素数公式
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》
《关于素数公式素数定理哥德巴赫猜想的初等证明》素数公式是指对于给定的正整数n，小于等于n的素数的个数近似等于n/ln(n)，其中ln(n)表示自然对数。
素数定理是指当n趋向于无穷大时，小于等于n的素数的个数π(n)近似等于n/ln(n)。
公式中的π(n)表示小于等于n的素数的个数。
哥德巴赫猜想是指任意大于2的偶数都可以表示为两个素数之和。
首先证明素数公式。
定义函数S(n)为小于等于n的素数的个数。
我们需要证明当n趋向于无穷大时，S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
我们知道，当n越趋近于无穷大时，自然对数ln(n)也趋近于无穷大。
设m为一个足够大的正整数，使得ln(n) >= m。
我们将区间[2,n]均分为m个子区间，每个子区间的长度为(L=n-2)/m。
对于每个子区间，我们选择一个整数ni作为代表，使得ni落在这个子区间内，并且ni是最接近该子区间中点的整数。
由于n趋向于无穷大，我们可以得到ni一定存在。
我们定义T(m)为小于等于n的素数中，满足ni是素数的个数。
显然T(m) <= S(n)，因为ni只是小于等于n的素数中的一个子集。
我们对于每一个ni都检查它是否是素数，最简单的方法是对所有小于等于√ni的正整数k，检查ni是否能被k整除。
若存在整数k使得ni被k整除，则ni不是素数；若不存在这样的整数k，则ni是素数。
现在我们来估计T(m)的上界。
对于每个ni，我们需要进行√ni次的整除运算。
所以，总的运算次数为Sqrt(n1) + Sqrt(n2) + ... +Sqrt(nm)。
由于ni是区间中点附近的整数，所以我们可以将每个Sqrt(ni)近似为Sqrt(L/m) = Sqrt((n-2)/m)。
所以总的运算次数可以近似为m*Sqrt(L/m) = (n-2)*Sqrt(m/(n-2))。
当n趋向于无穷大时，这个运算次数的上界也趋于无穷大。
所以S(n)在数学意义下近似等于n/ln(n)。
素数个数公式及有关猜想证明
素数个数公式及有关猜想证明引理：若21=p ,32=p ，…j p …,i p ,为连续素数，1≤j ≤i,且j p | n ，1≤m ≤n ，则 m ≠0(mod j p ) 的数的个数)(n y i 可表示为∏=-⋅=ij ji p n n y 1)11()(. 证明：I.当i=1时,∵ 1p =2 , 1p |n ∴ )11()211(2)(11p n n n n n y -⋅=-⋅=-= 结论成立。
Ⅱ.假设i=k 时，结论成立，即：∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 成立。
当i=k+1时，∵ 1p |n ，2p |n ，…， k p |n ，据归纳假设 ∴ ∏=-⋅=kj jk p n n y 1)11()( 因为1+k p |n ，所以 m=o (mod 1+k p ) 的数有1+k p n个， 去了k p p p ,,,21 的倍数后，余 ∏=+-⋅kj jk p p n 11)11( 个 ∴ ∏∏=+=+-⋅--⋅=kj j k kj j k p p n p n n y 1111)11()11()()11()11(11+=-⋅-⋅=∏k kj j p p n ∏+=-⋅=11)11(k j j p n∴ i=k+1时，结论 ∏+=+-⋅=111)11()(k j jk p n n y 成立。
由I 、Ⅱ，当i 为任何正整数，结论都成立。
引理证毕。
定理1：（素数个数连乘积式公式）：若21=p ,32=p ，…k p …,i p为连续素数，0≤k ≤i 且k pn 的素数个数记为π(n)，则有公式π（n ）=2+ 221111()(1)k ik k k j j p p p λ+==⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∏+g(n)其中g(n)满足：－)(1+i p π<g(n)< )(1+i p π,λ微单减。
证明： ∵ n ＝1+(4－1)+(9－4)+(25－9)+…+)(221k k p p -++…+)(2i p n - 区间 (212,+k k p p )的整数去掉21=p ,32=p ，…k p 的倍数后，余下全为素数。
python求素数的20种算法
python求素数的20种算法20种求素数的算法1. 质数判断法：对于给定的整数n，从2到n-1依次判断n是否能被这些数整除，若都不能整除，则n为质数。
该算法的时间复杂度为O(n)。
2. 埃拉托斯特尼筛法：该算法的基本思想是从2开始，将2的倍数标记为合数，然后再找到下一个未标记的数，将其倍数标记为合数，依此类推，直到找到所有的质数。
时间复杂度为O(nloglogn)。
3. 素数定理：根据素数定理，对于给定的整数n，素数的个数约为n/ln(n)，可以利用这个定理来估算给定范围内的素数个数。
4. 费马素性检验：对于给定的整数n，取一个随机整数a，如果a 的n次方模n等于a，则n可能是素数，否则一定是合数。
该算法的时间复杂度较低，但存在一定的错误概率。
5. 米勒-拉宾素性检验：该算法是费马素性检验的改进算法，通过多次的随机取数进行检验，提高了精确度。
6. 素数分解法：将给定的整数n进行素因数分解，如果分解得到的因子只有1和n本身，则n为质数。
7. Rabin-Miller素性检验：该算法是米勒-拉宾素性检验的改进算法，通过多次的随机取数进行检验，提高了精确度。
8. 欧拉素数检验：根据欧拉定理，如果对于给定的整数n，a的n-1次方模n等于1，则n可能是素数，否则一定是合数。
9. 线性筛法：该算法是埃拉托斯特尼筛法的改进算法，通过线性的方式进行筛选，可以在O(n)的时间复杂度内求解素数。
10. 素数生成器：通过不断地生成大于当前最大素数的数，并判断是否为质数，来生成素数序列。
11. 素数位数统计法：对于给定的整数n，统计从1到n中每个数的位数，然后判断每个位数的数是否为质数。
12. 素数平方和方法：对于给定的整数n，判断是否存在两个质数，使得它们的平方和等于n。
13. 素数和差法：对于给定的整数n，判断是否存在两个质数，使得它们的和或差等于n。
14. 质数的二进制表示法：对于给定的整数n，将n转换为二进制表示，然后判断二进制中是否只包含一个1，若是则n为质数。
计算所有素数的公式是什么
计算所有素数的公式是什么
我们要找出计算所有素数的公式。
首先，我们需要了解什么是素数。
素数是一个大于1的自然数，且只能被1和它自身整除的数。
例如：2, 3, 5, 7, 11等都是素数。
为了找出所有素数，我们可以使用一个简单的筛选法，也称为埃拉托斯特尼筛法。
这个方法的基本思想是从2开始，逐步筛选出所有的素数。
具体步骤如下：
1.初始化一个列表，包含从2开始的所有整数。
2.从列表的第二个元素开始（索引为1的元素），假设它是一个素数。
3.将这个素数的所有倍数从列表中移除。
4.重复步骤2和3，直到列表中没有更多的元素。
5.剩下的元素就是所有的素数。
计算结果为：[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]
所以，1到100之间的所有素数为：[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97]。
素数快速筛法及公式
素数快速筛法及公式素数快速筛法及公式梅生林安徽合肥2012.07.12摘要：在素数的研究中，总结出素数快速筛法及公式，在这个基础上扩展了素数的一些关系、性质。
关键词：素数快速筛法，素数通式，质数筛法公式1.引言素数（Prime Number）是指自然数中那些只能被1和本身整除的数，依次为2、3、5、7、11、13、17、19、23、29…。
前人已证明：素数有无限多个。
一直到现在人们判定、寻找素数的方法，还是古希腊的数学家艾拉托斯芬（Eratosthenes）提出过的筛式方法，简称“艾氏筛法”。
即在任意有限自然数N以内判定素数时，先把N一个不漏的写下来，然后划掉根号N（）内所有素数的倍数，我们就能得到N以内的全部素数。
艾氏筛法判定素数的过程机械，也未能表示素数公式和一些性质。
关于寻找判定表示素数的方法公式，以前众多数学家进行了艰辛探索，也提出了很多关于素数的猜想和问题。
欧拉(Euler)就提出二项式公式n2-n+41能生成一部分素数的数型公式，直到现在，素数研究中仍然还有许多未解问题。
本文通过素数快速筛法及公式，总结出一些素数的新理论，使素数筛法及公式等都将是一次质变，将为素数研究抛砖引玉，也可能为数论增添上新的一页。
2.素数的快速筛法原理及公式当我们用艾氏筛法是要划掉每个合数，只2的倍数就差不多要划掉一半自然数，越往后面合数越多，而留下的素数越少。
我们能不能利用数学原理、公式去掉大部分合数呢？答案是肯定的。
2.1 当我们想去掉第一个素数2的倍数时，我们可能会想到用：2N+1 （N≥1）N为大于等于1的自然数，以下公式同上。
2.2 去掉2、3的倍数时，用2*3的倍数加上同为2、3互质的数：6N±12.3 去掉2、3、5的倍数时，用2*3*5的倍数加上同为2、3、5互质的数：30N±1，30N±7，30N±11，30N±13，2.4 去掉2、3、5、7的倍数时，同上的方法：210N±1，210N±11，210N±13，210N±17，210N±19，210N±23，210N±29，210N±31，210N±37，210N±41，210N±43，210N±47，210N±53，210N±59，210N±61，210N±67，210N±71，210N±73，210N±79，210N±83，210N±89，210N±97，210N±101，210N±103，2.5 去掉2、3、5、7、11的倍数时，同上的方法：2310N±1，2310N±13，2310N±17，2310N±19，……2310N±1139，2310N±1147，2310N±1151，2310N±1153，我们可以一直做下去，就会去掉从前面开始的素数倍数，划掉的合数比例将越来越少。
世界上第一个求素数公式
世界上第一个求素数公式摘要：人们一直认为：在正整数中，素数看起来是以一种随机的方式出现的，很难用一个统一的公式求出来。
虽然，人们作了大量的努力和尝试，但至今还是没有找到一个易为计算的素数公式来。
有人甚至哀叹：“我们至少还需要一百万年才能完全了解素数。
”这种哀叹虽然有点过分和夸张，但求素数的公式几百年都没有出现，可见其难度之大。
而下面所给出的求素数公式，即简洁又完整，它包括两个方面的内容：（1）可以统计出n至t之间（t为有限大的自然数，n（n→2n）之间的素数=（n→2n）之间的奇数-（■3×aj；■3×ai；■5×bk；■7×ci；…；■p×qs）说明：1.当n确定之后，“（n→2n）之间的奇数”为已知，共有■个。
2.（■3×aj；■5×bk；■7×ci；…；■p×qs）表示（n-2n）之间的所有奇合数；这一点，它和公式1中所表达的实际意义既有联系，又有区别。
3.如用电脑编程，公式2中的数据和结果可由公式1自动生成。
证明：（下面仅对公式1予以证明）设m为n至2n间的奇数，（1）若m为合数，必然为以下因式分解中的一个：m=3×a；5×b；7×c；……；p×q（n≤p×q＜2n）所以，任何一个奇合数m不可能留在下式中：（■个奇数）-（3×aj；5×bk；7×ci；……；p×qs）当（■个奇数）减去所有的合数之后，留下的数字必然都是素数。
（2）若m为素数，则任何一个素数都不可能被（■个奇数）-（3×aj；5×bk；7×ci；……；p×qs）这个公式减去，所以，在n与2n之间的所有素数得以保留。
证毕。
下面，再通过几个实例的计算来对公式作进一步的说明：1.计算在17与34之间有多少个素数。
素数的计算公式
素数的计算公式在我们的数学世界里，素数就像是神秘的小精灵，时而藏起来让我们难以捉摸，时而又跳出来给我们带来惊喜。
说起素数，大家可能会觉得有点头疼，哎呀，不就是那些只能被 1 和自身整除的数嘛。
可别小瞧了它们，要找到一个能算出素数的公式，那可不容易呢！我记得有一次，我在给学生们讲解素数的时候，有个小家伙瞪着大眼睛问我：“老师，为啥要研究这些奇奇怪怪的数呀？”我笑着回答他：“就像你在森林里探险，每发现一种新的植物，都是一次奇妙的收获。
素数就是数学森林里独特的存在呀。
”咱们先来说说素数的定义吧。
素数，也就是质数，是指一个大于 1的自然数，除了 1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数。
比如说 2、3、5、7、11 等等，这些都是素数。
那怎么判断一个数是不是素数呢？这可没有特别简单直接的办法，得一个个去试除。
但是，数学家们一直在努力寻找一个能直接算出素数的公式。
虽然到现在还没有一个完美通用的公式，但已经有了很多有趣的探索和尝试。
比如威尔逊定理，若 p 为素数，则 (p - 1)! ≡ -1 (mod p) 。
这看起来是不是有点复杂？其实简单来说，就是如果把从 1 到 p - 1 这些数乘起来，再除以 p 得到的余数是 -1 ，那么 p 就是素数。
可这个定理在实际计算中，可没那么方便，因为计算阶乘可是个大工程。
还有一个梅森素数，形如 2^p - 1 的数，当 p 是素数时，这个数有可能是素数。
但这也只是个可能，还得进一步判断。
虽然现在还没有一个能轻松算出所有素数的神奇公式，但这并不妨碍我们对素数的热爱和研究。
就像爬山，虽然还没爬到山顶，但沿途的风景已经足够美丽。
在数学的历史长河中，寻找素数公式的过程就像是一场漫长的马拉松。
数学家们不断地提出新的想法，又不断地被挑战和改进。
每一次的尝试，都是对未知的勇敢探索。
想象一下，如果有一天，我们真的找到了一个简单又好用的素数计算公式，那会给数学带来多大的变革呀！密码学可能会有新的突破，计算机算法也会变得更加高效。
素数的个数公式
π ( n, r ) 这个函数我们把它叫筛法函数。它表示从自然数列 1、2、3……n 中依
次筛去最初 r 个素数 p1 , p2 ,
pr 及其倍数，剩余自然数的个数。
当 r = 0 时， π ( n, r ) = n 。这个结论很好理解，从自然数列 1、2、3……n 中不筛 去任何数，所以 π ( n, r ) = n
素数的个数公式
作者姓名：弯国强
作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学 E-mail：632158@
要：■ 1. 素数的个数公式在素数分布的研究中具有重要的理论意义。 ■ 2. 素数的个数公式的简化计算一直是素数的个数计算中的一个 关键。 关键词：素数、素数的个数公式、筛法函数 中图分类号：O156.1 素数，又称质数，只有两个正因数（1 和本身）的自然数。 除了 1 和本身 摘 外还有别的约数的数称之为合数，而 1 和 0 既非素数也非合数。在素数中，只有 2 为偶数，其余的全为奇数，并且，当素数 p＞3 时，p 一定是 6k ± 1 的形状（k 为整数） 。 对于正整数 n，定义 π(n)为不大于 n 的素数总个数。 n 表示 n 的算术平方 ⎡ n ⎤ 表示不超过 n 的最大整数。 根， m 为整数， 当 2≦ p1，p 2 ⎣ ⎦ p1，p 2 ⎤ pm ≦ ⎡ ⎣ n ⎦ 时，
pm 为 n 的前部素数， m = π
( n ) 是前部质数的个
数，那么所有不大于 n 的素数的个数
π ( n) = m + n − ∑ ⎢
⎡ n ⎤ ⎡ n ⎤ ⎡n⎤ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ ⎥ +∑⎢ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ i j i j k ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
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素数公式
素数公式，在数学领域中，表示一种能够仅产生素数的公式。
即是说，这个公式能够一个不漏地产生所有的素数，并且对每个输入的值，此公式产生的结果都是素数。
根据素数的一个定义：“若自然数n不能被不大于根号n任何素数整除，则n是一个素数”。
[1]这个公式可以一个不漏地产生所有素数，而不会混入一个合数。
例如29，29不能被不大于根号29的素数2，3，5整除，29=2×14+1=3×9+2=5×5+4。
29小于7²=49，所以29是一个素数。
目录
1 多项式形式的素数公式
2 丢番图方程形式的素数公式
3 带高斯函数的素数公式
3.1 Mills 公式
3.2 威尔逊定理的利用
3.3 另一个用高斯函数的例子
4 递推关系
5 其他公式
6 参见
7 参考文献
多项式形式的素数公式
可以证明，一个多项式P(n)，如果不是常数的话，不会是一个素数公式。
证明很简单：假设这样的一个多项式P(n)存在，那么P(1)将是一个素数p。
接下来考虑P(1
+ kp)的值。
由于，我们有。
于是P(1 + kp)是p的倍数。
为了使它是素数，P(1 + kp)只能等于p。
要使得这对任意的k都成立，P(n)只能是常数。
应用代数数理论，可以证明更强的结果：不存在能够对几乎所有自然数输入，都能产生素数的非常数的多项式P(n)。
欧拉在1772年发现，对于小于40的所有自然数，多项式
P(n) = n2 + n + 41
的值都是素数。
对于前几个自然数n = 0, 1, 2, 3……，多项式的值是41, 43, 47, 53, 61, 71……。
当n等于40时，多项式的值是1681=41×41，是一个合数。
实际上，当n能被41整除的时候，P(n)也能被41 整除，因而是合数。
这个公式和所谓的质数螺旋（en:Ulam spiral）有关。
实际上，欧拉发现了这样一个事实：a0+0=a1,a1+2=a2,a2+4=a3,a3+6=a4,...,a（a0）.到a(a0)一项就是合数,其它都是素数。
这种情况共有5种，它们是3，5，11，17，41。
例如
第一个是3：a0=3,3+0=3=a1,3+2=5=a2,5+4=9=a3.(a3是合数，a3之前是素数。
）第二个是5：a0=5,5+0=5=a1,5+2=7=a2,7+4=11=a3,11+6=17=a4,.17+8=25=a5,(a5是合数，a5之前是素数。
）
第三个是11：
a0=11,11+0=11=a1,11+2=13=a2,13+4=17=a3,17+6=23=a4,23+8=31=a5,31+10=41= a6,41+12=53=a7,
53+14=67=a8, 67+16=83=a9,83+18=101=a10，101+20=121= a11(a11是合数，a11之前是素数。
）.第四个是17：
a0=17,17+0=17=a1,17+2=19=a2,19+4=23=a3,23+6=29=a4,29+8=37=a5,37+10=47= a6,47+12=59=a7,
59+14=73=a8,73+16=89=a9,89+18=107=a10,107+20=127=a11,127+22=149=a12,14 9+24=173=a13,
173+26=199=a14,199+28=227=a15,227+30=257=a16,257+32=289=a17(289=a17是合数，a17之前是素数。
）。
第五个是41
a0=41,41+0=41=a1,41+2=43=a2,43+4=47=a3,47+6=53=a4,53+8=61=a5,61+10=71= a6,71+12=83=a7,
83+14=97=a8,97+16=113=a9,113+18=131=a10,131+20=151=a11,151+22=173=a12, 173+24=197=a13,
197+26=223=a14,223+28=251=a15,251+30=281=a16,281+32=313=a17,313+34=34 7=a18,347+36=383=
a19,383+38=421=a20,421+40=461=a21,461+42=503=a22,503+44=547=a23,547+46
=593=a24,593+48=
641=a25,641+50=691=a26, ....,一直到a40是素数。
a41是就是合数。
目前还不知道是否只有5个这样的数。
欧拉把上面的规律用这样的形式表示：f(x)=x²+x+a.其中a=3,5,11,17,41.当a=x+1时，x²+x+(x+1)=(x+1)²。
狄利克雷定理证明了，对于互素的a和b，线性多项式方程L(n) = an + b 能产生无
穷多个质数（尽管不是对于所有的自然数n）。
此外，格林-陶定理（en:Green-Tao theorem）证明了更
强的结论：对于每个正整数k，都存在着整数对a、b，使得对于每个0与k−1之间的n，L(n) = an +
b都是素数。
然而，对于比较大的k，找出a和b是很困难的。
最好的结果是对于k=24，
P(n) = 45872132836530n + 468395662504823; [1]
至于是否存在次数大于等于2的多项式，满足对无穷多个整数，都能取到素数值，目前还没有结论。
丢番图方程形式的素数公式
一个很著名的素数公式是以下的有26个未知数的由14个方程组成的丢番图方程组Jones et al. (1976)：
0 = wz + h + j − q
0 = (gk + 2g + k + 1)(h + j) + h − z
0 = 16(k + 1)3(k + 2)(n + 1)2 + 1 − f2
0 = 2n + p + q + z − e
0 = e3(e + 2)(a + 1)2 + 1 − o2
0 = (a2 − 1)y2 + 1 − x2
0 = 16r2y4(a2 − 1) + 1 − u2
0 = n + l + v − y
0 = (a2 − 1)l2 + 1 − m2
0 = ai + k + 1 − l − i
0 = ((a + u2(u2 − a))2 − 1)(n + 4dy)2 + 1 − (x + cu)2
0 = p + l(a − n − 1) + b(2an + 2a − n2 − 2n − 2) − m
0 = q + y(a − p − 1) + s(2ap + 2a − p2 − 2p − 2) − x
0 = z + pl(a − p) + t(2ap − p2 − 1) − pm.
对于这个方程组的所有正整数解：（a,b,...,z），k +
2都是素数。
可以把这个公式改写成多项式的形式：将14个等式的右边记作p1，p2，……，p14，那么可以说，多项式
的输入值（a,b,...,z）是正整数时，其值域的正值部分就是所有素数。
根据尤里·马季亚谢维奇的一个定理，如果一个集合能够被定义成一个丢番图方程的解集，那么就可以被定义为一个只有9个未知数的丢番图方程的解集。
于是，素数集合可以被定义为一个只含10个变元的多项式的正值解集。
然而，这个多项式的次数极大（在1045数量级），另一方面，也存在次数不超过4的多项式，未知数个数是58个。
带高斯函数的素数公式
利用高斯函数，可以建立一些第n个素数的表达式：
Mills 公式
第一个带高斯函数的素数公式由W. H. Mills在1947年构造。
他证明了存在实数A使得数列
中的每个数都是素数。
最小的A=1.30637788386308069046……，称为米尔斯常数。
这个公式并没有什么实际价值，因为人们对A的性质所知甚少，甚至不知道A是否是有理数。
而且，除了用素数值逼近外，没有其他计算A的方法。
[编辑] 威尔逊定理的利用
使用威尔逊定理，可以建立一些其他的素数公式。
以下的公式也没有什么实际价值，大多数的素性测试都比它远为有效。
我们定义
或者
这两种定义是等价的。
π(m)就是小于m的素数个数。
于是，我们可以定义第n 个素数如下：
另一个用高斯函数的例子
这个例子没有用到阶乘和威尔逊定理，但也大量应用了高斯函数（S. M. Ruiz 2000）。
首先定义：
然后就有第n个素数的表达式：
递推关系
另外一个素数公式由以下递推关系定义：
其中gcd(x, y)表示x和y的最大公因子。
这个数列的开始几项是1, 1, 1, 5, 3, 1, 1, 1, 1, 11, 3, 1, 1
（OEIS中的数列A132199）。
Rowlands (2008)证明了这个数列只含有一和素数。
[编辑] 其他公式
以下这个公式可以且只可以产生所有素数：
其中，素数2出现无限多次，其余的素数恰好出现一次。
实际上，当n+1是素数p的时候，由威尔逊定理，等于p-2，于是f(n) =
p，当n+1是合数的时候，2n!(mod n + 1)等于0，于是得到2。
[编辑] 参见。