：
2) 选计算断面：满足渐变流断面 条件；
应使所选断面上未知量尽量少,以 简化能量方程的求解过程。
20
4.应用注意事项：
3) 选择代表点：确定断面测压
管水头
z
p
γ
对于管流，计算点取在管轴线上；
对明渠水流,计算点取在自由表面上。
21
4.应用注意事项：
⑵ 关于动水压强： 计算压强水头时，两个断面的
结束
40
常见过流断面的湿周、水力半径和当量直径的计算式
过流断面
2r
r
R
2
de
2r
a
a
d hc b b
r
d b c 2a b
r
a bh
ab
2
2d b c 2a b
2a bh
2ab
2r
d b c a b
压强标准要相同。 ⑶ 动能修正系数α：
一般可以取α1=α2= 1.0 计算。
22
4.应用注意事项：
⑷ 注意水头损失hw的取舍。 ⑸ 当一个问题中有2-3个未知数的时 候,能量方程需要和连续方程、动量 方程组成方程组联合求解。
⑹ 列方程时，不遗漏物理量。
23
5.能量方程的特点：
没有涉及边界对水流的作用力。 是一个动力学方程。
2.总流伯努利方程的意义
1）几何意义
Z ，p/γ ，v2/2g量纲都是长度，表示一定的高度，可 以用比例线段表示。
Z ：表示流体质点相对基准面的几何高度，称为位置水头。 p/γ：表示质点压力大小的液柱高度，称为压强水头。 v2/2g：表示断面平均流速大小的高度，称为速度水头。
Ｈ0= Z+p/γ+v2/2g —— 总水头
z3
p3
α3 v3 2g
hf13
z1
p1
2
α1 v1 2g
z2
p2
2
α2 v2 2g
hf12
2
2
z1
p1
α1 v1 2g
z
3
p3
α3 v3 2g
hf13
将上面方程1乘以gq 2，方程2乘以 gq 3，相加得分流的伯努利方程式
q1
z1
p1
2
α1 v1 2g
q
2
z
2
p2
2
渐变流 断面
推导中，产生三类积分：
• （1） ∫Q(z+ p/γ)γdQ • （2） ∫Q(u12/2g )γdQ • （3） ∫Q(hw’ )γdQ
1.方程的建立：
势能＋动能＝总能量
αv2 2g
—— 单位动能
7
实际不可压缩恒定总流的能量方程：
z1
p1
α1v12 2g
z
2
p2
α2
v
2 2
2g
第三章
液体运动的基本方程
§3-4 恒定总流连续性方程 （continue equation）
1 2
A1v1=A2v2
质量守恒定律
m1 = m2
Q1= Q2
v2 v1
=
A1 A2
2
推广： ∑Q流入=∑Q流出
沿程有汇流的连续方程式：
Q1+Q2=Q3 ， v1A1+v2A2=v3A3
Q1
1
3
1 2
Q3
z2=0, v2=4v3
30
z3
p
γ
3
v2
33
2g
z2
p2
γ
2
2v g
2 2
hw´
h´w=0.2m，z3=1m，v3=v=1.75m/s
则： 1
p3
γ
v2 2g
＝0＋0＋
v2 2
2g
+ 0.2
p 3
γ
=
Δh
=15
v2 2g
-1+0.2=1.54m
31
图示为一抽水装置,利用喷射水流在喉道断面 造成的负压,可以将容器M中的积水抽出.已知 H,b,h,如不计水头损失,当喉道断面面积A1与喷嘴 出口断面面积A2之间满足什么条件才能使抽水装 置开始工作？（假设h，b恒定不变）
（1）水总是从高处向低处流；
（2）水总是从压强大的地方向压强小的地 方流；
（3）水总是从流速大的地方向流速小的地 方流动。
（4）水总是从总水头大的地方向总水头小 的方向流动。
3.总流能量方程式的应用条件：
不可压缩的、均质的、恒定流动；
质量力只有重力；
所取断面应是渐变流断面，但在其间可不 必要求是渐变流；
hw
hw---单位重液体的沿程能量损失
——恒定总流的伯努利方程
用平均速度表达单位时间内通过过流 断面的流体动能时，需要乘以动能修正系 数才是动能的真实值。
引入动能修正系数α：
1 v3 A
A
u
3
dA
1
对渐变流断面，
α=1.05～1.1
u3dA v3dA
A
A
一般计算近似可 取:α1=α2=1.0
Q2
2
3
3
连续性方程是一个运动学方程， 它没有涉及作用力的关系，通常应 用连续方程来计算某一已知过水断 面的面积和断面平均流速或者已知 流速求流量，它是水力学中三个最 基本的方程之一。
4
§3-5 恒定总流的能量方程
研究思路:
动能定理或牛顿第二定律
元流能量方程 → 积分 →总流能量方程
→
渐变流 断面
两断面间如装有泵、风机、水轮机等装置，流 体流经这些装置就会有能量交换。
两断面间如有能量交 换，则总流伯努利方 程式为：
2
2
z1
p1
αv1 2g
HP
z2
p2
αv2 2g
hw12
HP—水流获得能量为正，失去能量为负。
水泵： ＋HP= ηp Pp/(γQ) （功率）