雅可比θ的函数
柱坐标变换的雅可比行列式
柱坐标变换的雅可比行列式柱坐标系是三维坐标系的一种，它以极坐标系和笛卡尔坐标系为基础，其三个坐标分量分别表示点的径向距离、仰角和方位角。
在求解某些函数的梯度、散度和旋度等问题中，使用柱坐标系可以更加方便和简洁。
而柱坐标变换的雅可比行列式则是柱坐标系中坐标变换的重要工具和判别条件。
柱坐标变换的雅可比行列式可以用来描述从一个坐标系到另一个坐标系的变换对函数积分测量的影响。
在柱坐标系中，雅可比矩阵为三阶正交矩阵，而雅可比行列式则可以用来计算变换后体积元的缩放因子。
具体地，设在柱坐标系下函数 $f(\rho, \theta, z)$，可得坐标变换$$\begin{cases}x &= \rho \sin \theta \\y &= \rho \cos \theta \\z &= z\end{cases}$$则该坐标变换的雅可比行列式为$$J=\begin{vmatrix}\dfrac{\partial x}{\partial \rho} & \dfrac{\partial x}{\partial \theta} & \dfrac{\partial x}{\partial z} \\\dfrac{\partial y}{\partial \rho} & \dfrac{\partial y}{\partial \theta} & \dfrac{\partial y}{\partial z} \\\dfrac{\partial z}{\partial \rho} & \dfrac{\partial z}{\partial \theta} & \dfrac{\partial z}{\partial z}\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}\sin \theta & \rho \cos \theta & 0 \\\cos \theta & -\rho \sin \theta & 0 \\0 & 0 & 1\end{vmatrix}=-\rho$$因此，在柱坐标系下，体积元的缩放因子为 $-\rho$。
极坐标变换的雅可比
极坐标变换的雅可比极坐标变换是一种常见的坐标变换方法，它通常用于将直角坐标系下的点转换为极坐标系下的点。
而雅可比矩阵则是描述坐标变换过程中的变化率的矩阵，用于衡量一个坐标变换对空间中的点的影响程度。
本文将介绍极坐标变换的雅可比矩阵的计算方式及其在实际问题中的应用。
极坐标系和直角坐标系在直角坐标系中，一个点的位置用其在水平轴上的坐标x和在垂直轴上的坐标y 表示。
而在极坐标系中，一个点的位置则用其到原点的距离r和与水平轴的夹角$\\theta$表示。
二者之间的转换关系如下：$$ \\begin{aligned} x &= r \\cdot \\cos(\\theta) \\\\ y &= r \\cdot\\sin(\\theta) \\end{aligned} $$雅可比矩阵的计算对于一个从极坐标系到直角坐标系的坐标变换，我们需要计算雅可比矩阵。
雅可比矩阵的每个元素都是对应位置的偏导数，可以用来表示变换的线性化效应。
对于极坐标系到直角坐标系的变换，雅可比矩阵的计算公式如下：$$ J = \\begin{bmatrix} \\frac{\\partial x}{\\partial r} & \\frac{\\partialx}{\\partial \\theta} \\\\ \\frac{\\partial y}{\\partial r} & \\frac{\\partialy}{\\partial \\theta} \\end{bmatrix} = \\begin{bmatrix} \\cos(\\theta) & -r \\cdot \\sin(\\theta) \\\\ \\sin(\\theta) & r \\cdot \\cos(\\theta) \\end{bmatrix} $$ 应用举例假设我们有一个极坐标系下的点$(r, \\theta)$，现在要将其转换为直角坐标系下的点(x,y)。
雅可比θ的函数
雅可比θ的函数雅可比θ的函数是椭圆的类似物指数函数,可以用来表达雅可比椭圆函数。
θ的函数是quasi-doubly周期,通常表示在现代文本,尽管符号和(Borwein 和Borwein 1987)有时也使用。
惠塔克和华生(1990,第487页)给出了表总结符号使用的各种早期的作家。
θ的函数得到的Wolfram语言通过EllipticTheta(n z,q),并给出其衍生品EllipticThetaPrime(n z,q)。
对理想气体平动配分函数可以使用椭圆θ的函数(黄金1961,pp。
119年和133年,Melzak 1973,p . 122;Levine 2002,p . 838)。
θ的函数可以表达的省,表示,或者是半周期比,表示,在那里和和是相关的(1)让多值函数被解释为代表。
然后一个复数雅可比θ的函数被定义为(2)(3)(4)(5)单独写双无限金额作为无限的资金给稍微不那么对称的形式(6)(7)(8)(9)(10)(11) (惠塔克和沃森1990,页1990 - 464)。
明确写出系列(12)(13)(14)(15) (Borwein和Borwein 1987,52页,惠塔克和华生1990,p . 464)。
是一个奇函数的甚至,而其他三个功能 .下面的表说明了quasi-double周期性的雅可比θ的函数。
11在这里,(16)准周期可以建立如下的具体情况 ,(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)雅可比θ彼此的函数可以写成:(25)(26)(27) (惠塔克和沃森1990,p . 464)。
任何雅可比θ的函数给定的参数可以用其他两个雅可比θ的函数来表示相同的参数。
的函数和满足身份(28)定义(29)雅可比θ的函数参数,上面绘制。
然后双无限金额(◇)(◇)特别简单的形式(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36) (OEIS A089800,A000122,A002448;Borwein和Borwein 1987,p . 33)。
雅可比
雅可比中国科学院数学研究所井竹君雅可比，C．G．J．(Jacobi Carl Gustar Jacob)1804年12月10日生于德国波茨坦；1851年2月18日卒于柏林．数学．雅可比是犹太银行家西蒙·雅可比(Simon Jacobi)和他的妻子莱曼(Lehmann)的第二个儿子．雅可比有一个长他三岁的哥哥莫里茨(Moritz)，后来在彼得堡成为著名的物理学家．弟弟爱德华(Eduard)在其父去世后掌管了银行．他还有个妹妹雷泽(Therese)．雅可比自幼聪敏，幼年随他舅舅学习拉丁文和数学．1816年11月进入波茨坦大学预科学习．1821年春毕业．当时他的希腊语、拉丁语和历史的成绩都很优异；尤其在数学方面，他掌握的知识远远超过学校所教授的内容．他还自学了L．欧拉(Euler)的《无穷小分析引论》(Introductioin analvsin infinitorum)，并且试图解五次代数方程．1821年4月雅可比入柏林大学．开始两年的学习生活，他对哲学、古典文学和数学都颇有兴趣．该校的校长评价说，从一开始，雅可比就显示出他是一个“全才”．像C．F．高斯(Gauss)一样，要不是数学强烈地吸引着他，他很可能在语言学上取得很高成就．雅可比最后还是决定全力投身于数学．1825年8月，他获得柏林大学理学博士学位．之后，留校任教．1825年到1826年冬季，他主讲关于三维空间曲线和曲面的解析理论课程．年仅21岁的雅可比善于将目己的新观点贯穿在教学之中，启发学生独立思考，是当时最吸引人的数学教师．他的成功引起普鲁士教育部的注意．1826年5月，雅可比到柯尼斯堡大学任教．在那里他结识了物理学家F．诺伊曼(Neumann)和H．多费(Dove)、数学家F．贝塞尔(Bessel)．一年之后，发表了几篇关于数论中有关互反律(后人称为“雅可比符号的互反律”)的论文，受到高斯的赞赏．由此开始数学创作的黄金时代．1827年12月获得副教授职位，这次提升与高斯、A．M．勒让德(Legendre)对他早期工作的赞扬有关(而高斯不是一个轻易表态的人)．1829年发表了他的第一部杰作《椭圆函数理论新基础》(Fundamenta Nova Theoriae Funcctionurn Ellipticaram，1829，见《雅可比全集》第一卷)．同年夏天雅可比去巴黎旅行，途中访问了在格丁根的高斯，并结识了勒让德、J．B．J．傅里叶(Fourier)、S．D．泊松(Poisson)和其他法国数学家．1832年7月被提升为教授．在此前一年，即1831年9月11日与玛丽·施温克(Marie Schwinck)结婚，他们生有5个儿子和3个女儿．1842年7月受普鲁士国王的派遣，和贝塞尔参加在曼彻斯特举行的不列颠科学促进协会(British Associationfor the Advancement of Science)的年会，回国途中在巴黎科学院作了报告．在柯尼斯堡大学的18年间，雅可比不知疲倦地工作着，在科学研究和教学上都做出惊人的成绩．他对椭圆函数理论的透彻研究在数学界引起轰动，从而与N．H．阿贝尔(Abel)齐名．雅可比在椭圆函数理论、数学分析、数论、几何学、力学方面的主要论文都发表在克雷勒的《纯粹和应用数学》杂志(Crelle’s Journal fürdie reine und angewardte Mathematik)上，平均每期有三篇雅可比的文章．这使他很快获得国际声誉．他孜孜不倦的研究工作并没有影响他的教学活动．每周要用8—10小时给学生讲解他喜爱的课程——椭圆函数理论，并将自己的研究精髓教给学生，使学生受到科研的熏陶，打破了常规的教学方法．他还开创了学术讨论班，这在当时数学界还是很新奇的事物．当时，他同数学家贝塞尔、物理学家F．诺伊曼三人成为德国数学复兴的核心．1843年初雅可比患了严重的糖尿病．在得到普鲁士国王的捐款之后去意大利休假数月．1844年6月底回到柏林，开始接受普鲁士国王的津贴，在柏林大学任教，并被选为柏林科学院院士、伦敦皇家学会会员．1848年革命期间，由于他在一次即席演讲中得罪了王室而失去津贴．当维也纳大学决定聘请他时，普鲁士当局意识到他的离开将会造成的损失，因而恢复了他的待遇．1851年初雅可比在患流行性感冒还未痊愈时，又得了天花，不久去世．他的密友P．G．L．狄利克雷(Dirichlet)在柏林科学院发表纪念讲话，总结了他在数学上的杰出贡献，称他为J．L．拉格朗日(Lagrange)以来科学院成员中最卓越的数学家．雅可比最重要的贡献是和挪威数学家N．H．阿贝尔(Abel)相互独立地创立和发展了椭圆函数理论；引入并研究了θ函数和其他一些超越函数的性质；大胆地使用复数，发展了复变量椭圆函数．他的第一部杰作《椭圆函数理论新基础》成为该领域的经典著作．该著作的第一部分研究变换问题，第二部分给出椭圆函数的表示．在第一部分中，雅可比从第一类椭圆函数的微分出发，用二次变换将它化简为勒让德的标准出了三次和五次变换的例子和有关模方程的例子．经组合两个变换，他圆积分sinam(iu，k)=itan am(u，k′)，这里模数k和k′满足方程k2+k′2=1．这样，他得到椭圆函数的双周期性、零点、极点．他还证明当对第一个模数和第二个模数应用同样变换时模方程的不变性．第一部分工作的最后，他研究了满足所有变换模数的三阶微分方程．这著作的第二部分集中研究椭圆函数用无穷级数乘积和傅里叶级数的表示问题．椭圆函数sin amu，cos amu，△amu的第一种表示是用无穷乘积的商形式给出．记q=e-πk′/K，雅可比用q来表示模和周期，例如椭圆函数还可用傅里叶级数展开式来表示．雅可比引进函数来讨论第二类椭圆积分．他将第三类椭圆积分化简成第一类和第二类椭圆积分，而第三个超越函数仅依赖于两个变量．他又引入“雅可比函数”公式雅可比又将这工作应用于数论．从恒等式断，即任何整数可以表示成至少四个整数(零也是整数)的平方和．雅可比证明了以e-(an+b)/2为通项的级数的收敛性，这是整个椭圆函数理论发展的基础．1829—1830年冬季，雅可比第一次作椭圆函数理论的报告，他强调双周期性是椭圆函数的基本性质．他用θ函数理论来建立椭圆函数理论．1835—1836年，他证明有关四个θ函数乘积之和的著名定理，并且将各类椭圆函数定义为θ函数之商，从而第一个创立了θ函数理论．1839—1840年期间，他继续这些研究，这部分工作收集在《雅可比全集》的第一集、第二集中，包括了对椭圆函数历史的概述．关于复变量椭圆函数理论，他研究了超椭圆积分等问题，其中有关双周期函数的论文(1835年)成为现代复变函数理论中的经典著作．他对阿贝尔函数也作过研究，发现了超椭圆函数．在椭圆函数理论的整个发展过程中，高斯、勒让德、阿贝尔、雅可比他们对其理论都作过精心研究．阿贝尔和雅可比的许多发现同高斯年青时(1798年)作过的但没有发表的工作(高斯从来不太在乎他的研究论文的发表)相交迭．勒让德自1786年以来用了40年时间对椭圆积分作了系统的研究，并将其分为三类．但阿贝尔和雅可比看到了问题的实质．他们把勒让德的思路颠倒过来，研究椭圆积分的逆，即椭圆函数，这样就大大地简化了整个问题，使得椭圆函数理论迅猛地发展起来．椭圆函数理论在19世纪数学领域中占有十分重要的地位．它为发现和改进复变函数理论中的一般定理创造了有利条件．如果没有椭圆函数理论中的一些特例为复变函数理论提供那么多的线索，那么复变函数理论的发展就会慢得多．雅可比第一个将椭圆函数理论应用于数论的研究，得到同余式和型理论中的一些结果，这一思想为后继数学家所沿用．他这方面的研究结果是通过J．G．罗森海因(Rosenhain)的听课笔记流传下来的．他还给出元根的“标准算法”，该文章于1839年发表．雅可比研究工作的特点是将不同的数学分支联系起来．他将椭圆函数理论用于积分理论、微分方程理论，其中尾乘式原理就是他提出的．他又将椭圆函数理论用于动力学和分析力学，创立了哈密顿-雅可比方程．他寻找最一般的代换，得到哈密顿-雅可比方程积分的新理论．这一方法解决了力学和天文学中一些十分重要的问题，并使微分方程的研究进入一个新的发展时期．后来，A．克莱布什(Clebsch)改进了雅可比的工作；10年之后H．L．F．亥姆霍兹(Helmholcz)把雅可比的力学原理全部用到一般物理学中．雅可比对行列式理论也做了奠基性的工作．1841年初他系统地研究了行列式理论，推广了代数行列式的应用，建立了函数行列式(后来称之为雅可比行列式)，并将其应用到函数组的相关性、多重积分的变量变换和偏微分方程的研究中．有关一阶偏微分方程和分析力学的大部分研究工作是他去世之后以“动力学讲义”(Vorlesungenüber Dynamik)为题发表的(1866年由克莱布什发表)．雅可比在数学物理方面也做过实质性的贡献．他将椭圆函数理论应用于椭球吸引力的研究和有关旋转流体物质结构理论研究中．C．麦克劳林(Maclanrin)、J．R．达朗贝尔(d′Alembert)、P．S拉普拉斯(Laplace)和J．L．拉格朗日(Lagrange)证明当均匀流体取旋转椭球形状且绕固定轴均匀旋转时，其形状不会改变．而雅可比发现即使流体形状是一般椭球体时，也满足平衡条件．雅可比对数学史的研究也感兴趣．1846年1月作过关于R笛卡儿(Descartes)的通俗演讲，对古希腊数学也作过研究和评论．1840年他制订了出版欧拉著作的计划(因欧拉的孙子发现欧拉有许多文章未发表)．有趣的是雅可比关于椭圆函数理论的研究工作同他强大的竞争者阿贝尔的工作保持着平行，他们独立地创立了椭圆函数理论．同时，雅可比有一颗高贵没有偏见的心灵．由于具有慷慨的天性，他毫不妒忌地赞扬了阿贝尔有关证明不能用代数方法得到一般五次方程的解的结果，尽管他对此问题作过探讨而未能得到这样的结论．雅可比在数学和其他学科的许多领域中辛勤地工作过，是数学史上最勤奋的学者之一．他和欧拉对待数学创作具有同样的态度，两者都是多产的作者．就处理繁复的代数问题能力而言，除了20世纪印度数学天才S．拉马努金(Ramanujan)以外，他们两人是无人可匹敌的．他们俩在处理确定问题时都能从巨大的数学方法兵工厂中找到能够解决问题的最好武器．欧拉在纯粹和应用数学之间花费的时间几乎相等，而雅可比更倾向于研究它们内在有关的数学问题．他所理解的数学，有一种强烈的柏拉图(Platonic)格调．现代数学中的许多定理、公式和函数恒等式、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式以及许多数学符号都冠以雅可比的名字，可见雅可比的成就对后人影响之深．1881—1891年普鲁士科学院陆续出版了由C．W．博尔夏特(Borchardt)等人编辑的七卷《雅可比全集》和增补集，这是雅可比留给世界数学界的珍贵遗产．。
(完整版)机器人学_机器人雅可比矩阵
dy
,
dz
)Rot(k, d)
I 44
k z d
k y d
0
kzd
0
k x d
0
k y d kxd
0
0
dx
dy
dz
0
四. 微分旋转的无序性 当θ→0 时，有sinθ→dθ，cosθ→1．若令δx=dθx，δy=dθy，
δz=dθz，则绕三个坐标轴(p16)的微分旋转矩阵分别为
1 0 0 0
例 :如图3-18所示的平面2R机械手，手爪端点与外界接触，手爪
作用于外界环境的力为
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
，若关节无摩擦
力存在，求力 的等效关节力矩
。
解：由前面的推导知
0F [Fx , Fy ]T
所以得：
y0
2
1
x0
图3-18 关节力和操作力关系
例：如图所示的机械手夹扳手拧螺丝，在腕部（{Os}）装有力/力矩
传感器，若已测出传感器上的力和力矩
只要知道机械手的雅可比J是满秩的方阵，相应的关节速度即
可求出，即
。
上例平面2R机械手的逆雅可比
J
1
1 l1l2s2
l2c12 l1c1 l2c12
l2s12
l1s1
l2s12
于是得到与末端速度
相应的关节速度：
显然，当θ2趋于0°（或180°）时，机械手接近奇异形位，相应的 关节速度将趋于无穷大。
解：因为已知
，可以根据前面的公式求得dA和δA。也可
根据与它一样的另一组表达式（写法不同）求解，即
求得
，
4.2 机器人的静力学
v F
[
v f,
机器人雅可比矩阵表达式
机器人雅可比矩阵表达式
机器人雅可比矩阵是一种用于分析机器人运动学的方法。
它是一
个m x n矩阵，其中m是机器人的关节数，n是要求输出的目标点坐标数。
矩阵中的每一行对应于一个机器人关节，每一列对应一个目标点
坐标。
矩阵的每个元素都是一个实数，表示该关节的角度或目标点的
坐标值与机器人其他关节的角度或目标点的坐标值之间的依赖性。
通
过解雅可比矩阵，可以求出所需的机器人关节的角度值，从而实现机
器人末端外型的控制。
通常来说，雅可比矩阵是由机器人的齐次变换矩阵计算得来的，
如下所示：
T_01=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)
T_02=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)*T (θ5)
T_03=T (θ1)*T (θ2)*T (θ3)*T (θ4)*T (θ5)*T (θ6)
这里，T (θi)是一个4x4变换矩阵，代表第i个关节的关节转动，θi是该关节的角度。
现在，我们可以用下面的公式来计算雅可比矩阵：
J(θ)=(dT_0j/dθ1)T_01^-1+(dT_0j/dθ2)T_02^-
1+(dT_0j/dθ3)T_03^-1
这里，j=1,2,3，分别对应3个目标点的坐标值，即x、y、z。
可以看到，雅可比矩阵是一个m×n维矩阵，其中m是机器人的关
节数，n是要求输出的目标点坐标数。
它的元素表示每个关节的角度或
目标点的坐标值与机器人其他关节的角度或目标点的坐标值之间的依
赖性。
只要解雅可比矩阵，就可以获得机器人末端各个关节的角度值，从而将机器人移动到特定的目标位置。
雅可比方法
第二节 雅可比方法雅可比方法是用来计算实对称矩阵A 的全部特征值及其相应特征向量的一种变换方法.在介绍雅可比方法之前，先介绍方法中需要用到的线性代数知识与平面上的旋转变换.一 预备知识（1） 如果n 阶方阵A 满足()A A I A A T ==-1即则称A 为正交阵.(2) 设A 是n 阶实对称矩阵，则A 的特征值都是实数，并且有互相正交的n 个特征向量.(3) 相似矩阵具有相同的特征值.(4) 设A 是n 阶实对称矩阵，P 为n 阶正交阵，则AP P B T =也是对称矩阵.(5) n 阶正交矩阵的乘积是正交矩阵.(6) 设A 是n 阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P ，使∧=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n T AP P λλλ 21 (1)其中Λ的对角线元素的是A 的n 个特征值，正交阵P 的第i 列是A 的对应于特征值i λ的特征向量.由(6)可知,对于任意的n 阶实对称矩阵A ，只要能求得一个正交阵P ，使Λ=AP P T (Λ为对角阵),则可得到A 的全部特征值及其相应的特征向量,这就是雅可比方法的理论基础.二 旋转变换设⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22211211a a a aA 为二阶实对称矩阵,即2112a a =.因为实对称矩阵与二次型是一一对应的,设A 对应的二次型为()222221122111212x a x x a x a x ,x f ++= (2)由解析几何知识知道，方程()C x ,x f =21表示在21x ,x 平面上的一条二次曲线.如果将坐标轴21Ox ,Ox 旋转一个角度θ,使得旋转后的坐标轴21Oy ,Oy 与该二次曲线的主轴重合,如图4-1所示,则在新的坐标系中,二次曲线的方程就化成C y y =+222211λλ (3) 这个变换就是⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2121y y cos sin sin cos x x θθθθ (4)变换(4)把坐标轴进行旋转,所以称为旋转变换.其中⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=θθθθcos sin sin cos P (5) 称为平面旋转矩阵。
梯度下降迭代法和雅克比迭代法
梯度下降法和雅可比迭代法是两种不同的迭代算法，它们在求解问题时的侧重点和适用范围有所不同。
雅可比迭代法是一种用于求解线性方程组的迭代算法，其基本思想是将线性方程组中的系数矩阵拆分为对角线矩阵和非对角线矩阵两部分，并利用对角线矩阵的逆矩阵来迭代求解方程组。
雅可比迭代法的基本公式是 x[i+1] = D^(-1) * (b - R * x[i])，其中D为系数矩阵A 的对角线矩阵，R为非对角线矩阵，即R=A-D。
雅可比迭代法主要用于求解线性方程组，特别是病态的线性方程组。
梯度下降法是另一种迭代法，主要用于在求解机器学习算法的模型参数θ时，即无约束问题时。
梯度下降法让参数朝着梯度下降最大的方向去变化。
具体来说，假设模型参数为θ，损失函数为 J(θ)，梯度下降法让参数按照α * ▽θJ(θ) 的方向进行更新。
其中，α是学习率，▽θJ(θ) 是损失函数 J(θ) 关于参数θ的梯度。
总的来说，雅可比迭代法和梯度下降法都是迭代算法，但它们的应用范围和核心思想有所不同。
雅可比迭代法主要用于求解线性方程组，而梯度下降法则主要用于优化无约束问题。
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雅可比θ的函数雅可比θ的函数是椭圆的类似物指数函数,可以用来表达雅可比椭圆函数。
θ的函数是quasi-doubly周期,通常表示在现代文本,尽管符号和(Borwein 和Borwein 1987)有时也使用。
惠塔克和华生(1990,第487页)给出了表总结符号使用的各种早期的作家。
θ的函数得到的Wolfram语言通过EllipticTheta(n z,q),并给出其衍生品EllipticThetaPrime(n z,q)。
对理想气体平动配分函数可以使用椭圆θ的函数(黄金1961,pp。
119年和133年,Melzak 1973,p . 122;Levine 2002,p . 838)。
θ的函数可以表达的省,表示,或者是半周期比,表示,在那里和和是相关的(1)让多值函数被解释为代表。
然后一个复数雅可比θ的函数被定义为(2)(3)(4)(5)单独写双无限金额作为无限的资金给稍微不那么对称的形式(6)(7)(8)(9)(10)(11) (惠塔克和沃森1990,页1990 - 464)。
明确写出系列(12)(13)(14)(15) (Borwein和Borwein 1987,52页,惠塔克和华生1990,p . 464)。
是一个奇函数的甚至,而其他三个功能 .下面的表说明了quasi-double周期性的雅可比θ的函数。
11在这里,(16)准周期可以建立如下的具体情况 ,(17)(18)(19)(20)(21)(22)(23)(24)雅可比θ彼此的函数可以写成:(25)(26)(27) (惠塔克和沃森1990,p . 464)。
任何雅可比θ的函数给定的参数可以用其他两个雅可比θ的函数来表示相同的参数。
的函数和满足身份(28)定义(29)雅可比θ的函数参数,上面绘制。
然后双无限金额(◇)(◇)特别简单的形式(30)(31)(32)(33)(34)(35)(36) (OEIS A089800,A000122,A002448;Borwein和Borwein 1987,p . 33)。
这个函数也给出了(37)在哪里是一个q-Pochhammer象征.这个函数(38)(39)(40)有时是数论中定义的上下文(达文波特1980,p . 1980)。
同样地,函数(41)(42)有时也定义(爱德华兹2001年,p . 15)。
这个函数满足(43)爱德华兹(雅可比黎曼1828;1828;2001年,15页),雅可比属性泊松和遵循的泊松求和公式。
也满足了身份(44) (爱德华兹2001年,p . 17)。
特殊值包括(45)和(46)在哪里是γ函数,大多数都是特殊情况的Ramanujanθ的函数.一个特殊的导数值由于o . Marichev(per。
2008年7月)是由通讯(47)上面的情节展示了雅可比θ的函数绘制的函数参数和省局限于真实值。
特别美丽的情节,通过检查真正的和虚部的固定在复平面,如上图。
雅可比θ的函数满足一个几乎令人困惑地大量涉及四个功能的身份,他们的衍生品,他们的论点的倍数,总结自己的观点。
之间的不同寻常的身份维特克和沃森(1990)(48)(49) (惠塔克和沃森1990,p . 464)(50)(51) (惠塔克和沃森1990,p . 465),,……4,和。
一类身份涉及广场雅可比θ的函数(52)(53)(54)(55) (惠塔克和沃森1990,p . 466)。
采取在(55)给出了特殊情况(56)这种类型的唯一标识。
此外,(57)(58)雅可比θ的函数服从规则等(59)(60)(61)(62)(63)(64)(65)(66) (惠塔克和沃森1990,p . 487),(67)(68)(69)(70)(71)(72)(73)(74) (惠塔克和沃森1990,p . 488),和(75)(惠塔克和沃森1990,p . 488)。
也有一系列的复制公式:(76)(77)(78)(79)(80)(81) (惠塔克和沃森1990,p . 488)。
比雅可比θ的函数导数函数本身的简单形式(82)(83)(84)(85)(86)(87)(88)(89) (惠塔克和沃森1990,p . 489)。
雅可比θ的函数可以表示为产品,而不是资金(90)(91)(92)(93)在哪里(94) (惠塔克和沃森1990,页1990 - 470)。
额外的美丽产品(“欧拉”)表单是由Zucker(1990),部分总结在下表中,(95)和q-products都写 , ,, .A000122A002448A089798A089799A089800A089801A089802A089805A080995A089806A089807A089810A089811A089812A089813额外的身份包括(96)(97)在这里,(98) (OEIS A089814).雅可比θ功能满足偏微分方程(99)在哪里。
比雅可比θ的函数在分母也满足微分方程(100)(101)(102)雅可比的虚构的转型表达而言,。
有很多美丽的身份涉及雅可比θ的函数参数 , ,,和 , ,,相关的,(103)(104)(105)(106)(惠塔克和沃森1990,页1990 - 469,488年和490年)。
使用的符号(107)(108)给出了高达288的身份表单(109)完整的椭圆积分的第一和第二种可以使用雅可比θ表示函数。
让(110)和插入(◇)(111)现在写(112)和(113)然后(114)在哪里椭圆模量被定义为(115)定义的补充椭圆模量(116)现在,因为(117)我们展示了(118)这个方程的解(119)这是一个雅可比椭圆函数与时间(120)和(121)让是第一类完全椭圆积分与模量,然后(122)(123)(124)在哪里是互补的模量.雅可比θ函数提供分析解决许多棘手的问题在数学和数学物理。
例如,雅可比θ功能有关平方和函数给的数量表示通过两个正方形(125)(126) (Borwein和Borwein 1987,p . 34)。
一般五次方程是可以解决的雅可比θ的函数,这些函数提供一种一致收敛的吗格林函数一个矩形区域(Oberhettinger和马格努斯1949年)。
最后,雅可比θ功能可以使用使均匀所有椭圆曲线。
雅可比椭圆函数也可以用来使均匀一些超椭圆曲线,虽然只有两个这样的例子是已知的。
是一个经典的例子伯恩赛德曲线,第二个是1995年发现法卡斯和热泪盈眶。
参见:雅可比椭圆函数雅可比椭圆函数的标准形式椭圆函数。
这三个基本功能是表示 ,,,在那里被称为椭圆模量。
他们出现的反演第一类椭圆积分,(1)在哪里 ,是椭圆模量,是雅可比振幅,给(2)从这个,它遵循(3)(4)(5)(6)(7)(8)这些函数是三角函数的双周期概括满意(9)(10)(11)而言,雅可比θ的函数,(12)(13)(14)(惠塔克和沃森1990,p . 492),在那里(惠塔克和沃森1990,p . 464)和椭圆模量是由(15)雅可比椭圆函数的比率用结合的第一个字母分子与第一个椭圆函数分母椭圆函数。
椭圆的乘法逆函数用扭转两个字母的顺序。
这些组合给共有12个功能:cd,cn,cs,直流,dn,ds,数控,nd,ns,sc、sd、锡。
这些功能的实现Wolfram语言作为JacobiSN(z,m)等等。
同样,逆雅可比函数实现InverseJacobiSN[v,m]等等。
的雅可比振幅定义的通过(16)的参数是经常抑制简洁如此,例如,可以写成 .雅可比椭圆函数是周期性的和作为(17)(18)(19)在哪里是第一类完全椭圆积分,,(惠塔克���沃森1990,p . 503)。
的 ,,功能也可以被定义为解决微分方程(20)(21)(22)分别。
标准雅可比椭圆函数满足身份(23)(24)(25)(26)特殊值包括(27)(28)(29)(30)(31)(32)在哪里是一个第一类完全椭圆积分和是互补的椭圆模量(惠塔克和沃森1990,页1990 - 499),和(33)(34)(35)在积分方面,(36)(37)(38)(39)(40)(41)(42)(43)(44)(45)(46)(47) (惠塔克和沃森1990,p . 494)。
雅可比椭圆函数加法公式(包括,例如,被编写为简洁)(48)(49)(50)延长积分时间,(51)(52)(53)(54)(55)(56)为复杂的参数,(57)(58)(59)衍生品雅可比椭圆函数包括(60)(61)(赴1969年,p . 1969;Zwillinger 1997,p . 136)。
Double-period公式涉及包括雅可比椭圆函数(63)(64)(65)半周期公式涉及包括雅可比椭圆函数(66)(67)(68)平方公式包括(69)(70)(71)泰勒级数的雅可比椭圆函数被认为是埃尔米特(1863),Schett(1977),和杜蒙(1981)(72)(73)(74) 1972年(阿布拉莫维茨和Stegun eqn。
16.22)。
参见:雅可比振幅的变量(也表示)中使用椭圆函数和椭圆积分被称为振幅(或雅可比振幅)。
它可以被定义(1)(2)在哪里是一个雅可比椭圆函数与椭圆模量。
是很常见的,雅可比椭圆函数,模量通常隐含的简洁性。
雅可比振幅的逆函数第一类椭圆积分。
振幅函数的实现Wolfram 语言作为JacobiAmplitude m],[u是参数.这是相关的第一类椭圆积分通过(3) (阿布拉莫维茨和Stegun 1972,p . 589)。
的导数雅可比的振幅是由或使用的符号 ,(5)振幅函数的特殊值(6)(7)在哪里是一个第一类完全椭圆积分。
此外,它遵循的身份(8)(9)(10)(11)(12)(13)作为定义雅可比椭圆函数.维尔斯特拉斯椭圆函数维尔斯特拉斯椭圆函数(或维尔斯特拉斯函数,表示“函数”)是椭圆函数,不像雅可比椭圆函数,有一个二阶极在。
指定完全half-periods(和)或椭圆不变量 (和)必须被指定。
这两种情况是表示和,分别。
维尔斯特拉斯椭圆函数的实现Wolfram语言作为WeierstrassP(u,g2,g3]。
Half-periods和不变量可以互换使用Wolfram语言命令WeierstrassInvariants[ω,₂),WeierstrassHalfPeriods[g2,g3]。
维尔斯特拉斯实现椭圆函数的导数WeierstrassPPrime(u,g2,g3),实现为逆维尔斯特拉斯函数InverseWeierstrassP[p,g2,g3].InverseWeierstrassP[p,问,g2,g3)发现的独特价值的和 .上面的情节显示维尔斯特拉斯椭圆函数和它的衍生物为椭圆不变量和沿着实轴.上面的图显示了维尔斯特拉斯函数及其衍生品的椭圆不变量 .特定的情况下椭圆不变量和有特殊的名称总结在下表中(阿布拉莫维茨和Stegun 1972)。