第四章能量方程及动量方程小结

（1）水流必需是恒定流； （2）作用于液体上的质量力只有重力； （3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所 取的两个断面之间，水流可以不是渐变流； （4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加 入或分出。若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例如图示 1 有支流的情况下,能量方程为： 3 p 3 α 3V 32 p1 α 1V12 Q1 Z1 + + = Z3 + + + hw1− 3 1 2 2g 2g ρg ρg Q3 Q2 p 3 α 3V 32 p 2 α 2V 22 3 Z2 + + = Z3 + + + hw 2 − 3 2 2g 2g ρg ρg （5）流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为： p1 α 1V12 p 2 α 2V 22 Z1 + + ± Ht = Z2 + + + hw 2g 2g ρg ρg
αV A =
3
αV 2
2g
ρ gQ
∫ h ′ ρ gdQ
w Q
取平均的hw
hw ρ g ∫ dQ = hw ρ gQ
Q
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方程式的物理意义： p1 α 1V12 p 2 α 2V 22 Z1 + + = Z2 + + + hw 2g 2g ρg ρg
H1 = H 2 + hw E1 = E2 + hw
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理想液体恒定流微小流束的能量方程式
设在理想液体恒定流中， 设在理想液体恒定流中，取一微小流束 依牛顿第二定律： 依牛顿第二定律 ∑ Fs = ma s 其中： 其中 a s =
dA 1 p
Z
2 p+dp α
Z + dZ
du dt
dG=ρgdAds
du du ds du 0 = ⋅ =u 一元流时 u = u ( s ) ⇒ dt ds dt ds
的能量，称为水头损失。 的能量，称为水头损失。
′ hw
2 1
Z2 Z1
0
0
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实际液体恒定总流的能量方程式
p1 α1V1 p2 α 2V2 Z1 + + p + u ) ρ g d Q = ZZ2 + p + u ++ h ′ ) ρ g d Q+ hw + (Z + = ∫( ∫ ρρ g 2 g 2 g ρ ρ g2 g g g 2g
p1 A1 − FRx = ρ Q(0 − β1V1 )
FRx = p1 A1 + β1 ρ QV1
FRx = p1 A1 + β1 ρ QV1
方向列动量方程为： 沿z方向列动量方程为： 方向列动量方程为
方向列动量方程为： 沿y方向列动量方程为： 方向列动量方程为
p2 A2 − FG − FRz = ρ Q(− β 2V2 − 0)
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能量方程式的应用
p1 α1V12 p2 α2V22 Z1 + + = Z2 + + + hw ρ g 2g ρ g 2g
应用能量方程式的注意点： 应用能量方程式的注意点： （1）选取高程基准面； 选取高程基准面； 选取两过水断面； （2）选取两过水断面； 所选断面上水流应符合渐变流的条件，但 所选断面上水流应符合渐变流的条件， 两个断面之间，水流可以不是渐变流。 两个断面之间，水流可以不是渐变流。 选取计算代表点； （3）选取计算代表点； 选取压强基准面； （4）选取压强基准面； 动能修正系数一般取值为1.0 1.0。 （5）动能修正系数一般取值为1.0。
实际液体恒定总流的能量方程式
水流的能量方程就是能量守恒规律在水流运动中的 具体表现。 具体表现。根据流动液体在一定条件下能量之间的相互 转换，建立水流各运动要素之间的关系。 转换，建立水流各运动要素之间的关系。 方程式建立的思路： 方程式建立的思路： •理想液体恒定流微小流束的能量方程式 理想液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定流微小流束的能量方程式 实际液体恒定流微小流束的能量方程式 •实际液体恒定总流的能量方程式 实际液体恒定总流的能量方程式
单 位 位 能 单 位 势 能
单 位 压 能 单 位 总 机 械 能 理 的
单 位 动 能
1
Z2 Z1
2
0
0
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实际液体恒定流微小流束的能量方程式
2 p1 u 12 p2 u2 ′ Z1 + + = Z2 + + + hw ρg 2g ρg 2g
′ hw ——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失 单位重量液体从断面1 流至断面2 单位重量液体从断面
2
若考虑水头损失，实际流量会减小， 若考虑水头损失，实际流量会减小，则 Q = µ K h
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实际液体恒定总流的动量方程式 ∑ F = ρ Q (β V 动量方程的投影表达式： 动量方程的投影表达式： ∑ F = ρ Q ( β V ∑ F = ρQ (β V
x 2 y z 2 2
2x 2y 2z
FRy − p2 A2 = ρ Q( β 2V2 − 0) FRy = p2 A2 + β 2 ρ QV2
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FRz = p2 A2 − FG + β 2 ρ QV2
水流对建筑物的作用力
1
FR FP
2
FP1=ρgbh12/2
FP2= ρgbh22/2
x
1 2
沿x方向列动量方程为： 方向列动量方程为： FP1 − FP 2 − FR = ρ Q( β 2V2 − β1V1 )
p (Z + ) ρ gdQ ∫ ρg Q
均匀流或渐变 流过水断面上 p (Z + )=C ρg
(Z +
p p ) ρ g ∫ dQ = ( Z + ) ρ gQ ρg ρg Q
α=
∫
Q
u ρ gdQ 2g
2
dQ = udA
ρg
2g
∫ u dA
3 A
∫u
A
3
V→u，
dA
V 3A
ρg
2g
动能修正系数,1.05~1.1
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管轴竖直放置
弯管内水流对管壁的作用力
1 V1 FRz
管轴水平放置
FR
FRx V1 Fry
FR
FRx
z
1
FP1=p1A1
V2
FP1=p1A1 x y
V2
2
2
y
x
FG FP2=p2A·2
FP2=p2A·2
沿x方向列动量方程为： 方向列动量方程为：
沿x方向列动量方程为： 方向列动量方程为：
p1 A1 − FRx = ρ Q(0 − β1V1 )
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例1.如图所示，一等直径的输 1.如图所示， 如图所示 水管，管径为d=100mm d=100mm， 水管，管径为d=100mm，水箱水位 恒定， 恒定，水箱水面至管道出口形心点 的高度为H=2m H=2m， 的高度为H=2m，若不水流运动的水 头损失，求管道中的输水流量。 头损失，求管道中的输水流量。
h h1 1 2 2
收缩段 喉管 扩散段
1
2
h h2
h1
h2 B1
1
2 B2
1
1
2
以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失， 以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失， 对1-1、2-2断面列能量方程式： 断面列能量方程式：
V1 2 V 22 h1 + = h2 + +0 2g 2g
V 22 当水管直径及喉管直径确定后，K为 − V12 当水管直径及喉管直径确定后， 为 整理得： 整理得： h1 − h 2 = h = 2 g 一定值，可以预先算出来。 一定值，可以预先算出来。 d V1 A2 d 22 V2 = V1 ( 1 ) 2 由连续性方程式可得： 由连续性方程式可得： V = A = d 2 或 d2 2 1 1 µ称为文丘里管的流量系数， 称为文丘里管的流量系数， 称为文丘里管的流量系数 2 gh πd12 2gh 代入能量方程式，整理得： 代入能量方程式，整理得： V1 = d1 4 则 Q = AV1 = 4 d 4 = K h 1 一般约为0.95~0.98 一般约为 ( ) −1 ( 1 ) −1 d2 d
实际液体恒定总流的能量方程式表明： 实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头 小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。 实际液体总流的总水头线必定是一条 逐渐下降的线， 逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是 下降的线也可能是上升的线甚至可能是一 条水平线。 条水平线。 单位长度流程上的水头损失， 水力坡度J——单位长度流程上的水头损失，1 单位长度流程上的水头损失
FR z FP1
３．建立坐标系
y
x
FG FP2
右侧为(下游断面的动量) 上游断面的动量) ４．右侧为(下游断面的动量)-(上游断面的动量) ５．设β１≈1，β２≈1。
前进
动量方程式在工程中的应用
•弯管内水流对管壁的作用力 弯管内水流对管壁的作用力 •水流对建筑物的作用力 水流对建筑物的作用力 •射流对平面壁的冲击力 射流对平面壁的冲击力
J= dhw −dH = dL dL
Z1
αV 2
2g
总水头线
hw
测压管水头线
2
2 1
Z2
p −d ( Z + ) ρg 测管坡度 J p = dL