曲线积分(小结)

曲线积分（小结）
1、 曲线积分
（1） 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：
1
1
(,)lim (,), (,,)lim (,,)n n
i
i
i
i
i
i
i
i i L
f x y ds f s f x y z ds f s λλ
ξηξηζ→→==Γ
=∆=∆∑∑⎰⎰ 这里L 表示平面曲线，Γ表示空间曲线。

①第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）计算----化为定积分：
弧微分：ds =
(a)设()
:,()x t L t y t ϕαβψ=⎧≤≤⎨=⎩
，则(,)((),(;L f x y ds f t t β
α
ϕψ=⎰⎰
(b)设:(),L y x a x b φ=≤≤
，则
(,)(,(;b
L
a
f x y ds f x x φ=⎰
⎰
(c) 设:(),L r t θαθβ=≤≤，则
(,)(()cos ,()sin ;L
f x y ds f r r β
αθθθθθ=⎰⎰
(d) 设():(),()x t y t t z t ϕψαβω=⎧⎪
Γ=≤≤⎨⎪=⎩
，则
(,,)((),(),(;f x y z ds f t t t β
αϕψωΓ
=⎰⎰
②几何意义：当(,)1f x y =时，(,)L
L
f x y ds ds =⎰⎰表示积分曲线弧L 的长度；
③奇偶对称性：
当曲线L 所围成的区域关于y 轴对称，则
12(,), (,)(,);
(,)0, (,)(,) .
L L
f x y ds f x y f x y f x y ds f x y f x y ⎧-=⎪
=⎨⎪-=-⎩⎰⎰
其中1L 是L 在y 轴右侧的部分：{}1(,)0L x y L x =∈≥；
当曲线L 所围成的区域关于x 轴对称，则
22(,), (,)(,);
(,)0, (,)(,) .
L L
f x y ds f x y f x y f x y ds f x y f x y ⎧-=⎪
=⎨⎪-=-⎩⎰⎰
其中2L 是L 在x 轴上方的部分：
{}2(,)0L x y L y =∈≥。

注：计算对弧长的曲线积分的常用技巧：
①应用代入法简化计算，例如：若:(,)L f x y a =，则(,)L
L
f x y ds a ds =⎰⎰.（例如书P102，
习题9-1：5）
②应用对称性简化计算。

（例如书P102，例3）
（2）第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：
110
1
10
1
(,)lim (,),(,,)lim (,,)(,)lim (,),(,,)lim (,,) (,,)lim (,,)n n
i
i
i
i
i
i
i
i i L
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i i L
n
i
i
i
i
i P x y dx P x P x y z dx P x Q x y dy Q y Q x y z dy Q y R x y z dz R z λλ
λλ
λ
ξηξηζξηξηζξηζ→→==Γ
→→==Γ
→=Γ
=∆=∆=∆=∆=∆∑∑⎰⎰∑∑⎰⎰∑⎰ 这里L 表示平面曲线，Γ表示空间曲线。

注：(,)(,)(,)(,)L
L
P x y dx Q x y dy P x y dx Q x y dy -+=-
+⎰
⎰，其中L -是与L 方向相反的有
向曲线。

第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）计算----化为定积分 (a) 设()
:,:()
x t L t y t ϕαβψ=⎧→⎨
=⎩，则
[](,)(,)((),())()((),())();L
P x y dx Q x y dy P t t t Q t t t dt β
αϕψϕϕψϕ''+=+⎰⎰
(b) 设:(),:L y x x a b φ=→，则
[](,)(,)(,())(,())();b
L
a
P x y dx Q x y dy P x t Q x t t dt φφφ'+=+⎰⎰
(c)设():(),:()x t y t t z t ϕψαβω=⎧⎪
Γ=→⎨⎪=⎩
，则
[](,,)(,,)(,,)((),(),())()((),(),())()((),(),())();
P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P t t t t Q t t t t R t t t t dt β
α
ϕψωϕϕψωϕϕψωξΓ
++'''=++⎰⎰
2、两类曲线积分之间的联系：
①[](,)(,)(,)cos (,)cos L
L
P x y dx Q x y dy P x y Q x y ds αβ+=
+⎰
⎰，其中cos ,cos αβ是有向
曲线L 上任一点的切向量的方向余弦。

②
[](,,)(,,)(,,) (,,)cos (,,)cos (,,)cos P x y z dx Q x y z dy R x y z dz
P x y z Q x y z R x y z ds
αβγΓ
Γ
++=++⎰⎰
其中cos ,cos ,cos αβγ是有向曲线L 上任一点的切向量的方向余弦。

注：向量(,,)r a b c =的方向余弦：2cos ,cos ,cos ,a b c
r a b r r r
αβγ=
===+ 3、格林公式：设闭区域D 由分片光滑的曲线L 围成，函数(,),(,)P x y Q x y 在D 上具有一
阶连续偏导数，则有D L
Q P dxdy Pdx Qdy x y ⎛⎫
∂∂-=+ ⎪∂∂⎝
⎭⎰⎰⎰，其中L 是区域D 的取正向的边界
曲线。

注：闭区域D 的面积12
L
A xdy ydx =
-⎰.
(2)一般利用格林公式来计算对坐标的曲线积分：直接利用格林公式、加边法（例如书P114，例4）、挖洞法（例如书P114，例5）. 4、平面上的曲线积分与路径无关的条件 定理4（书P119）： 设开区域D 是一个单连通域，函数),(y x P 及),(y x Q 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
（1） 曲线积分⎰+L
Qdy Pdx 在D 内与路径无关；
（2）表达式Qdy Pdx +为某二元函数),(y x u 的全微分； （3）
x
Q
y P ∂∂=∂∂在D 内恒成立； （4）对D 内任一闭曲线L ，0=+⎰L
Qdy Pdx . 若函数),(y x P ，),(y x Q 满足定理的条件，则二元函数
⎰
+=),()
,(00),(),(),(y x y x dy y x Q dx y x P y x u
满足 dy y x Q dx y x P y x du ),(),(),(+=， 我们称),(y x u 为表达式dy y x Q dx y x P ),(),(+的原函数.
C dy y x P dx y x P y x u y
y x
x ++=⎰⎰0
0),(),(),(0
或 C dy y x P dx y x P y x u y
y x
x ++=⎰⎰0
),(),(),(0
注：利用定理4求原函数（例如书P119，例8）.
5、计算对坐标的曲线积分通常有如下一些方法： ①直接计算法：将其化为定积分； ②应用格林公式：
（1）若有向曲线为闭曲线，可直接利用格林公式将其化为定积分（例如书P113，例3）；利用格林公式时还会到“挖洞法”（例如书P114，例5）.
（2）若有向曲线为非闭曲线，可补充直线段或曲线弧与有向曲线围成闭区域D ，再应用格林公式。

（例如书P114，例4）----补线法
③利用平面上的曲线积分与路径无关的条件（定理4），检验x Q y P ∂∂=∂∂是否成立，若x Q y P ∂∂=∂∂成立，该曲线积分与路径无关，可选择简单路径计算（例如书P121，习题9-3：5）；
④利用两类曲线积分之间的关系，将其化为对弧长的曲线积分（例如书P109，例6）； ⑤应用代入法简化计算。